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Cours de gestion financière (M1)
Séance du 26 septembre 2014Théorie du portefeuille, CML
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Harry Markowitz
William Sharpe
Séance du 26 septembre 2014 (2)Théorie du portefeuille, CML
Plan de la séance Finance et probabilités : causalité, déterminisme, modèles
aléatoires Finance comportementale et probabilités : biais cognitifs
Validité des stratégies contrarian ? Préférences des investisseurs
Plan « écart-type, espérance de rentabilité » Frontière efficiente des actifs risqués Concavité de la frontière efficiente Portefeuille risqué + actif sans risque Choix optimal de portefeuille, ratio de Sharpe Portefeuille tangent, « capital market line », portefeuille de
marché2
Finance et probabilités
Utilisation des probabilités pour la gestion financière
La notion de hasard « pur » Issue des jeux de « hasard » Tirage de dés non pipés, roulette, jeu à pile ou face Angle d’une aiguille lancée en l’air Souvent liée à une équirépartition des risques
Probabilités uniformes Tirage à pile ou face Deux événements : pile et face
Probabilité que la pièce tombe sur pile
Hasard pur défini par opposition au déterminisme3
Finance et de probabilités
Mais le numéro qui apparaît au moment du tirage d’un dé (non pipé) est parfaitement connu dès le lancer … Tout est gouverné par les équations de la mécanique Vitesse de lancer, angle, capacité d’absorption de l’énergie
cinétique de la surface Forte dépendance du tirage observé par rapport à une faible
variation des conditions initiales « Attracteurs étranges » : ensemble de conditions terminales ou
d’observations « fréquemment » observées « effet papillon », théorie du chaos, …
Dans des circonstances « normales », tout se passe comme si l’on avait un tirage équiprobable
Mais on peut s’en écarter très fortement Voir le numéro du magazine Pour la Science, novembre 2009, n°385
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http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article‐les‐des‐sont‐pipes‐23561.php
Finance et probabilités
Les évolutions génétiques issues des interactions avec l’environnement sont déterministes Mais si complexes, qu’une modélisation aléatoire est adaptée
Les générateurs de nombres aléatoires Par exemple, celui d’Excel qui permet de simuler une valeur
entre 0 et 1 selon une loi uniforme Réputé de qualité discutable, ce qui peut poser de graves
problèmes pratiques
Sont issus d’algorithmes purement déterministes À partir d’une racine donnée, on peut parfaitement déterminer
la suite de nombres « pseudo-aléatoires » « vu de loin », ces séquences déterministes sont assez similaires
à de « véritables » suites de nombres aléatoires.5
Finance et probabilités
Remarque incidente Si on n’est pas capable de prévoir un phénomène aussi
simple que le résultat d’un lancer de dé Alors que l’on connait les causes
Vitesse de lancer, angle, nature de la surface
Et les relations entre les causes et les effets Les équations de la mécanique
Il est peu crédible de prétendre prédire l’évolution du cours de l’euro par rapport au dollar Les causes sont beaucoup plus nombreuses Certaines mal identifiées a priori, mal hiérarchisées Les mécanismes entre causes et conséquences sont complexes et
controversées
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Rentabilités boursières : modèles aléatoires
Modélisation probabiliste des rentabilités boursières Le schéma standard de modélisation repose sur la connaissance par
les investisseurs d’un espace probabilisé
Espace probabilisé Ensemble d’états de la nature
Pour simplifier, toutes les valeurs possibles d’une rentabilité Probabilité
mesure de la « fréquence » des « événements ». « la probabilité que la rentabilité soit positive est de 50% »
Tribu de sous-ensembles de , appelés aussi événements Ces sous-ensembles vérifient certaines propriétés mathématiques Pour simplifier les choses, tout sous-ensemble de valeurs possibles sera
ici considéré comme un événement, c’est-à-dire que l’on pourra attribuer une probabilité à toute rentabilité
Dans l’exemple précédent, l’événement est « la rentabilité est positive »7
Rentabilités boursières : modèles aléatoires
Modélisation probabiliste des rentabilités boursières Différentes classifications du risque et de l’incertain
Distinction remontant à l’économiste Frank Knight
Identification ou pas des scénarios (états de la nature) Du fait de nos limites cognitives, de notre rationalité limitée Exemple : les autorités financières américaines n’avaient pas
identifié le scénario de 2008, la faillite de Lehman Brothers, la quasi-faillite d’AIG et leurs implications sur le système financier
We also know there are known unknowns; that is to say we know there are some things we do not know. But there are also unknown unknowns - the ones we don't know we don't know.
And if one looks throughout the history of our country and other free countries, it is the latter category that tend to be the difficult ones.
D. Rumsfeld à propos de la politique américaine en Irak en.wikipedia.org/wiki/There_are_known_knowns
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Rentabilités boursières : modèles aléatoires
Connaissance ou pas des lois de probabilité Ex: lois de probabilité uniforme
les états de la nature sont équiprobables Analogie avec le jeu de dés
Loi « normale » ou gaussienne très souvent utilisée pour les rentabilités boursières Les états de la nature correspondant à des valeurs extrêmes ont des
probabilités d’occurrence plus faible Courbe « en cloche » Dépendant de deux paramètres (moyenne et écart-type)
On peut utiliser d’autres lois de probabilités, les lois normales sous-estimant la probabilité de krachs boursiers par rapport à des variations normales des cours boursiers
Fama ou Mandelbrot ont par exemple considéré des lois dites « stables » ayant des variances infinies
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Rentabilités boursières : modèles aléatoires Connaissance ou pas des lois de probabilité
http://fr.reuters.com/article/frEuroRpt/idFRL6N0Q415T20140729?pageNumber=2&virtualBrandChannel=0
Annonce des résultats trimestriels 2014 de Deutsche Bank Dans la perspective du versement d'amendes et de règlements à
l'amiable et d'un éventuel besoin de fonds propres additionnels identifié dans le cadre des tests de résistance en cours sous l'égide la Banque centrale européenne, Deutsche Bank a levé en juin 8,5 milliards d'euros afin de renforcer son bilan.
"Il y a une incertitude de taille sur le calendrier et sur l'ampleur de l'impact potentiel. Par conséquent, le coût réel des frais de justice sur le bilan de l'exercice 2014 est imprévisible" a toutefois prévenu la banque.
Ici, la banque se refuse à communiquer une valeur moyenne ou un intervalle de confiance des coûts juridiques Peu d’éléments de comparaison, grande variabilité des sanctions,
durcissement ou pas de la politique judiciaire aux États-Unis10
Finance et probabilités
Le non-déterminisme des cours boursiers (futurs) est un élément important de la théorie financière moderne Par opposition au « démon (ou au génie) de
Laplace » qui disposerait d’une intelligence … «Une intelligence … Rien ne serait incertain pour
elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. »
Pierre-Simon Laplace, 1814 Ceci remet en cause le rôle des analystes financiers,
des gérants de portefeuilles Mais pour des investisseurs « initiés », disposant
d’informations privilégiées et de capacités supérieures à traiter ces informations, « les dés sont pipés »
Voir Grossmann et Stiglitz pour une analyse plus poussée
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Finance comportementale, probabilités
Des biais cognitifs ont été mis en évidence par les psychologues et les économistes Finance comportementale
D. Kahneman étudie les mécanismes cognitifs et les constructions déformées du passé et de l’avenir Biais de reconstruction, biais d’optimisme
Examine la prise de décision financière en faisant le lien entre psychologie, microéconomie et développement du capitalisme Part III Overconfidence Part IV Choices
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Finance comportementale et probabilités
Mise en perspective de la théorie de l’utilité espérée Von Neumann et Morgenstern Principal outil de la théorie
microéconomique Et de ses limites en matière de
gestion des risques Aversion aux pertes Cadrage en gros plan Concepts très utiles pour tout
décideur financier
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« Biais d’optimisme » Surestimation de ses capacités
Tendance à surévaluer les chances de succès et minimiser les risques d’échec
Notamment en matière d’investissements boursiers et au niveau des entreprises
Ne pas confondre initié et prétentieux ! Sous-estimer les capacités des
«adversaires » Si un vendeur trouve avantageux de vendre à
un prix donné, pourquoi lui acheter à ce prix ? Un teneur de marché (market maker) est-il un
concurrent ou un conseiller de ses « clients » ?
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http://www.youtube.com/watch?v=qzJxAmJmj8w
http://www.philomag.com/les-idees/entretiens/daniel-kahneman-les-gens-sont-infiniment-compliques-7155
Finance et probabilités Hasard et incertitude créent un sentiment
d’insécurité D. Kahneman en équations :
Success = talent + luck Great success = a little more talent + a lot of luck.
Tendance à surévaluer le talent de ceux qui ont réussi par rapport à la part de la chancedans leur succès Cela ne veut pas dire qu’ils manquent de talent, ni
d’humour …
Un biais cognitif courant consiste donc à minimiser l’effet du hasard
Ceci contribue d’ailleurs à alimenter le besoin en prévisionnistes et experts « Financial gurus »
http://www.marketoracle.co.uk/Article43686.html 15
L’oracle d’Omaha …
Prévision à 3 ans du niveau des actions US, site marketoracle
Finance et probabilités
Biais de sélection, biais du survivant Processus de sélection naturelle
Darwin place le hasard au centre de l’évolution Les gérants de portefeuilles qui se trompent font
perdre de l’argent à leurs clients disparaissent … Il ne subsiste que des gérants chanceux …
Éventuellement talentueux, mais avant tout chanceux
Tests statistiques de la mesure de performance en corrigeant ces biais
“False discoveries in mutual fund performance: Measuring luck in estimated alphas” Barras, Scaillet & Wermers Journal of Finance 2010
New York Times : The prescient are few http://www.nytimes.com/2008/07/13/business/13stra.html?_r=0
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We are profoundly ignorant of the causes
producing (…) variations
and as we do not see the cause, we invoke cataclysms to desolate the world, or invent
laws on the duration of the forms of life!
Citations de Darwin
Finance et probabilités
Considérons que des déterminismes complexes puissent être vus comme le fruit du hasard Est-on pour autant revenu au niveau zéro de la connaissance ? Non, car la connaissance est celle de la loi de probabilité qui
« gouverne » l’apparition du phénomène. Par exemple, la probabilité de tirer 421 est de … C’est une certaine connaissance
C’est ce à quoi prétend la finance moderne On a déplacé le champ de la connaissance Dans ce contexte, il est possible de prendre des décisions
intelligentes en matière de choix d’investissement17
Finance et probabilités
Différence entre jeu de dés et évolution des cours boursiers ?
Dans le cadre d’une modélisation probabiliste Pour le jeu de dés (non pipés), on connaît a
priori la loi de probabilité d’apparition des numéros, par la nature même du jeu.
On ne connaît pas a priori la probabilité que la rentabilité boursière demain d’une action donnée soit positive. Certains pourraient penser que c’est ½ Mais ne prend pas en compte les primes de risque Rentabilité attendue augmente avec le risque Et l’asymétrie des rentabilités Moins de variations à la baisse, mais de plus
grande amplitude Krachs boursiers
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Finance et probabilités Déterminer des probabilités d’occurrence d’événements
futurs À partir d’observations historiques ou par la répétition
d’expériences Objectif de la statistique inférentielle
Pour un jeu de dés, faire un grand nombre de lancers « tirages indépendants »
Calculer la fréquence d’apparition d’un nombre donné, disons 3 Nombre d’apparitions du nombre 3 rapporté au nombre de
tirages Ceci donne une bonne approximation de la probabilité
d’apparition de ce nombre Loi des grands nombres, théorème central limite
On parle d’approche fréquentiste et de probabilité objective19
Finance et probabilités
Il faut pouvoir répéter un grand nombre d’expériences de « tirages » de dés de manière « indépendante » Situation idéale : tirages indépendants et
identiquement distribués (iid) Identiquement distribué veut dire que l’on
joue toujours au même jeu La loi de probabilité est la même à chaque
nouvelle expérience Ceci correspond à la notion de risque au
sens de Frank Knight (1921) Et correspond en première approche à des
« risques assurables »20
F. Knight
Finance et probabilités
Une autre vision des probabilités Degré de croyance dans la survenance d’un événement ou dans
la plausibilité d’une hypothèse Souvent un événement de nature unique Ne se prêtant donc pas à une répétition d’expériences
Opinion personnelle dires d’expert, Opinion collective Probabilité que B. Obama soit réélu Selon vous-même, d’après les sondages, les bookmakers, … Certains auteurs comme Ramsey (1931) ou Savage (1954)
insistent sur la notion de « probabilité subjective » Ces degrés de croyance peuvent être réévalués en fonction des
interactions avec d’autres agents ou de nouvelles informations Ceci peut donner un caractère rationnel à ces « croyances »,
Keynes (1921)21
L. Savage
Finance et probabilités
En finance, on retrouve cette dualité d’approches Approche classique, objective, fréquentiste des probabilités
appliquées aux rentabilités boursières Les principaux éléments de décision (espérance et écart-types des
rentabilités, …) peuvent alors être déterminés par des méthodes statistiques standard
Ces quantités sont supposées stables au cours du temps Approches privilégiant l’analyse des croyances subjectives
sur le futur telles que reflétées dans les prix de marché Ou en fonction des opinions d’expert Certains acteurs de marché peuvent considérer que de telles
probabilités « prospectives » peuvent être déterminées D’autres qu’elles sont indicatives avec un degré de confiance variable Les acteurs de marché ne pensent pas qu’on « joue » à un jeu dont les
règles seraient fixes22
Finance et probabilités
Comment reconnaître l’aléatoire ? Comme le montre bien D. Kahneman, l’appréhension
cognitive de l’aléatoire n’est pas naturelle et demande un « effort » et une éducation de l’esprit Recherche de causalités a posteriori donnant l’illusion de liens de
cause à effet (narrative fallacy) Le « système 1 » du cerveau humain est une « machine
interprétative » (jumping to conclusions)
Exemples de biais cognitifs courants On suppose que les rentabilités boursières suivent une marche
aléatoire À la date courante, le « hit » prend la valeur 1 si la rentabilité est
positive, 0 sinon. Une chronique boursière va alors induire une suite de valeurs 101101
23
Finance et probabilités Comment reconnaître l’aléatoire ?
Si l’hypothèse de marche aléatoire est vérifiée, alors les valeurs successives de 0 ou de 1 sont indépendantes et la probabilité d’obtenir la valeur 0 ou 1 est ½ Comme dans un jeu de pile ou face
Considérons maintenant les suites de valeurs suivantes 11111111 (le marché boursier est haussier à toutes les dates) 10101010 (les hausses compensent les baisses afin qu’il y ait autant de
hausses que de baisses) 11110000 (le marché suit d’abord une tendance haussière régulière et se
retourne) 10110011 (le marché évolue de manière erratique avec une tendance à la
hausse).
Quelles sont les évolutions qui vous semblent typiques d’une marché aléatoire et celles qui ne le sont pas? Quelles sont les évolutions les plus probables, les moins probables ?
24
Finance et probabilités Comment reconnaître l’aléatoire ? L’exemple précédent illustre les problématiques associées au
big data et au data mining en matière financière
Autre exemple du même type
Graphique de gauche : distribution équirépartie « uniforme » totalement non aléatoire
Graphique de droite : distribution tirée d’une loi de probabilité uniforme
25
Comment reconnaître l’aléatoire ?
Londres au moment de la 2ième guerre mondiale: Répartition des impacts des V1
On remarque que les régions Nord-Est est Sud-Ouest sont épargnées
On a supposé que les Allemands évitaient de bombarder ces zones pour protéger leurs espions
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Finance et probabilités
« Contrarian vs momentum»
27
Warren Buffet
Les stratégies momentum parient sur l’extrapolationde tendances, les stratégies contrarian sur un retourà la moyenne. Dans un cas comme dans l’autre, onne croit à l’hypothèse de marchés efficients
Finance et probabilités Comment reconnaître l’aléatoire ?
Reprenons notre graphique et divisons le en 4 parties égales séparées par les diagonales
Les impacts sont maintenant régulièrement répartis … How We Know What Isn't So: The Fallibility of Human Reason in
Everyday Life, T. Gilovitch, http://bias123.com/clustering_illusion Un test statistique formel (Clarke, 1946) ne permet pas de rejeter
l’hypothèse d’une distribution uniforme http://jumpthecurve.net/change/unlearning-lesson-26-stop-looking-for-patterns/ http://www.squawkpoint.com/2013/01/patterns-in-data/
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Finance et probabilités Comment reconnaître l’aléatoire ?
Recherche de « causalités » a posteriori « Narrative fallacy » (Nassim Taleb)
Reconstruction du passé afin de lui donner un sens Le jour où Saddam Hussein a été capturé, les prix des
bons du trésor américain ont augmenté Bloomberg transmis le flash d’information suivant US Treasuries rise; Hussein capture may not curb
terrorism ½ heure après, les prix des bons du trésor américain
repartent à la baisse et Bloomberg révise son gros titre US Treasuries fall; Hussein capture boosts allure of
risky assets Tendance à reconsidérer ses propres croyances
(passées) en fonction du futur réalisé Biais rétrospectif (Baruch Fischhoff) Exemple de la sortie de la Grèce de la zone euro 29
Finance et illusions statistiques
Les graphiques précédents ont une implication pratique pour la gestion financière… En abscisses, la rentabilité en 1, en ordonnées la
rentabilité en Les points de coordonnées , , , étant situés
en haut à gauche (deuxième quadrant) et en bas à gauche (quatrième quadrant)
Ou encore plutôt le long de la seconde bissectrice Il s’agit d’un « claire indication » en faveur d’une
stratégie « contrarian » Hausse tend à être suivie d’une baisse et vice versa « retour à la moyenne »
Acheter après une baisse et vendre après une hausse À ne pas confondre avec acheter au son du canon et
vendre au son du clairon
30
,
,
Buy to the sound ofcannons, sell to thesound of trumpetsNathan Rothschild 1810
Mais on a de bonnes raisons de penser qu’une baisse peut être suivie d’une hausse
Rothschild et la bataille de Waterloo Selon la « légende », la bourse de Londres était
suspendue à l’issue de la bataille de Waterloo Tous les opérateurs étaient à l’affût de ce
qu’allait faire le courtier des Rothschild En effet, ceux-ci disposaient d’un réseau
d’information privilégié qui leur permettrait de connaître l’issue de la bataille avant les autres
À un moment donné, on vit leur courtier s’agiter et donner des ordres de vente sur les « consols » des obligations perpétuelles émises par l’état anglais Rapportant typiquement un coupon de 3%
Il s’ensuivit un véritable krach, le prix des consols baissant d’environ 95%
31
Finance et prix des actifs
Rothschild et la bataille de Waterloo Ce qui permit aux Rothschild d’acheter au plus bas D’acheter à 0,05 et de revendre à 1 (pair) ou plus
Ceci est largement romancé Et non dénué d’arrière-pensées …
Le montant allégué des gains n’est pas compatible avec la taille du marché des obligations à l’époque
Selon Ferguson, N. Rothschild disposait d’un important stock d’or : « valeur refuge »
Pris de court par la rapidité de la victoire et ne pouvant vendre rapidement
« Couverture » en achetant des obligations d’état anglaises Au bon moment car il était effectivement un front runner À la différence du HFT, où la « force brute » (traitement le plus
rapide des nouvelles) est le principal facteur de gain Il fallait prendre en compte les stratégies des autres agents
comme dans le concours de beauté keynésien32
Il jouait à la baisse, et montait à mesure Que notre chute était plus profonde et plus sûre ; (….)Un million joyeux sortit de Waterloo ; Si bien que du désastre il a fait sa victoire.
Victor HugoContemplations, Melancholia, 1838
THE HOUSE OF ROTHSCHILDMoney's Prophets, 1798-1848
Finance et dynamique des prix des actifs
Il existe effectivement des situations où une forte baisse peut être succédée par une forte hausse des cours « cash-in the market », Allen et Gale (2004)
From Cash-in-the-Market Pricing to Financial Fragility http://www.nyu.edu/econ/user/galed/papers/paper04-09-03.pdf
En cas de crise de liquidité, des investisseurs ayant emprunté sont forcés de vendre à prix bradé leurs actifs « fire sales », une sorte de trou d’air dans les prix
Ceux qui sont en position de force sont les fournisseurs de liquidités Eux seuls disposent de quoi racheter ces titres
Exemple typique : la Fed, prêteur en dernier ressort au moment de la crise de 2008 Transparents suivants Accroissement des achats de créance hypothécaires, source de profit importante Reversement gigantesque de bénéfices au trésor public
33
Finance et dynamique des prix des actifs
Quantitative easing : augmentation du bilan et achats d’actifs risqués par la Fed après la faillite de Lehman
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En orange, achats massifs de titres hypothécairesMBS : mortgagebacked securities
On voit qu’une partie importante des résultats est liée à l’achat de titres hypothécaires dépréciés.
Il faudrait décomposer les 45 milliards de dollars de résultats en plus-values sur titres, produits financiers (intérêts reçus) et pertes liées au non-remboursement
And it made $26 billion from its holdings of $1.1 trillion in government debt.
The Fed also made $45 billion from its portfolio of roughly $1 trillion in mortgage-backed securities.
The financial statements show that the Fed earned about $3.5 billion last year from the Maiden Lane subsidiaries it created to buy assets from the investment bank Bear Stearns and the insurance company American International Group
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http://www.nytimes.com/2011/03/23/business/economy/23fed.html?_r=2&ref=business&
Finance et dynamique des prix des actifs
36http://www.federalreserve.gov/pubs/feds/2013/201301/index.html#fig3
Montants reversés par la Fed au trésor américain (en milliards de dollars)On constate une augmentation notable à partir de 2009 et une explosion dès 2010.
Le montant reversé en 2013 est de 79,6 milliards de dollars
Finance et dynamique des prix des actifs
Un timing parfait pour les achats ? Évolution de l’indice S&P500 depuis 1997
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Finance et dynamique des prix des actifs
Un timing parfait pour les achats ?
38http://www.oftwominds.com/blogapr14/Fed-housing4-14.html
Les indications relatives auxdates d’achat de la Fed sonttirées du site cité et sont ànuancer. Les achats de la Fedn’ont pas tous eu lieu au meilleurmoment et ont été étalés. Onconstate néanmoins des achatsimportants dans les momentsopportuns et un allègement duportefeuille quand le marché estau plus haut.
Évolution de la richesse en jouant à pile ou face (gain de +/- un euro) : marche aléatoire
le tracé met en évidence des tendances A posteriori, peuvent être aussi bien haussières que baissières L’absence de tendance est l’exception, plutôt que la règle
En outre, les évolutions purement aléatoires présentent des aspects cycliques …
Finance et probabilités Comment reconnaître l’aléatoire ?
39
Sans être un statisticien, Fama a posé des questions importantes quant à la dynamique des prix des actifs financiers.
La notion d’efficience faible des marchés est associée à celle de marche aléatoire.
Ces différents concepts financiers ou statistiques ont été précisés par la suite
Le graphique de gauche montre l’évolution de la richesse en jouant à pile ou face (gain de +/- un euro) : marche aléatoire
Le graphique de droite représente l’évolution de la richesse d’un actionnaire américain entre 2007 et 2013 On aimerait bien dire que le marché devrait bientôt se retourner Alors que sous l’hypothèse de marche aléatoire, il peut aussi bien
continuer à monter que rebaisser
Finance et probabilités Comment reconnaître l’aléatoire ?
40
Finance : Comment reconnaître l’aléatoire ?
To the untrained eye, randomness appears as regularity or tendency to cluster
William Feller Les statisticiens Dickey et Fuller se sont intéressés à
diverses dynamiques souvent retenues pour les rentabilités boursières
Par exemple, , ∼ 0, Les statistiques permettant de tester diverses hypothèses
comme 0 ou 0 sont spécifiques 0, 0 correspond à l’absence de tendance et de
force de rappel Un rapide calcul montre que pour une volatilité annuelle
de 25%, on a en moyenne une augmentation de 20% pour un marché haussier Et une diminution de
41
Dickey
Feller
Fuller
Comment lit-on les données ?
Les deux systèmes cognitifs Système automatique ou système 1
Intuitif, instinctif Système réflectif ou système 2
Rationnel
42
Système automatique Système réflectifNon contrôlé ContrôléSans effort Exige des effortsAssociatif Déductif
Rapide LentInconscient Conscient
Exprime un talent Applique des règles
Comment lit-on les données ?
Deux tables (R. N. Shepard (1990), MindSights)
43
Comment lit-on les données ? Évaluation des dimensions des deux tables Le système 1 nous indique que la table de gauche est plus
longue et étroite que celle de droite Une estimation moyenne est que
La table de gauche est trois fois plus longue que large Celle de droite est une fois et demi plus longue que large
En fait, les dimensions des deux tables sont identiques Biais visuel Il ne suffit pas de voir pour croire …
Il s’agit d’une erreur de jugement Celui qui la commet est pourtant persuadé qu’il a raison Dès des raisonnements statistiques et de prise de risque sont
en jeu, ce type de biais est fréquent44
Comment lit-on les données ?
Deux tables (R. N. Shepard (1990), Mind Sights)
45
Parce que tu m’as vu, tu as cru. Heureux ceux qui n’ont
pas vu, et qui ont cru !Jean 20, 29
L’incrédulité de Saint Thomas
Pour aller plus loin
Nudge, la méthode douce pour inspirer la bonne décision
Nudge: Improving Decisions About Health, Wealth, and Happiness
Richard H. Thaler et Cass R. Sunstein R. Thaler, université de Chicago
un des pères de la finance comportementale Behavioral finance
Partie 2 : l’argent 6 Demain, j’épargnerai plus 7 L’investisseur candide 8 Le crédit : la bouteille à l’encre
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Finance, probabilités, statistiques et leur bon usage
Quelques références complémentaires sur les problèmes méthodologiques A Statistical Guide for the Ethically Perplexed
L. Hubert & H. Wainer http://www.crcpress.com/product/isbn/9781439873687
Le livre ne concerne pas particulièrement la finance, mais on retrouve les mêmes problèmes méthodologiques dans d’autres domaines où les données sont importantes pour la prise de décision
4.3 : paris et le « spread betting », 5 : corrélation et 6 : prévision http://www.youtube.com/watch?v=6c1WDlTXceM (pour une
présentation par un des auteurs Transparents sont en accès libre, mais moins en rapport avec le cours
Ce que mesurent les probabilités M. Cozic & B. Walliser
http://www.centre-cournot.org/?wpfb_dl=114 Ontologique/objectif/irréductible/fréquentiste vs
épistémique/subjectif/radical/révélation
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La théorie du portefeuille : préférences des investisseurs
Préférences moyenne-variance Rentabilité d’un portefeuille de titres Espérance et écart-type de la rentabilité d’un portefeuille de
titres Cas de deux titres (ou portefeuilles de titres) Cas où le coefficient de corrélation est égal à un Dépendance de l’écart-type de la rentabilité par rapport au
coefficient de corrélation Frontière efficiente des actifs risqués
Concavité de la frontière efficiente Capital Market Line
Actif sans risque + actif risqué Théorème de séparation en deux fonds
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Théorie du portefeuille : préférences des investisseurs
Toutes choses égales par ailleurs, un investisseur préfère détenir une action dont l’espérance de rentabilité est élevée.
D’autres motifs peuvent intervenir dans les choix Développement durable, responsabilité sociale des entreprises
L’écart-type est une mesure du risque pris. Plus l’écart-type de la rentabilité est élevé, plus les rentabilités sont
dispersées Il est couramment admis que les investisseurs font preuve d’aversion
vis-à-vis du risque Il existe d’autres mesures des risques pris, mais l’écart-type reste la
plus populaire et la plus maniable
On considère donc souvent qu’un investisseur préfère détenir une action dont l’écart-type de rentabilité est faible
49
Théorie du portefeuille : préférences des investisseurs
La variance, tout comme l’écart-type de la rentabilité d’un titre est une mesure du risque associé à ce titre On utilise souvent le terme « volatilité » en
finance pour faire référence à l’écart-type de la rentabilité
Il peut s’agir de la rentabilité d’un titre ou de la rentabilité d’un portefeuille de titres
Un titre dont la rentabilité est certaine a une variance nulle
Actif ou placement sans risque
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Théorie du portefeuille : préférences des investisseurs
On supposera dans la suite que les investisseurs sont averses vis-à-vis du risque
Dans notre formalisme, à espérance de taux de rentabilité donné
Ils préféreront un titre ou un portefeuille de titres dont la rentabilité a une variance plus faible
En microéconomie, l’aversion vis-à-vis du risque est associée au caractère concave de la fonction d’utilité
51
Théorie du portefeuille : préférences des investisseurs
Plan « moyenne-écart-type » et préférences des investisseurs Préférences moyenne-variance Un investisseur préfère un titre (portefeuille) d’espérance de
rentabilité plus élevé à niveau d’écart-type de rentabilité donné Un investisseur préfère un titre (portefeuille) d ’écart-type de
rentabilité plus faible à niveau d’espérance de rentabilité donné
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Écart‐type des rentabilités
Espérance des rentabilités
Titre 1
PE
1 1E E R
1
Titre 2
2
Le titre 2 est préféré au titre 12 2E E R
3
Le titre 3 ne peut être comparé au
titre 1
P
3 3E E R
La théorie du portefeuille : préférences des investisseurs
Chapitre 1 : préférences des investisseurs Décision financière en situation de risque
Toute choses égales par ailleurs, un investisseur préfère un placement dont l’espérance de rentabilité est plus élevée
Toutes choses égales par ailleurs, un investisseur préfère un placement dont le « risque » est plus faible
Risques et opportunités
Introduction à la théorie de l’espérance de l’utilité Critère dominant en économie du risque et en finance de
marché Introduit par von Neumann et Morgenstern
S’applique aux choix en environnement « risqué » par des individus plutôt que des organisations
Alternatives : « prospect theory », finance comportementale
Éléments de microéconomie pour le chapitre 2. Présentation des préférences moyenne-variance
La lecture du chapitre 1 est facultative53
La théorie du portefeuille : préférences des investisseurs
Préférences moyenne-variance et finance comportementale Le cadre précédent comporte de nombreux
avantages Il peut être relié de manière raisonnable à la
théorie microéconomique du risque Il permet de développer une ingénierie de la
gestion de portefeuilles Avec de nombreuses implications pratiques Ces implications peuvent être testées Il est connu et compris par une large
communauté de professionnels de la finance Ses limites sont également connues Il ne rend que partiellement compte des
avancées récentes dans la modélisation des attitudes des agents économiques vis-à-vis du risque
54
La théorie du portefeuille : frontière efficiente Plan « moyenne-variance »
Préférences moyenne-variance Un investisseur préfère un portefeuille d’espérance de
rentabilité plus élevé à niveau d’écart-type donné Un investisseur préfère un portefeuille d ’écart-type de
rentabilité plus faible à niveau d’espérance donné
55
Écart‐type des rentabilités
Espérance des rentabilités
Titre 1
PE
1 1E E R
Titre 2
2
Le titre 2 est préféré au titre 1
Le titre 3 ne peut être comparé au
titre 1
3 3E E R
2 2E E R
13 P
La théorie du portefeuille : frontière efficiente
Frontière efficiente des actifs risqués On part d’un ensemble de titres On s’intéresse aux portefeuilles
constitués à partir de ces titres Ensemble des portefeuilles de titres qui
à espérance de rentabilité donnée minimisent l’écart-type Ou des portefeuilles qui à niveau d’écart-
type des rentabilités donné maximisent l’espérance de rentabilité
On représente ces portefeuilles dans le plan écart-type de la rentabilité –espérance de rentabilité Les investisseurs ayant des préférences
moyenne-variance vont préférer des portefeuilles sur la frontière efficiente 56
Écart‐types des rentabilitésEn abscisses
Espérances des rentabilitésEn ordonnées
La théorie du portefeuille : frontière efficiente
57
à chaque point correspond un
portefeuille d’actifs risqués
Frontière efficiente des actifs risqués dans le plan (écart‐type des rentabilité, espérance des
rentabilités)
Portefeuille de variance minimale. La pente de la frontière efficiente
est infinie en ce pointÉcart‐type de la rentabilité
La zone située au dessus et à gauche de la frontière efficiente ne peut
être atteinte par aucun portefeuille
Frontière efficienteDes actifs risqués
La théorie du portefeuille : frontière efficiente Formalisation
Optimisation sur l’ensemble des titres
Sous contraintes
Ou minimisation de la variance (fonction quadratique) Sous contraintes linéaires Écritures matricielles On peut se ramener au cas de deux actifs risqués Frontière efficiente : branche d’hyperbole
58
1 , ,1
MaxI
I
X X P i ii
E X E
2 2 2
1 1 1,constante
I I I
P i i ij i j i ji i j j i
X X X
1I
ii
X
Frontière efficiente
Contribution d’Harry Markowitz Utilisation de la théorie des probabilités et des techniques
d’optimisation pour la constitution de portefeuilles
Ce recours à la modélisation a permis de définir de manière précise quels étaient les portefeuilles « efficients » Frontière efficiente des actifs risqués Capital Market Line
Ceci suppose de considérer les rentabilités comme des variables aléatoires La familiarité avec les probabilités et des statistiques est
utile Espérance, variance, écart-type, lois de probabilité…
59
Remise du prix Nobel
d’économie à H. Markowitz
La théorie du portefeuille : frontière efficiente Frontière efficiente des actifs risqués
http://www.viddler.com/explore/RoyalVideosTV/videos/367/ 3 minutes et 46 secondes
Would you elaborate on the efficient frontier? Par Harry Markowitz
60
La théorie du portefeuille : concavité de la frontière efficiente
La frontière efficiente est concave
61
On va démontrer que la situation présentée sur le graphique est impossible.
La corde reliant les points A et B doit être à droite et non à
gauche de la frontière efficiente
AEBE
A B
Corde ou segment de droite reliant les points A et B
Concavité de la frontière efficiente
Définition d’une fonction concave f Une fonction réelle f est concave si et seulement si :
Interprétation géométrique La corde reliant les points et est en
dessous du graphe associé à la fonction f :
Ici correspond aux coordonnées du point A correspond aux coordonnées du point B
62
On remarque que dans la définition de la concavité
La théorie du portefeuille : concavité de la frontière efficiente Fonction f concave : interprétation géométrique
63
A
B
A AE f
0 1X
Graphe de f
Corde reliant A et B
Le graphe de f est au‐dessus de la cordeL’étoile rouge est au‐dessus de l’étoile bleue
B BE f
1A Bf X X
1A BXE X E
1A BX X
PE
AB
La théorie du portefeuille : concavité de la frontière efficiente Fonction f concave : interprétation géométrique
64
A
B
A AE f
0 1X
Graphe de f
Corde reliant A et B
La corde est à droite du graphe de fL’étoile rouge est à gauche de l’étoile bleue
B BE f
1A Bf X X
1A BXE X E
1A BX X
PE
AB
65portefeuilles constitués de A et B
Remarque : pour tout niveau de corrélation, un portefeuille combinant A et B en quantités positives se
situe à gauche de la corde qui relie A et BDémonstration voir transparent suivant
La théorie du portefeuille : concavité de la frontière efficiente ,
66
A
B
Corde reliant A et B
Étape 2 :Z est sur la corde reliant A à B
Utiliser , ,,
ou
PE
AB
P Z
Étape 1 : P est à gauche de Z
67portefeuilles constitués de A et B
La frontière efficiente étant elle‐même à gauche de l’ensemble des portefeuilles combinant A et B, elle est concave
En effet un portefeuille efficient, d’espérance de rentabilité donnée aura un écart‐type inférieur ou égal au portefeuille de même espérance formé de A
et de B
Concavité de la frontière efficiente : résumé
On considère deux portefeuilles situés sur la frontière efficiente A et B
L’ensemble des portefeuilles constitués de A et B est à gauche du segment de droite reliant A et B Voir graphique précédent
La frontière efficiente est elle-même au-dessus et à gauche de cet ensemble de portefeuilles Voir graphique de droite
Par transitivité, la frontière efficiente est à gauche de la corde reliant A et B
68
Ils sont donc situés sous la frontière efficiente
Les portefeuilles constitués de A et de B sont eux‐mêmes des portefeuilles de titres
La frontière efficiente est concave
concavité de la frontière efficiente : résumé
69
On vient de démontrer que la situation présentée sur le graphique est impossible.
La corde reliant les points A et B doit être à droite et non à
gauche de la frontière efficiente
Ce qui caractérise la concavité
AEBE
A B
Corde ou segment de droite reliant les points A et B
Actif sans risque + actif risqué
Portefeuilles obtenus par combinaison d’un actif sans risque et d’un actif (ou portefeuille) risqué
70
PE
Actif sans risque
1 FE R
Espérance de rentabilité
2
‐ Écrivons l’espérance et l’écart‐type d’un portefeuille composé de l’actif sans risque A et de l’actif risqué B
‐ On noter la proportion de la richesse investie dans B
B
A
2E
P
Actif sans risque + actif risqué
On constitue un portefeuille constitué de deux actifs rentabilités des titres A et B Espérances des rentabilités : ,
écart-type de la rentabilité du titre B
Le titre A est « sans risque », sa rentabilité n’est pas aléatoire
Rentabilité du portefeuille , On va s’intéresser à l’espérance et à l’écart-type de
71
Actif sans risque + actif risqué
On constitue un portefeuille constitué de deux actifs Espérance de la rentabilité du portefeuille
Variance de la rentabilité du portefeuille
si , d’où
En éliminant , on obtient le lien entre espérance et écart-type
Relation affine entre et 72
Actif sans risque + actif risqué
73
2 11
2P P
E EE E
Portefeuilles combinant un actif sans risque et un actif risqué
Une quantité négative d’actif sans risque signifie que l’on emprunte au lieu de prêter au taux sans risque
(effet de levier)
On a supposé ici que le taux de prêt et le taux d’emprunt sont égaux (à )
Traiter le cas où les taux de prêt et d’emprunt sans risque diffèrent …
Espérance de rentabilité
Relation affine entre et
Actif sans risque + actif risqué
74
Pour comprendre comment on se déplace sur la demi‐droite en fonction de la composition du portefeuille, il suffit de revenir à l’équation
Une quantité négative d’actif sans risque signifie que l’on emprunte au lieu de prêter au taux sans risque
(effet de levier)
Espérance de rentabilité
⇒⇒
2 21 PX E E
Actif sans risque + actif risqué Sur la demi-droite précédente,
Interprétation financière du cas Le titre risqué B est vendu à découvert Revenons sur les équations donnant
Si
D’où :
C’est l’équation d’une demi-droite Voir la demi-droite orangée sur le transparent suivant
75
1 2 2 12 2 2
2 2 2 2
P
P P
E E X E EX X
Actif sans risque + actif risqué
76
2 11
2P P
E EE E
2 11
2P P
E EE E
2 0X
2 0X
Portefeuilles combinant actif sans risque et actif risquéPE
Les portefeuilles situés sur la demi‐droite orange AX sont dominés par ceux situés sur la demi‐droite AZ.
A
X
Actif sans risque + actif risqué
77
On ne peut pas comparer directement les portefeuilles B et C
Actif sans risque + actif risqué
78
On ne peut pas comparer directement les portefeuilles B et C
C’
En combinant C avec l’actif sans risque on peut obtenir le
portefeuille C’ qui domine B
Actif sans risque A
Le portefeuille d’actifs B ne sera donc jamais détenu par les investisseurs qui préfèreront C
Le portefeuille C est donc préféré à B dès que la pente de la demi‐droite AY est supérieure à celle de la demi‐droite AZ
C f B f
C B
E r E r
CE
C
BE
« Capital Market Line » (CML) En noir, frontière efficiente des actifs risqués Elle est concave, on la suppose sans angles En rouge, la demi droite d’origine l’actif sans risque
est tangente à la frontière efficiente des actifs risqués
79
Portefeuille tangent
En noir, frontière efficiente des actifs risqués
Portefeuille sans risque FR
Espérance de rentabilité
« Capital Market Line » (CML)
En abscisses, niveau de risque d’un portefeuille En ordonnées, l’espérance de rentabilité
80
Portefeuille sans risque FR
En noir, frontière efficiente des actifs risqués
Espérance de rentabilité
Portefeuille tangent
Portefeuilles sous‐optimaux
La CML maximise
« Capital Market Line » (CML) L’extrémité gauche de la CML correspond à un portefeuille
investi à 100% en actif sans risque La CML s’obtient en reliant ce point au point de tangence à
la frontière efficiente des actifs risqués
81
Portefeuille tangent
Espérance de rentabilité
Portefeuille sans risque FR
« Capital Market Line » (CML) Tous les portefeuilles sur la CML sont constitués de
placement sans risque et de portefeuille tangent En des proportions variables Théorème de séparation en deux fonds
Les individus détiennent plus ou moins d’actif risqué en fonction de leur aversion vis-à-vis du risque Pour atteindre un niveau de rentabilité supérieur à celui
du portefeuille tangent il est nécessaire d’emprunter pour acheter des titres
risqués Effet de levier Actionnaires d’une entreprise finançant une partie de leurs
actifs par endettement82
« Capital Market Line » (CML) Tous les investisseurs détiennent le même portefeuille
constitué de titres risqués Le portefeuille tangent
Et le placement sans risque Seules les proportions varient Pour un investisseur raisonnant en $, un placement sans
risque en € est risqué et vice-versa. Le portefeuille de marché est le portefeuille constitué de
tous les titres risqués offerts aux investisseurs À l’équilibre, les titres émis par les entreprises sont détenus
par les investisseurs Le portefeuille tangent est égal au portefeuille de marché
Égalité entre titres offerts aux investisseurs et titres détenus83
« Capital Market Line » (CML)
L’existence d’un unique portefeuille tangent est liée à la concavité de la frontière efficiente
84
Situation hypothétique où l’on pourrait avoir deux
portefeuilles tangents
Dans une telle situation, les
investisseurs ne détiendraient pas tous une fraction du portefeuille de
marché
« Capital Market Line » (CML)
Le meilleur portefeuille constitué d’actifs risqués est le portefeuille de marché Composé de tous les actifs existants Problèmes pratiques
Non divisibilité de certains actifs Immobilier, œuvres d’art, etc. On peut constituer une SCI pour partager la
propriété de ces actifs, mais cela est onéreux Non négociabilité de certains actifs
non cotées sur des marchés organisés Nombre considérable d’actifs négociés sur
des marchés organisés Portefeuilles avec un nombre raisonnable
d’actifs Indices boursiers ?
85
À la recherche du portefeuille de marché
« Capital Market Line » ex-ante (CML)
En abscisses, le niveau de risque d’un portefeuille En ordonnées, l’espérance de rentabilité
86
Portefeuille sans risque FR
P
En noir, frontière efficiente des actifs risqués
Espérance de rentabilité
Portefeuille tangent=
portefeuille de marché
« Capital Market Line » (CML) On combine le portefeuille de marché Et l’actif sans risque
87
Portefeuille sans risque
P
En noir, frontière efficiente des actifs risqués
portefeuille de marché
Espérance de rentabilité du portefeuille de
marché
M
Écart‐type du portefeuille de marché
M FP F P
M
E RE R
Espérance de rentabilité
Équation de la CML
FR
« Capital Market Line » (CML) La notion de prime de risque et de prix de marché du risque
88
Portefeuille sans risque
P
portefeuille de marché
M
M FP F P
M
E RE R
Espérance de rentabilité
M F
M
E R
Prix de
marché du risque
Pente de la CMLÉtudiez
le cas oùM FE R
FR
« Capital Market Line » (CML) Effet de levier
On obtient des rentabilités supérieures à celles du portefeuille de marché en empruntant au taux sans risque
89
Portefeuille sans risque
P
portefeuille de marché
M
M FP F P
M
E RE R
Espérance de rentabilité À droite du
portefeuille de marché, les investisseurs empruntent au taux sans risque
P M
P M
E E
FR
« Capital Market Line » (CML) Ratio de Sharpe : maximal pour les portefeuilles efficients
90
Si le portefeuille de marché est efficient, son ratio de Sharpe
est maximalAEBE
A f
A
E R
B f
B
E R
Ici, A est préféré à B
La théorie du marché du capital : portefeuille de marché ?
Portefeuille de marché ? 250 premières capitalisations
boursières mondiales 1er octobre 2008 Prééminence des États-Unis
Capitalisation cumulée 11 000 milliards $ = NYSE
Source Vernimmen
La théorie du marché du capital : portefeuille de marché ?
92
Loi de probabilité(ou distribution)
des rentabilités annuellesde l’indice S&P 500
Indice Standard &Poor’s500 (SPX)
créé en 1920 basé sur 500 grandes sociétés cotées
aux États‐Unis
Loi de probabilité d’un proxy du portefeuille de
marché
Ici, on se limite à des titres cotés en bourse, des
sociétés « américaines » et des grosses capitalisations
La théorie du marché du capital : les pères fondateurs
93
http://www.youtube.com/watch?v=JmL1t--kBrM&feature=player_detailpage
Estimation de l’espérance de la rentabilité du portefeuille de
marché10mn36
Entretien avec Harry Markowitz
La théorie du marché du capital : les pères fondateurs
Finance moderne et prix Nobel d’économie (5’30)
94
La théorie du marché du capital : les pères fondateurs
Vidéo: entretien avec Harry Markowitz (8mn45) http://www.youtube.com/watch?v=R6X6wcWQ95k
95