Post on 03-Jul-2015
description
Fungsi Kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat dua. Gambar dari suatu fungsi
kuadrat dapat berupa salah satu dari empat kemungkinan
bentuk potongan kerucut : lingkaran, elips, parabola, atau
hiperbola.
Bentuk umum suatu persamaan kuadrat ialah :
ππ₯2 + ππ₯π¦ + ππ¦2+ππ₯ + ππ¦ +π = 0
(setidaknya salah satu dari π ππ‘ππ’ π tidak sama dengan
nol)
Dari bentuk itu dapat di identifikasi :
Jika π = 0 dan π = π β 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika π2 β 4ππ < 0, kurvanya adalah elips
Jika π2 β 4ππ > 0, kurvanya sebuah hiperbola
Jika π2 β 4ππ = 0, kurvanya sebuah parabola
Apabila π = 0 dan dalam persamaan kadrat tersebut tidak
terdapat suku yang mengandung xy, bentuk umum tadi
βberkurangβ menjadi :
ππ₯2 + ππ¦2 + ππ₯ + ππ¦ + π = 0
Identifikasinya menjadi sebagai berikut :
Jika π = π β 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika π β π, tetapi bertana sama, kurvanya sebuah elips
Jika π πππ π berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola
Jika π = 0 ππ‘ππ’ π = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya
sebuah parabola
Lingkaran secara geometri ialah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat. Jarak titik terhadap pusat disebut jari-jari lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran ialah :
Pusat dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan rumus baku yaitu :
Dimana i dan j adalah jarak pusat lingkaran terhadap sumbu vertikal βy dan sumbu-sumbu horizontal β x, sedangkan r adalah jari-jari
ππ₯2 + ππ¦2 + ππ₯ + ππ¦ + π = 0
(π₯ β πΌ)2+(π¦ β π)2= π2
Elips ialah kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya
terhadap dua fokus selalu konstan. Fokus elips ialah
sebarang titikk yang terletak pada sumbu elips. Titik potong
antara sumbu-sumbu sebuah elips merupakan pusat elis
yang bersangkutan.
Bentuk umum persamaan elips :
( a setanda tapi tidak sama besar dengan b)
Pusat dan jari-jari lelips dapat dicari dengan rumus
baku yaitu :
ππ₯2 + ππ¦2 + ππ₯ + ππ¦ + π = 0
(π₯βπ)2
π12+
(π¦βπ)2
π22= 1
hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang
perbedaan jaraknya terhadap dua fokus yang selalu
konstan. Perpotongan antara sumbu simetri merupakan
pusat hiperbola. Sumbu simetri yang memotong hiperbola
disebut sumbu lintang (transverse axis).
Bentuk umum persamaan hipebola :
Pusat hiperbola dapat dicari dengan rumus baku yaitu :
ππ₯2 + ππ¦2 + ππ₯ + ππ¦ + π = 0
(π₯βπ)2
π2 + (π¦βπ)2
π2= 1
Persamaan untuk asimtot-asimtotnya dapat dicari melalui
bentuk rumus baku yaitu :
atauπ₯ β π
π= Β±
π¦ β π
ππ¦ β π
π= Β±
π₯ β π
π
Parabola adalah bentuk persamaan kudarat yang
paling penting dalam bisnis dan ekonomi. Parabola ialah
bentuk kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap
sebuah titik fokus dan garis lurus yang disebut direktriks.
Setiap [parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan
sebuah titik ekstrim. Titik ekstrim parabola tak lain ialah titik
potong antara sumbu simetri dan parabola yang
bersangkutan.
Bentuk umum persamaan parabola :
Sumbu simetri // sumbu vertikal
atau
Sumbu simetri // sumbu horizontal
π¦ = ππ₯2 +ππ₯ + π
π₯ = ππ¦2 +ππ¦ + π
Titik ekstrim parabola (i,j) adalah :
Dimana βb/2a adalah jarak titik ekstrim dari sumbu vertikal
βy, sedangkan (π2-4ac)/-4a adalah ara titik ekstrim dari
sumbu horizontal βx.
(βπ
2π,π2 β 4ππ
β4π)
Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi
yng pangkat tertinggi variabelnya adalahpangkat tiga.
Bentuk umum persamaan fungsi kubik :
Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah
titik belok, yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung
menjadi cembung atau sebaliknya. Selain titik belok,
sebuah fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik
ekstrim atau dua titik ekstrim. Ada tidaknya titik ekstrim
tergantung pada ada besarnya nilai a,b,c, dan d pada
persamaanya.
π¦ = π + ππ₯ + ππ₯2 + ππ₯3
β’ Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar
Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih
tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit.
Sebaliknya, subsidi menyebabkan harga keseimbangan
menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi
banyak.
p
Pe
0
Qs
E
Qd
QQe
Keseimbangan Pasar
Qd=Qs
Qd : jumlah permintaan
Qs : jumlah penawaran
E : titik keseimbangan
Pe : Harga keseimbangan
Qe : jumlah keseimbangan
β’ Fungsi Biaya
Bentuk non-linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian bagiannya dapat dilihat sebagai berikut :
a) Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik
Andaikan C = ππ2-ππ + π
maka
πΆ =πΆ
π= ππ β π +
π
π
π΄ππΆ =ππΆ
π= ππ β π
π΄πΉπΆ =πΉπΆ
π= π/π
FCVC
b) Biaya total merupakan fungsi kubik
Andaikan πΆ = ππ3 β ππ2 + cQ + d
maka :
π΄πΆ = ππ = ππ2 β bQ + c +d
Q
π΄ππΆ =ππΆ
π= ππ2 β bQ + c
π΄πΉπΆ =πΉπΆ
π=
π
π
VC FC
β’ Fungsi Penerimaan
Bentuk fungsi penerimaan total yang non-linear
pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola
terbuka kebawah
Mengingat R=QxP atau P=R/Q, sedangkan AR=R/Q,
berarti penerimaan rata-rata (AR) tak lain adalah harga
barang per unit (P). Secara grafik, kurva AR adalah juga
kurva permintaan dalam bentuk P = g(Q)
Penerimaan Total : π = π Γ π = π π
Penerimaan rata-rata : π΄π =π
π
Penerimaan Marjinal : ππ =βπ
βπ
β’ Keuntungan, Kerugian dan Pulang-Pokok
C,R
0Q1 Q2 Q3 Q4
Q
C=c(Q
)
R=r(Q)
TPP
TPP : Titik pulang-
pokok
β’ Fungsi Utilitas
pada umunya, semakin banyak jumlah suatu barang
dikonsumsi semakin besar utiltas yang diperoleh.
0 MU
Q
U=f(Q
)
Utiltas Total :
U= f(Q)
Utilitas Marjinal :
MU=βπ
βπ
β’ Fungsi produksi
Bentuk fungsi produk total, pada umumnya berupa
sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan
sebuah titik puncak. Jika dalam suatu kegiatan produksi
dianggap hanya terdapat satu masukan variabel,
katakanlah X, sementara masukan-masukan lainnya
merukan msukan tetap, maka fungsi produksinya dapat
dinyatakan dengan notasi P = f(x)
Secara grafik, kurva produk total P mencapai puncaknya
tepat ketika kurva produk marjinal MP=0. sedangkan MP
mencapai puncaknya tepat pada posisi belok kurva P
Produk Total : P = f(x)
Produk Rata-rata : AP =π
π
ProdukMarjinal : MP =βπ
βπ
β’ Kurva Transformasi Produk
kurva transformasi produk ialah kurva yang
menunjukan pilihan kombinasi jumlah produksi dua macam
barang dengan menggunakan masukan yang
samasejumlah tertentu. Kurva transformasi produk
kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, elips, hiperbola
maupun potongan parabola
β’ Model Distribusi Pendapatan Pareto
Menurut Vilfredo Pareto, jumlah penduduk dari suatu
populasi a yang berpendapatan melebihi x adalah :
Dimana b merupakan suatu parameter atau besaran
populasi tertentu.
π =π
π₯π
Ju
mla
h P
enduduk
Berp
endapata
n m
ele
bih
i x
N
0 Pendapatan (US$)
x
π =π
π₯π
a : populasi total
b : parameter populasi
x : batas pendapatan tertentu
N : bagian dari populasi yang
berpendapatan melebihi x
β’ Fungsi Eksponensial
fungsi eksponensial ialah fungsi dari suatu
konstanta berpangkat variabel bebas. Kurvanya terletak di
kuadran-kuadran atas (kuadran I dan kuadran II) pada
sistem koordinat.
Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah :
Kurvanya asimtotik terhadap garis y=c. Mengingat bentuk
inimengandung bilangan e maka pengetahuan tentang
konsep logaritma khususnya logaritma napier berbasis e,
sangat diperlukan untuk menyelesaikan persamaan
eksponensial semacam ini.
π¦ = ππππ₯+ c π β 0π, π βΆ ππππ π‘πππ‘π
β’ Fungsi Logaritmik
Fungsi Logaritmik adalah kebalikan dari fungsi
eksponensial, variabel bebsanya merupakan logaritma.
Bentuk fungsi loaritmik yang paling sederhana :
Y = n log X
Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum :
Y = a1n (1 + x ) + b
β’ Model Bunga Majemuk
Untuk menghitung jumlah di masa datang dari
jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan, kita dapat
menggunakan model bung majemuk
Dimana πΉπ melambangkan jumlah pinjaman atau tabungan
setelah n tahun, P melambangkan jumlahnya sekarang
(tahun ke-0), i adalah tingkat bunga pertahun, m adalah
frekuensi pembayaran bunga dalam setahun dan n adalah
jumlah tahun
πΉπ = π (1 +π
π)ππ
β’ Model Pertumbuhan Penduduk
Model pertumbuhan penduduk merupakan bentuk
fungsi eksponensial. Model semacam ini tidak saja relevan
bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga dapat
diterapkan untuk menaksir variabel- variabel lain
berkenaan dengan pertumbuhannya.
Notasi model pertumbuhan :
Dimana N melambangkan variabel yang sering diamati, r
ialah persentase pertumbuhannya per satuan waktu
tertentu, sedangkan t adalah indeks waktu.
ππ‘ = π1π π‘β1 R = 1 + π
β’ Kurva Gompertz
Untuk menganalisis variabel yang gejalanya
asimtotik terhadap batas-jenuh tertentu), model
pertumbuhan yang tetap untuk diterapkan adalah model
pertumbuhan Gompertz. Model ini didasarkan atas bentuk
atau pola kurva Gompertz, yang bentuk persamaannya.
Dimana N melambangkan jumlah variabel tertentu yang
sedang diamati, r melambangkan tingkat pertumbuhan
rata-rata (0<r<1), a melambangkan proporsi pertumbuhan
awal, c melambangkan batas-jenuh pertumbuhan N
(merupakan asimtot atas), sedangkan t adalah indeks
waktu.
π = πππ1
Kurva Gompertz mempunyai dua tipe dasar yakni :
N
0
t
N= c
Batas jenuhπ = πππ
1
Tipe I : 0 <a<1
π
Tipe II : 1
πβ€ π < 1
β’ Kurva Belajar
Dalam ekonomi, kurva belajar cocok untuk menggambarkan
perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel
waktu
Bentuk dasar persamaan kurva belajar :
y
0x
π¦ = πs
(0,m-s)
π¦ = π β π πβππ₯
π,π, π > 0Konstanta m
melambangkan batas-
jenuh y, atau y
tertinggi yang dapat
tercapai. Perhatikan
bahwa jika x=0, y=m-s
β’ Model Efisiensi Wright
bentuk anti-log persamaan yang disebut model
efisiensi Wright, yakni :
dimana ;
π : waktu yang diperlukan untuk memproduksi unit pertama
dari produk yang dihasilkan
π βΆ jumlah produksi
π βΆ tingkat efisiensi waktu produksi
π‘ βΆ waktu produksi rata-rata kumulatif
π‘ = π ππ π =log π
0,3010
waktu produksi total dapat dihitung dengan cara
mengalikan waktu produksi rata-rata kumulatif (t) tadi
terhadap jumlah produksinya (q)
π = π‘ Γ π = πππ Γ π = ππ1+π