un’onda elettromagnetica o incide una e K P Hl’interfaccia ......1) Onda viaggiante in un mezzo...
Transcript of un’onda elettromagnetica o incide una e K P Hl’interfaccia ......1) Onda viaggiante in un mezzo...
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 1
6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE
(ultima modifica 04/12/2012)
Generalmente quando un’onda elettromagnetica oi incide una
interfaccia che separa due mezzi di natura diversa (e quindi con
impedenza intrinseca diversa ), in parte viene riflessa or e
in parte viene rifratta ot , ossia attraversa l’interfaccia cambiando la
direzione.
Se il mezzo è un conduttore
le onde elettromagnetiche
non possono propagare in
esso, infatti nei conduttori:
oi
or
ot
/
0P 0
0
HE
H
E
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 2
Onde piane nei mezzi dissipativi privi di sorgenti
In un mezzo dissipativo privo di sorgenti l’equazione di Helmholz
da risolvere per determinare le onde elettromagnetiche è:
dove il numero d’onda è un numero complesso :
La costante di propagazione tale che:
022
EkE
"' jk cc
"c
σ Fessendo ε ε -j '
ω mj
121
2
1
'
"1'
1
mjj
jjjjjjk ccc
ck
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 3
Poiché:
l’equazione di Helmholtz diventa:
0EE22
2222 ; cccc kkjjk
022
EkE
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 4
Nella ipotesi che:
l’onda sia linearmente polarizzata nella direzione x,
la soluzione dell’equazione di Helmholz é :
un’onda piana uniforme che si propaga nella direzione z e da
si ottiene
con
fattore e costante di attenuazione in [Np/m]
fattore e costante di fase in [rad/m]
equivale l’attenuazione in ampiezza espressa in Np per 1 m di propagazione
equivale sfasamento dell’onda espressa in radianti per 1 m di propagazione.
022
EE
zjzx
zxxx eeEaeEaEaE
00
x
z y
iHnia
iE
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 5
Quindi le soluzioni del campo elettrico e magnetico sono:
con η impedenza intrinseca del mezzo, espressa in [Ω].
Trascurando il fattore di attenuazione α, le relazioni diventano:
******************************************************************************************************************************************************************
Queste ultime relazioni saranno utilizzate per lo studio della trasmissione delle onde in corrispondenza delle interfacce, quando la direzione della propagazione delle onde coincide con la direzione dell’asse z.
zjzy
zyyy
zjzx
zxxx
eeE
aeE
aHaH
eeEaeEaEaE
00
00
con
0
0
zjyyy
zjxxx
eE
aHaH
eEaEaE
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 6
Quando la direzione di propagazione non coincide con l’asse z, il modello
matematico delle onde che si propagano in una direzione generica con versore
è :
*******************************************************************************************************************************************************************
Queste relazioni saranno utilizzate per lo studio della trasmissione delle onde in corrispondenza delle interfacce, quando la direzione della propagazione delle onde è qualsiasi, ossia non coincide con la direzione di uno degli assi di riferimento.
m
VeE)R(E Rajk n0
m
A
1
1 R najk-0nn
ReEaREaH
Ω
ε'/''1ε'
μ
ε
μη intrinseca impedenza
j
m
radakkakakak nzzyyxx ondad’ numero vettore
m
:magnetico e elettrico campo il valutare vuolesi quale nel
P punto del posizione vettore o originedall’ radiale vettore
zayaxaR zyx
na
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 7
Classificazione dei tipi d’onda fondamentali
Nello studio delle onde guidate di solito si classificano le soluzione dell’equazione d’onda nei seguenti tipi:
• ONDE TEM: onde che non contengono Campo Elettrico e Campo Magnetico nella direzione di propagazione. Esse si chiamano onde trasversali elettromagnetiche perché le linee del campo elettrico e del campo magnetico giacciono interamente su piani trasversali alla direzione di propagazione. Esse sono comunemente usate sulle linee di trasmissione e sono anche chiamate onde principali.
• ONDE TM: onde che contengono Campo Elettrico, ma non Campo Magnetico nella direzione di propagazione.
Sono chiamate onde trasversali magnetiche.
• ONDE TE: onde che contengono Campo Magnetico, ma non Campo Elettrico nella direzione di propagazione
Sono chiamate onde trasversali elettriche.
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 8
Per studiare il comportamento delle onde in corrispondenza delle interfacce saranno esaminati quattro casi fondamentali
1) Onda incidente su una interfaccia piana tra un mezzo privo di perdite (dielettrico)1=0, e una superficie conduttrice 2=
a) Incidenza normale dell’onda in un’interfaccia piana
b) Incidenza obliqua dell’onda in un’interfaccia piana, con un angolo di incidenza i ,
1. polarizzazione perpendicolare al p.i.* del campo elettrico un’onda elettrica trasversale (TE)
2. polarizzazione parallela al p.i.* del campo elettrico un’onda magnetica trasversale (TM)
2) Onda incidente su una interfaccia piana tra due dielettrici di permettività ε1 e ε2 nei casi:
a) Incidenza normale in una interfaccia piana tra due dielettrici
b) Incidenza obliqua su una interfaccia piana tra due dielettrici con un angolo di incidenza i
******************************************************************************************************************************************************************
* p.i. piano d’incidenza
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 9
1) Onda viaggiante in un mezzo privo di perdite (dielettrico) 1=0,
incidenza su una superficie conduttrice 2=
a) incidenza dell’onda normale al piano di incidenza
nella direzione z.
Se la polarizzazione del campo elettrico
incidente è parallela al piano di incidenza,
le espressioni del campo elettrico e
magnetico incidenti nel mezzo 1 sono:
Per il sistema scelto, la variabile z é negativa nel mezzo 1 e positiva nel mezzo 2.
zjiyi
zjixi
eE
azH
eEazE
1
1
1
0
0
iH
x
z
2= 1=0
y
rH
iH
rE
nra
nia
iE
·
·
0
0
2
2
H
EiE
iE
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 10
Eio è l’ampiezza del campo elettrico in z = 0
1 è la fase costante e
è l’impedenza intrinseca del mezzo 1.
La direzione del vettore di Poynting:
dell’onda incidente, coincide con la direzione della propagazione
dell’onda e della energia, ossia dell’asse z, essendo normale al
campo elettrico e al campo magnetico .
zHzEzP iii za
zjiyizjixi eE
azHeEazE 1
1
010
1
11
iE iH
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 11
Nel mezzo 2 ( conduttore perfetto) sia il campo elettrico che il
campo magnetico sono nulli e quindi risulta nullo anche il
vettore di Poynting :
Quindi nessuna onda é trasmessa attraverso l’interfaccia, per cui
l’energia trasmessa sarà totalmente riflessa nell’interfaccia con
un’onda riflessa uguale a:
*************************************************************************************************************************************************************
L’esponente con il segno positivo indica una direzione di trasmissione z opposta a
quella dell’onda incidente.
0P 0 0 22222 HEHE
zjrx eEaz
10r )(E
zjixi eEazE 10
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 12
L’intensità totale del campo elettrico nel mezzo 1 sarà pari alla
somma dell’onda incidente e dell’onda riflessa :
Per determinare l’onda riflessa Er0 occorre imporre le condizioni
al contorno, ossia la continuità della componente tangenziale del
campo ed essendo il versore tangente alla interfaccia, per
z = 0 deve essere:
ri E e E
)()(E (z)E (z) 11 00ri1zj
rzj
ix eEeEazE
E
00
200ri1
0 (0))()0(E (0)E (0)
ir
rix
EE
EEEaE
xa
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 13
Dunque l’onda incidente è:
dove il segno negativo dell’esponente significa che le onde incidenti viaggiano nella direzione z,
e
l’onda riflessa è così caratterizzata:
con il segno positivo dell’esponente che significa che le onde riflesse viaggiano nella direzione -z.
versore nella direzione di propagazione dell’onda riflessa.
rr HE ,
i0r0
zjβ
1
i0y
zjβ
1
i0y
zjβ
1
r0y
01
r
1
r
1
r
zjβi0x
zjβi0x
zjβr0xr
EEcon eη
Eae
η
E-a e
η
Ea
η
1zE
η
1zE
η
1zH
eEa- eE-a eEazE
111
1
111
zjβixzznr eEa-aaa
ii HE ,
zjβ
1
i0yi
zjβi0xi
11 eη
EazH eEazE
nra
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 14
Quindi le intensità del campo elettrico e del campo magnetico totali nel mezzo 1, saranno rispettivamente uguali a:
zE
aeeE
aeE
eE
a
eE
eE
azHzHH
zEjajeeEa
eEeEaeEeEazEzEE
iy
zjzjiy
zjizjiy
zjrzjiyri
ixzjzj
ix
zji
zjix
zjr
zjixri
11
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
01
100
00001
cos22/2
sin22/2j
1111
11
11
1111
zE
aHzEjaE iyix 11
01101 cos2 sin2
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE
15
Da queste relazioni risulta che in funzione della coordinata spaziale z:
•il campo magnetico é massimo per z = 0 (fun. sinusoidale di z) e
•il campo elettrico è minimo per z=0 (fun. cosinusoidale di z).
In particolare si verifica che per un istante e per due volte in ogni periodo:
• tutta l’energia sia immagazzinata nel campo elettrico (quando si
annulla e è massimo) e
• dopo 90° tutta energia è immagazzinata nel campo magnetico (quando
si annulla e è massimo).
1H
1E
zE
aHzEjaE iyix 11
01101 cos2 sin2
1H
1E1E
1H
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 16
Essendo l’andamento nello spazio dei campi elettrico e magnetico totali
nel mezzo 1 è:
l’andamento nello spazio e nel tempo dei campi elettrico e magnetico
totali nel mezzo 1 sarà:
L’onda totale nel mezzo 1 non é un’onda viaggiante, ma
un’onda fissa che risulta dalla sovrapposizione di due onde viaggianti in
direzioni opposte.
tzE
2aezHtzH
tzE2aezEtzE
1
1
0iy
tj11
10ixtj
11
coscosRe,
sinsinRe,
zE
azH
zEjazE
iy
ix
11
01
101
cos2)(
sin2)(
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 17
I campi hanno zeri e massimi a distanze fisse dalla interfaccia con il conduttore,
che dipendono dai valori di (fase intrinseca del mezzo ), ossia:
2,... 1, 0,ncon
412
212zper o
2
12zβper
0tz,H
massimo valoretz,E
2,... 1, 0,ncon
2-nzper o
βper
massimo valoretz,H
0tz,E
1
1
1
1
1
1
1
1
nn
n
n
nz
1β
f
u
22
1
ztE
aezHtzH
ztEaezEtzE
iy
tj
ixtj
11
011
1011
coscos2Re,
sinsin2Re,
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 18
Onde stazionarie per diversi valori di t dei campi
11 He E
Al variare del tempo i valori massimi e minimi variano, ma sempre in corrispondenza degli stessi valori di z
Sulla superficie del conduttore per z=0, il campo elettrico è nullo e il campo magnetico è massimo.
-
M. Usai
Premessa
Incidenza obbliqua dell’onda
Piano di incidenza: è quello individuato dal versore del raggio incidente e dal
versore della normale n alla superficie di separazione nel punto di incidenza
Polarizzazione del campo elettrico
perpendicolare al piano di incidenza parallela al piano di incidenza
1. polarizzazione perpendicolare al p.i.* del campo elettrico un’onda elettrica trasversale (TE)
2. polarizzazione parallela al p.i.* del campo elettrico un’onda magnetica trasversale (TM)
6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 19
rHx
z y
iH
rE
nra
nia
iE
r
i
+
·
iE
19
x
z
2= 1=0
y
iH
rEnra
niaiE
r
i
+
·
rH
2= 1=0
n n
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 20
1) Onda viaggiante in un mezzo privo di perdite (dielettrico) 1=0,
incidenza su una superficie piana conduttrice 2=
b.1) incidenza obliqua dell’onda con un angolo di incidenza i
Nel caso di polarizzazione perpendicolare del campo elettrico ,
risulta perpendicolare al piano di incidenza.
Il versore della direzione di propagazione è:
essendo i l’angolo di incidenza
sin cosni x zi ia a a
nia
iz θa cos
ix θa sin
x
z
iθ
x
z
2= 1=0
y
iH
rE
nra
niaiE
r
i
+
·
iE
rH
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 21
Le onde incidenti essendo , saranno:
L’ onda riflessa avrà un versore :
ii
ni
iini
zxjizix
i
ajiyizixinii
zxjiy
ajiyi
eaaE
eEaaayxEazxH
eEaeEazxE
cossin
1
0
R 0
11
cossin0
R 0
1
1
11
sincos
cossin1
),(1
,
,
sin cosni x zi ia a a
rzrxnr θaθaa cossin
)zcosθ(xsinθjβr0yRajβ
r0yrii1ri1 eEaeEazx,E
Snell di legge laper θθ essendo
EEeEeEa(x,0)E
0zper e
eEeEa
zx,Ezx,Ez)(x,E
ri
r0i0
xsinθjβ
r0
xsinθjβ
i0y1
zcosθxsinθjβ
r0
zcosθxsinθjβ
i0y
ri1
i1i1
rr1ii1
← Onda totale nel mezzo 1
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 22
Quindi le intensità del campo elettrico e del campo magnetico totali nel
mezzo 1, considerando l’onda incidente e l’onda riflessa, saranno
rispettivamente uguali a:
z
x
y
xj
iiz
xj
iixi
ri
xj
iiy
xjzjzj
iy
ri
a
eazxH
azxE
ezja
ezaE
zxHzxHzxH
ezEja
eeeEa
zxEzxEzxE
i
i
i
iii
versoredel direzione nella H una
versoredel direzione nella H una componenti due ha ,
versoredel direzione nellaE componente sola una ha ),(
] cossinsin
coscoscos[2
,,,
cossin2
,,),(
1z
1x1
1y 1
sin
1
sin
1
1
0
1
sin
10
sincoscos
0
1
1
1
1
111
E1y
H1x
H1z
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 23
Le relazioni trovate risultano complesse, ma si possono fare le seguenti
considerazioni:
• in corrispondenza della interfaccia il campo elettrico totale deve
annullarsi e dalla espressione di deve risultare che:
Er0 = -Ei0 e i= r
l’angolo di incidenza deve essere uguale all’angolo di riflessione,
secondo la legge di Snell della riflessione
Nella direzione z (normale alla interfaccia)
• E1y e H1x , al variare di z, hanno l’andamento di onde stazionarie in
funzione di (sinβ1zcosi z ) e (cos β1zcos i z) , rispettivamente.
• Non si propaga alcuna potenza media poiché E1y e H1x sono sfasate nel
tempo di 90°. Infatti in E1y compare l’operatore j e nel dominio del
tempo varia con legge sinusoidale mentre H1x nel dominio del tempo
varia con legge cosinusoidale.
1E
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 24
Nella direzione x parallela all’interfaccia;
• E1y e H1z sono in fase nel tempo e che nello spazio. Infatti in
entrambi i termini compare l’operatore j e nel dominio del tempo
sono entrambi sinusoidali.
• Quindi si verifica un’onda
viaggiante nella direzione x
con velocità di fase:
e lunghezza d’onda:
sinsin
1
111
iixx
uu
• l’onda di propagazione nella direzione x é un’onda piana non
uniforme perché la sua ampiezza varia con z.
iiix
xx
f
f
f
u
sinsin
2
sin
22 1
111
11
x
z
2= 1=0 y
iH
rE
nra
niaiE
r
i
+
·
rH
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 25
Dalle espressioni precedenti risulta che: per tutti i valori di
x, quando , ossia per tutti i valori di z tali che:
In corrispondenza di tali piani z è come se fossero presenti dei
piani conduttori, dove il campo elettrico nel mezzo 1 si annulla:
0E1
0z i1 cossin
, 1,2,3,...m ,cos2
cos1
11
mzmz i
] cossinsin
coscoscos[(2,,,
cossin2,,),(
sin1
sin1
1
01
sin101
1
1
1
i
i
i
xjiiz
xjix
iri
xjiiyri
ezja
eaE
zxHzxHzxH
ezEjazxEzxEzxE
cos2
1
i
mz
0E1
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 26
Quindi in corrispondenza dei piani:
si potrebbe inserire un piano conduttore senza che cambi l’andamento
del campo, che esiste tra il piano conduttore e l’interfaccia conduttrice.
Si ha dunque un’onda elettrica trasversale (TE)
( il campo elettrico non ha alcuna
componete nella direzione x: E1x= 0)
che rimbalza avanti e indietro
tra i due piani conduttori
propagandosi nella direzione x,
con un comportamento analogo
a quello di una guida d’onda con
piani paralleli.
..., 3, 2, 1,m cos2
1
i
mz
iiiif
cos2
1
cos2
12
cos2 1
1
Piano conduttore
fittizio
Conduttore
perfetto
x
0E1
i
z
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 27
In conclusione questi campi hanno il comportamento di:
•un’onda progressiva rispetto alla direzione x, ma di
•un’onda stazionaria rispetto alla direzione z.
Cioè Ex è uguale a zero in ogni istante sia sul conduttore che su piani
paralleli al conduttore e posti a distanza (nd) da esso con
• Ex è una funzione sinusoidale del tempo, ha un’ampiezza che è
massima sui piani a distanze multiple dispari di d/2 dal conduttore.
• Hy è massimo dove Ex è zero ed è nullo dove Ex è massimo, e risulta
ovunque sfasato di 90° in ritardo rispetto a Ex.
La distanza d tra due massimi e minimi successivi, misurata
normalmente al piano, diventa tanto più grande quanto più l’incidenza
è obliqua, ossia all’aumentare di θi ( se θi aumenta, cos θi diminuisce e
d aumenta).
La distanza d diminuisce all’aumentare della frequenza f.
iiiif
cos2
1
cos2
12
cos2d
1
1
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 28
1) Onda viaggiante in un mezzo privo di perdite (dielettrico) 1=0,
incidenza su una superficie conduttrice 2=
b.2) incidenza obliqua dell’onda con un angolo di incidenza i
Nel caso di polarizzazione del campo elettrico parallela al piano di
incidenza,.
Il versore della direzione di propagazione è:
essendo i l’angolo di incidenza
sin cosni x zi ia a a
nia
iz θa cos
ix θa sin
x
z
iθ
x
z
2= 1=0
y
iH
rEnra
niaiE
r
i
+
·
rH
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 29
yy1
z1z
x1x1
xsinθjβ
i1
1
i0yri1
xsinθjβ
i1iz
i1ixi0ri1
a versoredel direzione nella H componente una ha zx,H
a versoredel direzione nella E una
e a versoredel direzione nellaE una componenti due ha z)(x,E
ezcosθβcosη
E2azx,Hzx,Hzx,H
]ezcosθβcossinθa
zcosθβsinjcosθa[2Ezx,Ezx,Ez)(x,E
i1
i1
Procedendo in maniera analoga si ottengono le seguenti equazioni:
E1x
E1z
H1y
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 30
Nella direzione z (normale alla interfaccia)
• E1x e H1y hanno l’andamento di onde stazionarie in funzione di sin
β1zcos i z e cos β1zcos i z , rispettivamente.
• Non si propaga alcuna potenza media in direzione z poiché E1x e
H1y sono sfasate nel tempo di 90°
Nella direzione x parallela all’interfaccia;
• E1x e H1y sono in fase nel tempo e nello spazio, quindi si verifica
un’onda viaggiante nella direzione x con velocità identica al caso
di polarizzazione perpendicolare:
con la stessa lunghezza d’onda:
•l’onda di propagazione nella direzione x é un’onda piana non
uniforme .
sinsin
1
111
iixx
uu
iiix
xx
f
f
f
u
sinsin
2
sin
22 1
111
11
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 31
Dalle espressioni precedenti risulta che: per tutti i valori
di x, quando , ossia per tutti i valori di z tali che:
In corrispondenza di tali piani z è come se fossero presenti dei
piani conduttori, dove il campo elettrico nel mezzo 1 si annulla:
01 xE
0z i1 cossin
, 1,2,3,...m ,cos2
cos1
11
mzmz i
cos2
1
i
mz
0E1
coscos2,,,
]coscossin
cossincos[2,,),(
sin1
1
01
sin1
101
1
1
i
i
xji
iyri
xjiiz
iixiri
ezE
azxHzxHzxH
eza
zjaEzxEzxEzxE
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 32
Procedendo in maniera analoga si dimostra che in questo caso
un’onda magnetica trasversale TM ( il campo magnetico non ha
alcuna componete nella direzione x: H1x=0) , si propaga nella
direzione x rimbalzando avanti indietro tra i due piani conduttori
(uno reale coincidente con l’interfaccia conduttore-dielettrico e
uno fittizio a distanza:
con un comportamento analogo a quello di una guida d’onda con
piani paralleli.
La velocità di propagazione è la stessa ottenuta nel caso
precedente, ossia per la polarizzazione del campo elettrico
perpendicolare al piano di trasmissione.
cos2
1
i
md
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 33
Incidenza normale in un’ interfaccia piana tra due dielettrici
Quando un’onda elettromagnetica è incidente su una superficie di
un mezzo dielettrico avente un’impedenza intrinseca diversa da
quella del mezzo nel quale l’onda è stata originata, una parte della
potenza incidente è riflessa e una parte è trasmessa.
Nella ipotesi che i mezzi siano non dissipativi (1= 2=0) e che
l’onda incidente sia normale all’interfaccia i fasori del campo
elettrico e magnetico sono:
z è negativo nel mezzo 1.
zj
1
0iyi
zj
0ixi
1
1
eE
azH
eEazE
z
mezzo 2
y (entrante)rH
uscenteiH
rEnra
nia
iEmezzo 1
tE
uscentetH
ntax
+
.
.
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 34
A causa della discontinuità in z = 0, l’onda incidente è in parte
riflessa nel mezzo 1 e in parte trasmessa nel mezzo 2.
Si ha
a) per l’onda riflessa
b) per l’onda trasmessa
rr HE ,
zjryrzr
zj
rxr
eE
azEazH
eEazE
1
1
1
0
1
0
1
zjtytzt
zjtxt
eE
azEazH
eEazE
2
2
2
0
2
0
1
tt HE ,
zjiyi
zjixi
eE
azH
eEazE
1
1
1
0
0
incidente onda
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 35
Dove Et0 è l’ampiezza di per z=0, e e sono la fase
costante e l’impedenza intrinseca del mezzo 2.
Si noti che i versi di riportati in figura sono arbitrari
perchè Er0 e Et0 possono essere positive o negative in funzione
dei relativi parametri costitutivi dei due mezzi.
Per determinare le 2 incognite Er0 e Et0 sono necessarie due
equazioni. Queste equazioni si ottengono dalle condizioni al
contorno che devono essere soddisfatte dai campi elettrici E e H
e magnetico.
Sull’interfaccia dielettrica in z = 0 le componenti tangenziali
(componenti nella direzione x del sistema di riferimento
assunto) delle intensità del campo elettrico e magnetico totali
devono essere uguali (o continue):
tE
tr E e E
H H EE tttt 2121 ;
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 36
Nella interfaccia per z = 0 , si ha che le componenti tangenziali
(componenti nella direzione x del campo elettrico e magnetico)
devono essere continue. Poiché nel mezzo 1 sono presenti l’onda
incidente e l’onda riflessa e nel mezzo 2 è presente la sola onda
trasmessa, deve essere:
e risolvendo le equazioni si ottiene:
definendo:
Er0 / Ei0 = coefficiente di riflessione e
Et0 / Ei0 = coefficiente di tramissione τ .
2
000
1
000
1000
000
t
ritri
tritri
EEE o HHH
EE E o EEE
0i
2
20t0i
12
120r E
1
2EEE
EE tt 21
HH tt 21
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 37
il coefficiente di riflessione e coefficiente di tramissione τ
In funzione delle impedenze intrinseche sono uguali a:
• il coefficiente di riflessione può essere positivo o negativo a seconda che 2 sia > o < di 1. può essere positivo o negativo ma in valore assoluto è sempre | | 1, in quanto dal punto di vista energetico nessuna onda riflessa può essere più grande dell’onda incidente.
• il coefficiente di trasmissione è sempre positivo.
12
2
0i
0t
12
12
0i
0r 2
E
E
E
E
e
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 38
I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono legati tra di loro dalla seguente equazione adimensionale:
1 + =
Infatti:
12
2
i0
t0
12
12
i0
r0
i0
t0
i0
r0t0r0i0
ηη
2η
E
Eτ e
ηη
ηη
E
EΓ
E
E
E
E1 EEE
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 39
Incidenza obliqua su una interfaccia piana tra due dielettrici
Si suppone che i due mezzi siano privi di perdite e abbiano parametri
costitutivi (1,1) e (2,2).
A causa della discontinuità del
mezzo nella interfaccia una
parte dell’onda incidente è
riflessa e una parte è trasmessa.
Le linee AO, O’A’, O’B sono le
intersezioni dei fronti d’onda
(superfici a fase costante) col
piano d’incidenza delle
onde incidente, riflesse e
trasmessa rispettivamente.
Onda rifratta
z
mezzo 2 mezzo 1
nra
nia
r
i
nta
t
Onda incidente
Onda riflessa
A B
O’
O
A’
x
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 40
Poichè sia l’onda d’incidenza che
l’onda riflessa si propagano nel
mezzo 1 con la stessa velocità di fase
up1, per cui
↓
le distanze OA’ e AO’ devono essere
uguali quindi :
OO’ sinr = OO’ sini o
r = i
Queste equazioni dimostrano che
l’angolo di riflessione e uguale
all’angolo di incidenza secondo la
legge di riflessione di Snell.
Onda rifratta
z
mezzo 2 mezzo 1
nra
nia
r
i
nta
t
Onda incidente
Onda riflessa
A B
O’
O
A’
x
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 41
Il tempo necessario nel mezzo 1 per trasmettere l’onda da O a B é uguale al tempo
necessario per trasmetterla da A a O’ tOB=tAO’ e si ha:
n1 e n2 rappresentano gli indici di rifrazione dei mezzi 1 e 2 rispettivamente.
2 1 2 1 1
1 2 22
1
'
sin
sin'sin
' 'sin
p p pt
i ppt
pi
OB AO
u u u n
u nuOOOB
uAO OO
Onda rifratta
z
mezzo 2 mezzo 1
nra
nia
r i
nta
t
Onda incidente
Onda riflessa
A B
O’
O
A’
x
Y
s
m
p
u
p
u
cn
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 42
Per indice di rifrazione di un mezzo si intende il rapporto della
velocità della luce (onde elettromagnetiche) nello spazio libero e
della velocità nel mezzo: n= c/up.
La relazione trovata rappresenta la legge di Snell della rifrazione:
essa stabilisce che in una interfaccia tra due mezzi dielettrici, il rapporto del seno dell’angolo di rifrazione (trasmissione) nel mezzo 2 e il seno dell’angolo di incidenza nel mezzo 1 é uguale al rapporto inverso degli indici di rifrazione.
2
1
2
1
1p
2p
i
t
n
n
u
u
sin
sin
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 43
Per i mezzi non magnetici ***1= 2= 0 , l’equazione diventa:
dove 1 ed 2 sono le impedenze intrinseche del mezzo.
Se il mezzo 1 é lo spazio libero (vuoto o aria) tale che r1=1 e n1=1,
l’equazione si riduce a:
essendo:
l’onda piana incidente obliquamente su una interfaccia con un mezzo più
denso del vuoto o aria, in corrispondenza della interfaccia si inclina
ulteriormente rispetto alla normale (allontanandosi dalla direzione della
normale).
***I mezzi non magnetici hanno un comportamento magnetico analogo all’aria = 0
ε0 =8.856 10-12
[F/m] e µ0= 1.256 10--6
[H/m]
1
2
2
1
2
1
02
01
1
2
sin
sin
n
n
u
u
r
r
p
p
i
t
120n
11 2
22ri
t
sin
sin
itit2i
t2 θθ sinθsinθ 1
n
1
sinθ
sinθ 1n
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 44
Le leggi di riflessione e rifrazione di Snell valide anche per la
trasmissione delle onde elettromagnetiche, sono indipendenti dalla
polarizzazione dell’onda.
Riflessione totale
Poiché all’aumentare dell’angolo di incidenza aumenta l’angolo di
rifrazione, si può affermare che esiste un valore dell’angolo di
incidenza per il quale l’angolo di rifrazione sarà perpendicolare alla
normale della interfaccia:
Si definisce angolo critico di incidenza l’angolo , quello per il
quale si verifica che ossia si verifica
la condizione di riflessione totale. si determina imponendo
che:
2t /
n
nsin sin o sin
1
2
1
1
21
c
1
2ct
2
c
2
1sinsin
it
c
-
M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 45
Onda incidente che incide l’interfaccia con un angolo
maggiore all’angolo critico di incidenza c
Per i > c si ha un’onda evanescente lungo l’interfaccia
nella direzione x ed è attenuata esponenzialmente nel
mezzo 2 in direzione normale (direzione z).
Questa onda risulta strettamente confinata in prossimità
della interfaccia ed è chiamata onda superficiale. Essa
non è un’onda piana uniforme.
In tali condizioni (i > c) non viene trasmessa potenza
all’interno del mezzo 2.
x
y
z