1 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความสมพนธ ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 รายวชาคณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค 31102จดท าขนจ านวน 5 เลม เลมนเปน ชดท1 คอนดบและผลคณคารทเชยน ประกอบดวย 1. ค าชแจง 2. ค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบนกเรยน 3. แผนผงแสดงขนตอนการเรยนร 4. สาระ/ มาตรฐานการเรยนร/ตวชวด 5. จดประสงคการเรยนร 6. เวลาทใชในการท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร 7. สาระส าคญ 8. แบบทดสอบกอนเรยน เรอง คอนดบและผลคณคารทเชยน 9. ใบความร 9.1 ใบความรท 1.1 คอนดบ (OrderedPairs) 9.2 ใบความรท 1.2 คอนดบทเทากน 9.3 ใบความรท 1.3 ผลคณคารทเซยน (Cartesian Product) 9.4 ใบความรท 1.4จ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยน 10. แบบฝกทกษะ 10.1 แบบฝกทกษะท 1.1 คอนดบ (OrderedPairs) 10.2 แบบฝกทกษะท 1.2 คอนดบทเทากน 10.3 แบบฝกทกษะท 1.3 ผลคณคารทเซยน (Cartesian Product) 10.4 แบบฝกทกษะท 1.4 จ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยน 11. แบบสรปเนอหา เรอง คอนดบและผลคณคารทเชยน 12.แบบทดสอบหลงเรยน เรอง คอนดบและผลคณคารทเชยน 13. แบบบนทกคะแนน 14. บรรณานกรม แบบฝกทกษะ ชดท1 คอนดบและผลคณคารทเชยนใชเวลาในการเรยนร4 ชวโมง นกเรยนสามารถท าแบบฝกทกษะไดตามล าดบขนตอนทก าหนดไว ซงจะท าใหนกเรยนไดรบประโยชนตอตนเองและสามารถน าไปประยกตใชในชวตประจ าวนได

ค าชแแง

2 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

1. ท าแบบทดสอบกอนเรยน มลกษณะเปนแบบปรนยเลอกตอบจ านวน 10 ขอ ลงในกระดาษค าตอบทครแจกใหเสรจแลวเปลยนกบเพอนตรวจค าตอบจากเฉลยทายเลม บนทกผลลงในตารางบรรทกคะแนน

2. ท าเอกสารแนะแนวทาง (ถาม) ศกษาใบความรและตวอยางกอนทจะท าแบบฝกแตละรหส (หากไมเขาใจสามารถปรกษาเพอนในกลมหรอถามคร)

3. ท าแบบฝก ตรวจค าตอบจากเฉลยทายเลม บนทกผลการท าแบบฝกลงในตารางบนทกคะแนน

4. เมอท าแบบฝกครบทกรหสเสรจเรยบรอยแลว ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเรยนซงมลกษณะเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ จ านวน 10 ขอ ลงในกระดาษค าตอบทครแจกให

5. ใหนกเรยนเปลยนกนตรวจแบบทดสออบหลงเรยนจากเฉลยทายเลม บนทกผลลงในตารางบนทก คะแนน เพอททราบผลการพฒนาภายหลงการฝก

6. ซอสตยตอตนเอง ไมดเฉลยกอทท าแบบฝกและแบบทดสอบ

ค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะ

แผนผ แสด ขแนตอนการเรยนร

โดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร หนวยการเรยนร เรอ ความสมพนธ

เลมท 1 คอนดบและผลคณคารทเชยน

3 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร

เลมท 2 เร องความสมพนธ ตอไป

ท าแบบทดสอบหลงเรยน เร อง คอนดบและผลคณคารท

เชยน

ปฏบตกจกรรมตามแบบฝกทกษะคณตศาสตร

ดงน

- ศกษาเนอหา

- ท าแบบฝกทกษะ

- ตรวจแบบฝกทกษะ

ท าแบบทดสอบกอนเรยน เร อง คอนดบและผลคณคารท

เชยน

นกเรยนอานค าชแจงการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร

สาระ/มาตรฐานการเรยนร/ตวชแวด

4 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

สาระท 4 พชคณต

มาตรฐานการเรยนร ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชน ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตร (mathematical model) อน ๆ แทนสถานการณตาง ๆ ตลอดจนแปล ความหมาย และน าไปใชแกปญหา

ตวชแวด

ม.4-6/3 มความคดรวบยอดเกยวกบความสมพนธและฟงกชน เขยนแสดงความสมพนธ และ ฟงกชนในรปตาง ๆ เชน ตาราง กราฟ และสมการ

ม.4-6/4 สรางความสมพนธหรอฟงกชนจากสถานการณ หรอปญหาและน าไปใชในการ แกปญหา

ม.4-6/5 ใชกราฟของสมการ อสมการ ฟงกชน ในการแกปญหา

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทา คณตศาสตร มาตรฐานการเรยนร

ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย ทาง คณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและ เชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆและมความคดรเรมสรางสรรค

ตวชแวด ม.4-6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม ม.4-6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และ การน าเสนอ ไดอยางถกตอง และชดเจน

5 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ดานความร 1.นกเรยนสามารถบอกความหมายและเขยนคอนดบได 2.นกเรยนสามารถบอกการเทากนของคอนดบได 3.นกเรยนสามารถเขยนผลคณของคารทเซยนของเซตสองเซตได 4.นกเรยนสามารถหาจ านวนของสมาชกของผลคณคารทเซยนระหวางเซตจ ากดสองเซตได

ดานทกษะกระบวนการ

1. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปความหมายของคอนดบและเขยนผลคณของ คารทเซยนของเซตได

2. ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และ การ

น าเสนอความหมายของคอนดบและเขยนผลคณของคารทเซยนของเซตไดถกตองและ

ชดเจน

ดานคณลกษณะอนพ ประส ค

1. มระเบยบวนย 2. มความซอสตย 3. มความรบผดชอบ 4. มความรอบคอบในการท างาน

งดประส คการท าแบบฝกคณตศาสตรพแนฐาน

เวลาในการท าแบบฝกทกษะ

6 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ชดท1 เรอง คอนดบและผลคณคารทเซยน จ านวน 4 ชวโมง

• คอนดบ คอนดบประกอบดวยสมาชก 2 ตว เขยนแทนคอนดบในรป (a,b) โดยท a เปนสมาชกตวหนาและ b เปนสมาชกตวหลง อนดบของสมาชกถอวาส าคญ กลาวคอการสลบทกนระหวางสมาชกทงสองอาจท าใหความหมายของคอนดบเปลยนไปได สมบตของคอนดบ

1. (a,b) = (b,a) กตอเมอ a = b 2. ถา (a,b) = (c,d) แลวจะได a = c และ b = d 3. ถา (a,b) ≠ (c,d) แลวจะได a ≠ c หรอ b ≠ d

• ผลคณคารทเซยน ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอเซตของคอนดบ (a,b) ทงหมดซง a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B และเขยนแทนดวย A× B นนคอ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B } สมบตของผลคณคารทเซยน ก าหนด A, B และ C เปนเซตใดๆ แลว 1. A× B ไมจ าเปนตองเทากบ B × A

A× B = B × A กตอเมอ A = B หรอ A = Ø หรอ B = Ø A× B ≠ B × A กตอเมอ A ≠ B ≠ Ø

2. A × Ø = Ø × A = Ø 3. A × ( B ∪ C ) = (A× B) ∪(A × C) (A ∪ B) × C = (A× C) ∪(B × C) 4. A × ( B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A × C) (A ∩ B) × C = (A× B) ∩ (B × C) 5. A × ( B - C ) = (A× B) - (A × C) (A - B) × C ) = (A× C) - (B × C) 6. ถา A ⊂ B แลว A × C ⊂ B × C 7. ถา A และ B เปนเซตจ ากดแลว n( A × B ) = n(A) × n(B) 8. ถา A เปนเซตอนนต และ B เปนเซตจ ากด ซง B ≠ Ø แลว A × B เปนเซตอนนต

สาระส าคญ

7 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

แบบทดสอบกอนเรยน ชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

วชาคณตศาสตรพนฐาน รหส ค41102 ชนมธยมศกษาปท 4 จ านวนขอสอบ 10 ขอ คะแนนเตม 10 คะแนน เวลา 15 นาท

**************************************** ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสด แลวท าเครองหมาย × ลงในกระดาษค าตอบ

1. ก าหนดตารางตอไปน จ านวนไขไก (ฟอง)

1 2 3 4 5 6

ราคา (บาท) 3 6 9 12 15 18 ขอใดเปนการเขยนคอนดบทงหมดแสดงการจบคระหวางจ านวนไขไกกบราคาไขไก

1) (3,1),(6,2), (3,9) , (4,12) , (5,15) , (6,18) 2) (1,3) , (2,6) , (9,3) , (12,4) , (5,15) , (6,18) 3) (3,1) , (6,2) , (9,3) , (12,4) , (15,5) , (18,6) 4) (1,3) , (2,6) , (3,9) , (4,12) , (5,15) , (6,18)

2. ก าหนด (2x + 1,3) = (7,y-2) จงหาค าตอบของ x และ y

1) X = 3, y = 1 2) X = 3, y = 5 3) X = 1, y = 3 4) X = 1, y = 5

3. ขอใดไมถกตอง

1) ถา (3x – y,5) = (5, x + 3y) แลว (x,y)≠(2,1) 2) ถา (x+1,y) = (3,4) แลว (x, y) = (2,4) 3) ถา (x + y,5) = (5, x + 3y) แลว (x, y)≠(2,1) 4) ถา (x,2y)=4,4 แลว (x,y)=(4,2)

8 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

4. ขอความตอไปน ขอใดถกตอง 1) ถา (x,y)=(2,x+1) แลว (x,y)=(2,3) 2) ถา (3x-y,5=(5,x+3y) แลว (x,y)≠(2,1) 3) ถา (a,b)≠(c,d) แลว a≠dและ b≠c 4) ถา (x,y+4)=(4,x+2) แลว (x,y)=(2,4)

5. ขอความตอไปน ขอใดผด 1) ถา (x,5)=(4,y) แลว (x-3,y-4)=(1,1) 2) ถา (a,b)=(c,d) แลว a=c และ b=d 3) ถา (x+y,1)=(5,x-y) แลว (x,y)=(2,3) 4) ถา (a+b,2)=(4,a-b) แลว (ab,1)=(3,1)

6. ก าหนด A = {1,2,3} , B = {2,4} จงหา A × B

1) {(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(3,4)} 2) {(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4)} 3) {(1,2),(1,4),(2,2),(4,4),(3,2),(3,4)} 4) {(2,1),(2,2),(4,1),(4,2),(3,2),(3,4)}

7. ก าหนด A = {1,2,6} , B = {2,4,6} , และ C = {7,9},(A∩B)×Cตรงกบขอใด 1) {(1,7),(1,9),(2,7),(2,9),(4,7),(4,9),(6,7),(6,9)} 2) {(1,7),(1,9),(4,7),(4,9)} 3) {(1,7),(1,9),(2,7),(2,9),(6,7),(6,9)} 4) {(2,7),(2,9),(6,7),(6,9)}

8. ก าหนด A = {1,2,6,8} , B = {2,4,6} จงหาจ านวนสมาชกของ A × B เทากบขอใด

1) 3 2) 4 3) 7 4) 12

9 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

9. ให A = {3,4},B = {4,5} และC = {5,6}คาของ (A×B) – (A×C) คอขอใด 1) {(3,4),(4,4)}

2) {(3,4),(4,4),(3,6)}

3) {(3,4),(4,5),(3,6),(3,6),(4,6)}

4) Ø 10. ถา A มสมาชก 5 ตว B มสมาชก 6 ตวและ A กบ B มสมาชกรวมกน 3 ตว ดงนนจ านวน

สมาชกใน (A∪B) × A มกตว 1) 60 2) 55 3) 44 4) 40

10 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน

เรอ คอนดบและผลคณคารทเชยน

ชอ - นามสกล .............................................................................ชแน...................เลขท............ ค าชแแง ใหเลอกค าตอบทถกตอ เพย ค าตอบเดยวแลวท าเครอ หมาย x ล ในกระดาษค าตอบ

ขอท ก ข ค ง

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

คะแนนเตม คะแนนทได

10

คณตศาสตร

ไมไดยาก

อยางทคด

11 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ในรายวชาคณตศาสตร ความสมพนธ หมายถง เซตทมสมาชกเปนคอนดบ ดงนนในเบองตน นกเรยนตองท าความเขาใจเกยวกบความหมายของคอนดบเสยกอน

คอนดบ คอสญลกษณทแสดงการจบคกนระหวางสง 2 สง เชน ระยะทางกบเวลา ถาเราจะแสดงการจบคระยะทาง (กโลเมตร) กบเวลา (ชวโมง) เราจะเขยนระยะทางกบเวลา ลงในวงเลบเลกและคนดวยเครองหมายจลภาค เชน (200,4) หมายถง ระยะทาง 200 กโลเมตร ตองใชเวลา 4 ชวโมง เปนตน

คอนดบ ประกอบดวยสมาชก 2 ตว คอ สมาชกตวหนาและสมาชกตวหลง หรอสมาชกตวทหนงและสมาชกตวทสอง การเปนสมาชกตวทหนงหรอสมาชกตวทสอง จะแสดงล าดบซงส าคญมาก เชน (200,4) ถอวาสมาชกตวหนาเปนระยะทาง สมาชกตวหลงเปนเวลา ถาสลบทกน สงทไดมาจะผดความหมายจากทก าหนดใหเดม

ตวอยา

(3,9) อานวา คอนดบสามเกา

3 เปนสมาชกตวหนาหรอสมาชกตวทหนงของคอนดบ (3,9)

9 เปนสมาชกตวหลงหรอสมาชกตวทสองของคอนดบ (3,9)

(a,b) อานวา คอนดบ เอบ

A เปนสมาชกตวหนาหรอสมาชกตวทหนงของคอนดบ (a,b) B เปนสมาชกตวหลงหรอสมาชกตวทสองของคอนดบ (a,b)

ใบความรท 1.1

1.1คอนดบ (OrderedPairs)

12 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ตวอยาง 1 ตารางแสดงน าหนกและสวนสงของนกเรยน 9 คน เปนดงน

น าหนก 45 36 35 48 50 39 44 66 80 สวนสง 150 140 135 150 162 150 160 150 155 จากตาราง

1. การเขยนคอนดบการจบคระหวางน าหนกกบสวนสงของนกเรยน ไดดงน (45,150),(36,140),(35,135),(48,150),(50,162),(39,150)(44,160),(66,150),(80,155)

2. การเขยนคอนดบแสดงการจบคระหวางสวนสงกบน าหนกของนกเรยน ไดดงน (150,45),(140,36),(135,35),(150,48),(50,162),(150,39),(160,44),(150,66),(155,80) นกเรยนจะเหนไดวา คอนดบในขอ 1 และขอ 2 เขยนไดไมเหมอนกน

ตวอยางท 2 สมศรมเสอ 3 ตว กางเกง 3 ตว สมศรจะเลอกแตงตวแบบตาง ๆ ไดกแบบ

วธแกปญหา

จากแผนภาพ ให ส1,ส2,ส3 แทนเสอตวท 1 ตวท 2 ตวท 3 ตามล าดบ และ ก1, ก2,ก3 แทนกางเกงตวท 1 ตวท 2 และตวท 3 ตามล าดบ เขยนแสดงการจบคระหวางเสอและกางเกง โดยใชคอนดบไดดงน

ส 1 ส 2 ส 3

ก 1 ก 2 ก 3

13 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

(ส1,ก1),(ส1,ก2),(ส1,ก3), (ส2,ก1),(ส2,ก2),(ส2,ก3), (ส3,ก1),(ส3,ก2),(ส3,ก3)

ดงนนสมศรจะเลอกแตงตวได 9 แบบ

ตวอยางท 3 จงเขยนแผนภาพในการจบคของสมาชกในเซตสองเซต ทไดอนดบดงน

(1,x),(2,y),(3,z),(4,a)

วธแกปญหา จากคอนดบทก าหนด (1,x),(2,y),(3,z),(4,a) เซตแรกมสมาชก คอ 1,2,3,4 เซตทสองมสมาชก คอ x,y,z,a เขยนแผนภาพแสดงการจบค

หมายเหต สมาชกของเซตทงสองอาจมมากกวาน แตไมมการจบคกนจงไมจ าเปนตองเขยน

1 2 3 4

X Y Z a

14 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

นกเรยนสามารถบอกความหมายและเขยนคอนดบได

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอใหถกตองสมบรณ

ขอท ค าถาม ค าตอบ 1 คอนดบ สาม แปด เขยนแทนดวยสญลกษณใด 2 คอนดบ เจด เกา เขยนแทนดวยสญลกษณใด 3 (10,6) อานวาอยางไร ,สมาชกตวหนาคอจ านวนใด 4 (12,5) อานวาอยางไร ,สมาชกตวหลงคอจ านวนใด 5 (-2,3) อานวาอยางไร ,สมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงคอ

จ านวนใด

6 ให A={1,2} และ B={m,n,5} จงเขยนคอนดบ (a,b)ทงหมด

เมอ a∈A และ b∈B

7 ให A={1,2} และ B={m,n,5} จงเขยนคอนดบ (a,b)ทงหมด

เมอ a∈B และ b∈A

8 จงเขยนคอนดบทงหมดจากแผนภาพ

9 จงเขยนแผนภาพแสดงการจบคของสมาชกในเซตสอองเซต ทไดคอนดบตอไปน (3,8),(4,8),(5,10),(x,12),(y,x)

10 จงเขยนแผนภาพแสดงการจบคของสมาชกในเซตสอองเซต ทไดคอนดบตอไปน (8,3),(8,4),(10,5),( 12 ,x),(y,x)

2

3

4

X

Y

z

แบบฝกทกษะท 1.1

งดประส คการเรยนร

15 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

บทนยาม คอนดบ (a,b)=(c,d) กตอเมอ a=c และ b=d เมอ a,b,c,dเปนจ านวนจรงใด ๆ ขอสงเกต (a,b) ≠ (c,d) กตอเมอ a ≠ c หรอ b ≠ d ตวอยาง 4 คอนดบทเทากนและคอนดบทไมเทากน

1) (2,3) = (√4,√9) 2) (2,3) ≠ (2,4) (เพราะสมาชกตวหลง 3 ≠ 4) 3) (4,5) ≠ (5,4) (เพราะสมาชกตวหลง 4 ≠ 5, สมาชกตวหลง 5≠4) 4) ถา (x,y)=(7,9) จะได x=7,y=9

ตวอยาง 5 จงหาคา x และ y ทท าให (x+2,y+10)=(6,12) วธแกปญหา จากความหมายของการเทากนของคอนดบ จะไดวา X+2=6 และ y+10=12

∴ x=4 และ y=2 ตอบ ตวอยาง 6 ของหาคาของ x และ y ทท าให (2x+y,24)=(6,3x-y) วธแกปญหา จากความหมายของการเทากนของคอนดบ จะไดวา 2x+y=6……………………………………………(1) 3x-y=24……………………………………………(2) (1)+(2) ; 5x=30 X=6 แทนคา x=6 ใน(1); จะได 2(6)+y=6 จะได y=-6

∴x=6 และ y=-6 ตอบ

ใบความรท 1.2

1.2 คอนดบทเทากน

16 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

นกเรยนสามารถบอกไดวาคอนดบทก าหนดใหเทากนหรอไม

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอใหถกตองสมบรณ (ขอละ 1 คะแนน )

ขอ โจทย ค าตอบ

1 คอนดบ (2,3) และ (√4,3) เทากนหรอไม

2 คอนดบ (2,32) และ (√4,-(3)2) เทากนหรอไม

3 (x,y)=(6,9) จงหาคาของตวแปร x,y X=___________________________ Y=___________________________

4 (x-2,4)=(8,y+2) จงหาคาของตวแปร x,y X=___________________________ Y=___________________________

5 (-3,y)=(-4,6) จงหาคาของตวแปร x,y X=___________________________ Y=___________________________

6 (x+y,y-x)=(6,4) จงหาคาของตวแปร x,y X=___________________________ Y=___________________________

7 (2x,y)=(16,2) จงหาคาของตวแปร x,y X=___________________________ Y=___________________________

8 ถา (3x-1,2y=(2x+1,y-1) จงหาคาของตวแปร x,y X=___________________________ Y=___________________________

9 ถา (x+y,5)=(5,x-y) จงหาคาของตวแปร x,y X=___________________________ Y=___________________________

10 ถา (2x+y,3)=(7,3x-y) แลว x+ yเทากบเทาใด

แบบฝกทกษะท 1.2

แบบฝกหด รหสท 1.1

งดประส คการเรยนร

17 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

ขอท เซต A เซต B เซตของคอนดบ โดยทสมาชกตวหนาเปนสมาชกของเซต A สมาชกตวหลงเปนสมาชกของเซต B

1 {1,2} {3,4,5} {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} 2 {1,2} {a} {(1,a),(2,a)} 3 {3,4} {a,b,c} 4 {5,6} {2,4} 5 {a,b} {3,4,5,6} 6 {5,7,9} {4,6,8} 7 {2,4} {a,b,c} 8 {x,y} {1,2,3} 9 {11,12} {11,12} 10 {m,n} {x,y,z}

เอกสารแนะแนวทา ท 1.3

ตงใจท านะจะเดกๆ

คอยๆคดไมไดยากเลย

ถาเราเขาใจ

18 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

นยาม ผลคณคารทเซยนของเซต A และ เซต B คอ ผลของคอนดบ (a,b) ทงหมดโดยท a เปนสมาชกของเซต A และ bเปนสมาชกของ B เขยนแทนดวยสญลกษณ A×B จากนยาม สามารถเขยนแสดงเซตของผลคณคารทเซยนไดดงน A × B = {(a,b)|a € A,b € B} และ B × A = {(a,b)|a € B,b € A} และ A ×A = {(a,b)|a € A,b € A} และ B × B = {(a,b)|a € B,b € B} ตวอยาง 7 ก าหนดให A = {1,2,3} และ B = {m,n} เขยนคอนดบโดยใหสมาชกตวหนาของคอนดบเปนสมาชกของเซต A และสมาชกตวหลงของคอนดบเปนสมาชกของเซต B จะไดคอนดบทงหมดดงน (1,m),(1,n),(2,m),(2,n),(3,m),(3,n) เซตของคอนดบทงหมดคอ {(1,m),(1,n),(2,m),(2,n),(3,m),(3,n)} เรยกเซตนวา ผลคณคารทเซยนของ A และ B เขยนแทนดวย A×B อานวา “เอคณบ” นนคอ A×B = {(1,m),(1,n),(2,m),(2,n),(3,m),(3,n)} ตวอยาง 8 ก าหนดให A={2,3,4} และ B={a,b} จงหา A×B , B×A , A×A , B×B วธคด A×B = {(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)} B×A = {(a,2),(a,3),(a,4),(b,2)(b,3),(b,4)} A×A = {(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)} B×B = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} ขอสงเกต : A×B≠B×A

ใบความรท 1.3

แบบฝก รหสท 1.2

แบบฝกหด รหสท 1.1

1.3 ผลคณคารทเซยน(Cartesian Product)

19 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ตวอยาง 9 ก าหนดให A={3,5} ; B=∅จงหา A×B และB×A วธคด เนองจาก B=∅หมายถง B ไมมสมาชก ดงนน

1) A×B=A×∅={3,5}×∅=∅ 2) B×A=∅×A=∅×{3,5}=∅

ตวอยาง 10 ก าหนดให A={2,3,5}, B={4,5,6} และ C={1,4,6} จงหา

1. A×(B∩C) 2. (A∪B)×C วธคด 1. B∩C = {4,6} A×(B∩C) = {2,3,5,}×{4,6} = {(2,4),(2,6),(3,4),(3,6),(5,4),(5,6)} 2. A∪B = {2,3,4,5,6}

(A∪B)×C = {2,3,4,5,6}×{1,4,6} ={(2,1),(2,4),(2,6),(3,1),(3,4),(3,6),(4,1),(4,4),(4,6),(5,1)(5,4),(5,6),(6,1),(6,4),(6,6)}

20 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

นกเรยนสามารถเขยนผลคณคารทเซยนของเซตสองเซตได

1. ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง(ขอละ1คะแนน) ขอท เซต A เซต B ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B 1.1 {1,2} {3,4,5} 1.2 {a} {1,2} 1.3 {3,4} {a,b,c} 1.4 {2,4} {5,6} 1.5 {a,b} {3,4,5,6} 1.6 {1,2,3} {5,7,9} 1.7 {a,b,c} {2,4,} 1.8 {x,y} {1,2,3} 1.9 {1,2} {1,2} 1.10 {m,n} {x,y}

แบบฝกทกษะท 1.3

แบบฝก รหสท 1.2

แบบฝกหด รหสท 1.1

งดประส คการเรยนร

ไมยากเลยใชไหม!!

21 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง 1.ก าหนด A = {6} , B = {7,9} แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ A×B แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ B×A

7 (6,7) 6 9 (6,9) มสมาชกจ านวน 2 คอนดบ

7 (7,6) 6 9 (9,6) มสมาชกจ านวน 2 คอนดบ

2.ก าหนด A = {6,7}, B = {8,9} แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ A×B แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ B×A

มสมาชกจ านวน คอนดบ

มสมาชกจ านวน คอนดบ

3.ก าหนด A = {a,b}, B = {1,3,5} แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ A×B แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ B×A

มสมาชกจ านวน คอนดบ

มสมาชกจ านวน คอนดบ

4.ก าหนด A = {x,y,z}, B = {6,7,8} แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ A×B แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ B×A

มสมาชกจ านวน คอนดบ

มสมาชกจ านวน คอนดบ

เอกสารแนะแนวทา ท 1.4

22 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ก าหนดให

A และ B เปนเซตจ ากด เซต A มสมาชก m ตว และเซต B มสมาชก n ตว จ านวนสมาชกของ A × B จะเทากบ m×n ตว

หรอ n(A×B) = m×n เมอ n(A×B) แทนจ านวนสมาชกของ A×B

ตวอยาง 11 พจารณาเซต A และเซต B ตอไปน

1. ก าหนดให A={1,3,5} และ B={2,4} จะได A×B ={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} เซต A มสมาชก 3 ตว เซต B มสมาชก 2ตว A×B มสมาชกจ านวน 6 ตว

2. ก าหนดให A={1,3,5} และ B={2,4} จะได B×A ={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)} เซต B มสมาชก 2 ตว เซต A มสมาชก 3ตว B×Aมสมาชกจ านวน 6 ตว

3. เซต A มสมาชก 4 ตว เซต B มสมาชก 6 ตว เซต C มสมาชก 5 ตว A×B มสมาชก 4×6 =24 ตว B×A มสมาชก 6×4 =24 ตว A×C มสมาชก 4×5 =20 ตว C×B มสมาชก 5×6 =30 ตว

ใบความรท 1.4

แบบฝก รหสท 1.3

แบบฝก รหสท 1.2

แบบฝกหด รหสท 1.1

1.4 ง านวนสมาชกขอ ผลคณคารทเซยน

23 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

1. นกเรยนสามารถเขยนผลคณคารทเซยนของเซตสองเซตได 2. นกเรยนสามารถหาจ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยนได

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง (ขอละ 1 คะแนน) 1.ก าหนด A = {6,8} และ B = {4,5,6} ใหนกเรยนเขยนผลคณคารทเซยนและบอกจ านวนสมาชกของ 1.1 A×B=………………………………………………………………………………………………………………………

จ านวนสมาชก =.................................................................................................................... 1.2 B×A=………………………………………………………………………………………………………………………

จ านวนสมาชก =.................................................................................................................... 1.3 A×A………………………………………………………………………………………………………………………..

จ านวนสมาชก =................................................................................................................... 1.4 B×B………………………………………………………………………………………………………………………..

จ านวนสมาชก =.................................................................................................................... 2.ถา A = {2,4,6} ,B = {6,8,10,12},และ C = {4,5,6,8,10,12} แลวจงหา 2.1 จ านวนสมาชกของ A×B =…………………………………………………………………………………………… 2.2 จ านวนสมาชกของ B×B =…………………………………………………………………………………………… 2.3 จ านวนสมาชกของ A×C =………………………………………………………………………………………….. 2.4 จ านวนสมาชกของ B×C =…………………………………………………………………………………………… 3. ก าหนดให A มสมาชก 5 ตว ,Bมสมาชก a ตว และ C มสมาชก b ตว แลวจงหา 3.1 จ านวนสมาชกของ A×B =…………………………………………………………………………………………. 3.2 จ านวนสมาชกของ B×C =………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะท 1.4

แบบฝก รหสท 1.2

แบบฝกหด รหสท 1.1

งดประส คการเรยนร

24 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ค าชแจง ใหนกเรยนสรปเนอหาตามใบความรและแบบฝกหดรหสท 1.1-1.4 ตามหวขอตอไปน 1. คอนดบ คอ...........................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................... 2. (6,8) อานวา..........................................................................................................................

มสมาชกตวหนา คอ........................................................................................................................... มสมาชกตวหลง คอ............................................................................................................................

3. เมอ a,b,c,dเปนจ านวนจรงใด ๆ (a,b)=(c,d) กตอเมอ..............................................................................................................

4. ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B หมายถง........................................................................ ...........................................................................................................................................................

5. การหาจ านวนสมาชกของ A×B ท าไดโดย............................................................................. ...........................................................................................................................................................

แบบสรปเนแอหาชดท1 เรอ คอนดบและผลคณคารทเชยน

คอยๆคดแลวลงมอ

ท า

25 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

แบบทดสอบหลงเรยน ชดท 1 เรอง คอนดบและผลคณคารทเซยน

วชาคณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค41102 ชนมธยมศกษาปท 4 จ านวนขอสอบ 10 ขอ คะแนนเตม 10 คะแนน เวลา 20 นาท

************************************ ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสด แลวท าเครองหมาย × ลงในกระดาษค าตอบ 1.ก าหนดตารางตอไปน

จ านวนไขไก (ฟอง) 1 2 3 4 5 6 ราคา (บาท) 3 6 9 12 15 18

ขอใดเปนการเขยนคอนดบทงหมดแสดงการจบคระหวางจ านวนไขไกกบราคาไขไก 1) (3,1),(6,2),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18) 2) (1,3),(2,6),(9,3),(12,4),(5,15),(6,18) 3) (3,1),(6,2),(9,3),(12,4),(15,5),(18,6) 4) (1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18)

2.ก าหนด (2x + 1 ,3)=(7,y-2) จงหาคาของ x และ y 1) x=3,y=1 2) x=3,y=5 3) x=1,y=3 4) x=1,y=5

จ ากนไดไหมนะ??

26 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

3.ขอความตอไปน ขอใดผด 1) ถา (x,5) =(4,y) แลว (x-3,y-4)=(1,1) 2) ถา (a,b) =(c,d) แลว a=c และb=d 3) ถา (x+y,1) =(5,x-y) แลว (x,y)=(2,3) 4) ถา a+b,2) =(4,a-b) แลว (ab,1)=(3,1)

4. ขอใดไมถกตอง

1) ถา (2x,10)=(6,2y) แลว (x,y)≠(3,5)

2) ถา (x+1,y)=(3,4) แลว (x,y)=(2,4)

3) ถา (x+y,2)≠(6,x-2) แลว (x,y)≠(4,2)

4) ถา (x,2y)=(4,4) แลว (x,y)=(4,2)

5. ขอความตอไปน ขอใดถกตอง

1) ถา (x,y)=(2,x+1) แลว (x,y)=(2,3)

2) ถา (3x-y,5)=(5,x+3y) แลว (x,y)≠(2,1)

3) ถา (a,b)≠(c,d) แลว a≠dและ b≠c

4) ถา (x,y+4)=(4,x+2) แลว (x,y)=(2,4)

6. ก าหนด A = {1,2,3} และ B = {2,4} จงหา A×B

1) {(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(3,4)}

2) {(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4)}

3) {(1,2),(1,4),(2,2),(4,4),(3,2),(3,4)}

4) {(2,1),(2,2),(4,1),(4,2),(3,2),(3,4)}

7. ก าหนด A={1,2,6},B={2,4,6} และ C={7,9}, (A∩B)×C ตรงกบขอใด

1) {(2,7),(2,9),(6,7),(6,9)}

2) {(1,7),(1,9),(4,7),(4,9)}

3) {(1,9),(1,9),(2,7),(2,9),(6,7),(6,9)}

4) {(2,1),(2,2),(4,1),(4,2),(3,2),(3,4)}

27 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

8. ก าหนด A= {1,2,6,8}, B = {2,4,6} จ านวนสมาชกของ A × B เทากบขอใด

1) 12

2) 7

3) 4

4) 3

9.ถา A มสมาชก 5 ตว B มสมาชก 6 ตว และA กบ B มสมาชกรวมกน 3 ตว ดงนน จ านวน

สมาชกใน (A∪B)×A มกตว

1) 40

2) 44

3) 55

4) 60

10. ก าหนดให A ={0,1} , B={2,3} และ c ={2,3,4} จงหาวา A× (B-C) ตรงกบขอใด

1) Ø

2) {0,2}

3) {(0,2),(1,3)}

4) {(0,2),(0,3),(1,3)}

ขอสอบไมยากหากเราตงใจ

ฝกฝน

28 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

กระดาษค าตอบแบบทดสอบหล เรยน

เรอ คอนดบและผลคณคารทเชยน

ชอ - นามสกล .............................................................................ชแน...................เลขท............ ค าชแแง ใหเลอกค าตอบทถกตอ เพย ค าตอบเดยว แลวท าเครอ หมาย x ล ในกระดาษค าตอบ

ขอท ก ข ค ง

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

คะแนนเตม คะแนนทได

10

29 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

แบบบนทกคะแนน ชอ - นามสกล .............................................................................ชแน...........................เลขท............

รายการประเมน คะแนนเตม คะแนนทได

แบบทดสอบกอนเรยน 10

รายการ ประเมนผล

คะแนนเตม คะแนนทได

แบบฝกทกษะท 1.1 10

แบบฝกทกษะท 1.2 10

แบบฝกทกษะท 1.3 10

แบบฝกทกษะท 1.4 10

รวม 40

คดเปนรอยละ

ลงชอ............................................ผบนทก

(...........................................................)

30 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ภาคผนวก

31 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1 1. (3,8) 2. (7,8) 3. คอนดบสบ หก, สมาชกตวหนา คอ 10 4. คอนดบสบสอง หา, สมาชกตวหลง คอ 5 5. คอนดบลบสอง สาม, สมาชกตวหนา คอ –2, สมาชกตวหลง คอ 3 6. (1,m),(1,n),(1,5),(2,m),(2,n),(2,5) 7. (m,1),(m,2),(n,1),(n,2),(5,1),(5,2) 8. (2,x),(3,y),(4,z) 9. 10.

1. 4) 6. 2) 2. 2) 7. 4) 3. 1) 8. 4) 4. 1) 9. 1) 5. 3) 10. 4)

3

4

5

y

8

1012

X

8

10

12

x

3

4

5

y

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2 1. เทากน 6. X=5,y=1 2. ไมเทากน 7. X=8,y=2 3. X=6,y=9 8. X=2,y=-1 4. X=10,y=2 9. X=5,y=0 5. X=1,y=6 10. 2

32 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง ขอท เซตของคอนดบ โดยทสมาชกตวหนาเปนสมาชกของเซต A สมาชกตวหลงเปนสมาชกของ

เซต B 3 {(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)} 4 {(5,2),(5,4),(6,2),(6,4)} 5 {(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(b,4),(b,5),(b,6)} 6 {(5,4),(5,6),(5,8),(7,4),(7,6),(7,8),(9,4),(9,6),(9,8)} 7 {(2,a),(2,b),(2,c),(,4,a),(4,b),(4,c)} 8 {(x,1),(x,2),(x,3),(y,1),(y,2),(y,3)} 9 {(11,11),(11,12),(12,11),(12,12)} 10 {(m,x),(m,y),(m,z),(n,x),(n,y),(n,z)}

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.3

1.หา A×B จากเซต A และเซต B ทก าหนดใหไดดงน

1.1 {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}

1.2{(a,,1),(a,2)}

1.3{(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)]

1.4 {(2,5),(2,6),(4,5),(4,6)}

1.5 {(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(b,3),(b,4),(b,5),(b,6)}

1.6 {(1,5),(1,7),(1,9),(2,5),(2,7),(2,9),(3,5),(3,7),(3,9)}

1.7 {(a,2),(a,4),(b,2),(b,4),(c,2),(c,4)

1.8 {(x,1),(x,2),(x,3),(y,1),(y,2),(y,3)}

1.9 {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

1.10 {(m,x),(m,y),(n,x),(n,y)}

เฉลยเอกสารแนะแนวทา ท 1.3

33 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

เขยนแผนภาพและเตมค าตอบลงในชองวางไดดงน

ขอ แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ A×B แผนภาพตนไมแสดงการหาสมาชกของ B×A 2 6 8 (6,8),(6,9)

7 9 (7,8),(7,9) มสมาชกจ านวน.....4........ คอนดบ

8 6 (8,6),(8,7) 9 7 (9,6),(9,7) มสมาชกจ านวน.....4........ คอนดบ

3 a 1 (a,1),(a,3),(a5) 3 b 5 (b,5),(b,3),(b,1) มสมาชกจ านวน.....6........ คอนดบ

1 a (1,a),(1,b) 3 (3,a),(3,b) 5 b (5,a),(5,b) มสมาชกจ านวน.....6........ คอนดบ

4 X 6 (x,6),(x,7),(x,8) Y 7 (y,6),(y,7),(y,8) Z 8 (z,6),(z,7),(z,8) มสมาชกจ านวน.....9........ คอนดบ

6 x (6,x),(7,x),(8,x) 7 y (6,y),( 7, y),(8,y) 8 z (6,z),( 7,z),( 8,z) มสมาชกจ านวน.....9........ คอนดบ

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.4

1. 1.1 A×B= {(6,4),(6,5),(6,6),(8,4),(8,5),(8,6)} จ านวนสมาชก = 6 1.2 B×A = {(4,6),(4,8),(5,6),(5,8),(6,6),(6,8)} จ านวนสมาชก = 6 1.3 A×A={(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)} จ านวนสมาชก = 4 1.4 B×B={(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)} จ านวนสมาชก = 9

2. 2.1 จ านวนสมาชกของ A×B= 12 2.2 จ านวนสมาชกของ B×B= 16 2.3 จ านวนสมาชกของ A×C=18 2.4 จ านวนสมาชกของ B×C=24

3. 3.1 จ านวนสมาชกของ A×B= 5a 3.2 จ านวนสมาชกของ B×C= a

เฉลยเอกสารแนะแนวทา ท 1.4

34 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

1. คอนดบ คอ การจบคระหวางสมาชกของเซตสองเซต เขยนอยในวงเลบเลก แลวใชเครองหมายจลภาค (,) คนระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลง

2. (6,8) อานวา คอนดบหก แปด มสมาชกตวหนาคอ หก มสมาชกตวหลง คอ แปด

3. เมอ a,b,c,dเปนจ านวนจรงใด ๆ (a,b)=(c,d) กตอเมอ a=c และ b=d

4. ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B หมายถง เซตของคอนดบทงหมดทแสดงการจบคระหวางสมาชกของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A×B

5. การหาจ านวนสมาชกของ A×B ท าไดโดย น าจ านวนสมาชกของเซต A คณจ านวนสมาชกของเซต B

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

1. 4) 2. 2) 3. 3) 4. 1) 5. 1) 6. 2) 7. 1) 8. 1) 9. 1) 10. 1)

เฉลย แนวการสรปเนแอหาชดท 1

เฉลยเอกสารแนะแนวทา รหสท 1.3

35 แบบฝกชดท 1 เรองคอนดบและผลคณคารทเซยน

บรรณานกรม

กรมวชาการ กระทรวงศกษาธการ. หลกสตรการศกษาขแนพแนฐาน พทธศกราช 2544. (2544).กรงเทพมหานคร: โรงพมพครสภา ลาดพราว.

กรมวชาการ. หน สอสาระและมาตรฐานการเรยนร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ในหลกสตรสาระการศกษาขแนพแนฐาน พทธศกราช 2544 . (2544).กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา ลาดพราว.

เจรญ ภภทรพงศ และคณะ.คมอคณตคดลดและเทคนคท าโงทยเรว คณตศาสตรพแนฐานเขม ม.4 เลม 2.ม.ป.ป..

ดร.นพพร แหยมแสง. ชดกงกรรมการเรยนรโดยเนนผเรยนเปนส าคญ คณตศาสตรชแนมธยมศกษาปท 5.กรงเทพ ฯ: ส านกพมพบรษทพฒนาวชาการ (พว) จ ากด. ม.ป.ป..

ดร.ส าราญ มแจงและคณะ.คณตศาสตรพแนฐาน ม.4 เลม 2 สมบรณแบบ.(2549).พมพครงท 1.กรงเทพฯ : ส านกพมพวฒนาพานชจ ากด.

ยพน พพธกล และสรพร ทพยคง.ชดกงกรรมการเรยนรทเนนผเรยนเปนส าคญคณตศาสตร.(2546).กรงเทพฯ : พฒนาคณภาพวชาการ.

รศ.กมล เอกไทยเจรญ.คณตศาสตร ม.4 เลม 1 ค 011.กรงเทพฯ: บรษทไฮเอดพบลชชงจ ากด,ม.ป.ป.

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย.สถาบน.หน สอเรยนคณตศาสตร สาระการเรยนรพแนฐาน เลม 2 ชแนมธยมศกษาชแนปท 4,(2548).พมพครงท 4.กรงเทพฯ:โรงพมพครสภา ลาดพราว.

สนนทา สนทรประเสรฐ.การผลตเอกสารประกอบการเรยนการสอน.(2543).นครสวรรค: โรงพมพรมปง._______________.การสรา แบบฝกประกอบการเรยนการสอน.(2543).นครสวรรค: โรงพมพรมปง.

อาภรณ ใจเทยง. หลกสตรการสอน. (2546).กรงเทพฯ: โอเดยนสโตร. http://www.ipst.ac.th