Cosa si è fatto

Riemann vs Lebesgue

M. Bonori NEMO Technical Board Roma 16-dicembre-2009 1

Se potessimo disporre sott’acqua (al centro di ogni piano della torre) di un oscilloscopio da 50k€, di potenza illimitata, di banda infinita, di ampi spazi … , allora tutto quel che segue sarebbe perfettamente inutile.

Riemann vs Lebesgue


Cosa si è fatto(Integrazione alla Riemann)

Riemann vs Lebesgue


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

PMT pulse

PMT pulse

time [ns]

norm

. val

.

I PMT sono rivelatori “quantistici” ed i segnali da essi forniti sono descrivibili con grandezze statistiche (distribuzioni di ampiezza,

larghezza, forma...)

Impulso “tipico” da singolo fotone

Riemann vs Lebesgue


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.5

1Iout PMT (norm)

Iout PMT (smpld)

PMT Iout

time [ns]

Iout

(P

MT

)

Riemann vs Lebesgue


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

0.5

1Vout Filter (norm)Iout PMT (norm)

Filtered Iout

time [ns]

Iout

(P

MT

)

Vou

t (F

ilte

r)

Riemann vs Lebesgue


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

0.5

1Vout Filter (norm)

Vout Filter (smpld)Iout PMT (norm)

Iout PMT (smpld)

Filtered Iout

time [ns]

Iout

(P

MT

)

Vou

t (F

ilte

r)

Riemann vs Lebesgue


0 4.63 108 9.259 10

8 1.389 107 1.852 10

7 2.315 107

0.02

0

0.02

0.04

0.06

Fitted filtered PMT pulse

time [s]

Vou

t co

nv. A

/D

Segnale acquisito con la FEM attuale

Riemann vs Lebesgue


Riemann sampling

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

PMT pulse

PMT pulse

time [ns]

norm

. val

.

Dai campioni alle aree

Riemann vs Lebesgue


Riemann integral

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

0.5

1Vout Filter (norm)

Filtered Iout

time [ns]

Vo

ut

(Fil

ter)

Dai campioni alle aree

Riemann vs Lebesgue


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

1

2

3

4

5PMT mult. pe

n*tc [s]

norm

. va

l.Sequenza “random” di segnali simulati

Riemann vs Lebesgue


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

1

2

3

4

5Filt. PMTUnfil. PMT

PMT mult. pe ; Filtered PMT mult. pe

n*tc [s]

norm

. va

l.

Sequenza “random” di segnali simulati e filtrati

Riemann vs Lebesgue


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

1

2

3

4

5Filtered PMT mult. pe ; 5ns sampled

n*tc [s]

norm

. va

l.

Sequenza “random” di segnali simulati filtrati e campionati

Riemann vs Lebesgue


“A Midsummer Night's Dream ” of a Physicist’s

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 480

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5PMT mult. pe

n*tc [s]

norm

. va

l.

Riemann vs Lebesgue


Riemann integral

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

PMT pulse

PMT pulse

time [ns]

norm

. val

.

Dai campioni (ogni tc) alle aree

Riemann vs Lebesgue


Se si campionasse senza filtraggio preventivo, la carica calcolata dipenderebbe dalla forma del segnale e dalla fase del campionamento

Riemann vs Lebesgue



Riemann vs Lebesgue


Cosa si tenta di fare(Integrazione alla Lebesgue)

Riemann vs Lebesgue


Lebesgue sampling

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

PMT pulse

PMT pulse

time [ns]

norm

. val

.

Riemann vs Lebesgue


Lebesgue integral

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

PMT pulse

PMT pulse

time [ns]

norm

. val

.

Riemann vs Lebesgue


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

50

100

Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe)

time n[s]

norm

. val

.

Riemann vs Lebesgue


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe) Lebesgue integral

time [ns]

norm

. val

.

Riemann vs Lebesgue


Non linear Lebesgue integral

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Non linear (exp) 16 Threshold Levels (max val --> 100pe) Lebesgue integral

time [ns]

norm

. val

.

Riemann vs Lebesgue


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1 pe100 pe0.3 pethr. 0.3 pe

PMT pulse

time [ns]

norm

. val

.

1.32ns 3.96ns 8.00ns

Riemann vs Lebesgue


Cosa si propone di fare

(Integrazione alla Riemanna finestra mobile)

Running Window Integration

Riemann vs Lebesgue


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

pulse shaperun. wnd. cont. int.

Pulse; ...integrals...

time [ns]

norm

. val

.

Anziché acquisire il valore del campione si acquisisce il valore dell’area sottesa dalla curva e delimitata da due campioni successivi e questo

valore si aggiorna istante per istante (tempo continuo).

Riemann vs Lebesgue


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1



time [ns]

norm

. val

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1



time [ns]

norm

. val

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1



time [ns]

norm

. val

.

Windowed Running Integration

Riemann vs Lebesgue


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1



time [ns]

norm

. val

.

La larghezza dell’RWI, praticamente, coincide con quella del segnale

Riemann vs Lebesgue


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

0.5

1Vout Filter (norm)Iout PMT (norm)Vout Wnd Int (norm)

Filtered Iout

time [ns]

Iout

(P

MT

)

Vou

t (F

ilte

r)

Confronto tra il segnale e i due metodi di filtraggio (RWI e tradizionale)

Riemann vs Lebesgue


Sommando i campioni diversi da zero si ottiene sempre la carica corretta

Riemann vs Lebesgue



Riemann vs Lebesgue


Ulteriori notevoli proprietà del metodo RWI

La somma dei campioni, dal primo all’ultimo diversi da zero, è invariante rispetto alla loro posizione relativa all’uscita dell’integratore.

I campioni, dal primo diverso da zero all’ultimo prima del massimo, forniscono un eccellente “nonio” per stimare il tempo (assoluto) d’inizio dell’impulso in uscita dal PMT.

Riemann vs Lebesgue


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5Iout PMTVout Wnd Int

PMT mult. pe

n*tc [s]

no

rm.

val

.

Segnale random originale e corrispondente segnale RWI

Riemann vs Lebesgue


6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4


PMT mult. pe

n*tc [s]

norm

. va

l.Particolare, espanso, dei due segnali

Riemann vs Lebesgue


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4


PMT mult. pe

n*tc [s]

norm

. val

.

I due segnali normalizzati alle stesse ampiezze(tranne il ritardo, per costruzione, di un tc, i due segnali coincidono)

Riemann vs Lebesgue


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 951001051101151200

5

10

15

20

25

30

2

0

2

RWI IoutSum RWISub RWI

RWI Iout ; Sum RWI ; Sub RWI

n*tc [s]

Rel

. Val

.

Somma e differenza dei campioni RWI(con semplici operazioni è possibile estrarre le informazioni di interesse)

Riemann vs Lebesgue


Che significa eseguire, su di una funzione un “integrale a finestra (rettangolare) mobile ?”

Riemann vs Lebesgue


frwi t( )

f ( ) g t ( )

d

frwi t( )t

t ti

f ( )

d

g t( ) t( ) t ti( )

1 0 1 2 30

0.5

1

1.5Integration Window

n*tc

g(t)

[

dim

ensi

onle

ss]

La forma generale è la seguente :

se la finestra d’integrazione è rettangolare :

l’integrale assume la forma particolarmente semplice :

Riemann vs Lebesgue


frwi m( )

n

f n( ) g m n( )( )

frwi t( )t

t ti

f ( )

dCome si realizza questo integrale ?

Lo si può discretizzare pensando di ritardare con “n” linee di ritardo il segnale, ognuna lunga tc/n, e sommare tutte le uscite :

Riemann vs Lebesgue


-

+

+

Realizzazione di principio con 10 linee di ritardo in serie ognuna lunga Tc/10

La realizzazione appare fattibile ma complessa

Riemann vs Lebesgue


-

++

Realizzazione di principio con 10 linee di ritardo in parallelo ognuna lunga i*Tc/10 (con i = 1,2,…,10)

Realizzazione ancora più complessa

Riemann vs Lebesgue


g t( ) t( ) t ti( )

1 0 1 2 30

0.5

1

1.5Integration Window

n*tc

g(t)

[

dim

ensi

onle

ss]

Tornando al tempo continuo, si può osservare come la finestra d’integrazione rettangolare :

1 es ti

sL [g(t)] =

abbia un interessante corrispettivo (trasf . di Laplace) nel dominio della frequenza complessa (s = j ω) :

Riemann vs Lebesgue


La funzione (di trasferimento) G(s) è il prodotto tra un integratore ideale ed un “produttore infinito di zeri” :

G s( )1 e

s ti

s ti

Ii s( )1s ti

Piz s( ) 1 es ti G s( ) Ii s( ) Piz s( )

1 107

1 108

1 109

1 1010

50

40

30

20

10

0

10

20log[|Ii(f)|]20log[|Piz(f)|]

f [Hz]

dB

Riemann vs Lebesgue


Dopo qualche ….. riflessione ….. si è giunti al circuito seguente :

-

+

+

V+

La cui funzione di trasferimento è esattamente quella cercata : G s( )

1 es ti

s ti

Riemann vs Lebesgue


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

pulse shaperun. wnd. discr. int.continous. int.run. wnd. cont. int.


time [ns]

norm

. val

.

Paragone tra il segnale, il suo integrale continuo, il RWI e la somma discreta (con n linee di ritardo)

Riemann vs Lebesgue


1 107 1 10

8 1 109 1 10

1050

40

30

20

10

0

Ideal RWI

f [Hz]

dB

Simul. TINA-8

Funz. di Trasf. teorica

Il circuito (di principio) mostrato è stato simulato nella sua forma definitiva considerando i modelli dei componenti reali.

Simulazione con tutti componenti reali

tranne l’amplificatore che è il componente più critico (forse si

potrà togliere).

Riemann vs Lebesgue


ConclusioniIl metodo RWI consente :

la misura “teorica” della carica dei segnali, un’ottima misura dei tempi di arrivo (err. < 1ns), una dinamica aumentata rispetto alla soluzione precedente, la disambiguazione dei segnali ai limiti delle caratteristiche del PMT, la trattazione estremamente semplificata dei dati a terra (oper. algebr.), probabilmente una circuiteria estremamente semplice, un consumo identico all’attuale (già molto basso),un costo trascurabile. In definitiva il RWI estrae al meglio, dal PMT, tutte le caratteristiche necessarie, a chi si occupa di trigger, per la ricostruzione degli eventi. Il metodo è intrinsecamente generale e permette di essere associato a qualsiasi PMT presente e futuro.

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