Post on 28-May-2019
MagisterPengelolaanAirdanAirLimbahUniversitasGadjahMada
StatistikaTeknikRegresidanInterpolasi
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
1
RegresidanInterpolasi:CurveFitting• Acuan• Chapra,S.C.,CanaleR.P.,1990,NumericalMethodsforEngineers,2ndEd.,McGraw-HillBookCo.,NewYork.• Chapter11dan12,pp.319-398.
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
2
CurveFitting• Mencarigaris/kurvayangmewakiliserangkaiantitikdata• Adaduacarauntukmelakukannya,yaitu• Regresi• Interpolasi
• Aplikasidibidangenjiniring• Polaperilakudata(trendanalysis)• Ujihipotesis(hypothesistesting)
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
3
CurveFitting• Regresi• Apabiladatamenunjukkantingkatkesalahanyangcukupsignifikanataumenunjukkanadanyanoise
• Untukmencarisatukurvatunggalyangmewakilipolaumumperilakudata
• Kurvayangdicaritidakperlumelewatisetiaptitikdata
• Interpolasi• Diketahuibahwadatasangatakurat
• Untukmencarisatuatauserangkaiankurvayangmelewatisetiaptitikdata
• Untukmemperkirakannilai-nilaidiantaratitik-titikdata
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
4
CurveFitting• Ekstrapolasi• Miripdenganinterpolasi,tetapiuntukmemperkirakannilai-nilaidiluarkisarantitik-titikdata
• Ekstrapolasitidakdisarankan
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
5
CurveFitting terhadapDataPengukuran• Analisispolaperilakudata• Pemanfaatanpoladata(pengukuran,eksperimen)untukmelakukanperkiraan
• Apabiladatapersis(akurat):interpolasi• Apabiladatatakpersis(takakurat):regresi
• Ujihipotesis• Pembandinganantarahasilteoriatauhasil hitungandenganhasilpengukuran
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
6
BeberapaParameterStatistik• Rata-rataaritmatik,mean
• Deviasistandar,simpanganbaku,standarddeviation
• Varian (‘ragam’),variance
• Coefficientofvariation!!sy
2 =Stn−1
!!y = 1
nyi∑
!!sy =
Stn−1 !!
St = yi −y( )2
∑
!!c.v.=
syy100%
merep
resentasikanse
barandata
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
7
DistribusiProbabilitas
X
frek DistribusiNormalsalahsatudistribusi/sebarandatayangseringdijumpaiadalahdistribusinormal
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
8
REGRESIRegresiLinear
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
9
Regresi:MetodeKuadratTerkecil• Mencarisatukurvaatausatufungsi(pendekatan)yangsesuaidenganpolaumumyangditunjukkanolehdata• Datanyamenunjukkankesalahanyangcukupsignifikan• Kurvatidakperlumemotongsetiaptitikdata
• Metode• Regresilinear• Regresipersamaan-persamaantak-linearyangdilinearkan• Regresipolinomial• Regresilinearganda• Regresitak-linear
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
10
Regresi:MetodeKuadratTerkecil• Bagaimanacaranya?• Programkomputer• Spreadsheet (MicrosoftExcel)
• Programaplikasigratis,miripMatLab• Octave• Scilab• Freemat
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
11
RegresiLinear• Mencarisuatukurvalurusyangcocokmenggambarkanpolaserangkaiantitikdata:(x1,y1),(x2,y2)…(xn,yn)
• MicrosoftExcel• INTERCEPT(y1:yn;x1:xn)• SLOPE(y1:yn;x1:xn)
yreg =a0 + a1xa0 : intercepta1 : slope
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
12
RegresiLinear• Kesalahanatauresidu(e)adalahperbedaanantaranilaiysesungguhnya(datay)danynilaipendekatan(yreg)menurutpersamaanlineara0 +a1x.
• Minimumkanjumlahkuadratresidutersebut
!!e= y−a0 −a1x
!!min Sr!
"#$=min ei
2∑!" #$=min yi −a0 −a1xi( )
2
∑!"'#$(
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
13
RegresiLinear• Bagaimanacaramencarikoefisiena0 dana1?• Diferensialkanpersamaantersebutduakali,masing-masingterhadapa0 dana1.
• Samakankeduapersamaanhasildiferensiasitersebutdengannol.
• Selesaikanpersamaantsbuntukmendapatkana0 dana1.
( )
( ) 02
02
101
100
=---=¶¶
=---=¶¶
å
å
iiir
iir
xxaayaS
xaayaS
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
14!!
a1 =n xiyi∑ − xi∑ yi∑n xi
2∑ − xi∑( )2
a0 = y −a1 x
ContohRegresiLinear
i xi yi = f(xi)0 1 0.51 2 2.52 3 23 4 44 5 3.55 6 66 7 5.5
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6 7
y=f(x
)
X
Tabeldata Grafik/kurvadata
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
15
HitunganRegresiLineari xi yi xi yi xi2 yreg (yi−yreg)2 (yi−ymean)2
0 1 0.5 0.5 1 0.910714 0.168686 8.576531
1 2 2.5 5 4 1.75 0.5625 0.862245
2 3 2.0 6 9 2.589286 0.347258 2.040816
3 4 4.0 16 16 3.428571 0.326531 0.326531
4 5 3.5 17.5 25 4.267857 0.589605 0.005102
5 6 6.0 36 36 5.107143 0.797194 6.612245
6 7 5.5 38.5 49 5.946429 0.199298 4.290816
∑= 28 24.0 119.5 140 ∑= 2.991071 22.71429
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
16
HitunganRegresiLinear
a1 =n xiyi∑ − xi∑ yi∑
n xi2∑ − xi∑( )
2=
7 119.5( )−28 24( )7 140( )− 28( )2
= 0.839286
!!
y = 247=3.4
x = 287= 4
a0 =3.4−0.839286 4( ) =0.071429
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
17
HitunganRegresiLinear
01234567
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
data
regresi
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
18
RegresiLinear• Kuantifikasikesalahan• Kesalahanstandar
• Perhatikankemiripannyadengansimpanganbaku
!!sy x =
Srn−2
!!sy =
Stn−1 !!
St = yi −y( )2
∑
!!Sr = yi −a0 −a1xi( )
2
∑
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
19
RegresiLinear• Bedaantarakeduakesalahantersebutmenunjukkanperbaikanataupengurangankesalahan
r2 =St − Sr
St
=1−Sr
St
r =n xiyi∑ − xi∑( ) yi∑( )
n xi2∑ − xi∑( )
2n yi
2∑ − yi∑( )2
koefisiendeterminasi(coefficientofdetermination)
koefisienkorelasi(correlationcoefficient)
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
20
HitunganRegresiLinear
!!
Sr = yi −a0 −a1xi( )2
∑ =2.991071
St = yi −y( )2
∑ =22.71429
!!
r2 =St −SrSt
=1−SrSt=1− 2.991071
22.71429=0.868318
r =0.931836
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
21
Contoh#2
i xi yi = f(xi)0 1 5.51 2 62 3 3.53 4 44 5 25 6 2.56 7 0.5
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6 7
y=f(x
)
X
Tabeldata Grafik/kurvadata
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
22
REGRESIRegresipersamaantak-linearyangdilinearkan
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
23
RegresiLinear• Linearisasipersamaan-persamaantak-linear• Logaritmikmenjadilinear• Eksponensialmenjadilinear• Pangkat(polinomialtingkatn >1)menjadilinear(polinomialtingkat1)
• Dll.
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
24
LinearisasiPersamaanNon-linear
x
y ln y
1
ln a
!y =aebx
!!lny = lna+bx
x
b
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
25
LinearisasiPersamaanNon-linear
1
x
y log y
logx
b!y =ax
b
!!logy = loga+blogx
!!logb
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
26
LinearisasiPersamaanNon-linear
1/y
1!y =a x
b+ x
1/x
y
x
!!
1y=b+ xax
=1a+ba1x
!!1 a!b a
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
27
REGRESIRegresiPolinomial
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
28
RegresiPolinomial• Sebagiandatabidangteknik,walaupunmenunjukkanpolayangjelas,namunpolatsbtidakdapatdiwakiliolehsebuahgarislurus• Metode1:transformasikoordinat(linearisasipersamaantak-linear)• Metode2:regresipolinomial
• Polinomialtingkatm
• Jumlahresidukuadrat
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
29
!!y =a0 +a1x+a2x2 +...+amx
m
!!Sr = ei
2
i=1
n
∑ = yi −a0 −a1xi +a2xi2 +...+amxi
m( )2
i=1
n
∑
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
30
• Metodekuadratterkecilyangdiperluasuntukregresipolinomialtingkatm
• Persamaan-persamaandikananinidisamakandengannoldandisusunsedemikianrupamenjadisistempersamaanlinear
!!
∂Sr∂a0
=−2 yi −a0 −a1xi +a2xi2 +...+amxi
m( )i=1
n
∑
∂Sr∂a1
=−2 xi yi −a0 −a1xi +a2xi2 +...+amxi
m( )i=1
n
∑
∂Sr∂a2
=−2 xi2 yi −a0 −a1xi +a2xi
2 +...+amxim( )
i=1
n
∑
.
.
.∂Sr∂am
=−2 xim yi −a0 −a1xi +a2xi
2 +...+amxim( )
i=1
n
∑
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
31!!
a0n+a1 xii=1
n
∑ +a2 xi2
i=1
n
∑ +...+am xim
i=1
n
∑ = yii=1
n
∑
a0 xii=1
n
∑ +a1 xi2
i=1
n
∑ +a2 xi3
i=1
n
∑ +...+am xim+1
i=1
n
∑ = xiyii=1
n
∑
a0 xi2
i=1
n
∑ +a1 xi3
i=1
n
∑ +a2 xi4
i=1
n
∑ +...+am xim+2
i=1
n
∑ = xi2yi
i=1
n
∑
.
.
.
a0 xim
i=1
n
∑ +a1 xim+1
i=1
n
∑ +a2 xim+2
i=1
n
∑ +...+am xi2m
i=1
n
∑ = ximyi
i=1
n
∑
§ Adam+1persamaanlineardenganm+1variabeltakdiketahui,yaitua0,a1,a2,…,am
§ Persamaan-persamaanlinearinidapatdiselesaikandenganmetode-metode• EliminasiGauss• Gauss-Jordan• IterasiJacobi• Inversimatriks
Contoh• Temukanlahkurvapolinomialtingkat2yangmewakilipolasebarandatapadatabeldisisikananini
• Jawab
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
32
xi yi0 2.1
1 7.7
2 13.6
3 27.2
4 40.9
5 61.1
!!y =a0 +a1x+a2x2
!!
y =2.47857+2.35929x+1.86071x2
r2 =1−SrSt=1− 3.74657
2513.39=0.99851
r =0.99925
REGRESIRegresiLinearGanda(MultipleLinearRegression)
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
33
RegresiLinearGanda• Misalvariabely adalahfungsilinearduavariabelbebasx1 danx2
• Koefisiena0,a0,a0 padapersamaandiatasdapatditemukandenganmetodekuadratterkecilkesalahan(error)
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
34
!!y =a0 +a1x1+a2x2
!!Sr = yi −a0 −a1x1i −a2x2i( )
2
i=1
n
∑
RegresiLinearGanda
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
35!!
∂Sr∂a0
=−2 yi −a0 −a1x1i −a2x2i( )i=1
n
∑
∂Sr∂a1
=−2 x1i yi −a0 −a1x1i −a2x2i( )i=1
n
∑
∂Sr∂a2
=−2 x2i yi −a0 −a1x1i −a2x2i( )i=1
n
∑
§ Diferensialparsialpersamaantersebutterhadapmasing-masingkoefisien
!!
na0 + x1i a1i=1
n
∑ + x2i a2i=1
n
∑ = yii=1
n
∑
x1i a0i=1
n
∑ + x1i2 a1
i=1
n
∑ + x1i x2i a2i=1
n
∑ = x1iyii=1
n
∑
x2i a0i=1
n
∑ + x1i x2i a1i=1
n
∑ + x2i2 a2
i=1
n
∑ = x2iyii=1
n
∑
§ Samakanpersamaandiferensialtsbdengannoldanatursuku-sukudalampersamaan
RegresiLinearGanda
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
36!!
n x1ii=1
n
∑ x2ii=1
n
∑
x1ii=1
n
∑ x1i2
i=1
n
∑ x1i x2ii=1
n
∑
x2ii=1
n
∑ x1i x2ii=1
n
∑ x22
i=1
n
∑
"
#
$$$$$$$$
%
&
''''''''
a0a1a2
(
)**
+**
,
-**
.**
=
yii=1
n
∑
x1i yii=1
n
∑
x2i yii=1
n
∑
(
)
****
+
****
,
-
****
.
****
§ Persamaan-persamaanlineartersebutdapatdituliskandalambentukpersamaanmatriks
Contoh• Temukanlahpersamaanlinearyangmewakilipolasebarandatadalamtabeldisampingini.
• Jawab
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
37
x1 x2 y
0 0 5
2 1 10
2.5 2 9
1 3 0
4 6 3
7 2 27
!!y =5+4x1 −3x2r2 =1
RegresiLinearGanda• Regresilineargandadapatdipakaipadakasushubunganantarvariabelyangberupapersamaanpangkat(powerequations)
• Persamaandiatassangatbermanfaatpadakasusfitting dataeksperimen
• Persamaandiatasditransformasikanmenjadipersamaanlinear
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
38
!!y =a0x1a1x2
a2 ...xmam
!!logy = loga0 +a1 logx1+a2 logx2 +...+am logxm
REGRESIBentukUmumPersamaanRegresiLineardenganMetodeKuadratTerkecil
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
39
RegresiLinear(KuadratTerkecil)• Tigajenisregresiyangtelahdipaparkan,yaituregresilinear,regresipolinomial,danregresilineargandadapatdituliskandalambentukumummodelkuadratterkecil
• z0,z1,…,zm adalahfungsi-fungsiyangberjumlahm+1• m+1adalahjumlahvariabelbebas• n+1adalahjumlahdata
• Persamaandiatasdapatdituliskandalambentukpersamaanmatriks
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
40
!!y =a0z0 +a1z1+a2z2 +...+amzm
!Y{ }= Z!" #
$ A{ }
RegresiLinear(KuadratTerkecil)
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
41
!Y{ }= Z!" #
$ A{ }
!!
Z!" #$=
a01 a11 . . . am1
a02 a12 . . . am2
. . .
. . .
. . .a0n a1n amn
!
"
%%%%%%%%
#
$
&&&&&&&&
§ {Y}adalahvektorkolomvariabeltakbebas
§ [Z]adalahmatriksdatanilaivariabelbebas
§ {A}adalahvektorkolomkoefisienyangtidakdiketahui
!Z!" #$TZ!" #$ A{ }= Z!" #
$TY{ }
!!Sr = yi − ajzji
j=1
m
∑#
$%%
&
'((
2
i=1
n
∑
RegresiLinear(KuadratTerkecil)
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
42
!Z!" #$TZ!" #$ A{ }= Z!" #
$TY{ }
§ Strategipenyelesaian• DekomposisiLU• MetodeCholesky• Inversimatriks
!!A{ }= Z!" #
$TZ!" #$
!"%
#$&
−1
Z!" #$TY{ }
INTERPOLASIMetodeNewtonMetodeLagrange
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
43
Interpolasi
linear kuadratik kubik
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
44
Interpolasi• Situasi• Keperluanuntukmemperkirakannilaivariabeldiantaradataakuratyangdiketahui
• Metodeyangpalingseringdipakaiuntukkeperluantersebutadalahinterpolasipolinomial
• Bentukumumpersamaanpolinomialtingkatn
• Hanyaadasatupolinomialtingkatn atautingkatyanglebihkecilyangmelaluisemuan+1titikdata
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
45
!!f x( ) =a0 +a1x+a2x2 +...+anxn
Interpolasi• Penyelesaianpersamaanpolinomialtingkatnmembutuhkansejumlahn +1titikdata
• Metodeuntukmencaripolinomialtingkatn yangmerupakaninterpolasisejumlahn +1titikdata:• MetodeNewton• MetodeLagrange
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
46
InterpolasiLinear:MetodeNewton
x
f(x)
f(x1)
f1(x)
f(x0)
x0 x1x !!
f1 x( )− f x0( )x− x0
=f x1( )− f x0( )
x1 − x0
f1 x( ) = f x0( )+f x1( )− f x0( )
x1 − x0x− x0( )
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
47
InterpolasiKuadratik:MetodeNewton
!!
f2 x( ) =b0 +b1 x− x0( )+b2 x− x0( ) x− x1( )=b0 +b1x−b1x0 +b2x
2 +b2x0x1 −b2xx0 −b2xx1= b0 −b1x0 +b2x0x1( )
a0
! "### $###+ b1 −b2x0 −b2x1( )
a1
! "## $##x+ b2( )
a2
%x2
!!f2 x( ) =a0 +a1x+a2x2
!!
a0 =b0 −b1x0 +b2x0x1a1 =b1 −b2x0 −b2x1a2 =b2
"
#$
%$
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
48
InterpolasiKuadratik:MetodeNewton
!!b2 =
f x2( )− f x1( )x2 − x1
−f x1( )− f x0( )
x1 − x0x2 − x0
= f x2 ,x1 ,x0"#
$%=
f x2 ,x1"#
$%− f x1 − x0"
#$%
x2 − x0
!!b0 = f x0( )
!!b1 =
f x1( )− f x0( )x1 − x0
= f x1 ,x0"#
$%
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
49
InterpolasiPolinomial:MetodeNewton
!!fn x( ) =b0 +b1 x− x0( )+...+bn x− x0( ) x− x1( )... x− xn−1( )
!!
b0 = f x0( )b1 = f x1 ,x0!
"#$
b2 = f x2 ,x1 ,x0!"
#$
.
.
.bn = f xn ,xn−1 ,...,x1 ,x0!
"#$
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
50
InterpolasiPolinomial:MetodeNewton
!!
f xi ,xj!"
#$=
f xi( )− f x j( )xi − xj
f xi ,xj ,xk!"
#$=
f xi ,xj!"
#$− f x j ,xk!
"#$
xi − xk
f xn ,xn−1 ,...,x1 ,x0!"
#$=
f xn ,xn−1 ,...,x1!"
#$− f xn−1 ,nn−2 ,...,x0!
"#$
xn − x0
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
51
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]( )( ) ( ) [ ]01110
012100100
,...,,...
...,,,
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxf
nnn
n
-----++--+-+=
InterpolasiPolinomial:MetodeNewton
i xi f(xi)LangkahHitungan
ke-1 ke-2 ke-3
0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0]
1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1]
2 x2 f(x2) f[x3,x2]
3 x3 f(x3)
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
52
InterpolasiPolinomial:MetodeLagrange
!!
fn x( ) = Li x( ) f xi( )i=0
n
∑
Li x( ) =x− xj
xi − xjj=0j≠i
n
∏
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
53
Contohinterpolasi
i xi f(xi)
0 1 1.5
1 4 3.1
2 5 6
3 6 2.101234567
0 1 2 3 4 5 6 7f(x
)X
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
54
SPLINELinearKuadratikKubik
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
55
Interpolasi:Spline• Jumlahtitikdatan+1® interpolasipolinomialtingkatn• Tingkatbesar,n>>, mengalamikesulitanapabilatitik-titikdatamenunjukkanadanyaperubahantiba-tibadisuatutitiktertentu(perubahangradiensecaratiba-tiba)
• Dalamsituasitsb,polinomialtingkatkecil,n <<,dapatlebihrepresentatifuntukmewakilipoladata
• Spline• Cubicsplines(n =3)• Quadraticsplines• Linearsplines
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
56
InterpolasiPolinomialvsSpline§ Polinomialtingkatn
n =1n » n =1n »
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
57
LinearSplines• Spline tingkat1 :garislurus• Dataurut :x0,x1,x2,…,xn
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
58!!
f x( ) = f x0( )+m0 x− x0( ) x0 ≤ x ≤ x1f x( ) = f x1( )+m1 x− x1( ) x1 ≤ x ≤ x2...
f x( ) = f xn−1( )+mn−1 x− xn−1( ) xn−1 ≤ x ≤ xn( ) ( )
ji
jii xx
xfxfm
--
=+
+
1
1
gradien:
LinearSplines• Linearspline• Dengandemikian,linearspline adalahsamadenganinterpolasilinear• Kekuranganlinearspline adalahketidak-mulusankurvainterpolasi• Terdapatperubahanslope yangsangattajamdititik-titikdataataudititik-titikpertemuankurvaspline (knot)
• Derivatifpertamafungsilinearspline diskontinudititik-titikknot• Kelemahanlinearsplinetersebutdiatasidenganpemakaianpolinomialyangmemilikitingkatlebihtinggiyangmenjaminkemulusankurvaspline diknots dengancaramenyamakannilaiderivatifdititik-titikknot
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
59
QuadraticSplines• Quadraticsplines• Untukmendapatkankurvayangmemilikidiferensial/laju-perubahanke-m kontinudititikknot,makadiperlukankurvaspline yangbertingkatpalingkecilm +1.
• Yangpalingbanyakdipakaiadalahspline tingkat3(cubicspline):diferensialpertamadankeduakontinudititik-titikknot.• Ketidak-mulusandiferensialketiga,keempat,dst.umumnyatidakbegitutampaksecaravisual
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
60
QuadraticSplines• Tujuan:mencaripolinomialtingkat2untuksetiapintervaltitik-titikdata.
• Polinomialtingkat2tsbharusmemilikidiferensialpertama(lajuperubahan)yangkontinudititik-titikdata.
• Polinomialtingkat2:
• Untuk(n+1)titikdata(i =0,1,2,…,n),terdapatn interval,sehinggaterdapat3n koefisienyangharusdicari(ai,bi,ci),i =1,2,...,n.
• Perlupersamaansejumlah3n.
( ) iii cxbxaxf ++= 2
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
61
QuadraticSplines• Ke-3n persamaantsbadalahsbb.
1. Kurvasplinememotongtitik-titikdata(knot):intervali- 1danibertemudititikdata{xi- 1,f(xi- 1)}
2. Kurvaspline diintervalpertamamemotongtitikdatapertama(i =1)dankurvaspline diintervalterakhirmemotongtitikdataterakhir(i =n)
i =2,3,…,n2(n- 1)pers.
!!
ai−1xi−12 +bi−1xi−1+ci−1 = f xi−1( )
aixi−12 +bixi−1+ci = f xi−1( )
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
622 pers.( )( )nnnnnn xfcxbxa
xfcxbxa
=++
=++2
0101201
QuadraticSplines• Ke-3n persamaantsbadalahsbb.
3. Diferensial(gradien)kurvaspline diduaintervalberurutanadalahsamadititikdatayangbersangkutan
4. Diferensial kedua(lajuperubahangradien)kurvaspline dititikdatapertamasamadengannol
i =2,3,…,n(n- 1)pers.
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
63
!!!f x( ) =2ax+b ⇒ 2ai−1xi−1+bi−1 =2aixi−1+bi
1pers.!!ai =0
Konsekuensi:2titikdatapertama(i =0dani =1)dihubungkandengangarislurus
QuadraticSplines• Dengandemikian,jumlahpersamaanseluruhnya:
2(n – 1)+2+(n – 1)+1=3n
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
64
CubicSplines• Tujuan:mencaripolinomialtingkat3untuksetiapintervaltitik-titikdata.• Polinomialtingkat3tsbharusmemilikidiferensialpertama(gradien)dandiferensialkedua(lajuperubahangradien)yangkontinudititik-titikdata.
• Polinomialorde3:
• Untuk(n+1)titikdata(i =0,1,2,…,n),terdapatn interval,shg.terdapat4n koefisienyangharusdicari(ai,bi,ci,di),i =1,2,...,n.• Perlupersamaansejumlah4n.
!!fi x( ) =aix3+bix2 +ci x+di
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
65
CubicSplines• Ke-4n persamaantsbadalahsbb.
1. Kurvasplinememotongtitik-titikdata(knot):intervali- 1danibertemudititikdata{xi- 1,f(xi- 1)}® (2n- 2)pers.
2. Kurvaspline diintervalpertamamemotongtitikdatapertamadankurvaspline terakhirmemotongtitikdataterakhir® 2pers.
3. Diferensialpertamakurvaspline diduaintervalberurutanadalahsamadititikdataybs.® (n- 1)pers.
4. Diferensialkeduakurvaspline diduaintervalberurutanadalahsamadititikdataybs.® (n- 1)pers.
5. Diferensialkeduakurvaspline dititikdatapertamadanterakhirsamadengannol® 2pers.
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
66
CubicSplines• Ke-4n persamaantsb.• Syaratkelimamembawakonsekuensisbb.
• Kurvaspline diintervalpertamadanintervalterakhirberupagarislurus• duatitikdatapertamadihubungkandengansebuahgarislurus• duatitikdataterakhirdihubungkandengansebuahgarislurus
• Adasebuahsyaratalternatifsebagaipenggantisyaratkelimatsb• Derivatifkeduadititikknot terakhirdiketahui
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
67
CubicSplines• Diperoleh4n persamaanyangharusdiselesaikanuntukmencari4nkoefisien,ai,bi,ci,di2(n – 2)+2+(n – 1)+(n – 1)+2=4n
• Dimungkinkanuntukmelakukanmanipulasimatematisshgdiperolehsuatuteknikcubicsplines yanghanyamemerlukann– 1penyelesaian(lihaturaiandibukuacuan• Chapra,S.P.,Canale,R.P.,1985,NumericalMethodsforEngineers,McGraw-HillBook
Co.,NewYork,hlm.395-396).
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
68
CubicSplines
!!
fi x( ) =!!f xi−1( )
6 xi − xi−1( )xi − x( )
3+
!!f xi−1( )6 xi − xi−1( )
x− xi−1( )3
+f xi−1( )xi − xi−1( )
−!!f xi−1( ) xi − xi−1( )
6
#
$%%
&
'((xi − x( )
+f xi( )xi − xi−1( )
−!!f xi−1( ) xi − xi−1( )
6
#
$%%
&
'((x− xi−1( )
!!
xi − xi−1( ) ""f xi−1( )+2 xi+1 − xi−1( ) ""f xi( )+ xi+1 − xi( ) ""f xi+1( ) =6
xi+1 − xi( )f xi+1( )− f xi( )#$
%&+
6xi − xi−1( )
f xi−1( )− f xi( )#$
%&
2unknowns disetiapinterval:
!!!!f xi−1( ) !!dan!! !!f xi( )
!!
n!interval!!f x0( ) =0!!f xn( ) =0
"
#$$
%$$
⇒ n−1( ) !pers.
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
69
3-Oct-17
http://istia
rto.staff.u
gm.ac.id
70