13/02/55

1

1

บทท บทท 5 5 บทท บทท 5 5

การประมาณคาในชวงและการประมาณพหนาม

Numerical Method

ลกษณะของปญหาลกษณะของปญหา

มขอมลจากการวด ซงแทนความสมพนธของตวแปรตนและตวแปรตาม

ป ใ

2

ตองการทราบคาตวแปรตาม ณ จดอนๆ ในชวงของการวด

ตองการทราบพฤตกรรมของฟงกชนทแทนขอมล

ทฤษฎบท การประมาณของ Weierstrass ถา มนยาม และความตอเนองบน , และให ε 0 แลวจะมพหนาม

ทนยามบน ทมคณสมบตวา| | สาหรบทก ทนยามบน , ทมคณสมบตวา| | สาหรบทก ,

13/02/55

2

Theory of Theory of WeierstrassWeierstrass3

y

 

O x 3 20 1

Overview

ให และให   เปนพหนามเทยเลอร พจนแรก สาหรบการประมาณ

4

รอบจด 0 0 

0 1  

1 1   

2 12

2  

3 12

2

3

6  

4 12

2

3

6

4

24  

5 12

2

3

6

4

24

5

120  

13/02/55

3

Overview5

1 2 3 4 5 -2.0 0.13533528 -1.00000000 1.00000000 -0.33333333 0.33333333 0.06666667 -1.5 0.22313016 -0.50000000 0.62500000 0.06250000 0.27343750 0.21015625 -1.0 0.36787944 0.00000000 0.50000000 0.33333333 0.37500000 0.36666667 -0.5 0.60653066 0.50000000 0.62500000 0.60416667 0.60677083 0.60651042 0.0 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 0 5 1 64872127 1 50000000 1 62500000 1 64583333 1 64843750 1 648697920.5 1.64872127 1.50000000 1.62500000 1.64583333 1.64843750 1.64869792 1.0 2.71828183 2.00000000 2.50000000 2.66666667 2.70833333 2.71666667 1.5 4.48168907 2.50000000 3.62500000 4.18750000 4.39843750 4.46171875 2.0 7.38905610 3.00000000 5.00000000 6.33333333 7.00000000 7.26666667

คาประมาณจะดขน เมอใชพหนามดกรสง

Overview

อนกรมเทยเลอรทกระจายรอบจด 0 1 ของ 1 เขยนไดในรปพหนามดกร

6

0

เปน ∑ 1!

10 ∑ 1 10

ในการประมาณคา 3 โดยพหนาม

ไดคาของ 3 เปนไปตามตาราง 0 1 2 3 4 5 6 7 3 1 -1 3 -5 11 -21 43 -85

13/02/55

4

Lagrange PolynomialLagrange Polynomial7

y

 

O  

Lagrange PolynomialLagrange Polynomial

ถาทราบจด 2 จด 0, 0 และ 1, 1 จะสามารถรางพหนามดกรหนง

8

0 0 1 1 (สมการเสนตรง) ได ซงอาจเขยนในรปพหนามเปน

1

0 10

0

1 01

เมอ   0 เราได 1 00 1

0 10

0 0

1 01 1 · 0  

0 · 1 0 ไ 1 1 1 0เมอ 1 เราได 1 1

1 1

0 10

1 0

1 01 0 · 0  

1 · 1 1 ซงได 1 ทมคณสมบตตามตองการ

13/02/55

5

Lagrange PolynomialLagrange Polynomial

สาหรบพหนามเชงเสนทผานจด 0 , 0 และ 1, 1 นยามให

9

1,01

0 1 และ 1,1

0

1 0

ทงคเปนฟงกชนเชงเสน ซง

เมอ 0 , 1,0 0 1, 1,1 0 0 ทาให   1 0 0

เมอ 1 , 1,0 1 0, 1,1 1 1 ทาให 1 1 1

กรณทวไป จะสราง , สาหรบทก 0,1,2,… , โดยมคณสมบตวา

,0,1,

Lagrange PolynomialLagrange Polynomial

นยาม , โดย

10

,0 1 … 1 1 …

0 1 … 1 1 …

มกจะเขยน แทน , เมอทราบ ชดเจน

นยามพหนามอนดบ ของลากรองจ ในการประมาณคาในชวงโดย

0 0 หรอ ∑ 0

13/02/55

6

Example (Lagrange Polynomial)Example (Lagrange Polynomial)

สาหรบปญหาการประมาณคา 1 สมมตให 0 2, 1 2.5 และ 2 4 จะไดขอมล

11

ญ 0 1 2 ดงตาราง

2 2.5 4 0.5 0.4 0.25

จากขอมลขางตน ถาใชพหนามลากรองจประมาณคา 3 จะทาไดโดยหา 0, 1, 2 โดย

01 2 2.5 4

2 2 5 2 42 6.5 10 0

0 1 0 2 2 2.5 2 4

10 2

1 0 1 2

2 42.5 2 2.5 4

4 2 24 323

20 1

2 0 2 1

2 2.54 2 4 2.5

2 4.5 53

Example (Lagrange Polynomial)Example (Lagrange Polynomial)

ได 2 ∑20

12

0.5 2 6.5 10 0.4 4 2 24 323

0.252 4.5 5

3

0.05 2 0.425 1.15

ในขณะทคาจรง 3 13

0.333· คาประมาณทไดจาก 2 3 0.325

13/02/55

7

Lagrange PolynomialLagrange Polynomial

อนกรมเทยเลอรมพจนเศษเหลอในรป 1

01

เมอ อยระหวาง กบ

13

อนกรมเทยเลอรมพจนเศษเหลอในรป 1 !

เมอ อยระหวาง กบ 0

แตพหนามลากรองจอนดบ ใชขอมลจากจดทตางกน 0, 1, … ,

สตรคาผดพลาดของพหนามลากรองจ 1

1 ! 0 1 …

เมอ อยระหวาง กบ 0, 1, … ,

Divided DifferenceDivided Difference

นยามผลตางสบเนอง

14

ผลตางสบเนองทศนย ของฟงกชน เทยบกบ คอ ผลตางสบเนองทเหลอ จะถกนยามโดยความสมพนธเวยนบงเกด (recursive) ผลตางสบเนองทหนงของ เทยบกบ และ 1 คอ

1 , 11

ผลตางสบเนองท เทยบกบ , 1, … , คอ

, 1, …1, … , , … , 1

13/02/55

8

Divided DifferenceDivided Difference

พหนามผลตางสบเนองของนวตน(ขางหนา) นยามโดย

15

0 0, 1 00, 1, 2 0 10, 1, … , 0 1 … 1

พหนามผลตางสบเนองของนวตน(ยอนหลง) นยามโดย

1,2, 1, 1

0, 1, … , 1 … 1

Divided DifferenceDivided Difference

First divided difference Second divided difference

16

First divided difference Second divided difference

0 0

0, 11 0

1 0

1 1 0, 1, 21, 2 0, 1

2 0

1, 22 1

2 1

2 1

2 2 1, 2, 32, 3 1, 2

3 1

2, 33 2

3 2

3 3

13/02/55

9

Example (Newton Divided Difference)Example (Newton Divided Difference)

กาหนดคาของฟงกชน ณ หลายจด 

17

1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623  

จงใชการประมาณคาในชวงโดยผลตางสบเนองของนวตนประมาณคา 1.5  

Example (Newton Divided Difference)Example (Newton Divided Difference)

xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff

18

1.0 0.7651977-0.4837057

1.3 0.6200860 -0.1087339-0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 -0.0494433 0.00182510 5786120 0 0680685-0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183-0.5715210

2.2 0.1103623

13/02/55

10

Example (Newton Divided Difference)Example (Newton Divided Difference)

สมประสทธของผลตางสบเนอง(ขางหนา)ของ Newton ทใหพหนามในการประมาณคา

19

สมประสทธของผลตางสบเนอง(ขางหนา)ของ Newton ทใหพหนามในการประมาณคาในชวง จะอยในแนวทแยงมมบนของตาราง พหนามนคอ

4 0.7651977 0.483705 1 0.1087339 1 1.30.0658784 1 1.3 1.6

0.0018251 1 1.3 1.6 1.9

ซงให 4 1.5 0.511820

สมประสทธของผลตางสบเนอง(ยอนหลง)ของ Newton ทใหพหนามในการประมาณคาในชวง จะอยในแนวทแยงมมลางของตาราง

คาประมาณท x=1.8 มคาเทาไร

Forward Divided DifferenceForward Divided Difference

ให 0, 1, … , หางเทาๆกน 1 สาหรบทก 0,1,2,… , และ

20

0 จะได  

สตรผลตางสบเนอง(ขางหนา)จะกลายเปน

0  0 0, 1 1 2

0, 1, 21 2 … 1 0, 1, … ,

1 2 … 1 0, 1, … ,0

หรอ 0 ∑ ! 0 , 1, … ,0

13/02/55

11

Forward Divided DifferenceForward Divided Difference

นยามสญกรณของผลตางสบเนองขางหนาของลาดบ 0∞ ใดๆ โดย

21

∆ 1 สาหรบทก 0

และผลตางสบเนองขางหนาอนดบสงๆ มนยามเปน

∆ ∆ ∆ 1 สาหรบทก 2

จะไดวา 1

0, 11 0

1 0

1∆ 0

0, 1, 212

∆ 1 ∆ 0 12 2 ∆

20

และไดพจนทวไป   0, 1, … ,1!

∆ 0

Forward Divided DifferenceForward Divided Difference22

จาก 0 ∑ ! 0, 1,… ,0

เมอแทน 0, 1, … ,1!∆ 0

ไดสตรผลตางสบเนองขางหนาของ Newton เขยนไดอกแบบหนงคอ

∆ 00

13/02/55

12

Backward Divided DifferenceBackward Divided Difference

สาหรบสตรผลตางสบเนอง(ยอนหลง)

23

1,2, 1, 1

0, 1, … , 1 … 1

หากใชระยะหางเทากน โดย , ทาใหได ทาใหได

1, 1 22, 1,

1 2 … 1 0, 1, … ,

Backward Divided DifferenceBackward Divided Difference

ซงได  0 ∑ ! , … , , 1,0

24

0 10

ให 0∞ เปนลาดบใดๆ นยามสญกรณผลตางสบเนองยอนหลงโดย

1 สาหรบทก 1

ผลตางสบเนองยอนหลงอนดบสงๆ มนยามเปน

1 สาหรบทก 2

สงนชวา

1,1 , 2, 1,

12 2

2

และไดพจนทวไปเปน , … , 1,1!

k

13/02/55

13

Backward Divided DifferenceBackward Divided Difference

จาก 0 ∑ ! 10

25

จาก 0 ∑ ! , … , , 1,0

และ , … , 1,1!

k

เมอ – 1 … 1!

1 1 … 1!

จะได “สตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton” เปน

∑ 1 ∑ 10

Example (Newton Divided Difference)Example (Newton Divided Difference)

กาหนดคาของฟงกชน ณ หลายจด 

26

1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623  

จงใชการประมาณคาในชวงโดยผลตางสบเนองของนวตนประมาณคา 1.1  และ 2.0  

ในการประมาณคา 1.1 ใหเลอกใชขอมลทใกล 1.1 มากทสด นนคอ 0 1.0 ซงได

0.3, 13 หรอ 4 1.1 4 1.0 1

30.3  

ในการประมาณคา 2.0 ใหเลอกใชขอมลทใกล 2.0 มากทสด นนคอ 4 2.2 ซงได

0.3, 23 หรอ 4 2.0 4 2.2 2

30.3  

13/02/55

14

Example (Newton Divided Difference)Example (Newton Divided Difference)

xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff

27

1.0 0.7651977-0.4837057

1.3 0.6200860 -0.1087339-0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 -0.0494433 0.00182510 5786120 0 0680685-0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183-0.5715210

2.2 0.1103623

Example (Newton Divided Difference)Example (Newton Divided Difference)

ทาใหได

28

ทาใหได

4 1.1 4 1.013 0.3

0.765197713 0.3 0.483705

13

23 0.3 2 0.10873393 3

13

23

53 0.3 3 0.0658784

13

23

53

83 0.3 4 0.0018251 0.7196480 

13/02/55

15

Example (Newton Divided Difference)Example (Newton Divided Difference)

xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff

29

1.0 0.7651977-0.4837057

1.3 0.6200860 -0.1087339-0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 -0.0494433 0.00182510 5786120 0 0680685-0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183-0.5715210

2.2 0.1103623

Example (Newton Divided Difference)Example (Newton Divided Difference)

ทาใหได 

30

4 2.0 4 2.223 0.3

0.110362323 0.3 0.5715210

2313 0.3 2 0.0118183

2313

43 0.3 3 0.0680685

2 1 4 72313

43

73 0.3 4 0.0018251 0.2238754

13/02/55

16

HermiteHermite InterpolationInterpolation

ใ ป ป ใ

31

การทพหนามมดกรสงขนจะทาใหคาประมาณดขน การประมาณคาในชวง

ของ Hermite นอกจากจะใชคาฟงกชน ณ จดทกาหนดแลว ยงใชคา

อนพนธอนดบหนง ณ จดทกาหนดนนดวย สาหรบขอมลจานวน n+1 ตว พหนาม Hermite จะมดกร 2n+1

HermiteHermite InterpolationInterpolation

พหนาม Hermite

32

ถา 1 , และ 0, 1, … , , เปนจดตางๆกน แลวพหนามหนงเดยวทมดกรตาสด และมคาเหมอน กบอนพนธเหมอน ณ 0 , 1, … , คอพหนามดกรนอยกวาหรอเทากบ  2 1 ซงมรปเปน

2 1 ∑ ,0 ∑ ,0

เมอ 1 2 2 เมอ , 1 2 , ,

, ,2

ในทน , คอ พหนามสมประสทธท ของ Langrange ทมดกร

13/02/55

17

HermiteHermite InterpolationInterpolation

สตรคาผดพลาดของพหนาม Hermite

33

ถา 2 2 , แลว

2 12 2

2 2 ! 02 … 2

เมอ   ,

ความสมพนธระหวางผลตางสบเนองกนอนพนธ

ถา , และ 0 ,… , , แลว ม , ทวา

0, 1, … , !

HermiteHermite InterpolationInterpolation

การสรางพหนาม Hermite จะเรมจากการ นยามลาดบ 02 1 โดย

0 1

34

2 2 1 0,1,… ,

จากนนสรางตารางผลตางสบเนองของ 0, 1, … , 2 1 เพราะวา 2 2 1 สาหรบทกคา

ดงนน 2 , 2 12 1 2

2 1 2 จงหาไมได

แตจากความสมพนธ 0, 1, … , ! จะไดวา 0, 1

!สาหรบบาง 0, 1

ดวยเหตน lim 1 0 0, 1 0

ทานองเดยวกน 2 , 2 1

13/02/55

18

HermiteHermite InterpolationInterpolation

รปแบบผลตางสบเนองของพหนาม Hermite

35

ถา 1 , และ 0, 1, … , , เปนจดตางๆกน แลว

2 1 0 0, 1, … , 0 1 … 1

2 1

1

เมอ 2 2 1 และ 2 , 2 1 สาหรบทก 0 1 0,1,… ,

HermiteHermite InterpolationInterpolation

First divided difference Second divided difference

36

0 0 0 0 0, 1 0

1 0 1 0 0, 1, 2

1, 2 0, 1

2 0

1, 2

2 1

2 1

2 1 2 1 1, 2, 3

2, 3 1, 2

3 1

2, 3 1

3 1 3 1 3, 4 2, 33 32, 3, 4

4 2

3, 4

4 3

4 3

4 2 4 2 3, 4, 5

4, 5 3, 4

5 3

4, 5 2

5 2 5 2

13/02/55

19

Example (Example (HermiteHermite Interpolation)Interpolation)

จากขอมลในตาราง พรอมดวยคาอนพนธ จงสรางตารางผลตางสบเนองเพอใชพหนาม Hermite

37

ประมาณคาของ 1.5

1.3 0.6200860 -0.5220232 1.6 0.4554022 -0.5698959 1.9 0.2818186 -0.5811571

Example (Example (HermiteHermite Interpolation)Interpolation)

1st D Diff. 2nd D Diff. 3rd D Diff. 4th D Diff. 5th D Diff.

38

1.3 0.6200860 -0.5220232

1.3 0.6200860 -0.08977427

-0.5489460 0.0663657 1.6 0.4554022 -0.0698330 0.0026663

-0.5698959 0.0679655 -0.0027738

1.6 0.4554022 -0.0290537 0.0010020 -0.5786120 0.0685667

1.9 0.2818186 -0.0084837

-0.5811571 1.9 0.2818186

13/02/55

20

Example (Example (HermiteHermite Interpolation)Interpolation)

จาก 2 1 0 ∑ 0, 1, … , 0 1 … 12 1

1

39

เราจะได

5 1.5 0.6200860 1.5 1.3 0.52202321.5 1.3 2 0.08974271.5 1.3 2 1.5 1.6 0.06636571.5 1.3 2 1.5 1.6 2 0.00266631.5 1.3 2 1.5 1.6 2 1.5 1.9 0.0027738 0.5118277

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

ความแมนยาในการประมาณอาจสงขน เมอใชพหนามทมดกรสง แตเมอ

ดกรทสงขนมากอาจจะมการกวดแกวงของเสนโคงสงขนดวย ซงจะสงผล

40

ดกรทสงขนมากอาจจะมการกวดแกวงของเสนโคงสงขนดวย ซงจะสงผล

ใหคาประมาณมความคลาดเคลอนมากขนกได วธหนงทใชแกปญหาคอ

แบงชวงทงหมดออกเปนชวงยอยๆ แลวสรางพหนามประจาแตละชวง

ยอย เรยกวา “การประมาณโดยพหนามเปนชวงๆ””

ถาใหทกสองคของจดแทนชวงหนงชวง การเชอมจดของขอมลดวย

เสนตรงกคอวธทงายทสด แตกจะทาใหเสนโคงไมเรยบเสนตรงกคอวธทงายทสด แตกจะทาใหเสนโคงไมเรยบ

แนวทางอนคอ การใชพหนาม Hermite แตกตองมขอมลของอนพนธ

อนดบหนงของทกจด

13/02/55

21

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

การประมาณโดยพหนามเปนสวนๆ ทพบบอยทสดคอ การใชพหนามกาลง

สามระหวางคของจด ทเรยกวา Cubic Spline

41

สามระหวางคของจด ทเรยกวา Cubic Spline

พหนามกาลงสาม มคาคงตว 4 คา โดยทวไปแลวอนพนธของ Cubic Spline ไมจาเปนตองเทากบอนพนธของฟงกชนจรง แมทจดนยาม

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

ใหฟงกชน นยามบน , และมเซตของจด 0 1 ตวประมาณกาลง

42

สาม ของ คอฟงกชนทสอดคลองตามเงอนไขตอไปน

1. เปนพหนามกาลงสาม เขยนแทนดวย สาหรบชวงยอย , 1 , 0,1, … , 1

2. (  0,1,… , )

3. 1 1 1 ( 0,1, … , 2 )

4. 1 1 1 ( 0,1,… , 2 )

5. 1 1 1 ( 0,1,… , 2 )

6. เซตของเงอนไขขอบเขตขอใดขอหนงตอไปนเปนจรง

a. 0 0 (ขอบธรรมชาตหรอขอบอสระ)

b. 0 0 และ (ขอบยด)

13/02/55

22

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

  0,1,… ,     0 1 2

43

1 1 1 0,1, … , 2  1 1 1   0,1,… , 2  

1 1 1   0,1,… , 2   

  1

0  1    21

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

นยามพหนามกาลงสามในรป

44

 

2 3 0,1,… , 1

จากเงอนไขขอ 2 ไดวา

จากเงอนไขในขอ 3 ได 1 1 1 1

1 12

13 0,1, … , 2

ให 1 สาหรบ 0,1,… , 1

ถานยาม แลว จะไดวา

สมการท 1 12 3

13/02/55

23

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

2 1 3 12

45

ซง 0,1, … , 1

ถานยาม โดยเงอนไขในขอ 4. 1 1 1 แทนคา 1 ในสมการกอนหนา จะได

1 1 1 2 1 3 12

สมการท 2 2 3 2 สมการท 2 1 2 3 2

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

2 6 1

46

1

เมอแทนคา จะได 2

นนคอ 12

และใชเงอนไขในขอ 5. จะได

สมการท 3 1 3 0,1, … , 1

จากสมการท 3 สามารถหาคา ได

1

3

13/02/55

24

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

แทน คากลบในสมการท 1 และสมการท 2 จะได

47

สมการท 4 113

2 2 1 และ

สมการท 5 1 1 0,1,… , 1

โดยการแกสมการท 4 หา จะได

สมการท 6 1 2 สมการท 6 1 32 1

เปลยนดรรชนใหลดลงหนง จะได

11

11

1

32 1

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

แทนคา และ 1 กลบในสมการท 5 ทปรบดรรชนลงมาหนง จะไดระบบสมการ

48

สมการท 7 1 1 2 1 13

13

11 1,… , 1

ระบบนมตวแปรไมทราบคาคอ 0

สวน 01

และ 0

เปนคาทคงตวททราบคา

เมอทราบคา 0

แลวจะหาคาคงตวทเหลอ 01 ไดจากสมการท 6 และ

01 จาก

3 1 สมการท 3 แลวนามาสราง 0

13/02/55

25

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

จากขอมล

49

1 2 3 4 5

0 1 0 1 0

จงหา Spline กาลงสามในชวง 1,2 , 2,3 , 3,4 และ 4,5 ทสอดคลองกบเงอนไขขอบอสระ

ให 2 3 ( 0,1,2,3)

โดย 0 1 2 3

ซง 0 0 0 1 0 1 20 1 3 สาหรบชวง 1,2

1 1 1 2 1 2 21 2 3 สาหรบชวง 2,3

2 2 2 3 2 3 22 3 3 สาหรบชวง 3,4

3 3 3 4 3 4 23 4 3 สาหรบชวง 4,5

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

จากเงอนไขในขอ 2 สาหรบ 0 1 2 3 4 เราได

50

จากเงอนไขในขอ 2. สาหรบ 0,1,2,3,4 เราได

0 0, 1 1, 2 0, 3 1, 4 0

ให 1 สาหรบ 0,1,2,3 เราได 0 1 2 3 1

จากเงอนไขขอบอสระทโจทยกาหนด เราได, 012 0 0, 1

20

13/02/55

26

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

จากสมการท 7 เมอแทน 1 2 3 ได

51

จากสมการท 7 เมอแทน 1,2,3 ได

0 0 2 0 1 1 1 23

12 1

3

01 0

1 1 2 1 2 2 2 33

23 2

3

12 1

2 2 2 2 3 3 3 43

34 3

3

23 2

เมอแทนคา , จะได

4 1 2 3 0 1 3 1 0 6 1 4 2 3 3 1 0 3 0 1 6 2 4 3 3 0 1 3 1 0 6

ซงไดวา 1157

, 2187

, 3157

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

จากสมการท 6 11 3

2 1 จะได

52

3

01

01 0

032 0 1 1 0 1

30 15

7127

11

12 1

132 1 2 0 1 1

3307

187

37

21

23 2

232 2 3 1 0 1

3367

157

0

31

4 3332 3 4 0 1 1

3307

0 37

33

4 3 3 3 4 3 7 7

13/02/55

27

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

และจากสมการท 3 1

3 จะได

53

3

013 0

1 013

157

0 57

113 1

2 113

187

157

117

213 2

3 213

157

187

117

313 3

4 3130 15

757

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

ตวประมาณ Spline กาลงสามประกอบดาย

54

0 0 127

1 0 57

1 3

1 1 37

2 157

2 2 117

2 3

2 0 0 187

3 2 117

3 3

3 1 37

4 157

4 2 57

4 3

13/02/55

28

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

จงหา Spline กาลงสามขอบยดทใชประมาณฟงกชน 3 2 ณ. จด 1.03

55

จากขอมลในตาราง

1.0 1.02 1.04 1.06

0.765789386 0.795366779 0.822688170 0.847522258

1.5315787 1.1754977

ในทน 3 ให ในทน 3 ให

2 3

โดยท 0 1.0, 1 1.02, 2 1.04, 3 1.06

1 0.02 ( 0,1,2) และ 0 1 2

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

จากเงอนไขในขอ 2. ทวา สาหรบ 0,1,2,3 ให

56

0 0 0.7657894 1 1 0.7953668 2 2 0.8226882 3 3 0.8475223 จากเงอนไขขอบยด ทวา 0 0 และ เราให

1 5315787 0 1.5315787 3 1.1754977

13/02/55

29

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

จากระบบสมการในสมการท 6 เมอ 11 3

2 1 สาหรบ

57

1 3 1

0,1,2 และแทนคา 0, 1, 2, 3 และ 0, 3 ไดระบบสมการ (1)

1.5315787 0 1.47887 0.01333 0 0.006667 1

1 1.36607 0.01333 1 0.006667 2 2 1.241722 0.01333 2 0.006667 3 จากระบบสมการในสมการท 5 1 1 สาหรบ 0,1,2 และแทนคา 0, 3 ไดระบบสมการ (2)

1 1.5315787 0.02 0 0.02 1 2 1 0.02 1 0.02 2 1.1754977 3 2 0.02 2 0.02 3

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

แกระบบสมการ (1) และ (2) โดยการรวมสองสมการ ไดระบบสมการ 3 เปน

58

0 0.5 1 4.2687857

0 0.33333 1 0.33333 2 8.275435 2 3 9.9305985 0 2 2 3 17.80405 แกระบบสมการท (3) ได 0 46.109654, 1 100.75688

2 12.745401, 3 2.814803

13/02/55

30

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

แทนคากลบในระบบสมการ (2) รวมกบเงอนไขขอบยด เราได

59

0 1.5315787, 1 2.6245232

2 0.8642936, 3 1.1754977

แทนคาในสมการท 3 เมอ 0,1,2 ได

0 2447.7756 , 1 1891.7047, 2 165.50997

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

ดงนน 0 1 2 โดยท

60

0 0.7657894 1.5315787 1 46.109654 1 2

2447.7756 1 3

1 0.7953668 2.6245232 1.02100.75688 1.02 2 1891.7047 1.02 3

2 0.8226882 0.8642936 1.0412.745401 1.04 2 165.50997 1.04 3

ดงนนคาประมาณของ 1.03 คอ 1 1.03

0.7953668 2.6245232 1.03 1.02100.75688 1.03 1.02 2 1891.7047 1.03 1.02 3

13/02/55

31

Least Square MethodLeast Square Method

ในกรณทคาขอมลทวดมานน อาจมความคลาดเคลอน การประมาณคาฟงกชน

ภายใตเงอนไขทวา คาทไดจากการวดจะตองเทากบคาประมาณของฟงกชน ณ จด

61

ภายใตเงอนไขทวา คาทไดจากการวดจะตองเทากบคาประมาณของฟงกชน ณ จด

ตางๆ กอาจจะทาใหคาประมาณยงคลาดเคลอนไปจากคาทควรจะเปน

นอกจากน ถามขอมลจานวนหนง เชน n+1 และใชการประมาณพหนามในชวงเชน

พหนามลากรองจ พหนามผลตางสบเนองของนวตน กจะไดพหนามดกร n ซงอาจมการกวดแกวงของเสนโคงแทนทจะเปนโคงของพหนามทมดกรตากวา

ใ ภายใตสมมตฐานเหลาน เราอาจสงเกตลกษณะของการเรยงตวของขอมลแลวจง

สรางพหนามตวประมาณทมดกรทเหมาะสม ทประมาณไดดทสด (ในบางลกษณะ)

โดยไมจาเปนจะตองผานจดขอมลทกจด ซงจะตองหาสมประสทธของพหนามนน

Least Square MethodLeast Square Method62

13/02/55

32

Least Square MethodLeast Square Method

ถาขอมลเรยงตวกนคลายกบเสนตรง เราจะประมาณดวยพหนามดกร 1 หรอ ฟงกชนเชงเสน

63

ให เปนคาท ของเสนตรงทใชประมาณ และ เปนคาจรงของฟงกชนทถกประมาณ เมอตองการสรางฟงกชนประมาณทใหคาใกลคาจรงทสด จะพจารณาฟงกชนของความคลาดเคลอน , และหาคา , ทเหมาะสม

เราอาจนยามของความคลาดเคลอน , ไดหลายแบบ เชน

ฟ ฟงกชนของความคลาดเคลอนแบบมนแมกซ (Minimax Error Function) ∞ , max 1,2,…,10 | | ฟงกชนของความคลาดเคลอนแบบเบยงเบนสมบรณ (Absolute derivation Error Function) , ∑ | |10

1

Least Square MethodLeast Square Method

ฟงกชนของความคลาดเคลอนกาลงสองนอยสดรวม (Total Square Error)

64

2 , ∑ 2101

การหาคาตาสด ทาไดโดยแกสมการ

0 ∑ 2101 2∑10

1

และ 0 ∑ 2101 2∑ 110

1 และ 0 ∑ 1 2∑ 11

เมอลดทอนรป จะได ∑ 2

1 ∑ 1 ∑ 1

และ ∑ 1 ∑ 1

13/02/55

33

Least Square MethodLeast Square Method

เมอแกระบบสมการเพอหาคา และ จะได

65

∑ 1 ∑ 1 ∑ 1

∑ 21 ∑ 1

2

∑ 2

1 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1

∑ 21 ∑ 1

2

ซงจะนาไปแทนคาในฟงกชนเชงเสน 1

Example (Least Square Method)Example (Least Square Method)

จงหาสมการเสนตรงโดยวธกาลงสองนอยสดทประมาณจากขอมลทกาหนดให

66

จงหาสมการเสนตรงโดยวธกาลงสองนอยสดทประมาณจากขอมลทกาหนดให

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6

จาก ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1

∑ 21 ∑ 1

2

∑ 2

1 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 2

1 ∑ 12

ซงจะตองหา ∑ 1 , ∑ 1 , ∑ 21 , ∑ 1

13/02/55

34

Example (Least Square Method)Example (Least Square Method)

2

1 1 3 1 1 3 จาก ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1 1.538 0.360

1 18

67

1 1.3 1 1.3 2 3.5 4 7.0 3 4.2 9 12.6 4 5.0 16 20.0 5 7.0 25 35.5 6 8.8 36 52.8 7 10.1 49 70.7

จาก 1 1 1

∑ 21 ∑ 1

2

∑ 21 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1

∑ 21 ∑ 1

2

จะได

10 572.4 55 8110 385 55 2 1.538

385 81 55 572.4 0 360

1.18 2.72 4.25 5.79 7.33 8.87 10.41

8 12.5 64 100.0 9 13.0 81 117.0 10 15.6 100 156.0 55 81.0 385 572.4

10 385 55 2 0.360

11.94 13.48 15.02

210

1

2.34

Least Square MethodLeast Square Method

16

68

0

2

4

6

8

10

12

14

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

13/02/55

35

Least Square Method Least Square Method

พหนาม ∑ 0 ทมดกร 1 กสามารถสรางไดดวยระเบยบวธกาลงสอง

69

นอยสด วธการคอหา 0,… , เพอทาใหคาผดพลาดกาลงสองนอยสดรวม

∑ 21

มคาตาสด ซงตองไดวา 0 สาหรบ 0,1,2,… , ซงไดระบบสมการ 1 สมการใน

00

11

1

12

2

1 1

0

1

01

11

2

12

3

1

1

1

1

1

01

11

12

2

1

2

1 1

Least Square MethodLeast Square Method

จากขอมลในตารางทกาหนดให จงประมาณคาฟงกชนดวยพหนามดกรสอง ดวยระเบยบวธ

70

กาลงสองนอยสดเตมหนวย

0 0.25 0.50 0.75 1.00

1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183

ในทน 2, 5 สมการปกตทงสามสมการคอ

5 0 2 5 1 1 875 2 8 7680 5 0 2.5 1 1.875 2 8.7680 2.5 0 1.875 1 1.5625 2 5.4514 1.875 0 1.5625 1 1.3828 2 4.4015

13/02/55

36

Least Square MethodLeast Square Method

เมอแกระบบสมการ จะได 0 1.0052, 1 0.8641, 2 0.8437

71

พหนามทไดคอ 2 1.0052 0.8641 0.84370.8437 2

1 5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5