Centrum voor Logica en Filosofie v/d wetenschappen · 2018-05-23 · Chaos Deterministische...
Transcript of Centrum voor Logica en Filosofie v/d wetenschappen · 2018-05-23 · Chaos Deterministische...
Chaos uit de automaat
Prof. dr. Sylvia Wenmackers
KU Leuven – HIWCentrum voor Logica en Filosofie v/d wetenschappen
http://www.sylviawenmackers.be/blog/
@SylviaFysica
Conus textile
Chaos
Chaos is een eigenschap van dynamische systemen: de
vergelijkingen drukken eigenschappen uit in functie v/d tijd.
Bovendien zijn de vergelijkingen:
- Deterministisch
- Niet-lineair (som van opl.n hoeft geen opl. te zijn)
- Gevoelig voor kleine variaties in beginvoorwaarden
• Aristoteles (De caelo, Boek I, deel 5): “[D]e kleinste afwijking van de
waarheid wordt later duizendvoudig vermenigvuldigd… [D]at wat klein
was bij het begin blijkt een reus te zijn aan het einde.”
• E. Lorenz (1972): “Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in
Brazil set off a Tornado in Texas?”
! Dit is een nodige, maar geen voldoende voorwaarde voor chaos !
Chaos
Deterministische vergelijkingen in combinatie met
beginvoorwaarden hebben een unieke oplossing voor alle
andere momenten. In principe perfect voorspelbaar, dus.
In de praktijk zijn er beperkingen in meetresolutie en kunnen
er afrondingsfouten optreden tijdens berekeningen.
In combinatie met gevoeligheid voor kleine variaties in
beginvoorwaarden zorgt dit ervoor dat chaotische systemen
in de praktijk vaak onvoorspelbaar zijn.
Chaos
Met andere woorden: een benadering v/d huidige situatie
en/of een benaderende berekening volstaan niet om de
situatie in de verre toekomst ‘ongeveer’ te voorspellen.
Er is een karakteristieke tijdsschaal (Lyapunov) waarbinnen
een chaotisch systeem wél goed voorspelbaar is.
Ons zonnestelsel is bijvoorbeeld chaotisch, maar de
Lyapunov tijdsschaal in de orde van miljoenen jaren.
De onzekerheid neemt exponentieel toe, dus op langere
tijdsschalen is de toestand van het systeem praktisch
onvoorspelbaar. (Wat overigens niet betekent dat we er
helemaal niets over kunnen zeggen.)
Chaos
Voorbeeld van een chaotisch systeem: het weer
Voorspelling van woensdag 16/5: max. temp 12u UT (14u) Brussel.
Gebaseerd op 1 + 50 prognoses op supercomputer van het
European Centre for Medium-Range Weather Forecasts.
80% van de prognoses zitten in de spreidingsband.
Chaos
We kunnen de karakteristieke tijdsschaal ‘zien’ als we naar
banen in de faseruimte kijken.
Chaos
De faseruimte is een abstracte ruimte waarin elk punt
correspondeert met een mogelijke toestand van het systeem
op een gegeven moment.
Voorbeeld: massa aan een slinger. Toestand wordt gegeven
door positie en snelheid. Stabiele baan, geen chaos.
Chaos
De faseruimte is een abstracte ruimte waarin elk punt
correspondeert met een mogelijke toestand van het systeem
op een gegeven moment.
Voorbeeld: baan van chaotisch systeem in 3D faseruimte.
Chaos
We kunnen de karakteristieke tijdsschaal ‘zien’ als we naar
banen in de faseruimte kijken (max. Lyapunov exponent λ>0).
Chaos
Chaos is een eigenschap van dynamische systemen: de
vergelijkingen drukken eigenschappen uit in functie v/d tijd.
Bovendien zijn de vergelijkingen:
- Deterministisch
- Niet-lineair
- Gevoelig voor kleine variaties in beginvoorwaarden
En de faseruimte heeft volgende eigenschappen:
- Positieve Lyapunov exponent.
- Regio’s v/d faseruimte raken vermengd (strekken+vouwen)
- Willekeurig dicht bij ieder punt in een regio v/d faseruimte
is er een periodieke baan.
Chaos
“Mengen” - zoals bladerdeeg maken: uitrollen + vouwen
Dit vierkant stelt een faseruimte voor
Conus textile: dynamisch systeem
tijd
Cellulaire Automaten
Eén-dimensionaal
In het bijzonder: elementair• twee mogelijke waarden voor elke cel (0 of 1)
• regels hangen enkel af van naaste buren
Cellulaire Automaten: 1D, elementair
Cellulaire Automaten: 1D, elementair
Cellulaire Automaten: 1D, elementair
Wolfram (1984) stelt een indeling voor van de patronen in vier klassen:
Klasse I: Uniform
Na enkele stappen wordt elke cel constant.
Bijvoorbeeld Regel 222
Klasse II: Repeterend
De toestand van elke cel oscilleert in een regelmatig patroon.
Bijvoorbeeld Regel 190
Klasse III: Chaotisch
Er is geen gemakkelijk benoembaar patroon.
Bijvoorbeeld Regel 30: wordt gebruikt als pseudo-random generator in
Mathematica.
Klasse IV: Complex
Mix tussen klasse 2 en klasse 3: er zijn repeterende patronen, maar waar en
wanneer die patronen verschijnen is zelf schijnbaar random.
Bijvoorbeeld Regel 110
Conus textile: Regel 30 (klasse III)
Regel 30 (klasse III)
Regel 30 (klasse III)
Regel 110 (klasse IV)
Regel 110 (klasse IV)
Analogie:
Patronen in onze ruimtetijd
Humeaanse mozaïek
Cellulaire Automaten: chaos?
Bij continue, dynamische systemen zijn er oneindige veel
decimalen vereist om de begintoestand exact te specifiëren.
In chaotische systemen worden kleine verschillen door de
evolutie opgeblazen naar de significante cijfers (meetbaar),
met praktische onvoorspelbaarheid tot gevolg.
In cellulaire automaten gebeurt er iets soortgelijks: als de
ruimte oneindig groot is, kunnen we in de praktijk slechts een
eindig aantal cellen specifiëren. We beperken dan onze
verdere studie tot deze regio, maar de (willekeurig ingevulde)
cellen ernaast kunnen na verloop van tijd voor grote
verstoringen zorgen. Dat gebeurt als de regel chaotisch is.
(Studie ten gronde vereist het berekenen van Lyapunov exp.)
Cellulaire Automaten
Twee-dimensionaal
Cellulaire Automaten
Twee-dimensionaal
Conway carefully examined various rule combinations according to the
following three criteria:
• There should be no initial pattern for which there is a simple proof that
the population can grow without limit.
• There should be initial patterns that apparently do grow without limit.
• There should be simple initial patterns that grow and change for a
considerable period of time before coming to an end in the following
possible ways: 1. Fading away completely (from overcrowding or from becoming too
sparse)
2. Settling into a stable configuration that remains unchanged thereafter, or
entering an oscillating phase in which they repeat an endless cycle of two
or more periods.
Martin Gardner, Scientific American 223 (Oct. 1970) pp. 120–123.
Cellulaire Automaten
Twee-dimensionaal
Conway’s game of life
Rules
• A dead cell with exactly three live neighbors
becomes a live cell (birth).
• A live cell with two or three live neighbors
stays alive (survival).
• In all other cases, a cell dies or remains dead
(overcrowding or loneliness).
Cellulaire Automaten
Cellulaire Automaten
Cellulaire Automaten
Two dimensional
Conway’s game of lifeIt's possible to create patterns which emulate logic gates (and, not, or,
etc.) and counters. Building up from these, it was proved that the Game of
Life is Turing Complete, which means that with a suitable initial pattern,
one can do any computation that can be done on any computer. Later,
Paul Rendell actually constructed a simple Turing Machine as a proof of
concept.
Prof. dr. Sylvia Wenmackers
http://www.sylviawenmackers.be/blog
@SylviaFysica