Post on 03-Dec-2015
description
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
55
CAPÍTULO I
TEORÍA DE EXPONENTES Y RADICALES I Propiedades de la Potenciación 1. Multiplicación de Potencias de Bases
Iguales.
am
. an = a
m + n
2. División de Potencias de Bases iguales
am
: an = a
m – n ó a
m = a
m – n
an
Casos particulares: 1. Si m = n, entonces: a
m = a
m – n
an
1 = a0 / a 0
3. Potencia de una Multiplicación
(a . b)n = a
n . b
n
Ejemplos: __ 2 2 __ 1
(1) 1 . 10 = 1 . (10 ) 4 4 1 x 10 = 10 16 16
4. Potencia de una División
a n = a
n / b 0
b bn
Ejemplos: __ 4 __ 4
(1) 2 = 2
3 35
2
2 = 4
81 81
5. Potencia de Potencia
(am
)n = a
mn
Ejemplos:
3
(1) [(0,5)2] = (0,5)
6
6. Exponente Negativo:
a
-n = 1 ó 1 = a
n
an
Ejem: 7
–2 3
2
3 7 1
–1 3
1
3 1
EJERCICIOS 1. Reducir M a su mínima expresión:
M = [(x
2y
3)2]
x12
y18
2. Hallar el valor de Q en: E = 2
a+3 = 64
23
3. Efectuar: 156 x 12
4 x 5
9 x 6
3 =
1011
x 313
x 54
a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 4
4. Efectuar: 311
+ 212
= 3x3
7 4
3 x (-2)
5
a) 15 b) 10 c) –25 d) 25 e) 27
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
56
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN __
Por definición: na = r a = r
n
__
Ejemplo: 3 8 = 2 2
3 8
1) Raíz de una Potencia:
__ m m n
a = an
___
18
Ejm: 3a
18 = a
3 = a
6
2) Raíz de una Multiplicación:
_____ __ __ n a x b =
n a x
n b
______ __ __
Ejm: 4 x 16 = 4 x 6 2 x 4 = 8
3) Raíz de una División: ___
n a =
n a b 0
b n b
Ejm: __
(1) 3 x
4 =
3 x
4
y 3 y
4) Raíz de Raíz:
m n p m x n x p
a = a Ejm: 5 3 12
32
32 = 32 = 2
5) Potencia de una Raíz __ m ___
n a =
n a
m
Ejm: __ 2 ___
1) 3 4 =
3 4
2
___ __
2) 3 2
3 = (
3 2 )
3
3) Efectuar: E = [32 – 32
0,8 , 32
0,6 – 32
0,4]
a) 4 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64
PROBLEMAS PARA LA CLASE Teoría de exponentes y Radicales (I) (1) Reducir:
0 25-1
__ 28
7 3-8 + 3
5 + (-3)
0
a) 5 b) 25 c) 1/5 d) 3 e) 0
(2) Efectuar:
7
-70
2562
a) 16 b) 18 c) 12 d) 10 e) 13
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
57
(3) Efectuar:
-70
-4-2
1259
a) 25 b) 5 c) 15 d) 125 e) 1
(4) Efectuar: 0
2
-2-8
[0,01]
-4
a) 10 b) 1 c) 5 d) 2 e) 100
(5) Reducir: 32
__
P = 2 2 2 2 2 a) 2 b) 8 c) 2
32 d) 2
3 e) 2
31/32
(6) Reducir:
E = 7
n+2 – 7(
7n)
7(7n-1
) a) 10 b) 25 c) 5 d) 42 e) 21
(7) Reducir: 12
3 x 6
3
94 x 2
10
a) 4 b) 2 c) 2
5 d) ½ e) ¼
(8) Hallar el valor de “m” para que se cumpla la sgte. igualdad: y
3 x
8m+1
y6
(9) Efectuar: [0,01]
4[0,0001]
3
[0,0000001]2
a) 0,01 b) 1/5 c) 0,1 d) ½ e) 10
-6
(10) Calcular “x” si: x =
25 (0,0001)
5 (0,001)
3
(0,01)2
__
a) 1 b) 2510 c) 0,1
d) 0,001 e) 10
(11) Reducir: _____ 1-10
0
-70 +
357658 + (-7)
0
a) 7 b) 1 c) 2 d) 13 e) 0
(12) Simplificar: 5(4
x-1)__
4x-2
+ 22x-2
a) –4 b) 1 c) 16 d) 2 e) 4
(13) Simplificar:
-1
-16-2
1 -16
100 a) 6 b) 8 c) 10 d) 100 e) 2
(14) Si: 5x + 5
x+1 + 5
x+2 = 3875
Hallar: “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
58
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Simplificar:
3a+2
+ 3a(3
3)
3a+1
+ 3a+2
a) 3 b) 6 c) 1 d) 9 e) 12
2. Efectuar: [0,02]
2 [0,003]
3___
(0,0108)(0,000000001) a) 10 b) 2 c) –1 d) 1 e) 0
3. Efectuar: 3
8 + 2
10_
35 4
3(-2)
3
a) 15 b) 10 c) –25 d) 25 e) 27
4. Simplificar:
3x+1
+ 3x+2
9[3
x-2]
a) 15 b) 9 c) 3 d) 12 e) 18
5. Reducir:
F = 7n+2
– 7(7n)
7(7n-1
) a) 10 b) 26 c) 5 d) 42 e) 21
6. Reducir:
F = 5(4x-1
)_ 7
x+2 + 2
2x-2
a) –4 b) 1 c) 16 d) 2 e) 4
7. Reducir: 70
4-2
2
–2 + 4
–1 + 1
–3
5 7 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. Reducir: 5(6
x)_____
[2x+3
– 2x+1
– 2x]
a) 3
x b) 6 c) 2 d) 1 e) 8
9. Reducir: pq (p
q)r-p
. (qp)q-r
(qp . p
-q)-r
a) 1 b) p c) q d) pq e) q/p
10. Calcular: 20
n+1___ 5
n-1 + 3
n-1
n 4
n+2 + 2
2n+2 +
n-1 5
1-n + 3
1-n
a) 1 b) 5 c) 15 d) 20 e) 25
11. Reducir: m-n
6m
.3n + 2
m+n
6n.3
m + 4
n
a) m b) n c) 1 d) 2 e) N.A.
12. Calcular: x = 25
(0.0001)5 + (0.001)
3
(0.01)2
__
a) 1 b) 2510 c) 0.1 d) 0.01 e)
10
13. Calcular:
0
4-5
E = 516
a) 1 b) 5 c) 25 d) 8 e) N.A.
14. Calcular el valor de “m” en la siguiente igualdad: x
m x
m+2 = x
3
a) 1 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
59
CAPÍTULO II
TEORÍA DE EXPONENTES Y RADICALES (II) (1) Indicar cuál es falso:
-6-2
-90
I. –3 = – 1 -3
27
II. 1
–1 + 1
–1 + 1
–1 = 12
5 3 4
III. 2n+8
: 2n+3
= 32 a) solo I b) solo II c) solo III d) I y II e) N.A.
(2) Simplificar:
R = nnn
nn
52
52
a) 7 b) 3 c) 10
d) n 10 e) n 5
(3) Simplificar: T = 2
n+8 + 2
n+7 + 2
n+5
26. (2n)
a) 8 b) 64 c) 32 d) 16 e) 4
(4) Simplificar: 8
n+2 + 8
n – 4 x 2
n-2
–1
(4n) (2
n) 2
n+5 + 4 x 2
n
a) 12 b) 28 c) 29 d) 16 e) 72
(5) Simplificar:
2 -3
0
-16-2
1 -16
: 4 x 8m+1
– 2 x 8m
81 8
m + 2
3m+1
a) 1 b) 2 c) ½ d) 1/3 e) -1
(6) Simplificar: E = [32 – 32
0.8 – 32
0.6 – 32
0.4]1.5
a) 64 b) 24 c) 32 d) 8 e) 16
(7) Simplificar:
Q = 6432
432
222
222
xxx
xxx
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 24
(8) Reducir:
1
E = [(32)-0,4
– (32)-0,6
]2
_ _
a) 0,5 b) 2 c) 2 d) 4 e) 3
(9) Simplificar: -2
-1 -2
-1
A = [16-4
]
(10) Hallar E, en: E = 8 4
–2 – 2
–3 – 8
–1
5 3 9 a) 3 b) –2 c) 1 d) 2 e) 4
(11) Efectuar:
R = 2
1
223 2253627111
a) 1 b) 2 c) 4 e) ½ e) ¼
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
60
PRÁCTICA DOMICILIARIA (1) Reducir:
5,0
322
3
1
3
12
2
1
a) 6 b) 6 c) 7
d) 7 e) 7
7
(2) Simplificar:
5 _
5 55 5 _
(210
) – 5 55
a) 2 b) 3 c) 1/3 d) ½ e) ¼
(3) Hallar el valor del exponente de x si: E = x : x : x a) ¾ b) 3/8 c) ½ d) 5/16 e) 8/3
(4) Hallar x, si: 9
x-1 – 6 = 3
x-1
_
a) ½ b) -2 c) –2 d) 2 e) 1
(5) Hallar x, si:
8x+1
= 4x-2
a) 4 b) 7 c) –2 d) –7 e) –1
(6) Calcular x, si:
x
232
= 256 a) 3/5 b) 5/3 c) 4/3 d) ¾ e) 4
(7) Si: xx-2
= 16 El valor de “x” es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
(8) Hallar el valor de x, si:
xx+1
= 81 a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1
(9) Hallar x, si: 12
2x+1 = 3
x+3
4x+3
a) 4 b) 3 c) –3 d) 2 e) 1
(10) Hallar x, en: 9x+2
= 720 + 9x
a) 4 b) 1 c) –4 d) 2 e) 3 x
(11) Si xx = 2, hallar:
x x x
E = x x + x + x
a) 8 b) 4 c) 32 d) 16 e) N.A.
(12) Simplificar: E =
a-b 5
a-b + 2
a-b
5b-a
+ 2b-a
a) 10 b) 18 c) 6 d) 4 e) 2
(13) Efectuar:
F = (64) 3
1
+ (–32) 3
1
a) 3 b) 4 c) 5 d) 1 e) 2
(14) Hallar “x” si: 7
3x-2 + 7
2 = 50
a) 1/3 b) ¾ c) 2 d) 2/3 e) 0
(15) Calcular el valor de:
n9 + 1
n
9 90
9 9 9
n + 2 + 3
2n
+ 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 10 e) 12
(16) Calcular: -1
-32-5
E = 1616
a) 1 b) –1 c) 4 d) 2 e) ½
3
1
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
61
CAPÍTULO III
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es un conjunto finito de constantes y variables con exponentes racionales fijos, relacionados por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Consta de 3 partes: Ejemplos: Exponentes – 2 x a Signo Variables
Coeficiente
Términos Semejantes y Reducción a) –2x
3, 4x
3, -6x
3, x
3 Son semejantes
Aplicación: -Sea: (2a-1)x
a+3 , (a+1)x
5
Semejantes Reducir
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Reducir si son semejantes las expresiones:
T1 = 2c x c+9
; T2 = (2+c)x 4c-3
a) 14x
3 b) 16x
3 c) 17x
12
d) 17x11
e) 14x12
2) Reducir si son semejantes: 7ax
a + 3ax
2a-3
a) 3 b) 10 c) 30 d) a e) N.A.
3) Si A y B son términos semejantes. Hallar: x+y A = 12a
4x-6 b
15 ; B = 6a
18b
5+2y
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
4) Reducir si los términos son semejantes.
P(x) = (a – c)x
a+1 – 3acx
10 + (a+c)x
4-c
a) 50 b) 100 c) 150 d) 180 e) 200
5) En la siguiente expresión señalar el valor
de “C” bx
2a-5 + cx
4-a = ax
b-3
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
6) Reducir si sus términos son semejantes: P(x) = (a+b)x
a + 3(a+2b)x
b – 5abx
2
a) 2x
2 b) x
2 c) -2x
2 d) 4x
2 e) 6x
2
7) Reducir si son semejantes. -6mz
m + 5mz
8 – 3mz
8
a) 32z
8 b) –16z
8 c) –32z
8 d) z
8
e) imposible
8) El siguiente polinomio es reducible a un solo término ¿cuál es el coeficiente de dicho término?
P(x) = (a-b)xa+1
– 3acx7 + (a+c)x
5-c
a) 40x
7 b) 25x
7 c) 48x
7 d) 17x
7 e) x
7
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
62
9) En la siguiente expresión señalar el valor m, son semejantes. cx
2 + bx
b-1 + ax
c-2 = mx
a+3
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
10) Si los términos son semejantes. Hallar “m” 3x
2a+b y
2m-4 + x
c+d y
4m+b = 4x
p y
5m-4
a) 20 b) 25 c) 22 d) 24 e) 23
TAREA DOMICILIARIA 1) Relacione la columna A con la columna B.
I. Termino Algebraico ( ) -4 II. Parte variable ( ) 5xy + 4x
3
III. Expresión algebraica ( ) x3 y
2
IV. Constante ( ) 2mn + 4mn Términos semejantes ( ) 12xyz
2) Calcular el valor de 2a+3b; si los tres términos son semejantes.
__
a ya+b
; 3y7+b
; 4y9
a) 10 b) 15 c) 20 d) 21 e) 22
3) Calcular 4m+2, sabiendo que T1 y T2 son
semejantes: T1 = 2x
m+3 ; T2 = 4x
10
a) 10 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35
4) ¿Cuál es el triple de a, si los siguientes
términos son semejantes? 6x
3a-2 ; -2x
13
a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15
5) Si A y B son términos semejantes. Hallar: 2x-y A = 6a
3x-4 b
16 B = 8a
17b
2y-2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6) La siguiente expresión es reducible a un solo término ¿cuál es el coeficiente de dicho término? Q(x) = mx
2a-5 + (m+n)x
7 + 6x
2m+n
a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15
7) En la expresión calcular “c” si son semejantes. bx
20-4 + cx
3a-8 = a2x
2b+2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8) En la expresión, calcular “m” mx
4 + nx
n-3 + px
p-4 = 4x
r
a) 12 b) 11 c) –11 d) 10 e) 9
9) Reducir si los términos son semejantes: (m + t)y
m+1 + y
8 – (m – t)y
t+7
a) y
8 b) 6y
8 c) 15y
8 d) 3y
8 e)
9y8
10) Reducir si son semejantes los términos.
P(x) = (a+b)x9 + (a+1)x
b+1 – abx
5
a) 8x
5 b) 5x
5 c) –1x
5 d) –5x
5 e)
N.A.
11) Sabiendo que la expresión mostrada: a
2+b
2
F(x) = 6x + bx2ab
– 2ax32
Hallar: a+b a) 5 b) 6 c) 8 d) 2 e) 1
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
63
CAPÍTULO IV
POLINOMIOS EN IR Es una expresión algebraica racional entera que consta de 2 o más términos unidos por las operaciones ya conocidas. Nota.
Cantidad finita de términos.
Los exponentes de las variables deben ser enteros positivos o cero.
Los denominados no deben tener variables Ejm: 1) 4x
2 – 5x + 1
2
_______
2) 3 x2 +x +1
3) 5x
-1 + 4x
Notación Polinómica
P(x) = a0x0 + a1x
1 + a2x
2 + a3x
3 + ....... anx
n
VALOR NUMÉRICO Es el número real que resulta al reemplazar valores dados de las variables en un determinado polinomio y efectuar las operaciones indicadas. Ejm: (1) Hallar el v.n. de:
S = (2x-1)
2 + (2y-1)
2 + (2z-1)
2
Para x = -2 y = -1 z = -3 Rpta. 83
(2) Calcular: M = P(2) + P(-1)
P(0) – P(1) Si: P(x) = x
3 + 3x
2 + 3x + 1
a) 27 b) 13 c) 54 d) –27 e) 0
(3) Si F (x+2) = x + F(x) y F(3) = 1 Hallar F(5) + F(1)
a) 2 b) 1 c) 6 d) –4 e) 4
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Hallar el valor numérico de:
2xy2 + 3x
2y, para x = -3; y = -1
a) 24 b) –28 c) –33 d) –15 e) 52
2) Si: P(x,4) = x3 + 3x + 8
Hallar: P(6) a) 20 b) 26 c) 18 d) 24 e) 22
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
64
3) Si: x = -2 ; y = -1 ; z = 10, hallar: E
2 (x,y,z) = 2z + xy – 6
a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5
4) Se sabe que:
F(x) = 2(x-1); x Z+, hallar F(C)
Si: C = F(6) + F(2) – 12 a) –4 b) –2 c) 0 d) 2 e) 4
5) Sean: F(x) = x + 5 2
G(x) = x
2 + x – 3
Hallar: F[G(2)] a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
6) Sabiendo que: F(a) = a + 2 a – 1
Hallar: F[F[F[F(2)]]] a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
7) Si P(x) = 2x – 3 Hallar P(x+2) a) 2x+7 b) x+3 c) 2x+1 d) 2x+3 e) x+7
8) Si P(x) = x3 – 2x
2 + 1
Hallar: M = P[P[P[P(0)]]] a) 1 b) 0 c) 16 d) 2 e) N.A.
9) Si: P(2x-1) = 8x+4 Hallar: P(x) a) 4x+7 b) 4x+6 c) 4x+3 d) 4x+8 e) N.A.
10) P(x) = 2x – 5 Además: P(3x –1) = ax+b Hallar (a+b) a) 6 b) –7 c) –1 d) –2 e) N.A.
11) P(x) = 2x+1 Q(x) = x – 3 Hallar: P[Q(x)] a) 2x+5 b) 2x-5 c) 2x+1 d) 2x-1 e) N.A.
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Si: P(x) = 5x+4
Q(x) = x-3 Calcular: P[Q(5)] a) 2 b) 4 c) 10 d) 14 e) 18
2. Si: P(x) = 2x+3 Q(x) = 3x+2
Calcular: P[Q(x)] – Q[P(x)] a) 1 b) -2 c) -3 d) -4 e) –10
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
65
3. Si: F(x) = 2x2 – 1
Hallar: E = F(2)
F(1) – F(0)
F(-2) + F(-1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
4. Si: P(x) = ax2 + b
Además P[P(x)] = 8x4 + 24x
2 + c
Hallar: I = a+b+c a) 12 b) 28 c) 30 d) 40 e) 26
5. Si:
x = 1 F(x) = x+1 x-1
Calcular: F[F(x)] a) x b) x
2 c) 1 d) –x e) 8x
x
6. Si: P(x) = x2 – 1
Hallar: S = P[P(x)] – x
2 P(x)
a) –x b) –x
2 c) –x
3 d) –x
4 e) –x
8
7. Si: R(x-1) = 16x
96 – 2x
99 + 2x + 3
Hallar: R(1) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9
8. Si: P(x) = x y P[F(x) + G(x)] = x+4 P[F(x) – G(x)] = x – 2 Calcular:
F[G(1)] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10
CAPÍTULO V
GRADO DE UN POLINOMIO
1) MONOMIO a) Grado Absoluto de un Monomio (GA)
Es la suma de los exponentes de las variables. 1. 3x
3y
4 GA = 3+4 = 7
b) Grado Relativo de un Monomio (GR) Está dado por el exponente de la variable referida.
Ejm:
5x
3y
7z
4 GRx = 3 , GRy = 7 , GRz = 4
2) POLINOMIO a) Grado Absoluto de un Polinomio
Está dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos. Ejm: _
1. x5 + 5 x
2y
6 – y
3 = P(x,y)
5° 8° 3° P(x,y) es GA = 8°
b) Grado Relativo de un Polinomio Está dado por el mayor de los exponentes de las variables referidas. 1. 3x
4y – 5x
3y
7 + 2x
5y – y
4
GRx = 5 GRy = 7 2. P(a,b,c) = 5a
3b – b
4 + bac
3
GRa = 3 GRb = 4 GRc = 3
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
66
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) En: M(x,y) = 2ab2x
2a+5by
5a+2b
Si: G.A (M) = 35 G,Ry = 13 Hallar el coeficiente: a) 64 b) 32 c) 16 d) 8 e) 48
2) En el siguiente polinomio: P(x) = 2x
a-2 + 6x
a-4 + 8x
a-6
Calcular el valor de “a”. Si: GA = 13 a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 12
3) En: P(x,y) = mx3n
+ x3n-1
y5m+2
+ y5m-6
Si: G.Ry = 2G.Rx. Hallar G.A. a) 13 b) 17 c) 14 d) 10 e) 8
4) El grado de P(x) es 24 Hallar “m” en: P(x) = (x
m+3) (x
m+1) (x
m+2)
a) 1 b) 2 c) 6 d) 7 e) 8
5) En el polinomio: P(x,y) = ax
a-4 + 3x
ay
3 + 2y
6
Calcular la suma de sus coeficientes. Si: GA = 12 a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16
6) Indicar la suma de coeficientes del
polinomio: P(x,y) = ax
a-4y
b–2 + bx
a+2y
b – 4x
a-2y
b+3
Siendo GA = 8 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7) Calcular el valor de “n” en: n n
P(x,y) = 6x2y
3 + 2x
2y
2 + 1, siendo: G.A = 5
a) 6 b) 8 c) 4 d) 5 e) 2
8) Dado el monomio:
M(x,y) = 4a
bx
2a+3by
5b-a
Si GA(M) = 10 GR(x) = 7 Señalar su coeficiente. a) 2 b) 4 c) 8 d) 16
9) Dado el monomio: M(x,y) = (a+b)x
2a-2y
3b
Donde: Coef(M) = 7 y G.Rx = 6 Hallar a . b a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42
10) Hallar “n”, si la expresión es de 2° grado.
42
42
3232
xx
xxx
n
nn
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
67
TAREA DOMICILIARIA 1) La suma de coeficientes del polinomio:
P(x) = 4x5 + 5x
4 – 6x
3 – (7-n)x + 3n es de 16
Señalar el término independiente: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9
2) En el polinomio: P(x,y) = x
7 – 4x
2y
b + by
b+3
Calcular la suma de coeficientes. Si GRy = 10 a) 0 b) 1 c) 2 d) 6 e) 4
3) En el polinomio: P(x,y) = nx
n-3 + 2x
ny
2 + 4yn
Calcular la suma de sus coeficientes, si: GA = 8 a) 10 b) 11 c) 12 d)14 e) 15
4) Señalar la suma de coeficientes del polinomio:
n n
P(x) = nx2 + 2nx
3 + 3x
7-n – 4x
n-5
Si: n < 9 a) 19 b) 17 c) 15 d) 13 e) 11
5) Determine el mayor grado relativo de una de sus variables: P(x,y) = x
2k+4y
k+2 + x
2k-1y
k+1 + 4x
k+2y
2k-1
Sabiendo que Ga del polinomio es 15. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13
6) En el siguiente polinomio: n-3 6-3n
P(x,y) = (n + 3)x 2 + 2ny
3
Calcular: “n” Si GRx = 2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
7) Dado el polinomio: P(x,y) = a
a-2y
b+5 + 2x
a-3y
b + x
a-1y
b+6
Donde: G.A. = 17 G.R(x) = 4 Hallar: (a – b)
2
a) 2 b) –2 c) 4 d) –4 e) 16
8) Si, el G.A de: P(x,y) = x
2n-3y
2n – 3x
n-3y
3n-1 + 5x
2n+1y
2n-5
es 17, Hallar (n-1)2
a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) 36
9) Hallar: G.A, en: P(x,y) = 5y
2n + 6x
n+2y
3 – x
ny
2n+1 – 3
Si: G.Ry = 7 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
10) Hallar (m+n), si en: P(x,y) = (m-2)x
3y
n-2; además el coeficiente
es 5 y G.Ry = 4 a) 17 b) 14 c) 15 d) 20 e) 13
11) Sea P(x,y) = mxm+2
yn + nx
2m+2y
n+1 si la
suma de coeficientes es 7 y G.Ry = 5; hallar G.A a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
68
CAPÍTULO VI
POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomios Completos y Ordenados:
Son los que presentan un orden ascendente o descendente en los exponentes de sus variables teniendo todos desde el mayor hasta cero y viceversa. Ejemplo: __
P(x) = 3x4 – 2x
3 + 1x
2 – 5 x – 1
2
2. Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus términos son iguales. 1) P(x,y) = x
3 + x
2y + xy
3 – 5y
3
3° 3° 3° 3° Cada término es de grado 3
3. Polinomios Idénticos () Es cuando tienen el mismo valor numérico para cada término asignado.
ax2 + bx + c mx
2 + nx + p
a = m , b = n , c = p
4. Polinomio Idénticamente nulo.
Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables.
Es decir si: ax2 + bx + c 0
a = 0 , b = 0 , c = 0
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
b a
1. Si: P(x,y,z) = xa + x
7y
b + (y
2z
2)8
Es homogéneo, hallar:
a2 + b
2 + b
a + b a) 7 1/9 b) 55 c) 14 d) 5 e) 31
2. Calcular la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que es polinomio completo y ordenado ascendentemente P(x) = mx
m+n + nx
m-1 – px
p+1 + tx
t
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Si tienen los polinomios: M(x) = 3x
2 +(b+3)x + c
2 –3
N(x) = (7-a)x2 + (2b+1)x + 1
Donde: M(x) N(x) Hallar: E = a – b – c a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
4. Dados los polinomios idénticos M(x) = 3x
4 – (a + b)x
a
N(x) = (b+n)xa+1
– x3
______
Calcular: E = 2a+b+n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. Si el polinomio P(x) 0 y
P(x) (a+b-2)x3 + (a+c-3)x
2 + b+c-5
Hallar: a – b + c a) –2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
6. Si el polinomio está ordenado en forma ascendente: P(x) = 5x
3 + 7x
8 + 9x
m+3 + bx
n+2 + x
11
a) 10 b) 15 c) 17 d) 21 e) 35
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
69
7. Calcular: (a+b+c)
Si: P(x) Q(x) Siendo: P(x) = 4x
2 + 3x + 2
Q(x) = (a+b-1)x2 + (b-c+2)x + (c-n+4)
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
8. Indicar el grado de homogeneidad de: P(x,y) = x
a+by
3+a-b + 5x
a+17 + 7x
4y
b+5
a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33
9. Hallar “m” si:
P(x) = 2x2m-5
y4n
– 3x2m-4n
y3 – x
4y
9
Es homogéneo. a) 1 b) 3 c) 7 d) 8 e) 12
TAREA DOMICILIARIA 1. Se dan los polinomios:
P(x) = (a-3)x2 + (b
2 - 2)x + 1
Q(x) = 5x2 + 2x+c
Donde: P(x) Q(x) Hallar: E = a+b-c a) 2 b) 3 c) 4 d) 9 e) 10
2. Dados los polinomios idénticos: P(x) = x
3 – 4x
a
Q(x) = xa+2
+ (b-2a)x. Calcular: a+b a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
3. El polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (m– 3)x
4 + (n
2 – 4)x
3 + (n-2) + px + c – 4
Hallar: M = m+n+p c+1 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
4. Si: Q(x) es completo y ordenado: Hallar: “m
2” _
Q(x) = mxm+1
+ 5xm
+ 5x2m-4
+ nx a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 9
5. Si el polinomio está ordenado en forma ascendente:
P(x) = mxn+1
+ bx3 + 5x
4 + 3x
5
Hallar: “n” a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
6. Calcular: (m+n+p)
Si: P(x) M(x) Siendo: P(x) = 3x
3 + 4x
2 + 2x + 1
Q(x) = (m+n – 1)x3 + (n+p – 2)x
2 + (p)x + 1
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
7. Sea P(x) un polinomio idénticamente nulo: P(x) = (m+n+3)x
2 + (2m+n – 1)x + n – 2
Hallar: E = (m+n)
50
a) 3000 b) b-1 c) 0 d) 1 e) m+n – mn
8. Indicar el GR(x) si el grado de homogeneidad de M(x,y,) es 12. M(x,y) = 5x
a+b + 3x
by
b + 4x
my
n
(Donde m<4) a) 8 b) 10 c) 21 d) 12 e) 14
9. Señale el grado del polinomio completo y ordenado en forma estrictamente decreciente. P(x) = x
12-2a + x
2a-4 + x
4-2a
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
10. Hallar: (a+b+c) si: P(x) = x
3a-b – x
2a – 3x
3b-c – 12y
3+b+c
Es completo y ordenado. a) 8 b) 7 c) 4 d) 0 e) –1
11. Si P(x), es completo y ordenado en: P(x) = ax
a-b – bx
b-c – cx
c+d + dx
d+e – ex
e-2
Hallar la suma de coeficientes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
70
CAPÍTULO VII
OPERACIONES CON POLINOMIOS ADICIÓN DE POLINOMIOS Se reduce utilizando los términos semejantes. Ejemplo: Efectuar: P(x) + Q(x) si:
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Se suma utilizando el opuesto del segundo término. Así
M + ( – S) = D
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Recordando: am
x an = a
m+n
Propiedad Distributiva a(b+c) = ab + ac
PROBLEMAS PARA LA CLASE
(1) Reducir: E = 2(x
2 + x –1)+3(x
2 – x +1) – 5 x
2 – 1 x – 2
5
a) 7x b) 2x2 –1 c) x
2 + x +1
d) 11 e) 0
(2) Reducir: M = 5a (b+c) – 5b(a+c) – 5c(a+b) a) –8bc b) –10bc c) bc d) bc+ab e) 5bc – ab
(3) Reducir: 5x – [7y-2x – (3x-2y)]+9y a) 3x b) 2x+y c) 10x d) 10x+3y e) x+y
(4) Simplificar: (a+b)x + (b+c)y-(a-b)x+(b-c)y a) 2b(x+y) b) 2a(x-y) c) xa + yb d) xa – yb e) 0
(5) Reducir: 7a
2 – {a(7a-b)+2a[b-a]} – a(2a-b)
a) a+b b) 0 c) a+2b d) 2-2b e) a-b
(6) Simplificar: 3xy-[2x(x+y) – 3y(2x-y)] – x(7y-2x) a) y
2 b) –y
2 c) 3y
2 d) 3x
2 e) –3y
2
(7) Restar 7-x de 2-x a) 6x-5 b) 8x c) 5 d) –5 e) 6x-2
(8) Si P(x) = 1 –x2 +x, Q(x) = 2-x, R(x) = x
2+2,
¿cuánto le falta a la resta de Q menos R para ser igual a la suma de P más Q? a) 3+x b) 2x
2 –x-2
c) x2 –x+1 d) x-3x
2+1 e) 1 –3x+x
2
(9) Sea: P(x) = 2x2 + 3x – 5
R(x) = 2x – x2 + 3
Si: 2P(x) – 3R(x) = ax2 + bx + c
Hallar: a + b + c
a) –7 b) –10 c) –12 d) 26 e) 1
Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
71
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. ¿Cuánto le falta a E para que sumado con
C dé A? A = x + 1 ; B = 2x – 1 ; C = 1 – x 2 3 2 a) x – 1 b) 1 x + 6 c) x + 1 2 2 2 d) – 1 x – 1 e) 1 – x 2 6 3
2. Efectuar: (x+a)(a+b) + (a-b)(x-b) – (a+b)(a-b) – 2b2
2
a) 2ax b) ax+b c) ax-b
2
d) ax+2b e) –2ax
3. Efectuar: (32x
2 – 20x
3)+(2x – 1)(5 + 10x
2 – 15x)
5 a) 11x-6 b) 12x+3 c) 13x-1 d) 17x-1 e) 6x+2
4. Restar de A, lo que queda de quitarle C a B. A = 5x
2 + x+3 B = 12x
2 – 5
C = 3x2 + 2x –7
a) 3x
2+x-1 b) 13x
2 –5
c) 2x-x2+2 d) 1x
2 – 5x + 1
e) x2 –x +8
5. Efectuar: 6+(x
2 + x –1)(x+2) –x(x
2 +3 +1)
a) 5 b) 2x c) 4 d) x-1 e) x+1
6. Efectuar: (x-2)(2+x)+4 a) 2x
2 b) x+5 c) x
2 d) x
2 +1
e) 2x2 –3
7. Hallar A-B, si:
A = (x
2 + 5)(x
2 +1) –6x
2 –5
B = (x2 + 2)(x
2 –3) + (x
2 +6)
a) –x
2 b) 0 c) x
4 d) 2x
4 e) x
4 –1
8. Efectuar:
(x2 –1)(x
2 +2) – (1+x
2)(x
2 –2)
a) x
2 +1 b) –2x
2 c) x
2 –1
d) x+1 e) 2x2
9. Efectuar:
E = (2m-3)2 +2(2m-3)(1-2m)+(1-2m)
2
a) 4 b) 5 c) –3m d) m+1 e) 3m-1
10. Efectuar: 7(x-7)2 –7(x+7)
2
a) 196 b) 196x c) –196 d) 192x e) -192x