Chaos uit de automaat

Prof. dr. Sylvia Wenmackers

KU Leuven – HIWCentrum voor Logica en Filosofie v/d wetenschappen

http://www.sylviawenmackers.be/blog/

@SylviaFysica

Conus textile

Chaos

Chaos is een eigenschap van dynamische systemen: de

vergelijkingen drukken eigenschappen uit in functie v/d tijd.

Bovendien zijn de vergelijkingen:

- Deterministisch

- Niet-lineair (som van opl.n hoeft geen opl. te zijn)

- Gevoelig voor kleine variaties in beginvoorwaarden

• Aristoteles (De caelo, Boek I, deel 5): “[D]e kleinste afwijking van de

waarheid wordt later duizendvoudig vermenigvuldigd… [D]at wat klein

was bij het begin blijkt een reus te zijn aan het einde.”

• E. Lorenz (1972): “Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in

Brazil set off a Tornado in Texas?”

! Dit is een nodige, maar geen voldoende voorwaarde voor chaos !

Chaos

Deterministische vergelijkingen in combinatie met

beginvoorwaarden hebben een unieke oplossing voor alle

andere momenten. In principe perfect voorspelbaar, dus.

In de praktijk zijn er beperkingen in meetresolutie en kunnen

er afrondingsfouten optreden tijdens berekeningen.

In combinatie met gevoeligheid voor kleine variaties in

beginvoorwaarden zorgt dit ervoor dat chaotische systemen

in de praktijk vaak onvoorspelbaar zijn.

Chaos

Met andere woorden: een benadering v/d huidige situatie

en/of een benaderende berekening volstaan niet om de

situatie in de verre toekomst ‘ongeveer’ te voorspellen.

Er is een karakteristieke tijdsschaal (Lyapunov) waarbinnen

een chaotisch systeem wél goed voorspelbaar is.

Ons zonnestelsel is bijvoorbeeld chaotisch, maar de

Lyapunov tijdsschaal in de orde van miljoenen jaren.

De onzekerheid neemt exponentieel toe, dus op langere

tijdsschalen is de toestand van het systeem praktisch

onvoorspelbaar. (Wat overigens niet betekent dat we er

helemaal niets over kunnen zeggen.)

Chaos

Voorbeeld van een chaotisch systeem: het weer

Voorspelling van woensdag 16/5: max. temp 12u UT (14u) Brussel.

Gebaseerd op 1 + 50 prognoses op supercomputer van het

European Centre for Medium-Range Weather Forecasts.

80% van de prognoses zitten in de spreidingsband.

Chaos

We kunnen de karakteristieke tijdsschaal ‘zien’ als we naar

banen in de faseruimte kijken.

Chaos

De faseruimte is een abstracte ruimte waarin elk punt

correspondeert met een mogelijke toestand van het systeem

op een gegeven moment.

Voorbeeld: massa aan een slinger. Toestand wordt gegeven

door positie en snelheid. Stabiele baan, geen chaos.

Chaos

De faseruimte is een abstracte ruimte waarin elk punt

correspondeert met een mogelijke toestand van het systeem

op een gegeven moment.

Voorbeeld: baan van chaotisch systeem in 3D faseruimte.

Chaos

We kunnen de karakteristieke tijdsschaal ‘zien’ als we naar

banen in de faseruimte kijken (max. Lyapunov exponent λ>0).

Chaos

Chaos is een eigenschap van dynamische systemen: de

vergelijkingen drukken eigenschappen uit in functie v/d tijd.

Bovendien zijn de vergelijkingen:

- Deterministisch

- Niet-lineair

- Gevoelig voor kleine variaties in beginvoorwaarden

En de faseruimte heeft volgende eigenschappen:

- Positieve Lyapunov exponent.

- Regio’s v/d faseruimte raken vermengd (strekken+vouwen)

- Willekeurig dicht bij ieder punt in een regio v/d faseruimte

is er een periodieke baan.

Chaos

“Mengen” - zoals bladerdeeg maken: uitrollen + vouwen

Dit vierkant stelt een faseruimte voor

Conus textile: dynamisch systeem

tijd

Cellulaire Automaten

Eén-dimensionaal

In het bijzonder: elementair• twee mogelijke waarden voor elke cel (0 of 1)

• regels hangen enkel af van naaste buren

Cellulaire Automaten: 1D, elementair

Cellulaire Automaten: 1D, elementair

Cellulaire Automaten: 1D, elementair

Wolfram (1984) stelt een indeling voor van de patronen in vier klassen:

Klasse I: Uniform

Na enkele stappen wordt elke cel constant.

Bijvoorbeeld Regel 222

Klasse II: Repeterend

De toestand van elke cel oscilleert in een regelmatig patroon.

Bijvoorbeeld Regel 190

Klasse III: Chaotisch

Er is geen gemakkelijk benoembaar patroon.

Bijvoorbeeld Regel 30: wordt gebruikt als pseudo-random generator in

Mathematica.

Klasse IV: Complex

Mix tussen klasse 2 en klasse 3: er zijn repeterende patronen, maar waar en

wanneer die patronen verschijnen is zelf schijnbaar random.

Bijvoorbeeld Regel 110

Conus textile: Regel 30 (klasse III)

Regel 30 (klasse III)

Regel 30 (klasse III)

Regel 110 (klasse IV)

Regel 110 (klasse IV)

Analogie:

Patronen in onze ruimtetijd

Humeaanse mozaïek

Cellulaire Automaten: chaos?

Bij continue, dynamische systemen zijn er oneindige veel

decimalen vereist om de begintoestand exact te specifiëren.

In chaotische systemen worden kleine verschillen door de

evolutie opgeblazen naar de significante cijfers (meetbaar),

met praktische onvoorspelbaarheid tot gevolg.

In cellulaire automaten gebeurt er iets soortgelijks: als de

ruimte oneindig groot is, kunnen we in de praktijk slechts een

eindig aantal cellen specifiëren. We beperken dan onze

verdere studie tot deze regio, maar de (willekeurig ingevulde)

cellen ernaast kunnen na verloop van tijd voor grote

verstoringen zorgen. Dat gebeurt als de regel chaotisch is.

(Studie ten gronde vereist het berekenen van Lyapunov exp.)

Cellulaire Automaten

Twee-dimensionaal

Cellulaire Automaten

Twee-dimensionaal

Conway carefully examined various rule combinations according to the

following three criteria:

• There should be no initial pattern for which there is a simple proof that

the population can grow without limit.

• There should be initial patterns that apparently do grow without limit.

• There should be simple initial patterns that grow and change for a

considerable period of time before coming to an end in the following

possible ways: 1. Fading away completely (from overcrowding or from becoming too

sparse)

2. Settling into a stable configuration that remains unchanged thereafter, or

entering an oscillating phase in which they repeat an endless cycle of two

or more periods.

Martin Gardner, Scientific American 223 (Oct. 1970) pp. 120–123.

Cellulaire Automaten

Twee-dimensionaal

Conway’s game of life

Rules

• A dead cell with exactly three live neighbors

becomes a live cell (birth).

• A live cell with two or three live neighbors

stays alive (survival).

• In all other cases, a cell dies or remains dead

(overcrowding or loneliness).

Cellulaire Automaten

Cellulaire Automaten

Cellulaire Automaten

Two dimensional

Conway’s game of lifeIt's possible to create patterns which emulate logic gates (and, not, or,

etc.) and counters. Building up from these, it was proved that the Game of

Life is Turing Complete, which means that with a suitable initial pattern,

one can do any computation that can be done on any computer. Later,

Paul Rendell actually constructed a simple Turing Machine as a proof of

concept.

Prof. dr. Sylvia Wenmackers

http://www.sylviawenmackers.be/blog

@SylviaFysica