A09-MT26-7seriefourier2c
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Test 7 : S´ eries de Fourier Corrig´ e MT26 1. D´ evelopper en s´ erie de Fourier la fonction f (x) = sin 3 x. 2. Donner la formule de Parseval pour cette fonction. 1. ` A l’aide des formules d’Euler : sin 3 x = e ix - e -ix 2i = -1 8i ( e 3ix - 3e ix +3e -ix - e -3ix ) = -1 4 (sin 3x - 3 sin x) = 3 4 sin x - 1 4 sin 3x. On reconnaˆ ıt ainsi le d´ eveloppement en s´ erie de fourier de f (x) (o` u b 1 = 3 4 , b 3 = - 1 4 , et tous les autres coefficients sont nuls). 2. La formule de Parseval donne 1 2π π -π f 2 (x) dx = a 2 0 + n≥1 a 2 n + b 2 n 2 . Ici, 1 π π 0 sin 6 x dx = ( 3 4 ) 2 + ( - 1 4 ) 2 2 = 5 16 . Soit : π 0 sin 6 x dx = 5π 16 . UTBM 2 d´ ecembre 2009
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fourier
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Test 7 : Series de Fourier Corrige MT26
1. Developper en serie de Fourier la fonction f(x) = sin3 x.
2. Donner la formule de Parseval pour cette fonction.
1. A` laide des formules dEuler :
sin3 x =(eix eix
2i
)=
18i(e3ix 3eix + 3eix e3ix)
=14
(sin 3x 3 sinx)= 34 sinx 14 sin 3x.
On reconnat ainsi le developpement en serie de fourier de f(x) (ou` b1 = 34 , b3 = 14 , et tous lesautres coefficients sont nuls).
2. La formule de Parseval donne12pi
pipi
f2(x) dx = a20 +n1
a2n + b2n
2.
Ici,1pi
pi0
sin6 x dx =
(34
)2 + (14)22
=516
. Soit :
pi0
sin6 x dx =5pi16
.
UTBM 2 decembre 2009
