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Ciné
de R
RESOLUSOB(
Professor: Dr. Martin
Alunos: Alberto AndréSouza, Camila Nascim
e Tiago Tavares Gome
ica Química e Cálc
eatores (EQE-364)
O DE QUESTE REATORESPROJETO)
chmal.
Rodrigues Drummond, Angelo Siguento Barbosa, Nicolas Domenech Fr
s.
ulo
ES
muraiberger
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QUESTÃO 4
A taxa de crescimento de bactérias é dada:
c
m
cmg C
C
C K r
1
Onde 15,0
hK m e LgC
m / 20
O substrato está em excesso.
Usa-se um reator batelada de 2L.
a) Plote a taxa de crescimento e concentração das células em função do
tempo, após inoculação de 0,4g de células no reator.
b) Se for usado um CSTR deduza a equação e plote a taxa e concentração
em função do tempo espacial variando o fluxo.
RESOLUÇÃO
a) Método matemático para encontrar a função que correlaciona a
concentração de células e o tempo:
mC
cC
cC
cC
mC
cC
dt
cdC gr
dt
cdC 2
1 max.max
Fazendo Cc = C temos:
cC
mC cC
mr
dt
dC
g.1
dT mC
C
C
dC
dt mdC
m
C C
C
m
.
..
1
1
t
t
m
C
C m
dt
C C
C
dC
00
.1
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Resolução da integral por Frações Parciais
C
B
C
C
A
C C
C
mm
1.1
1
1)(
)( mC
C B BC A
1 Bm
C A
1
mm C
B A
C
B A 0
11 BC
BC B
C
BC
mm
C
C
C
C
C C
C
m
m
m
1
1
1
1
1
.
t C
C
C
C
m
m dt dC C
C C
C
dC C
0max
00
1
.1
1
Integrando a equação acima e desenvolvendo:
t D
C
C
C
M
C
C *
1
lnmax
onde
20
2.01
2.0ln D
Desenvolvendo a equação acima achamos a seguinte equação que
correlaciona Cc e o tempo:
t
t
c
e
eC
5.0
5.0
*0101.01
*202.0
Substituindo valores para o tempo na equação encontramos valores
para a concentração de células dentro do reator . Com os valores de Cc e do
tempo montamos a curva para a concentração vs o tempo e também uma
curva para a taxa de crescimento vs o tempo.
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Tabela 1: Concentração e Taxa de Crescimento das Células ao Longo do Tempo
Usando o Matlab para resolver a equação diferencial:
20*5.0
2
C
C
C C
C dt
dC
Para isso foram criados dois arquivos no Matlab:
O primeiro, com o código fonte mostrado abaixo, define a função
diferencial encontrada:
function dC = dCdt(t,C)
dC=0.5*(C-((C^2)/20));
0 0,2 -
0,5 0,256 0,112
1 0,3275 0,1275
1,5 0,4187 0,1458
2 0,5344 0,1672
2,5 0,681 0,1924
3 0,8661 0,222033333
3,5 1,0985 0,256714286
4 1,389 0,29725
4,5 1,7489 0,3442
5 2,1912 0,39824
5,5 2,7287 0,459763636
6 3,373 0,528833333
6,5 4,13 0,604615385
7 5,0127 0,687528571
8 7,2087 0,8760875
9 9,5242 1,036022222
10 11,9967 1,17967
11 14,2386 1,276236364
12 16,0588 1,321566667
20 19,91 0,9855
30 19,99 0,659666667
40 19,99 0,49475
50 19,99 0,3958
100 19,99 0,1979
Tempo (h)Concentração de
células (g/L)
Taxa de crescimento
de células (g/Lh)
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O segundo arquivo criado está vinculado ao primeiro, já que ele resolve
a equação diferencial e plota os valores encontrados para a concentração e
outro gráfico para os valores da taxa em um intervalo de tempo estipulado de 0
a 30h sabendo que a concentração inicial é de 0,2 g/cm3. O código fonte desse
arquivo e a curva obtida estão mostrados abaixo:
[t,C] = ode45('dCdt',[0:0.5:30],0.2);
figure(1)
plot(t,C);
title('Variacao da concentracao de celulas');
xlabel('Tempo (h)');
ylabel('Concentracao de celulas (g/dm3)');
A=(C-0.2)./t; % taxa de crescimento das celulas
figure(2)
plot(t,A);
title('Variacao da taxa de crescimento');
xlabel('Tempo (h)');
ylabel('Taxa de crescimento de celulas (g/dm3*h)');
Gráfico 1: Variação da Concentração de Células
0 5 10 15 20 25 300
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20Variacao da concentracao de celulas
Tempo (h)
C o n c e n t r a c a o d e
c e l u l a s ( g / d m 3 )
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Gráfico 2 Variação da Taxa de Crescimento das Células
b) Para um reator contínuo CSTR vale o seguinte balanço de massa :
V r C C vdt
dC V gC C *)(* 00
Onde 0v é o fluxo de células entrando no reator.
Sabendo que o tempo espacial0v
V , dividindo os dois lados da
equação acima por V, temos que :
gC C r C C dt
dC )(*
10
Para o reator em regime permanente e considerando 00C
C (não há
entrada de células), temos que :
0**1
C C C C
já que C C
m
C
g C C C
C r **1*max
Da equação acima :
1
Quando:
1
m
C
C
C 1*
1max
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Variacao da taxa de crescimento
Tempo (h)
T a x a d e c r e s c i m e n t o d e c e l u l a s ( g / d m 3 * h )
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Para 01
, M C C C
(PONTO 1 – interseção da reta
1vsC C com o eixo y (no caso C C ))
Para 0C C , max1
(PONTO 2 – interseção da reta
1vsC C com o eixo x ( no caso
1)
Como0v
V , variando 0v variamos o valor de
1, logo obtemos a
seguinte reta para
1vsC C :
Gráfico 3: Concentração em Função do Tempo Espacial
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QUESTÃO 5
A polimerização aniônica é feita em CSTR e o mecanismo será:
ki
I + M R1
kp
R j + M R j+1
As concentrações de monômero e iniciador são M0 e I0 respectivamente.
a) Deduza a equação em função da
b) Sesmol
lk i .015,0 e
smollk p .
103 plote I e M em função de
c) Se ki >> kp e R1 = I0 o que acontece?
RESOLUÇÃO
a) Fazendo o balanço de massa para o iniciador ( I ) para um reator CSTR,
temos que :
)(
0
I
I
r
X I
onde
0
0
I
I I X
I
Logo,
MI
I I I I
I
0
I
0
k r-
M k I
I I
I
0)1(
A equação (1) acima correlaciona I e
Taxa de consumo de monômero (M):
1 j
J P I M R M k MI k r
I I R O
j
J
1
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)(0
I I M k MI k r P I M
Fazendo o balanço de massa para o monômero M em um reator CSTR:
)(
0
M
M
r
X M
onde0
0
M
M M X
M
)(r-0
0
M
0
I I M k MI k
M M M M
P I
M M I I M k MI k P I 00 )(
M M M k
M k M I k
M k
MI k
I
I P
I
I
0
00
1
)(
1
)1)(( 0
2
0
2
0M k M M M I k k M I k
I I P I
0)1()1(000
2
0 M M M k I k M I k k I I P I
)1(2
)1(*4)1()1(
0
00
2
0000
I k k
M I k k M k I k M k I k M
P I
P I I I I I
(2)
A equação (2) acima correlaciona M e .
b) Com a equação (1) encontrada podemos plotar I / I0 e M / M0 , sabendoque
smollk i .
015,0 esmol
lk p .10
3 .
Como ki é muito menor que kp, podemos considerar que a concentração
de iniciador se mantém constante, logo 10
I
I . Com isso a partir da
equação 1 encontramos :
0
0
1
I
I k
I
I
M I
Onde a única incógnita é o . Multiplicamos o denominador da equação
por um fator 0.337, já que esse foi o valor máximo encontrado para M variando
, que é igual a concentração inicial de monômero M0. Para plotar M / M0
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utilizado o software Matlab. O código fonte e a figura obtida estão mostrados
abaixo:
B=1; % I/I0 = 1 constante, ki<<<kp
A=0.999; % I/I0 = 0.999 para nao gerar uma indeterminacao no calculo
de M que ocorre para I/I0=1
T=0:0.2:2; % TAL variando de 0 a 2
M=(1-A)./(0.337.*(T.*0.015.*A)); % fator 0.337 para que tenhamos M/M0
variando de 0 a 1
plot(T,M,'-r',T,B,'*g')
title('Variação de M/M0 e I/I0 com T(tal)');
xlabel('T(tal))');
ylabel('M/M0 ou I/I0');
Gráfico 3: M/M0 ou I/I0 versus
c) A taxa de consumo de R1 é dada pela seguinte equação:
11 MRk MI k r P I R
Fazendo o balanço de massa em um reator CSTR para R1 temos:
M k
M k I R
R
P
I
1MRk MIk -
0
1
1PI
1
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Como R1=I0, e colocando M em evidência temos que:
M k I k I
I M
P I 0
0
Dividindo numerador e denominador por I0 e considerando ki >> kP :
I k I
I M
0
1
Comparando com a equação encontrada para M no item anterior:
Vemos que os valores gerados para M são maiores, já que não temos
mais a parcela0 I
I sendo subtraída do numerador.
0
0
1
I
I
k
I
I
M
I