Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

27
Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture 254413 Introduction to Contact Mechanics Assistant Professor Thongchai Fongsamootr Mechanical Engineering Department, Chiangmai University

Transcript of Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

Page 1: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

Chapter 04Statistics of Brittle Fracture

254413 Introduction to Contact Mechanics

Assistant Professor Thongchai FongsamootrMechanical Engineering Department, Chiangmai University

Page 2: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.1 บทนำ��

• ก�รแตกหั�กของวั�สดุ�เปร�ะนำ��นำจะเก�ดุข��นำเนำ��องจ�กก�รมี�รอยแตกข��นำ ในำขณะท��ชิ้��นำง�นำร�บแรงดุ�ง ต�มีเกณฑ์$ของ

Griffith

2

2

E

c

cK I

Page 3: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.2 Basic Statistics

• ถ้&�ก��หันำดุใหั& X เป'นำค่)�ต�วัแปรท��ส�)มีมี� ต�วัอย)�งเชิ้)นำ X อ�จจะเป'นำจ��นำวันำของก�รออกหั�วัจ�กก�รโยนำเหัร�ยญ

• จ�กแต)ละค่)�ของ X จะมี�ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&เท)�ก�บ

• ต�วัอย)�งเชิ้)นำ P(X=1) อ�จใหั&ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รโยนำออกหั�วั 1 ค่ร��ง ในำก�รโยนำเหัร�ยญ 2 ค่ร��ง ไดุ&เป'นำ f(x)

ท��เร�ยกวั)� probability function

xfxXP

ร.ปท�� 4.2.1 ร.ปท�� 4.2.2

Page 4: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.2 Basic Statistics

• ผลรวัมีของค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ท��งหัมีดุเท)�ก�บ

• โดุยท��

• ส��หัร�บฟั1งก$ชิ้��นำต)อเนำ��องจะไดุ&วั)�

xFxXP

x

u

ufxF

dxxfbxaPb

a

ร.ปท�� 4.2.3

Page 5: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.2 Basic Statistics

• และผลรวัมีของค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&เท)�ก�บ

xx

duufufxFxXP

Page 6: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability• พิ�จ�รณ�โซ่)ท��ประกอบ n ข&อโซ่) ร�บนำ���หันำ�ก W

• จ�กก�รใหั&ภ�ระท��ใหั&เก�ดุค่วั�มีเค่&นำ a ในำแต)ละข&อโซ่)• ถ้&�ใหั& Tensile strength ของแต)ละข&อโซ่)เป'นำต�วัแปร

แบบต)อเนำ��อง S โดุยท��มี�ค่)�อย.)ระหัวั)�ง – ถ้�ง • แต)ในำแง)ค่วั�มีเป'นำจร�งข&อโซ่)จะเก�ดุก�รเส�ยหั�ยในำขณะท��ร �บ

แรงดุ�ง จ�งพิ�จ�รณ�เฉพิ�ะ S>0

• หัร�อในำแง)ถ้.กต&องมี�กข��นำ S > u

ร.ปท�� 4.3.1

Page 7: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability• โอก�สท��แต)ละข&อโซ่)จะมี�ค่)� Tensile Stress S นำ&อยกวั)�

a จะส�มี�รถ้หั�ไดุ&จ�ก

• ถ้&� a เป'นำค่วั�มีเค่&นำท��กระท�� อะไรค่�อค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รเส�ยหั�ยของโซ่)?

0

dfF

aSPF 0

Page 8: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability• ถ้&�โซ่)มี�จ��นำวันำ n ข&อโซ่) ดุ�งนำ��นำโซ่)จะเส�ยหั�ยเมี��อ มี�ข&อโซ่)ใดุ

ข&อหันำ��งมี�ค่)� Strength > a

• ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รเส�ยหั�ยจะมี�ค่)�เท)�ก�บ

• และค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ท��ไมี)เก�ดุก�รเส�ยหั�ยจะมี�ค่)�เท)�ก�บ

• และค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ท��ไมี)เก�ดุก�รเส�ยหั�ยรวัมี

a

dfSPF aa

0

0

as FP 1

nanaaaas FFFFFP 11111 321

Page 9: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability• ดุ�งนำ��นำค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รท��โซ่)จะเก�ดุก�รเส�ยหั�ยจ�งมี�ค่)�

เท)�ก�บ

• อะไรค่�อค่)� F()? Weibull ไดุ&เสนำอผลรวัมีของค่วั�มีเป'นำไปไดุ&เท)�ก�บ

• โดุยท�� u o และ m เป'นำค่)�ต�วัแปรท��ปร�บเปล��ยนำไดุ&

naf FP 11

m

o

uaF

exp1

Page 10: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability

• u เป'นำระดุ�บค่วั�มีเค่&นำท��ก�รเส�ยหั�ยไมี)เค่ยเก�ดุข��นำ• o เป'นำต�วัชิ้��วั�ดุของสเกลของค่วั�มีแข6งแรง และ • m เป'นำต�วัแสดุงก�รกระจ�ยของค่วั�มีแข6งแรง

• แทนำสมีก�รท�� 4.3.1f ลงในำสมีก�รท�� 4.3.1e จะไดุ&วั)�

• หัร�อ

m

o

uaf nP

exp1

m

o

uaf LP

exp1

Page 11: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.2 The Weibull parameters

• ต�วัแปร u เป'นำค่)�ค่วั�มีแข6งแรงต���ส�ดุ ถ้&�ท�กข&อโซ่)มี�ค่)�ค่วั�มีแข6งแรงมี�กกวั)�นำ�� จะไดุ&วั)�ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�ร

อย.)รอดุในำก�รร�บค่วั�มีเค่&นำ a มี�ค่)�เท)�ก�บ 1• ต�วัแปร m เร�ยกวั)� Weibull modulus ซ่��งถ้&� m มี�ค่)�

ส.งแสดุงวั)�ก�รกระจ�ยของค่วั�มีเค่&นำแค่บ • ต�วัอย)�งเชิ้)นำ ถ้&� m -> จะไดุ&วั)�ท�กข&อโซ่)มี�ค่)�ค่วั�มีแข6ง

แรงเท)�ก�นำท�กข&อ • ค่)อนำข&�งย�กในำก�รใหั&ค่��จ��ก�ดุค่วั�มีของค่)� o

Page 12: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.2 The Weibull parameters

• Weibull: “o is that stress which for the unit of volume gives the probability of rupture

S=0.63”

• Davidge: “o is a normalized parameter of no physical significance...”

• Matthewson: “o gives the scale of strength

ร.ปท�� 4.3.2

Page 13: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.2 The Weibull parameters• ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&รวัมีไดุ&จ�กก�รรวัมีค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&

ท��งหัมีดุ • ส��หัร�บกรณ�ท�� n=1 จะไดุ&วั)�

• ซ่��งเมี��อนำ��มี�พิล6อตระหัวั)�ง f() ก�บ a จะไดุ&ดุ�งร.ปท�� 4.3.2

m

o

ua

m

o

ua

o

mf

exp

1

Page 14: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.1 Weibull probability function• เมี��อพิ�จ�รณ�พิ��นำท��ของวั�ตถ้�เปร�ะ A ซ่��งประกอบดุ&วัย da

เอล�เมีนำต$• โดุยท��

– แต)ละเอล�เมีนำต$ da มี�ค่)�ค่วั�มีแข6งแรงในำก�รแรงดุ�ง– ก�รแตกหั�กของชิ้��นำง�นำเป'นำผลจ�กค่วั�มีเค่&นำดุ�งท��กระท��เมี��อมี�

พิ��นำท��ใดุมี�ก�รเส�ยหั�ยเก�ดุข��นำ– ก�รเส�ยหั�ยของเอล�เมีนำต$เมี��อมี�รอยแตกท��มี�ขนำ�ดุใหัญ)กวั)�ขนำ�ดุ

วั�กฤต�ต�มีหัล�กก�รของ Griffith

• ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รเส�ยหั�ยของแต)ละเอล�เมีนำต$ท��ร �บค่วั�มีเค่&นำ a ซ่��งจะส�มีพิ�นำธ์$ก�บค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของเอล�

เมีนำต$ท��มี�รอยแตกขนำ�ดุใหัญ)กวั)�ขนำ�ดุวั�กฤต�

Page 15: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.1 Weibull probability function• The weibull probability functions จะส�มี�รถ้

เข�ยนำไดุ&ดุ�งนำ��

• โดุยท�� เป'นำค่)�ค่วั�มีหันำ�แนำ)นำของรอยแตก• ในำกรณ�ท��วัไปค่)�ค่วั�มีเค่&นำอ�จจะมี�ค่)�ไมี)ค่งท��ตลอดุท��งพิ��นำท��

A ดุ�งนำ��นำจะส�มี�รถ้เข�ยนำสมีก�รใหัมี)ไดุ&เป'นำ

m

o

uaf AP

exp1

A m

o

uaf daP

0

exp1

Page 16: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.1 Weibull probability function• ถ้&�รวัมีผลของ เข&�ไปในำเทอมีของ F() จะไดุ&วั)�

• โดุยท��

• บ�งค่ร��งก6จะเข�ยนำเป'นำ

m

uaf AP

*exp1

m

o1

*

*

1

k muaf kAP exp1

Page 17: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.2 Determine the Weibull parameter• โดุยท��วัไป Weibull parameter นำ��นำส�มี�รถ้หั�ไดุ&จ�ก

ก�รทดุสอบ

• จ�กนำ��นำ take ln ท��งสองข&�ง สองค่ร��ง จะไดุ&วั)�

m

ua

f

AP *

exp1

1

*lnln

1

1lnln

ua

f

mAP

Page 18: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.2 Determine the Weibull parameter

• ถ้&�ก��หันำดุใหั& u = 0 จะไดุ&วั)�

• เมี��อพิล6อตระหัวั)�ง ln ln (1/(1-Pf)) ก�บ ln a จะใหั&ค่)�ของ m และ *

*lnln

1

1lnln

a

f

mAP

*lnlnln mAm a

Page 19: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.2 Determine the Weibull parameter

• ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รเส�ยหั�ย Pf ค่�อค่)�อ�ตร�ส)วันำของชิ้��นำง�นำท��เก�ดุก�รเส�ยหั�ยต)อจ��นำวันำท��งหัมีดุ

• ต�ร�งท�� 4.4.1 แสดุงค่)� weibull parameter

ต�ร�งท�� 4.4.1

Page 20: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses• โดุยท��วัไปชิ้��นำง�นำท��ร �บแรงแนำวัเดุ�ยวัจะมี�ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&

ต)อก�รเส�ยหั�ยต���กวั)�ชิ้��นำง�นำท��ร �บแรงสองแนำวั• ในำกรณ�ของ biaxial stress ค่)�ค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�ท��มี�มี

ต)�งๆ จะไดุ&วั)�

• โดุยท�� ค่�อมี�มีของรอยแตกท��ท��ก�รค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��มี�กท��ส�ดุ

• Weibull นำ��นำต&องก�รลดุค่วั�มีเค่&นำหัล�กใหั&เหัล�อเพิ�ยงค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�เพิ�ยงอ�นำเดุ�ยวัส��หัร�บแต)ละแนำวัของ

รอยแตก

2

22

1 sincos

Page 21: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses• The correction ของ risk function B จะมี�ค่)�เท)�ก�บ

• เป'นำมี�มีระหัวั)�งค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�ก�บแนำวัแกนำ • ในำกรณ�ของ x = y และ m = 3 จะไดุ&วั)�

2

0

22

21

121 sincoscos2

ddkBmm

32.3exp1 kPf

Page 22: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses• ค่)� weibull parameter (m และ k) นำ��นำส�มี�รถ้หั�ไดุ&

จ�กก�รทดุสอบ ดุ�งนำ��นำค่)� biaxial correction factor นำ��นำจะต&องหั�ในำล�กษณะกล�บก�นำ (reverse direction)

• Beason ไดุ&ก��หันำดุใหั& C(x,y) เป'นำ stress correction factor ส��หัร�บกรณ� biaxial ท��จ�ดุต)�งๆ• จ�ดุท��มี�ค่)� Principal stress เท)�ก�นำนำ��นำ จะมี�ค่)�

C(x,y)=1

• ดุ�งนำ��นำ max จะมี�ค่)�เท)�ก�บ principal stress

• Beason ไดุ&ก��หันำดุไวั&วั)�

mmdnyxC

1

2

0

22 sincos2

,

Page 23: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses

• โดุยท�� n ค่�ออ�ตร�ส)วันำระหัวั)�งค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��นำ&อยท��ส�ดุก�บค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��มี�กท��ส�ดุ

• ส��หัร�บ upper limit /2 นำ��นำใชิ้&ก�บกรณ�ท��ค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��งสองเป'นำค่วั�มีเค่&นำดุ�ง

• ถ้&�ต�วัใดุต�วัหันำ��งเป'นำค่วั�มีเค่&นำกดุ upper limit จะเท)�ก�บ

m

mdnyxC

1

2

0

22 sincos2

,

2

1

min

max1tan

Page 24: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses• จะเหั6นำวั)� C(x,y) จะมี�ค่)�ลดุลงเมี��อค่)� n เพิ��มีข��นำ

ต�ร�งท�� 4.4.2

Page 25: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.4 Determining the probability of delayed failure

• จ�กบทท��แล&วัจะเหั6นำวั)�ขนำ�ดุรอยแตกวั�กฤต�นำ��นำส�มี�รถ้หั�ไดุ&จ�กค่)� KIC

• โดุยท��ค่)� KIC มี�ค่)�ข��นำอย.)ก�บ a และ c• ดุ�งนำ��นำในำกรณ�ค่)� KIC จ�งเป'นำค่)�ท��แสดุงถ้�งก�รเส�ยหั�ยของ

วั�สดุ�ท��ร �บ a

• ส��หัร�บค่วั�มีเค่&นำกระท�� sa ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รเส�ยหั�ย Pf ของพิ��นำท�� A ท��มี�รอยแตกขนำ�ดุใหัญ)กวั)�ขนำ�ดุวั�กฤต�

ท��ใหั&เก�ดุก�รเส�ยหั�ย• อย)�งไรก6ต�มี ก�รขย�ยต�วัของรอยแตกก6ย�งส�มี�รถ้เก�ดุ

ข��นำไดุ&ถ้&�สภ�วัะแวัดุล&อมีส)งเสร�มี

Page 26: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.4 Determining the probability of delayed failure

• ซ่��งจะท��ใหั&รอยแตกท��มี�ขนำ�ดุนำ&อยกวั)�ขนำ�ดุวั�กฤต�มี�ก�รขย�ยต�วัจนำถ้�งขนำ�ดุวั�กฤต�ไดุ&

• ดุ�งนำ��นำก�รเส�ยหั�ยในำเวัล� tf ท�� a จ��เป'นำท��จะต&องรวัมีค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รท��รอยแตกจะขย�ยต�วัไปจนำขนำ�ดุ

วั�กฤต�ดุ&วัย• จ�กสมีก�รท�� 4.4.1e ส�มี�รถ้เข�ยนำไดุ&ใหัมี)เป'นำ

mef kAP exp1

Page 27: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.4 Determining the probability of delayed failure

• ในำก�รขนำ�ดุของค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�จะส�มี�รถ้หั�ไดุ&ต�มีวั�ธ์�ท�ไดุ&แสดุงในำบทท�� 3

• equivalent stress ค่วัรมี�ค่)�เท)�ไร– ค่��นำวันำค่)� cu จ�กสมีก�รท�� 3.5c

– ค่��นำวัณค่)� ci จ�กสมีก�รท�� 3.5b

– ถ้&� ci มี�กกวั)� cu แสดุงวั)� equivalent stress = p (สมีก�รท�� 3.5a) แต)ถ้&� ci นำ&อยกวั)� cu equivalent stress = u