Post on 24-Oct-2019
08/08/59
1
นายสมควร โพธารินทร์ห้องพกั ๖ – ๒๐๓/๑
E-mail; sky_ubu@hotmail.com
Tel. ; ๐๘ - ๕๙๑๗ - ๘๘๕๗
หมวดวิชาฟิสิกส์ สาขาวิชาวิทยาศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์มหาวิทยาลยัเกษตรศาสตร์ วิทยาเขตเฉลิมพระเกียรติ จงัหวดัสกลนคร
04825113/01420111
ฟิสิกส์ทั"วไป I (General Physics I)
https://pirun.ku.ac.th/~csnskp
Course Course DescriptionDescription0482511304825113 ฟ�สิกส�ทั่วไป ฟ�สิกส�ทั่วไป II
กลศาสตร�ของอนุภาคและวัตถุแข็งเกร็ง สมบัติของสสาร กลศาสตร�ของไหล ความร�อน การส่ัน และคล่ืน
Mechanics of particles and rigid bodies, properties of matter, fluid mechanics, heat, vibrations and waves.
0142011101420111 ฟ�สิกส�ท่ัวไป ฟ�สิกส�ท่ัวไป IIกลศาสตร� การเคลื่อนท่ีแบบฮาร�มอนิก คลื่น กลศาสตร�ของไหล อุณหพลศาสตร�
Mechanics, harmonic motion, waves, fluid mechanics, thermodynamics.
08/08/59
2
วิชาที่เกีย่วข(องวิชาที่เกีย่วข(อง� 04825114/01420113 ปฏิบัติการทางฟ�สิกส� I
ถ(าถอนวิชา ทฤษฎีทางฟ�สิกส� I ไม5จําเป8นต(องถอนรายวิชาปฏิบัติการ I
� 04825116/01420112 ทฤษฎีทางฟ�สิกส� II ต(องผ5านการเรียน วิชา ทฤษฎีทางฟ�สิกส� I จึงจะสามารถลงทะเบียนเรียนได(
แนะนําเกี่ยวกบัวิชาปฏิบัติการแนะนําเกี่ยวกบัวิชาปฏิบัติการ1. นิสิตจะต�องเข�าเรยีนตรงเวลา ถ�ามาสาย 15 นาที จะไมAอนุญาตให�เข�าห�องเรียน ถ�า
มีเหตุจําเปFนต�องมาสายให�รีบยื่นใบลาเพ่ือขอซAอมแล็ป2. นิสิตต�องนําบัตรนิสิต หรือบัตรประชาชนมาด�วยทุกครั้ง เพราะบางครั้งอาจจะมี
การตรวจบัตร3. การเข�าเรียนทุกครั้งนิสิตต�องแตAงกายให�เรียบร�อยตามระเบียบของมหาวิทยาลัย ไมA
อนุญาตให�ใสAชุดปฏิบัติการตAาง ถ�ามีเรียนพละศึกษาตAอให�เตรียมชุดมาเปลีย่นเอง4. นิสิตต�องเตรียมพร�อมกAอนเข�าเรียน ต�องอAานคูAมือการทดลองวันน้ันๆ ให�จบกAอน
เข�าเรยีน5. ทุกครั้งท่ีเข�าเรียน นิสิตจะต�องมีเครื่องคิดเลข และคูAมือประกอบการทดลอง ถ�าไมA
นํามาจะหักคะแนน** ไม5อนุญาตให�ใช�จากมือถือคูAมือซ้ือได�ท่ีห�องปฏิบัติการ ราคาประมาณ 60 บาท เริ่มจําหนAาย วันพฤหัสบดี
ท่ี 11 ส.ค. 2559 มีประมาณ 600 เลAม
08/08/59
3
แนะนําเก่ียวกับวิชาปฏิบัติการแนะนําเก่ียวกับวิชาปฏิบัติการ ((ต5อต5อ))6. เมื่อถึงเวลาเข�าเรยีนนิสติทุกคนต�องลงช่ือเข�าเรียน พร�อมรับแบบใบรายงานผลการ
ทดลอง ถ�าไมAลงช่ือเข�าเรียนจะถือวAาขาดเรียน� นิสิตทุกคนต�องจAายคAาใบรายงานผลการทดลอง คนละ 25 บาท ถ�า
ยากจนจริงๆ ไมAสามารถจAายได� ให�ติดตAออาจารย�สมควร โพธารินทร�7. ขณะเข�าเรียน ห�ามใช�โทรศัพท�8. ห�ามนํารายงานเกAาของรุAนพ่ีเข�ามาลอก9. ห�ามลอกรายงานเพ่ือน และห�ามให�เพ่ือนลอก10. การบันทึกและวิเคราะห�ผลการทดลองให�ยึดตามหลกัเลขนัยสําคัญทุกครั้ง11. ห�ามนิสิตเขียนรายงานด�วยดินสอ จะใช�ดินสอ สําหรับการวาดรูปและเขียนกราฟ12. นิสิตท่ีจะออกจากห�องปฏิบัติการเพ่ือทําภารกิจสAวนตัว ต�องแจ�งอาจารย�ผู�สอนกAอน
แนะนําเก่ียวกับวิชาปฏิบัติการแนะนําเก่ียวกับวิชาปฏิบัติการ ((ต5อต5อ))
จะอนุญาตให�ซAอมแล็ปเฉพาะกรณจํีาเปFนเทAาน้ัน และจะต�องซAอมแลป็ภายในสัปดาห�ท่ีมีการทดลองเรื่องน้ันๆ อยูA โดยให�นิสิตท่ีจะซAอมแล็ป จะต�องมาทําการทดลองรAวมกับหมูAเรียนอ่ืนๆ� ถ�ามาสายเพราะมเีหตุจําเปFน เชAน อุบัติเหตุ ให�ติดตAอยื่นใบลาในวันน้ันๆ � กรณีมีธุระจําเปFนต�องยื่นใบลากAอน กรณไีมAสามารถแจ�งลAวงหน�า เชAน งานศพ
หลังจากกลับมาต�องต�องยื่นทันที พร�อมรูปถAายรAวมงาน� กรณลีาป_วย ต�องมีใบรับรองแพทย�� ถ�าจะต�องเข�ารAวมกิจกรรมของทางมหาวิทยาลัย ให�สAงใบลากAอน
การยื่นใบลา ต�องให�อาจารย�ชิวาลรัตน� มาสิงบุญ เปFนผู�อนุญาต
การซ5อมแล็ป
08/08/59
4
หัวข(อที่จะเรียนปฏิบัติการหัวข(อที่จะเรียนปฏิบัติการ
บทท่ี ๑ เคร่ืองมือวัดความยาวอยAางละเอียด (เวอร�เนียร� + ไมโครมิเตอร�)บทท่ี ๒ กราฟและการวิเคราะห�ข�อมูลบทท่ี ๓ สมดุลแรงบทท่ี ๓ ตกอิสระ
บทท่ี ๕ แรงสูAศูนย�กลางบทท่ี ๖ การชนโดยลดแรงเสียดทานของการเคล่ือนท่ีบทท่ี ๗ โมเมนต�ความเฉื่อยและความเรAงเชิงมุมบทท่ี ๘ คล่ืนน่ิงบทท่ี ๙ ความหนืดบทท่ี ๑๐ กฎการเย็นตัวของนิวตัน
เรียนหลังสอบกลางภาคเรียนหลังสอบกลางภาคสอบปลายภาคสอบปลายภาค
เรียนก5อนสอบกลางภาคเรียนก5อนสอบกลางภาคสอบกลางภาคสอบกลางภาค
หัวข(อที่จะหัวข(อที่จะเรียนเรียน ฟ�สิกส�ทั่วไป ฟ�สิกส�ทั่วไป II
บทท่ี 1 บทนําบทท่ี 2 เวกเตอร�บทท่ี 3 การเคล่ือนท่ีในแนวเส�นตรงบทท่ี 4 การเคล่ือนท่ีในระนาบบทท่ี 5 แรงและกฎการเคล่ือนท่ีบทท่ี 6 งานและพลังงานบทท่ี 7 โมเมนตัมและการชน
บทท่ี 8 พลศาสตร�ของวัตถุแข็งเกร็งบทท่ี 9 การเคล่ือนท่ีแบบฮาร�มอนิกบทท่ี 10 คล่ืนบทท่ี 11 สภาพยืดหยุAนบทท่ี 12 กลศาสตร�ของไหลบทท่ี 13 ความร�อนและอุณหพลศาสตร�
สอนโดย สอนโดย ออ..สมควร สมควร โพธาโพธาริรินทร�นทร�
สอนโดยสอนโดยออ..กีรติ มณีสายกีรติ มณีสาย
08/08/59
5
อาจารย�สมควร อาจารย�สมควร โพธาโพธาริรินทร�นทร� 5050สอบกลางภาค 50การบ�าน -เข�าเรยีน/สอบยAอย -
อาจารย� กีรติ มณีสาย 50 สอบปลายภาคการบ�านเข�าเรยีน
คะแนนคะแนน
ท้ังอิงเกณฑ� และอิงกลุ5มท้ังอิงเกณฑ� และอิงกลุ5มรวมสองส5วน คะแนนรวม รวมสองส5วน คะแนนรวม 100 100 คะแนนคะแนน
เกรด A 80 คะแนน ขึ้นไปเกรด F น�อยกวAา 50 คะแนน
ถ(าได(คะแนนในส5วนแรกน(อยกว5า 30 คะแนน ควรจะพิจารณาว5าจะถอนหรือไม5 -
เกณฑ�การตัดเกรดเกณฑ�การตัดเกรด
08/08/59
6
หัวข(อ ก5อนสอบกลางภาค
บทที่ 1 บทนําบทที่ 2 เวกเตอร�บทที่ 3 การเคลื่อนที่ในแนวเส�นตรง (หน่ึงมิติ)บทที่ 4 การเคลื่อนที่ในระนาบ (สองมิติ)บทที่ 5 กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (แรง)บทที่ 6 งานและพลังงานบทที่ 7 โมเมนตัมและการชน
เอกสารอ5านประกอบเอกสารอ5านประกอบ� หนังสือฟpสิกส� 1 เลAม 1 และ เลAม 2 มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร�
� PRINCIPLES OF PHYSICS (9th EDITION), HALLIDAY & RESNICK & JEARL WALKER, 2011.
� PHYSICS FOR SCIENCTISTS AND ENGINEERS WITH MODERN PHYSICS (9th EDITION), RAYMOND A. SERWAY & JOHN W. JEWETT, Jr., 2014.
� UNIVERSITY PHYSICS WITH MODERN PHYSICS (13Th EDITION), HUGH D. YOUNG & ROGER A. FREEDMAN, 2012.
08/08/59
7
Chapter 1 Introduction
ธรรมชาติของวิชาฟ�สิกส�
1. ความสัมพันธ�ระหวAางสสารกับพลงังาน
สAวนใหญAเก่ียวข�องกับสิ่งไมAมีชีวิต
2. ความรู�ทางฟpสิกส�เกิดจาก กระบวนการทางวิทยาศาสตร� และการสร�างแบบจําลองทางความคิด
หาความสัมพันธ�ระหวAางสิ่งตAางๆ
3. ทฤษฎีและกฎ
ทฤษฎี คือ สมมติฐานท่ีได�มีการพิสูจน�แล�ววAาเปFนจริง และมคีวามถูกต�อง ภายใต�เง่ือนไขน้ัน
กฎ คือ ทฤษฎีท่ีใช�ได� และเปFนจริงเสมอ
ฟ�สิกส� (Physics) เปFนวิทยาศาสตร� ท่ีเกิดจากการพยายามหาคําอธิบายปรากฏการณ�ทางธรรมชาติอยAางเปFนระบบ และเปFนเหตุเปFนผล
Chapter 1 Introduction (ต5อ)
1. ฟpสิกส�แผนเดิม (Classical physics) คือ ทฤษฎีตAางๆท่ีพบกAอน ศตวรรษท่ี 20
เชAน กลศาสตร� ความร�อน แมAเหลก็ไฟฟsา แสงและเสียง เปFนต�น
พิจารณาเฉพาะวัตถุท่ีมีขนาดใหญAและความเร็วต่ําๆ เทAาน้ัน
2. ฟpสิกส�ยุคใหมA (Modern physics) คือ ฟpสิกส�ท่ีค�นพบในศตวรรษท่ี 20
เปFนวิชาการท่ีจะกลAาวถึงทฤษฎีสมัพัทธภาพ ทฤษฎีควอนตัม อิเล็กตรอน อะตอม รวมถึงนิวเคลยีร�ฟpสิกส�ด�วย
เปFนการศึกษาเก่ียวกับวัตถุท่ีมีขนาดเลก็ๆ หรือวัตถุท่ีมีความเร็วสูงๆ
สาขาของฟ�สิกส� อาจแบAงเปFน 2 กลุAม คือ
08/08/59
8
Using Problem Solving Techniques
• Step 1– Determine what the problem asks you to find out.
• Step 2– Identify the information you are given.
• Step 3– Identify laws or relationships.
• Step 4– Apply the given information and the relationships.
ทบทวนคณิตศาสตร์พื(นฐาน
08/08/59
9
สัญลกัษณ์ เครื"องหมายทางวิทยาศาสตร์
a เท่ากบั b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
=≠>≥>><≤<<≈∝
a ไม่เท่ากบั b
a มากกวา่ ba มากกวา่หรือเท่ากบั b
a มากกวา่ b มากๆ
a นอ้ยกวา่ ba นอ้ยกวา่หรือเท่ากบั b
a นอ้ยกวา่ b มาก
a แปรผนักบั b
a มีค่าประมาณ b
พชีคณติเบื0องต้น: การคูณเศษส่วน
a c a c
b d b d
⋅⋅ =⋅
ตวัอยา่งเช่น 2 4 2 4 8
3 5 3 5 15
⋅ ⋅ = = ⋅
2 8
3 4 ⋅ =
2 8
3 4
16
12
⋅⋅
=
08/08/59
10
พชีคณติเบื0องต้น: การหารเศษส่วน
a b a d
c d c b
⋅=⋅
ตวัอยา่งเช่น 10 5 10 2 20
20 2 20 5 100
⋅= =⋅
พชีคณติเบื0องต้น: การบวกเศษส่วน
ตวัอยา่งเช่น 5 10 5 4 2 10 405
2 4 4 2 8
⋅ + ⋅+ = = =⋅
a c a d b c
b d bd
⋅ ± ⋅± =
08/08/59
11
ค่าเฉลี"ย และฟังก์ชั"น
1 2 31
...
! 1 2 3 4
( )
n
i ni
x x x x x
n n
y x
=
= + + + +
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∑
หมายถึง เป็นฟังกช์ั4นของ หรือ ขึ(นกบัตวัแปร xxy y
2. ( ) 2 5 9
(1)
Exp y x x x
y
= + += 22(1) 5(1) 9 16+ + =
พชีคณติเบื0องต้น
สมการเชิงเส้น (Linear equation)
0 ax b+ =เมื4อ และ เป็นจาํนวนจริงa b
2 0, -9 0, 4 12 0, 4 02
xx x x= = + = − =
พีชคณิต เปFนการศึกษาเก่ียวกับโครงสร�าง ความสัมพันธ� และจํานวน โดยศึกษาเก่ียวกับการบวกลบคูณและหาร ยกกําลัง และการถอดราก
08/08/59
12
พชีคณติเบื0องต้น
, -9 0, 4 12 0, 2 4 00 2
xx
x x= == + − =
ในการหาค่า x ตอ้งให ้ x อยูอ่ยา่งเดียวดาย
2 0
2 0
2 2
x
x
=
=2 0
02 2
x = = 0x =
การแก้สมการตัวแปรเดียว
2 0, , 4 12-9 0 0, 4 02
xx x x= + = − ==
ในการหาค่า x ตอ้งให ้ x อยูอ่ยา่งเดียวดาย
9 0
9 9 0 9
9
x
x
x
− =− + = +
=
0 99 99x = ++ =−
08/08/59
13
การแก้สมการตัวแปรเดียว
42 0, -9 0, , 4 0122
0xx
x x= = −= =+
ในการหาค่า x ตอ้งให ้ x อยูอ่ยา่งเดียวดาย
4 12 0x + =
4 12
4 43
x
x
= −
= −
4 12 12 0 12
4 12
x
x
+ − = −= −
การแก้สมการตัวแปรเดียว
ในการหาค่า x ตอ้งให ้ x อยูอ่ยา่งเดียวดาย
57
3x =
73
3 3
5 5
5x = ⋅⋅⋅ 21
5x =
08/08/59
14
พชีคณติเบื0องต้น: สมการกําลงัสองที"ไม่ทราบค่าตัวแปร
2 0ax bx c+ + =สามารถแยกตัวประกอบได�ในรูป (x + m)(x + n) โดย m + n = b และ m× n = c
; x m x n= − = −
พหุนามในรูปกําลังสองสมบูรณ� คือ พหุนามท่ีเขียนในรูป หน�า2 + 2(หน�า)(หลัง) + หลัง2 = (หน�า + หลัง)2
หรือ หน�า2 – 2(หน�า)(หลัง) + หลัง2 = (หน�า - หลัง)2
เชAน x2 + 8x + 16 = x2 + 2(x)(4) + 42 = (x + 4)2
x2 – 10x + 25 = x2 – 2(x)(5) + 52 = (x – 5)2
พชีคณติเบื0องต้น: สมการกําลงัสองที"ไม่ทราบค่าตัวแปร
พหุนามในรูปผลต5างกําลังสอง คือ พหุนามซ่ึงเขียนในรูป หน�า2 – หลัง2 เชAน x2 – 121 = x2 - 112
สามารถแยกตัวประกอบผลตAางกําลังสองโดยใช�สูตร หน�า2 – หลัง2 = (หน�า + หลัง)(หน�า - หลัง)
08/08/59
15
พชีคณติเบื0องต้น: สมการกําลงัสองที"ไม่ทราบค่าตัวแปร
22 5 1 0x x+ + =
25 5 4 2 1
2 2x
− ± − ⋅ ⋅=⋅
2 0ax bx c+ + =
2 4
2
b b acx
a
− ± −=
5 170.22
4
5 172.28
4
x
x
− += ≈ −
− −= ≈ −
22( 0.22) 5( 0.22) 1 0.0032 0− + − + = − ≈
พหุนามในรูปผลบวกกําลังสาม คือ พหุนามท่ีเขียนในรูปหน�า3 + หลัง3 เชAน X3 + 8 = X3 + 23
สามารถแยกตัวประกอบโดยใช�สูตร หน�า3 + หลัง3 = (หน�า + หลัง)(หน�า2 – หน�าหลัง + หลัง2 )
พหุนามในรูปผลต5างกําลังสาม คือ พหุนามท่ีเขียนในรูป หน�า3 - หลัง3 เชAน X3 – 1,000 = X3 – 103
สามารถแยกตัวประกอบโดยใช�สูตร หน�า3 – หลัง3 = (หน�า - หลัง)(หน�า2 + หน�าหลัง + หลัง2 )
พชีคณติเบื0องต้น: การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว5าสอง
08/08/59
16
การแก้สมการสองตัวแปร
0ax by c+ + =
� แทนคAาตัวแปรหน่ึง ในรูปของอีกตัวแปรหน่ึง� กําจัดตัวแปร โดยการคูณสมการ
มีอย5างน(อย 2 สมการ จึงจะหาคําตอบได(
การแก้สมการสองตัวแปร
2 3 9 0
1 82 3 9
3
3 8
2 16
1 0;
1 8
3
16 9 29
3 31
3 93 3
x y
y
x y
yx
y y
y
y
y
y
+ − =+ + =
− − =+= ⇒
+ = −
+ =
=
+
� แทนค5าตัวแปรหน่ึง ในรูปของอีกตัวแปรหน่ึง
08/08/59
17
การแก้สมการสองตัวแปร
[ ] [ ]3 8 1 0;
2 3 8 1 0
2 3 9 0
3 2 3 9 0
6 16 2 0 6 9 2 0 7
x y
x y
x y
x
y
y
x yx
− − =⋅ − − =
− −
+ − ==
+=⋅ + −
− =
� กําจัดตัวแปร โดยการคูณสมการเมื่อพิจารณาสมการทั้งสองแล(ว ตัดสินใจว5าจะกําจัดตัว
แปรไหนก5อน จากน้ันหา ค.ร.น มาคูณ ทั้งสอง
เอาสองสมการมาลบกนั ( ) ( )6 9 276 16 2 0
25 25
1
x y
y
y
y
x− − − =− = −
=
+ −
พชีคณติเบื0องต้น: ตัวคูณร่วม, การแยกตัวประกอบ
( )ax ay az a x y z+ + = + +ตวัคูณร่วม:
( ) ( )( )
× − × =×
11 10
12
22 10 20 10?
2 10
( ) ( )( )
× − × =×
11 11
11
22 10 2.0 10?
20 10
( )− × =×
11
11
22 2.0 101
20 10
08/08/59
18
เรขาคณติเบื0องต้น: พื0นที"
b
h
1
2b h⋅
r
2rπพื(นที4วงกลมรัศมี r
พื(นที4สามเหลี4ยม
r
2 rπเสน้รอบวงกลมรัศมี r
เรขาคณติเบื0องต้น: มุม
θ
θ
θθ
θ
08/08/59
19
เรขาคณติเบื0องต้น: มุม
θ α
180α θ+ = o
θθ
θ
เรขาคณติเบื0องต้น: มุมภายในสามเหลี"ยม
α γ
β180α β γ+ + = o
08/08/59
20
เรขาคณติเบื0องต้น: สามเหลี"ยมคล้าย
α γ
β1a1c
1b
α γ
β2a2c
2b
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c= =
สามเหลี่ยมคล(าย คือ สามเหล่ียมท่ีมีมุมเทAากันท้ังสามมุม
อัตราสAวนของด�านตรงข�ามมุมท่ีเทAากัน จะมีคAาเทAากัน
เรขาคณติเบื0องต้น: สามเหลี"ยมเหลี"ยมมุมฉาก
a
bc
θ 90o
90 θ−o
2 2 2c a b= +
sin( )b
cθ =
cos( )a
cθ =
tan( )b
aθ =
08/08/59
21
เรขาคณติ: สามเหลี"ยมเหลี"ยมมุมฉาก
a
bc
θ 90o
90 θ−o
2 2 2c a b= +
2 2 2 22 2
2
2
2
sin( ) cos( )
1
a b a b
c c c
c
c
θ θ + + = + =
=
sin( )b
cθ = cos( )
a
cθ =
2 2sin( ) cos( ) 1θ θ+ =
เรขาคณติเบื0องต้น: กฎของ sines,cosines
α γ
βac
b
sin( ) sin( ) sin( )
a b c
α β γ= =
กฎของ sines
2 2 2 2 cos( )c a b ab γ= + −
กฎของ cosines
08/08/59
22
เรขาคณติเบื0องต้น: กฎของ sines,cosines
α γ
βac
b
sin( ) sin( ) sin( )
a b c
α β γ= =
กฎของ sines
2 2 2 2 cos( )c a b ab γ= + −
กฎของ cosines
ตรีโกณมิติ: เอกลักษณ์ตรีโกณที"สําคญั
08/08/59
23
ตรีโกณมิติ: เอกลักษณ์ตรีโกณที"สําคญั
ตรีโกณมิติ: เอกลักษณ์ตรีโกณที"สําคญั
08/08/59
24
สัญลกัษณ์ เครื"องหมายทางวิทยาศาสตร์
ปริมาณท่ีมีขนาดใหญAมากหรอืน�อยมากเพ่ือความสะดวกจะเขียนแทนด�วยสัญกรณ�ทางวิทยาศาสตร� (Scienctific Notation)
3 6
2 52 5
10 10 10 10 10 1,000,000
1 1 1 110 0.01 10 0.00001
10 100 10 100,000− −
= × × =
= = = = = =
5
4
299,000 2.99 100,000 2.99 10
0.00099 9.9 0.0001 9.9 10−
= × = ×= × = ×
สัญลกัษณ์ เครื"องหมายทางวิทยาศาสตร์
คําอุปสรรค คือ คําท่ีใช�ใสAนําหน�าหนAวยการวัดปริมาณตAางๆซึ่งจะใช�ในกรณีท่ีคAาท่ีได�จากการวัดมีคAามากหรือน�อยเกินไป
08/08/59
25
ฟังก์ชันเลขยกกาํลัง
เลขสิบยกกาํลงั ถา้คูณกนัเอาเลขชี(กาํลงับวกกนั ถา้หารกนัเอาเลขชี(กาํลงัมาลบกนั
2 3
4
6
10 10 10 Exp. (2.5 10 ) (2.0 10 )=
10 5.0 1010 Exp.
10 2.0 10
n m n m
nn m
m
+
−
× = × × ××= =×
55.0 10 ×
22.5 10−×
n m n m
nn m
m
x x x
xx
x
+
−
⋅ =
=
ฟังก์ชันเลขยกกาํลัง
ทุกจาํนวนเมื4อยกกาํลงัดว้ย ศูนย ์จะมีค่าเท่ากบั หนึ4ง
0
0
1
0
1
10 1
1000
1
1
10 = 10
x
x x
==
==
08/08/59
26
สมบัติของเลขยกกาํลังที"สําคัญ
2 5
1
4 1
( )
( )
1
(10 ) 10
n m m nx x
x x
xx
⋅
−
−
==
=
=
10
-4 ( )
1
1/
n m n m
n n
nn n
x x
x x x
x x
x z xz
+
==
=
=
ฟังก์ชันลอการิทมึ
( )
log 1 0
log log
log log log
log log log
log 1
a
ua a
a a a
a a a
a
b u b
uu v
v
uv u v
a
=
=
= −
= +=
ถ(า ถ(า aayy = x = x แทนด(วยแทนด(วย y = log y = log aax x
และ และ a > a > 00
08/08/59
27
ฟังก์ชันลอการิทมึ
( )
10
10
10
10
10
log1
log
l
log 1 0
log
log
log
log
og log
log log
log11 100
ub
u
v
uv
u b
u v
u v
= =
=
= −
=+
==
ถ(า ถ(า a = a = 10 10 log log 1010 แทนด(วย แทนด(วย loglog
ฟังก์ชันลอการิทมึ
( )
log 1 0
log
log
log
log 1
ln1
ln
ln ln
ln ln
ln
e
ue
e
e
e
b
u
v
u
u b
u v
u v
e
v
e
= =
=
=
+==
−
=
ถ(า ถ(า a = e a = e
log log ee แทนด(วย แทนด(วย lnlne = e = 22..7182871828… …
08/08/59
28
แคลคูลสัเบื0องต้น
อนุพันธ�ของฟ̂งก�ชัน
ถ�า y เปFนฟ{งก�ชันของ x อนุพันธ�ของ y เทียบกับ x หรือ คือ คAาความชันของเส�นตรงท่ีเชื่อม 2 จุด (x1,y1) กับ (x2,y2) บนเส�นกราฟ y(x) เม่ือผลตAางตามแนวนอนของคูAอันดับ หรือ มีลิมิตเข�าใกล�ศูนย�
dy
dx
2 1x x x∆ = −
( ) ( )0 0
lim limx x
y x x y xdy x
dx y x→ →
+ ∆ −∆= =∆ ∆
ถ�าให�คAา x2 เข�าใกล� x1 มากข้ึนเรื่อยๆ เส�นตรงท่ีเชื่อมจุดท้ังสองจะกลายเปFนเส�นสัมผัสเส�นกราฟท่ีจุด (x1,y1) ดังนั้น เราพูดได�อีกอยAางหนึ่งวAา อนุพันธ�ของ y เทียบกับ x ท่ีจุด (x1,y1) คือ ความชันของเส�นตรงท่ีสัมผัสกราฟท่ีจุดนั้น
แคลคูลสัเบื0องต้น
( ) ( )0 0
lim limx x
y x x y xdy x
dx y x→ →
+ ∆ −∆= =∆ ∆
08/08/59
29
แคลคูลสัเบื0องต้น
n1
2
0; c = constant
dx
dx( )
( )
( )
( )
n
dc
dx
nx
u u x
v v x
d u v du dv
dx dx dxd uv dv du
u vdx dx dx
u dv dud u vv dx dx
dx v
−
=
=
==
+ = +
= +
−
=
แคลคูลสัเบื0องต้น
การอินทิเกรต เปFนการกระทํากลบักันหรือตรงข�ามกันกับอนุพันธ�
1
1
nn x
x dx cn
+
= ++∫
2
1
2 1( ) ( ) ( ) ( )x
x
y x f x dx y x y x= = −∫
การอินทิเกรต แบบไมAใสAลิมิต
การอินทิเกรต แบบมีขอบเขต หรอืมีลิมิต