แผนกิจกรรมการศึกษาedu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/แผนกิจกรรม...

แผนกจกรรมการศกษา

ชดวชา 22752 คณตศาสตรส าหรบคร

Mathematics for Teachers

ภาคตน ปการศกษา 2559

แขนงวชาหลกสตรและการสอน วชาเอก คณตศาสตร สาขาวชาศกษาศาสตร มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช

ค าน า

การศกษาระดบบณฑตศกษาในระบบทางไกล มลกษณะทแตกตางจากการศกษาในระดบปรญญาตรหลายประการ ประการทส าคญ คอ นกศกษาจะตองศกษาคนควาดวยตนเองเกอบตลอดเวลา และจะตองเขารวมกจกรรมทกกจกรรมตามทมหาวทยาลยก าหนดไว แผนกจกรรมการศกษาเปนเอกสารทส าคญมาก เนองจากเปนเอกสารใหรายละเอยดเกยวกบงานทนกศกษาตองท า กจกรรมทนกศกษาตองปฏบตในการเขาสมมนาเสรมแบบเผชญหนาครงท 1 และ ครงท 2 และรวมถงการประเมนผลสมฤทธของนกศกษาในการศกษาชดวชา

แผนกจกรรมการศกษาชดวชา 22752 คณตศาสตรส าหรบคร จดท าขน เพอเปนกรอบในการท างานทไดรบมอบหมาย และการปฏบตกจกรรมตาง ๆ ขณะเขาสมมนาเสรมแบบเผชญหนาทงสองครงนกศกษาตองปฏบตกจกรรมตาง ๆ ตามทระบไวในแผนกจกรรมการศกษาอยางครบถวน หากนกศกษามขอเสนอแนะใดๆ ส าหรบปรบปรงแผนกจกรรมการศกษาในภาคการศกษาตอไป ขอไดโปรดแจงใหคณะกรรมการทราบดวย

คณะกรรมการกลมผลตและบรหารชดวชา ชดวชา 22752 คณตศาสตรส าหรบคร

สารบญ

หนา ค าน า 1 สารบญ 2 ปฏทนการศกษา 3 แผนกจกรรมการศกษา 4

1. รายละเอยดชดวชา 4 1.1 วตถประสงค 4 1.2 ค าอธบายชดวชา 4 1.3 รายชอหนวยการสอน 4

2. วธการศกษาชดวชา 5 2.1 การเตรยมตวของนกศกษา 5 2.2 ศกษาชดวชาจากสอหลก 5 2.3 การสมมนาเสรม 5 2.4 การประเมนผล 5

ภาคผนวก 1 6 ภาคผนวก 2 12 ภาคผนวก 3

ปฏทนการศกษา ภาคตน ปการศกษา 2559 ชดวชา 22752 คณตศาสตรส าหรบคร

15 กนยายน 2559 เปดภาคการศกษา ตลอดภาคการศกษา ศกษาดวยตนเองในระบบการศกษาทางไกล 29 – 30 ตลาคม 2559 สมมนาเสรมครงท 1 ท มสธ. 26 – 27 พฤศจกายน 2559 สมมนาเสรมครงท 2 ท มสธ. วนอาทตยท 29 มกราคม 2560 (เวลา 09.00 – 12.00 น.)

วนสอบไลประจ าภาคการศกษา ทจงหวดภมล าเนา

ตดตออาจารยผสอน อ.ดร.สรรตน อารรกษสกล กองโลก โทรศพท: 02-504-8555 095-365-2225 อเมลsakonglok@yahoo.com

ผศ.ดร.วนจ เทอกทอง โทรศพท: 02-504-8554 089-897-4499 อเมล vithong1@yahoo.com

อ.ดร. องอาจ ซมรมย โทรศพท: 02-504-8570 081-775-5553 อเมล gang2555@yahoo.com

หมายเหต วนสมมนาเสรม อาจมการเปลยนแปลงได โปรดตรวจสอบก าหนดการสมมนาเสรมไดทางเวบไซต สาขาวชาศกษาศาสตร http://edu.stou.ac.th หรอสอบถามไดทางโทรศพท เบอร 02-504-8505-6

แผนกจกรรมการศกษา ชดวชา 22752 คณตศาสตรส าหรบคร

MATHEMATICS FOR TEACHERS 1. รายละเอยดชดวชา

1.1 วตถประสงค 1) เพอใหมความร ความเขาใจเกยวกบสาระและหลกการของคณตศาสตรพนฐานใน

เรอง เซต แบบรป ความสมพนธและฟงกชน จ านวนและการด าเนนการ ตวแปร พหนาม สมการและอสมการ เรขาคณตและการพสจน การวด เรขาคณตวเคราะหและแคลคลส สถตและความนาจะเปน และสาระอนๆ ของคณตศาสตรทส าคญ

2) เพอใหสามารถวเคราะหและเชอมโยงสาระและหลกการของคณตศาสตรพนฐานกบคณตศาสตรในระดบโรงเรยน 1.2 ค าอธบายชดวชา

การสมมนาแนวคดส าคญ สาระและหลกการของคณตศาสตรพนฐานในเรอง เซต แบบรป ความสมพนธและฟงกชน จ านวนและการด าเนนการ ตวแปร พหนาม สมการและอสมการ เรขาคณตและการพสจน การวด เรขาคณตวเคราะหและแคลคลส สถตและความนาจะเปน และสาระอน ๆ ของคณตศาสตรทส าคญ การวเคราะหและเชอมโยงสาระและหลกการของคณตศาสตร พนฐานกบคณตศาสตรในระดบโรงเรยน 1.3 รายชอหนวยการสอน

หนวยท 1 เซตและตรรกศาสตร หนวยท 2 ทฤษฎจ านวน หนวยท 3 พหนาม สมการ และอสมการ หนวยท 4 การพสจนทางเรขาคณต หนวยท 5 เรขาคณตและการประยกต หนวยท 6 แบบรปทางคณตศาสตร หนวยท 7 ความสมพนธ และฟงกชน หนวยท 8 ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต หนวยท 9 พนฐานเรขาคณตวเคราะห หนวยท 10 ฟงกชนเลขยกก าลง ฟงกชนลอการทม และการประยกต หนวยท 11 ลมตและความตอเนองของฟงกชน หนวยท 12 อนพนธและการประยกต หนวยท 13 สถตกบการประยกต หนวยท 14 ความนาจะเปนและการประยกต หนวยท 15 กราฟและการประยกต

2. วธการศกษาชดวชา

2.1 การเตรยมตวของนกศกษา นกศกษาควรจดเวลาส าหรบศกษาเนอหาทกวน วนละไมนอยกวา 2 ชวโมง โดยเฉพาะอยางยงนกศกษาทมพนฐานความรไมเพยงพอ นกศกตองแบงเวลาในการศกษาอยางเครงครด ควรศกษาคนควาเนอหาจากสออนๆ เพมเตมเพอใหเขาใจเนอหา ถามปญหาสามารถสอบถามเพอนๆ หรออาจารยไดโดยใชสอตางๆ ทเอออ านวย

ขอใหนกศกษามความมานะพยายาม มความมงมนในการเรยน อยาทอถอย ลงมอท าเดยวน อยาผลดวนประกนพรง ในฐานะทเราเปนคร เราตองท าตวใหเปนแบบอยางของนกเรยนเรา ขอใหท างานหนกในวนนแลวความส าเรจจะอยแคเออม และยดคต “ฝนใหไกล ไปใหถง”

2.2 การศกษาชดวชาจากสอหลก ใหนกศกษาท าปฏทนเพอวางแผนดานเวลาส าหรบการอานประมวลสาระและท ากจกรรมในแนวการศกษา ส าหรบแนวการศกษาหนวยท 11-12 ไดมการจดท าขนใหมโดยปรบปรงและเพมเตมแบบฝกหดพรอมเฉลยแบบละเอยดในภาคผนวก 3 ใหนกศกษาด าเนนการศกษาตามปฏทน และตองน าความรทไดจากสอหลกไปท ากจกรรมตามทก าหนดในแนวการศกษา

2.3 การสมมนาเสรม ในการสมมนาเสรมนกศกษาตองศกษาเนอหาสาระจากประมวลสาระ และท ากจกรรมในแนวการศกษาในแนวการศกษาไวกอนลวงหนา และนกศกษาตองท างาน และเกบขอมลเพอไปน าเสนอในการสมมนาเสรม ดงน

2.3.1 การสมมนาเสรมครงท 1 (หนวยท 1 – 8) ใหนกศกษาท ากจกรรมตามทก าหนดในภาคผนวก 1 สงในรปแบบรายงานและน าเสนอในการสมมนาเสรมครงท 1 (วนท 29-30 ตลาคม 2559)

2.3.1 การสมมนาเสรมครงท 2 (หนวยท 9 – 15) ใหนกศกษาท ากจกรรมตามทก าหนดในภาคผนวก 2 สงในรปแบบรายงานและน าเสนอในการสมมนาเสรมครงท 2 (วนท 26-27 พฤศจกายน 2559)

2.4 การประเมนผล กจกรรมภาคปฏบตรอยละ 40 และการสอบไลรอยละ 60

2.4.1 กจกรรมภาคปฏบต คดคะแนนจากกจกรรมการสมมนาเสรมทงสองครง รอยละ 20 ตอครง ทงนนกศกษาตองสงงานให ครบถวน ทกชน

2.4.2 การสอบไล คดคะแนนจากการท าแบบทดสอบประเภทเขยนตอบ 6 ขอ เวลาสอบ 3 ชวโมง นกศกษาตองเขาสอบ ณ สถานททมหาวทยาลยจดใหนกศกษาเทานน

****-------------------------------------------------------------***

ภาคผนวก 1 ส าหรบการสมมนาเสรมครงท 1 (หนวยท 1 – 8)

หนวยท 1 เซตและตรรกศาสตร 1. จงพจารณาเซตทก าหนดใหตอไปน

}06|{ 2 xxxA }22|{ xxB

}22|{ xxC

aD ,|{ เปนจ านวนเตมท }0b

}1|{ 2 xxE cQQF

),...}12(5,...,15,10,5{ nG 1) เขยนค าตอบลงในชองวางใหตรงกบลกษณะของเซต

เซต นบไดหรอนบไมได

เขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก กราฟของเซต จ านวนเชงการนบของเซต

2) จงเปรยบเทยบจ านวนเชงการนบของเซตทก าหนดกบ 0 และ 1 พรอมอธบายเหตผลประกอบ

2. }27|{ 3 xxA 1) จงแจกแจงเซตยอยทงหมดของ A 2) จงแจกแจงเซตยอยแททงหมดของ A 3) จงเขยนเซตก าลงของ A

3. ก าหนด B เปนเซตจ ากด มสมาชก 9 ตว 1) เซตยอยของ B มทงหมดกเซต จงแสดงวธคด

2) เซตยอยแทของ B มทงหมดกเซต จงแสดงวธคด 4. ก าหนด }10,...,3,2,1{U และ }10,7,4,1{A , }5,4,3,2,1{B และ }8,6,4,2{C จงหา

1) )( ACB

2) CBA )( 3) |)(|2|)(| CPBP 4) )( CBA เมอ )()( ABBABA

5. จงเขยนแผนภาพเวนนออยเลอรส าหรบเซตตอไปน 1) )()( ACBA 2) CABAC )()( 3) )( ACB 6. จงหาเงอนไขระหวางเซต A และเซต B ทท าใหความสมพนธตอไปนเปนจรง 1) ABA 2) ABA 3) UA 4) BBA )( 7. อาจารยคนหนงไดสอบถามนกเรยนในชนจ านวน 42 คนเกยวกบการทบทวนบทเรยนในสปดาหทแลว

พบวา นกเรยน 9 คนทบทวนบทเรยนในวนศกร นกเรยน 18 คนทบทวนบทเรยนในวนเสาร นกเรยน 30 คนทบทวนบทเรยนในวนอาทตย นกเรยน 3 คนทบทวนบทเรยนทงในวนศกรและวนเสาร นกเรยน 10 คนทบทวนบทเรยนทงในวนเสารและวนอาทตย นกเรยน 6 คนทบทวนบทเรยนทงในวนศกรและวนอาทตย นกเรยน 2 คนทบทวนบทเรยนทงในวนศกร วนเสาร และวนอาทตย

จงหาวา 1) นกเรยนกคนทบทวนบทเรยนในวนอาทตยเทานน 2) นกเรยนกคนทบทวนบทเรยนเพยงวนเดยว 3) นกเรยนกคนไมไดทบทวนบทเรยนเลยในสปดาหทแลว

8. ให BA, และ C เปนเซตใดๆ จงพจารณาขอความตอไปน ถาจรงจงพสจน ถาไมจรง ใหยกตวอยางคาน

1) ABAA )( 2) )()()( CABACBA 3) )()( ABBA 4) ccc BABA )( 5) )()()( CABACBA 6) ถา BA และ CB แลว CBA

9. จงพจารณาขอความทก าหนดใหตอไปน ขอความใดเปนประพจน พรอมทงอธบายเหตผลประกอบ ก. วนนหมะตกท มสธ. ข. 12 มากกวา 20 ค. Oh !! My GOD

ง. ไกเกดกอนไข จ. ชมพ อารยา เปนนกแสดงหญงทสวยทสดในประเทศไทย

ฉ. 0)1sinln( 2)12( xe x 10. จงสรางตารางคาความจรง เพอตรวจสอบประพจนสมมล

1) qpqp ~ 2) pqqp ~~ 3) )()( rqprqp

11. จงตรวจสอบประพจนทก าหนดใหวาเปนสจนรนดรหรอไม 1) )()~( rppr 2) )()( qppq

12. ก าหนด )(xP แทนขอความ 2x และ ),( yxQ แทนขอความ 4 yx 1) จงเขยนขอความแทนประพจน )],()([ yxQxPyx พรอมอธบาย

2) จงเขยนนเสธของประพจนในขอ 1) พรอมอธบาย 13. จงแสดงการตรวจสอบวา การอางเหตผลทก าหนดให สมเหตสมผลหรอไมอยางไร

1) ถาจ านวนจ านวนหนงเปนพหคณของ 3 จ านวนจ านวนนนยอมลงทายดวย 9, 7, 1 หรอ 3 จ านวน 3,124 ไมไดลงทายดวย 9, 7, 1 หรอ 3 ดงนน 3,124 ไมเปนพหคณของ 3

2) ถาฉนอานประมวลสาระชดวชาคณตศาสตรส าหรบครทกๆวนแลว ฉนจะท าการบานชดวชาคณตศาสตรส าหรบครได ถาฉนท าการบานชดวชาคณตศาสตรส าหรบครไดแลวฉนจะเขาใจชดวชาคณตศาสตรส าหรบครและท าขอสอบชดวชาคณตศาสตรส าหรบครไดได ดงนนฉนอานประมวลสาระชดวชาคณตศาสตรส าหรบครทกๆวนแลวฉนจะท าขอสอบชดวชาคณตศาสตรส าหรบครได

หนวยท 2 ทฤษฎจ านวน 1. จงพจารณาวาขอความทก าหนดใหตอไปนเปนจรงหรอไม ถาจรงจงพสจน ถาไมจรงใหยกตวอยางคาน

1) สองเทาของจ านวนคบวกกบจ านวนคเปนจ านวนค 2) ส าหรบจ านวนเตม n ใดๆ ถา 2n เปนจ านวนเตมค แลว n เปนจ านวนเตมคดวย 3) ส าหรบจ านวนจรง x และ y ใดๆ 22 yx กตอเมอ yx 4) ผลคณของจ านวนนบสามจ านวนทเรยงตดกนหารดวย 3 ลงตว

2. จงใชหลกอปนยเชงคณตศาสตรพสจนขอความตอไปน เมอ n เปนจ านวนเตมบวกใด ๆ 1) )1(28642 nnn

)12)(1(4321 2222

3) 122 nn ส าหรบทก 3n

หนวยท 3 พหนาม สมการ และอสมการ 1. จงแยกตวประกอบพหนาม 6252056 234 xxxx ซงม 2x และ 13 x เปนตว

ประกอบ 2. จงหาจ านวนเตม k ทท าใหสมการ 2 ( 6) 8 0x k x k มผลเฉลยเทากน 3. ก าหนด a เปนเศษเหลอทไดจากการหาร 46 x ดวย 2x ถา )2(1282 aba แลวจงหา

คาของ b

หนวยท 4 การพสจนทางเรขาคณต 1. ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก XYZ ซงม YZX ˆ เปนมมฉาก และ ZYX ˆ กาง 30 จงแสดงวธหา

อตราสวนของ XY : YZ : ZX 2. จงแสดงวธหาเสนทแยงมมของกลองทรงสเหลยมมมฉากทมความกวาง ความยาว และความสงเทากบ

a, b และ c หนวย ตามล าดบ

3. จากรปสามเหลยม ก าหนดให CADDBA ˆˆ และ AD ยาวเปนสองเทาของ BD และ BD ยาว

1 หนวย แลวจงแสดงวธหาผลบวกของความยาวเสนรอบรปของสามเหลยม ABC A B D C

หนวยท 5 เรขาคณตและการประยกต 1. จงพจารณาวาขอใดเปนความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก เพราะเหตใด

1) 3, 4, 5 2) 7, 23, 25 3) 11, 60, 62 4) 12, 35, 37 5) 20, 21, 29 6) 20, 99, 100

หนวยท 6 แบบรปทางคณตศาสตร 1. ใหนกศกษาแสดงทศนะเกยวกบแบบรปทางคณตศาสตร และประเภทของแบบรป 2. ถาน าลกบาศกเลกๆ ขนาดเทากนจ านวน 64 ลก มาประกอบกนเปนลกบาศกใหญลกหนง แลวทาส

เขยวทหนาทกหนาของลกบาศกใหญ รอใหสแหงแลวแกะออกจากกน ใหหาจ านวนลกบาศกทมลกษณะตอไปน

1) ไมมสเขยวทหนาใดเลย 2) มหนาสเขยว 1 หนา 3) มหนาสเขยว 2 หนา 4) มหนาสเขยว 3 หนา

3. จากขอ 2 จงหาค าตอบกรณทมลกบาศก n3 ลก 4. แฟรคทล (Fractal) คออะไร จงอธบายพรอมทงแสดงตวอยาง 3 ตวอยาง

หนวยท 7 ความสมพนธและฟงกชน 1. ให เปนเซตของจ านวนจรง

ก าหนดความสมพนธ }2|),{( 2xyyxR จงหา 1) โดเมน และ เรนจของความสมพนธ R

2) ความสมพนธผกผน 1R 2. ให เปนเซตของจ านวนเตมบวก

ก าหนด }|),{(1 yxyxr และ }|),{(2 yxyxr

จงหา 21 rr และพจารณาวา 21 rr เปนความสมพนธบน หรอไมอยางไร 3. ก าหนดความสมพนธ }0,4|),{( 22

1 xyxyxr และ }0,4|),{( 22

2 yyxyxr 1) จงหาความสมพนธผกผนของ 1r และ 2r 2) จงวาดกราฟของความสมพนธ 1r และ 2r ความสมพนธผกผนของ 1r และ 2r 3) 1r และ 2r เปนฟงกชนหรอไม เพราะเหตใด

4. ก าหนดให 2)( 2 xxf และ 53)( xxg จงหา )1)(( gf และ )1)(( fg

5. ทศนยมซ ามความเกยวของกบอนกรมเรขาคณตอยางไร จงอธบายการแปลงทศนยมซ าใหเปนเศษสวนโดยใชความรเกยวกบอนกรมเรขาคณต

หนวยท 8 ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต 1. จงหาคาของ

1) 90sin 2) 105cos 3) 135tan 4) 220cot

2. ก าหนดให 3

1tan A จงหาคา

cossec

sincosec

3. ก าหนดสามเหลยม ABC ท 4

A และ

B จงหาคาของ Ccos

******************************************

ภาคผนวก 2 การสมมนาเสรมครงท 2 (หนวยท 9 – 15)

หนวยท 9 พนฐานเรขาคณตวเคราะห 1. ก าหนดให P(1, 6), Q(5, 2), R(-1, -4) และ S(-2, 3) เปนจดบนระนาบ จงตอบค าถามตอไปน

1) หาสมการเสนตรงทผานจด PS 2) รปสเหลยม PQRS เปนรปสเหลยมประเภทใด จงใหเหตผลโดยใชความรเรองความชน 3) จด Q อยหางจากเสนตรงทผานจด PS กหนวย

2. จงวเคราะหลกษณะของสมการตอไปน (ระบวาเปนสมการอะไร มรายละเอยดอะไรบาง ฯ) 1) 0109322501625 22 yxyx

2) 0473254169 22 yxyx

3) xyy 6100202 4) 018161616 22 yxyx

หนวยท 10 ฟงกชนเลขยกก าลง ฟงกชนลอการทมและการประยกต 1. ก าหนดให )11(log)12(log)3(log 2

333 xxx จงหาคา x

2. จงแสดงวธหาคาของ n

3. หนดฝากเงนไวกบสถาบนการเงนแหงหนงจ านวน 1,000,000 บาท เพอเปนเงนศกษาตอ ไดดอกเบยรอยละ 6.5 โดยคดดอกเบยทบตนอยางตอเนอง จงหาวา หนดจะตองฝากเงนไวเปนเวลากปจงจะไดเงนฝากเพมขนเปนสามเทา (ก าหนดให 099.13ln และสตรเงนรวมเมอคดดอกเบยทบตนอยางตอเนอง คอ rtPeA เมอ P คอเงนตน r คออตราดอกเบย และ t คอ จ านวนป)

หนวยท 11 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 1. จงใชนยามของลมตพสจนวาลมตทก าหนดตอไปนใหหาคาได

1) 312lim1

3) 100lim7x

2. จงแสดงวธหาลมตของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน

11lim 4).

135lim

5) 754

3. จงพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอเนองทจดใดบางบนจ านวนจรง เพราะเหตใด

xxxf 4)

หนวยท 12 อนพนธและการประยกต 1. จงหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปนโดยใชนยาม 1) 5)( xf 2) xxf )(

3) xxexf )( 4) x

2. จงแสดงวธหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน 1) ))(cos(sinsin)( 3 xxf 2) )21(tan)( 2 xxf

3) )sin

arctan()(x

xxf 4) )cosarcsec()( 3 xxf

1arctansin

114253 23sin)72()1log(3 x

xxxxxexy x

3. จงวาดกราฟของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน โดยการหาจดต าสด จดสงสด จดเปลยนความเวา เวาคว า เวาหงาย ฟงกชนเพม และฟงกชนลด (ถาม) 1) 2293 23 xxxxf 2) )32( 33 xxxxf

3) xxxf ln2 4) 2

5) 16223

xf 6) 1

4. จงหาขนาดของทรงกระบอกกลมซงมปรมาตรมากทสด และสามารถบรรจลงในกรวยกลมซงมรศม 12 และสง 10

5. จงหาขนาดของสเหลยมผนผาทมเสนรอบรปยาวทสด ทสามารถบรรจลงในวงร 12

6. เสนลวดยาว L ตองการตดแบงเปน 2 สวน สวนหนงเอาไปขดเปนรปสเหลยมจตรส อกสวนเอาไปขดเปนรปวงกลม 1) จะตดเสนลวด L อยางไร จงจะใหมพนทรวมสองสวนนอยทสด 2) จะตดเสนลวด L อยางไร จงจะใหมพนทรวมสองสวนมากทสด 7. จงหาขนาดของสามเหลยมหนาจวทมพนทมากทสด ถาก าหนดใหเสนรอบรปยาว P

หนวยท 14 ความนาจะเปนและการประยกต 1. ถงกระดาษสน าตาลใบหนง บรรจลกปงปอง 4 ลก ประกอบดวยลกปงปองสแดง สเขยว สขาว และส

เหลอง สละหนงลก ถาหยบลกปงปอง 2 ลกแบบสมจากถง โดยหยบลกปงปองลกแรก แลวใสกลบคน จากนนหยบลกปงปองลกทสอง จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน 1) หยบลกปงปองลกใดลกหนงไดสขาว 2) หยบลกปงปองลกแรกไดสเขยวหรอสเหลอง 3) หยบลกปงปองทงสองลกไดสเหมอนกน 4) ลกปงปองทงสองลกไมใชสน าเงน

2. ในการส ารวจความตองการสอทางไกลของนกศกษาปรญญาโท แขนงวชาหลกสตรและการสอน วชาเอกคณตศาสตร จ านวน 52 คน เกยวกบความตองการสอเสรม 3 ประเภท ไดแก สอดวด สอออนไลน และ สอสงพมพในรปแบบทดสอบ ผลการส ารวจ พบวา นกศกษา

29 คนตองการสอดวด 22 คนตองการสอออนไลน 29 คนตองการสอแบบทดสอบ 12 คนตองการสอดวดและสอออนไลน 11 คนตองการสอออนไลนและสอแบบทดสอบ 13 คนตองการสอดวดและสอแบบทดสอบ

1) จงเขยนแผนภาพแทนเซตของสถานการณทก าหนดให 2) ถาสมนกศกษาคนหนงจากนกศกษา 52 คนน จงหาความนาจะเปนท

(1) นกศกษาคนนชอบสอแบบทดสอบเทานน (2) นกศกษาคนนชอบสอออนไลนเทานน (3) นกศกษาคนนชอบสอออนไลนหรอสอดวด (4) นกศกษาคนนไมชอบสอทงสามประเภท

3. ในหองปฏบตการคอมพวเตอร มคอมพวเตอร 30 เครอง โดยคอมพวเตอร 4 เครอง ในคอมพวเตอร 30 เครองนมขอบกพรอง เจาหนาทประจ าหองปฏบตการสมคอมพวเตอรมา 6 เครองเพอท าการทดสอบ และคอมพวเตอรทกตวมโอกาสเทากนทจะถกสมมาทดสอบ ตารางทก าหนดใหคอคาความนาจะเปนท

คอมพวเตอร 6 เครองซงถกสมมาทดสอบจะเปนกลองทบกพรอง 0 เครอง, 1 เครอง, 2 เครอง และ 3 เครอง

จ านวนคอมพวเตอรทบกพรอง 0 1 2 3 ความนาจะเปน 0.11 0.21 0.23 0.09

จงหาคาคาดหวงของจ านวนคอมพวเตอรทบกพรองในการทดสอบจากการสมคอมพวเตอร 6 เครองน และแปลความหมายของคาทค านวณได 5. ตารางทก าหนดใหเปนจ านวนนกศกษาแขนงวชาหลกสตรและการสอนรนปการศกษา 2555 ทไดเกรด

เฉลยสะสม ตงแต 3.00 ขนไป และไดเกรด A ในชดวชาการวจยหลกสตรและการเรยนการสอน

วชาเอก/เพศ จ านวนนกศกษาทไดเกรดเฉลยสะสมตงแต 3.00 ขนไป

จ านวนนกศกษาทไดเกรด A ในชดวชาการวจยหลกสตรและการเรยนการสอน

ปฐมวยศกษา 14 8 ภาษาไทย 15 10 ภาษาองกฤษ 13 12 วทยาศาสตร 20 10 คณตศาสตร 18 14 สงคมศกษา 20 12 นกศกษาชาย 50 28 นกศกษาหญง 54 30

ถาสมนกศกษามาหนงคนจากนกศกษาขางตน จงหาความนาจะเปนท 1) นกศกษาไดเกรด A ในชดวชาการวจยหลกสตรและการเรยนการสอน เมอทราบแลววานกศกษาคน

นอยในกลมวชาเอกปฐมวยศกษา 2) นกศกษาไดเกรด A ในชดวชาการวจยหลกสตรและการเรยนการสอน เมอทราบแลววานกศกษาคน

นอยในกลมวชาเอกคณตศาสตร หรอกลมวชาเอกวทยาศาสตร 3) นกศกษาอยในกลมวชาเอกสงคมศกษา เมอทราบแลววานกศกษาคนนไดเกรด A ในชดวชาการวจย

หลกสตรและการเรยนการสอน 4) นกศกษาเปนเพศหญง เมอทราบแลววานกศกษาคนนไดเกรด A ในชดวชาการวจยหลกสตรและการ

เรยนการสอน 5) นกศกษาไดเกรด A ในชดวชาการวจยหลกสตรและการเรยนการสอน เมอทราบแลววานกศกษาเปน

เพศชาย

หนวยท 15 กราฟและไดกราฟ

1. จงพจารณากราฟทก าหนดให มทางเดนออยเลอรหรอวงจรออยเลอร หรอไม ถาม จงหา

1G 2G 2. จงพจารณากราฟทก าหนดให มทางเดนแฮมลตนหรอวงจรแฮมลตน หรอไม ถาม จงหา

3. จงระบายสใหกบแผนททก าหนด โดยใชสใหนอยทสดและมเงอนไขวาพนทตดกนหามใชสเดยวกน

**********************************************

ค ง

จ ฉ

ภาคผนวก 3

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช

บณฑตศกษา สาขาวชาศกษาศาสตร

แนวการศกษาชดวชา คณตศาสตรส าหรบคร

Mathematics for Teachers

22752 หนวยท 11-12

ภาคตน ปการศกษา 2559

โดย อ.ดร.สรรตน อารรกษสกล กองโลก

ค าน า

แนวการศกษาเปนเอกสารทนกศกษาจะตองใชควบคกบประมวลสาระชดวชาในระดบบณฑตศกษา แนวการศกษาชดวชา 22752 คณตศาสตรส าหรบคร หนวยท 11-12 ฉบบนไดจดท าขนใหม โดยเพมเตมแบบฝกหดพรอมเฉลยอยางละเอยด รวมทงปรบปรงเนอหาใหเปนปจจบน ทงนไดอางองเนอหาบางสวนจากประมวลสาระและแนวการศกษาชดวชา 22752 คณตศาสตรส าหรบคร หนวยท 11-12 ซงเขยนโดยรองศาสตราจารย ดร.องสนา จนแดง และผลตโดยคณะกรรมการผลตและบรหารชดวชาคณตศาสตรส าหรบคร

สรรตน อารรกษสกล กองโลก

สารบญ

หนา ค าน า 1 รายละเอยดชดวชา 4 วธการศกษา 6 หนวยท 11 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 7 แผนผงแนวคดหนวยท 11 8

แบบประเมนผลตนเองกอนเรยน 10 ตอน 11.1 ลมตของฟงกชน 13 เรองท 11.1.1 แนวคดเกยวกบลมตของฟงกชน 15 เรองท 11.1.2 ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงตว 17 เรองท 11.1.3 ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระมคาเพมขนหรอ ลดลงอยางไมสนสด

เรองท 11.1.4 การค านวณหาคาลมตของฟงกชนโดยใชกฏลมต 22 ตอน 11.2 ความตอเนองของฟงกชน 25 เรองท 11.2.1 แนวคดเกยวกบความตอเนองของฟงกชน 26 เรองท 11.2.2 ความไมตอเนองแบบตางๆ 28 แนวตอบกจกรรมหนวยท 11 30 แนวตอบตอนท 11.1 ลมตของฟงกชน 30 แนวตอบตอนท 11.2 ความตอเนองของฟงกชน 41 แบบประเมนผลตนเองหลงเรยน 45 เฉลยแบบประเมนผลตนเองหนวยท 11 48

หนวยท 12 อนพนธและการประยกต 49 แผนผงแนวคดหนวยท 12 50

แบบประเมนผลตนเองกอนเรยน 53 ตอน 12.1 อนพนธ 56 เรองท 12.1.1 แนวคดเกยวกบอนพนธ 57 เรองท 12.1.2 การค านวณหาอนพนธของฟงกชนตางๆ และสตร เกยวกบการหาอนพนธ

ตอน 12.2 การประยกตอนพนธของฟงกชน 64 เรองท 12.2.1 การประมาณเชงเสน 65 เรองท 12.2.2 การประยกตอนพนธในการรางกราฟ 67

เรองท 12.2.3 อตราสมพทธ และการประยกตคาสงสด และคา ต าสด

เรองท 12.2.4 ปฏยานพนธเบองตน 72 แนวตอบกจกรรมหนวยท 12 74 แนวตอบตอนท 12.1 อนพนธ 74 แนวตอบตอนท 12.2 การประยกตอนพนธของฟงกชน 84 แบบประเมนผลตนเองหลงเรยน 97 เฉลยแบบประเมนผลตนเองหนวยท 12 100

รายละเอยดชดวชา

ค าอธบายชดวชา 22752 คณตศาสตรส าหรบคร

Mathematics for Teachers การสมมนาแนวคดส าคญ สาระและหลกการของคณตศาสตรพนฐานในเรอง เซต แบบรป

ความสมพนธและฟงกชน จ านวนและการด าเนนการ ตวแปร พหนาม สมการและอสมการ เรขาคณตและการพสจน การวด เรขาคณตวเคราะหและแคลคลส สถตและความนาจะเปน และสาระอน ๆ ของคณตศาสตรทส าคญ การวเคราะหและเชอมโยงสาระและหลกการของคณตศาสตร พนฐานกบคณตศาสตรในระดบโรงเรยน

วตถประสงค 1. เพอใหมความร ความเขาใจเกยวกบสาระและหลกการของคณตศาสตรพนฐานในเร อง เซต

แบบรป ความสมพนธและฟงกชน จ านวนและการด าเนนการ ตวแปร พหนาม สมการและอสมการ เรขาคณตและการพสจน การวด เรขาคณตวเคราะหและแคลคลส สถตและความนาจะเปน และสาระอนๆ ของคณตศาสตรทส าคญ

2. เพอใหสามารถวเคราะหและเชอมโยงสาระและหลกการของคณตศาสตร พนฐานกบคณตศาสตรในระดบโรงเรยน

รายชอหนวยการสอน

หนวยท 1 เซตและตรรกศาสตร หนวยท 2 ทฤษฎจ านวน หนวยท 3 พหนาม สมการ และอสมการ หนวยท 4 การพสจนทางเรขาคณต หนวยท 5 เรขาคณตและการประยกต หนวยท 6 แบบรปทางคณตศาสตร หนวยท 7 ความสมพนธ และฟงกชน หนวยท 8 ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต หนวยท 9 พนฐานเรขาคณตวเคราะห หนวยท 10 ฟงกชนเลขยกก าลง ฟงกชนลอการทม และการประยกต หนวยท 11 ลมตและความตอเนองของฟงกชน หนวยท 12 อนพนธและการประยกต หนวยท 13 สถตกบการประยกต หนวยท 14 ความนาจะเปนและการประยกต หนวยท 15 กราฟและการประยกต

วธการศกษา ประมวลสาระชดวชาเปนเอกสารทบรรจเนอหาสาระของแตละหนวยอยางละเอยด โดยใชควบคกบแผนกจกรรมการศกษา และแนวการศกษา มล าดบขนตอนการใชดงน

1. ศกษารายละเอยดชดวชา 2. ศกษารายละเอยดของแตละหนวย โดยมขนตอนดงน

a. ศกษาแผนผงแนวคด แผนการสอนประจ าหนวย และท าแบบประเมนผลตนเองกอนเรยน พรอมทงตรวจค าตอบจากเฉลยในแนวการศกษา

b. ศกษาแผนการสอนประจ าหนวยทปรากฏในประมวลสาระชดวชาใหเขาใจกอน

c. ศกษาแผนการสอนประจ าตอน ทงจากแนวการศกษาและประมวลสาระชดวชา

d. ศกษารายละเอยดของเนอหาสาระในแตละเรองในประมวลสาระชดวชา พรอมทงศกษาจากสาระสงเขปในแตละหวเรองทปรากฏในแนวการศกษา

e. ปฏบตกจกรรมทปรากฏในทายเรองแตละเรองในแนวการศกษา พรอมทงตรวจสอบค าตอบจากแนวตอบไปดวย

f. ท าแบบประเมนผลหลงเรยน ภายหลงจากศกษาเนอหาสาระในหนวยนน

หนวยท 11

ลมตและความตอเนองของฟงกชน

ดร.สรรตน อารรกษสกล กองโลก

แผนผงแนวคดหนวยท 11

11.2 ความตอเนองของฟงกชน

11.2.1 แนวคดเกยวกบความตอเนองของฟงกชน

11.2.2 ความไมตอเนองแบบตางๆ

11.1 ลมตของฟงกชน 11.1.3 ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระมคาเพมขนหรอลดลงอยางไมสนสด

11.1.4 การค านวณหาคาลมตของฟงกชนโดยใชกฏลมต

11.1.1 แนวคดเกยวกบลมตของฟงกชน

11.1.2 คอมโพสตของการแปลง

ลมตและความตอเนองของฟงกชน

หนวยท 11 ลมตและความตอเนองของฟงกชน เคาโครงเนอหา

ตอน 11.1 ลมตของฟงกชน เรองท 11.1.1 แนวคดเกยวกบลมตของฟงกชน เรองท 11.1.2 ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงตว เรองท 11.1.3 ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระมคาเพมขนหรอ ลดลงอยางไมสนสด เรองท 11.1.4 การค านวณหาคาลมตของฟงกชนโดยใชกฏลมต ตอน 11.2 ความตอเนองของฟงกชน เรองท 11.2.1 แนวคดเกยวกบความตอเนองของฟงกชน เรองท 11.2.2 ความไมตอเนองแบบตางๆ

แนวคด

1. การหาลมตเปนการหาวาคาของฟงกชนจะมคาเขาใกลคาคงตวใด เมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงตว หรอมคาเพมขน/ลดลงอยางไมสนสด การค านวณหาลมตของฟงกชนประกอบรปแบบตางๆ จะท าไดงายและรวดเรวขนโดยใชกฎของลมต

2. ฟงกชนทหาลมตไดเมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงตว และมลมตเทากบคาของฟงกชนทคาคงตวนนจะมกราฟไมขาดตอน ณ ทนน เราเรยกฟงกชนชนดนวาฟงกชนตอเนอง สวนฟงกชนทมกราฟขาดตอนจะเปนฟงกชนไมตอเนอง

วตถประสงค เมอศกษาหนวยท 11 จบแลว นกศกษาสามารถ

1. อธบายไดวามการน าลมตไปใชในปญหาตางๆไดอยางไร และฟงกชนมคาเขาใกลคาคงตวใดหรอไม เมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงตวคาหนง หรอตวแปรอสระเพมขน/ลดลงอยางไมสนสด

2. ค านวณหาลมตของฟงกชนรปแบบตางๆ 3. อธบายและตรวจสอบไดวา ฟงกชนทศกษาเปนฟงกชนทมความตอเนองทใดหรอไม และถา

ฟงกชนไมตอเนองจะไมตอเนองแบบใด

แบบประเมนตนเองกอนเรยน วตถประสงค เพอประเมนความกาวหนาในการเรยนรของนกศกษาเกยวกบเรอง “ลมตและความตอเนองของฟงกชน” ค าแนะน า อานค าถามแลวเขยนวงกลมลอมรอบขอค าตอบทถกตอง นกศกษามเวลาท าแบบประเมนชดน 60 นาท 1. ความหมายของ 1lim

x ตรงกบขอใด

ก. เมอ x เขาใกลคาคงตว 1 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว 1 เพยงคาเดยว ข. เมอ x เขาใกลคาคงตว 1 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว -1 เพยงคาเดยว ค. เมอ x เขาใกลคาคงตว -1 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว 1 เพยงคาเดยว ง. เมอ x เขาใกลคาคงตว -1 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว -1 เพยงคาเดยว

2. คาของ xxx

1lim3lim

3 ตรงกบขอใด

ก. 3 ข. -3 ค. มคาเพมขนไมสนสด ง. มคาลดลงไมสนสด

3. คาของ 92

ก. 0 ข. 2 ค. มคาเพมขนไมสนสด ง. มคาลดลงไมสนสด

4. คาของ 21 )1(

xx ตรงกบขอใด

ก. 0 ข. 3

ค. มคาเพมขนไมสนสด ง. มคาลดลงไมสนสด

4 )4(lim

ก. 0 ข. 1

ค. 2

ง. 2

ก. 3

ข. 7

ค. 3

ง. 7

ก. 0 ข. 3 ค. 6 ง. 9

จงใชกราฟ f(x) ตอบค าถามขอ 9-10

2 1 1 2 3 4 9. จากกราฟ f(x) ตอเนองท x = 2 หรอไม เพราะเหตใด ก. ตอเนอง เพราะลมตของฟงกชนท x = 2 หาคาได ข. ตอเนอง x เพราะคาของฟงกชนท x = 2 หาคาไดและมคาเทากบคาของลมตท x = 2 ค. ไมตอเนอง เพราะลมตของฟงกชนท x = 2 หาคาไมได ง. ไมตอเนอง x เพราะคาของฟงกชนท x = 2 หาคาไดแตไมเทากบคาของลมตท x = 2 10. จากกราฟท x = 1 ฟงกชน f(x) มความไมตอเนองชนดใด ก. ไมตอเนองชนดขจดได ข. ไมตอเนองชนดกระโดด ค. ไมตอเนองชนดอนนต ง. ฟงกชน f(x) ตอเนองท x = 1

ตอนท 11.1

ลมตของฟงกชน โปรดอานแผนการสอนประจ าตอนท 11.1 แลวจงศกษาเนอหาสาระ พรอมปฏบตกจกรรมในแนวการศกษาตอนท 11.1 หวเรอง เรองท 11.1.1 แนวคดเกยวกบลมตของฟงกชน เรองท 11.1.2 ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงตว เรองท 11.1.3 ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระมคาเพมขนหรอลดลงอยางไมสนสด เรองท 11.1.4 การค านวณหาคาลมตของฟงกชนโดยใชกฏลมต แนวคด

1. ลมตของฟงกชนเปนเรองทมความส าคญเรองหนงซงใชอธบายหรอหาค าตอบปญหาบางอยางในทางประยกต การหาลมตของฟงกชนไมใชสงเดยวกบการหาคาของฟงกชน

2. ก าหนดฟงกชน )(xf เปนฟงกชนคาจรงของตวแปรอสระ x ทเปนจ านวนจรง ถา x เขาใกลคาคงตว a ทก าหนด ทงทางดานซาย ( ax ) และดานขวา ( ax ) แลวฟงกชน )(xf มคาเขาใกลคาคงตว L เพยงคาเดยว จะกลาววาฟงกชน )(xf หาคาลมตไดท a เขยนแทนดวย Lxf

lim ถาหากในกรณทตวแปรอสระ x เขาใกลคาคงตว a ทก าหนดจากทาง

ดานซายหรอดานขวาเพยงดานใดดานหนง แลวฟงกชน )(xf มคาเขาใกลคาคงตว L เพยงคาเดยว จะกลาววา ฟงกชน )(xf หาคาลมตทางเดยวท a ได ซงแบงได 2 กรณ คอ 1) ถา x เขาใกลคาคงตว a จากทางดานซาย ( ax ) แลวฟงกชน )(xf มคาเขาใกลคาคงตว L เพยงคาเดยว จะกลาววาฟงกชน )(xf หาคาลมตทางซายท a ได เขยนแทนดวย

lim และ 2) ถา x เขาใกลคาคงตว a จากทางดานขวา ( ax ) แลวฟงกชน

)(xf มคาเขาใกลคาคงตว L เพยงคาเดยว จะกลาววาฟงกชน )(xf หาคาลมตทางขวาท a ได เขยนแทนดวย Lxf

3. ในกรณทตวแปรอสระมคาเพมขน/ลดลงอยางไมสนสด นนคอ x หรอ x แลวฟงกชน )(xf มคาเขาใกลคาคงตว L เพยงคาเดยว จะกลาววาฟงกชน )(xf หาลมตทอนนตได เขยนแทนดวย Lxf

lim หรอ Lxf

4. การค านวณหาคาลมตของฟงกชนประกอบสามารถท าไดงายขนโดยใชกฎของลมต

วตถประสงค เมอศกษาตอนท 11.1 จบแลว นกศกษาสามารถ

1. อธบายความแตกตางระหวางคาของลมตกบคาของฟงกชน 2. บอกความหมาย หรออธบายถงหลกการและขนตอนการหาลมตของฟงกชนแบบตางๆ 3. ค านวณหาและตรวจสอบไดวา เมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงตว หรอมคาเพมขน/ลดลงอยางไม

สนสด ฟงกชนมคาเขาใกลคาคงตวใดเพยงคาเดยวหรอไม 4. บอกความหมายเชงเรขาคณตของฟงกชนทศกษาเมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงตว หรอมคา

เพมขน/ลดลงอยางไมสนสด

เรองท 11.1.1 แนวคดเกยวกบลมตของฟงกชน สาระสงเขป แนวคดเกยวกบลมตของฟงกชน )(xfy เปนเรองทแสดงเกยวกบการหาคาคงตว L ทฟงกชน

)(xf ลเขาหา เมอตวแปรอสระ x ของฟงกชนเขาใกลคาคงตว a คาหนง ลมตของฟงกชนถกน าไปประยกตใชกบปญหาตางๆ เชน ปญหาความเรว การหาความชนเสนสมผสกราฟ และปญหาเกยวกบการหาสวนเปลยนแปลงของฟงกชนเทยบกบสวนเปลยนแปลงของตวแปรอสระ (โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 11 ตอนท 11.1 เรองท 11.1.1) กจกรรม 11.1.1 1. เครองตรวจจบคลนหวใจ ถกน าไปใชวดอตราการเตนของหวใจคนไขหลงจากการผาตด โดยประมวลจ านวนครงของการเตนของหวใจหลงเวลาผานไป t นาท เมอน าขอมลในตารางไปวาดกราฟจะไดความชนของเสนสมผสกราฟแทนอตราการเตนของหวใจตอนาท t (นาท) 36 38 40 42 44 การเตนของหวใจ h (ครง) 2528 2659 2804 2946 3078 เครองตรวจจบคลนจะประมาณคานโดยการค านวณความชนของเสนตดโคง จงใชขอมลดงกลาวประมาณอตราการเตนของหวใจคนไขหลงจากเวลา 40 นาท โดยใชเสนตดโคงทจด t ตามทก าหนดใหและบอกขอสรป 1.1) t = 36 และ t = 40 1.2) t = 40 และ t = 42 1.3) t = 38 และ t = 40 1.4) t = 40 และ t = 44 2. ให P(8,2) เปนจดบนเสนโคง 3 xy ถา ),( 3 xxQ เปนจดใดๆบนเสนโคง จงค านวณหาความชนของเสนตดโคง PQ ส าหรบคา x ตอไปน 2.1) x = 7.5 2.2) x = 7.9 2.3) x = 7.99

2.4) x = 8.5 2.5) x = 8.1 2.6) x = 8.01 3. ถาขวางลกบอลขนไปในอากาศดวยความเรว 30 ฟต/วนาท โดยทความสงจากพนดนของลกบอลทเวลา t วนาทใดๆ ก าหนดดวยสมการ 21230 tty 3.1 จงหาความเรวเฉลยในชวงเวลาทก าหนดให

3.3.1) [3,3.1] 3.3.2) [3,3.01] 3.3.3) [3,3.001] 3.2 จงหาความเรวชวขณะทเวลาผานไป 3 วนาท

4. ก าหนดระยะทางทรถแลนได ดงน เวลา t (นาท) 0 1 2 3 4 5

ระยะทาง s (เมตร) 0 4 12 28 40 48 จงหาความเรวเฉลยในชวงเวลาทก าหนดให 4.1) [2,5] 4.2) [2,4] 4.3) [2,3] บนทกค าตอบกจกรรม 11.1.1 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

เรองท 11.1.2 ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงท สาระสงเขป การหาลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระเขาใกลคาคงตว a ตางจากการหาคาของฟงกชนท a ซงคาของลมตทหาไดอาจมคาเทากบหรอไมเทากบคาของฟงกชนท a และ ลมตของฟงกชนจะหาคาได กตอเมอลมตทางซายท a ( ax ) และลมตทางขวาท a ( ax ) หาคาไดเปนคาคงตวเดยวกน ในบางครงลมตของฟงกชนท a ( ax ) อาจไมเปนคาคงตว แตมคาเพมขนหรอลดลงอยางไมสนสด นนคอมคาเปนอนนต ( ) หรอลบอนนต ( ) ในกรณเชนนจะกลาววา ฟงกชนไมมลมตท a ซงมความหมายทางเรขาคณตวา กราฟของฟงกชนเบนเขาหาเสนตรง x = a และเรยกเสนตรงเสนนวาเสนก ากบแนวดง (โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 11 ตอนท 11.1 เรองท 11.1.2) กจกรรม 11.1.2 1. จงใหความหมายของ 3)(lim

x และจงอธบายวาเปนไปไดหรอไมทขอความนจะเปนจรงโดยท

ม 3)1( f 2. จงใหความหมายของ 1)(lim

x และ 1)(lim

x ในกรณนจงอธบายวา เปนไปไดหรอไม

ท )(lim2

จะหาคาได

3. จงใหความหมายของ

)(lim1

และ

)(lim1

4. ก าหนดกราฟ )(xf ดงรป y x 1 2 3 4

จงหาคาลมตทก าหนดใหตอไปน ถาหาได แตถาหาไมได เพราะเหตใด จงใหเหตผลประกอบ 4.1) )(lim

x 4.2) )(lim

x 4.3) )(lim

x 4.4) )0(f

4.5) )(lim1

4.6) )(lim1

4.7) )(lim1

4.8) )1(f

4.9) )(lim2

4.10) )(lim2

4.11) )(lim2

4.12) )2(f

4.13) )(lim3

4.14) )(lim3

4.15) )(lim3

4.16) )3(f

4.17) )(lim4

4.18) )(lim4

4.19) )(lim4

4.20) )4(f

5. ก าหนดฟงกชน

1sin)( จงหาคาของฟงกชนเตมในตาราง

x f (x )-0.1-0.01

-0.0001-0.000001

-0.000000010.00000001

0.0000010.0001

0.010.1

จากนนพจารณาจากตารางเพอหาวา

1sinlim

0 หาคาไดหรอไม เพราะเหตใด

6. จงวาดกราฟของฟงกชนคราวๆ และหาคาลมตทอนนตตอไปน

xx 6.2)

21 )1(

6.3) 3

xx 6.4)

บนทกค าตอบกจกรรม 11.1.2 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

เรองท 11.1.3 ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระมคาเพมขนหรอลดลงอยางไมสนสด สาระสงเขป ลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระมคาเพมขนหรอลดลงอยางไมสนสด อาจมคาเปนคาคงตวหรอไมเปนคาคงตว (มคาอนนต ( ) หรอมคาลบอนนต ( )) กได ถาคาลมตทไดเปนคาคงตว L จะไดวากราฟของฟงกชนเบนเขาหาเสนตรง y = L และเรยกเสนตรงนวาเสนก ากบแนวนอน (โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 11 ตอนท 11.1 เรองท 11.1.3) กจกรรม 11.1.3 1. จงแสดงวธหาคาลมตทก าหนดใหตอไปน

1.1) 2

xx 1.2)

1.3) 054

x 1.4)

123lim

2. จงแสดงวธหาคาลมตทก าหนดใหตอไปน

xx 2.2)

2.3) 3)3(

xx 2.4)

บนทกค าตอบกจกรรม 11.1.3 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

เรองท 11.1.4 การค านวณหาคาลมตของฟงกชนโดยใชกฏของลมต สาระสงเขป กฎของลมตชวยใหค านวณหาคาลมตของฟงกชนทซบซอนไดงายและรวดเรวขน กฏของลมตขนพนฐาน ให Lxf

lim และ Mxg

lim เมอ MLa ,, เปนคาคงตว จะไดวา

1) kkax

lim เมอ k เปนคาคงตว

2) axax

3) Lkxfkxfkaxax

)(lim)(lim k; เปนคาคงตว

4) MLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(limlim

5) MLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(limlim

limlim 0lim;

axLxfxf

limlim n; เปนจ านวนเตมบวก

8) nax

axxfxf

limlim

9) Mxg

axLxfxf ax

lim)(limlim 0; L

กฎของลมตเกยวกบฟงกชนพหนามและฟงกชนตรรกยะ 1) ถา xP เปนฟงกชนพหนาม(Polynomial function) และ a เปนจ านวนจรง แลว

aPxPax

2) ให xQ

xPxf เปนฟงกชนตรรกยะ (Rational function) โดยท

nxaxaxaaxP .....2

210 และ m

mxbxbxbbxQ .....2

210 เปนฟงกชนพห

นาม แลว

lim เมอ 0aQ

; n เปนจ านวนเตมค และ L > 0

; n เปนจ านวนเตมค

(โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 11 ตอนท 11.1 เรองท 11.1.4) กจกรรม 11.1.4 1. จงใชกฏของลมตแสดงวธหาคาลมตตอไปน

1.1) 25lim2

1.2) )114(lim 3

1.3) 75

x 1.4) 5

243lim

1.5) 22lim 2

x 1.6)

1.7) 3 2

5943lim

x 1.8) x

xtanlim

1.9) x

1.10) xx

lnlim1

2. จงใชกฏของลมตแสดงวธหาคาลมตตอไปน

2.1) 25

x 2.2)

2.3) x

2.5) 1

x 2.6)

2.7) x

2sinlim

0 2.8)

tanlim

บนทกค าตอบกจกรรม 11.1.4 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

ตอนท 11.2

ความตอเนองของฟงกชน โปรดอานแผนการสอนประจ าตอนท 11.2 แลวจงศกษาเนอหาสาระ พรอมปฏบตกจกรรมในแนวการศกษาตอนท 11.2 หวเรอง เรองท 11.2.1 แนวคดเกยวกบความตอเนองของฟงกชน เรองท 11.2.2 ความไมตอเนองแบบตางๆ แนวคด

1. ในการหาลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระเขาใกลจดๆหนงทก าหนด ถาลมตของฟงกชนหาคาไดเทากบคาของฟงกชนทจดๆนน จะกลาววาฟงกชนมความตอเนองทจดนน

2. ความไมตอเนองของฟงกชนทจดๆหนงมหลายแบบ ขนอยกบคาของฟงกชนทจดทก าหนด และคาลมตของฟงกชนเมอตวแปรอสระเขาใกลจดเดยวกน

1. อธบายและตรวจสอบไดวา ฟงกชนทก าหนดใหมความตอเนองทใดหรอไม 2. อธบายความแตกตางของความไมตอเนองของฟงกชนในแบบตางๆ

เรองท 11.2.1 แนวคดเกยวกบความตอเนองของฟงกชน สาระสงเขป ฟงกชนตอเนองทจดใดจะหาลมตไดทจดนน แตในทางกลบกนนนไมจรง นนคอ ฟงกชนหาลมตไดทจดใดไมจ าเปนตองตอเนองทจดนน กราฟของฟงกชนทตอเนองทจด a จะมเสนกราฟทไมขาดตอนทจด a ดวย นยาม (ความตอเนอง) ฟงกชน xf ตอเนองทจด a กตอเมอ สอดคลองคณสมบตทง 3 ขอตอไปน 1) af หาคาได 2) xf

axlim หาคาได

3) afxfax

หากขากคณสมบตขอใดขอหนง แลวฟงกชน xf จะไมตอเนองทจด a (โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 11 ตอนท 11.2 เรองท 11.2.1) กจกรรม 11.2.1 1. พจารณากราฟ xf ในกจกรรม 11.1.2 ขอ 4 แลวตอบค าถามตอไปน 1.1) xf ตอเนองทจด 0 หรอไม เพราะเหตใด 1.2) xf ตอเนองทจด 1 หรอไม เพราะเหตใด 1.3) xf ตอเนองทจด 2 หรอไม เพราะเหตใด 1.4) xf ตอเนองทจด 3 หรอไม เพราะเหตใด 1.5) xf ตอเนองทจด 4 หรอไม เพราะเหตใด

2. จงแสดงวา

xf ไมตอเนองท 2x

3. จงแสดงวา

xf ตอเนองท 0x

4. จงพจารณาวา

xf ตอเนองทจดใดบางบนจ านวนจรง

5. จงพจารณาวา xxx

ตอเนองทจดใดบางบนจ านวนจรง

บนทกค าตอบกจกรรม 11.2.1 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

เรองท 11.2.2 ความไมตอเนองแบบตางๆ สาระสงเขป ฟงกชนไมตอเนองทจดใดจะมกราฟขาดตอนทจดนน ซงลกษณะความไมตอเนองของฟงกชนทจดใดจะขนอยกบรปแบบลมตของฟงกชนทจดนนๆ ชนดของความไมตอเนองม 3 แบบ คอ แบบขจดได แบบกระโดด และแบบอนนต (โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 11 ตอนท 11.2 เรองท 11.2.2) กจกรรม 11.2.2 จงวาดกราฟของฟงกชน )(xf ทก าหนด พรอมทงบอกวาฟงกชนไมตอเนองทจดใดบางบนจ านวนจรง เพราะเหตใด และมลกษณะความไมตอเนองแบบใด 1. 2 xxf

บนทกค าตอบกจกรรม 11.2.2 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

แนวตอบกจกรรมหนวยท 11

ลมตและความตอเนองของฟงกชน ตอนท 11.1 ลมตของฟงกชน แนวตอบกจกรรม 11.1.1 1. อตราการเตนของหวใจหลงจากเวลา 40 นาท หาไดจากความชนของเสนตดโคงทจดสองจดใดๆ นนคอ

เมอ 400 t

1.1) ก าหนด t = 36 และ t = 40

694036

28042528lim

ดงนนอตราการเตนของหวใจหลงจากเวลา 40 นาท คอ 69 ครงตอนาท 1.2) ก าหนด t = 40 และ t = 42

714042

28042946lim

ดงนนอตราการเตนของหวใจหลงจากเวลา 40 นาท คอ 70 ครงตอนาท 1.3) ก าหนด t = 38 และ t = 40

5.724038

28042659lim

ดงนนอตราการเตนของหวใจหลงจากเวลา 40 นาท คอ 72.5 ครงตอนาท 1.4) ก าหนด t = 40 และ t = 44

5.684044

28043078lim

ดงนนอตราการเตนของหวใจหลงจากเวลา 40 นาท คอ 68.5 ครงตอนาท 2. ก าหนด P(8,2) เปนจดบนเสนโคง y ความชนของเสนตดโคง PQ ส าหรบคา x บนเสนโคง

3 xy คอ 8

2.1) ก าหนด x = 7.5

08513.085.7

25.7lim

ดงนนความชนของเสนตดโคง PQ ส าหรบคา x = 7.5 คอ 0.08513

2.2) ก าหนด x = 7.9

08368.089.7

29.7lim

ดงนนความชนของเสนตดโคง PQ ส าหรบคา x = 7.9 คอ 0.08368 2.3) ก าหนด x = 7.99

083368.0899.7

299.7lim

2.4) ก าหนด x = 8.5

081655.085.8

25.8lim

2.5) ก าหนด x = 8.1

082988.081.8

21.8lim

2.6) ก าหนด x = 8.01

083298.0801.8

201.8lim

3. ก าหนดสมการความความสงของลกบอลจากพนดน คอ 21230 tty

3.1 จงหาความเรวเฉลยในชวงเวลาทก าหนดให คอ 0

0 )()(lim

3.1.1) ก าหนดชวงเวลา [3,3.1]

)3(12)3(30)1.3(12)1.3(30lim

)()(lim

tttt tt

ดงนน ความเรวเฉลยของลกบอล คอ -43.2 ฟตตอวนาท 3.3.2) ก าหนดชวงเวลา [3,3.01]

)3(12)3(30)01.3(12)01.3(30lim

)()(lim

tttt tt

ดงนน ความเรวเฉลยของลกบอล คอ -42.12 ฟตตอวนาท 3.3.3) ก าหนดชวงเวลา [3,3.001]

012.42

3001.3

)3(12)3(30)001.3(12)001.3(30lim

)()(lim

tttt tt

ดงนน ความเรวเฉลยของลกบอล คอ -42.012 ฟตตอวนาท

3.2 จงหาความเรวชวขณะทเวลาผานไป 3 วนาท คอ

)()(lim

tththt

)(12)(30)(12)(30lim

hthththt

1230)2(123030lim

122430lim

)122430(lim

122430lim0

t2430 ดงนน ความเรวชวขณะทเวลาผานไป 3 วนาท คอ 30+24(3) = -42 ฟตตอวนาท

4. ก าหนดระยะทางทรถแลนได ดงน เวลา t (นาท) 0 1 2 3 4 5 ระยะทาง s (เมตร) 0 4 12 28 40 48

ความเรวเฉลยของรถ คอ 0

เมอ 20 t

4.1) ชวงเวลาทก าหนด [2,5]

1248lim

ดงนนความเรวเฉลยของรถ คอ 12 เมตรตอวนาท 4.2) ชวงเวลาทก าหนด [2,4]

1240lim

ดงนนความเรวเฉลยของรถ คอ 14 เมตรตอวนาท 4.3) ชวงเวลาทก าหนด [2,3]

1228lim

ดงนนความเรวเฉลยของรถ คอ 16 เมตรตอวนาท แนวตอบกจกรรม 11.1.2 1. 3)(lim

x หมายความวา เมอ x เขาใกลคาคงตว 1 ในทศทางซายท x < 1 และทศทางขวาท

x >1 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว 3 เพยงคาเดยว และเปนไปไดท f จะมคาเทากบ -3 ท x = 1 เนองจากคาของลมตไมจ าเปนตองเทากบคาของฟงกชนทจดเดยวกน

2. 1)(lim2

หมายความวา เมอ x เขาใกลคาคงตว 2 ในทศทางซายนนคอท x < 2 แลว

ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว 1 เพยงคาเดยว และ 1)(lim2

หมายความวา เมอ x เขา

ใกลคาคงตว 2 ในทศทางขวานนคอท x > 2 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว -1 เพยงคาเดยว ซงเปนไปไมไดท )(lim

x จะหาคาได เนองจากลมตจะหาคาไดทจดใดกตาม ลมตทางซาย

และลมตทางขวาทจดเดยวกนจะตองหาคาไดเปนคาคงตวเดยวกน 3.

x หมายความวา เมอ x เขาใกลคาคงตว -1 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเพมขนไม

สนสด และ

)(lim1

หมายความวา เมอ x เขาใกลคาคงตว 1 แลว ฟงกชน f(x) จะมคา

ลดลงไมสนสด 4. พจารณากราฟ xf y x 1 2 3 4

4.1) 1)(lim0

4.2) 1)(lim0

4.3) 1)(lim0

4.4) 1)0( f 4.5) 0)(lim

4.6) 1)(lim1

4.7) )(lim1

หาคาไมได เนองจากลมตทางซายและลมตทางขวาทจด x = 1 ไมเทากน

4.8) 1)1( f 4.9) 1)(lim

4.10) 2)(lim2

4.11) )(lim2

4.12) )2(f หาคาไมได 4.13) )(lim

x หาคาไมได และมคาลดลงไมสนสด

4.14) )(lim3

หาคาไมได และมคาเพมขนไมสนสด

4.15) )(lim3

หาคาไมได เนองจากลมตทางซายและลมตทางขวาตางกหาคาไมได

4.16) )3(f หาคาไมได 4.17) 1)(lim

4.18) 5.0)(lim4

4.19) )(lim4

4.20) 5.0)4( f 5. พจารณาคาของ xf เมอ fDx และ x มคาเขาใกล 0 ( ทงสองทศางท 0,0 xx ) จากตาราง

x f (x )-0.1 0.544021111-0.01 0.506365641

-0.0001 0.305614389-0.000001 0.349993502

-0.00000001 -0.931639027

0.00000001 0.931639027

0.000001 -0.349993502

0.0001 -0.305614389

0.01 -0.506365641

0.1 -0.544021111

จากตาราง จะไดวา

1sinlim

0 มคาเปน 1 และ -1 ในกรณเชนน เรากลาววา xf ไมมลมตทจด x = 0

6. 6.1) y

จากกราฟ

6.2) y

จากกราฟ 21 )1(

6.3) y

จากกราฟ

33 )3(

6.4) y

จากกราฟ 2

x หาคาไมได

แนวตอบกจกรรม 11.1.3 1.

1.1) 01

123lim

2. พจารณาจากกราฟในกจกรรมท 11.1.2 ขอท 6 จะได

2.1) 01

2.2) 0)1(

2.3) 0)3(

xx 2.4) 0

1.1) 2limlim525lim222

1.2) )114(lim 3

x 11limlim4lim

113433

1.3) 75lim

7limlim5

4limlim3

1.4) 52

243lim43lim

5224limlim3

000,100

1.5) 212122lim22

1.6) x

x 35lim

1.7) 3 2

5943lim

9)5(4)5(33 2

1.8) x

xtanlim

sinlim

1.9) x

1.10) xx

lnlim1

2.1) 55

2.2) 2

)2(lim

2.3) x

1111lim

)11(lim

2.4) 4

)2)(4(

)4(lim

2.5) 11

2.6) x

2.7) x

2sin2lim

2sinlim

2sinlim2

2.8) xx

xx cos

1sinlim

tanlim

sinlim

ตอนท 11.2 แนวคดเกยวกบความตอเนองของฟงกชน แนวตอบกจกรรม 11.2.1 1. พจารณากราฟ xf y x 1 2 3 4

1.1) xf ตอเนองทจด 0 เพราะ )0(1)(lim0

1.2) xf ไมตอเนองทจด 1 เพราะ )(lim1

หาคาไมได

2. ฟงกชน

พจารณา (1) 22 f

4limlim

ดงนน xf ไมตอเนองท 2x เพราะวา 4lim222

3. ฟงกชน

พจารณา (1) 10 f

(2) 1sin

limlim00

ดงนน xf ตอเนองท 0x เพราะวา 01lim0

4. ฟงกชน

ฟงกชน xf ตอเนองทกจดท 1x และ 2x เพราะวา x ปนฟงกชนพหนามและ 3 เปนฟงกชนคาคงท พจารณา 21 x ให 2,1c (1) 1 ccf (2) 11limlim

ดงนน cfcxfcx

และ xf ตอเนองทกจดบน 2,1x พจารณาท 1x (1) 0111 f (2) 1limlim

01limlim11

ดงนน xf ไมมลมต และ xf ไมตอเนองท 1x พจารณาท 2x (1) 32 f (2) 31limlim

33limlim22

ดงนน 23lim2

และ xf ตอเนองท 2x

นนคอ xf ตอเนองทกจดบนจ านวนจรง ยกเวนท 2x

5. พจารณาฟงกชน 12

เพราะวา xf เปนฟงกชนตรรกยะ โดย คณสมบตของความตอเนอง จะไดวา xf ตอเนองทกจดบนจ านวนจรง ยกเวนท 1,0,2x แนวตอบกจกรรม 11.2.2 1. 2 xxf

xf ตอเนองทกจดบนจ านวนจรง

xf ไมตอเนองท 1x แบบขจดไดเพราะวาคาของฟงกชน 1f หาคาไมได ส าหรบ 3lim

xf ไมตอเนองท 1x แบบขจดไดเพราะวา 3lim12

xf ไมตอเนองท 0x แบบอนนตเพราะวา 0f และ xfx 0lim

แบบประเมนตนเองหลงเรยน วตถประสงค เพอประเมนความกาวหนาในการเรยนรของนกศกษาเกยวกบเรอง “ลมตและความตอเนองของฟงกชน” ค าแนะน า อานค าถามแลวเขยนวงกลมลอมรอบขอค าตอบทถกตอง นกศกษามเวลาท าแบบประเมนชดน 60 นาท 1. ความหมายของ 2lim

ก. เมอ x เขาใกลคาคงตว 2 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว 2 เพยงคาเดยว ข. เมอ x เขาใกลคาคงตว 2 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว -2 เพยงคาเดยว ค. เมอ x เขาใกลคาคงตว -2 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว 2 เพยงคาเดยว ง. เมอ x เขาใกลคาคงตว -2 แลว ฟงกชน f(x) จะมคาเขาใกลคาคงตว -2 เพยงคาเดยว

1lim5lim

xxx ตรงกบขอใด

3. คาของ )1(

523lim

ก. 0 ข. 3 ค. มคาเพมขนไมสนสด ง. มคาลดลงไมสนสด

4. คาของ 21 )1(

xx ตรงกบขอใด

ก. 0 ข. -2

ค. มคาเพมขนไมสนสด ง. มคาลดลงไมสนสด

6 )6(lim

ก. 0 ข. 1 ค. 4 ง. -4

ก. 5

ข. 7

ค. 5

ง. 7

)4(lim

ก. 0 ข. 2 ค. 4 ง. -4

จงใชกราฟ f(x) ตอบค าถามขอ 9-10

2 1 1 2 3 4 9. จากกราฟ f(x) ตอเนองท x = 3 หรอไม เพราะเหตใด ก. ตอเนอง เพราะลมตของฟงกชนท x = 3 หาคาได ข. ตอเนอง x เพราะคาของฟงกชนท x = 3 หาคาไดและมคาเทากบคาของลมตท x =3 ค. ไมตอเนอง เพราะลมตของฟงกชนท x = 3 หาคาไมได ง. ไมตอเนอง x เพราะคาของฟงกชนท x = 3 หาคาไดแตไมเทากบคาของลมตท x = 3 10. จากกราฟท x = 4 ฟงกชน f(x) มความไมตอเนองชนดใด ก. ไมตอเนองชนดขจดได ข. ไมตอเนองชนดกระโดด ค. ไมตอเนองชนดอนนต ง. ฟงกชน f(x) ตอเนองท x = 4

เฉลยแบบประเมนผลตนเองหนวยท 11

กอนเรยน หลงเรยน 1. ข. 1. ค. 2. ก. 2. ข. 3. ง. 3. ข. 4. ค. 4. ง. 5. ง. 5. ง. 6. ค. 6. ง. 7. ข. 7. ข. 8. ค. 8. ง. 9. ง. 9. ข.

10. ข. 10. ข.

หนวยท 12

อนพนธและการประยกต

ดร.สรรตน อารรกษสกล กองโลก

แผนผงแนวคดหนวยท 12

อนพนธและการประยกต

12.1 อนพนธ 12.1.1 แนวคดเกยวกบอนพนธ

12.1.2 การค านวณหาอนพนธของฟงกชนตางๆ และสตรและสตรเกยวกบการหาอนพนธ

12.2 การประยกตอนพนธของฟงกชน

12.2.3 อตราสมพทธและการประยกต คาสงสด และคาต าสด

12.2.4 ปฏยานพนธ

12.2.1 การประมาณเชงเสน

12.2.2 การประยกตอนพนธในการรางกราฟ

หนวยท 12 อนพนธและการประยกต เคาโครงเนอหา

ตอน 12.1 อนพนธ เรองท 12.1.1 แนวคดเกยวกบอนพนธ เรองท 12.1.2 การค านวณหาอนพนธของฟงกชนตางๆ และสตร เกยวกบการหาอนพนธ

ตอน 12.2 การประยกตอนพนธของฟงกชน เรองท 12.2.1 การประมาณเชงเสน เรองท 12.2.2 การประยกตอนพนธในการรางกราฟ เรองท 12.2.3 อตราสมพทธ และการประยกตคาสงสด และคา ต าสด

เรองท 12.2.4 ปฏยานพนธเบองตน แนวคด

3. ความหมายของอนพนธของฟงกชนอาจพจารณาไดในสามดาน คอ ดานคณตศาสตร ดานเรขาคณต และดานการประยกต ทกดานเปนการศกษาเกยวกบลมตของอตราการเปลยนแปลงของปรมาณหนงทสมพนธกบอกปรมาณหนง ปญหาทเกยวของกบอนพนธ อาจเกดขนในชวตประจ าวนไดทงในทางวทยาศาสตรและสงคมศาสตร การค านวณหาคาอนพนธของฟงกชนตางๆอาจท าไดงายโดยใชสตร

4. การประยกตอนพนธของฟงกชนมมากมายหลายอยาง ซงวธการทน าไปใชในการแกปญหาขนอยกบรปแบบของปญหา เชน การหาคาประมาณโดยใชฟงกชนเชงเสน เปนวธการทน าไปใชในการประมาณคาทซบซอนไดโดยไมจ าเปนตองใชเครองค านวณ เครองหมายของอนพนธอนดบตางๆของฟงกชนสามารถวเคราะหการรางกราฟของฟงกชน เชน ลกษณะของกราฟทเพมขนหรอลดลง โคงคว าหรอโคงหงาย ปญหาประยกตทเกดขนในโลกความจรง ปญหาอตราสมพทธ ปญหาคาสงสด ปญหาคาต าสด นอกจากนการกระท ายอนกลบการหาอนพนธหรอปฏยานพนธ ท าใหทราบวาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดอาจมมากจนนบไมถวน โดยทอนพนธของฟงกชนทหาไดจะเปนฟงกชนเดยวกน

วตถประสงค เมอศกษาหนวยท 12 จบแลว นกศกษาสามารถ

4. อธบายความหมายและความส าคญของอนพนธในดานตางๆได 5. ค านวณหาอนพนธของฟงกชนไดทงโดยใชนยามและใชสตร 6. ประยกตใชอนพนธในการประมาณคาทซบซอนไดโดยทไมจ าเปนตองใชเครองค านวณดวย

วธการประมาณเชงเสน 7. ประยกตใชสมบตของอนพนธในการรางกราฟ และแกปญหาโจทยประยกต 8. หาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดได

แบบประเมนตนเองกอนเรยน วตถประสงค เพอประเมนความกาวหนาในการเรยนรของนกศกษาเกยวกบเรอง “อนพนธและการประยกต” ค าแนะน า อานค าถามแลวเขยนวงกลมลอมรอบขอค าตอบทถกตอง นกศกษามเวลาท าแบบประเมนชดน 60 นาท 1. อนพนธของฟงกชน 63)( xxf ทจด 1x ตรงกบขอใด

ก. h

3)1(3lim

ข. h

3)1(3lim

ค. h

3)1(3lim

ง. h

3)1(3lim

2. อนพนธของฟงกชน xxexxf 2)( ตรงกบขอใด

ก. xx

ข. 11

ค. xx exex

ง. xx exex

3. ก าหนด 2uy และ 322 xxu จงหา dx

dy ท 1x

ก. 8 ข. -8 ค. 48 ง. -48

4. ก าหนด xyx sin จงหา dx

ก. xycos ข. xycos1

ค. xyy

ง. xyx

5. อนพนธอนดบท 10 ของฟงกชน xxexf )( ท 1x ตรงกบขอใด ก. e10 ข. )1(10 e ค. e11 ง. )1(11 e 6. คาประมาณทใกลเคยงทสดของ 89cos ตรงกบขอใด ก. 0 ข. 0.1746 ค. 0.01746 ง. 0.001746

7. จดวกฤตของฟงกชน 2

ก. -2 ข. 3 ค. -2, 3 ง. 0, -2, 3 8. ก าหนด )()( xfxxg และ 4)4(,4)4( ff จงหาวา )4(g ตรงกบขอใด ก. 1 ข. 7 ค. 8 ง. 9

9. จดเปลยนเวาของ 12)( 23 xxxf ตรงกบขอใด

ก. 4

ข. 4

ค. 3

ง. 3

10. ขอใดเปนปฏยานพนธของ x2 ก. 2x ข. 22 x ค. 22 x ง. ถกทกขอ

ตอนท 12.1

อนพนธ โปรดอานแผนการสอนประจ าตอนท 12.1 แลวจงศกษาเนอหาสาระ พรอมปฏบตกจกรรมในแนวการศกษาตอนท 12.1 หวเรอง เรองท 12.1.1 แนวคดเกยวกบอนพนธ เรองท 12.1.2 การค านวณหาอนพนธของฟงกชนตางๆ และสตรเกยวกบการหาอนพนธ แนวคด

5. ความหมายของอนพนธของฟงกชนอาจพจารณาไดในสามดาน คอ ดานคณตศาสตร ดานเรขาคณต และดานการประยกต ทกดานเปนการศกษาเกยวกบลมตของอตราการเปลยนแปลงของปรมาณหนงทสมพนธกบอกปรมาณหนง ปญหาทเกยวของกบอนพนธ อาจเกดขนในชวตประจ าวนไดทงในทางวทยาศาสตรและสงคมศาสตร

6. การค านวณหาคาอนพนธของฟงกชนตางๆสามารถท าไดโดยใชนยาม และอาจท าไดงายขนโดยใชสตร

1. อธบายความหมายและความส าคญของอนพนธในดานตางๆได 2. ค านวณหาอนพนธของฟงกชนไดทงโดยใชนยามและใชสตร

เรองท 12.1.1 อนพนธ สาระสงเขป อนพนธของฟงกชนเปนเรองทเกยวของกบอตราการเปลยนแปลงของตวแปรตามตวหนงเทยบกบอตราการเปลยนแปลงของตวแปรอสระอกตวหนงทสมพนธกน เราอาจพจารณาความหมายของอนพนธของฟงกชนไดในสามดาน คอ ดานนยามทางคณตศาสตร ดานเรขาคณต และดานการประยกต นยามอนพนธของฟงกชนจะอยในรปลมตของผลหารระหวางผลตางของตวแปรตาม และผลตางของตวแปรอสระ เมอตวแปรอสระทงสองมคาใกลเคยงกนมาก (โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 12 ตอนท 12.1 เรองท 12.1.1) กจกรรม 12.1.1 1. รถยนตคนหนงแลนไดระยะทาง 30 กโลเมตรดวยความเรวเฉลย 40 กโลเมตรตอชวโมง และแลนตอไปอก 30 นาทดวยความเรวเฉลย 60 กโลเมตรตอชวโมง จงหาความเรวเฉลยของรถยนต ทใชในการเดนทางเปนระยะ 60 กโลเมตร 2. ปลอยน าเขาถงรปทรงกลมดวยอตราคงท ให )(tV เปนปรมาณของน าทเวลา t ใดๆ และ )(tH เปนความสงของระดบน าในถง ทเวลา t ใดๆ

2.1) จงบอกความหมายของ dt

dV และ dt

2.2) จงหาคาของ dt

dH เมอมน าอยหนงในสของถง

2.3) จงหาคาของ dt

dV เมอมน าอยหนงในสของถง

2.4) คาของ dt

dV และ dt

dH เปนคาคงตวหรอไม จงอธบาย

3. อนภาคหนงเคลอนทไปตามแนวเสนตรงดวยสมการการเคลอนท )(tfs โดยท s มหนวยเปนเมตร และ t มหนวยเปนวนาท จงหาความเรวท t=2 เมอ 12)( 3 tttf 4. ตนทนการผลตทองค า x กรมในเหมองทองแหงหนง คอ )(xfC บาท จงบอกความหมายของ

)(xf และหนวยของอนพนธ 5. ในหองทดลองทมการควบคม มจ านวนของแบคทเรยหลงจากเวลา t ชวโมง คอ )(tfn จงบอกความหมายของ )5(f และหนวยของอนพนธ ถาไมมการจ ากดเนอทและอาหารส าหรบเลยงแบคทเรยแลว คา )5(f กบ )10(f แตกตางกนอยางไร และถาเสบยงอาหารมจ ากดแลวขอสรปจะยงคงเดมหรอไมอยางไร

6. ก าหนดอนพนธของฟงกชน f ทจด a ในรปของลมต จงหาฟงกชน f และจด a

6.1) h

8)2(lim

6.3) t

6.4) x

7. จงใชนยามอนพนธหาวาฟงกชน f มอนพนธทจด 0 หรอไม ถามจงหา )0(f

บนทกค าตอบกจกรรม 12.1.1 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

เรองท 12.1.2 การค านวณหาอนพนธของฟงกชนตางๆ และสตรเกยวกบการหาอนพนธ สาระสงเขป การค านวณหาอนพนธของฟงกชนพชคณตทประกอบดวยการบวก การลบ การคณ และการหาร จะหาไดงายและรวดเรวเมอใชสตรการหาอนพนธของฟงกชนพชคณตตางๆ ดงน สตรการหาอนพนธ (Basic Rules of Differentiation) ให f และ g เปนฟงกชนของ x ทสามารถหาอนพนธได และ c เปนคาคงตว

1. 0dx

d)( หรอ xfcxcf )()(

d หรอ xgxfxgf

d หรอ xfxgxgxfxfg

หรอ

xgxfxfxgx

เมอ

0)( xg

6. 1 nn

สตรในการหาอนพนธของฟงกชนอดศย (Transcendental function) 1. สตรการหาอนพนธของฟงกชนตรโกณมต

1) xxdx

dcossin 2) xx

dsincos

3) xxdx

d 2sectan 4) xxdx

d 2csccot

5) xxxdx

dtansecsec 6) xxx

dcotcoseccosec

2. สตรการหาอนพนธของฟงกชนลอการทมและฟงกชนชก าลง

1log 2) aaa

d xx ln

ถา ea จะไดวา

d 1ln 4) xx ee

3. สตรการหาอนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

1arcsin

1arccos

1arctan

1arccot

1arcsec

d 6) 1

1arccosec

สวนในกรณทเปนฟงกชนประกอบสามารถหาอนพนธไดโดยใชกฏลกโซรวมกบสตรดงกลาวขางตน (โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 12 ตอนท 12.1 เรองท 12.1.2) กจกรรม 12.1.2 1. จงแสดงวธหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1.1) 84xxf 1.2) 12xxf 1.3) 3 23 xxf 1.4) 14234 xxxxxf

1.5) 581 23 xxxy 1.6) 54

1.7) xxy cossin2 1.8) xe

2. จงแสดงวธหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

2.1) 75 84 xxxf 2.2) 4

2.3) 431352 xxxf 2.4)

2.5) 35cos xy 2.6) xxf 2tan1

2.7) 3arcsin xy 2.8) xexy 32

2.9) xx

ytanln

2.10) 132 xy ln

3. จงหา dx

dy เมอก าหนด 1, 2 xuuy

4. จงหา 2,1 dx

dy เมอ 1543 34 xxyy

5. จงหา dx

dy เมอ 22 sin5 xyy

6. จงหา 4y เมอ 112 xxy 7. จงหา y เมอ 1644 yx บนทกค าตอบกจกรรม 12.1.2 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

ตอนท 12.2

การประยกตอนพนธของฟงกชน โปรดอานแผนการสอนประจ าตอนท 12.2 แลวจงศกษาเนอหาสาระ พรอมปฏบตกจกรรมในแนวการศกษาตอนท 12.2 หวเรอง เรองท 12.2.1 การประมาณเชงเสน เรองท 12.2.2 การประยกตอนพนธในการรางกราฟ เรองท 12.2.3 อตราสมพทธและการประยกต คาสงสดและคาต าสด เรองท 12.2.4 ปฏยานพนธ แนวคด การประยกตอนพนธของฟงกชนมมากมายหลายอยาง ในหนวยนจะกลาวถงการประยกตอนพนธ 4 เรอง คอ 1. การน าอนพนธไปประยกตใชในการประมาณคาทซบซอนและไมจ าเปนตองใชเครองค านวณ โดยใชฟงกชนเชงเสน ซงอยในรปของผลบวกระหวางคาของฟงกชนและคาเชงอนพนธของฟงกชน 2. วเคราะหลกษณะของกราฟเพอน าไปรางกราฟของฟงกชน โดยใชอนพนธของฟงกชนทอนดบตางๆ ซงสามารถบอกลกษณะของกราฟได เชน กราฟเพมขนหรอลดลง โคงคว าหรอโคงหงาย และบอกจดเปลยนความโคงของกราฟ 3. ปญหาประยกตทเกดขนในโลกความจรง เชน ปญหาอตราสมพทธ ปญหาคาสงสด ปญหาคาต าสด ปญหาเหลานสามารถน าอนพนธไปประยกตเพอแกปญหาได 4. ปฏยานพนธ คอการกระท ายอนกลบการหาอนพนธ ปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนดอาจมมากจนนบไมถวน โดยทอนพนธของฟงกชนทหาไดจะเปนฟงกชนเดยวกน วตถประสงค เมอศกษาตอนท 12.2 จบแลว นกศกษาสามารถ

1. ประยกตใชอนพนธในการประมาณคาทซบซอนไดโดยทไมจ าเปนตองใชเครองค านวณ 2. วเคราะหลกษณะกราฟจากอนพนธของฟงกชน เพอน าไปรางกราฟได 3. แกปญหาโจทยประยกต ปญหาอตราสมพทธ ปญหาคาสงสด และปญหาคาต าสดได 4. หาปฏยานพนธของฟงกชนทก าหนด และตรวจสอบความถกตองได

เรองท 12.2.1 การประมาณเชงเสน สาระสงเขป การหาคาของจ านวนจรงบางจ านวนทมคาใกลเคยงกบจ านวนจรงททราบคาโดยไมใชเครองค านวณ สามารถท าไดโดยก าหนดฟงกชนเชงเสนทสอดคลองกบจ านวนดงกลาว แลวค านวณหาคาโดยใชสตรการประมาณเชงเสนของฟงกชน xxf xfdxxf กลาวคอ ประมาณคาของ xxf ดวยผลบวกระหวางคาของฟงกชนและคาเชงอนพนธของฟงกชน

(โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 12 ตอนท 12.2 เรองท 12.2.1) กจกรรม 12.2.1 1. จงหาคาประมาณของ 4 627 2. จงหาคาประมาณของ 301.2 3. จงหาคาประมาณของ 29sin 4. รศมของทรงกลมวดได 3 นว มคาผดพลาดทเกดจากการวดอยางมาก 1% จงหาคาผดพลาดรอยละทมากทสดในการค านวณหาพนทผวของทรงกลมดงกลาว 5. รศมของทรงกลมวดได 10 นว มคาผดพลาดทเกดจากการวดอยางมาก 0.2% จงหาคาผดพลาดรอยละทมากทสดในการค านวณหาปรมาตรของทรงกลม บนทกค าตอบกจกรรม 12.2.1 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

เรองท 12.2.2 การประยกตอนพนธในการรางกราฟ สาระสงเขป การวเคราะหรางกราฟของฟงกชน ท าไดโดยใชสมบตตางๆ ของฟงกชน ไดแก ฟงกชนเพม ฟงกชนลด คาสงสดและคาต าสดของฟงกชน โคงคว าหรอโคงหงาย และจดเปลยนความโคงของกราฟ ซงสมบตเหลานพจารณาไดจากคาของอนพนธทอนดบตางๆของฟงกชน ดงน

1) อนพนธอนดบหนงของฟงกชน นนคอใชคาของ )(xf พจารณาวากราฟของฟงกชน f(x)

เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด โดย ถาในชวงใด )(xf มคามากกวาศนย แลวฟงกชน f(x) จะเปนฟงกชนเพมในชวงนน แตถาในชวงใด )(xf มคานอยกวาศนย แลวฟงกชน f(x) จะเปนฟงกชนลดในชวงนน และถา )(xf มคาเทากบศนยหรอหาคาไมไดทจดใด แลวจดนนจะใหคาสงสดหรอคาต าสดเฉพาะท และเรยกจดนนวา จดวกฤต

2) อนพนธอนดบสองของฟงกชน นนคอใชคาของ )(xf พจารณาลกษณะความโคงหรอความเวาของฟงกชน f(x) โดย ถาในชวงใด )(xf มคามากกวาศนย แลวกราฟของฟงกชน f(x) จะมลกษณะโคงหงายหรอเวาหงายในชวงนน แตถาในชวงใด )(xf มคานอยกวาศนย แลวกราฟของฟงกชน f(x) จะมลกษณะโคงคว าหรอเวาคว าในชวงนน และถา

)(xf มคาเทากบศนยหรอหาคาไมไดทจดใด แลวจดนนจะเปนจดทท าใหฟงกชน f(x) เปลยนความโคงหรอเปลยนความเวา และเรยกจดนนวา จดเปลยนความโคง หรอจดเปลยนเวา

(โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 12 ตอนท 12.2 เรองท 12.2.2) กจกรรม 12.2.2 1. จงหาจดทฟงกชน 422 xxxf มคาสงสดหรอคาต าสด 2. จงหาจดทฟงกชน 2293 23 xxxxf มคาสงสดหรอคาต าสด 3. จงพจารณาลกษณะสภาพเวาของ 5523 xxxxf และหาจดเปลยนเวา 4. จงพจารณาลกษณะสภาพเวาของ 4xy และหาจดเปลยนเวา 5. จงตรวจสอบคาสงสดและคาต าสดของฟงกชน xxxf ln2

6. จงหาเสนก ากบของ 2

7. จงพจารณาลกษณะและรางกราฟของฟงกชน 2

8. พจารณาลกษณะและรางกราฟของฟงกชน 2

บนทกค าตอบกจกรรม 12.2.2 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

เรองท 12.2.3 อตราสมพทธและการประยกต คาสงสดและคาต าสด สาระสงเขป วธการแกโจทยปญหาอตราสมพทธ โจทยปญหาคาสงสด และโจทยปญหาคาต าสด สามารถท าไดโดย ขนตอนในการแกปญหาอตราสมพทธ 1. วาดภาพทเกดขนในปญหาซงเปนจรงเมอเวลาใดๆ และก าหนดตวแปรก ากบระยะตางๆในภาพ 2. เขยนสมการความสมพนธระหวางตวแปรเหลานน ซงเปนจรงทเวลา t ใดๆ 3. หาอนพนธเทยบกบเวลาของทงสองขางของสมการ 4. ค านวณหาอตราการเปลยนแปลงของตวแปรทเราตองการตอหนงหนวยเวลา ขนตอนในการแกโจทยปญหาคาสงสด และปญหาคาต าสด 1. ตความในโจทยปญหา แลววาดภาพประกอบ 2. ก าหนดตวแปร 3. สรางฟงกชน 4. ใชขอมลหรอเงอนไขในโจทยปญหา ก าจดตวแปรในฟงกชนใหเหลอ 1 ตวแปร 5. ใชทฤษฎการหาคาสงสดและคาต าสดของฟงกชน นนคอ การแกสมการ 0 xf เพอหาคาของตว

แปรทเปนจดวกฤต 6. ตรวจสอบคาของตวแปรทจดวกฤตทได วาเปนคาสงสดหรอคาต าสด โดยใชอนพนธอนดบทสอง (โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 12 ตอนท 12.2 เรองท 12.2.3) กจกรรม 12.2.3 1. ถงใบหนงเปนรปกรวยกลมตรงหงาย สง 20 ฟต รศมของฐานยาว 10 ฟต ถาปลอยน าออกจากถงดวยอตราเรว 2 ลกบาศกฟตตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของระดบน าในถงขณะทความลกของระดบน าเปน 10 ฟต 2. บนไดอนหนงยาว 20 ฟต วางพงก าแพงตงฉากกบพนราบ ถาปลายบนของบนไดเลองไหลลงดวยอตราเรว 4 ฟตตอวนาท จงหาวามมระหวางพนราบกบบนไดเปลยนแปลงดวยอตราเรวเทาไร ขณะทปลายลางของบนไดอยหางจากก าแพง 16 ฟต 3. ลกบลลนลอยดงขนจากพนหางจากผสงเกตการณ 1200 ฟต ดวยอตราเรว 200 ฟตตอนาท จงหาวามมเงยของผสงเกตการณจะเพมขนดวยอตราเรวเทาไร ขณะทลกบลลนอยทระดบความสง 1600 ฟต เหนอพน

4. จงหาความยาวดานของสเหลยมผนผาทมพนทมากทสด และมเสนรอบรปยาว 100 ฟต 5. ตองการสรางกลองทไมมฝาปด โดยวสดทใชส าหรบสราง เปนสเหลยมผนผาทมดานกวาง 16 นว ยาว 30 นว จากนนตดแตละมมของวสดออกเปนสเหลยมจตรสเลกๆ ใหมขนาดเทากนทกมม จงหาความยาวดานของสวนทถกตด และท าใหกลองใบน มปรมาตรมากทสด 6. จงหารศม และความสงของทรงกระบอกทมปรมาตรมากทสด และสามารถบรรจลงในกรวยทมรศม 6 นว และสง 10 นว 7. ตองการสรางกระปองรปทรงกระบอกทมฝาปดและจของเหลวได 1 ลตร ( 1000 ลกบาศกเซนตเมตร ) โดยใชวสดใหนอยทสด จะสรางใหมขนาดเทาไร

บนทกค าตอบกจกรรม 12.2.3 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

เรองท 12.2.4 ปฏยานพนธ สาระสงเขป นยาม ให f เปนฟงกชนทหาคาไดบนชวง I เรยกฟงกชน F วาเปน ปฏยานพนธ (Antiderivatives) ของ f ในชวง I ถา xfxF ทก x ในชวง I สวนการหาปฏยานพนธ xF จะเรยกวา antidifferentiation ปฏยานพนธของแตละฟงกชนจะมเปนจ านวนมากนบไมถวน

(โปรดอานเนอหาสาระโดยละเอยดในประมวลสาระชดวชาหนวยท 12 ตอนท 12.2 เรองท 12.2.4) กจกรรม 12.2.4 1. ก าหนด c เปนคาคงตวใดๆ จงแสดงวา F วาเปน ปฏยานพนธ (Antiderivatives) ของ f

1.1) mxxfcmx

xF )(,2

1.2) 12

1)(,12

xxfcxxF

1.3) 123)(,12 23 xxfcxxxF 1.4) 1312)(,)52)(13( xxfcxxxF 1.5) )2102()1()(,)1( 991002 xxxxfcxxxF

1.6) nn

1.7) x

xxfcxxxF1

sin)(,lncos

1.8) xxexfcxexF xx 2sec2)(,tan22

2. จงแสดงวา 1

ttF และ

ttF คอปฏยานพนธของ

3. ก าหนด 2

และ

)23()(

จงแสดงวา )()( xgxf และหา

ความสมพนธระหวาง )(xf กบ )(xg

บนทกค าตอบกจกรรม 12.2.4 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

แนวตอบกจกรรมหนวยท 12

อนพนธและการประยกต ตอนท 12.1 อนพนธ แนวตอบกจกรรม 12.1.1

1. ระยะทาง 30 กโลเมตรแรก ใชเวลา 4

30 ชวโมง

ระยะทาง 30 กโลเมตรหลง ใชเวลา 2

30 ชวโมง

รวมเวลาทใชในการเดนทางทงหมดเทากบ 4

3 ชวโมง

เนองจากระยะทางทงหมดทรถวงไดคอ 60 กโลเมตร ดงนนความเรวเฉลยของรถยนตทใชในการ

เดนทางเทากบ 484

560 กโลเมตรตอชวโมง

2.1) dt

dV คออตราการเปลยนแปลงปรมาณของน าในถง

dH คออตราการเปลยนแปลงความสงของระดบน าในถง

2.2) คาของ 0dt

dH เมอมน าอยหนงในสของถง

2.3) คาของ 0dt

dV เมอมน าอยหนงในสของถง

2.4) คาของ dt

dV จะเปนคาคงตวเนองจากปลอยน าเขาถงดวยอตราคงท

สวน dt

dH ไมเปนคาคงตว ระดบความสงของน าในถงจะเพมขนอยางชาๆ เนองจาก

เปนถงรปทรงกลม ซงจะมความกวางมากทสดเมอมน าครงถง และ dt

dH จะมคามากทสดเมอมน า

เตมถง หรอ ไมมน าในถงเลย 3. สมการการเคลอนทของอนภาค 12)( 3 tttf ความเรวของอนภาคหาไดจากอนพนธของ )(tf นนคอ

)(tf h

tththt

)12()1)()(2(lim

tthththhtt

)12()1)()33(2(lim

hhthht

)266(lim

hhthth

)266(lim

1266lim 22

16 2 t ดงนน ท t = 2 จะได 231)2(6)2( 2 f นนคอความเรวของอนภาคมคาเทากบ 23 เมตรตอวนาท 4. )(xfC หมายถง อตราการเปลยนแปลงราคาทองค า มหนวยเปน กรมตอบาท 5. )5(f หมายถง อตราการเปลยนแปลงของจ านวนแบคทเรยเมอเวลาผานไป 5 ชวโมง มหนวยเปน เซลตอชวโมง ถาไมมการจ ากดเนอทและอาหารส าหรบเลยงแบคทเรยแลวอตราการเปลยนแปลงของแบคทเรยนาจะเพมขนตามเวลา นนคอ คา )10(f จะมากกวา )5(f แตถาเสบยงอาหารมจ ากด อาจสงผลกระทบตอการตายของแบคทเรย ดงนนอตราการเพมของแบคทเรยนาจะลดลง 6.

6.1) เนองจาก )8(88

ดงนน 8;)( 3 axxf

6.2) เนองจาก )2(2)2(

ดงนน 2;)( 3 axxf

6.3) เนองจาก

ดงนน 2

;sin)(

6.4) เนองจาก )0(33

ดงนน 0;3)( axf x

7.1) พจารณาฟงกชน

อนพนธของฟงกชน f(x) ท x = 0 คอ )(xf h

)0()0(lim

พจารณาลมตทางซาย

)0()0(lim

0lim 3

พจารณาลมตทางขวา

)0()0(lim

0lim 2

ดงนนอนพนธของฟงกชน f(x) ท x = 0 คอ 0

7.2) พจารณาฟงกชน

อนพนธของฟงกชน f(x) ท x = 0 คอ )(xf h

)0()0(lim

พจารณาลมตทางซาย

)0()0(lim

)0(3)0(3lim

33lim0

พจารณาลมตทางขวา

)0()0(lim

11lim0

ลมตของฟงกชน f(x) ท x = 0 หาคาไมได ดงนนอนพนธของฟงกชน f(x) ท x = 0 ไมม

1.1) 84xxf

1.2) 12xxf

xfd 12

1.3) 3 23 xxf

xxxxdx

xxxxxf

158581

8215325

152438282

358821

xxxxxx

54232354

16824543024

8231654

xxxxxx

1.7) xxy cossin2

dysincoscossin2

)(coscos)sin(sin2 xxxx xx 22 cossin2 xx 22 cos2sin2

1.8) xe

45847 465 xxx

2.2) 4

52131352

2523133134522433

9713526

13652121352

cos1sinsincos1

sincoscos

sinsincoscos1

5sin15

155sin

sectan

sectan2tan12

arcsin

2.8) xexy 32

dexy x

2.9) x

tanlnlntan

lnsectan

sec)(ln1

2.10) 1ln 32 xy

1ln1ln2 33' xdx

4. 1543 34 xxyy

34 43 xyydx

d 15 x

34 43 xdx

23 1234 xdx

dyy 34 3 2125 x

2,1 dx

5. 22 sin5 xyy

dsin5 2 2x

dsin5 2 x2

dyy cos10 x2

dyyy cos10 x2

6. y 112 xx

y 112 xxdx

1111 22 xdx

1212 xxx xxx 221 22 123 2 xx

y 123 2 xxdx

y 26 xdx

4y 6dx

0 7. 44 yx 16

44 yxdx

dyyx 33 44 0

2332 33

dyyxyx

32332 33

ตอนท 12.2 การประยกตอนพนธของฟงกชน แนวตอบกจกรรม 12.2.1 1.

ให xf 4 x 4

x เมอ 2,625 xx ดงนน 4 627 xxf และ xxf xfdxxf

4 3625

526254

004.5 2. ให xf 3x เมอ 01.0,2 xx ดงนน 3x xxf และ xxf xfdxxf 32 23 dxx

801.023 2

ให xf xsin เมอ 180

ดงนน xsin xxf

และ xxf xfdxxf 30sincos xdx

18030cos

0048.02

ให r เปนรศมของทรงกลม s เปนพนทผวของทรงกลม ดงนน 24 rs

จากโจทยได 01.0100

dr หรอ 01.0r

พจารณา

หรอ 02.0s

นนคอ คาผดพลาดรอยละมากทสดในการค านวณหาพนทผวทรงกลมเปน 2% 5. ให r เปนรศมของทรงกลม v เปนปรมาตรของทรงกลม

ดงนน 3

จากโจทยได 002.0100

พจารณา

หรอ 006.0v

นนคอ คาผดพลาดรอยละมากทสดในการค านวณหาปรมาตรทรงกลมเปน 0.6% แนวตอบกจกรรม 12.2.2 1.

422 xxxf 1222 xxxf 0 xf เมอ 1x ดงนน ท 1x เปนจดวกฤตของ f และ 0 xf เมอ 1x และ 0 xf เมอ 1x นนคอ f มคาต าสดเฉพาะท ท 1x 2. 2293 23 xxxxf 133323963 22 xxxxxxxf 0 xf เมอ 3,1x ดงนน ท 1x หรอ 3x เปนจดวกฤตของ f พจารณา

Interval 3x 13 x 1x Sign of 3x - + + Sign of 1x - - +

Sing of 13 xx + - + จากตาราง จะได 0 xf บนชวง 3, และ ,1 และ 0 xf บนชวง 1,3 นนคอ f มคาต าสดเฉพาะท ท 1x และมคาสงสดเฉพาะท ท 3x 3. 5523 xxxxf 523 2 xxxf 13226 xxxf

พจารณา 0 xf เมอ 013 x หรอ 3

0 xf เมอ 013 x หรอ 3

ชวง

เครองหมายของ xf - + สภาพเวา เวาลาง เวาบน

ดงนน ท 3

1x เปนจดทกราฟเปลยนจากเวาลางเปนเวาบน

4. 4xy 34xy ซงหาคาไดทก x 212xy ซงหาคาไดทก x และ 0y ทก x ดงนน กราฟ 4xy มลกษณะเวาบน และไมมจดเปลยนเวา 5. xxxf ln2 xxxxxxf ln21ln2

xxf ln23ln21

0 xf เมอ 2

ดงนน ท 0x หรอ 2

ex เปนจดวกฤตของ f ทจด 0x ไมอยในโดเมนของ f

พจารณาทจด 2

0213ln230 2

นนคอ

เปนจดทฟงกชน f มคาต าสด

6. fD2

xfx 2lim และ

x 2lim

ดงนน เสนตรง 2x เปนเสนก ากบแนวดง และ 1lim

x และ 1lim

ดงนน เสนตรง 1y เปนเสนก ากบแนวนอน

xxxxxf

0 xf เมอ 0x นนคอ ท 0x เปนจดวกฤตของ f และ 0 xf เมอ 0x และ 0 xf เมอ 0x ดงนน ทจด 0x เปนจดต าสดของ f

จะเหนวา ไมมคา x ทท าให 0 xf และ 0 xf เมอ 1x หรอ 1x และ 0 xf เมอ 11 x พจารณา ท 0x ได 3 xfy นนคอ กราฟตดแกน y ท 3,0 ท 0 xfy ได 3x นนคอ กราฟตดแกน x ท 0,3,0,3 พจารณา

เปนฟงกชนตอเนองทกจดยกเวนท 1x

lim และ

xfx 1lim และ

x 1lim

นนคอ เสนตรง 1x และ 1x เปนเสนก ากบแนวดง และ 1lim

นนคอ เสนตรง 1y เปนเสนก ากบแนวนอน สรป f มคาของฟงกชนต าสดท 0x f มจดตดแกน y ท 3,0 และ จดตดแกน x ท 0,3,0,3 f มเสนตรง 1x และ 1x เปนเสนก ากบแนวดง f มเสนตรง 1y เปนเสนก ากบแนวนอน

ชวง 1, 0,1 1,0 ,1

เครองหมาย xf - - + + เครองหมาย xf - + + -

สภาพเวา ลาง บน บน ลาง แนวตอบกจกรรม 12.2.3 1. เขยนรปขณะเวลา t ใดๆ ให v เปนปรมาตรของน าในกรวยขณะเวลา t ใดๆ h เปนความลกของระดบน า r เปนรศมผวบนของน า 20 h

ดงนน hrv , hr 2

จากรป 10

แทนใน hrv , ได hv 12

จากโจทย 2dt

dv ลกบาศกฟตตอนาท

หา dt

dh ขณะท 10h ฟต

แทนคา 2 dt

ดงนน dt

dh 100

8 ฟตตอนาท

2. วาดรปขณะเวลา t ใดๆ B ใหปลายลางของบนไดสงเหนอพน y ฟต มมระหวางปลายลางของบนไดกบพน เรเดยน y 20 ระยะหางระหวางปลายลางของบนไดกบก าแพง x ฟต C x A

ดงนน

20sin 1 y

แต 4dt

dy ฟตตอวนาท

และจากรปได 22220 xy เมอ 16x ได 12y

แทนคา dt

1 เรเดยนตอวนาท

3. ให เปนมมเงยของผสงเกตการณเมอเวลา t ใดๆ y เปนระยะความสงเหนอพนของลกบลลน 1200

ดงนน

1200tan 1 y

y 221200

แต 1600y และ 200dt

แทนคา dt

20016001200

120022

6 เรเดยนตอนาท

4. ให x เปนดานยาวของสเหลยมผนผา y เปนดานกวางของสเหลยมผนผา A เปนพนทของสเหลยมผนผา ดงนน xyyxA , จากโจทย yx 22 100

แทนใน yxA , ได xA xx 50 250 xx xA x250 xA 0 เมอ 25x แทนใน

252550 y ทดสอบคาโดย 0225 A ดงนน ฟงกชนมคาสงสดท 25x นนคอ ตองสรางสเหลยมผนผาใหมดานกวาง 25 ฟต และดานยาว 25 ฟต จงจะไดสเหลยมผนผาทมพนทมากทสดเปน 625 ตารางฟต

5. 16 30 ให x เปนความยาวของสวนทถกตด V เปนปรมาตรของกลอง ดงนน V xxx 216230 xxx 480924 23 xV 48018412 2 xx

xV 0 เมอ 3

10,12x ( หาโดยใชสตร )

ทดสอบคาโดย 18424 xxV 0104184122412 V ดงนน ฟงกชนมคาต าสดท 12x

01041843

V ดงนน ฟงกชนมคาสงสดท

นนคอ ตองสรางกลองโดยใหมความยาวของสวนทถกตดเปน 3

10 นว จงจะไดกลองทมปรมาตรมากทสด

เปน 726 ลกบาศกนว

6. ให r เปนรศมของทรงกระบอก h เปนความสงของทรงกระบอก V เปนปรมาตรของทรงกระบอก ดงนน hrhrV 2,

จากรป โดยสามเหลยมคลาย ได r

แทนใน hrV , ได

5102 r

2520 rrrV rr 45 0 rV เมอ 4,0r

ทดสอบคาโดย rrV 1020 020010200 V ดงนน ฟงกชนมคาต าสดท 0r 020410204 V ดงนน ฟงกชนมคาสงสดท 4r

น า 4r แทนใน 3

4510 h

นนคอ ตองสรางทรงกระบอกใหมรศม 4 นว และสง 3

10 นว จงจะไดทรงกระบอกทมปรมาตรมาก

ทสดเปน 3

160 ลกบาศกนว ทบรรจอยในกรวย

7. ให h เปนความสงของกระปอง h r เปนรศมของกระปอง A เปนพนทผวของกระปอง

ดงนน rhrhrA 22, 2 จากโจทย hr2 1000

แทนใน hrA , ได r

rrrA2000

0 rA เมอ 3 2

ทดสอบคาโดย 3

A ดงนน ฟงกชนมคาต าสดท 3 2

น า 3 2

r แทนใน

นนคอ ตองสรางกระปองใหมรศม 3 2

เซนตเมตร และสง

เซนตเมตร จงจะท าใหกระปองท

สรางขนใชวสดนอยทสด และมพนทผวเปน 23 2

ตารางเซนตเมตร

1.1) เนองจาก mxxfmx

xF )(2

ดงนน xF เปนปฏยานพนธของ xf

1.2) เนองจาก 12

ดงนน xF เปนปฏยานพนธของ xf 1.3) เนองจาก 123)(123 22 xxfxxF

ดงนน xF เปนปฏยานพนธของ xf 1.4) เนองจาก 1312)(3)52(2)13( xxfxxxF ดงนน xF เปนปฏยานพนธของ xf 1.5) เนองจาก

)2102()1()()1(2)1(100 99100992 xxxxfxxxxxF ดงนน xF เปนปฏยานพนธของ xf

1.6) เนองจาก nn

1.7) เนองจาก x

sin)(1

ดงนน xF เปนปฏยานพนธของ xf 1.8) เนองจาก xxexfxxexF xx 22 sec2)(sec2

2. พจารณา 221

)1)(1()1)(1(

และ 222

)1(2)0)(1(

ดงนน tF1 และ tF2 เปนปฏยานพนธของ 2)1(

3. พจารณา 22

)2()2)(1(

22 )1(

และ 22

)2)(23()6)(1(

)23()(

22 )1(

ดงนน )()( xgxf

ฟงกชน )(xf และ )(xg ตางกเปนปฏยานพนธของฟงกชนเดยวกนคอ 22 )1(

แต )(xf ไมตองเทากบ )(xg

แบบประเมนตนเองหลงเรยน วตถประสงค เพอประเมนความกาวหนาในการเรยนรของนกศกษาเกยวกบเรอง “อนพนธและการประยกต” ค าแนะน า อานค าถามแลวเขยนวงกลมลอมรอบขอค าตอบทถกตอง นกศกษามเวลาท าแบบประเมนชดน 60 นาท 1. อนพนธของฟงกชน 412)( xxf ทจด 1x ตรงกบขอใด

ก. h

12)1(12lim

ข. h

12)1(12lim

ค. h

12)1(12lim

ง. h

12)1(12lim

2. อนพนธของฟงกชน xxxxf ln4)( ตรงกบขอใด

ก. xx

ข. xx

ค. xx

ง. xx

3. ก าหนด 322 uuy และ xu 65 จงหา dx

dy ท 1x

ก. 24 ข. -24 ค. 120 ง. -120

4. ก าหนด yxy tan จงหา dx

ก. yy

ข. xy

ค. x

ง. y

xy 2sec

5. อนพนธอนดบท 10 ของฟงกชน xxexf )( ท 1x ตรงกบขอใด

ก. e

ข. e1

ค. e

ง. e1

6. คาประมาณทใกลเคยงทสดของ 88cos ตรงกบขอใด ก. 0 ข. 0.3492 ค. 0.03492 ง. 0.003492

7. จดวกฤตของฟงกชน 3

ก. -3

ข. 2

ค. 2

ง. 2

8. ก าหนด )()( 3 xfxxg และ 4)3(,2)3( ff จงหาวา )3(g ตรงกบขอใด ก. -54 ข. 54 ค. -108 ง. 108 9. จดเปลยนเวาของ 643)( 23 xxxf ตรงกบขอใด

ก. 9

ข. 9

ค. 9

ง. 9

10. ขอใดเปนปฏยานพนธของ 23x ก. 3x ข. 33 x ค. 33 x ง. ถกทกขอ

เฉลยแบบประเมนผลตนเองหนวยท 12

กอนเรยน หลงเรยน 1. ก. 1. ค. 2. ง. 2. ค. 3. ค. 3. ง. 4. ง. 4. ข. 5. ค. 5. ก. 6. ค. 6. ค. 7. ค. 7. ค. 8. ข. 8. ข. 9. ค. 9. ค. 10. ง. 10. ง.

แผนกิจกรรมการศึกษาedu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/แผนกิจกรรม...

Documents

Transcript of แผนกิจกรรมการศึกษาedu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/แผนกิจกรรม...

1 หน่วยที่ 9 การออกแบบและการวางแผนการวิจัยedu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/9.pdf · 2 หน่วยที่

แผนกิจกรรมการศึกษา · 2019-09-23 · 3.1 การเตรียมตัวของนักศึกษา 8 3.2 การด าเนินการศึกษา

แผนกิจกรรมการศึกษา · 2 ค าน า การศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาในระบบการศึกษาทางไกล

แผนกิจกรรมการศึกษา ชุดวิชา 41716 …¹ผนกิจกรรม... · 2 ค าน า ชุดวิชากฎหมายอาญาและอาชญาวิทยาชั้นสูง

หน่วยที่ 4 สามัญทัศน์วิทยุ ...edu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/27104-4.pdf · 2015-09-10 · หน่วยที่เขียน หน่วยที่.

แผนกิจกรรม · 2019-04-01 · ผู้น าทางการศึกษา Skills Development ... มีอุดมการณ์ของผู้บริหารและแนวทางการ

หน่วยที่ 2 ระบบการแพร่เสียง ...edu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/27104-2.pdfหน วยท 2 ระบบการแพร เส ยงเพ

ชุดวิชา 27705 เทคโนโลยีและสื่อสาร ...edu2.stou.ac.th/wp-content/uploads/27705_2-62.pdf · 2020-01-10 · 5 แผนกิจกรรมการศึกษา

ชุดวิชา 27704 สัมมนาทางเทคโนโลยีและสื่อสารการศึกษา ...edu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/แผนกิจกรรม

แผนกิจกรรมการศึกษาhealthsci.stou.ac.th/UploadedFile/plan 58710 2_57 OK.pdf1 ค าน า การศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาในระบบการศึกษาทางไกล

แผนกิจกรรมการศึกษา ชุดวชิา 27706 ... · 2017-09-18 · 1.2 เพื่อให้สามรถประยุกต์ทฤษฎีการเรียน

แผนกิจกรรมการศึกษา · 5 2. วิธีกำรศึกษำชุดวิชำ 2.1 กำรเตรียมตัวของนักศึกษำ

แผนกิจกรรมการศึกษา ชุดวิชา 41798 วิทยานิพนธ์ · แผนกิจกรรมการศึกษา ชุดวิชา

แผนกิจกรรมการศึกษา¹ผน... · ดาราศาสตร์กับอวกาศ 1.2.2 เพื่อให้สามารถออกแบบ

การจัดท าแผนกลยุทธ์เพื่อพัฒนาคุณภาพการศึกษาedu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/23723_7.pdf · หน่วยที่

แผนกิจกรรมการศึกษาhealthsci.stou.ac.th/UploadedFile/แผนกิจกรรมชุดวิชา... · 3. วิธีศึกษา 9

edu.stou.ac.th › EDU › UploadedFile › หน่วยที่... · แผนผังแนวคิดชุดการเรียนรู้ ...2013-09-30 · 4 ตอนที่

หน่วยที่ 7 การประเมินโครงการ (3)edu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/7.pdf · โครงการว `า เป็นการกะการณ์หรือเตรียมการเพื่อกระท

หน่วยที่ 10 การประกันคุณภาพการศึกษาedu.stou.ac.th/EDU/UploadedFile/23723_10.pdf · หน่วยที่ 10 การประกันคุณภาพการศึกษา