Post on 12-Nov-2014
Chapter 04Statistics of Brittle Fracture
254413 Introduction to Contact Mechanics
Assistant Professor Thongchai FongsamootrMechanical Engineering Department, Chiangmai University
4.1 บทนำ��
• ก�รแตกหั�กของวั�สดุ�เปร�ะนำ��นำจะเก�ดุข��นำเนำ��องจ�กก�รมี�รอยแตกข��นำ ในำขณะท��ชิ้��นำง�นำร�บแรงดุ�ง ต�มีเกณฑ์$ของ
Griffith
2
2
E
c
cK I
4.2 Basic Statistics
• ถ้&�ก��หันำดุใหั& X เป'นำค่)�ต�วัแปรท��ส�)มีมี� ต�วัอย)�งเชิ้)นำ X อ�จจะเป'นำจ��นำวันำของก�รออกหั�วัจ�กก�รโยนำเหัร�ยญ
• จ�กแต)ละค่)�ของ X จะมี�ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&เท)�ก�บ
• ต�วัอย)�งเชิ้)นำ P(X=1) อ�จใหั&ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รโยนำออกหั�วั 1 ค่ร��ง ในำก�รโยนำเหัร�ยญ 2 ค่ร��ง ไดุ&เป'นำ f(x)
ท��เร�ยกวั)� probability function
xfxXP
ร.ปท�� 4.2.1 ร.ปท�� 4.2.2
4.2 Basic Statistics
• ผลรวัมีของค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ท��งหัมีดุเท)�ก�บ
• โดุยท��
• ส��หัร�บฟั1งก$ชิ้��นำต)อเนำ��องจะไดุ&วั)�
xFxXP
x
u
ufxF
dxxfbxaPb
a
ร.ปท�� 4.2.3
4.2 Basic Statistics
• และผลรวัมีของค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&เท)�ก�บ
xx
duufufxFxXP
4.3 Weibull Statistics
4.3.1 Strength and failure probability• พิ�จ�รณ�โซ่)ท��ประกอบ n ข&อโซ่) ร�บนำ���หันำ�ก W
•
• จ�กก�รใหั&ภ�ระท��ใหั&เก�ดุค่วั�มีเค่&นำ a ในำแต)ละข&อโซ่)• ถ้&�ใหั& Tensile strength ของแต)ละข&อโซ่)เป'นำต�วัแปร
แบบต)อเนำ��อง S โดุยท��มี�ค่)�อย.)ระหัวั)�ง – ถ้�ง • แต)ในำแง)ค่วั�มีเป'นำจร�งข&อโซ่)จะเก�ดุก�รเส�ยหั�ยในำขณะท��ร �บ
แรงดุ�ง จ�งพิ�จ�รณ�เฉพิ�ะ S>0
• หัร�อในำแง)ถ้.กต&องมี�กข��นำ S > u
ร.ปท�� 4.3.1
4.3 Weibull Statistics
4.3.1 Strength and failure probability• โอก�สท��แต)ละข&อโซ่)จะมี�ค่)� Tensile Stress S นำ&อยกวั)�
a จะส�มี�รถ้หั�ไดุ&จ�ก
• ถ้&� a เป'นำค่วั�มีเค่&นำท��กระท�� อะไรค่�อค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รเส�ยหั�ยของโซ่)?
0
dfF
aSPF 0
4.3 Weibull Statistics
4.3.1 Strength and failure probability• ถ้&�โซ่)มี�จ��นำวันำ n ข&อโซ่) ดุ�งนำ��นำโซ่)จะเส�ยหั�ยเมี��อ มี�ข&อโซ่)ใดุ
ข&อหันำ��งมี�ค่)� Strength > a
• ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รเส�ยหั�ยจะมี�ค่)�เท)�ก�บ
• และค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ท��ไมี)เก�ดุก�รเส�ยหั�ยจะมี�ค่)�เท)�ก�บ
• และค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ท��ไมี)เก�ดุก�รเส�ยหั�ยรวัมี
a
dfSPF aa
0
0
as FP 1
nanaaaas FFFFFP 11111 321
4.3 Weibull Statistics
4.3.1 Strength and failure probability• ดุ�งนำ��นำค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รท��โซ่)จะเก�ดุก�รเส�ยหั�ยจ�งมี�ค่)�
เท)�ก�บ
• อะไรค่�อค่)� F()? Weibull ไดุ&เสนำอผลรวัมีของค่วั�มีเป'นำไปไดุ&เท)�ก�บ
• โดุยท�� u o และ m เป'นำค่)�ต�วัแปรท��ปร�บเปล��ยนำไดุ&
naf FP 11
m
o
uaF
exp1
4.3 Weibull Statistics
4.3.1 Strength and failure probability
• u เป'นำระดุ�บค่วั�มีเค่&นำท��ก�รเส�ยหั�ยไมี)เค่ยเก�ดุข��นำ• o เป'นำต�วัชิ้��วั�ดุของสเกลของค่วั�มีแข6งแรง และ • m เป'นำต�วัแสดุงก�รกระจ�ยของค่วั�มีแข6งแรง
• แทนำสมีก�รท�� 4.3.1f ลงในำสมีก�รท�� 4.3.1e จะไดุ&วั)�
• หัร�อ
m
o
uaf nP
exp1
m
o
uaf LP
exp1
4.3 Weibull Statistics
4.3.2 The Weibull parameters
• ต�วัแปร u เป'นำค่)�ค่วั�มีแข6งแรงต���ส�ดุ ถ้&�ท�กข&อโซ่)มี�ค่)�ค่วั�มีแข6งแรงมี�กกวั)�นำ�� จะไดุ&วั)�ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�ร
อย.)รอดุในำก�รร�บค่วั�มีเค่&นำ a มี�ค่)�เท)�ก�บ 1• ต�วัแปร m เร�ยกวั)� Weibull modulus ซ่��งถ้&� m มี�ค่)�
ส.งแสดุงวั)�ก�รกระจ�ยของค่วั�มีเค่&นำแค่บ • ต�วัอย)�งเชิ้)นำ ถ้&� m -> จะไดุ&วั)�ท�กข&อโซ่)มี�ค่)�ค่วั�มีแข6ง
แรงเท)�ก�นำท�กข&อ • ค่)อนำข&�งย�กในำก�รใหั&ค่��จ��ก�ดุค่วั�มีของค่)� o
4.3 Weibull Statistics
4.3.2 The Weibull parameters
• Weibull: “o is that stress which for the unit of volume gives the probability of rupture
S=0.63”
• Davidge: “o is a normalized parameter of no physical significance...”
• Matthewson: “o gives the scale of strength
ร.ปท�� 4.3.2
4.3 Weibull Statistics
4.3.2 The Weibull parameters• ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&รวัมีไดุ&จ�กก�รรวัมีค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&
ท��งหัมีดุ • ส��หัร�บกรณ�ท�� n=1 จะไดุ&วั)�
• ซ่��งเมี��อนำ��มี�พิล6อตระหัวั)�ง f() ก�บ a จะไดุ&ดุ�งร.ปท�� 4.3.2
m
o
ua
m
o
ua
o
mf
exp
1
4.4 The strength of brittle solids
4.4.1 Weibull probability function• เมี��อพิ�จ�รณ�พิ��นำท��ของวั�ตถ้�เปร�ะ A ซ่��งประกอบดุ&วัย da
เอล�เมีนำต$• โดุยท��
– แต)ละเอล�เมีนำต$ da มี�ค่)�ค่วั�มีแข6งแรงในำก�รแรงดุ�ง– ก�รแตกหั�กของชิ้��นำง�นำเป'นำผลจ�กค่วั�มีเค่&นำดุ�งท��กระท��เมี��อมี�
พิ��นำท��ใดุมี�ก�รเส�ยหั�ยเก�ดุข��นำ– ก�รเส�ยหั�ยของเอล�เมีนำต$เมี��อมี�รอยแตกท��มี�ขนำ�ดุใหัญ)กวั)�ขนำ�ดุ
วั�กฤต�ต�มีหัล�กก�รของ Griffith
• ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รเส�ยหั�ยของแต)ละเอล�เมีนำต$ท��ร �บค่วั�มีเค่&นำ a ซ่��งจะส�มีพิ�นำธ์$ก�บค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของเอล�
เมีนำต$ท��มี�รอยแตกขนำ�ดุใหัญ)กวั)�ขนำ�ดุวั�กฤต�
4.4 The strength of brittle solids
4.4.1 Weibull probability function• The weibull probability functions จะส�มี�รถ้
เข�ยนำไดุ&ดุ�งนำ��
• โดุยท�� เป'นำค่)�ค่วั�มีหันำ�แนำ)นำของรอยแตก• ในำกรณ�ท��วัไปค่)�ค่วั�มีเค่&นำอ�จจะมี�ค่)�ไมี)ค่งท��ตลอดุท��งพิ��นำท��
A ดุ�งนำ��นำจะส�มี�รถ้เข�ยนำสมีก�รใหัมี)ไดุ&เป'นำ
m
o
uaf AP
exp1
A m
o
uaf daP
0
exp1
4.4 The strength of brittle solids
4.4.1 Weibull probability function• ถ้&�รวัมีผลของ เข&�ไปในำเทอมีของ F() จะไดุ&วั)�
• โดุยท��
• บ�งค่ร��งก6จะเข�ยนำเป'นำ
m
uaf AP
*exp1
m
o1
*
*
1
k muaf kAP exp1
4.4 The strength of brittle solids
4.4.2 Determine the Weibull parameter• โดุยท��วัไป Weibull parameter นำ��นำส�มี�รถ้หั�ไดุ&จ�ก
ก�รทดุสอบ
• จ�กนำ��นำ take ln ท��งสองข&�ง สองค่ร��ง จะไดุ&วั)�
m
ua
f
AP *
exp1
1
*lnln
1
1lnln
ua
f
mAP
4.4 The strength of brittle solids
4.4.2 Determine the Weibull parameter
• ถ้&�ก��หันำดุใหั& u = 0 จะไดุ&วั)�
• เมี��อพิล6อตระหัวั)�ง ln ln (1/(1-Pf)) ก�บ ln a จะใหั&ค่)�ของ m และ *
*lnln
1
1lnln
a
f
mAP
*lnlnln mAm a
4.4 The strength of brittle solids
4.4.2 Determine the Weibull parameter
• ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รเส�ยหั�ย Pf ค่�อค่)�อ�ตร�ส)วันำของชิ้��นำง�นำท��เก�ดุก�รเส�ยหั�ยต)อจ��นำวันำท��งหัมีดุ
• ต�ร�งท�� 4.4.1 แสดุงค่)� weibull parameter
ต�ร�งท�� 4.4.1
4.4 The strength of brittle solids
4.4.3 Effect of biaxial stresses• โดุยท��วัไปชิ้��นำง�นำท��ร �บแรงแนำวัเดุ�ยวัจะมี�ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&
ต)อก�รเส�ยหั�ยต���กวั)�ชิ้��นำง�นำท��ร �บแรงสองแนำวั• ในำกรณ�ของ biaxial stress ค่)�ค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�ท��มี�มี
ต)�งๆ จะไดุ&วั)�
• โดุยท�� ค่�อมี�มีของรอยแตกท��ท��ก�รค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��มี�กท��ส�ดุ
• Weibull นำ��นำต&องก�รลดุค่วั�มีเค่&นำหัล�กใหั&เหัล�อเพิ�ยงค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�เพิ�ยงอ�นำเดุ�ยวัส��หัร�บแต)ละแนำวัของ
รอยแตก
2
22
1 sincos
4.4 The strength of brittle solids
4.4.3 Effect of biaxial stresses• The correction ของ risk function B จะมี�ค่)�เท)�ก�บ
• เป'นำมี�มีระหัวั)�งค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�ก�บแนำวัแกนำ • ในำกรณ�ของ x = y และ m = 3 จะไดุ&วั)�
2
0
22
21
121 sincoscos2
ddkBmm
32.3exp1 kPf
4.4 The strength of brittle solids
4.4.3 Effect of biaxial stresses• ค่)� weibull parameter (m และ k) นำ��นำส�มี�รถ้หั�ไดุ&
จ�กก�รทดุสอบ ดุ�งนำ��นำค่)� biaxial correction factor นำ��นำจะต&องหั�ในำล�กษณะกล�บก�นำ (reverse direction)
• Beason ไดุ&ก��หันำดุใหั& C(x,y) เป'นำ stress correction factor ส��หัร�บกรณ� biaxial ท��จ�ดุต)�งๆ• จ�ดุท��มี�ค่)� Principal stress เท)�ก�นำนำ��นำ จะมี�ค่)�
C(x,y)=1
• ดุ�งนำ��นำ max จะมี�ค่)�เท)�ก�บ principal stress
• Beason ไดุ&ก��หันำดุไวั&วั)�
mmdnyxC
1
2
0
22 sincos2
,
4.4 The strength of brittle solids
4.4.3 Effect of biaxial stresses
• โดุยท�� n ค่�ออ�ตร�ส)วันำระหัวั)�งค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��นำ&อยท��ส�ดุก�บค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��มี�กท��ส�ดุ
• ส��หัร�บ upper limit /2 นำ��นำใชิ้&ก�บกรณ�ท��ค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��งสองเป'นำค่วั�มีเค่&นำดุ�ง
• ถ้&�ต�วัใดุต�วัหันำ��งเป'นำค่วั�มีเค่&นำกดุ upper limit จะเท)�ก�บ
m
mdnyxC
1
2
0
22 sincos2
,
2
1
min
max1tan
4.4 The strength of brittle solids
4.4.3 Effect of biaxial stresses• จะเหั6นำวั)� C(x,y) จะมี�ค่)�ลดุลงเมี��อค่)� n เพิ��มีข��นำ
ต�ร�งท�� 4.4.2
4.4 The strength of brittle solids
4.4.4 Determining the probability of delayed failure
• จ�กบทท��แล&วัจะเหั6นำวั)�ขนำ�ดุรอยแตกวั�กฤต�นำ��นำส�มี�รถ้หั�ไดุ&จ�กค่)� KIC
• โดุยท��ค่)� KIC มี�ค่)�ข��นำอย.)ก�บ a และ c• ดุ�งนำ��นำในำกรณ�ค่)� KIC จ�งเป'นำค่)�ท��แสดุงถ้�งก�รเส�ยหั�ยของ
วั�สดุ�ท��ร �บ a
• ส��หัร�บค่วั�มีเค่&นำกระท�� sa ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รเส�ยหั�ย Pf ของพิ��นำท�� A ท��มี�รอยแตกขนำ�ดุใหัญ)กวั)�ขนำ�ดุวั�กฤต�
ท��ใหั&เก�ดุก�รเส�ยหั�ย• อย)�งไรก6ต�มี ก�รขย�ยต�วัของรอยแตกก6ย�งส�มี�รถ้เก�ดุ
ข��นำไดุ&ถ้&�สภ�วัะแวัดุล&อมีส)งเสร�มี
4.4 The strength of brittle solids
4.4.4 Determining the probability of delayed failure
• ซ่��งจะท��ใหั&รอยแตกท��มี�ขนำ�ดุนำ&อยกวั)�ขนำ�ดุวั�กฤต�มี�ก�รขย�ยต�วัจนำถ้�งขนำ�ดุวั�กฤต�ไดุ&
• ดุ�งนำ��นำก�รเส�ยหั�ยในำเวัล� tf ท�� a จ��เป'นำท��จะต&องรวัมีค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รท��รอยแตกจะขย�ยต�วัไปจนำขนำ�ดุ
วั�กฤต�ดุ&วัย• จ�กสมีก�รท�� 4.4.1e ส�มี�รถ้เข�ยนำไดุ&ใหัมี)เป'นำ
mef kAP exp1
4.4 The strength of brittle solids
4.4.4 Determining the probability of delayed failure
• ในำก�รขนำ�ดุของค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�จะส�มี�รถ้หั�ไดุ&ต�มีวั�ธ์�ท�ไดุ&แสดุงในำบทท�� 3
• equivalent stress ค่วัรมี�ค่)�เท)�ไร– ค่��นำวันำค่)� cu จ�กสมีก�รท�� 3.5c
– ค่��นำวัณค่)� ci จ�กสมีก�รท�� 3.5b
– ถ้&� ci มี�กกวั)� cu แสดุงวั)� equivalent stress = p (สมีก�รท�� 3.5a) แต)ถ้&� ci นำ&อยกวั)� cu equivalent stress = u