สรปเน �อหา

รายวชา คณตศาสตร

เร�อง ระบบจานวนจรง

ระดบช �นมธยมศกษาปท� 4

รหสเอกสาร : M-1401

โดย

นายสทธา คมวงศวาน

สนบสนนโดย

คณะกรรมการนกเรยนโรงเรยนสวนกหลาบวทยาลยประจาปการศกษา 2559

โครงการ Learning Center

ในนโยบายของ คณะกรรมการนกเรยน โรงเรยนสวนกหลาบวทยาลยประจาปการศกษา 2559

ระบบจำนวนจรง ความสมพนธของจำนวนชนดตางๆ

จำนวนเชงซอน (complex number)

จำนวนจนตภาพ(imaginary number). จำนวนจรง (real number)

จำนวนตรรกยะ( rational number). จำนวนอตรรกยะ(irrational number)

เศษสวนทไมใชจำนวนเตม. ทศนยมไมรจบไมซำ เศษสวนจำนวนคละ. จำนวนตดรากถอดไมลงตว เศษสวนแท. เศษเกน

จำนวนเตม. ทศนยมซำ. จำนวนตดรากถอดลงตว

เตมลบ. ซำรจบ เตมบวก เตมศนย. ซำไมรจบ

สมบตการเทากน 1. สมบตการสะทอน (Reflexive Property)

ถา a เปนจำนวนจรงใดๆแลว a= a 2. สมบตการสมมาตร(Symmetric Property)

a,b R ถา a=b แลว b=a 3. สมบตการถายทอด(Transitive Property)

a,b,c R ถา a=b และ b=c แลว a=c 4. สมบตของการบวกดวยจำนวนทเทากน

a,b,c R ถา a=b แลว a+c=b+c 5. สมบตการคณดวยจำนวนทเทากน a,b,c R ถา a=b แลว ac=bc

สมบตการบวก 1. สมบตปดของการบวก(Closure Property)

ถา a R และ b R แลว a+b R 2.สมบตสลบทของการบวก(Commutative Pr.)

a+b=b+a 3. สมบตการเปลยนกลมของการบวก

(Associative Property for addition) a+(b+c)=(a+b)+c

4. เอกลกษณของการบวก(Identity) มจน.จรง 0 ซง 0+a=a=a+0 5. อนเวอรสการบวก(inverse) สำหรบaใดๆ ม-a ซง -a+a=0=a+(-a)

สมบตการคณ 6.สมบตปดของการคณ (Closure Property for multiplication)

ถา a R และ b R แลว ab R 7. สมบตการสลบทของการคณ(Commutative property for multiplication)

ab=ba 8. สมบตการเปลยนกลมของการคณ (Associative property for multiplication)

a(bc)=(ab)c 9. เอกลกษณของการคณ (Identity of multiplication)

มจำนวนจรง1 ซง 1a=a=a1 10.อนเวอรสการคณ(Inverse of multiplication)

สำหรบ a ซง aไมเทากบ0 จะมจำนวนจรง a โดยท aa = 1 = aa 11.สมบตการแจกแจง(Distributive Property) a,b,c R a(b+c)= ab+ac 12. 0 R และถา a R โดยท a = 0 แลว a=R หรอ a=R อยางใดอยางหนงเทานน 13.ถา a,b R แลว a+b R 14. ถา a,b R แลว ab R 15. สจพจนของการมคาขอบเขตบนนอยสด

สบเซตใดๆทไมใชเซตวางของ R ถามขอบเขตบนแลวสบเซตนนจะมคาขอบเขตบนนอยสดในR

เราสามารถนำสมบตเหลานไปใชในการอางเหตผลในการพสจนได •ทฤษฎบทของจำนวนจรง ทบ.1 : กฏการตดออกสำหรบการบวก(Cancelation Law for Addition)

เมอ a,b,c เปนจำนวนจรงใดๆ 1. ถา a+c =b+c แลว a=b 2. ถา a+b =a+c แลว b=c

ทบ.2 : กฏการตดออกสำหรบการคณ (Cancelation Law for multiplication) เมอ a,b,c เปนจำนวนจรงใดๆ 1. ถา ac=bc และ c=0 แลว a=b 2.ถา ab=ac และ a=0 แลว b=c

ทบ.3 : เมอ aเปนจำนวนจรงใดๆ 1. a 0 = 0 2. 0 a =0

ทบ.4 : ถา a เปนจำนวนจรงใดๆ (-1)a=-a

ทบ.5: เมอ aและb เปนจำนวนจรงใดๆ

ถา ab=0 แลว a=0 หรอ b=0 ทบ.6 : สำหรบจำนวนจรง a แตละตว -(-a) = a ทบ.7 : สำหรบจำนวนจรงaทกตวซงไมเทากบ0 จะไดวา (a ) =a ทบ.8 : เมอ a และ b เปนจำนวนจรงใดๆ

1. a(-b) = -ab 2. (-a)b = -ab 3. (-a)(-b) = ab

การลบและการหารจำนวนจรง บทนยามการลบ: เมอ a และb เปนจำนวนจรงใดๆ a-b = a+(-b)

กคอ a-b คอผลบวกของ a กบอนเวอรสการบวกของb บทนยามการหาร: เมอ a และ b เปนจำนวนจรงใดๆ และ b =0 =a(b )

กคอ คอผลคณของ a กบอนเวอรสการคณของb ทบ.9 : ถาa,b,c เปนจำนวนจรงใดๆ

1. a(b-c) = ab-ac 2.(a-b)c = ac-bc 3. (-a) (b-c) = -ab+ac

ทบ.10 : ถา a = 0 จะได a = 0 ทบ.11 :

1. เมอ b,c = 0 2. เมอ b,c = 0 3. เมอ b,d = 0 4. เมอ b, d = 0 5. เมอ b,c = 0 6. เมอ b,c = 0

7. เมอ b,c,d =0

การแยกตวประกอบพหนาม 1. การแจกแจง(ดงตวประกอบรวมออก

ab+ac-ad = a(b+c-d) 2. ผลตางกำลงสอง

a - b = (a-b)(a+b)

3.พหนามทม3พจน แยกเปน2วงเลบ

ax +bx+c= (mx+p)(nx+q) 4. กำลงสองสมบรณ

a +2ab+b = (a+b) a -2ab+b = (a-b)

5. ผลบวกหรอผลตางกำลงสาม a - b = (a-b)(a +ab+b ) a + b = (a+b)(a -ab+b )

6. กำลงสามสมบรณ a + 3a b+3ab +b = (a+b) a - 3a b+3ab -b = (a-b)

7. โดยการเพมพจนทายหรอพจนกลาง ทฤษฎบทเศษเหลอ: เศษจากการหารพหนามp(x) ดวย x-c คอ p(c) การหารสงเคราะห

ทฤษฎบทตวประกอบจำนวนตรรกยะ

สมบตการไมเทากน บทนยาม: สำหรบจำนวนจรง a และ b ทกตว a<b กตอเมอ b-a เปนจำนวนจรงบวก บทนยาม: สมาชกของR เรยกวาจำนวนบวก และถา -a R เราเรยก aวาเปนจำนวนลบ สมบตไตรวภาค(Trichotomy property)

ถา a และ b เปนจำนวนจรง แลว a= b , a<b , a>b จะเปนจรงเพยงอยางใดอยางหนง ทบ.1 : สมบตการถายทอด

สำหรบจำนวนจรง a,b,c ใดๆ ถา a<b และ b<c แลว a<c ทบ.2 : สมบตการบวกดวยจำนวนทเทากน

ถา a<b จะไดวา a+c < b+c ทบ.3: จน.บวกและจน.ลบเปรยบเทยบกบ0

a เปนจำนวนบวกกตอเมอ a>o a เปนจำนวนลบกตอเมอ a<0

ทบ.4 : สมบตการคณดวยจำนวนทเทากนทไมเปนศนย กรณท 1 ถา a>b และ c>0 แลว ac>bc กรณท 2 ถา a>b และ c<0 แลว ac<bc

ทบ.5 : สมบตการตดออกสำหรบการบวก ถาa+c>b+c แลว a>b

ทบ.6 : สมบตการตดออกสำหรบการคณ กรณท1 ถาac>bcและ c>0 แลว a>b กรณท2 ถา ac>bc และ c<0 แลว a<b

ทบ.7 สำหรบจำนวนจรง a,b,c,dทกตว ถา a<b และ c<d แลว

1) a+c<b+d 2) a-d<b-c

ทบ.8 : สำหรบจำนวนจรง a,b,c,d ทกตว กรณท1 ถา 0<a<b และ 0<c<d แลว ac<bd กรณท2 ถา a<b<0 และ c<d<0 แลว ac>bd

ทบ.9 : สำหรบจำนวนจรง a,b ใดๆ กรณท1 ถา 0<a<b จะไดวา. 1/b < 1/a กรณท2 ถา a<b<0 จะไดวา 1/b < 1/a

ทบ.10 1)ถา a,b,c,d เปนจำนวนจรงบวกและ a<b, c<d แลว 2)ถา a,b,c,d เปนจำนวนจรงลบ และ a<b , c<d แลว

ทบ.11 ถา rและ s เปนจำนวนจรงและ r<s จะมจำนวนจรงตรรกยะ c ซง r<c<s

อสมการ( Inequality ) ให p(x) แทนพหนามทมตวแปรx ประโยคตอไปนเปนอสมการ P(x)<0. P(x)>0. P(x)<0. P(x)>0. P(x) = 0

คาของxทสอดคลองกบอสมการจะรวมไวในเซต เรยก เซตคำตอบ มกอยในรปชวง •เซตคำตอบเปนสบเซตของจำนวนจรงหาไดโดยใชสมบตการไมเทากนของจำนวนจรง •ถา y เขาใกล0ทางดานบวก •ถา y เขาใกล 0 ทางดานลบ •(x+a) +b>0 เมอ b>0 xเปนอะไรกได •(x+a) +b<0 เมอ b>0 xไมเปนจำนวนจรง •พจารณากำลงคทเหมอนกนทกำลง1 •ไมพจารณาคำตอบจากกำลงค แตถาอสมการนนไมเทากบ ผลลพธไมเทากบ ผลของกำลงคนน •ผลลพธของกำลงทเปนสวน ตองไมใชคำตอบของอสมการ •พจารณาชวงโดยการเอาคาวกฤตของแตละตวประกอบมาเรยงจดบนเสนจำนวน •

มากกวาแทนดวย+ นอยกวาแทนดวย-

คาสมบรณ(Absolute Value) บทนยาม กำหนดให a เปนจำนวนจรงใดๆ คาสมบรณของa เขยนแทนดวยสญลกษณ |a| |a| = a เมอ a>0. |a| =0 เมอ a= 0. |a|=-a เมอ a<0 ทฤษฏบทเกยวกบคาสมบรณ 1. ถา a R แลว |a| > 0 2. ถา a R แลว |a| > a และ|a| > -a 3. ถา a R แลว |a| = |-a| 4.ถา a R และ b R แลว |a-b| = |b-a| 5.ถา a R และ b R แลว |ab| = |a| |b| 6. ถา a R และ b R และ b = 0 แลว 7. ถา a R และ b R แลว |a+b| < |a| + |b| 8. ถา a R และ b R แลว |a-b| > |a|-|b| 9. ถา a R และ b R แลว |a-b| > |b|-|a| 10. ถา a R และ b R แลว |a-b| > ||a|-|b|| 11. ถา a R แลว |a| = a 12. ถา a R แลว a = |a|

การแกสมการในรปคาสมบรณ 1. กำหนดให a> 0 และ X R จะไดวา |X| =a กตอเมอ x= a หรอ x=-a 2. กำหนดให a R และ b R จะไดวา |a| = |b| กตอเมอ a=b หรอ a= -b 3. กำหนดให a R และ b R จะไดวา |a| = |b| กตอเมอ (a+b)(a-b)=0 4.กำหนดให a R และ b R จะไดวา |a|=b กตอเมอ b>0 5. กำหนดใหa R และ b R จะไดวา |a| =b กตอเมอ b>0 และ (a+b)(a-b)=0 การแกอสมการในรปคาสมบรณ 1) |p(x)| < a จะได -a<p(x)<a 2) |p(x)| > a จะได p(x)< -b หรอ P(x) > b บทท2 การหารลงตว บทนยาม: ใหm และ n เปนจำนวนเตม เมอ n =0 nหารm ลงตว กตอเมอ มจำนวนเตม c ซง m =nc เรยก n วา ตวหาร(divisor) เรยก m วาพหคณ(multiple) ของn ใชสญลกษณ n|m แทน n หาร m ลงตว และ n|m แทน nหารmไมลงตว ทฤษฏบทการหารลงตว ทบ.1 ถาa,b,c เปนจำนวนเตม ซงa|b และb|c จะไดวา a|c ทบ.2 ถา a,b เปนจำนวนเตม ซงa>0 และ b|a จะไดวา b< a ทบ.3 ถา mและ a เปนจำนวนเตม ซงm|a จะไดวา m|ak สำหรบจำนวนเตมk ทบ.4 ถา a,b,cเปนจำนวนเตม ซงa|b และ a|c จะไดวา a|(bx+cy) โดยท x และ y เปนจำนวนเตมใดๆ เรยกรป bx+cy วาผลรวมเชงเสน(linear combination) ของb และc ดงนน จะได a|(b+c) และa|(bx-c) เมอ x เปนจำนวนเตมใดๆ จำนวนเฉพาะ(Prime Number) บทนยาม: จำนวนเตมp=0 จะเปนจำนวนเฉพาะกตอเมอ p=1 ,p=-1 และถาจำนวนเตมxหารpลงตวจะได x {1,-1,p,-p}

การหาหรม. ของจำนวนเตมa,b

1. พจารณาจากตวหารรวม 2. แยกตวประกอบ 3. ตงหารสน 4.

สมการไดโอแฟนไทน

ใชหาผลรวมเชงเสนเพมเตม