Test 7 : Series de Fourier Corrige MT26

1. Developper en serie de Fourier la fonction f(x) = sin3 x.

2. Donner la formule de Parseval pour cette fonction.

1. A` laide des formules dEuler :

sin3 x =(eix eix

2i

)=

18i(e3ix 3eix + 3eix e3ix)

=14

(sin 3x 3 sinx)= 34 sinx 14 sin 3x.

On reconnat ainsi le developpement en serie de fourier de f(x) (ou` b1 = 34 , b3 = 14 , et tous lesautres coefficients sont nuls).

2. La formule de Parseval donne12pi

pipi

f2(x) dx = a20 +n1

a2n + b2n

2.

Ici,1pi

pi0

sin6 x dx =

(34

)2 + (14)22

=516

. Soit :

pi0

sin6 x dx =5pi16

.

UTBM 2 decembre 2009