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Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 1
Se potessimo disporre sott’acqua (al centro di ogni piano della torre) di un oscilloscopio da 50k€, di potenza illimitata, di banda infinita, di ampi spazi … , allora tutto quel che segue sarebbe perfettamente inutile.
Riemann vs Lebesgue
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Cosa si è fatto(Integrazione alla Riemann)
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
I PMT sono rivelatori “quantistici” ed i segnali da essi forniti sono descrivibili con grandezze statistiche (distribuzioni di ampiezza,
larghezza, forma...)
Impulso “tipico” da singolo fotone
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.5
1Iout PMT (norm)
Iout PMT (smpld)
PMT Iout
time [ns]
Iout
(P
MT
)
Riemann vs Lebesgue
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
0.5
1Vout Filter (norm)Iout PMT (norm)
Filtered Iout
time [ns]
Iout
(P
MT
)
Vou
t (F
ilte
r)
Riemann vs Lebesgue
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
0.5
1Vout Filter (norm)
Vout Filter (smpld)Iout PMT (norm)
Iout PMT (smpld)
Filtered Iout
time [ns]
Iout
(P
MT
)
Vou
t (F
ilte
r)
Riemann vs Lebesgue
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0 4.63 108 9.259 10
8 1.389 107 1.852 10
7 2.315 107
0.02
0
0.02
0.04
0.06
Fitted filtered PMT pulse
time [s]
Vou
t co
nv. A
/D
Segnale acquisito con la FEM attuale
Riemann vs Lebesgue
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Riemann sampling
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
Dai campioni alle aree
Riemann vs Lebesgue
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Riemann integral
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
0.5
1Vout Filter (norm)
Filtered Iout
time [ns]
Vo
ut
(Fil
ter)
Dai campioni alle aree
Riemann vs Lebesgue
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. va
l.Sequenza “random” di segnali simulati
Riemann vs Lebesgue
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5Filt. PMTUnfil. PMT
PMT mult. pe ; Filtered PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. va
l.
Sequenza “random” di segnali simulati e filtrati
Riemann vs Lebesgue
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5Filtered PMT mult. pe ; 5ns sampled
n*tc [s]
norm
. va
l.
Sequenza “random” di segnali simulati filtrati e campionati
Riemann vs Lebesgue
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“A Midsummer Night's Dream ” of a Physicist’s
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 480
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. va
l.
Riemann vs Lebesgue
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Riemann integral
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
Dai campioni (ogni tc) alle aree
Riemann vs Lebesgue
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Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento
Riemann vs Lebesgue
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Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento
Riemann vs Lebesgue
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Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento
Riemann vs Lebesgue
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Cosa si tenta di fare(Integrazione alla Lebesgue)
Riemann vs Lebesgue
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Lebesgue sampling
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
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Lebesgue integral
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PMT pulse
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
50
100
Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe)
time n[s]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe) Lebesgue integral
time [ns]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
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Non linear Lebesgue integral
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe) Lebesgue integral
time [ns]
norm
. val
.
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1 pe100 pe0.3 pethr. 0.3 pe
PMT pulse
time [ns]
norm
. val
.
1.32ns 3.96ns 8.00ns
Riemann vs Lebesgue
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Cosa si propone di fare
(Integrazione alla Riemanna finestra mobile)
Running Window Integration
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
Anziché acquisire il valore del campione si acquisisce il valore dell’area sottesa dalla curva e delimitata da due campioni successivi e questo
valore si aggiorna istante per istante (tempo continuo).
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
Windowed Running Integration
Riemann vs Lebesgue
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
La larghezza dell’RWI, praticamente, coincide con quella del segnale
Riemann vs Lebesgue
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
0.5
1Vout Filter (norm)Iout PMT (norm)Vout Wnd Int (norm)
Filtered Iout
time [ns]
Iout
(P
MT
)
Vou
t (F
ilte
r)
Confronto tra il segnale e i due metodi di filtraggio (RWI e tradizionale)
Riemann vs Lebesgue
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Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta
Riemann vs Lebesgue
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Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta
Riemann vs Lebesgue
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Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta
Riemann vs Lebesgue
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Ulteriori notevoli proprietà del metodo RWI
La somma dei campioni, dal primo all’ultimo diversi da zero, è invariante rispetto alla loro posizione relativa all’uscita dell’integratore.
I campioni, dal primo diverso da zero all’ultimo prima del massimo, forniscono un eccellente “nonio” per stimare il tempo (assoluto) d’inizio dell’impulso in uscita dal PMT.
Riemann vs Lebesgue
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5Iout PMTVout Wnd Int
PMT mult. pe
n*tc [s]
no
rm.
val
.
Segnale random originale e corrispondente segnale RWI
Riemann vs Lebesgue
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6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5Iout PMTVout Wnd Int
PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. va
l.Particolare, espanso, dei due segnali
Riemann vs Lebesgue
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5Iout PMTVout Wnd Int
PMT mult. pe
n*tc [s]
norm
. val
.
I due segnali normalizzati alle stesse ampiezze(tranne il ritardo, per costruzione, di un tc, i due segnali coincidono)
Riemann vs Lebesgue
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200
5
10
15
20
25
30
2
0
2
RWI IoutSum RWISub RWI
RWI Iout ; Sum RWI ; Sub RWI
n*tc [s]
Rel
. Val
.
Somma e differenza dei campioni RWI(con semplici operazioni è possibile estrarre le informazioni di interesse)
Riemann vs Lebesgue
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Che significa eseguire, su di una funzione un “integrale a finestra (rettangolare) mobile ?”
Riemann vs Lebesgue
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frwi t( )
f ( ) g t ( )
d
frwi t( )t
t ti
f ( )
d
g t( ) t( ) t ti( )
1 0 1 2 30
0.5
1
1.5Integration Window
n*tc
g(t)
[
dim
ensi
onle
ss]
La forma generale è la seguente :
se la finestra d’integrazione è rettangolare :
l’integrale assume la forma particolarmente semplice :
Riemann vs Lebesgue
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frwi m( )
n
f n( ) g m n( )( )
frwi t( )t
t ti
f ( )
dCome si realizza questo integrale ?
Lo si può discretizzare pensando di ritardare con “n” linee di ritardo il segnale, ognuna lunga tc/n, e sommare tutte le uscite :
Riemann vs Lebesgue
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-
+
+
Realizzazione di principio con 10 linee di ritardo in serie ognuna lunga Tc/10
La realizzazione appare fattibile ma complessa
Riemann vs Lebesgue
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-
++
Realizzazione di principio con 10 linee di ritardo in parallelo ognuna lunga i*Tc/10 (con i = 1,2,…,10)
Realizzazione ancora più complessa
Riemann vs Lebesgue
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g t( ) t( ) t ti( )
1 0 1 2 30
0.5
1
1.5Integration Window
n*tc
g(t)
[
dim
ensi
onle
ss]
Tornando al tempo continuo, si può osservare come la finestra d’integrazione rettangolare :
1 es ti
sL [g(t)] =
abbia un interessante corrispettivo (trasf . di Laplace) nel dominio della frequenza complessa (s = j ω) :
Riemann vs Lebesgue
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La funzione (di trasferimento) G(s) è il prodotto tra un integratore ideale ed un “produttore infinito di zeri” :
G s( )1 e
s ti
s ti
Ii s( )1s ti
Piz s( ) 1 es ti G s( ) Ii s( ) Piz s( )
1 107
1 108
1 109
1 1010
50
40
30
20
10
0
10
20log[|Ii(f)|]20log[|Piz(f)|]
f [Hz]
dB
Riemann vs Lebesgue
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Dopo qualche ….. riflessione ….. si è giunti al circuito seguente :
-
+
+
V+
La cui funzione di trasferimento è esattamente quella cercata : G s( )
1 es ti
s ti
Riemann vs Lebesgue
M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 46
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
pulse shaperun. wnd. discr. int.continous. int.run. wnd. cont. int.
Pulse; ...integrals...
time [ns]
norm
. val
.
Paragone tra il segnale, il suo integrale continuo, il RWI e la somma discreta (con n linee di ritardo)
Riemann vs Lebesgue
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1 107 1 10
8 1 109 1 10
1050
40
30
20
10
0
Ideal RWI
f [Hz]
dB
Simul. TINA-8
Funz. di Trasf. teorica
Il circuito (di principio) mostrato è stato simulato nella sua forma definitiva considerando i modelli dei componenti reali.
Simulazione con tutti componenti reali
tranne l’amplificatore che è il componente più critico (forse si
potrà togliere).
Riemann vs Lebesgue
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ConclusioniIl metodo RWI consente :
la misura “teorica” della carica dei segnali, un’ottima misura dei tempi di arrivo (err. < 1ns), una dinamica aumentata rispetto alla soluzione precedente, la disambiguazione dei segnali ai limiti delle caratteristiche del PMT, la trattazione estremamente semplificata dei dati a terra (oper. algebr.), probabilmente una circuiteria estremamente semplice, un consumo identico all’attuale (già molto basso),un costo trascurabile. In definitiva il RWI estrae al meglio, dal PMT, tutte le caratteristiche necessarie, a chi si occupa di trigger, per la ricostruzione degli eventi. Il metodo è intrinsecamente generale e permette di essere associato a qualsiasi PMT presente e futuro.