Algebra 4to Sec
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Consorcio Educativo “UNT” ÁLGEBRA 4to año Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
55
CAPÍTULO I
TEORÍA DE EXPONENTES Y RADICALES I Propiedades de la Potenciación 1. Multiplicación de Potencias de Bases
Iguales.
am
. an = a
m + n
2. División de Potencias de Bases iguales
am
: an = a
m – n ó a
m = a
m – n
an
Casos particulares: 1. Si m = n, entonces: a
m = a
m – n
an
1 = a0 / a 0
3. Potencia de una Multiplicación
(a . b)n = a
n . b
n
Ejemplos: __ 2 2 __ 1
(1) 1 . 10 = 1 . (10 ) 4 4 1 x 10 = 10 16 16
4. Potencia de una División
a n = a
n / b 0
b bn
Ejemplos: __ 4 __ 4
(1) 2 = 2
3 35
2
2 = 4
81 81
5. Potencia de Potencia
(am
)n = a
mn
Ejemplos:
3
(1) [(0,5)2] = (0,5)
6
6. Exponente Negativo:
a
-n = 1 ó 1 = a
n
an
Ejem: 7
–2 3
2
3 7 1
–1 3
1
3 1
EJERCICIOS 1. Reducir M a su mínima expresión:
M = [(x
2y
3)2]
x12
y18
2. Hallar el valor de Q en: E = 2
a+3 = 64
23
3. Efectuar: 156 x 12
4 x 5
9 x 6
3 =
1011
x 313
x 54
a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 4
4. Efectuar: 311
+ 212
= 3x3
7 4
3 x (-2)
5
a) 15 b) 10 c) –25 d) 25 e) 27
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PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN __
Por definición: na = r a = r
n
__
Ejemplo: 3 8 = 2 2
3 8
1) Raíz de una Potencia:
__ m m n
a = an
___
18
Ejm: 3a
18 = a
3 = a
6
2) Raíz de una Multiplicación:
_____ __ __ n a x b =
n a x
n b
______ __ __
Ejm: 4 x 16 = 4 x 6 2 x 4 = 8
3) Raíz de una División: ___
n a =
n a b 0
b n b
Ejm: __
(1) 3 x
4 =
3 x
4
y 3 y
4) Raíz de Raíz:
m n p m x n x p
a = a Ejm: 5 3 12
32
32 = 32 = 2
5) Potencia de una Raíz __ m ___
n a =
n a
m
Ejm: __ 2 ___
1) 3 4 =
3 4
2
___ __
2) 3 2
3 = (
3 2 )
3
3) Efectuar: E = [32 – 32
0,8 , 32
0,6 – 32
0,4]
a) 4 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64
PROBLEMAS PARA LA CLASE Teoría de exponentes y Radicales (I) (1) Reducir:
0 25-1
__ 28
7 3-8 + 3
5 + (-3)
0
a) 5 b) 25 c) 1/5 d) 3 e) 0
(2) Efectuar:
7
-70
2562
a) 16 b) 18 c) 12 d) 10 e) 13
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(3) Efectuar:
-70
-4-2
1259
a) 25 b) 5 c) 15 d) 125 e) 1
(4) Efectuar: 0
2
-2-8
[0,01]
-4
a) 10 b) 1 c) 5 d) 2 e) 100
(5) Reducir: 32
__
P = 2 2 2 2 2 a) 2 b) 8 c) 2
32 d) 2
3 e) 2
31/32
(6) Reducir:
E = 7
n+2 – 7(
7n)
7(7n-1
) a) 10 b) 25 c) 5 d) 42 e) 21
(7) Reducir: 12
3 x 6
3
94 x 2
10
a) 4 b) 2 c) 2
5 d) ½ e) ¼
(8) Hallar el valor de “m” para que se cumpla la sgte. igualdad: y
3 x
8m+1
y6
(9) Efectuar: [0,01]
4[0,0001]
3
[0,0000001]2
a) 0,01 b) 1/5 c) 0,1 d) ½ e) 10
-6
(10) Calcular “x” si: x =
25 (0,0001)
5 (0,001)
3
(0,01)2
__
a) 1 b) 2510 c) 0,1
d) 0,001 e) 10
(11) Reducir: _____ 1-10
0
-70 +
357658 + (-7)
0
a) 7 b) 1 c) 2 d) 13 e) 0
(12) Simplificar: 5(4
x-1)__
4x-2
+ 22x-2
a) –4 b) 1 c) 16 d) 2 e) 4
(13) Simplificar:
-1
-16-2
1 -16
100 a) 6 b) 8 c) 10 d) 100 e) 2
(14) Si: 5x + 5
x+1 + 5
x+2 = 3875
Hallar: “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Simplificar:
3a+2
+ 3a(3
3)
3a+1
+ 3a+2
a) 3 b) 6 c) 1 d) 9 e) 12
2. Efectuar: [0,02]
2 [0,003]
3___
(0,0108)(0,000000001) a) 10 b) 2 c) –1 d) 1 e) 0
3. Efectuar: 3
8 + 2
10_
35 4
3(-2)
3
a) 15 b) 10 c) –25 d) 25 e) 27
4. Simplificar:
3x+1
+ 3x+2
9[3
x-2]
a) 15 b) 9 c) 3 d) 12 e) 18
5. Reducir:
F = 7n+2
– 7(7n)
7(7n-1
) a) 10 b) 26 c) 5 d) 42 e) 21
6. Reducir:
F = 5(4x-1
)_ 7
x+2 + 2
2x-2
a) –4 b) 1 c) 16 d) 2 e) 4
7. Reducir: 70
4-2
2
–2 + 4
–1 + 1
–3
5 7 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. Reducir: 5(6
x)_____
[2x+3
– 2x+1
– 2x]
a) 3
x b) 6 c) 2 d) 1 e) 8
9. Reducir: pq (p
q)r-p
. (qp)q-r
(qp . p
-q)-r
a) 1 b) p c) q d) pq e) q/p
10. Calcular: 20
n+1___ 5
n-1 + 3
n-1
n 4
n+2 + 2
2n+2 +
n-1 5
1-n + 3
1-n
a) 1 b) 5 c) 15 d) 20 e) 25
11. Reducir: m-n
6m
.3n + 2
m+n
6n.3
m + 4
n
a) m b) n c) 1 d) 2 e) N.A.
12. Calcular: x = 25
(0.0001)5 + (0.001)
3
(0.01)2
__
a) 1 b) 2510 c) 0.1 d) 0.01 e)
10
13. Calcular:
0
4-5
E = 516
a) 1 b) 5 c) 25 d) 8 e) N.A.
14. Calcular el valor de “m” en la siguiente igualdad: x
m x
m+2 = x
3
a) 1 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3
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CAPÍTULO II
TEORÍA DE EXPONENTES Y RADICALES (II) (1) Indicar cuál es falso:
-6-2
-90
I. –3 = – 1 -3
27
II. 1
–1 + 1
–1 + 1
–1 = 12
5 3 4
III. 2n+8
: 2n+3
= 32 a) solo I b) solo II c) solo III d) I y II e) N.A.
(2) Simplificar:
R = nnn
nn
52
52
a) 7 b) 3 c) 10
d) n 10 e) n 5
(3) Simplificar: T = 2
n+8 + 2
n+7 + 2
n+5
26. (2n)
a) 8 b) 64 c) 32 d) 16 e) 4
(4) Simplificar: 8
n+2 + 8
n – 4 x 2
n-2
–1
(4n) (2
n) 2
n+5 + 4 x 2
n
a) 12 b) 28 c) 29 d) 16 e) 72
(5) Simplificar:
2 -3
0
-16-2
1 -16
: 4 x 8m+1
– 2 x 8m
81 8
m + 2
3m+1
a) 1 b) 2 c) ½ d) 1/3 e) -1
(6) Simplificar: E = [32 – 32
0.8 – 32
0.6 – 32
0.4]1.5
a) 64 b) 24 c) 32 d) 8 e) 16
(7) Simplificar:
Q = 6432
432
222
222
xxx
xxx
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 24
(8) Reducir:
1
E = [(32)-0,4
– (32)-0,6
]2
_ _
a) 0,5 b) 2 c) 2 d) 4 e) 3
(9) Simplificar: -2
-1 -2
-1
A = [16-4
]
(10) Hallar E, en: E = 8 4
–2 – 2
–3 – 8
–1
5 3 9 a) 3 b) –2 c) 1 d) 2 e) 4
(11) Efectuar:
R = 2
1
223 2253627111
a) 1 b) 2 c) 4 e) ½ e) ¼
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60
PRÁCTICA DOMICILIARIA (1) Reducir:
5,0
322
3
1
3
12
2
1
a) 6 b) 6 c) 7
d) 7 e) 7
7
(2) Simplificar:
5 _
5 55 5 _
(210
) – 5 55
a) 2 b) 3 c) 1/3 d) ½ e) ¼
(3) Hallar el valor del exponente de x si: E = x : x : x a) ¾ b) 3/8 c) ½ d) 5/16 e) 8/3
(4) Hallar x, si: 9
x-1 – 6 = 3
x-1
_
a) ½ b) -2 c) –2 d) 2 e) 1
(5) Hallar x, si:
8x+1
= 4x-2
a) 4 b) 7 c) –2 d) –7 e) –1
(6) Calcular x, si:
x
232
= 256 a) 3/5 b) 5/3 c) 4/3 d) ¾ e) 4
(7) Si: xx-2
= 16 El valor de “x” es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
(8) Hallar el valor de x, si:
xx+1
= 81 a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1
(9) Hallar x, si: 12
2x+1 = 3
x+3
4x+3
a) 4 b) 3 c) –3 d) 2 e) 1
(10) Hallar x, en: 9x+2
= 720 + 9x
a) 4 b) 1 c) –4 d) 2 e) 3 x
(11) Si xx = 2, hallar:
x x x
E = x x + x + x
a) 8 b) 4 c) 32 d) 16 e) N.A.
(12) Simplificar: E =
a-b 5
a-b + 2
a-b
5b-a
+ 2b-a
a) 10 b) 18 c) 6 d) 4 e) 2
(13) Efectuar:
F = (64) 3
1
+ (–32) 3
1
a) 3 b) 4 c) 5 d) 1 e) 2
(14) Hallar “x” si: 7
3x-2 + 7
2 = 50
a) 1/3 b) ¾ c) 2 d) 2/3 e) 0
(15) Calcular el valor de:
n9 + 1
n
9 90
9 9 9
n + 2 + 3
2n
+ 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 10 e) 12
(16) Calcular: -1
-32-5
E = 1616
a) 1 b) –1 c) 4 d) 2 e) ½
3
1
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61
CAPÍTULO III
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es un conjunto finito de constantes y variables con exponentes racionales fijos, relacionados por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Consta de 3 partes: Ejemplos: Exponentes – 2 x a Signo Variables
Coeficiente
Términos Semejantes y Reducción a) –2x
3, 4x
3, -6x
3, x
3 Son semejantes
Aplicación: -Sea: (2a-1)x
a+3 , (a+1)x
5
Semejantes Reducir
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Reducir si son semejantes las expresiones:
T1 = 2c x c+9
; T2 = (2+c)x 4c-3
a) 14x
3 b) 16x
3 c) 17x
12
d) 17x11
e) 14x12
2) Reducir si son semejantes: 7ax
a + 3ax
2a-3
a) 3 b) 10 c) 30 d) a e) N.A.
3) Si A y B son términos semejantes. Hallar: x+y A = 12a
4x-6 b
15 ; B = 6a
18b
5+2y
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
4) Reducir si los términos son semejantes.
P(x) = (a – c)x
a+1 – 3acx
10 + (a+c)x
4-c
a) 50 b) 100 c) 150 d) 180 e) 200
5) En la siguiente expresión señalar el valor
de “C” bx
2a-5 + cx
4-a = ax
b-3
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
6) Reducir si sus términos son semejantes: P(x) = (a+b)x
a + 3(a+2b)x
b – 5abx
2
a) 2x
2 b) x
2 c) -2x
2 d) 4x
2 e) 6x
2
7) Reducir si son semejantes. -6mz
m + 5mz
8 – 3mz
8
a) 32z
8 b) –16z
8 c) –32z
8 d) z
8
e) imposible
8) El siguiente polinomio es reducible a un solo término ¿cuál es el coeficiente de dicho término?
P(x) = (a-b)xa+1
– 3acx7 + (a+c)x
5-c
a) 40x
7 b) 25x
7 c) 48x
7 d) 17x
7 e) x
7
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62
9) En la siguiente expresión señalar el valor m, son semejantes. cx
2 + bx
b-1 + ax
c-2 = mx
a+3
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
10) Si los términos son semejantes. Hallar “m” 3x
2a+b y
2m-4 + x
c+d y
4m+b = 4x
p y
5m-4
a) 20 b) 25 c) 22 d) 24 e) 23
TAREA DOMICILIARIA 1) Relacione la columna A con la columna B.
I. Termino Algebraico ( ) -4 II. Parte variable ( ) 5xy + 4x
3
III. Expresión algebraica ( ) x3 y
2
IV. Constante ( ) 2mn + 4mn Términos semejantes ( ) 12xyz
2) Calcular el valor de 2a+3b; si los tres términos son semejantes.
__
a ya+b
; 3y7+b
; 4y9
a) 10 b) 15 c) 20 d) 21 e) 22
3) Calcular 4m+2, sabiendo que T1 y T2 son
semejantes: T1 = 2x
m+3 ; T2 = 4x
10
a) 10 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35
4) ¿Cuál es el triple de a, si los siguientes
términos son semejantes? 6x
3a-2 ; -2x
13
a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15
5) Si A y B son términos semejantes. Hallar: 2x-y A = 6a
3x-4 b
16 B = 8a
17b
2y-2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6) La siguiente expresión es reducible a un solo término ¿cuál es el coeficiente de dicho término? Q(x) = mx
2a-5 + (m+n)x
7 + 6x
2m+n
a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15
7) En la expresión calcular “c” si son semejantes. bx
20-4 + cx
3a-8 = a2x
2b+2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8) En la expresión, calcular “m” mx
4 + nx
n-3 + px
p-4 = 4x
r
a) 12 b) 11 c) –11 d) 10 e) 9
9) Reducir si los términos son semejantes: (m + t)y
m+1 + y
8 – (m – t)y
t+7
a) y
8 b) 6y
8 c) 15y
8 d) 3y
8 e)
9y8
10) Reducir si son semejantes los términos.
P(x) = (a+b)x9 + (a+1)x
b+1 – abx
5
a) 8x
5 b) 5x
5 c) –1x
5 d) –5x
5 e)
N.A.
11) Sabiendo que la expresión mostrada: a
2+b
2
F(x) = 6x + bx2ab
– 2ax32
Hallar: a+b a) 5 b) 6 c) 8 d) 2 e) 1
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63
CAPÍTULO IV
POLINOMIOS EN IR Es una expresión algebraica racional entera que consta de 2 o más términos unidos por las operaciones ya conocidas. Nota.
Cantidad finita de términos.
Los exponentes de las variables deben ser enteros positivos o cero.
Los denominados no deben tener variables Ejm: 1) 4x
2 – 5x + 1
2
_______
2) 3 x2 +x +1
3) 5x
-1 + 4x
Notación Polinómica
P(x) = a0x0 + a1x
1 + a2x
2 + a3x
3 + ....... anx
n
VALOR NUMÉRICO Es el número real que resulta al reemplazar valores dados de las variables en un determinado polinomio y efectuar las operaciones indicadas. Ejm: (1) Hallar el v.n. de:
S = (2x-1)
2 + (2y-1)
2 + (2z-1)
2
Para x = -2 y = -1 z = -3 Rpta. 83
(2) Calcular: M = P(2) + P(-1)
P(0) – P(1) Si: P(x) = x
3 + 3x
2 + 3x + 1
a) 27 b) 13 c) 54 d) –27 e) 0
(3) Si F (x+2) = x + F(x) y F(3) = 1 Hallar F(5) + F(1)
a) 2 b) 1 c) 6 d) –4 e) 4
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Hallar el valor numérico de:
2xy2 + 3x
2y, para x = -3; y = -1
a) 24 b) –28 c) –33 d) –15 e) 52
2) Si: P(x,4) = x3 + 3x + 8
Hallar: P(6) a) 20 b) 26 c) 18 d) 24 e) 22
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3) Si: x = -2 ; y = -1 ; z = 10, hallar: E
2 (x,y,z) = 2z + xy – 6
a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5
4) Se sabe que:
F(x) = 2(x-1); x Z+, hallar F(C)
Si: C = F(6) + F(2) – 12 a) –4 b) –2 c) 0 d) 2 e) 4
5) Sean: F(x) = x + 5 2
G(x) = x
2 + x – 3
Hallar: F[G(2)] a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
6) Sabiendo que: F(a) = a + 2 a – 1
Hallar: F[F[F[F(2)]]] a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
7) Si P(x) = 2x – 3 Hallar P(x+2) a) 2x+7 b) x+3 c) 2x+1 d) 2x+3 e) x+7
8) Si P(x) = x3 – 2x
2 + 1
Hallar: M = P[P[P[P(0)]]] a) 1 b) 0 c) 16 d) 2 e) N.A.
9) Si: P(2x-1) = 8x+4 Hallar: P(x) a) 4x+7 b) 4x+6 c) 4x+3 d) 4x+8 e) N.A.
10) P(x) = 2x – 5 Además: P(3x –1) = ax+b Hallar (a+b) a) 6 b) –7 c) –1 d) –2 e) N.A.
11) P(x) = 2x+1 Q(x) = x – 3 Hallar: P[Q(x)] a) 2x+5 b) 2x-5 c) 2x+1 d) 2x-1 e) N.A.
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Si: P(x) = 5x+4
Q(x) = x-3 Calcular: P[Q(5)] a) 2 b) 4 c) 10 d) 14 e) 18
2. Si: P(x) = 2x+3 Q(x) = 3x+2
Calcular: P[Q(x)] – Q[P(x)] a) 1 b) -2 c) -3 d) -4 e) –10
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65
3. Si: F(x) = 2x2 – 1
Hallar: E = F(2)
F(1) – F(0)
F(-2) + F(-1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
4. Si: P(x) = ax2 + b
Además P[P(x)] = 8x4 + 24x
2 + c
Hallar: I = a+b+c a) 12 b) 28 c) 30 d) 40 e) 26
5. Si:
x = 1 F(x) = x+1 x-1
Calcular: F[F(x)] a) x b) x
2 c) 1 d) –x e) 8x
x
6. Si: P(x) = x2 – 1
Hallar: S = P[P(x)] – x
2 P(x)
a) –x b) –x
2 c) –x
3 d) –x
4 e) –x
8
7. Si: R(x-1) = 16x
96 – 2x
99 + 2x + 3
Hallar: R(1) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9
8. Si: P(x) = x y P[F(x) + G(x)] = x+4 P[F(x) – G(x)] = x – 2 Calcular:
F[G(1)] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10
CAPÍTULO V
GRADO DE UN POLINOMIO
1) MONOMIO a) Grado Absoluto de un Monomio (GA)
Es la suma de los exponentes de las variables. 1. 3x
3y
4 GA = 3+4 = 7
b) Grado Relativo de un Monomio (GR) Está dado por el exponente de la variable referida.
Ejm:
5x
3y
7z
4 GRx = 3 , GRy = 7 , GRz = 4
2) POLINOMIO a) Grado Absoluto de un Polinomio
Está dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos. Ejm: _
1. x5 + 5 x
2y
6 – y
3 = P(x,y)
5° 8° 3° P(x,y) es GA = 8°
b) Grado Relativo de un Polinomio Está dado por el mayor de los exponentes de las variables referidas. 1. 3x
4y – 5x
3y
7 + 2x
5y – y
4
GRx = 5 GRy = 7 2. P(a,b,c) = 5a
3b – b
4 + bac
3
GRa = 3 GRb = 4 GRc = 3
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) En: M(x,y) = 2ab2x
2a+5by
5a+2b
Si: G.A (M) = 35 G,Ry = 13 Hallar el coeficiente: a) 64 b) 32 c) 16 d) 8 e) 48
2) En el siguiente polinomio: P(x) = 2x
a-2 + 6x
a-4 + 8x
a-6
Calcular el valor de “a”. Si: GA = 13 a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 12
3) En: P(x,y) = mx3n
+ x3n-1
y5m+2
+ y5m-6
Si: G.Ry = 2G.Rx. Hallar G.A. a) 13 b) 17 c) 14 d) 10 e) 8
4) El grado de P(x) es 24 Hallar “m” en: P(x) = (x
m+3) (x
m+1) (x
m+2)
a) 1 b) 2 c) 6 d) 7 e) 8
5) En el polinomio: P(x,y) = ax
a-4 + 3x
ay
3 + 2y
6
Calcular la suma de sus coeficientes. Si: GA = 12 a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16
6) Indicar la suma de coeficientes del
polinomio: P(x,y) = ax
a-4y
b–2 + bx
a+2y
b – 4x
a-2y
b+3
Siendo GA = 8 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7) Calcular el valor de “n” en: n n
P(x,y) = 6x2y
3 + 2x
2y
2 + 1, siendo: G.A = 5
a) 6 b) 8 c) 4 d) 5 e) 2
8) Dado el monomio:
M(x,y) = 4a
bx
2a+3by
5b-a
Si GA(M) = 10 GR(x) = 7 Señalar su coeficiente. a) 2 b) 4 c) 8 d) 16
9) Dado el monomio: M(x,y) = (a+b)x
2a-2y
3b
Donde: Coef(M) = 7 y G.Rx = 6 Hallar a . b a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42
10) Hallar “n”, si la expresión es de 2° grado.
42
42
3232
xx
xxx
n
nn
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67
TAREA DOMICILIARIA 1) La suma de coeficientes del polinomio:
P(x) = 4x5 + 5x
4 – 6x
3 – (7-n)x + 3n es de 16
Señalar el término independiente: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9
2) En el polinomio: P(x,y) = x
7 – 4x
2y
b + by
b+3
Calcular la suma de coeficientes. Si GRy = 10 a) 0 b) 1 c) 2 d) 6 e) 4
3) En el polinomio: P(x,y) = nx
n-3 + 2x
ny
2 + 4yn
Calcular la suma de sus coeficientes, si: GA = 8 a) 10 b) 11 c) 12 d)14 e) 15
4) Señalar la suma de coeficientes del polinomio:
n n
P(x) = nx2 + 2nx
3 + 3x
7-n – 4x
n-5
Si: n < 9 a) 19 b) 17 c) 15 d) 13 e) 11
5) Determine el mayor grado relativo de una de sus variables: P(x,y) = x
2k+4y
k+2 + x
2k-1y
k+1 + 4x
k+2y
2k-1
Sabiendo que Ga del polinomio es 15. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13
6) En el siguiente polinomio: n-3 6-3n
P(x,y) = (n + 3)x 2 + 2ny
3
Calcular: “n” Si GRx = 2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
7) Dado el polinomio: P(x,y) = a
a-2y
b+5 + 2x
a-3y
b + x
a-1y
b+6
Donde: G.A. = 17 G.R(x) = 4 Hallar: (a – b)
2
a) 2 b) –2 c) 4 d) –4 e) 16
8) Si, el G.A de: P(x,y) = x
2n-3y
2n – 3x
n-3y
3n-1 + 5x
2n+1y
2n-5
es 17, Hallar (n-1)2
a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) 36
9) Hallar: G.A, en: P(x,y) = 5y
2n + 6x
n+2y
3 – x
ny
2n+1 – 3
Si: G.Ry = 7 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
10) Hallar (m+n), si en: P(x,y) = (m-2)x
3y
n-2; además el coeficiente
es 5 y G.Ry = 4 a) 17 b) 14 c) 15 d) 20 e) 13
11) Sea P(x,y) = mxm+2
yn + nx
2m+2y
n+1 si la
suma de coeficientes es 7 y G.Ry = 5; hallar G.A a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
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68
CAPÍTULO VI
POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomios Completos y Ordenados:
Son los que presentan un orden ascendente o descendente en los exponentes de sus variables teniendo todos desde el mayor hasta cero y viceversa. Ejemplo: __
P(x) = 3x4 – 2x
3 + 1x
2 – 5 x – 1
2
2. Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus términos son iguales. 1) P(x,y) = x
3 + x
2y + xy
3 – 5y
3
3° 3° 3° 3° Cada término es de grado 3
3. Polinomios Idénticos () Es cuando tienen el mismo valor numérico para cada término asignado.
ax2 + bx + c mx
2 + nx + p
a = m , b = n , c = p
4. Polinomio Idénticamente nulo.
Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables.
Es decir si: ax2 + bx + c 0
a = 0 , b = 0 , c = 0
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
b a
1. Si: P(x,y,z) = xa + x
7y
b + (y
2z
2)8
Es homogéneo, hallar:
a2 + b
2 + b
a + b a) 7 1/9 b) 55 c) 14 d) 5 e) 31
2. Calcular la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que es polinomio completo y ordenado ascendentemente P(x) = mx
m+n + nx
m-1 – px
p+1 + tx
t
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Si tienen los polinomios: M(x) = 3x
2 +(b+3)x + c
2 –3
N(x) = (7-a)x2 + (2b+1)x + 1
Donde: M(x) N(x) Hallar: E = a – b – c a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
4. Dados los polinomios idénticos M(x) = 3x
4 – (a + b)x
a
N(x) = (b+n)xa+1
– x3
______
Calcular: E = 2a+b+n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. Si el polinomio P(x) 0 y
P(x) (a+b-2)x3 + (a+c-3)x
2 + b+c-5
Hallar: a – b + c a) –2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
6. Si el polinomio está ordenado en forma ascendente: P(x) = 5x
3 + 7x
8 + 9x
m+3 + bx
n+2 + x
11
a) 10 b) 15 c) 17 d) 21 e) 35
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69
7. Calcular: (a+b+c)
Si: P(x) Q(x) Siendo: P(x) = 4x
2 + 3x + 2
Q(x) = (a+b-1)x2 + (b-c+2)x + (c-n+4)
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
8. Indicar el grado de homogeneidad de: P(x,y) = x
a+by
3+a-b + 5x
a+17 + 7x
4y
b+5
a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33
9. Hallar “m” si:
P(x) = 2x2m-5
y4n
– 3x2m-4n
y3 – x
4y
9
Es homogéneo. a) 1 b) 3 c) 7 d) 8 e) 12
TAREA DOMICILIARIA 1. Se dan los polinomios:
P(x) = (a-3)x2 + (b
2 - 2)x + 1
Q(x) = 5x2 + 2x+c
Donde: P(x) Q(x) Hallar: E = a+b-c a) 2 b) 3 c) 4 d) 9 e) 10
2. Dados los polinomios idénticos: P(x) = x
3 – 4x
a
Q(x) = xa+2
+ (b-2a)x. Calcular: a+b a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
3. El polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (m– 3)x
4 + (n
2 – 4)x
3 + (n-2) + px + c – 4
Hallar: M = m+n+p c+1 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
4. Si: Q(x) es completo y ordenado: Hallar: “m
2” _
Q(x) = mxm+1
+ 5xm
+ 5x2m-4
+ nx a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 9
5. Si el polinomio está ordenado en forma ascendente:
P(x) = mxn+1
+ bx3 + 5x
4 + 3x
5
Hallar: “n” a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
6. Calcular: (m+n+p)
Si: P(x) M(x) Siendo: P(x) = 3x
3 + 4x
2 + 2x + 1
Q(x) = (m+n – 1)x3 + (n+p – 2)x
2 + (p)x + 1
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
7. Sea P(x) un polinomio idénticamente nulo: P(x) = (m+n+3)x
2 + (2m+n – 1)x + n – 2
Hallar: E = (m+n)
50
a) 3000 b) b-1 c) 0 d) 1 e) m+n – mn
8. Indicar el GR(x) si el grado de homogeneidad de M(x,y,) es 12. M(x,y) = 5x
a+b + 3x
by
b + 4x
my
n
(Donde m<4) a) 8 b) 10 c) 21 d) 12 e) 14
9. Señale el grado del polinomio completo y ordenado en forma estrictamente decreciente. P(x) = x
12-2a + x
2a-4 + x
4-2a
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
10. Hallar: (a+b+c) si: P(x) = x
3a-b – x
2a – 3x
3b-c – 12y
3+b+c
Es completo y ordenado. a) 8 b) 7 c) 4 d) 0 e) –1
11. Si P(x), es completo y ordenado en: P(x) = ax
a-b – bx
b-c – cx
c+d + dx
d+e – ex
e-2
Hallar la suma de coeficientes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
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70
CAPÍTULO VII
OPERACIONES CON POLINOMIOS ADICIÓN DE POLINOMIOS Se reduce utilizando los términos semejantes. Ejemplo: Efectuar: P(x) + Q(x) si:
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Se suma utilizando el opuesto del segundo término. Así
M + ( – S) = D
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Recordando: am
x an = a
m+n
Propiedad Distributiva a(b+c) = ab + ac
PROBLEMAS PARA LA CLASE
(1) Reducir: E = 2(x
2 + x –1)+3(x
2 – x +1) – 5 x
2 – 1 x – 2
5
a) 7x b) 2x2 –1 c) x
2 + x +1
d) 11 e) 0
(2) Reducir: M = 5a (b+c) – 5b(a+c) – 5c(a+b) a) –8bc b) –10bc c) bc d) bc+ab e) 5bc – ab
(3) Reducir: 5x – [7y-2x – (3x-2y)]+9y a) 3x b) 2x+y c) 10x d) 10x+3y e) x+y
(4) Simplificar: (a+b)x + (b+c)y-(a-b)x+(b-c)y a) 2b(x+y) b) 2a(x-y) c) xa + yb d) xa – yb e) 0
(5) Reducir: 7a
2 – {a(7a-b)+2a[b-a]} – a(2a-b)
a) a+b b) 0 c) a+2b d) 2-2b e) a-b
(6) Simplificar: 3xy-[2x(x+y) – 3y(2x-y)] – x(7y-2x) a) y
2 b) –y
2 c) 3y
2 d) 3x
2 e) –3y
2
(7) Restar 7-x de 2-x a) 6x-5 b) 8x c) 5 d) –5 e) 6x-2
(8) Si P(x) = 1 –x2 +x, Q(x) = 2-x, R(x) = x
2+2,
¿cuánto le falta a la resta de Q menos R para ser igual a la suma de P más Q? a) 3+x b) 2x
2 –x-2
c) x2 –x+1 d) x-3x
2+1 e) 1 –3x+x
2
(9) Sea: P(x) = 2x2 + 3x – 5
R(x) = 2x – x2 + 3
Si: 2P(x) – 3R(x) = ax2 + bx + c
Hallar: a + b + c
a) –7 b) –10 c) –12 d) 26 e) 1
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71
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. ¿Cuánto le falta a E para que sumado con
C dé A? A = x + 1 ; B = 2x – 1 ; C = 1 – x 2 3 2 a) x – 1 b) 1 x + 6 c) x + 1 2 2 2 d) – 1 x – 1 e) 1 – x 2 6 3
2. Efectuar: (x+a)(a+b) + (a-b)(x-b) – (a+b)(a-b) – 2b2
2
a) 2ax b) ax+b c) ax-b
2
d) ax+2b e) –2ax
3. Efectuar: (32x
2 – 20x
3)+(2x – 1)(5 + 10x
2 – 15x)
5 a) 11x-6 b) 12x+3 c) 13x-1 d) 17x-1 e) 6x+2
4. Restar de A, lo que queda de quitarle C a B. A = 5x
2 + x+3 B = 12x
2 – 5
C = 3x2 + 2x –7
a) 3x
2+x-1 b) 13x
2 –5
c) 2x-x2+2 d) 1x
2 – 5x + 1
e) x2 –x +8
5. Efectuar: 6+(x
2 + x –1)(x+2) –x(x
2 +3 +1)
a) 5 b) 2x c) 4 d) x-1 e) x+1
6. Efectuar: (x-2)(2+x)+4 a) 2x
2 b) x+5 c) x
2 d) x
2 +1
e) 2x2 –3
7. Hallar A-B, si:
A = (x
2 + 5)(x
2 +1) –6x
2 –5
B = (x2 + 2)(x
2 –3) + (x
2 +6)
a) –x
2 b) 0 c) x
4 d) 2x
4 e) x
4 –1
8. Efectuar:
(x2 –1)(x
2 +2) – (1+x
2)(x
2 –2)
a) x
2 +1 b) –2x
2 c) x
2 –1
d) x+1 e) 2x2
9. Efectuar:
E = (2m-3)2 +2(2m-3)(1-2m)+(1-2m)
2
a) 4 b) 5 c) –3m d) m+1 e) 3m-1
10. Efectuar: 7(x-7)2 –7(x+7)
2
a) 196 b) 196x c) –196 d) 192x e) -192x