Post on 11-Feb-2018
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu benda tegar dapat bergerak berputar / rotasi jika pada benda
tersebut dikerjakan suatu gaya yang tidak melalui pusat massa / poros benda
tegar. Gaya yang dapat menyebabkan suatu benda berotasi dinamakan
momen gaya atau torsi.
Momen kopel adalah momen terhadap benda tegar yang dapat
menyebabkan benda tegar tersebut bergerak rotasi tetapi tidak dapat
menyebabkan benda tegar tersebut bergerak tranlasi. Momen kopel
ditimbulkan oleh sepasang gaya pada suatu benda besarnya slalu sama pada
semua titik.
Pada gerak translasi, massa merupakan besaran yang menyatakan ukuran
kelembaman suatu benda. Sedangkan pada gerak rotasi, besaran untuk
menyatakan ukuran kelembaman suatu benda yang analog dengan massa
adalah momen inersia yaitu hasil kali massa partikel dengan kuadrat jarak
partikel terhadap sumbu putarnya / porosnya.
Pada gerak rotasi, besaran yang analog dengan momentum pada gerak
translasi adalah momentum sudut. Besar momentum sudut yang dimiliki oleh
benda yang berotasi bergantung pada momen inersia dam kecepatan sudut
yang dimiliki benda. Momentum sudut adalah hasil kali momen inersia
dengan kecepatan sudut.
1.2 Maksud dan Tujuan
Tujuan epmbuatan makala ini, yaitu:
1. Untuk memenuhi tugas penulisan makala yang di berikan kepada
kelompok
2. Metode pustakanya atau dengan mengumpulkan data-data perbendaharaan
pengetahuan mencari masalah beberapa masalah yang berhubungan degan
Dinamika Rotasi dan Keseimbangan benda tegar sehingga terkumpulah
informasih yang dapat membantu penyalasaian makalah ini.
2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Momen gaya (torsi)
Sebelum membahas momen gaya atau torsi, terlebih dahulu diulas lengan
gaya. Lengan Gaya Tinjau sebuah benda yang berotasi, misalnya pintu rumah.
Ketika pintu dibuka atau ditutup, pintu berotasi. Engsel yang menghubungkan
pintu dengan tembok berperan sebagai sumbu rotasi.
Rotasi juga disebut momen, diawali dari kerja Archimedes dalam lever.
Informalnya, torsi dapat dipikir sebagai gaya rotasional. Analog rotational
dari gaya, masa, dan percepatan adalah torsi, momen inersia dan percepatan
angular. Gaya yang bekerja pada lever, dikalikan dengan jarak dari titik
tengah lever, adalah torsi. Contohnya, gaya dari tiga newton bekerja
sepanjang dua meter dari titik tengah mengeluarkan torsi yang sama dengan
satu newton bekerja sepanjang enam meter dari titik tengah. Ini menandakan
bahwa gaya dalam sebuah sudut pada sudut yang tepat kepada lever lurus.
Lebih umumnya, seseorang dapat mendefinisikan torsi sebagai perkalian
silang:
di mana
r adalah vektor dari axis putaran ke titik di mana gaya bekerja
F adalah vektor gaya.
3
Gambar pintu dilihat dari atas. Tinjau sebuah contoh di mana pintu didorong
dengan dua gaya, di mana kedua gaya mempunyai besar dan arah sama; arah
gaya tegak lurus pintu.
Mula-mula pintu didorong dengan gaya F1 yang berjarak r1 dari sumbu rotasi.
Setelah itu pintu didorong dengan gaya F2 yang berjarak r2 dari sumbu rotasi.
Walaupun besar dan arah gaya F1 sama dengan F2, gaya F2 menyebabkan
pintu berputar lebih cepat dibandingkan gaya F1. Dengan kata lain, gaya F2
menyebabkan percepatan sudut yang lebih besar dibandingkan gaya F1. Anda
dapat membuktikan hal ini.
Besar percepatan sudut benda yang bergerak rotasi tidak hanya dipengaruhi
oleh gaya tetapi juga dipengaruhi juga oleh jarak antara titik kerja gaya
dengan sumbu putar (r). Apabila arah gaya tegak lurus dengan permukaan
benda seperti contoh di atas maka lengan gaya (l) sama dengan jarak antara
titik kerja gaya dengan sumbu putar (r). Bagaimana jika arah gaya tidak tegak
lurus dengan permukaan benda ?
Tinjau dua contoh lain seperti ditunjukkan pada gambar di atas. Walaupun
besar gaya F2 dan F3 sama tetapi arah kedua gaya berbeda sehingga lengan
gaya (l) berbeda. Pada gambar c, arah garis kerja gaya berhimpit dengan
sumbu putar sehingga lengan gaya bernilai nol. Lengan gaya diketahui
dengan menggambarkan garis dari sumbu rotasi menuju garis kerja gaya, di
mana garis dari sumbu rotasi harus tegak lurus atau membentuk sudut 90o
dengan garis kerja gaya. Amati gambar b agar anda lebih memahami
penurunan rumus lengan gaya berikut ini.
Keterangan :
4
l = lengan gaya, r = jarak titik kerja gaya dengan sumbu rotasi
Persamaan 1 digunakan untuk menghitung lengan gaya.
Jika F tegak lurus dengan r maka sudut yang dibentuk adalah 90o.
l = r sin 90o = (r)(1)
l = r
Jika F berhimpit dengan r maka sudut yang dibentuk adalah 0o.
l = r sin 0o = (r)(0)
l = 0
Momen Gaya atau Torsi
Besar momen gaya Secara matematis, besar momen gaya adalah hasil kali
besar gaya (F) dengan lengan gaya (l).
Persamaan 2 digunakan untuk menghitung besar momen gaya.
Satuan internasional momen gaya atau torsi adalah Newton meter, disingkat
N. m. Satuan internasional momen gaya sama dengan usaha dan energi, tetapi
momen gaya bukan energi sehingga satuannya tidak perlu diganti dengan
satuan Joule. Fisikawan sering menggunakan istilah Torsi sedangkan ahli
teknik sering menggunakan istilah momen gaya.
Arah momen gaya Momen gaya merupakan besaran
vektor karenanya selain mempunyai besar, momen
gaya juga mempunyai arah. Arah momen gaya
diketahui dengan mudah menggunakan aturan tangan
kanan. Putar keempat jari tangan kanan anda,
sedangkan ibu jari tangan kanan ditegakkan. Arah putaran keempat jari
tangan merupakan arah rotasi sedangkan arah yang ditunjukan oleh ibu jari
merupakan arah momen gaya. Jika arah momen gaya ke atas (searah sumbu y
positif) atau ke kanan (searah sumbu x positif) maka momen gaya atau torsi
5
bernilai positif. Sebaliknya jika arah momen gaya ke bawah (searah sumbu –
y) atau ke kiri (searah sumbu –x) maka momen gaya bernilai negatif.
Dengan kata lain, jika arah rotasi benda searah dengan putaran jarum jam
maka momen gaya bernilai negatif. Sebaliknya jika arah rotasi benda
berlawanan dengan putaran jarum jam maka momen gaya bernilai positif.
2.2 Momen inersia
Momen inersia (Satuan SI : kg m2) adalah ukuran kelembaman suatu benda
untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada
massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam
dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan
kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran
lain. Meskipun pembahasan skalar terhadap momen inersia, pembahasan
menggunakan pendekatan tensor memungkinkan analisis sistem yang lebih
rumit seperti gerakan giroskopik.
Lambang dan kadang-kadang juga biasanya digunakan untuk merujuk
kepada momen inersia.
Konsep ini diperkenalkan oleh Euler dalam bukunya a Theoria motus
corporum solidorum seu rigidorum pada tahun 1730.[1] Dalam buku tersebut,
dia mengupas momen inersia dan banyak konsep terkait.
Definisi skalar
Definisi sederhana momen inersia (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari
sembarang objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh
rumus:
di mana m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu rotasi.
6
Analisis
Momen inersia (skalar) sebuah massa titik yang berputar pada sumbu yang
diketahui didefinisikan oleh
Momen inersia adalah aditif. Jadi, untuk sebuah benda tegar yang terdiri atas
N massa titik mi dengan jarak ri terhadap sumbu rotasi, momen inersia total
sama dengan jumlah momen inersia semua massa titik:
Untuk benda pejal yang dideskripsikan oleh fungsi kerapatan massa ρ(r),
momen inersia terhadap sumbu tertentu dapat dihitung dengan
mengintegralkan kuadrat jarak terhadap sumbu rotasi, dikalikan dengan
kerapatan massa pada suatu titik di benda tersebut:
di mana
V adalah volume yang ditempati objek
ρ adalah fungsi kerapatan spasial objek
r = (r,θ,φ), (x,y,z), atau (r,θ,z) adalah vektor (tegaklurus terhadap sumbu
rotasi) antara sumbu rotasi dan titik di benda tersebut.
7
Diagram perhitungan momen inersia sebuah piringan. Di sini k adalah 1/2 dan
adalah jari-jari yang digunakan untuk menentukan momen inersia
Berdasarkan analisis dimensi saja, momen inersia sebuah objek bukan titik
haruslah mengambil bentuk:
di mana
M adalah massa
R adalah jari-jari objek dari pusat massa (dalam beberapa kasus, panjang
objek yang digunakan)
k adalah konstanta tidak berdimensi yang dinamakan "konstanta inersia",
yang berbeda-beda tergantung pada objek terkait.
Konstanta inersia digunakan untuk memperhitungkan perbedaan letak massa
dari pusat rotasi. Contoh:
k = 1, cincin tipis atau silinder tipis di sekeliling pusat
k = 2/5, bola pejal di sekitar pusat
k = 1/2, silinder atau piringan pejal di sekitar pusat.
2.3 Gerak melingkar (Dinamika Rotasi)
Gerak melingkar.
8
Gerak Melingkar adalah gerak suatu benda yang membentuk lintasan berupa
lingkaran mengelilingi suatu titik tetap. Agar suatu benda dapat bergerak
melingkar ia membutuhkan adanya gaya yang selalu membelokkan-nya
menuju pusat lintasan lingkaran. Gaya ini dinamakan gaya sentripetal. Suatu
gerak melingkar beraturan dapat dikatakan sebagai suatu gerak dipercepat
beraturan, mengingat perlu adanya suatu percepatan yang besarnya tetap
dengan arah yang berubah, yang selalu mengubah arah gerak benda agar
menempuh lintasan berbentuk lingkaran [1].
Ciri-ciri Gerak Melingkar beraturan:
1. Besar kelajuan linearnya tetap
2. Besar kecepatan sudutnya tetap
3. Besar percepatan sentripetalnya tetap
4. Lintasannya berupa lingkaran
Besaran gerak melingkar
Besaran-besaran yang mendeskripsikan suatu gerak melingkar adalah ,
dan atau berturur-turut berarti sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut.
Besaran-besaran ini bila dianalogikan dengan gerak linier setara dengan
posisi, kecepatan dan percepatan atau dilambangkan berturut-turut dengan ,
dan .
Besaran gerak lurus dan melingkarGerak lurus Gerak melingkar
Besaran Satuan (SI) Besaran Satuan (SI)poisisi m sudut rad
kecepatan m/s kecepatan sudut rad/spercepatan m/s2 percepatan sudut rad/s2
- - perioda s- - radius m
9
Turunan dan integral
Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak
melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan
diferensiasi.
Hubungan antar besaran sudut dan tangensial
Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui
khusus untuk komponen tangensial, yaitu
Perhatikan bahwa di sini digunakan yang didefinisikan sebagai jarak yang
ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan
bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu
untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit.
Jenis gerak melingkar
Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman
kecepatan sudutnya , yaitu:
gerak melingkar beraturan, dan
gerak melingkar berubah beraturan.
10
Gerak melingkar beraturan
Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak melingkar dengan besar
kecepatan sudut tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi
kecepatan tangensial dengan jari-jari lintasan
Arah kecepatan linier dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang
berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial . Tetapnya nilai
kecepatan akibat konsekuensi dar tetapnya nilai . Selain itu terdapat pula
percepatan radial yang besarnya tetap dengan arah yang berubah.
Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu
menunjuk ke pusat lingkaran.
Bila adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran
penuh dalam lintasan lingkaran , maka dapat pula dituliskan
Kinematika gerak melingkar beraturan adalah
dengan adalah sudut yang dilalui pada suatu saat , adalah sudut
mula-mula dan adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya).
11
Gerak melingkar berubah beraturan
Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak melingkar
dengan percepatan sudut tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan
tangensial (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang
menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial
).
Kinematika GMBB adalah
dengan adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan adalah
kecepatan sudut mula-mula.
Persamaan parametrik
Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan
terlebih dahulu mendefinisikan:
titik awal gerakan dilakukan
kecepatan sudut putaran (yang berarti suatu GMB)
pusat lingkaran
untuk kemudian dibuat persamaannya [2].
Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan
yang diperoleh melalui:
12
Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan,
yaitu
dengan dua konstanta dan yang masih harus ditentukan nilainya.
Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai , maka
dapat ditentukan nilai dan :
Perlu diketahui bahwa sebenarnya
karena merupakan sudut awal gerak melingkar.
Hubungan antar besaran linier dan angular
Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran
linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen
vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah
radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan
angular dapat dengan mudah diturunkan.
13
Gerak berubah beraturan
Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan
dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang
berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak
melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi
arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang
arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan.
Gerak berubah beraturan
Kecepatan GLBB GMB
Besar berubah tetap
Arah tetap berubah
14
Contoh Soal Pembahasan Dinamika Rotasi & Keseimbangan Benda Tegar
1. Seorang anak dengan kedua lengan berada dalam pangkuan sedang berputar
pada suatu kursi putar dengan 1,00 putaran/s. Ketika ia merentangkan kedua
lengannya, ia diperlambat sampai 0,40 putaran/s. Tentukan perbandingan:
a) momen inersia gabungan anak + kursi sebelum dan sesudah kedua
lengannya direntangkan
b) Energi kinetik sebelum dan sesudahnya
Jawab :
ω = 1 rps (sebelum merentangkan tangan)
ω = 0,4 rps (sesudah merentangkan tangan)
a). Gunakan Hukum Kekekalan momentum sudut
=> L= L
=>I ω = I ω
=>I (1) = I (0,4)
maka : I : I = 0,4 : 1
atau : I : I = 2 : 5
b). Rumus energi kinetik rotasi adalah : Ekr = ½ I ω²
Maka :
Ekr = ½ I ω² dan Ekr = ½ I ω²
Sehingga perbandingan :
Ekr : Ekr = (I / I ).(ω : ω)²
Ekr : Ekr = (2/5) . (5/2)² = 5/2
Ekr : Ekr = 5
15
2. Seutas tali dililitkan mengelilingi sebuah silinder pejal bermassa M dan
berjari-jari R, yang bebas berputar mengelilingi sumbunya. Tali ditarik
dengan gaya F. Silinder mula-mula diam pada t=0.
a. Hitung percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada sat t
b. Jika M=6 kg, R=10 cm, dan F= 9 N, hitung percepatan sudutdan kecepatan
sudut pada saat t=2 s
Jawab :
a) Momen inersia silinder pejal => ½ m.R2
I.α = F.R
α = F.R/I = 2.F/m.R
ω = α. t = 2.F/m.R.t
b) α = 2.(g.n)/6 kg (0,1 m) = 30 rad/s2
ω = 2.(g.n)/6 kg (0,1 m).2 = 60 rad/s
3. Pada sebuah roda dengan momen inersia sebesar 6 kgm2 dikerjakan sebuah
torsi konstan 51 Nm.
a. Berapakah percepatan sudutnya ?
b. Berapakah lama diperlukan dari keadaan diam sampai pada mencapai
kecepatan 88,4 rad/s ?
c. Berapakah energi kinetik pada kecepatan ini ?
Jawab :
a. τ = I.α
α = τ/I = 51/6 = 8,5 rad/s2
b. ωt = ω0 + α.t
88,4 = 0 + 8,5.t
t = 10,4 s
c. Ek = ½ .I.ω2
Ek = ½.6.(88,4)2
Ek = 2,34x104 Joule
16
BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
Dinamika Rotasi dibagi menjadi 5 pembahasan, antara lain:
1. Momen Gaya (torsi)
2. Momen Inersia
3. Momen Kopel
4. Momentum Sudut
5. Energi Kinetik Rotasi
Benda tegar adalah benda yang tidak mengalami perubahan bentuk akibat
pengaruh gaya atau momen gaya. Syarat Keseimbangan benda tegar dapat
dicapai jika resultan gaya dan resultan momen gaya terhadap suatu titik
sembarang sama dengan nol. Jenis – jenis keseimbangan, yaitu:
1. Keseimbangan statik, dikelompokkan menjadi tiga,yaitu:
a) Keseimbangan stabil
b) Keseimbangan labil
c) Keseimbangan netral/inferen
2. Keseimbangan Dinamik,dikelompokkan menjadi dua yaitu:
a) Keseimbangan translasi
b) Keseimbangan rotasi
3.2. Saran
Demikian yang dapat kami paparkan mengenai materi yang menjadi pokok
bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan
kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau
referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.
Penulis banyak berharap para pembaca memberikan kritik dan saran yang
membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan penulisan
17
makalah di kesempatan – kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini
berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca pada umumnya.
DAFTAR PUSTAKA
http://www.walter-fendt.de/ph11e/carousel.htm
http://www.fisdasbook.com
http://www.fisika ceria.com