Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan...
Transcript of Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan...
![Page 1: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/1.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Geometri Vektor
Kusbudiono
Jurusan Matematika
1 Nopember 2011
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 2: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/2.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
1 Vektor dan Garis
2 Koordinat
3 Norma Vektor
4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi
5 Hasil Kali Silang
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 3: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/3.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Definisi Vektor
DefinisiJika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya disebut vektordan dinotasikan dengan
−→AB atau
−→CD yang menunjukkan ruas
garis tersebut mempunyai panjang dan arah. Dapat puladinotasikan sebagai huruf kecil tebal.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 4: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/4.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Definisi Vektor
Dua buah vektor v dan w adalah sama (v = w) jika mempunyaipanjang dan arah sama. Vektor yang mempunyai besar samadengan vektor v tetapi arahnya berlawanan dinyatakan dengan−v. Apabila panjang suatu vektor nol maka disebut vektor noldan dinotasikan dengan 0.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 5: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/5.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Penjumlahan Vektor
DefinisiJika a dan b adalah dua vektor sembarang, untuk menghitungpenjumlahan a + b: tempatkan ekor ruas garis yang meyatakanb pada ujung ruas garis yang menyatakan a. Vektor a + bdinyatakan oleh panah dengan ekor a dan ujung b(parallelogram rule).
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 6: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/6.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.
2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,vdan w.
3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 7: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/7.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,v
dan w.
3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 8: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/8.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,v
dan w.3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.
4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 9: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/9.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,v
dan w.3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 10: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/10.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Perkalian skalar dengan vektor
DefinisiDiberikan sembarang vektor v dan sembarang bilangan a,perkalian skalar dari v oleh a adalah vektor av dengan besardan arah sebagai berikut:
1 Besar dari av adalah ‖av‖ = |a|‖v‖.2 Arah dari av adalah
sama dengan v jika a > 0 dan v 6= 0tidak dapat ditentukan jika a = 0 atau v = 0berlawanan arah dengan v jika a < 0 dan v 6= 0
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 11: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/11.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Sifat-sifat Perkalian skalar dengan vektor
Sifat-sifat dari perkalian vektor dengan skalar sebagai berikut:1 ‖av‖ = |a|‖v‖ untuk sembarang skalar a dan vektor v.2 1v = v untuk sembarang vektor v.3 (−1)v = −v untuk sembarang vektor v.4 0v = 0 untuk sembarang vektor v.5 a0 = 0 untuk sembarang skalar a.
Suatu vektor disebut vektor satuan jika besar atau panjangnya1. Jika v 6= 0, maka 1
‖v‖v adalah vektor satuan dengan arahsama dengan arah v .
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 12: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/12.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Koordinat Siku-siku
Pada koordinat siku-siku pada ruang terdapat tiga garis salingtegak lurus sebagai sumbu utama yang disebut sumbu X,sumbu Y dan sumbu Z yang ketiganya bertemu disatu titik dandisebut titik asal. Ketiga sumbu merupakan garis bilangan realdengan 0 pada titik asal. Sedangkan bidang yang didapat darisumbu X dan Y disebut bidang X− Y, begitu pula untuk duabidang yang lain. Masing-masing titip P dinyatakan dengantunggal tiga bilangan (x , y , z) yang disebut koordinat. Sehinggatitik P ditulis sebagai P(x , y , z).
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 13: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/13.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Vektor Posisi
DefinisiDiberikan titik P(x , y , z), vektor posisi dari P didefinisikansebagai p =
−→OP dari titik asal ke P, dan dinotasikan dengan
p = (x , y , z)
dan bilangan x , y dan z disebut komponen X ,Y dan Z dari p.Jika P = P(x , y) dalam bidang X− Y, vektor posisi dinotasikandengan
p = (x , y).
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 14: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/14.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
TeoremaMisalkan u = (x , y , z) dan u1 = (x1, y1, z1) dua vektro dalambentuk komponen, maka:
1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.
2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 15: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/15.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
TeoremaMisalkan u = (x , y , z) dan u1 = (x1, y1, z1) dua vektro dalambentuk komponen, maka:
1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).
3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 16: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/16.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
TeoremaMisalkan u = (x , y , z) dan u1 = (x1, y1, z1) dua vektro dalambentuk komponen, maka:
1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.
4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 17: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/17.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
TeoremaMisalkan u = (x , y , z) dan u1 = (x1, y1, z1) dua vektro dalambentuk komponen, maka:
1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 18: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/18.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
TeoremaDiberikan titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2), vektor dari P1 keP2 adalah −−−→
P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 19: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/19.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Norma Vektor dan Rumus Jarak
Panjang vektor sering disebut juga norma vektor
TeoremaMisalkan v = (x , y , z) adalah sebuah vektor. Maka
‖v‖ =√
x2 + y2 + z2
Teorema (Rumus Jarak)
Jarak d anatar titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) diberikanoleh √
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 20: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/20.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:
TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:
u + v = v + u.
u + (v + w) = (u + v) + w.
u + 0 = u.
u + (−u) = 0.
1u = u.
a(bu) = (ab)u.
(a + b)u = au + bu.
a(u + v) = au + av.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 21: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/21.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:
TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:
u + v = v + u.
u + (v + w) = (u + v) + w.
u + 0 = u.
u + (−u) = 0.
1u = u.
a(bu) = (ab)u.
(a + b)u = au + bu.
a(u + v) = au + av.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 22: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/22.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:
TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:
u + v = v + u.
u + (v + w) = (u + v) + w.
u + 0 = u.
u + (−u) = 0.
1u = u.
a(bu) = (ab)u.
(a + b)u = au + bu.
a(u + v) = au + av.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 23: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/23.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:
TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:
u + v = v + u.
u + (v + w) = (u + v) + w.
u + 0 = u.
u + (−u) = 0.
1u = u.
a(bu) = (ab)u.
(a + b)u = au + bu.
a(u + v) = au + av.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 24: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/24.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:
TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:
u + v = v + u.
u + (v + w) = (u + v) + w.
u + 0 = u.
u + (−u) = 0.
1u = u.
a(bu) = (ab)u.
(a + b)u = au + bu.
a(u + v) = au + av.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 25: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/25.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:
TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:
u + v = v + u.
u + (v + w) = (u + v) + w.
u + 0 = u.
u + (−u) = 0.
1u = u.
a(bu) = (ab)u.
(a + b)u = au + bu.
a(u + v) = au + av.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 26: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/26.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:
TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:
u + v = v + u.
u + (v + w) = (u + v) + w.
u + 0 = u.
u + (−u) = 0.
1u = u.
a(bu) = (ab)u.
(a + b)u = au + bu.
a(u + v) = au + av.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 27: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/27.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:
TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:
u + v = v + u.
u + (v + w) = (u + v) + w.
u + 0 = u.
u + (−u) = 0.
1u = u.
a(bu) = (ab)u.
(a + b)u = au + bu.
a(u + v) = au + av.Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 28: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/28.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Hasil kali titik
DefinisiHasil kali dalam u · v dari dua vektor u dan v didefinisikansebagai berikut:
u · v =
{‖u‖‖v‖ cos θ jika u 6= 0 dan v 6= 00 jika u = 0 atau v = 0
Dari definisi diatas, u · v adalah bilangan sehingga seringkalidisebut perkalian skalar u dan v.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 29: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/29.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Hasil kali titik
Teorema
Misalkan v1 = (x1, y1, z1) dan v2 = (x2, y2, z2) dua vektor dalam bentukkomponen. Maka perkalian titiknya dihitung sebagai berikut:
v1 · v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2
Teorema
Misalkan u, v dan w sembarang vektor.1 u · v adalah bilangan real2 u · v = v · u3 u · 0 = 0 = 0 · u4 u · u = ‖u‖2
5 (ku) · v = k(u · v) = u · (kv) untuk sembarang skalar k6 u · (v±w) = u · v± u ·w
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 30: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/30.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Orthogonal
DefinisiDua vektor u dan v disebut orthogonal jika u = 0 atau v = 0atau sudut dua vektor tersebut adalah π
2
TeoremaDua vektor tak nol u dan v orthogonal jika dan hanya jikau · v = 0
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 31: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/31.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Proyeksi Orthogonal
Diberikan vektor taknol d dan suatu vektor u yang dituliskansebagai penjumlahan dua buah vektor,
u = u1 + u2
dengan u1 sejajar d dan u2 = u− u1 orthogonal pada d.Anggap bahwa u dan d 6= 0 dimulai dari titik awal Q, P ujung u,dan P1 . Maka u1 = QP1 mempunyai sifat:
1 u1 sejajar pada d2 u2 = u − u1 orthogonal pada d3 u = u1 + u2
DefinisiVektor u1 = QP1 disebut proyeksi u atas d dan dinotasikan
u1 = projdu
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 32: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/32.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Proyeksi Orthogonal
TeoremaMisalkan u dan d 6= 0 adalah vektor.
1 Proyeksi u1 dari u atas d diberikan oleh projdu = u·d‖d‖2 d.
2 Vektor u− projdu adalah orthogonal ke d.
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 33: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/33.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Definisi Hasil Kali Silang
DefinisiDiberikan vektor v1 = (x1, y1, z1) dan v2 = (x2, y2, z2), hasil kalisilang v1 × v2 didefinisikan sebagai
v1 × v2 = ((y1z2 − z1y2),−(x1z2 − z1x2), (x1y2 − y1x2))
atau dalam notasi determinan
v1 × v2 =
(∣∣∣∣ x2 x3y2 y3
∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ x1 x3y1 y3
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ x1 x2y1 y2
∣∣∣∣)
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 34: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/34.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Hasil kali silang
TeoremaJika u,v dan w adalah vektor sembarang.
1 u× v adalah vektor2 u× v orthogonal pada u dan v3 u× 0 = 0 = 0× u4 u× u = 05 u× v = −(v× u)6 (ku)× v = k(u× v) = u× (kv) untuk semabarang skalar k7 u× (v + w) = (u× v) + (u×w)
8 (v + w)× u = (v× u) + (w× u)
Kusbudiono Geometri Vektor
![Page 35: Geometri Vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 Kusbudiono Geometri Vektor. ... Pada koordinat siku-siku](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7b774609d3f2ac4e8b8090/html5/thumbnails/35.jpg)
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang
Hasil Kali Silang
TeoremaJika u dan v dua vektor, maka
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u× v)2
TeoremaJika u dan v dua vektor dan θ sudut antara u dan v, maka
1 ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ = luas jajargenjang yang dibangunu dan v.
2 u dan v sejajar jika dan hanya jika u× v = 0
Kusbudiono Geometri Vektor