Control de Sistemas en Tiempo DiscretoAnálisis y Proyecto en Espacio de Estado

Profesor Responsable: Dr. Ing. Fernando Botterón

Curso de Posgrado – Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Misiones

Conceptos

Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos

o Se describe por un sistema de n ecuaciones diferencia.

o Combinadas en una ecuación diferencia vector-matriz.

o El método de espacio de estado posibilita la inclusión de las condiciones iniciales.

Estado:

Variables de Estado:

Vector de Estados:

Ecuaciones de Espacio de Estado:

Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos

o Para sistemas discretos lineales o no lineales y variantes en el tiempo:

( 1) [ ( ), ( ), ]

( ) [ ( ), ( ), ]

k k k k

y k k k k

x f x u

g x u

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k k k k

y k k k k k

x G x H u

C x D u

o Para sistemas discretos lineales y variantes en el tiempo:

( ) :Dimensión k nx ( ) :Dimensión k ru ( ) :Dimensión k my

( ) :Dimensión k n nG ( ) :Dimensión k n rH ( ) :Dimensión k m nC

( ) :Dimensión k m rD

Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k k k

y k k k

x Gx Hu

Cx Du

o Para sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo:

G

CH

D

z-1I( )ku ( 1)k x ( )kx ( )ky

Planta

Solución de la Ecuación de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

( 1) ( ) ( ) (1)

( ) ( ) ( ) (2)

k k k

y k k k

x Gx Hu

Cx Du

o Para sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo:

o Por recursividad:

2

3 2

(1) (0) (0)

(2) (1) (1) (0) (0) (1)

(3) (2) (2) (0) (0) (1) (2)

x Gx Hu

x Gx Hu G x GHu Hu

x Gx Hu G x G Hu GHu Hu

• De forma genérica:

11

0

( ) (0) ( ); 1,2,3,... (3)k

k k j

j

k j k

x G x G Hu

Solución de la Ecuación de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

• La ecuación de salida resulta:

11

0

( ) (0) ( ) ( ) (4)k

k k j

j

k j k

y CG x C G Hu Du

o Método de la transformada Z:

1 1( ) ( ) (0) ( ) ( )z z z z z X I G X I G HU

1 1 1 1( ) [( ) ] (0) [( ) ( )] (5)k z z z z x I G x I G HUZ Z

11 1 1 1 1

0

[( ) ] [( ) ( )] ( )k

k k j

j

z z z z j

I G G I G HU G HuZ y Z

Matriz Función Transferencia Discreta

• Tomando la transformada Z de (1) y (2):

• La ecuación de salida resulta:

( ) ( ) ( ) (0)

( ) ( ) ( )

z z z z z

z z z

X GX HU X

Y CX DU

Matriz FT Discreta

1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )z z z z z Y C I G H D U F U

( )( )

adj zz

z

I G

F C H DI G

1 21 2 1 0n n n

n nz z a z a z a z a I G

Polinomio Característico, donde los ai dependen de los parámetros de G.

t

x(t)

T0 2T 3T 4T

x(kT)

x(k+1)T

Discretización de ecuaciones de Espacio de Estado en tiempo continuo

( 1) ( )

kT

dx x k T x kT

dt T

Aproximación de Euler

( 1) ( )( ) ( )

( 1) [ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k T kTkT u kT

Tk T T kT T u kT

y kT kT u kT

x xAx B

x I A x B

Cx D

( 1) ( ) ( )k T kT u kT x G x H max10mf f

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

Sistema SISO LIT modelado por la siguiente ec. de espacio de estados

( ) ( ) ( )t t u t x Ax B

0

0

( ) ( τ)0( ) ( ) (τ) τ

tt t t

tt e t e u d A Ax x B

(1)

Solución de (1) está dada por:

(2)

Se asume que: ( ) ( ) . ( 1)u u kT ctte kT T k T

En tiempo discreto, (1) resulta:

[( 1) ] ( ) ( ) ( ) ( )k T T kT T u kT x G x H (3)

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

Utilizamos la (2) para obtener la solución de la ec. de estado discreta:

( 1)( 1) [( 1) ]

0[( 1) ] (0) (τ) τ

k Tk T k Tk T e e u d A Ax x B

Se llega a la siguiente expresión:

to = 0 y en t = (k+1)T, se tiene:

to = 0 y en t = (kT), se tiene:

( ) ( )

0( ) (0) (τ) τ

kTkT kTkT e e u d A Ax x B

( 1) [( 1) ][( 1) ] ( ) ( ) τk TT k T

kTk T e kT e u kT d

A Ax x B

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

La última se puede escribir:

( )

0[( 1) ] ( ) ( ) τ

TT Tk T e kT e u kT d A Ax x B

donde:

( )

0

TT Te y e d A AG H B

Haciendo un cambio de variables l = (T - t), la matriz H resulta:

1

0( )

T Te d e A AH B A I B

[( 1) ] ( ) ( )k T kT u kT x G x H

A-1 debe poseer inversa para la solución de H

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

Cálculo de eAT por expansión en serie de Taylor:

2 2

0

1 1

2! ! !

k kT k k

k

Te T T T

k k

A AI A A A

-1 1[( ) ]Te s A I AL

siendo:

1

1 21 2 1

( )( )

0n n nn n o

adj ss y

s

s s a s a s a s a

I AI A

I A

I A

Cálculo de eAT por la Transformada de Laplace:

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

Si se cumple que:

Te T AG I A

Sustituyéndose en la (3) los resultados anteriores para G y H:

max10mf f

1[( 1) ] ( ) ( ) ( )Tk T T kT e u kT Ax I A x A I B

1[( 1) ] ( ) ( ) ( )k T T kT T u kT x I A x A I A I B

Se obtiene finalmente el mismo resultado que utilizando Euler:

[( 1) ] ( ) ( )k T T kT T u kT x I A x B

[ , ] 2 ( , , )c d TG H A BCon Matlab: ZOH

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación

L Li

2S

ccV C

4S

1S 3S

pwmu1

2

+oi

Convertidor CC-CA

ov

[( 1) ] ( ) ( )k T kT u kT x G x H

N

Planta

1V 2V 0V 2V 1V 1V 2V 0V 2V 1V

( )ov kT [( 1) ]ov k T [( 2) ]ov k TpwmT T

1,4s

2,3s

pwmT T

( )pwmu t

2c pwmf f

fC cR

R Carga

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación

( )u kTZOH

Inversory

PWM

Ecuación

Estado

( )pwmu tT

T

( )kTx

/cc baseV V

cc

base

V

VZOH

( )u kT ( )pwmu tT

1V 2V 0V 2V 1V 1V 2V 0V 2V 1V

( )ov kT [( 1) ]ov k T [( 2) ]ov k TpwmT T

1,4s

2,3s

pwmT T

( )pwmu t

2c pwmf f

cc

base

V

VZOH

( )u kT ( )u tTdsTe

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación

Se puede extender el análisis realizado anteriormente, utilizando la ecuación (2), para modelar el atraso de implementación Td:

(4)

Sustituyendo (4) en (5) y mediante simplificaciones, se llega a:

1°) entre los instantes donde se aplica u[(k−1)T], t0 = kT y t = (kT + Td):

2°) entre los instantes donde se aplica u(kT), t0 = (kT + Td) y t = (k+1)T :

(5)

[( ) ] [( ) τ]( ) ( ) τ [( 1) ]d

d dkT TkT T kT kT T

d kTkT T e kT e d u k T

A Ax x B

( 1)[( 1) ( )] [( 1) τ][( 1) ] ( ) τ ( )d

d

k Tk T kT T k Td kT T

k T e kT T e d u kT

A Ax x B

( τ)( τ)

0 0[( 1) ] ( ) τ [( 1) ] τ ( )

d dd

T T T T TT Tk T e kT e d u k T e d u kT AA Ax x B B

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación

( τ)( τ)

0 0[( 1) ] ( ) τ [( 1) ] τ ( )

d dd

T T T T TT Tk T e kT e d u k T e d u kT AA Ax x B B

( ) TT e AG ( )

0

dT Te d A0H B ( )

0

dd

T T T Te d A

1H B

[( 1) ] ( ) [( 1) ] ( )k T kT u k T u kT 0 1x G x H H

( )1 d dT T Te e A A0H A I B ( )1

1dT Te

AH A I B

La ec. de estado que incluye el atraso de implementación digital, resulta:

[( 1) ] ( )( )

[( 1) ] ( )

: ( ) [( 1) ]

d d

d

k T kTu kT

u k T u kT

donde u kT u k T

0 1x xG H H

0 0 I

[( 1) ] ( ) ( )P Pk T kT u kT ψ G ψ H

Modelos de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Diferentes Estrategias de Muestreo

- 2 muestras x periodo de conmutación

Modelos de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Diferentes Estrategias de Muestreo

- Promedio de 2 muestras

Solución de la ecuación de espacio de estado (2) en el intervalo de discretización Tm, incluyéndose el atraso de implementación Td = T/2

Usamos la (1) para obtener la evolución de los estados entre instantes de muestreo:

1°) La ec. de espacio de estado discreta para este caso es:

2°) El promedio de 2 muestras en el instante kT, es:

[( 1) ] ( ) ( / 2) ( ) ( )m mk T T kT T T u kT x G x H

( ) ( ) ( 1/ 2) 2kT kT k T x x x

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras

3°) El promedio de 2 muestras en el instante (k+1)T, es:

[( 1) ] { [( 1) ] [( 1/ 2] } 2k T k T k T x x x

(1)

(2)

(3)

( ) mTmT e AG 1( ) mT

mT e AH A I B

Sustituyéndose (4) en la última ecuación, se llega a:

4°) La evolución de los estados entre kT y (k+T/2) está dada por:

[( / 2] ( ) ( 1)kT T kT u k T x G x H

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras

6°) Utilizado la ecuación (3) obtenemos:

5°) La evolución de los estados entre (k+T/2) y (k+1)T está dada por:

( 1) [( / 2] ( )k T kT T u kT x G x H

[( 1) ] { [( / 2] ( ) ( ) ( 1) }/ 2k T kT T u kT kT u k T x G x H G x H

(4)

(5)

2( ) ( )[( 1) ] ( ) ( ) ( 1)

2 2 2k T kT u kT u k T

G G H GH Hx x (6)

Debe relacionarse x(kT) con x(kT) promedio, la que resulta:

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras

1 11 1 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1)

2 2 2 2kT kT u k T

G I G G I G H G I G Hx x

Finalmente, reemplazándose esta última en la (6), obtenemos:12 1

1

12 1 1

( )( ) ( )[( 1) ] ( ) ( ) ( 1)

2 2 2 2

( ) ( ) ( )( 1)

2 2 2 2

k T kT u kT u k T

u k T

G H HG G G I G Hx x

G G G I G H G I G H

Las matrices útiles para el proyecto de realimentación de estados:

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras

12 1

1

12 1 1

2

( ) ( )

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

G G G I G HG H

GH H G G G I G H G I G HH

12( 1) ( )

( )( 1) ( ) 1a a

k T kTu kT

u k T u kT

x x HG H

0 0

[( 1) ] ( ) ( )p p p pk T kT u kT x G x H

, ( ) ( 1)adonde u kT u k T

(7)

(8)

(9)

Resultados experimentales que validan el modelo presentado

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Amostras

x( )kT .x( )kT

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Amostras

x( )kT .x( )kT

Tensión en el capacitor del filtro LC

Corriente en el inductor del filtro LC

Muestras Muestras

Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos

Hp z-1I

Gp

+

+

Planta

x(k)x(k+1)u(k)

Se asume: - Todas las variables de estado son medibles.

- Todas las variables de estado están disponibles para su realimentación

Ubicaciones deseadas de polos de lazo cerrado:

- Obtenidas en base a especificaciones de desempeño transitorio y al periodo de muestreo T.

[( 1) ] ( ) ( )k T kT u kT x G x H u(kT) escalar y no limitada

Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos

Hp z-1I

Gp

-K

+

+

Planta

x(k)x(k+1)u(k)

Si se elige a u(k) = -K × x(k): [( 1) ] ( )k T kT x G HK x

Diseñar K para la estabilidad asintótica y especificaciones deseadas.

Hay diferentes métodos.

Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos + Referencia

u(k) = K0 r(k) - K x(k) 0[( 1) ] ( ) ( )k T kT K r kT x G HK x H

Diseñar K para la estabilidad asintótica y especificaciones deseadas.

Diseñar K0 para eliminar el error de régimen estacionario.

Hp z-1I

Gp

K

+

+

Planta

x(k)x(k+1)u(k)+

-

v(k)K0

r(k)C

y(k)

Diseño en Espacio de Estado: Sistema de Seguimiento - Servo

u(k) = K1 v(k) - K x(k) ( ) ( 1) ( ) ( )k k k k v v r y

Diseñar las matrices de ganancias K1 y K2 para:

estabilidad asintótica; especificaciones transitorias deseadas.

K1 Hp z -1I

Gp

Cp

K2

+ +

+-

+

-

+

+

Servo Planta

r(k)

y(k)

y(k) y(k)v(k)

z-1Iv(k-1)

u(k)