Cálculo II

Aula 08: Valores Máximos e Mínimos, Valores Máximos e Mínimos

Absolutos.

Definição

Uma função de duas variáveis tem máximo local em em (a,b) se

para (x,y) próximo de (a,b). O número f (a,b) é um chamado valor máximo

local.

Se para (x,y) próximo de (a,b), então f (a,b) é um valor mínimo local.

( , ) ( , )f x y f a b

( , ) ( , )f x y f a b

Máximo e mínimo absoluto

Se as inequações da definição anterior valerem para todos os pontos (x,y) do domínio de f, então f tem máximo absoluto ( ou mínimo absoluto) em (a,b)

Graficamente

Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (a,b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então

e( , ) 0xf a b

( , ) 0yf a b

Pontos críticos

Um ponto (a,b) é dito ser um ponto crítico (ou ponto estacionário) de f se e , ou uma das derivadas parciais não existir.

( , ) 0xf a b ( , ) 0yf a b

Exemplo 1

Determine os pontos críticos de 2 2( , ) 2 6 14.f x y x y x y

Exemplo 2

Determine os valores extremos de 2 2( , ) .f x y y x

Teste da derivada segunda

Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas em uma vizinhança de (a,b), e suponha que

fx(a,b) = 0 e fy(a,b) = 0. Seja2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )xx yy xyD D a b f a b f a b f a b

) Se 0 e 0,então ( , ) é um mínimo local.xxa D f f a b ) Se 0 e 0,então ( , ) é um máximo local.xxb D f f a b ) Se 0 ,então ( , ) não é um máx. nem mín. local.c D f a b

Exemplo 3

Determine os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela de

4 4( , ) 4 1.f x y x y xy

Exemplo 3

Sela

Mínimo

Mínimo

Exercício 4 p. 959

Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo locais em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida empregue o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições.

Exercício 4 p. 959

Mínimo local Máximo

local

Pontode sela

Pontode sela

Exemplo 4

Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa.

Exemplo 4

Idéia de conjunto fechado

Fechado Aberto Não FechadoNão Aberto

Valor extremo

Se f for contínua em um conjunto fechado e limitado D de 2, então f atinge um valor máximo e um valor mínimo absoluto.

Procedimento:

• Determine os valores de f nos pontos críticos de f no interior de D.

• Estabeleça os valores extremos de f na fronteira de D.

• O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Exemplo 5

Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função no retângulo .

2( , ) 2 2f x y x xy y {( , ) | 0 3,0 2}D x y x y

Exemplo 5

Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2