Dielettrici (Isolanti)

N.B. nelle operazioni che svolgeremo avremo a che fare con condensatori

carichi. Si può operare in due diverse condizioni:

1) a carica costante: condensatore caricato e poi scollegato dal generatore

2) a potenziale costante: condensatore sempre collegato al generatore

Dielettrici 1

Carica costante

Inseriamo una lastra metallica tra le armature di un condensatore caricolastra metallica

V0 V

Q costante , V < V0, C = Q/V aumenta

Equivale ad un condensatore di separazione tra le due armature d = h-s

Dielettrici 2

Inseriamo una lastra di dielettrico (isolante):( )

prima, lastra di spessore < separazione fra le armature : V’ < V0 (a)

poi in modo da riempire tutto lo spazio fra le armature Vk < V’ < V0 (b)

Definiamo costante dielettrica (relativa) del dielettrico, k ,il rapporto

Dielettrici 3

Allora:Allora:

con ε = k ε0 ( costante dielettrica assoluta/ permettività del dielettrico)

E

0 ( p )

e σp = σ0 /k

Calcoliamo l’extra-campo elettrico prodotto dal dielettrico, Ei

Ei =i

La χ (chi) si definisce “ suscettività dielettrica”

4Dielettrici

All’i t d l di l tt i i f l tt i (di l i i )All’interno del dielettrico si forma un campo elettrico (di polarizzazione)

(Ei ) di segno opposto a quello tra le armature del condensatore (E0) , per

cui il campo totale (Ek) decresce. Ek = Eo - Ei

Sulle facce del dielettrico compare una densità di carica, σp, di segno

opposto a quella sulle armature di fronte , ma di valore minore

$+ + + + +E0 Ei

Dielettrici 5

N B Le cariche sulle armature e quelle sul dielettrico non possono combinarsiN.B. Le cariche sulle armature e quelle sul dielettrico non possono combinarsi,

perché quelle sul dielettrico non sono cariche mobili e quelle sulle armature non

t l di l tt i h è i l tpossono entrare nel dielettrico che è isolante.

Se moltiplichiamo le σ per l’area delle armature ,Σ, otteniamo le cariche

totali. Quindi da si ottiene

6Dielettrici

La capacità di un condensatore pieno di dielettrico diventa

In particolare per il condensatore f.p.p. si ha

ε = kε0 si chiama costante dielettrica assoluta del dielettrico

Tutte le formule viste in precedenza per il condensatore vuoto, valgono anche

ll i di di l tt i i tit i

7Dielettrici

per quello pieno di dielettrico, se si sostituisce ε0 con ε.

Si definisce Rigidità dielettrica il più elevato valore del campo elettrico nel qualeg p p q

può trovarsi il dielettrico prima che al suo interno comincino a scorrere delle cariche

(il dielettrico “si buca”)

8Dielettrici

EsempioEsempio

Condensatore parzialmente riempito di dielettrico di cost. diel. k

Quanto valgono V’k e Ceq ?

Fuori dal dielettrico campo elettrico è

come nel cond. vuoto E = σ0/ε0 .

Nel dielettrico Ek = σ0/kε0

N.B. E non dipende dalla posizione del p p

dielettrico e V’k dipende solo dallo spessore

9Dielettrici

V’k

Ceq

Come si vede il sistema equivale a due condensatori in serie, uno vuoto, di

Dielettrici 10

separazione (h-s), e l’altro pieno di dielettrico di spessore s e costante k

Potenziale costantePotenziale costante

Il condensatore è sempre collegato a un generatore che mantiene costante

la d.d.p. ai suoi capi, V0 , facendo variare, se necessario la carica sulle

armature.

Cond. vuoto:

Dielettrici 11

Con dielettrico C = k C0 , quindi:

Il generatore deve fornire una l’extra-carica qp , producendo un lavoro

W VW = qp V0

Dielettrici 12

Forza di risucchio su una lastra di dielettricoForza di risucchio su una lastra di dielettrico

In un condensatore a f.p.p., di lato l e separazione h, collegato a unp p p g

generatore, è inserita una lastra di dielettrico per una lunghezza x.

N.B. Il campo elettrico non è (mai) uniforme in prossimità dei bordi!

Cosa succede?

13Dielettrici

Il campo del condensatore interagisce con le cariche indotte sul dielettrico

(anche fuori dalle armature).

Consideriamo il sistema come due

cond (uno pieno e uno vuoto) in- - - - - -

cond. (uno pieno e uno vuoto) in

parallelo+ ++ +++

se x aumenta di dx, (la lastra entra di più tra le armature) C cresce di dCse u e d , ( s e d p ù e u e) C c esce d C

con spostamento della carica dq = VdC da una faccia all’altra ad opera del

Dielettrici 14

generatore

Il generatore compie un lavoroIl generatore compie un lavoro

l’energia elettrostatica aumenta di

L’altra metà del lavoro del generatore viene fatto tramite la forza di risucchio

N.B. il segno di F

Dielettrici 15

Polarizzazione dei dielettrici

Di h t è l i h ll f d l di l tt i ?Di che natura è la carica che appare sulle facce del dielettrico?

Un dielettrico sottoposto a un campo elettrico si dice polarizzato

Struttura dei dielettrici:

Elementi (atomi o molecole) senza (1) o con (2) momento di dipolo spontaneo.

1) Senza m.d.d.

Es.atomo

Effetto del campo elettrico esterno: Spostamento dei

“baricentri” delle cariche + e -, con formazione di un

m.d.d. indotto: p = Zex

16Dielettrici

2) Molecole con m.d.d. spontaneo p0 (es. H2O)

Effetto del campo esterno: orientazione media dei dipoliEffetto del campo esterno: orientazione media dei dipoli.

E’ come se all’interno del dielettrico si

formassero delle catene di dipoli (efficaci)formassero delle catene di dipoli (efficaci)

da una faccia all’altra.

Dielettrici 14

Supponiamo di individuare un volumetto cubico τ all’interno del

dielettrico polarizzato, che contenga N atomi o molecole, ognuno con

m.d.d. medio <p>

Il m.d.d. totale è p = N <p> .

Definiamo Momento di dipolo per unità di volume

n = densità di atomi o molecole (m-3),

U ità di i < > C P C / 3 C / 2 d ità fi i l di

Il vettore P (sempre // a E) si definisce anche Polarizzazione (del dielettrico)

Unità di misura: <p>: C m; P : C m / m3 = C /m2 = densità superficiale di

carica.

18Dielettrici

Prendiamo un volumetto, dτ, all’interno del dielettrico polarizzato di area dΣ0

e spessore dh, nella direzione di P e E, il suo m.d.d. è: dp = P dτ

Possiamo sostituirlo con un altro sistema che non alteri il m d d totale ?

Sostituiamolo con due lamine metalliche di area dΣ0 e separate di dh.

Possiamo sostituirlo con un altro sistema che non alteri il m.d.d. totale ?

Che carica dq dobbiamo mettere sulle armature pe avare lo stesso m.d.d.?

P dτ = dq dh = σ dΣ dh = σ dτP dτ = dq dh = σp dΣ 0 dh = σ dτ

quindi σp = P e dq = P dΣ0

Dielettrici 19

Se ora consideriamo due cubetti adiacenti, le cariche –dq e +dq sulle due

facce in contatto si annullano e restano solo le cariche –dq e +dq sulle

facce estreme, ad una distanza 2dh.

Continuando ad aggiungere cubetti si arriva alle due superfici

Quindi sulle facce di una lastra di dielettrico polarizzato è presente una carica

Dielettrici 20

di polarizzazione di densità σp = |P|

Se il dielettrico non ha forma regolare, dato un prismetto di superficie,Se il dielettrico non ha forma regolare, dato un prismetto di superficie,

sulla faccia interna –dq = σ’p dΣ0 = P dΣ0 mentre sulla faccia esterna

dq = σ dΣ quindidq = σp dΣ , quindi

Se 0 < θ < π/2 σp > 0, se π/2 < θ < π σp < 0

Per una lastra θ = 0 e θ = π

21Dielettrici

In generale (cristalli cubici. amorfi,…) P ∝ E:

P = ε0 χ E = ε0 (κ-1) E

quindi χ è uno scalare.

Ma per i cristalli χ può essere un tensore! Pi = ε0 Σj χij Ej

D h l i h di l i iDato che le cariche di polarizzazione qp sono

cariche “vere”, possiamo inserirle nella Legge di

Gauss applicata alla scatola cilindrica in figura,

con la base (di area Σ ) parallela alle armature.

Dielettrici 22

Considerando che P è nulla all’interno delle armature si ha

Calcoliamo il flusso di P attraverso la stessa superficie chiusa Σ

Considerando che P è nulla all interno delle armature si ha

= σpΣ = qp

per cui

(cariche libere)

23Dielettrici

Definiamo D il vettore Induzione Dielettrica.Definiamo D il vettore Induzione Dielettrica.

Quindi le Legge di Gauss in presenza di dielettrici, si può scrivere

( = D Σ …)

Il modulo di D coincide con la densità di cariche libere σ

Come si vede P e D e σ hanno le stesse dimensioni quindi le stesse unità di

misura: C / m2

24Dielettrici

In un dielettrico in un C.F.P.P.

La forma locale della Legge di Gauss in presenza di un dielettrico diventa:

Dielettrici 25