ASPA1 - unistra.frudsmed.u-strasbg.fr/labiostat/IMG/pdf/Krigeage.pdfAhmed Hamadouche Septembre 2006...

Universite Louis Pasteur Strasbourg

Krigeage et pollution atmospherique

Ahmed Hamadouche

Septembre 2006

1Association pour la Surveillance et l′etude de la Pollution Atmospherique en Alsace

Plan de l′expose

X Objectif

Universite Louis Pasteur – ASPA 1

Plan de l′expose

X Objectif

X Krigeage vs krigeage avec derive(s) externe(s)

Plan de l′expose

X Objectif

X Problematique

Plan de l′expose

X Objectif

X Problematique

X Etude de cas: Mulhouse

Plan de l′expose

X Objectif

X Problematique

X Generalisation de la methode a l’Alsace

Plan de l′expose

X Objectif

X Problematique

X ISATIS: programmation en mode batch

Plan de l′expose

X Objectif

X Problematique

X Conclusion

Plan de l′expose

X Objectif

X Problematique

X Conclusion

X Perspectives

Objectif

X Cartographier un polluant (NO2, C6H6) avec le logiciel ISATIS

Objectif

? Methode mise en œuvre

Objectif

Krigeage avec derive(s) externe(s)

Objectif

Krigeage avec derive(s) externe(s)

contrainte: ISATIS gere au maximum trois derives externes !

Krigeage vs krigeage avec derive(s)externe(s)

X Le krigeage est une combinaison lineaire des donnees tenant compte:

des distances entre les donnees

des distances entre les donnees et la cible

de la structure spatiale

et d’autres informations telles que par exemple la sismique, lageologie,. . .

X Le krigeage Z(s0) en un point s0 est un estimateur de Z(s0) ayant lesproprietes suivantes:

? Z(s0) est une combinaison lineaire des donnees Z(si)

Z(s0) =n∑

λiZ(si)

Z(s0) =n∑

λiZ(si)

? Z(s0) est sans biais

Z(s0) =n∑

λiZ(si)

E[Z(s0)− Z(s0)

Z(s0) =n∑

λiZ(si)

E[Z(s0)− Z(s0)

? Z(s0) est optimal

Z(s0) =n∑

λiZ(si)

E[Z(s0)− Z(s0)

? Z(s0) est optimal

V ar[Z(s0)− Z(s0)

]minimale

X Les hypotheses (stationnarite d’ordre 2) sont les suivantes:

X Les hypotheses (stationnarite d’ordre 2) sont les suivantes:{∀ s ∈ V, E [Z(s)] inconnue∀ s, s + h ∈ V, Cov [Z(s + h), Z(s)] = C(h)

ou V est le voisinage de krigeage.

X Les hypotheses (stationnarite d’ordre 2) sont les suivantes:{∀ s ∈ V, E [Z(s)] inconnue∀ s, s + h ∈ V, Cov [Z(s + h), Z(s)] = C(h)

ou V est le voisinage de krigeage.

X Resolution du systeme de krigeage ordinaire

n∑i=1

λiC(sj − si) + µ = C(sj − s0) ∀ j = 1, . . . , n

n∑i=1

λi = 1

X Dans la realite: pratiquement jamais de stationnarite

krigeage avec derive(s) externe(s)

X Principe

? Decomposer la fonction aleatoire Z(s)

Z(s) = Y (s)︸︷︷︸residu

+m(s)︸︷︷︸derive

X Soit S une fonction correlee a la variable Z telle que:

E [Z(s)] = m(s) = a0 + a1S(s) a0 et a1 inconnus

S est appelee derive externe

X Le systeme de krigeage avec derive externe s’ecrit alors:

n∑i=1

λi = 1

n∑i=1

λiS(si) = S(s0)

n∑j=1

λjKij + µ0 + µ1S(si) = Ki0 ∀i

Problematique

X Nombre de variables auxiliaires disponibles trop grand!

Problematique

Analyse en Composantes Principales

Problematique

X Choix adequat des variables auxiliaires

Problematique

Regression lineaire multiple

Problematique

tests statistiques

X Les donnees

– n observations et p variables quantitatives y1, ...,yp

X Les donnees

– n observations et p variables quantitatives y1, ...,yp

y11 . . . yj

1 . . . yp1... ... ...

y1i . . . yj

i . . . ypi... ... ...

y1n . . . yj

n . . . ypn

X Question:

– Si n = 1000 et p = 60 , comment representer les variables dans unespace a 60 dimensions?

X Question:

– Si n = 1000 et p = 60 , comment representer les variables dans unespace a 60 dimensions? il faut reduire le nombre de variables!

X Question:

X Principe de l’ACP

X Question:

X Principe de l’ACP

Resumer les 60 variables en 5 variables qui pourraient reconstituerapproximativement les 60 .

X Application a nos donnees (Mulhouse)

Le fichier des immissions: 11984 observations, 10 variables

Le fichier des immissions: 11984 observations, 10 variables? densite de populationI POP

? occupation du solI BATIDENS, BATILACHE, INDUS, CONIF, FEUILLUS,

VIGNES, PRAIRIES, CULTPRINT

? occupation du solI BATIDENS, BATILACHE, INDUS, CONIF, FEUILLUS,

VIGNES, PRAIRIES, CULTPRINT

? altimetrieI ALTI

X Application a nos donnees: Mulhouse

Les emissions: 462 observations, 7 variables

Les emissions: 462 observations, 7 variables? oxydes d’azoteI NOx

? benzeneI BENZ

? composes organiques volatiles non methaniquesI COVNM

? benzeneI BENZ

? particulesI PAR

? benzeneI BENZ

? particulesI PAR

? dioxyde de soufreI SO2

? benzeneI BENZ

? particulesI PAR

? monoxyde de carboneI CO

? benzeneI BENZ

? particulesI PAR

? monoxyde de carboneI CO

? benzo(a)pyreneI BaP

X Au total: 17 variables

– 10 variables pour l’occupation du sol

– 7 variables pour les emissions

Beaucoup trop pour un choix adequat des variables auxiliaires! Analyse en Composantes Principales

X ACP sur l’ occupation du sol

On retient 5 variables 86% de l’information de depart restituee

– 1ere variable: X1

I X1 = CBTDBATIDENS + CBTLBATILACHE + CINDINDUS

I X1 = CBTDBATIDENS + CBTLBATILACHE + CINDINDUS espaces a caracteres urbains / peri–urbains

– 2eme variable: X2

I X2 = CFLSFEUILLUS + CCPTCULTPRINT + CPRSPRAIRIES + CVGSVIGNES

vegetation

I X3 = CCPTCULTPRINT + CVGSVIGNES + CPRSPRAIRIES

vegetation

I X3 = CCPTCULTPRINT + CVGSVIGNES + CPRSPRAIRIES cultures

X ACP sur l’occupation du sol

I X4 = CINDINDUS + CBTLBATILACHE

I X4 = CINDINDUS + CBTLBATILACHE industrialisation

I X5 = CONIF

I X5 = CONIF coniferes

X ACP sur les emissions

I X6 = CBENZBENZ + CCOCO + CBAPBAP + CNOXNOX + CPARPAR

I X6 = CBENZBENZ + CCOCO + CBAPBAP + CNOXNOX + CPARPAR pollution trafic

I X7 = CSO2SO2 + CCOVNMCOVNM

pollution industrielle

X Conclusion

? Reduction du nombre de variables de 15 a 9.

X Conclusion

? Reduction du nombre de variables de 15 a 9. Il s’agit maintenant de trouver les variables auxiliaires adequates pour

cartographier le polluant souhaite.

X Principe

– Etudier l’existence d’une relation entre:

X Principe

– Etudier l’existence d’une relation entre:I une variable y (variable a expliquer )

X Principe

I et d’autres variables x1, . . . , xn (variables explicatives)

X Principe

I et d’autres variables x1, . . . , xn (variables explicatives)

X Ecriture du modele

y = Xβ + εou

1 x11 . . . x1

n... ... ... ...1 xn

1 . . . xnn

β1...

ε1...

I y = NO2

I x1 = X1

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I x3 = X3

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I x3 = X3

I x4 = X4

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I x3 = X3

I x4 = X4

I x5 = X5

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I x3 = X3

I x4 = X4

I x5 = X5

I x6 = X6

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I x3 = X3

I x4 = X4

I x5 = X5

I x6 = X6

I x7 = X7

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I x3 = X3

I x4 = X4

I x5 = X5

I x6 = X6

I x7 = X7

I x8 = X8 (POP)

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I x3 = X3

I x4 = X4

I x5 = X5

I x6 = X6

I x7 = X7

I x8 = X8 (POP)I x9 = X9 (ALTI)

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I x3 = X3

I x4 = X4

I x5 = X5

I x6 = X6

I x7 = X7

X Le modele s’ecrit:

NO2 = β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+β5X5+β6X6+β7X7+β8X8+β9X9

I y = NO2

I x1 = X1

I x2 = X2

I x3 = X3

I x4 = X4

I x5 = X5

I x6 = X6

I x7 = X7

X Le modele s’ecrit:

NO2 = β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+β5X5+β6X6+β7X7+β8X8+β9X9

calcul des βi (i = 0, . . . , 9) par la methode des moindres carres

X La regression lineaire multiple pas a pas

Principe:? selectionner les variables de facon a obtenir le “meilleur” modele

X Comment selectionner les variables

le test de Student? H0 : βi= 0 i = 0, . . . , 9

contre? H1 : βi 6= 0 i = 0, . . . , 9

si on accepte H1, la contribution marginale de Xi est significative auseuil α

X Conclusion

? les contributions marginales deI X1 = CL(BATIDENS,BATILACHE, INDUS) P(t > |t|obs) = 0.0003

X Conclusion

I X6 = CL(BENZ,CO,BAP,NOX,PAR) P(t > |t|obs) = 0.0002

X Conclusion