DOĞRUSAL

ZAMAN SERİSİ

MODELLERİ

Durağan ARIMA Modelleri:

Otoregresiv Modeller

AR(p) Süreci

26.03.2014 2

Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri

Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin

gelecekte alabilecekleri değerleri kestirimini

amaçlanmaktadır.

Geleneksel ekonometrik model kurmadaki aşamalar:

1. Ekonometrik Modelin Formüle Edilmesi

2. Veri Toplama

3. Modelin Parametrelerinin Tahmini

4. Çıkarsama ve Önraporlama

26.03.2014 3

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ

• Zaman serisi verisi analizlerinde model kurmak yerine

serinin kendisi analiz edilir.

• Ekonomik değişkeni meydana getiren değerler

dizisinin iç dinamikleri araştırılır.

• Bu iç dinamikleri ortaya çıkaran istatistiksel model

zaman serisi modeli olarak adlandırılmaktadır.

26.03.2014 4

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ

• Bu iç dinamikleri ortaya çıkaran istatistiksel model

zaman serisi modeli olarak adlandırılmaktadır.

• Zaman serisi modelleri analizi iktisadi teori ile

başlamaz.

• Zaman serisi modeli serinin kendi değerlerini dikkate

alarak gelecekteki değerleri hakkında bilgi verir.

26.03.2014 5

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ

• Önraporlama amacıyla bir zaman serisi

kullanılacaksa şu hususlara dikkat edilmelidir.

Kısa dönemi önraporlamak

Önrapor için çok kısa süreye ihtiyaç duyulması

Önraporu yapılacak zaman serisi için yeterince

gözlem bulunması

26.03.2014 6

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ

Zaman serisi modeli

Yt = f (Yt-1, Yt-2, ……, et, et-1, et-2,……)

Fonksiyonel

Form

Gecikme

Yapısı

Kalıntı Terimleri

Yapısı

26.03.2014 7

Otoregresif Süreç: AR(p)

• Bir ekonomik değişkenin geçmiş değerlerinin

içerdiği bilgiye dayanarak gelecek değerleri hakkında

önraporlama yapılabilir.

• Ekonomik değişkenin geçmişini yansıtan bilgi

yalnızca kendi değerlerine göre modellenirse

otoregresif süreç sözkonudur.

AR Süreci için bir örnek

26.03.2014 8

Bir limonata satıcısı olduğunuzu ve her saat beşbardak

limonata sattığınızı düşünürseniz. Eğer siz limonata

sattığınız yeri kapatmak ve limonata bittiği için satmaktan

vazgeçmek istemiyorsanız, her saat başına tükenen

limonata yerine yeni limonata doldurmanız gerekir.

Böylece her saat beş bardak limonata satılsa da siz her

zaman yerine yenisini ilave ettiğinizden siz bir kaza

geçirmediğiniz sürece asla limonata satışınızda bir aksama

olmaz. Bu bir otoregresif süreci tarif eder. Çünkü daha az

ya da daha fazla limonata satmanız şeklinde bir şok belli

bir saatteki limonata seviyesini etkiler.

26.03.2014 9

Yt = + 1Yt-1+ 2Yt-2 +……,+ pYt-p+et

p. Derece Otoregresif Süreç

: Sabit terim olup stokastik süreç olan Yt’nin

ortalamasıdır.

’ler : Bilinmeyen ototregresif parametreler

et : Ortalaması sıfır, sabit varyanslı; 2

e otokorelasyonsuz

rassal değişkendir.

26.03.2014 10

AR(1) Süreci

• Birinci derece otoregressif süreç

Yt= + 1Yt-1 + et

-1 < 1 < +1

• Zaman serileri analizi, ilgilenilen değişkenin yani

Yt’nin

-ortalama,

-varyans

-kovaryansının

hesaplanmasıyla başlar.

26.03.2014 11

AR(1) Süreci

• Geçmiş ve gelecekteki rassal değişkenler örneklem

gözleminde (Y1, Y2,….,Yt) olduğu gibi aynı olasılık

yoğunluk fonksiyonunu takip eder.

• Bir değişken tüm dönemlerde aynı olasılık

fonksiyonuna sahipse, bu değişkenin geçmiş ve

gelecek değerlerine bakılmaksızın aynı ortalama ve

varyansa sahip oldukları varsayılır.

26.03.2014 12

AR(1) Süreci

• Yt ve Yt-s arasındaki kovaryans zamana değil, bu iki

rassal değişken arasındaki s sayıdaki öncül yada

gecikmeye bağlıdır.

• Bu ise geçmişe dayanarak geleceği öngörmek için

önemli bir varsayımdır.

• Yt = + 1Yt-1 + et et ~IID(0,2)

26.03.2014 13

AR(1) Sürecinin Ortalaması

E(Y) = E( + 1Yt-1 + et)

= E( + 1Yt-1 ) + E(et)

= E( + 1Yt-1 )

= + 1

- 1 =

11

26.03.2014 14

AR(1) Süreci

• Otoregresif parametrenin değeri | 1| <1 ise süreç

durağandır.

• 1 =1 ise serinin varyansı sabit olmaz ve zamanla

büyür.

• =0 ise Yt‘nin ortalaması = 0’dır. Bu durum seriyi

ortalamadan sapmalar cinsinden tanımlamakla

özdeştir. Yani (Yt - )’a ulaşırız.

26.03.2014 15

AR(1) Sürecinin Varyansı

• = 0 olarak varsayılsın. Bu durumda AR(1) denklemi:

Yt = 1Yt-1 + et

Var(Yt) = 2

Y Var(1Yt-1 +et)

)()( 1

2

1 tt eVarYVar

2

1

2

e2

Y1

0

0

2

0

2

1 e

26.03.2014 16

AR(1) Sürecinin Kovaryansı

Cov(Yt, Yt-1)= E { [Yt – E(Yt)] [Yt-1 – E(Yt-1)] }

E(Yt)= E()= 0

= E(Yt Yt-1)

= E[( Yt-1+ et) Yt-1]

= E[ Yt-12+ etYt-1]

= E(Yt-12) + E [etYt-1]

= 1Y2

26.03.2014 17

AR(1) Sürecinin Kovaryansı

Cov(Yt-1, Yt-2)= E(Yt-1 Yt-2)= 1Y2

Cov(Yt-2, Yt-3)= E(Yt-2 Yt-3)= 1Y

2

Bu kovaryans bütün rassal değişkenler için aynıdır.

26.03.2014 18

t=2 için kovaryans

Cov(Yt, Yt-2)= E {[Yt – E(Yt)] [Yt-2 – E(Yt-2)]}

0 0 = E(Yt Yt-2)

= E[( Yt-1+ et) Yt-2]

= E[ Yt-1 Yt-2 + etYt-2]

= E(Yt-1 Yt-2) + E [etYt-2]

0

= 1(1Y2)

= 12Y

2

26.03.2014 19

t=k için kovaryans

Cov(Yt, Yt-k)= k = 1k Y

2

0 = Cov(Yt, Yt)= Y2 =(e

2)/(1- 12)

k = 1 k-1= 1kY

2= 1k0

Yt’nin varyansı

•Yt ve Yt-k arasındaki kovaryans zamana bağlı değildir.

26.03.2014 20

Korelasyon Katsayısı

•Kovaryanslar Yt’nin ölçü birimlerine bağlı olduğundan

yorum problemi ile karşılaşılır.

•Bu durumu aşmak için Yt ve Yt-k arasındaki

korelasyon hesaplanır.

t t kCor Y ,Y

t t k

t t k

cov Y ,Y

Var Y Var Y

k

0

Y

Yk 0, 1, 2,...

rk =

rk =

26.03.2014 21

Otokorelasyon Fonksiyonu

•Otokovaryans ve otokorelasyon katsayıları sıfır

gecikme civarında simetriktirler: r-k = rk

•Bu nedenle de yalnızda pozitif gecikmeleri dikkate

almak yeterlidir.

•AR (1) süreci için otokorelasyon katsayısını

tanımlayan

rk=Фrk-1= Ф1k k=1,2,…

ifadesi serinin otokorelasyon fonksiyonu olarak (ACF)

bilinir.

26.03.2014 22

• Ф1 sıfıra yakın değerler aldıkça ortalamayı sıkça

keser.

• Ф1 bire yakın değerler aldıkça ortalamayı daha az

sayıda keser.

• Ф1≥ 1 olursa patlayan seri ile karşılaşılır.

• Ф1= 1 olduğunda temiz – dizi söz konusudur.

Ф1’nin Etkisi

Uygulamalarda PACF grafiğinin sadece ilk

gecikmesine ait ilişki miktarı istatistiksel

olarak önemli ise, yani güven sınırını aşıyorsa

ve ACF grafiğindeki ilişki miktarları gecikme

sayısı arttıkça yavaş yavaş azalıyorsa seriye

en uygun model AR(1) modelidir.

26.03.2014 23

AR(1) Modeli ACF ve PACF GRAFİKLERİ

AR(1) Modeli ACF ve PACF GRAFİKLERİ

24

26.03.2014 25

26.03.2014 26

26.03.2014 27

AR (2) Sürecinin Özellikleri

•AR(1) zaman serisi modelleri bir çok ekonomik zaman

serisini tasvir eder.

•Ancak konunun teorik yapısı için AR(2) süreci ile

genel hal olan ve AR(p) süreci açıklanacaktır.

26.03.2014 28

AR (2) Sürecinin Özellikleri

Yt = +Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et

E(Yt) = E(+Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et)

= E()+Ф1E(Yt-1)+ Ф2E(Yt-2)+E(et)

= +Ф1μ+ Ф2μ

veya

E(Yt) = μ =

et ~IID(0,2)

1 21

26.03.2014 29

AR (2) Sürecinin Özellikleri

AR (2) sürecinin durağan olması için Ф1 ve Ф2

Ф1 + Ф2 < 1

olmalıdır.

Ф2 – Ф1 < 1

|Ф2| < 1

26.03.2014 30

AR (2) Sürecinin Özellikleri

= = 0 varsayılarak Yt’nin varyans ve kovaryansı

E(Yt2) =

=

E[YtYt]

E [Yt ( Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et ) ]

0 = Ф11+ Ф22+ e2

E(Yt-1Yt) = E [ Yt-1 ( Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et ) ]

1 = Ф10+ Ф21

E(Yt-1Yt) = E [ Yt-2 ( Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et ) ]

2 = Ф11+ Ф20

26.03.2014 31

AR (2) Sürecinin Özellikleri

Genel olarak k ≥ 2 için

E(Yt-kYt) = E [ Yt-k ( Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et ) ]

k = Ф1k-1+ Ф2k-2

yazılabilir.

0, 1 ve 2 eşitliklerini eş anlı olarak çözüp

Ф1, Ф2 ve e2 terimleri cinsinden 0 değeri

elde edilebilir:

26.03.2014 32

AR (2) Sürecinin Özellikleri

1 01

2

φ γγ =

1-φ

0= Ф11+ Ф2 (Ф11 + Ф2 0 ) + e2

0= Ф11+ Ф2 Ф11 + Ф2 20 + e

2

2 22 21 0 2 1 0

0 2 0 e

2 2

γ γγ = + + γ +σ

1- 1-

1 = Ф10+ Ф21

2 eşitliğini 0 eşitliğinde yerine yazıp düzenleyelim:

1 eşitliğini yukarıdaki eşitlikte yerine yazalım:

26.03.2014 33

AR (2) Sürecinin Özellikleri

2

2 e

0 2 2

2 2 1

1- σγ =

1+ 1+

1= Ф10+ Ф2 1

2= Ф11+ Ф2 0

Otokovaryanslar arasındaki ilişkiler aşağıdaki gibi ifade

edilebilir:

26.03.2014 34

AR (2) Sürecinin Özellikleri

r 1= Ф1+ Ф2 r 2

r 2= Ф1 r 1 + Ф2

r 1= Ф1 / (1 - Ф2 ) r 2= Ф2 + (Ф1 2) / (1 - Ф2 )

Otokovaryanslar arasındaki ilişkilerin benzeri

otokorelasyon katsayıları için de elde edilebilir.

Bunların çözümü yapılırsa:

ve

Elde edilir.

26.03.2014 35

AR (2) Sürecinin Özellikleri

Ф1 ve Ф1 değerleri sıfıra yaklaştıkça saçılım çok sık

ortalamayı keser.

Ф1 ve Ф1 değerleri bire yaklaştıkça saçılım daha az

olarak ortalamayı keser.

r k= Ф1 r k-1 + Ф2 r k-2 k =3,4,…

AR(2) süreci için otokorelasyon fonksiyonu:

Uygulamalarda AR(2) modelinin seriye en

uygun model olarak belirlenebilmesi için ACF

grafiğinde ilişki miktarları yavaş yavaş

azalırken PACF grafiğinde ilk iki gecikmeye

ait ilişkilerin önemli olması, ikinci gecikmeden

sonra da ilişkilerin önemsiz hale helmesi, yani

güven sınırlarını geçmemesi gerekmektedir.

26.03.2014 36

AR(2) Modeli ACF ve PACF Grafikleri

AR(2) Modeli ACF ve PACF Grafikleri

37

26.03.2014 38

26.03.2014 39

26.03.2014 40

26.03.2014 41

26.03.2014 42

AR (p) Sürecinin Özellikleri

Otoregresif süreç durağan ise ortalaması μ ile

gösterilir ve zamanla değişmez.

Bu modelde denklemin sağında yer alan değişkenler

rassaldır.

Cor (et,es) = 0 olduğu içim Yt’nin gecikmeli değerleri

ile korelasyonsuz olacaktır.

Bu modelde EKKY kullanılarak tutarlı bir tahmin

üretilebilir.

Yt = + Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+ … + ФrYt-r+et

26.03.2014 43

AR (p) Sürecinin Özellikleri

E(Yt) = E(Yt-1)= ….= E(Yt-r)= μ

μ= +Ф1 μ+ Ф2 μ+…+ Фr μ

μ= () / (1- Ф1 - Ф2 +…+ Фr )

Süreç durağan ise μ sonludur.

Bu durumda

Ф1 + Ф2 +…+ Фr < 1

olur. Ancak bu durağanlığı sağlamak için yeterli koşul

değildir.

26.03.2014 44

AR (p) Sürecinin Özellikleri

μ sonlu değilse, süreç herhangi bir referans

noktasından daha uzağa kayar.

Bu durumda süreç durağan değildir.

Ф1=1, μ= ∞ ve >0 olduğu için kayan rassal süreç

sürekli yukarıya doğru kayma eğilimindedir.

26.03.2014 45

AR (p) Sürecinin Tahmini

Yp+1 = + Ф1Yp+ Ф2Yp-1+ … + ФrY1+ep+1

Yp+2 = + Ф1Yp+1+ Ф2Yp+ … + ФrY2+ep+2

… …

YT = + Ф1YT-1+ Ф2YT-p+ … + ФrYT-p+eT

Zaman serisi sürecinin gözlenen değerlerinin

tamamını aşağıdaki biçimde ifade edebiliriz:

Bu denklem sisteminin matris notasyonunda gösterimi:

26.03.2014 46

AR (p) Sürecinin Tahmini

y = Xβ+e

y = (Yp+1, Yp+2, … , YT)

e = (ep+1, ep+2, … , eT)

β = ( , Ф1, Ф2, … , Фp)

1P P 1

2P 1 P

t pT 1 T 2

Y1 Y Y

Y1 Y Y

Y1 Y Y

X

26.03.2014 47

AR (p) Sürecinin Tahmini

β̂=

ˆcov β = 12

eσ XX

1

X X X y

2

eσ

ˆ ˆ(y Xβ) y Xβ

T 2p 1

1 2 p

δ̂

ˆ ˆ ˆ1-φ φ φ μ̂=

’nın en küçük kareler tahminci β̂

’nın kovaryansı β̂

AR(p) sürecinin ortalaması ’nün tahmincisi

26.03.2014 48

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu

AR sürecinin derecesinin belirlenmesinde:

• p değerlerini arttırarak ilave parametreli yeni bir AR

sürecini tahmin edilir.

•İlave edilen yeni parametrenin anlamlılığı test edilir.

Yada AR sürecinin derecesinin belirlenmesinde kısmi

otokorelasyonlardan faydalanılır.

pp p.dereceden bir AR sürecinin kısmi otokorelasyon

katsayısını göstersin.

26.03.2014 49

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu

Yt = + Ф1Yt-1+et

Yt = + Ф1Yt-1+ Ф2Yt-2+et

kt

kk

1 2

φ̂

1 T

kkˆTφ

Bu katsayı Yt-1, Yt-2, …, Yp-t+1’in etkilerini

hesapladıktan sonra Yt ile Yt-p arasındaki korelasyonu

ölçer.

AR(1) ve AR(2) modelinin özelliklerine

bakarak AR(p) modeli için ACF grafiğindeki

ilişkiler yavaş yavaş azalırken PACF

grafiğindeki ilk p gecikmeye ait ilişkiler önemli

p’inci gecikmeden sonraki ilişkilerin de

önemsiz olduğu söylenebilir.

26.03.2014 50

AR(p) Modeli ACF ve PACF Grafikleri

12 gecikme için AR(1) ,φ1= 0.6

12 gecikme içinAR(1), φ1 = −0.7

26.03.2014 53

26.03.2014 54

26.03.2014 55

26.03.2014 56

26.03.2014 57

26.03.2014 58

26.03.2014 59