Post on 11-Apr-2015
CUADRIPOLOS DE POTENCIA
Transferencia de potencia a través de
cuadripolos
CONTENIDO:
• Un problema simple
• Generalización: El problema del flujo de carga
• Definición del cuadripolo de potencia
• Interpretación del cuadripolo en una red trifásica
• Algebra de cuadripolos
CONTENIDO:
• Potencias entrantes y salientes en función de tensiones terminales y su defasaje
•Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones eléctricas de un circuito
• Programa Rescuad
Un problema simple/1
Ejemplo: Problema de flujo de carga para una red eléctrica de dos barras:
Vs0º
Vs -dadojX
Vr ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)
Un problema simple/2Potencia compleja
Potencia compleja constanteentregada a la carga.
Carga P & Qconstantes.
Q = P tan
V
II
VIVS ˆ
sencos jVIVIjQPS
Un problema simple/3
Relación no lineal!r
rrrs
rs
V
jQPjXVV
IVS
IjXVV
ˆ
ˆ
Vs 0
jX
Vr ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)I
Un problema simple/4
Solución Analítica: (posible solo para casos muy simples)
r
rrrs
V
jQPjXVV
ˆ
)(ˆ)( rrrrs jQPjXVVV
rrrrs XQjXPVjVV 2)sen(cos
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
sen
cos 2
Un problema simple/5
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
sen
cos 2
2222222 )()()sen(cos rrrrs XPXQVVV
rrrrsrr VQPXVVXQV 0)()2( 222224
senX
VVP rs
r
Un problema simple/6
0)()2( 222224 rrrsrr QPXVVXQV senX
VVP rs
r
Datos:
008779.0
9112.0
0008.092.0
0008.092.0
)(1.0
)(4.08.0
2
1
22
24
H
H
HHVH
VV
puX
pujjQP
r
rr
rr
Un problema simple/7Posibles soluciones
Vr comentario
+0.9545 -4.807 buena
+0.0937 -58.93 mala
-0.9545 +4.807 mala
-0.0937 +58.93 mala
Número de soluciones posibles:
!22
Un problema simple/8Un procedimiento iterativo
(Gauss Seidel)
r
rrrs
V
jQPjXVV
ˆ
El algoritmo:
1. Fijar el índice de iteración i en 0.
2. Probar con un valor inicial para Vr(i) (módulo y fase - usualmente V=1 =0)
3.Calcular
4. Calcular nuevo
5. Calcular
6. Si el criterio de convergencia no es satisfecho, fijar i=i+1 e ir a 3.
)(ˆ iV
jQPjXVV
r
rrrs
)(ˆ 1iVr
)()1( iViV rr
Un problema simple/9Cálculo de las potencias de
entradaPs, Qs = ?
Vs 0
jX
Vr
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)I
4878080
8074807495450
4080
..
).sen().cos(.
..
ˆˆ
jjQP
j
jjQP
V
jQPVIVjQP
ss
ss
r
rrssss
Un problema simple/10Transporte de potencia activa
(Qr=0)
Pr
Vs 0
jXVr
Ps,Qs
Pr Vr Ps Qs
0.5 0.999 -2.87 0.5 0.025
1 0.995 -5.77 1 0.1
1.6 0.987 -9.33 1.6 0.26
Qr
Vs 0
jXVr
Ps,Qs
Un problema simple/11Transporte de potencia
reactiva(Pr=0)
Qr Vr Ps Qs
0.5 0.947 0 0 0.53
1 0.887 0 0 1.127
1.6 0.8 0 0 2
Un problema simple/12Control de potencia activa y
reactiva
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
sen
cos 2
)(
sen
rsrs
r
rsr
X
VVP
X
VVP
)(
)cos(
rsr
r
rsr
r
VVX
VQ
VVX
VQ
La potencia activa depende en forma proporcional de la diferencia entrelos ángulos de fase de los voltajes de las barras.
La potencia reactiva depende en formaproporcional de la diferencia entre losmódulos de los voltajes de las barras.
Un problema simple/13Ejercicio
Realizar el cálculo de flujo de carga para el sistema de dos barras:
Vs 0
R+jXVr ?
Ps,Qs=? Pr,Qr dados
Pr=0.5pu, Qr=0.3pu, R=0.01pu, X=0.1 pu
(Vr=0.9677 -2.99º)
Generalización: Flujo de carga para dos barras inter-
conectadas mediante una línea de transmisión.
Línea de transmisión de 110kV
V1 V2 = 110kV
20MW10MVar
P1,Q1=?
Long. de linea 1-2 Resistenciar’[/km]
Reactanciax’[/km]
SusceptanciaShuntb’ [S/km]
60km 0.200 0.430 2.60
Generalización: Flujo de cargaModelo de línea de transmisión
i kikik jXR
2sjB
2sjB
Generalización: Flujo de carga
Generalización: Flujo de carga
Propósito del flujo de carga
Determinación de voltajes, intensidades y
potencias activas y reactivas en distintos puntos
de una red eléctrica.
Cuadripolos de potenciaDefinición
_ +U1
-
_ +U2
-
_
I1
_
I2
El cuadripolo es el elemento básico a partir del cual se forma toda red eléctrica. Todos los integrantes pasivos de una red son asimilables a cuadripolos: transformadores, líneas, cables, cargas pasivas, simples impedancias, etc.
Cuadripolos de potenciaDefinición
21 2
1 22
U A U B I
I C U D I
1 2
1 2
U A B U
I C D I
_ +U1
-
_ +U2
-
_
I1
_
I2
, , ,A B C D
se denominan constantes generales del cuadripolo, siendo adimensionados, con dimensión y con dimensión -1
,,, ABCD
A y D
B C
Cuadripolos de potenciaCuadripolo pasivo
_ +U1
-
_ +U2
-
_
I1
_
I2
, , ,A B C D
1AD BC
Solo se necesitan 3 parámetros para que quede determinado el cuadripolo
A BM
C D
Es invertible
2 1
2 1
U D B U
I C A I
Cuadripolos de potenciaCuadripolo simétrico
_ +U1
-
_ +U2
-
_
I1
_
I2
, , ,A B C D
Un cuadripolo es simétrico si la respuesta es la misma cualquiera sea el lado que se conecte con una señal determinada
A D
Cuadripolos de potenciaCasos particulares
_Y
1A B Z
0C 1D
Z
1A 0B
C Y 1D
Cuadripolos de potenciaModelo y T
CZ
AZ BZ
aZ bZ
cZ
Un cuadripolo pasivo puede representarse indistintamente utilizando el modelo matricial o el modelo o el modelo T (son suficientes únicamente 3 parámetros para definirlo)
Cuadripolos de potenciaModelo y T
Z
Y Y
Z Z
Y
Si además de pasivo, el cuadripolo es simétrico (lo cual es usual en los SEP, entonces son suficientes únicamente 2 parámetros para definirlo
Cuadripolos de potencia
Interpretación del cuadripolo en una red trifásica
• En una red trifásica equilibrada, las impedancias que aparecen en las distintas fases son iguales entre sí
• La representación de una única fase es suficiente para describir la red
• Cuando se representa un cuadripolo en una red trifásica, se está trabajando por fase
• Los 2 terminales de cada lado del cuadripolo son una fase y el neutro del sistema (las tensiones son estrelladas y las corrientes son de línea)
Algebra de cuadripolos
Potencias entrantes y salientes en función de tensiones terminales y su defasaje
_ +U1
-
_ +U2
-
_I1
_I2
__ S1
__ S2
_ U1
_ U2
Datos : U1, U2 , _ _ =adelanto de U1 respecto de U2.
Potencias entrantes y salientes en función de tensiones terminales y su defasaje
El funcionamiento de un cuadripolo queda totalmente determinado si sus terminales están conectadas a determinadas tensiones, defasadas entre sí en un determinado ángulo
21 2
1 22
U A U B I
I C U D I
Potencias entrantes y salientes en función de tensiones terminales y su defasaje
jeUUUU 1122 ,
).ˆˆˆ(ˆ221111 IDUCeUIUS j
)(1
)(1
21212 UAeUB
UAUB
I j
21211 ˆˆ
ˆˆ UAeU
B
DUCeUS Jj je
B
UUU
B
DS
ˆˆ
ˆ212
11
Potencias entrantes y salientes en función de tensiones terminales y su defasaje
jeB
UUU
B
DS
ˆˆ
ˆ212
11
En un sistema trifásico equilibrado, si multiplicamos por 3 la potencia por fase y por la tensión estrellada, obtenemos respectivamente la potencia total y la tensión compuesta
Esta observación muestra que si multiplicamos por 3 las igualdades indicadas en este capítulo, las fórmulas halladas pueden aplicarse empleando potencias totales y tensiones compuestas, que son magnitudes directamente manejables en un sistema trifásico
3
Potencias entrantes y salientes en función de tensiones terminales y su defasaje
Potencias entrantes y salientes en función de tensiones terminales y su defasaje
Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones
eléctricas de un circuitoU
(P,Q)
La condición eléctrica de un punto de un circuito trifásico, equilibrado está definida por la tensión U en el punto (respecto al neutro) y el flujo de potencia (activa P y reactiva Q) en determinado sentido, o sea por 3 magnitudes escalares (U,P,Q)
Al intercalar un cuadripolo después del punto, obtenemos a la salida del mismo un punto con otras condiciones eléctricas
Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones
eléctricas de un circuitoU
(P,Q)
_ +U1
-(P1 ,Q1 )
_ +U2
-(P2 ,Q2 )
_
I1
_I2
Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones
eléctricas de un circuito
_ +U1
-(P1 ,Q1 )
_ +U2
-(P2 ,Q2 )
_
I1
_I2
221
221
IDUCI
IBUAU
N° de ecuaciones escalares: 4
N° de variables: 7
Grados de libertad: 3
22221111 arg,,arg,,arg,,arg, IIUUIIUU
Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones
eléctricas de un circuito Se ve que en todo problema de transmisión a través de un cuadripolo, deben darse 3 datos escalares para que queden determinadas todas las demás variables eléctricas
En este caso, podemos darnos las 3 magnitudes de entrada (U1,P1,Q1) y deducir las de salida (U2, P2, Q2), o viceversa
Obtenemos así fórmulas que nos dan las condiciones de “salida” en función de las de “entrada” o viceversa
Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones
eléctricas de un circuitoSALIDA EN FUNCIÓN DE ENTRADA:
112 IBUDU 11 UU
111 IUS 1
11
ˆ
U
SI
1
112
ˆ
U
SBUDU
Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones
eléctricas de un circuitoSALIDA EN FUNCIÓN DE ENTRADA:
)ˆˆˆ(ˆ
ˆ11
1
11222 IAUC
US
BUDIUS
212
1
21112
ˆˆˆˆˆ S
UBA
UDCSCBSDAS
Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones
eléctricas de un circuitoENTRADA EN FUNCIÓN DE SALIDA:
Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones
eléctricas de un circuitoFORMULAS ESCALARES:
Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones
eléctricas de un circuitoFORMULAS ESCALARES:
Programa RESCUAD
0)sin()cos(2)( 2111
21
21
241
222
21 UQPBDQPBUDUU
0)cos()cos(
)sin()cos()sin()cos(
21
21
212
1
11112
UQP
ABCDU
QPBCQPADP
0)sin()sin(
)cos()sin()cos()sin(
21
21
212
1
11112
UQP
ABCDU
QPBCQPADQ
0cos 1111 QsinP0cos 2222 QsinP
0)cos(coscos 112121 sinQPBDUUU
0)cos( 112121 QsinPBsinDUsinUU
Programa RESCUADMétodo de Newton Raphson
Idea básica
1 4 6
?,0)(
,045)( 2
xxf
xxxf 60 x
Programa RESCUADMétodo de Newton Raphson/Ejemplo
,045)( 2 xxxf 60 x
xxdx
xdffxf
xdx
xdf
xdx
xdfxfxxf
x
xx
rr
r
710)(
)6()6(
52)(
0)(
)()(
6
¿Qué tan buena es esta aproximación?
Programa RESCUADMétodo de Newton Raphson/Ejemplo
08.449.157.4
49.014.4/04.2
014.404.2)(
)57.4()57.4(
57.443.16
43.17/10
0710)(
)6()6(
57.4
6
xxx
x
xxdx
xdffxf
xxx
x
xxdx
xdffxf
oldnew
x
oldnew
x
Programa RESCUADMétodo de Newton Raphson/Ejemplo
0)4(
408.008.4
08.016.3/24.0
016.324.0)(
)08.4()08.4(08.4
f
xxx
x
xxdx
xdffxf
oldnew
x
Programa RESCUADMétodo de Newton Raphson/Ejemplo
,045)( 2 xxxf 60 x
000.4002.0004.306.0002.44
002.4077.0157.3242.0079.43
079.4492.0142.4039.2571.42
571.4429.1000.700.10000.61
)( 1
rr xxdx
dfxfxr
Programa RESCUADMétodo de Newton Raphson/EjemploEl caso de una dimensión:
,045)( 2 xxxf 60 x
xxx
dx
xdfxfx
xdx
xdfxfxxf
rr
xx
r
xx
rr
r
r
1
1)(
)(
0)(
)()(
Programa RESCUADSistemas de ecuaciones no
lineales
f1,...fn, son funciones dadas, x1,...xn, son incógnitas.
Sistema general de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas.
0),...,(
.........
0),...,(
0),...,(
1
12
11
nn
n
n
xxf
xxf
xxf
nf
f
f
F...
2
1
nx
x
x
x...
2
1
0)( xF
Programa RESCUADMétodo de Newton-RaphsonAproximación lineal por Taylor:
nn
nnnn
nn
nn
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
)(....
)()()(
...............
)(....
)()()(
)(....
)()()(
11
21
1
222
11
1
111
Programa RESCUADMétodo de Newton-Raphson
Supongamos que tomamos una estimación inicial de la solución x=xr
0)(
....)(
)()(
...............
0)(
....)(
)()(
0)(
....)(
)()(
11
21
1
222
11
1
111
n
xxn
n
xx
nrn
rn
n
xxnxx
rr
n
xxnxx
rr
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
rr
rr
rr
Programa RESCUADMétodo de Newton-Raphson
Estimación del error x:
0
...
0
0
...
)(......
)(............
)(...
)()(
)(...
)()(
)(
...
)(
)(
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
n
n
nn
n
n
rn
r
r
x
x
x
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfx
xf
x
xf
x
xf
xf
xf
xf
Programa RESCUADMétodo de Newton-Raphson
n
nn
n
n
r
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfx
xf
x
xf
x
xf
xJ
)(......
)(............
)(...
)()(
)(...
)()(
)(
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)(
...
)(
)(
)( 2
1
rn
r
r
r
xf
xf
xf
xF
nx
x
x
x...
2
1
Matriz Jacobiana Vector de apartamiento
estimador lineal del error
Programa RESCUADMétodo de Newton-Raphson
)(
...
)(
)(
)(......
)(............
)(...
)()(
)(...
)()(
...2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
rn
r
r
n
nn
n
n
n xf
xf
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfx
xf
x
xf
x
xf
x
x
x
estimador lineal del error
Programa RESCUADMétodo de Newton-Raphson
nrn
r
r
rn
r
r
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.........2
1
2
1
1
12
11
Estimador mejorado del valor supuesto inicialmente