Post on 29-Dec-2015
description
Unit 6 Geometri Koordinat |139
UNIT PELAJARAN 6
GEOMETRI KOORDINAT
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Mengenal sistem koordinat Cartesian terdiri daripada pasangan bertertib (a,b).
2. Menentukan jarak di antara dua titik, titik tengah.
3. Mengira titik pembahagian dengan nisbah: pembahagian di sebelah dalam dan
pembahagian di sebelah luar.
4. Mengira kecerunan garis: kecerunan positif, negatif, kecerunan sifar,
kecerunan sama, kecerunan bagi dua garisan berserenjang dan selari.
5. Membina persamaan garis lurus: bentuk kecerunan, bentuk pintasan, bentuk
am, bentuk satu titik, bentuk dua titik.
6. Menyelesaikan masalah yang melibatkan jarak terdekat titik ke garis lurus,
jarak antara dua garis lurus selari, persilangan garis lurus.
7. Mengenal rumus dan mencari luas segi tiga dan segi empat.
Matematik Asas|140
PENGENALAN
alam Unit 2 sebelum ini kita telah mempelajari set Nombor Nyata dengan suatu
garis yang disebut garis Nombor Nyata. Kita akan mengaplikasikan pengetahuan
ini sebagai langkah awal untuk membincangkan Geometri Koordinat. Di dalam
unit ini kita akan mengkaji :
Dua garis nombor – satu mencancang (vertical) dan satu mengufuk (horizontal).
Saling berserenjang di satu titik sepunya yang dikaitkan dengan sifar pada kedua-dua
garis.
Paksi mengufuk disebut paksi x dan paksi mencacang disebut paksi y.
Kedua-dua paksi ini pula disebut paksi-paksi koordinat.
Paksi-paksi ini akan membahagikan kepada empat satah yang disebut Sukuan.
Sukuan-sukuan ini diberikan nombor berlawanan arah jam dari I hingga IV.
Seorang ahli matematik Perancis terkenal Renĕ Descartes berjaya menjelmakan masalah
geometri kepada bentuk aljabar dan menyelesaikannya secara aljabar.
D.
Cuba layari
laman web ini.
Layari Laman Web :
http://www.geometrycoordinate.\com
http://www.mathematics.history.com
Unit 6 Geometri Koordinat |141
6.1 Sistem Koordinat Cartesian
6.2. Jarak Antara Dua Titik
Teorem Pithagoras
PQ2 = PR2 + RQ2 2y
d = 2
12
2
12 yyxx )( )( 1y
1x 2x R x
Contoh
a) Cari jarak antara A(2,1) and B(6,4).
AB = 22 ) 41) 62 ( (
= 525916
Layari laman web ini untuk
mengukuhkan lagi pemahaman
anda mengenai geometri
koordinat:
http://www.onlinemathlearning.com
/coordinate-geometry.html
. (a,b)
a
b
I II
III IV
Ry
P
Q
R
|y2 – y1|
(x2,y2)
(x1,y1) (x2,y1)
|x2 – x1|
d
Matematik Asas|142
b) Diberi bahawa jarak di antara titik A(2,3) dan P(2k,0) adalah dua kali ganda jaraknya dengan
Q(k,0). Dapatkan nilai k.
Penyelesaian:
AP = 2AQ
) ( ( 2222 3k)22(3) 2k2
9k4k4294k8k4 22
134kk2138k4k 22
5216k4k138k4k 22
8
13
24
39k
3924k
1. Tentukan bahawa titik A (0, 3), B(2, 3) dan C(4,5) merupakan bucu-bucu segi tiga sama kaki.
2. Cari jarak antara titik-titik ini.:
a) (3,-1) dengan (5,4) b) (-1, 3) dengan (3,5)
b) (-7,-2) dengan (-1,4) c) (4, 0) dengan (-3,5)
3. Diberi titik A (3,-2), B (2
3, 3), C (6,2) dan D (
2
15,-3). Tunjukkan bahawa ABCD adalah segi
empat selari.
Latihan Formatif 6.1
Unit 6 Geometri Koordinat |143
6.3 Koordinat Titik Tengah
Katakan R adalah titik tengah bagi tembereng PQ, dimana P(x1, y1), Q(x2, y2). Koordinat R(x, y)
ialah
Di mana
2,
221 21),(
yyxxyxR
2
21 xxx
,
2
21 yyy
Contoh
Dapatkan titik tengah bagi garisan AB di mana A = (2,1) dan B = (5,3).
2
yy,
2
xxP 2121
Titik tengah P(x,y) =
2
31,
2
52 =
,2
2
7
Satu segi tiga mempunyai bucu di A(2,4), B(4,− 2) dan C(8,12). L ialah titik tengah AB dan
M ialah titik tengah BC. Cari
a) Koordinat titik L;
b) Koordinat titik M;
c) Jarak LM.
A
B
P
Latihan Formatif 6.2
Matematik Asas|144
6.4 Titik Pembahagian Dengan Nisbah
a) Titik Pembahagian Di Sebelah Dalam
Katakan P(x,y) membahagikan garis AB disebelah dalam mengikut nisbah m : n,
iaitu n
m
PB
AP
APJ dan PBK adalah segi tiga serupa.
KB
JP
PK
AJ
PB
AP
(
)(
(
)(
y)y
yy
) xx
xx
n
m
2
1
2
1
Maka )xn(xx)m(x 12
12 nxnxmxmx
12 nxmxmxnx
nm
nxmxx 12
12 nynymymy
12 nymymyny
nm
nymyy 12
K
y2 - y
A(x1,y1)
B(x2,y2)
P = (x,y)
J x – x1
x2 x y – y1
m
n
Kumpulkan x di satu
belah persamaan.
Perhatian:
Titik P adalah titik tengah
jika m=n
Unit 6 Geometri Koordinat |145
Koordinat P ialah P =
nm
nymy,
nm
nxmx 1212
Contoh
A dan B masing-masing merupakan titik-titik (1,2) dan (7,5). Cari koordinat bagi titik P, yang
membahagikan AB di sebelah dalam dengan nisbah 2:1.
Penyelesaian:
Koordinat P ialah,
nm
nymy,
nm
nxmx 1212
Diberi m = 2, n = 1
Koordinat P (5,4)3
2)15)2,
3
117)2
( ()( (
b) Titik Pembahagian Di Sebelah Luar
A(x1,y1)
Q(x,y)
B(x2,y2)
x – x1
x – x2
y – y2
y – y1
L
n m
Matematik Asas|146
Titik Q (x,y) membahagikan garis AB , di mana A(x1,y1), B(x2,y2) di sebelah luar mengikut nisbah
m : n.
n
m
BQ
AQ
Koordinat Q ialah,
Q =
nm
nymy,
nm
nxmx 1212
Contoh
Diberi titik-titik A(2,0) dan B(10,4). Dapatkan koordinat-koordinat yang membahagikan AB di
sebelah luar dengan nisbah 4:3.
Penyelesaian:
Katakan Q(x, y) ialah titik yang membahagikan AB di sebelah luar dengan nisbah 4:3, iaitu
AQ : BQ = 4 : 3.
Maka m = 4, n = 3, and x1 = 2, x2 = 10, y1 = 0, y2 = 4
Koordinat Q ialah,
nm
nymy,
nm
nxmx 1212
=
34
3(0)4(4),
34
2)3(4(10) = ( 46,16)
Unit 6 Geometri Koordinat |147
1. Diberi titik C(1,2) dan D (r,s). Jika P (7,9) membahagi CD di sebelah dalam dengan
nisbah 1:2, cari nilai r dan s.
2 Cari koordinat titik P yang membahagikan Titik A (1,2) dan titik B (5,5) di sebelah dalam
dengan nisbah 3:2.
3. Diberi titik M(2,3) dan titik N (8,5). Dapatkan koordinat yang membahagikan MN di sebelah
luar dengan nisbah 1:2.
4. Diberi titik M(-2,-3) dan titik N (-8,-5). Dapatkan koordinat yang membahagikan MN di
sebelah luar dengan nisbah 1:2.
6.5 Kecerunan Garis
P(x1,y1)
Q(x2,y2) m
(y2y1)
(x2x1)
Apa yang akan terjadi jika kecerunan QP yang dikira? Adakah kecerunannya sama dengan PQ? Cuba kirakan.
Latihan Formatif 6.3
Matematik Asas|148
Takrif
Kecerunan garis P(x1,y1), Q(x2,y2) ialah:
12
12
xx
yym
di mana x2 x1
Contoh
Cari Kecerunan garis yang menghubungkan titik-titik (4,5) dan (3,7).
Penyelesaian:
m = 121
12
43
57
Teorem
a) Jika suatu aris dengan kecerunan m membuat sudut dengan paksi x positif, maka m =
tan .
Buktinya, dari takrif kecerunan:
Jika 90o, m positif
Jika 90o, m negatif
P
Q
P Q
mxx
yy
12
12
P(x1,y1)
Q (x2,y2)
y2y1
x1x2
m > 0
m < 0 m = 0
Unit 6 Geometri Koordinat |149
b) Dua garis dikatkan selari jika dan hanya jika kedua-dua mempunyai kecerunan yang sama .
c) Dua garis dengan kecerunan m1 dan m2 berserenjang jika dan hanya jika
m2m1= 1.
Contoh
1. Diberi titik-titik A(1,18), B(5,8), C(−1,−2) dan D(−5,8). Tunjukkan bahawa AB selari dengan CD.
2. Tunjukkan bahawa P(2,1), Q(3,5) dan R(1,6) membentuk sebuah segitiga bersudut tegak. Penyelesaian:
1. mAB 2
5
4
10
15
188
mCD 2
5
4
10
15
28
Oleh kerana mAB = mCD , maka AB CD.
2. mPQ 423
15
mPR
3
5
21
16
mQR = 4
1
37
56
mPQ x mQR = -1, maka PQ QR
Oleh kerana PQ QR maka PQR ialah segitiga bersudut tegak.
P
Q R
Matematik Asas|150
1. Cari kecerunan garis yang menghubungkan titik-titik :
a) (3,1) dengan (5,4) b) (1, 3) dengan (3,5)
c) (7,2) dengan (1,4) d) (4, 0) dengan (3,5)
2. Diberi titik-titik A (3,2), B (2
3, 3), C (6,2) and D (
2
15,3). Tunjukkan bahawa AB
selari dengan CD.
6.6 Persamaan Garis Lurus
a) Bentuk Persamaan
i) Bentuk Kecerunan
cmxy
m = kecerunan
c = pintasan di paksi y
ii) Bentuk Pintasan
1b
y
a
x
a = pintasan di paksi x
b = pintasan di paksi y-axis
y
x A
B
(0,c)
P(x, y)
y
x
P
Q
(0,b)
(a,0
)
Latihan Formatif 6.4
Unit 6 Geometri Koordinat |151
iii) Bentuk Am
0cbyax dengan a,b,c pemalar
b) Mencari Persamaan Garis Lurus
i) Diberi sekurang-kurangnya Dua Titik
Kecerunan AB ialah
2
1
35
12m
cx
2
1
cmxy
x2
1yc
2
13
2
11
2
1x
2
1y
Maka 1x2y atau 012yx
ii) Satu Titik, Satu Kecerunan
c4xy
c202
18c
Maka
184xy
P
Q
(5,2)
m = 4
Cuba layari
http://www.mathisfun.com/
Dan “clik” pada “Equation of a
straight line”
B(3,1)
A(5,2)
Matematik Asas|152
c) Pertukaran Bentuk Persamaan Garis Lurus
i) Bentuk kecerunan kepada bentuk am kemudian kepada bentuk pintasan
184xy 0184xy (Bentuk Am)
184xy
118
4x
18
y
(Bentuk Pintasan )
Contoh
Cari pintasan di paksi x dan y untuk garis y = 3x-12
123xy 12 3xy
14
x
12
y
ii) Bentuk Am Kepada Bentuk Keceruanan dan Kemudian Kepada Bentuk
Pintasan
Bentuk Am ke Bentuk Kecerunan Bentuk Am ke Bentuk Pintasan
0cbyax 0cbyax
caxby cbyax
b
cx
b
ay 1y
c
bx
c
a
b
cc
b
am pintasan paksi - x =
a
c
pintasan paksi - y = b
c
pintasan-y pintasan -x
pintasan-y pintasan -x
Unit 6 Geometri Koordinat |153
Contoh
1. Persamaan garis AB ialah 2x – 3y + 4 = 0. Tentukan
a) Kecerunan garis AB
b) Pintasan pada paksi-x dan paksi-y.
c) Cari persamaan garis lurus yang selari dengan garis ini dan melalui titik (1, 2).
d) Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus ini dan
melalui titik (1,2).
Penyelesaian:
a) 2x – 3y + 4 = 0
3y = 2x + 4
3
4x
3
2y
3
2m
b) Pintasan di paksi-y = c = 3
4
Apabila y = 0 3
4x
3
2
2x
Pintasan paksi-x = 2
c) Kecerunan garis lurus yang selari dengan garis lurus di atas = 3
2
3
2
1x
2y
Maka 3
2x
3
22y
3
8x
3
2y
082x3y
Layari laman webTry
http://www.mathisfun.com/
Dan cuba ujian di “Equation of a
straight line-test”
Matematik Asas|154
d) Kecerunan garis lurus yang serenjang dengan garis di atas = 2
3 .
2
3
1x
2y
maka 33x42y
013x2y
1. Cari persamaan garis-garis lurus yang memenuhi syarat-syarat berikut:
a) Kecerunan 3, pintasan paksi- y ialah 2.
b) Kecerunan 3
1, melalui (3,2).
c) Melalui (1,3) dan (2,6).
2. Titik-titik A (0,0), B(1,2) dan C(2,3) adalah tiga bucu bagi segiempat selari ABCD. Hitungkan
a) Kecerunan AB dan BC;
b) Persamaan garis yang melalui A dan selari dengan BC;
c) Persamaan garis yang melalui C dan selari dengan AB;
d) Cari koordinat bagi D.
3. Garis y = 3x + 4 bertemu paksi-y pada titik A. Titik-titik B dan C terletak pada garis itu
supaya AB = 0C. Garis lurus yang melalui B dan berserenjang dengan AC juga melalui
titik D(2,6). Cari
a) Persamaan garis lurus BD b) Koordinat B c) Koordinat C.
Latihan Formatif 6.5
Unit 6 Geometri Koordinat |155
6.7 Jarak Terdekat Titik ke Garis Lurus (Jarak Serenjang)
ax + by + c =0
Jarak terdekat dari titik (h,k) ke garis lurus ax + by + c ialah:
22 ba
cbkahd
Jika 0ba
cbkah
22
maka, titik berada di sebelah lain.
Contoh
Tentukan jarak dan kedudukan titik (2,1) dan (-3,2) terhadap garis lurus 2y 3x – 1 = 0.
Penyelesaian:
Diberi garis lurus dan 013x2y , 1c , 2b , 3a
Titik (2,1), maka h = 2, k = 1.
13
5
49
12(1)3(2)d1
Titik (−3,2), maka h = −3, k = 2
13
12
49
12(2)3)3(d2
(h,k)
d
P
Q
(2,1) (−3,2)
2y – 3x – 1 = 0
Matematik Asas|156
1. Cari jarak terdekat dari titik (−3,−1) ke garis 2x 3y 4 = 0.
2. Tentukan jarak dan kedudukan titik (2,1) dan (-3,2) terhadap garis lurus . 13x2y
8. Jarak Antara Dua Garis Lurus Selari
Caranya:
a) Cari koordinat pada salah satu garis.
b) Cari jarak serenjang titik ini dari garis yang satu lagi.
Contoh
Cari jarak di antara garis-garis selari 5x + 12y +1 = 0 dan 5x + 12y + 8 = 0.
Penyelesaian:
5x + 12y + 1 = 0
Apabila x = 0, y = 2
1 , maka (0,
12
1 )
Jarak T (0,12
1 ) ke garis 5x + 12y + 8 =0 ialah
13
7
14425
812
1120
d
l1
l2
Latihan Formatif 6.6
Unit 6 Geometri Koordinat |157
6.9 Persilangan Garis Lurus
Koordinat bagi titik persilangan dua garis boleh didapati dengan menyelesaikan kedua-dua
persamaan secara serentak.
Contoh
Cari koordinat titik persilangan garis-garis lurus 2x -3y = 6
dan 4x + y = 19.
Penyelesaian:
63y2x
19y4x
(1)2 126y4x
7y = 7
y = 1
x = 2
9
6.10 Pembahagian Dua Sama Sudut Antara Dua Garis
Katakan dua garis lurus:
g1 : a1 x + b1y + c1 = 0
g2 : a2 x + b2y + c2 = 0
Titik P(x,y) berada pada garis pembahagi dua sama sudut di antara dua garis di atas. Maka jarak
serenjang dari titik P(x,y) ke garis g1 dan g2 adalah sama iaitu PA = PB
P(x,y)
A
B
g2
g1
y
(2
9,1)
2x –3y = 6
4x + y = 19
Matematik Asas|158
2
1
2
1
111
ba
cybxa
=
2
21
2
2
222
ba
cybxa
Menyelesaikan persamaan ini akan menghasilkan garis yang membahagi dua sama sudut antara
garis g1 and g2.
6.11 Luas Segi Tiga dan Segi Empat
a) Luas Segi Tiga
Titik-titik A (x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) merupakan bucu-bucu bagi setiap segi tiga ABC.
Tuliskan luas ABC. A, B dan C disusun ikut lawan jam.
Luas ABC = Luas Trapezium (ABML + ACNL – BCNM)
=2
1( y1 + y2 )(x1 x2) +
2
1 ( y1 + y3)( x3 x1)
2
1 (y2 + y3 )(x3 x2)
Luas ABC =2
1 [( x1y2 - x2y1) + (x2y3 – x3y2) + (x3y1 - x1 y3 )]
1 2 3 4 5 6
y A(x1, y1)
C(x3, y3)
B(x2, y2) (x1- x2) (x3- x1)
x M (x2, 0) L (x1, 0) N (x3, 0)
Luas Trapezium
= 2
1(a + b)x h
a b
h
Unit 6 Geometri Koordinat |159
Untuk memudahkan, susun koordinat seperti berikut dengan mengulangi
koordinat yang pertama:
A B C A x1 x2 x3 x1
y1 y2 y3 y1
Luas ABC = 2
1[ (1 + 2 +3 ) – (4 + 5 + 6 ) ]
Contoh
Titik-titik A (7, 8), B(3, 1), C(10, 4) merupakan bucu-bucu bagi setiap segi tiga ABC.
Kirakan luas ABC. A, B dan C disusun ikut lawan jam.
Penyelesaian:
Menggunakan kaedah di atas:
A B C A
7 3 10 7
8 1 4 9
Luas ABC = 2
1[ (1 + 2 +3 ) – (4 + 5 + 6 ) ]
Luas ABC = 2
1[ (7 + 12 +90 ) – (24 + 10 + 28 ) ]
= 2
1[ (109 ) – ( 62 ) ] Luas ABC =
2
1(47) = 28.5 unit2
Apa yang akan
berlaku jika susunan
koordinat mengikut
arah jam?
2
1
1 2 3
4 5 6
2
1
1 2 3
4 5 6
Matematik Asas|160
b) Luas Segi Empat
Luas ABCD =ABC + ACD =
=2
1 [( x1y2 + x2y3 + x3y1 ) (x2y1 +x3y2 + x1 y3 )] +
2
1 [( x1y3 + x3y4 + x4y1 ) (x3y1 +x4y3 + x1 y4 )]
=2
1 [( x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1 ) (x2y1 +x3y2 + x4 y3 + x1y4 )]
A B C D A
= 2
1 x1 x2 x3 x4 x1
2
1 [ (1+2+3+4) – (5+6+7+8) ]
y1 y2 y3 y4 y1
Maka, kaedah untuk mendapatkan luas segi tiga juga boleh digunakan untuk mendapatkan
luas segi empat.
Contoh
Cari luas segi empat ABCD dengan bucu-bucu berkoordinat A(2,1) B(3,5) C(3, 4) dan
D( 2,2).
Dengan menggunakan
rumus luas segitiga, kita
gunakan untuk mendapat
luas segiempat.
C(x,y)
D(x,y)
A(x,y)
B(x,y)
Adakah susunan
ikut arah jam atau
lawan jam
penting?
1 2 3
4
5 6 7 8
Unit 6 Geometri Koordinat |161
Penyelesaian:
Luas Segiempat ABCD
A B C D A A B C D A
x1 x2 x3 x4 x1 2 3 -3 -2 2
y1 y2 y3 y4 y1 1 5 4 -2 1
=2
1 ( (10 +12 - 6 - 2) – (3 – 15 – 8 - 4) ) =
2
1 (38) = 19 unit2
1. Cari luas bagi setiap segi tiga berikut:
a) b)
2. Diberi A(1,2), B(2,4) dan C(3,8). Cari luas segi tiga daripada bucu-bucu tersebut.
3. Cari luas segi empat dengan bucu-bucu di titik (1,1), (4,5), (2,3) dan (1,2).
2
1
2
1
Latihan Formatif 6.7
y
1
2
3
4
5
6
x 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
-2
-1
1 2 3 4 5 -1 -2 x
-3 -4
Matematik Asas|162
RUMUSAN
1. Jarak antara dua titik (x1, y1) dan x2, y2) ialah 2
12
2
12 yyxx )( )(
2. Titik tengah antara dua titik (x1, y1) dan x2, y2) ialah
2
yy,
2
xx 2121
3. Titik yang membahagi suatu garis dengan nisbah m:n ialah :
a) Jika Pembahagian Di Sebelah Dalam, titik tengah =
nm
nymy,
nm
nxmx 1212
b) Titik Pembahagian Di Sebelah Luar, titik tengah=
nm
nymy,
nm
nxmx 1212
4. Kecerunan suatu garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan x2, y2) ialah 12
12
xx
yym
5. a) Dua garis lurus yang selari mempunyai kecerunan yang sama, iaitu m1 = m2.
b) Dua garis lurus adalah berserenjang jika m1 m2.= -1
6. a) Pintasan-x ialah koordinat-x bagi titik persilangan antara garis lurus dengan paksi-x.
b) Pintasan-y ialah koordinat-y bagi titik persilangan antara garis lurus dengan paksi-y.
Kecerunan garis lurus, x-pintasan
y-pintasanm
7. Persamaan garis lurus boleh dibentuk apabila diberi:
a) kecerunan m dan satu titik (x1, y1), iaitu )xm(xyy 11
b) dua titik (x1, y1) dan x2, y2) iaitu 12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
c) pintasan-x = a dan pintasan-y = b, iaitu 1b
y
a
x
8. Persamaan garis lurus boleh diungkap dalam:
a) bentuk kecerunan cmxy dengan kecerunan m dan c = pintasan-y.
b) bentuk pintasan, 1b
y
a
x dengan pintasan-x = a dan pintasan-y = b.
c) bentuk am, 0cbyax dengan a,b,c adalah pemalar.
Unit 6 Geometri Koordinat |163
9. Jarak terdekat dari titik (h,k) ke garis lurus ax + by +c ialah 22 ba
cbkahd
, dimana jika
0ba
cbkah22
maka, titik berada di sebelah lain.
10. Cara untuk mendapatkan jarak antara dua garis lurus Selari ialah
a) Cari koordinat pada salah satu garis.
b) Cari jarak serenjang titik ini dari garis yang satu lagi.
11. Koordinat bagi titik persilangan dua garis boleh didapati dengan menyelesaikan kedua-dua
persamaan secara serentak.
12. Pembahagian dua sama sudut antara dua garis boleh didapati jika dua garis lurus
g1 : a1 x + b1y + c1 = 0
g2 : a2 x + b2y + c2 = 0, dan
titik P(x,y) berada pada garis pembahagi dua sama sudut di antara dua garis di atas. Maka
jarak serenjang dari titik P(x,y) ke garis g1 dan g2 adalah sama iaitu PA = PB
2
1
2
1
111
ba
cybxa
2
21
2
2
222
ba
cybxa
Menyelesaikan persamaan ini akan menghasilkan garis yang membahagi dua sama sudut
antara garis g1 and g2.
11. a) Luas segi tiga dengan bucu titik (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3) ialah
2
1 ( x1y2 + x2y3 + x3y1 - x2y1 – x3y2 - x1 y3 )
b) Luas segi empat dengan bucu titik (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) dan (x4, y4) ialah
2
1 ( x1y2 + x2y3 + x3y4 +x4y1 - x2y1 – x3y2 –x4y3 –x1 y4 )
KATA KUNCI
Koordinat Cartesian, serenjang, selari, kecerunan, kecerunan positif, kecerunan negatif, kecerunan
sifar, paksi-x, paksi-y, pintasan-x, pintasan-y, bucu.
Matematik Asas|164
1. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus berikut adalah selari atau tidak. a) 2x – 5y + 8 = 0 dan 2x – 5y – 3 = 0.
b) x + y = 5 dan 2x + 3y = 5.
2. Tentukan sama ada garis lurus AB dan CD berikut adalah selari atau tidak.
a) A (0,1) , B(1,2) , C(1, 4) dan D(3,2);
b) A (1,0), B(3,6) C (5,2) dan D(3,5).
3. Diberi kecerunan garis lurus yang melalui titik (t,1) dan titik (1,2 – 5t) ialah 3.Cari nilai t.
4. Jika A (4 , p + q) , B (4 ,2p), dan C (8 , 12) terletak pada satu garis lurus, cari nilai p.
5. Nyatakan pintasan paksi-x dan pintasan paksi-y bagi setiap garis lurus berikut. Seterusnya,
kirakan kecerunan garis lurus itu.
• •
y
0
( 0 , 8 )
( 4 , 0 )
y
0
( 0 , 6 )
(9 , 0 )
Latihan Sumatif
Unit 6 Geometri Koordinat |165
6. Cari kecerunan garis lurus yang melalui titik
a) P (4,0) dan Q (0,12).
b) R (15,0) dan S (0,10).
7. Diberi kecerunan suatu garis lurus yang menyilang paksi-x pada titik (3,0) ialah 2. Cari
koordinat titik garis lurus itu yang menyilang paksi-y.
8. Cari persamaan garis lurus yang menyilang paksi-x dan paksi-y masing-masing pada
a) (3,0) dan (6,2).
b) (4,0) dan (0,2).
9. Sebuah seitiga mempunyai bucu-bucu sA (1,2) , B (3,0) dan C (4,4).
Cari persamaan garis lurus
a) yang melalui titik C dan titik tengah AB;
b) yang melalui titik C dan mempunyai kecerunan yang sama dengan kecerunan AB.
10. Diberi garis lurus 2x + py +q = 0 mempunyai kecerunan –2 dan menyilang paksi-y pada titik
(0,5) .Cari nilai p dan q.
11. Garis lurus 4x – 3y –12 = 0 menyilang paksi-x dan paksi-y masing-masing pada titik P dan
Q. Cari koordinat bagi titik P dan Q.
12. Cari luas rantau yang dilingkungi oleh garis lurus 6x + 2y 12 = 0 , paksi-x dan paksi-y.
13. Cari titik persilangan bagi setiap pasangan garis lurus yang berikut:
a) x + y = 8 dan 3x –2y = 9.
b) 5x + 2y – 12 = 0 dan 5x – 2y = 0.
Matematik Asas|166
14. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik asalan dan titik persilangan garis lurus
3x – 2y + 3 = 0 dan 3x + y – 6 = 0.
15. Garis lurus yang melalui titik (1,3) dan (5,3) menyilang garis lurus 2x –3y = 9 pada titik
A. Cari koordinat bagi titik A.
16 . Cari persamaan garis lurus yang selari dengan 2y = 3x – 4 dan melalui titik tengah
P(0,3) dan Q(2,5).
17. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus y = 5 –3x dan melalui titik
(1,2).
Unit 6 Geometri Koordinat |167
RUJUKAN
Marzita Puteh.2010. Foundation Mathematics. Tanjong Malim: Penerbit Universiti Pendidikan Sultan Idris.
Marzita Puteh.2002. Matematik PermulaanSiri 1. Kuala Lumpur: Prentice Hall
Marzita Puteh.2002. Matematik Permulaan Siri 2. Kuala Lumpur: Prentice Hall.
McGregor, C.1994. Fundamentals of University Mathematics : Albion Publishing, Chichester
Layari Laman Web
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/0/exp log.7/
http://www.math.com/tables/algebra/exponents.htm
Matematik Asas|168
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF Latihan Formatif 6.1 1. d1 = d2 dan ABC ialah seitiga kaki sama.
2. a) 29 b) 20 c) 72 d) 74
Latihan Formatif 6.2 1. a) (3,1) b) (6,5) c) 5 Latihan Formatif 6.3 1. r =19, s = 23
2. (5
27,
5
19)
3. ( 4,1)
4 (4, 1) Latihan Formatif 6.4
1. a) 2
5 b)
2
1 c) 1 d)
7
5
Latihan Formatif 6.5
1. a) y = 3x + 2 b) y = 3
1x 1 c) y = x +4
2. a) mAB = 2, mBC = 1 b) y = x c) y = 2x 1 d) (1,1)
3. a) x + 3y =16 b) (5
2,
5
26) c) (
5
4,
5
32)
Latihan Formatif 6.6
1. 13
7
2.
13
5
49
11223d1
,
13
12
49
12233d2
, kedudukan titik (2,1) berada di
sebelah bawah garis dan titik (-3,2) berada di sebelah atas garisan. Latihan Formatif 6.7
1. 5
2. 2
31
Sila semak
jawapan anda
dengan jawapan
yang diberi.
Unit 6 Geometri Koordinat |169
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1. a) Selari b) Tidak Selari
2. a) Selari
b) Tidak Selari
3. 2
4. 3
5. a) pintasan-x = 4 , pintasan-y = 8 kecerunan = 2
b) pintasan-x = 9, pintasan -y = 6 kecerunan = 2/3
6. a) 3
7. b) 3
2
8. ( 0, 6 )
9. a) y = 3x + 11 b) 3x + 2y = 18
10. a) y = x b) x + 2y = 12
11. p =1 , q = 5
12. P (3,0) , Q(0,4)
13. 6 unit2
14. a) (5,3) b) (1, 5
1)
15. A(3,1)
16. 3x – 2y +5 = 0
17. x – 3y + 7 = 0