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ecuaciones diferenciales ordinarias
[ecuaciones diferenciales ordinarias]
ECUACIONES DIFERENCIALES
Introduccin:
Ecuacin diferencial
E.D.Ordinaria E.D Parcial
Mtodo de solucin
GRADO DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA
Esta dado por el mayor exponente del orden de la derivada
E.D.O
Ejemplo:
1) orden 2, grado 1
2) orden, 3 grado 2
3) orden 3, grado 1
Solucin de una E.D.O
Si: es una funcin y es la derivada de es decir
De donde E.D.O
Es la solucin de (x) consiste en buscar una funcin y= G (x) de tal manera que verifique a la ecuacin (x).
Ejemplo:
1. verifique que las funciones:
Son soluciones de la E.D.O
Sol: ser la solucin de la E.D.O ?
2. Verificar que la funcin:
Una solucin de la E.D.O
3. Verificar que la funcin
Es una solucin de la E.D.O
Solucin:
4. Encontrar la ecuacin diferencial cuya solucin general es:
Familia de curvas
Solucin:
5. Encontrar la ecuacin diferencial cuya solucin diferencial es:
Familia de curvas
Solucin:
6. Encontrar la ecuacin diferencial cuya solucin general es:
Solucin:
Ecuaciones diferenciales
Ejercicios propuestos por los alumnos
1)
Solucin:
2)
Solucin:
E.D.O de primer orden y de primer grado.
Para resolver este tipo de ecuaciones existen diversos mtodos:
E.D.O de variables separables
Es de la forma:
1) Ejemplo:
Resolver:
Solucin:
Dividiendo a toda la ecuacin:
Recordad que:
2) Resolver:
solucion:
Finalmente la solucion es:
E.D.O Reducible a variable separable
Dada la ecuacion:
Para cambiar a variable separable, hacer:
z depende de x ,y
Ejemplo:
Resolver:
Luego remplazando
PRACTICA DIRIGIDA N 01
1) Verifique que la funcion
Satisface la ecuacion diferencial:
Solucion:
2) Comprobar que la funcion
Solucion:
Observamos:
De esta manera
SEPARACION DE VARIABLE
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1)
Solucion:
2)
Solucin:
E.D.O HOMOGENEAS
Funcion homogenea
Una funicon es homogenea de grado K si cumple los puntos:
Ejemplo:
Compruebe que es homogenea de grado 3.
Solucion:
Comprobar:
E.D.O homogenea
Definicion: diremos que la ecuacion direferencial primaria de primer grado: es homogenea si M y N son funciones homogeneas del mismo grado.
Para ar solucion a una E.D.O homogenea se hacce el cambio de variable y se resuelve hasta llegar a obtener una E.D.Ode variable separable y por consiguiente funcion.
Ejemplo:
Resolver:
Solucion:
Remplazando
Dividiendo a toda la ecuacion por:
E.D.O homogeneas
Resolver: solucion:
Finalmente su solucion es:
E.D.O reducinle a homogeneas:
No son homogeneas debido a la constante Cy C, para eliminar la C y C encontraremos el punto de intercecion de las rectas dado por y luego hacemos el cambio de variable:
Ejemplo: Resolver:
Solucion:
Remplazando:
Luego hacemos cambio de variable:
Haora remplazamos en: ():
Resolver:
Solucion:
Remplazando en la E.D.O original:
3) Resolver: (2x-3y+4)dx+3(x-1)dy=0 ; solucion:
REPASO
E.D.O homognea
Funcin homognea
Si:
Ejemplo:
Comprobar si es una funcin homognea
Solucin:
F es una funcin homognea de grado 4
E.D.O de primer orden y de primer grado
Donde:
Ejemplo:
Resolver la siguiente E.D.O
1)
E.D.O de primer grado y orden 1
Sea y=ux
2) Ejemplos:
Resolver: la siguiente E.D.O
Solucin:
M y N son homogneas de grado 1
E.D.O homognea
Ejemplo:
Resolver la E.D.O
Solucin (h, k)= (1,-5)
E.D.O homognea
E.D.O Exactas
Diferencial total:
Si es una funcin diferencial en entonces la diferencial total de es la funcin , cuyo valor esta dado por:
Diferencial exacta
Una expresin de la forma:
Se denomina exacta si existe una funcin:
Tal que
Es decir, que toda expresin que es la diferencial total de alguna funcin de x e y se llama diferencial exacta.
Definicin: (E.D.O Exacta)
Considerar a la E.D
Si existe tal que:
Diremos que E.D.O es exacta.
Teorema: la condicin necesaria y suficiente para que una E.D:
Sea exacta, es que:
Ejemplo:
La ecuacin diferencial ordinaria:
Es exacta?
Solucin:
Solucin de la E.D.O Exacta
Consideremos la E.D.O Exacta
Entonces si existe una funcin
Remplazando (2) en (1)
Por otra parte, si
Es la solucin de la E. D.O Exactacomo:
Como:
Integramos con respecto a y
Remplazando () en () se tiene la solucin de (1)
En forma anloga se hace para otro caso cuando se toma:
Ejemplo:
Resolver la E.D.O
Solucin:
Integramos con respecto a x:
Integramos con respecto a y:
Ejemplo:
Resolver la E.D.O
Solucin: