การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ·...

การใหเหตผลทางคณตศาสตร

มนษยรจกการใหเหตผล เพ�อสนบสนนความเช�อ หรอเพ�อหาความจรง หรอขอสรปใน

เร�องใดเร�องหน�ง มาแตคร �งโบราณ โดยกระบวนการการนาเอาเอาส�งท�เปนเหต หรอส�งท�กาหนดใหท�

เรยกวา สมมตฐาน มาทดลอง หรอพสจน เพ�อใหไดขอสรป หรอผล กระบวนการน �เรยกวา การใหเหตผล

(Reasoning)

การใหเหตผลท�สาคญทางคณตศาสตรมอย 2 วธ ไดแก

1. การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning)

2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning)

1 การใหเหตผลแบบอปนย

การใหเหตผลแบบอปนยเปนการใหเหตผล โดยยดความจรงจากสวนยอยท�พบเหนไปสความจรงท�

เปนสวนรวม ดงนยามตอไปน �

บทนยาม การใหเหตผลแบบอปนย

หมายถง วธการสรปผลจากการสงเกต การทดลองจากกรณยอย ๆ แลวนามาสรปผลท�วไป

ในการใหเหตผลแบบอปนยน � เปนท�ยอมรบกนมากทางดานวทยาศาสตรและทางดานการแพทย

เพราะนกวทยาศาสตรชอบคนควาหาความจรงจากธรรมชาต หรอจากการทดลอง โดยการสงเกตผลท�

เกดข �นในแตละคร �ง จาการสงเกตปรากฏผลวา ทกคร �งท�ผลสรปท�เกดข �นมลกษณะเหมอนกน และทาการ

ทดสอบจนม�นใจในผลสรปดงกลาว นกวทยาศาสตรจงประมวลผลสรปดงกลาวเปนความรใหมในรปท�ว ๆ

ไป ซ�งตอมาไดพฒนามาเปน ระเบยบวธทางวทยาศาสตร (Scientific Method)

หมายเหต ในการหาขอสรป หรอความจรงโดยใชวธการใหเหตผลแบบอปนยน �น ไมจาเปนตองถกตองทก

คร �ง เน�องจากการใหเหตผลแบบอปนยเปนการสรปผลเกนจากหลกฐานขอเทจจรงท�มอย

ดงน �นขอสรปจะเช�อถอไดมากนอยเพยงใดน �นข �นอยกบลกษณะของขอมล หลกฐานและขอเทจจรงท�

นามาอาง เชน จากแบบรปของจานวน 2, 4, a ถามวา a ควรจะเปนจานวนใด

คาตอบท�ได จากการสงเกตแบบรปท�กาหนดใหคอ 2, 4 มไดตางกน ดงน �

ถา เหตผล คอ 2 + 2 = 4 จะไดวา a = 6

แต ถา เหตผล คอ 2 = 21 และ 4 = 22 จะไดวา a = 23

ตวอยางของการใหเหตผลแบบอปนย

ตวอยาง ชาวสวนมะมวงสงเกตมาหลายปพบวา ถาปใดมหมอกมาก ปน �นจะไดผลผลตนอย

เขาจงสรปวาหมอกเปนสาเหตท�ทาใหผลผลตนอย

ตวอยาง จากผลการทดลอง 10 คร �ง ของนกวทยาศาสตรคนหน�ง พบวา

ถาใชสาร A ไปผสมกบสาร B ในอตรา 1 : 2 จะไดสาร C

จงสรปวา การนาสาร A ไปผสมกบสาร B ในอตราสวน 1 : 2 จะทาใหเกดสาร C

สาหรบวชาคณตศาสตรมเร�องบางเร�องท�ใชการใหเหตผลแบบอปนยในการสรปผลลพธ ตวอยางท�

เหนไดอยางชดเจนคอเร�อง แบบรป (pattern) ซ�งเปนการสรปจากการสงเกตภาพหรอจานวนท�เกดข �น

กอนหนาท�จะสรปผล

ดงน �น ทกษะท�นกเรยนจะตองมเพ�อนาไปสการใหเหตผลท�มประสทธภาพคอ การสงเกตขอมลท�

กาหนดใหและการใหความสมพนธระหวางขอมลท�กาหนด แลวต �งขอคาดการณจากความสมพนธท�ได

สดทายกคอการตรวจสอบขอคาดการณน �นวาเปนจรงสาหรบทกกรณหรอไม ซ�งในระดบน �จะใชการ

ตรวจสอบท�ไมเปนทางการมากนก ตวอยางตอไปน �

ตวอยาง 1จงใชการใหเหตผลแบบอปนย สรปผลเก�ยวกบผลบวกของจานวนคสองจานวน

nSol การทดลอง ขอสงเกต

0 + 2 = …………….. ………………………

2 + 4 = …………….. ………………………

–4 + 6 = …………….. ………………………

8 + (–10) = …………….. ………………………

–10 + (–12) = …………….. ………………………

สรป ……………………………………………………………………………….

ตวอยาง 2 จากการสงเกตผลการนาจานวนเตมบวกท�มหลกหนวยเปน 5 มายกกาลงสอง จะพบวา

nSol การทดลอง ขอสงเกต

52 = ……………….. ………………………

152 = ……………….. ………………………

252 = ……………….. ………………………

352 = ……………….. ………………………

452 = ……………….. ………………………

สรป …………………………….………………………………………………….

………………………………………………………………………………..

ตวอยาง 3 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย สรปผลเก�ยวกบหลกหนวยของ 3,4153

nSol พจารณาตวเลขในหลกหนวยของ n3 ม�อ n เปนจานวนเตมบวก ดงน �

การทดลอง ขอสงเกต

31 = …………. มหลกหนวยเปน……………

ขอสรป จากการทดลอง จะพบวา

ถาเลขช �กาลงหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 1 เลขในหลกหนวยคอ …………

ถาเลขช �กาลงหารดวย 4 แลวหารลงตว เลขในหลกหนวยคอ …………

เน�องจากเลขช �กาลง คอ 3,415 ซ�งหารดวย 4 แลวเหลอเศษ …………

ดงน �น จานวนในหลกหนวยของ 3,4153 คอ ……………

ตวอยาง 4 จากการสงเกตพหนามท�กาหนดใหตอไปน �

ถา 1P (x) x 2 , 22P (x) 3x 4 , 3

3P (x) 5x 8 และ 44P (x) 7x 16

จงหา 8P (x) และ 8P ( 2) nSol พหนาม ขอสงเกต

1P (x) x 2 ………………………………………………….

22P (x) 3x 4 ………………………………………………….

33P (x) 5x 8 ………………………………………………….

44P (x) 7x 16 ………………………………………………….

8P (x) = …………………………………………………………………..

และ 8P ( 2) = …………………………………………………………………

ตวอยาง 5 คารล ฟรดรช เกาส (Karl Friedrich Gauss ; 1777 – 1855) นกคณตศาสตรชาวเยอรมน

ไดสงเกตการณหาผลบวกของจานวนต �งแต 1 ถง 100 วา มตวเลขอย 50 ค ซ�งบวกกนแลวได 101

(ดงรปขางลาง) ดงน �นผลบวกของตวเลขท �งหมดเทากบ 50 101 = 5,050

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

จงใชวธการของเกาสหาผลบวกตอไปน � nSol (1) 1 + 2 + 3 + … + 150 (2) 1 + 2 + 3 + … + 300

(3) 1 + 2 + 3 + … + 125 (4) 2 + 4 + 6 + … + 100

(5) 1 + 3 + 5 + … + 99 (6) 1 + 2 + 3 + … + n ; n

(7) 2 + 4 + 6 + … + 2n ; n (8) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) ; n

ตวอยาง 6 จงหาวาจากลาดบของจานวนในแตละขอตอไปน �ม พจนท� n (ตวท� n)เปนเทาใด

(1) 3, 7, 11, 15, … (2) 1, 3, 7, 15, 31, …

(3) 1, 3, 6, 10, 15, 21, … (4) 1 1 1 1 1, , , , ,...

2 6 12 20 30

ตวอยาง 7 จากลาดบของจานวนท�กาหนดให จงหาวามท �งหมดก�พจน

(1) 5, 7, 9, 11, … , 105 (2) 2, 5, 10, 17, 26, …, 170

พจนท� ขอสงเกต

1 3 = ………….………….

2 7 = ………….………….

3 11 = ………….…………

4 15 = ………….…………

5 ………………….……….

10 ………………….……….

พจนท� n เทากบ ……………….……..

1 1 = …………………….

2 3 = …………………….

3 7 = …………….………

4 15 = ……………….……

5 31 = …………………….

10 …………………….…….

พจนท� n เทากบ ……………………..

1 1 = ……………..…….…….

2 3 = …………….……..…….

3 6 = …………………………

4 10 = ……………..……….…

5 15 = …………..…………….

6 21 = ………………………...

10 …………………………….…

2 = …………..………….

6 = ……………..……….

12 = ………….....………

20 = …………..…………

10 …………………..……….

พจนท� n เทากบ ………………..……..

1 5 = ………….………….

2 7 = ………….………….

3 9 = ………….…………

4 11 = ………….…………

5 ………………….……….

ดงน �น 105 = ………………………….

และ ลาดบมจานวน………… พจน

1 2 = ………….………….

2 5 = ………….………….

3 10 = ………….…………

4 17 = ………….…………

5 26 = …………….……….

ดงน �น 170 = ………………………….

และ ลาดบมจานวน………… พจน

ตวอยาง 8 ใหสงเกตจานวน ในรปท� 1, 2, 3 และ 5 ตอไปน �

จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวน ในรปท� 10 และรปท� n

รปท� จานวน ขอสงเกต

ดงน �น รปท� 10 มจานวน เทากบ ………………………………………………………………

และ รปท� n มจานวน เทากบ ………………………………………………………………

ตวอยาง 9 จงหาวาจากอนกรมของจานวนในแตละขอตอไปน �มผลบวกเทาใด

(1) 2 + 5 + 8 + 11 +… + 89

nSol พจนท� ขอสงเกต พจนท� n เทากบ ……………….……..

1 2 = ………….…………. ดงน �น 89 = ………………………….

2 5 = ………….………….

3 8 = ………….…..………

4 11 = ………….…..……… แสดงวาลาดบมจานวน………… พจน

จานวนพจน ผลบวก ขอสงเกต

2 2 + 5

3 2 + 5 + 8

4 2 + 5 + 8 + 11

2 + 5 + 8 + 11 +… + 89

รปท� 1

รปท� 2

รปท� 3

รปท� 4

รปท� 5

ตวอยาง 10 นดออกกาลงกายโดยการว�ง 2 ช�วโมง ในนาทท� k ใดๆ นดว�งได k 1 k เมตร

จงหาระยะทางท �งหมดท�นดว�งไดใน 2 ช�วโมง (สอวน มศก 2558)

ตวอยาง 11 จงหา 99

ตวอยาง 12 กาหนดให 2

x 3xP(x)

x 3x 2

จงหาคาของ P(1) P(2) P(3) ... P(10)

ตวอยาง 13 ถา 2 4 8 16 n(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 1) 2 m จงหาคาของ

ตวอยาง 14 ให { na } เปนลาดบของจานวนจรง โดยท�

1a 3 และ nn 1

สาหรบ n = 1, 2, 3 …

จงหาคาของ 1000a

ตวอยาง 15 กาหนดให n

{a } เปนลาดบของจานวนจรง โดยท� 2n n 1

a a (n 2)

ถา 25a 50 จงหา

ตวอยาง 16 กาหนดให n

{a } เปนลาดบของจานวนจรง

โดยท� 1 2 3a a 1, a 2 และผลคณของส�พจนใดๆท�เรยงตดกนไมเทากบ 1

ถา n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3a a a a a a a a ทกๆจานวนนบ n

จงหา 100

ตวอยาง 17 กาหนดให x

จงหาคาของ 1 2 3 99f( ) f( ) f( ) ... f( )

100 100 100 100

ตวอยาง 18 กาหนดให 3x 1f(x) 10

จงหาคาของ 1 2 2014

f( ) f( ) ... f( )2015 2015 2015

(POSN : มศก 2557)

ตวอยาง 19 กาหนดให P(x + y) = P(x) + P(y) + 4xy สาหรบ x, y N

ถา P(1) = 2 แลวคาของ P(20) เทากบเทาใด

ตวอยาง 20 กาหนด f(n 1) f(n) 5n สาหรบ n =1, 2, 3,…

จงหาคาของ f(13) f(1)

ตวอยาง 21 กาหนดให 2 2 2

1 1 1A 1 ...

และ 2 2 2 2

1 1 1 1B ...

2 4 6 8

จงหา A

แบบฝกหดท� 1

1. จงใชเหตผลแบบอปนย หาจานวน a จากแบบรปของจานวนท�กาหนดใหตอไปน �

1.1 3, 7, 11, a, 19

1.2 90, a, 78, 72, 66

1.3 4, 5, 7, 10, a, 19

1.4 1, 4, 9, 16, 25, a

1.5 20, 18, 14, a, 0

1.6 1, –1, 2, –6, a, –120

1.7 2, 6, 22, 56, 114, a

1.8 14, 22, 32, 44, a

1.9 5, 15, 37, 77, 141, a

1.10 1, 5, 12, 22, 35, a

2. จากแบบรปของสมการท�กาหนดใหในแตละขอตอไปน � จงใชเหตผลแบบอปนยหาสมการถดไป

พรอมท �งตรวจสอบคาตอบท�ถกตองโดยวธการคานวณ

2.1 (1 9) + 2 = 11

(12 9) + 3 = 111

(123 9) + 4 = 1,111

(1234 9) + 5 = 11,111

2.2 (9 9) + 7 = 88

(98 9) + 6 = 888

(987 9) + 5 = 8,888

(9,876 9) + 4 = 88,888

2.3 15,873 7 = 111,111

15,873 14 = 222,222

15,873 21 = 333,333

15,873 28 = 444,444

2.4 11 11 = 121

111 111 = 12,321

1,111 1,111 = 1,234,321

2.5 2 = 4 – 2

2 + 4 = 8 – 2

2 + 4 + 8 = 16 – 2

2 + 4 + 8 + 16 = 32 – 2

2.6 3 = 3(2)

3 + 6 = 6(3)

3 + 6 + 9 = 9(4)

3 + 6 + 9 + 12 = 12(5)

2 = 1 –

4 = 1 –

8 = 1 –

16 = 1 –

3. รปท� 1 ถงรปท� 5 ตอไปน � แสดงภาพท�เกดจากการใชรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวย ท�มความ

ยาวดานละ 1 หนวย ประกอบเปนรปสามเหล�ยมดานเทาขนาดตาง ๆ กน

3.1 จงเตมจานวนรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวยในรปท�1, 2, 3 และ 5

รปท� 1 2 3 5

จานวน Δ

3.2 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวนรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวย ในรปท� 4

และเขยนภาพในรปท� 4

3.3 จงหาแบบรปท�วไปของจานวนรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวย ในรปท� 1 ถงรปท� 5 แลว

ใชแบบรปน � หาจานวนรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวย รปท� 10

4. นารปส�เหล�ยมจตรสหน�งหนวยสขาว และลายขวาง ท�มความยาวดานละ 1 หนวย มาประกอบ

เปนภาพในรปท� 1, 2, 3 และ 5 ดงรป

รปท� 1 รปท� 2 รปท� 3 รปท� 4 รปท� 5

4.1 จงเตมคาตอบลงในตารางขางลาง ตอไปน �

รปท� 1 2 3 5

จานวน

จานวน และ

4.2 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวนรปส�เหล�ยมจตรส , , และ

ในรปท� 4 พรอมท �งหาแบบรปท�วไปของจานวนรปส�เหล�ยมจตรสหน�งหนวย , , และ

ในรปท� 1 ถง 5 และใชแบบรปท�วไปน �หาจานวนรปส�เหล�ยมจตรส , , และ

ในรปท� 10

7. พจารณาตารางตอไปน �

0 2 2 2 0 0 0 0 0

0 2 4 6 4 2 0 0 0

0 2 6 12 14 12 6 2 0

0 2 8 20 32 38 32 20 8

จงหาแบบรปและเตมตวเลขในแถวตอไป

8. จงหาตวอกษรถดไปของ

O, T, T, F, F, S, S, E, N, T, …

(แนะนา : ใหสงเกตตวอกษรและความสมพนธของคาท�เก�ยวกบตวเลข)

9. เลอกตวเลขมาหน�งจานวน แลวทาตามข �นตอนตอไปน �

1) นาตวเลขน �นคณดวย 2

2) นาผลในขอ 1) บวกดวย 6

3) นาผลในขอ 2) หารดวย 2

4) นาผลในขอ 3) ลบดวยตวเลขแรกท�เลอก

5) บนทกผลท�ได

ทากระบวนการน �ซ �าอกคร �ง แตเปล�ยนข �นตอนท� 2 เปนบวกผลลพธดวย 8 แลว

บนทกผลท�ได

ทากระบวนการน �ซ �าอกคร �ง แตเปล�ยนข �นตอนท� 2 เปนบวกผลลพธดวย 10 แลว

บนทกผลท�ได

6) สงเกตผลลพธท�ได และใชเหตผลแบบอปนยอธบายผลท�ได

10. จากการสงเกตผลบวกของจานวนเตมบวก ดงตอไปน �

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

จงใชการใหเหตผลแบบอปนย สงเกตผลบวกท�ได มความสมพนธกบจานวนตวของจานวนท�

นามาบวกกนอยางไร พรอมท �งหาผลบวกของ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

11. นาไมขดไฟขนาดยาวกานละ 1 หนวย มาจดเรยงเปนรปส�เหล�ยมจตรสแลวประกอบกนเขาเปนรปตว

แอล (L) ดงรปท� 1, 2, 3 และ 5

11.1 จงหาจานวนไมขดไฟท �งหมดท�ใชในแตละรปของรปท� 1, 2, 3 และ 5

11.2 จงหาจานวนไมขดไฟเฉพาะบนเสนรอบรปตวแอลแตละรปของรปท� 1, 2, 3 และ 5

11.3 จงหาพ �นท�ของแตละรปในรปท� 1, 2, 3 และ 5

รปท� 1 2 3 4 5

จานวนไมขดไฟท �งหมด

จานวนไมขดไฟบนเสนรอบรป

พ �นท�

11.4 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวนไมขดไฟในรปท� 4

11.5 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวนไมขดไฟบนเสนรอบรปตวแอลในรปท� 4

11.6 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาพ �นท�ของรปท� 4

11.7 จงเขยนภาพของรปท� 4

11.8 จงเขยนแบบรปท�วไปของจานวนไมขดไฟท �งหมดท�ใชในแตละรป ในรปท� 1 ถงรปท� 5

แลวใชแบบรปน � หาจานวนไมขดไฟท �งหมดในรปท� 10

11.9 จงเขยนแบบรปท�วไปของจานวนไมขดไฟบนเสนรอบรปแตละรปในรปท� 1 ถงรปท� 5 แลว

ใชแบบรปน � หาจานวนไมขดไฟบนเสนรอบรปของรปท� 10

11.10 จงเขยนแบบรปท�วไปของพ �นท�ของแตละรป ในรปท� 1 ถงรปท� 5 แลวใชแบบรปน � หา

พ �นท�ของรปท� 10

รปท� 1 รปท� 2 รปท� 3 รปท� 4 รปท� 5

12. ใหสงเกตแบบรปของผลลพธจากการยกกาลงสองตอไปน � แลวใชการใหเหตผลแบบอปนย เตม

คาตอบสดทายลงในชองวาง

12.1 12 = 1

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

1111112 =

12.2 62 = 36

662 = 4356

6662 = 443556

66662 = 44435556

666662 =

12.3 42 = 16

342 = 1156

3342 = 111556

33342 = 11115556

333342 =

12.4 32 = 9

632 = 3696

6632 = 439569

66632 = 44395569

666632 = 4443955569

6666632 =

12.5 12 = 1

912 = 8281

9912 = 982081

99912 = 99820081

999912 = 9998200081

9999912 =

13. จงหาตวเลขในหลกหนวยของ 25572014

14. จงหาเศษเหลอท�เกดจากการหาร 105 2102 3 ดวย 5

15. จงหาผลบวก 1 1 1 1

(m 2)(m 5) (m 5)(m 8) (m 8)(m 11) (m 11)(m 14)

16. จงหาคา x จากสมการ 1 1 1 2...

(5x)(5x 2) (5x 2)(5x 4) (5x 8)(5x 10) 25

17. จงหา 1 1 1 1...

x x 2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 18 x 20

18. จงหาคาของ 9999

4 4n 1

( n n 1)( n n 1)

19. ให P(1) 1 , P(2) 1 2 , P(3) 1 2 3 , .... , P(n) 1 2 3 ... n

คาของ 25

P(n) 1 เทากบเทาใด

20. จงหาคาของ 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 11 1 ... 1

1 2 2 3 99 100

21. จงหาเศษเหลอของการหาร 1 2 3 71610 10 10 1010 10 10 ... 10 ดวย 7

22. จงหาตวเลขหลกหนวยของจานวน 7

23. กาหนด x

จงหาผลบวกของ 1 2 3 99P P P ... P

100 100 100 100

24. กาหนดให n

{a } เปนลาดบของจานวนจรง

โดยท� 2n 1 n

a n a สาหรบ n = 1, 2, 3. …

จงหาคาของ 1

a ท�ทาให 101

a 5100 [PAT 1 : มนาคม 2554]

2558 ตว

25. กาหนดให 5x 2f(x) 2

จงหาคาของ 1 2 2557f( ) f( ) ... f( )

2558 2558 2558

26. กาหนดให n ! 1 2 3 ... n

จงหาเลขสองหลกสดทายของ 1! 2 ! 3 ! 4 ! ... 100 !

27. กาหนดให P(n)P(n+1)P(n+2) = P(n) + P(n +1) + P(n + 2) สาหรบ n N

โดยท� P(1) = 1 และ P(2) = 2 จงหา P(2013) + P(2556)

28. สาหรบ x ท�เปนจานวนเตม กาหนด P(n) มสมบตดงน �

(1) P(1) = 1

(2) P(2x) = 4P(x) + 6

(3) P(x +2) = P(x) + 12x + 12

แลวคาของ P(7) + P(16) เทากบเทาใด

29. กาหนดให a(m, n) = a(m, n 1) + a(m 1, n 1)

ถา a(1, 1) = 10, a(2, 1) = 5, a(4, 1) = 4 และ a(4, 4) = 50

แลวคาของ a(3, 1) เทากบเทาใด

30. จงหาคาของ 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

1 1 1 1 11 ...

2 3 4 5 61 1 1 1 1

1 ...2 3 4 5 6

พจารณารปตอไปน �

ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3,… , 11 ลงในชองรปส�เหล�ยม

ชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวกของจานวนในแนวต �งเทากบ 43

และผลบวกของจานวนในแนวนอน เทากบ 28

จานวน x ในชองรปส�เหล�ยมมม เทากบเทาใด

แนวต �ง

แนวนอน x

32. จากตารางท�กาหนดใหมชองวางท �งหมด 9 ชองดงรป

ใหเตมจานวนเตมบวก ลงในชองส�เหล�ยมชองละ 1 จานวน

โดยใหผลบวกของจานวนในแตละแถว ในแตละหลก และในแตละ

แนวทแยงมม มคาเทากน ถาเตมจานวนเตมบวก 3, 7, 10

ดงปรากฏในตารางแลว จานวน x ในตารางเทากบเทาใด

33. ใหเตมจานวนเตมบวกในชองส�เหล�ยมโดยใหผลรวมของจานวนในชองส�เหล�ยมสามชองท�ตดกนเทากบ 18

คาของ x เทากบเทาใด

34. พระมดอนหน�งมจานวนเตมบวกอยแตละชองดงแผนภาพ

โดยชองท�อยตดกนใดๆจะมผลรวมเทากบชองท�อยขางบน

เชน a + b = c

สมมตใหยอดพระมดมคา 25 ผลรวมของเลขในแถวท�สามนบจาก

จงแสดงการวเคราะหหาวา ผลบวกของชองแรกกบชองสดทาย

ในแถวท�ส�หาคาไดหรอไม ถาไมไดจงแสดงเหตผล

ถาไดจงหาผลบวกน �น (สอวน มศก 2557)

36. ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางในตาราง 5 5

ตอไปน �โดยท� แตละแถวตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5

แตละหลกตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5

จานวน x ในตารางเทากบเทาใด

37. จาตารางท�กาหนดให มชองวางท �งหมด 16 ชอง ดงรป

ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, …, 16 ลงในชองส�เหล�ยม

ชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวกของจานวนในแตละแถว

( (ก) และ (ข) ) และในแตละหลก ( (ค) และ (ง) )

มคาเทาๆกน ถาเตมจานวน 1, 5, 13 ดงปรากฏในตาราง

แลว จานวน x ในตาราง เทากบเทาใด

38. กาหนดจด 10 จด โดยท�ระยะหางระหวางจดเทาๆกน ดงรป

จะตองลบจดออกจากภาพอยางนอยท�สดก�จด

เม�อลบออกจากภาพแลวไมมสามจดใดๆท�เหลอเปนจดยอดของ

สามเหล�ยมดานเทา

39. พจารณาการบวกของจานวนตอไปน �

เม�อ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดทแตกตางกน

โดยท� F = 0 และ {A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ถาจานวนสองหลก AB เปนจานวนเฉพาะแลว A + B มคา

เทากบเทาใด

40. ในตารางท�กาหนดให ผลบวกของจานวนในแตละแถว แตละหลก

และผลบวกตามแนวเสนทแยงมมท �งสองแนว เทากนท �งหมด

จงหา a + b + c + d + e + f

41. กาหนดให a, b, c, d, e, f เปนจานวนเตมบวก โดยท� a < b < c < d < e < f

ถาผลบวกของสองจานวนท�แตกตางกนในเซต {a, b, c, d, e, f} มท �งหมด 15 จานวน

คอ 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97, 102, 110, 112, 125, 132, 147 และ 155

แลวคาของ c + d เทากบเทาใด

42. จงหาจานวนสบเซต 1 2 3{a ,a ,a } ของเซต {1, 2, 3, …, 14} ท �งหมดท�สอดคลองกบ 2 1a a 3

และ 3 2a a 3

43. กาหนดให a, b {0, 1, 2, …, 9} และ 1a5, 6b9 เปนจานวนสามหลก

ถา 6b9 1a5 = 454 และ 6b9 หารดวย 9 ลงตว แลว a + b เทากบเทาใด

44. กาหนดให ab เปนจานวนสองหลก โดยท� a, b {1, 2, 3, …, 9}

และ a เทากบสองเทาของ b

ถา (310 ab) (465 ba) 2790 แลว a + b เทากบเทาใด

45. กาหนด S เปนเซตของ (a, b, c, d, e, f) โดยท� a,b, c, d, e, f {0, 1, 2, …, 9}

ซ�งมสมบตสอดคลองกบ 3 2 b 2a c 4, 2 d 7 และ 3 2e f 1

จานวนสมาชกของเซต S เทากบเทาใด

46. ถา a, b , c {1, 2, 3, … , 9} และสอดคลองกบ (56a) + (7b) + c = 416

แลว a + b + c เทากบเทาใด

47. กาหนดให a,b,c {1,2,3,...,9} จงหาจานวน 3 หลก abc ท�มคามากท�สด

โดยสอดคลองกบเง�อนไข abc = ab + ba + ac + ca + bc + cb

*หมายเหต abc คอ เลข 3 หลก และ ab, ba , ... คอเลข 2 หลก

2 การใหเหตผลแบบนรนย

การใหเหตผลแบบนรนย เปนการใหเหตผล โดยเร�มจากเหต หรอ สมมตฐาน แลวอาศยความจรงท�

ยอมรบแลวท�เรยกวา สจพจน อาศยทฤษฎบทท�ทราบมากอนแลว อาศยขอตกลง กฎตาง ๆ หรอบทนยาม

นาส�งเหลาน �มายนยน จนกระท�งไดผล หรอ ขอสรป ท�ตองการ

ทฤษฎบทตาง ๆ ในทางคณตศาสตร เปนความจรงท�สามารถพสจนได การพสจนของทฤษฎบท

เหลาน � ถอวาเปนการใหเหตผลแบบนรนย

ขอความหรอประโยคท�จะใชการใหเหตผลแบบนรนย พสจนจากเหตนาไปสผล มกจะเปนขอความท�

มรปแบบ ดงน �

ถา แลว

ตวอยางของการใหเหตผลแบบนรนย

1 เหต 1) จานวนคหมายถงจานวนท�หารดวย 2 ลงตว

2) 10 หารดวย 2 ลงตว

ผล 10 เปนจานวนค

2 เหต 1) นกทกตวบนได

2) คางคาวเปนนก

ผล คางคาวบนได

3 เหต 1) เซตวาง หมายถง เซตท�ไมมสมาชก

2) A เปนเซตท�มสมาชก 2 ตว

ผล A ไมเปนเซตวาง

4 เหต 1) ส�งมชวตทกชนดตองการอาหาร

2) คนเปนส�งมชวต

3) สมชายเปนคน

ผล สมชายตองการอาหาร

เหต

หรอ สมมตฐาน

สจพจน ทฤษฎบท ขอตกลง กฎ บทนยาม

ผล

หรอ ขอสรป

(เหต หรอ สมมตฐาน) (ผล หรอ ขอสรป)

2.1 การใหเหตผลท�สมเหตสมผลและไมสมเหตสมผล

เราทราบแลววา การใหเหตผลแบบนรนย จะประกอบไปดวย 2 สวน คอ เหต และ ผล การตรวจสอบ

วา การใหเหตผลแบบนรนยเปนการใหเหตผลแบบสมเหตสมผลหรอไม จะตองยอมรบกอนวาเหตท�

กาหนดใหทกอยางเปนจรง แลวนาเหตท �งหมดมาวเคราะหวา จะไดผลท�กาหนดใหเปนจรงหรอไม

ถาไดผลเปนจรง จะเรยกการใหเหตผลน �วา เปนการใหเหตผลท� สมเหตสมผล (valid)

ถาผลท�กาหนดให ไมจาเปนตองเกดข �นตามน �น จะกลาววาผลเปนเทจ ในกรณน �จะเรยกการให

เหตผลน �วา เปนการใหเหตผลท� ไมสมเหตสมผล (invalid)

ตวอยาง 1 จงพจารณาการใหเหตผลตอไปน �

เหต 1) เซตวาง หมายถง เซตท�ไมมสมาชก

2) A เปนเซตท�ไมมสมาชก

ผล A เปนเซตวาง

เหต 1) สตวมปกทกตวบนได

2) นกเปนสตวมปก

ผล นกเปนสตวบนได

เหต 1) เรอทกลาลอยน �าได

2) ถงน �าพลาสตกลอยน �าได

ผล ถงน �าพลาสตกเปนเรอ

2.2 การใหเหตผลแบบนรนยโดยใชแผนภาพของเวนน–ออยเลอร

การตรวจสอบวาขอสรปสมเหตสมผลหรอไมน �น สามารถตรวจสอบไดหลายวธ แลวแตลกษณะของ

ขอความท�กาหนดมาให วธการหน�งคอการวาดแผนภาพตามสมมตฐานท�เปนไปได แลวจงพจารณาวา

แผนภาพแตละกรณแสดงผลสรปตามท�สรปไวหรอไม ถาแผนภาพท�วาดกรณท�เปนไปไดทกกรณ

แสดงผลตามท�กาหนด จงกลาวไดวาการสรปผล สมเหตสมผล แตถามแผนภาพท�ไมแสดงผล

ตามท�สรปไว การสรปน�นไมสมเหตสมผล และวธการท�ใชการตรวจสอบการสมเหตสมผลท�กลาวมา

เรยกวา การอางเหตผลโดยใชตรรกบทของตรรกศาสตร (Syllogistic Logic)

ขอความท�ใชในการอางเหตผลท�ใชกนมอย 4 แบบ

1. สมาชกของ A ทกตวเปนสมาชกของ B

2. ไมมสมาชกของ A ตวใด เปนสมาชกของ B

3. สมาชกบางตวของ A เปนสมาชกของ B

4. สมาชกของ A บางตว ไมเปนสมาชกของ B

หมายเหต แผนภาพท�ใชตรวจสอบความสมเหตสมผลน �น เปนแผนภาพของเวนน–ออยเลอร

ตวอยาง 1 จงใหความหมายในเชงเซตของขอความในขอตอไปน � โดยใชการแรเงา แสดงวาบรเวณท�

แรเงามสมาชก

(1) ขอความ : เรอทกลาลอยน �าได

ความหมายในเชงเซต :

ให A แทน เซตของเรอ

B แทน เซตของส�งท�ลอยน �าได

ดงน �น สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B น�นคอ A B

เขยนเปนแผนภาพไดดงน �

(2) ขอความ : มนกบางชนดบนได

ความหมายในเชงเซต :

ให A แทน เซตของนก

B แทน เซตของส�งท�บนได

ดงน �น มสมาชกบางตวของ A ท�เปนสมาชกของ B

น�นคอ A B เขยนเปนแผนภาพไดดงน �

(3) ขอความ : ไมมงตวใดมส�ขา

เหตผลในเชงเซต :

ให A แทน เซตของง

B แทน เซตของส�งท�มส�ขา

(4) ขอความ : รถโดยสารบางคนไมไดเปนรถปรบอากาศ

เหตผลในเชงเซต :

ให A แทน เซตของรถปรบอากาศ

B แทน เซตของรถโดยสารทกชนด

การใชแผนภาพเพ�อตรวจสอบความสมเหตผสมผลของขอสรป จะตองวาดแผนภาพตามเหตผลหรอ

สมมตฐานทกกรณท�เปนไปได ถาทกกรณแสดงผลสรปตามท�กาหนด จงกลาวไดวาขอสรปสมเหตสมผล

แตถามบางกรณท�แผนภาพไมสอดคลองกบผลสรปแลว ผลสรปดงกลาวจะไมสมเหตสมผล

ตวอยาง 2 จงใชแผนภาพตรวจสอบวาผลสรปตอไปน � สมเหตสมผลหรอไม

(1) เหต 1) จานวนเตมทกจานวนเปนจานวนตรรกยะ

2) 1 เปนจานวนเตม

ผล 1 เปนจานวนตรรกยะ

วธทา ให A แทน เซตของจานวนเตม

B แทน เซตของจานวนตรรกยะ

เขยนเปนแผนภาพ ไดดงน �

จากแผนภาพ ผลสรปท�กลาววา 1 เปนจานวนตรรกยะ .................................

(2) เหต 1) นกฟตบอลทกคนเปนคนท�มสขภาพด

2) นาย ก เปนคนท�มสขภาพด

ผล นาย ก เปนนกฟตบอล

วธทา ให H แทน เซตของคนท�มสขภาพด

F แทน เซตของนกฟตบอล

1) เขยนแผนภาพแทนนกฟตบอลทกคนท�มสขภาพด

2) เขยนแผนภาพเพ�อแสดงวา นาย ก เปนคนท�มสขภาพด

จากแผนภาพ 2) ผลสรปท�วา นาย ก เปนนกฟตบอล .................................

ตวอยาง 3 จงใชแผนภาพตรวจสอบวาผลสรปตอไปน � สมเหตสมผลหรอไม

(1) เหต 1) จานวนนบทกจานวนเปนจานวนเตม

2) จานวนเตมบางจานวนเปนจานวนลบ

ผล มจานวนนบบางจานวนเปนจานวนลบ

วธทา ให C แทน เซตของจานวนนบ

I แทน เซตของจานวนเตม

N แทน เซตของจานวนเตมลบ

เขยนแผนภาพไดดงน �

1) เขยนแผนภาพแทนจานวนนบทกจานวนเปนจานวนเตมลบ ไดดงน �

2) จานวนเตมบางจานวนเปนจานวนเตมลบ หมายถง ตองมจานวนอยางนอยหน�งจานวน

ท�เปนจานวนลบ

จากการวาดแผนภาพตามเหตหรอสมมตฐานทกกรณท�เปนไปได จงสรปไดวา มจานวนนบบาง

จานวนเปนจานวนลบ

ผลสรปดงกลาว ....................................................

(2) เหต (1) สตวเล �อยคลานบางชนดไมมขา

(2) ปลาบางชนดมขา

ผล สตวเล �อยคลานบางชนดไมใชปลา

วธทา ให A แทน เซตของสตวท�มขา

B แทน เซตของสตวเล �อยคลาน

C แทน เซตของปลา

จากการวาดแผนภาพตามเหตหรอสมมตฐานทกกรณท�เปนไปได จงสรปไดวาสตวเล �อยคลานบาง

ชนดไมใชปลา

ผลสรปดงกลาว ..................................................

หมายเหต ในกรณท�การใหเหตผลดงกลาวไมสมเหตสมผล เราไมจาเปนตองวาดแผนภาพแสดงใหดทก

กรณ ใหวาดเฉพาะกรณท�ผลสรปไมถกตองเพยงกรณเดยวกเพยงพอ

ตวอยาง 4 จงตรวจสอบการใหเหตผลตอไปน �

เหต 1) นกเรยนท�เรยนเกงทกคนเปนนกเรยนท�ขยน

2) นกเรยนท�ขยนทกคนสอบผาน

3) ไมมนกเรยนท�เกเรคนไหนท�สอบผาน

4) นายแดงเปนนกเรยนเกเร

ผล 1) นายแดงสอบไมผาน

2) นายแดงไมเปนนกเรยนท�ขยน

3) นายแดงไมเปนนกเรยนท�เรยนเกง

วธทา ให A แทน เซตของนกเรยนท�เรยนเกง

B แทน เซตของนกเรยนท�ขยน

C แทน เซตของนกเรยนท�สอบผาน

D แทน เซตของนกเรยนท�เกเร

เหต 1) หมายถง ..........................................................................

เหต 2) หมายถง ..........................................................................

เหต 3) หมายถง ..........................................................................

เหต 4) หมายถง ..........................................................................

ดงน �น จากเหต 1) ถงเหต 4) จะไดแผนภาพ ดงน �

แบบฝกหดท� 2

1. จงตรวจสอบวาผลสรปตอไปน � สมเหตสมผลหรอไม

1.1 เหต 1) กบทกตววายน �าได

2) สตวท�วายน �าได จะบนได

สรป กบทกตวบนได

1.2 เหต 1) จานวนนบทกจานวนเปนจานวนเตม

2) จานวนเตมทกจานวน เปนจานวนจรง

สรป จานวนนบทกจานวนเปนจานวนจรง

1.3 เหต 1) นกเรยนท�ต �งใจเรยนทกคนจะสอบได

2) นกเรยนท�ขยนทกคนจะสอบได

สรป มนกเรยนท�ขยนบางคนต�งใจเรยน

1.4 เหต 1) ไมมจานวนเฉพาะใดหารดวย 2 ลงตว

2) 5 หารดวย 2 ไมลงตว

สรป 5 เปนจานวนเฉพาะ

1.5 เหต 1) นกเรยนท�ขยนทกคนเปนคนด

2) นกเรยนท�เรยนเกงบางคนเปนคนขยน

3) แดงเปนนกเรยนท�เรยนเกง

สรป แดงเปนคนด

1.6 เหต 1) คนท�ไมสบบหร�ทกคนมสขภาพด

2) นกเรยนชายบางคนสขภาพด

3) วนยเปนนกเรยนชาย

สรป วนยไมสบบหร�

1.7 เหต 1) ทกวนท�ฝนตก อากาศจะเยน

2) ทกวนท�อากาศเยน ฉนจะรสกไมสบาย

3) วนน �ฉนสบายด

สรป วนน �ฝนไมตก

1.8 เหต 1) ถาฝนตกหนกแลวน �าจะทวม

2) ถาน �าทวมแลว การจราจรจะตดหนก

3) วนน �การจราจรคลองตวไมตดหนก

สรป 1) วนน �น �าไมทวม

2) วนน �ฝนไมตกหนก

1.9 เหต 1) สนขบางตวเปนสตวเล �ยงลกดวยนม

2) สตวเล �ยงลกดวยนมทกชนดจะออกลกเปนตว

3) เดนเปนสนขของฉน ซ�งเปนสนขตวเมย

สรป 1) สนขบางตวออกลกเปนตว

2) เดนเปนสตวเล �ยงลกดวยนม

3) เดนเปนสตวท�ออกลกเปนตว

1.10 เหต 1) คนท�กตญ�ตอพอแมจะเปนคนท�เจรญ

2) มคนท�เจรญบางคนร�ารวย

3) นาย ก. เปนคนกตญ�

4) นาย ข. เปนคนท�เจรญและร�ารวย

สรป 1) นาย ก. เปนคนท�เจรญและร�ารวย

2) นาย ข. เปนคนกตญ�

1.11 เหต 1) จานวนคทกจานวนเปนจานวนเฉพาะ

2) จานวนเฉพาะทกจานวนเปนจานวนค�

3) จานวนค�บางจานวนเปนจานวนเตม

สรป 1) มจานวนเฉพาะบางจานวนเปนจานวนเตม

2) จานวนคทกจานวนเปนจานวนเตม

1.12 เหต 1) มจานวนเตมบางจานวนไมเปนจานวนเฉพาะ

2) มจานวนเฉพาะบางจานวนไมเปนจานวนเตม

4) 2 เปนจานวนเฉพาะ

สรป 1) 5 เปนจานวนเฉพาะ

1.13 เหต 1) ถา a เปนจานวนนบแลว a เปนจานวนเตม

2) ถา a เปนจานวนเตมแลว a เปนจานวนตรรกยะ

3) ถา a เปนจานวนตรรกยะแลว a เปนจานวนจรง

4) b ไมเปนจานวนตรรกยะ

สรป 1) b ไมเปนจานวนนบ

2) b เปนจานวนจรง

3) b ไมเปนจานวนเตม

2. จงหาตวอยางของผลท�สมเหตสมผลจากเหตท�กาหนดให

2.1 เหต 1) มปลาบางชนดท�วายน �าไมได

2) ปลาทกชนดเปนสตวกนได