Post on 02-May-2015
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Corso di Fisica-
CinematicaProf. Massimo Masera
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia FarmaceuticheAnno Accademico 2011-2012
dalle lezioni del prof. Roberto CirioCorso di Laurea in Medicina e Chirurgia
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La cinematica
Velocità
Accelerazione
Il moto del proiettile
Salto verticale
La lezione di oggi
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Meccanica e cinematica Meccanica: studio del moto gli oggetti
forze esterne dimensioni massa distribuzione della massa
Cinematica (dal greco kinema, moto):
studio del moto indipendentemente da cosa lo ha causato unidimensionale: moto lungo una linea retta moto uniforme e accelerato
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Posizione, cammino, spostamento
Velocità, accelerazione
Il moto rettilineo uniforme in 2D
Il generico moto in 2D
Il moto del proiettile
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Sistema di coordinate cartesiane
origine
0
verso
direzione
unità di misura
m1 2 3 4 5 6 7 8 9
scala
6
Sistema di coordinate cartesiane
0 m1 2 3 4 5 6 7 8 9
xfinale è maggiore di xiniziale
xfinale > xiniziale
xf > xi
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Sistema di coordinate cartesiane
xfinale è minore di xiniziale
xfinale < xiniziale
xf < xi
0m 9 8 7 6 5 4 3 2 1
8
Posizione
La persona in figura è alla posizione x = 3 m
0m 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9
Cammino
CAMMINO (quantità sempre positiva)
lunghezza complessiva del tragitto
Casa amico Casa tua Drogheria
Cammino = 2.1 km + 4.3 km = 6.4 km
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Spostamento
SPOSTAMENTO (positivo o negativo)
Cambiamento di posizione = (Posizione finale – Posizione iniziale)
Dx = xfinale – xiniziale
Dx = xf – xi
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EsercizioUn giocatore di scacchi esegue la sua mossa,
spostando la regina di 4 caselle verso nord e di 2
caselle verso ovest (lato casella = 2.5 cm).
Determinare il cammino totale
percorso dalla regina e lo spostamento.
N
E
S
W
cammino totale = 6 caselle
= 6 x 2.5 cm = 15 cmspostamento = √ 16 + 4 = 4.5 caselle = 4.5 x 2.5 cm = 11.25 cm
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Posizione, cammino, spostamento
Velocità, accelerazione
Il moto rettilineo uniforme in 2D
Il generico moto in 2D
Il moto del proiettile
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•Velocità media
Unità di misura: m/s
Moto rettilineo. Legge oraria
• Descrive la posizione di un oggetto in funzione del tempo
• A fianco è data una rappresentazione grafica di un esempio di legge oraria
• Questa rappresentazione è utile per introdurre il concetto di velocità
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12
tt
xx
t
xv
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Velocità media
La velocità è una grandezza vettoriale.
è la pendenza della retta che unisce due punti sulla curva x(t)
v
m/s23
6
:esempioNell'
s
mv
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Velocità media
Dimensioni: [L T-1]Unità di misura (Sistema Internazionale): m
s-1
NOTATempo impiegato è sempre > 0Spostamento può essere < > 0
Velocità media può essere < > 0
Moto rettilineo lungo x
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Velocità istantanea
Il corpo varia la sua posizione in modo continuo da un punto al successivo, percorrendo in “piccoli” intervalli
di tempo “piccole” traiettorie.
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Accelerazione media
if
if
inizialefinale
inizialefinalem t- t
v- v
t- t
v- v
t
v a
impiegato tempo
velocita' media oneaccelerazi ]T [L
[T]
]T [L 2--1
Unità di misura (Sistema Internazionale): m s-2
La interpreto come:
in 1 secondo, la velocità è variata di tot metri al secondo
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Accelerazione istantanea
NOTAQuando parleremo di velocità e accelerazione, intenderemo SEMPRE velocità istantanea e accelerazione istantanea.
Se si tratta di velocità (accelerazione) media,
lo si deve indicare esplicitamente
costa at; v v 0
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Le equazioni del moto uniformemente accelerato
at v v 0
a
t
v
t
x
t
v0
x0
a = cost
v aumenta linearmente
con il tempo
x aumenta con il quadrato del
tempo
tv xx 0
200 at
2
1 t v xx
at2/1v at vv1/2 v 000
20
Velocità vs. spazio
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EsercizioUn bambino lancia dal balcone una pallina verso
l’alto, verticalmente, con velocità iniziale di 6 m/s.
Determinare:
l’altezza massima raggiunta dalla pallina
(spazio totale percorso dall’oggetto in salita)
il tempo impiegato dalla pallina per raggiungere la massima altezza
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EsercizioSoluzione
Per determinare l’altezza massima raggiunta dalla pallina nel suo moto verticale, si prende in considerazione la legge oraria del moto uniformemente accelerato (con so = 0; a = -g = -9.8 m/s2 )
s = hmax = (6 m/s)2 / (2×9.8 m/s2) = 1.8 m
Il tempo impiegato dalla pallina a raggiungere l’altezza massima si ricava da:
v0
-g
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Vettori posizione e spostamento
Vettore Posizione
ovvero
sono nel punto P1
P1
Vettore Spostamento
ovvero
vado da P1 a P2P1
P2
if r - r r
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Vettore velocità
t
r vm
Dt è uno scalare
e sono parallelimv
r
t
rlim v
0t
La velocità istantanea è tangente alla traiettoria
in ogni istante
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e sono paralleli...
Il vettore accelerazione
t
v a m
t
vlim a
0t
v
... ma ... cosa importantissima ... mentre segue il moto, in generale non lo segue l’accelerazione non è generalmente parallela alla velocità
a v
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EsercizioUn camion si muove di moto rettilineo uniforme
percorrendo una distanza pari a 110 km in 57 minuti.
Determinare la velocità media del camion.
spazio percorso
Dx = 110 km
tempo impiegato
Dt = 57 min
= (57 / 60) = 0.95 h
Soluzione
vmedia = Dx / Dt
= 110 km / 0.95 h
= 116 km/h
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Posizione, cammino, spostamento
Velocità, accelerazione
Il moto rettilineo uniforme in 2D
Il generico moto in 2D
Il moto del proiettile
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Il moto in due dimensioni
e.g.: il moto del proiettile
Si applica a qualunque corpo sottoposto solo alla forza gravitazionale (forza peso) accelerazione costante
Proiettile Generico corpo
Il segreto:
Applicare le equazioni del moto unidimensionale
lungo i due assi cartesiani
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Moto rettilineo uniforme in 2D
30
Moto rettilineo uniforme in 2D
O
31
Moto rettilineo uniforme in 2D
O
32
Moto rettilineo uniforme in 2D
O
A
33
Moto rettilineo uniforme in 2D
A
O
costante v0
34
Moto rettilineo uniforme in 2D
35
Moto rettilineo uniforme in 2D
36
Moto rettilineo uniforme in 2D
-100 ms 0.26 costante v v
s 5.0 t Condizioni al contorno
m 1.3 (5.0s))ms (0.26 t v d -10
m 1.2 )25 (cosm) (1.3 θ cos dx 0
m 0.55 )25(sen m) (1.3 θsen dy 0
Metodo ‘1’
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-10-100x ms 0.24 )25 (cos)ms (0.26 θ cos v v
-10-100y ms 0.11 )25(sen )ms (0.26 θsen v v
m 1.2 s) (5)ms (0.24 t vx -10x
m 0.55 s) (5)ms (0.11 t vy -10y
-100 ms 0.26 costante v v
s 5.0 t
Moto rettilineo uniforme
in 2D
Metodo ‘2’
Condizioni al contorno
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Moto rettilineo uniforme in 2D:
equazioni generali
t v xx 0x0 t v yy 0y0
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Composizione dei moti: esempio
Una persona sta scendendo dalla scaletta di un vagone merci. Il vagone si muove di moto rettilineo uniforme con v=0.70 m/s, e la persona scende con moto rettilineo uniforme con v=0.20 m/s.
Quali sono modulo e verso della velocità della persona rispetto al suolo? Vts
velocità del treno rispetto al suolo
Vpt velocità della persona
rispetto al treno
Vps velocità della persona rispetto al
suolo
q
40
EsercizioSoluzione
Si esprimono in componenti i vettori velocità del treno rispetto al suolo (vts) e della persona rispetto al treno (vpt):
Il vettore velocità della persona rispetto al suolo è quindi
Modulo e verso di questo vettore sono dati rispettivamente da …
m/s 0.70 v ps x,
m/s 0.20 - v ps y,
o1-
-1
ps x,
ps y, 16 - 0.2857) (-atan ms 0.70
ms 0.20-atan
v
vatan θ
1-222ps y,
2ps x,psps ms 73.0)20.0()70.0( v v v v
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Posizione, cammino, spostamento
Velocità, accelerazione
Il moto rettilineo uniforme in 2D
Il generico moto in 2D
Il moto del proiettile
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Genericomoto in 2D con
accelerazione costante
NotaQuesto sistema di equazioni
permette la soluzione di qualunque problema di
cinematica in 2 dimensioni (accelerazione costante)
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Posizione, cammino, spostamento
Velocità, accelerazione
Il moto rettilineo uniforme in 2D
Il generico moto in 2D
Il moto del proiettile
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Il moto di un proiettileUn proiettile è un qualunque corpo che, avendo
una certa velocità iniziale, sia sottoposto esclusivamente al campo gravitazionale
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Moto di un proiettile Ipotesi:
trascuro la resistenza dell’aria (piuma vs. ferro) L’accelerazione di gravità è costante (quota) trascuro la rotazione della Terra
(missili intercontinentali)
Ho solo accelerazione di gravità
(sulla Terra g = 9.81 ms-2), diretta verso il basso
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Moto di un proiettile
L’accelerazione è
uguale nei 2 casi
Relatività galileiana Caduta di un grave
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Equazionidel moto di un
proiettile
t v xx 0x0
20y0 gt
2
1 t v yy
gt -v v 0yy 0xx v v
L’ipotesi è che:-2
y ms 9.81- g- a
48
Lancio ad angolo 0o
V0,x
tvx 0x2gt
2
1 h y
gt - v y 00xx v v v
49
La traiettoria è parabolica
tvx 0x
2gt 2
1 h y
bx ay 2parabola
50
La gittataDomanda:
Dove atterra un proiettile lanciato orizzontalmente,da altezza h e con velocità v0x?
Risposta:
Posso calcolare la distanza, imponendo la condizione che la yfin del proiettile sia 0
tvx 0x
2gt 2
1 h y
tvx 0x
2gt 2
1 h 0
tvx 0x
g
2h t
g
2hvx 0x
Gittata: (velocità scalare media) x (tempo di caduta)
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n. 54, pag. M115 Walker
Un lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale dimodulo 3.50 m/s da un’altezza di 1.50 m dal suolo. Calcolare qual è lagittata del lancio se l’angolo è:
1) 20°
2) 30°
3) 40o
Esercizio
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SoluzioneUn lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale di modulo3.5 m/s da un’altezza di 1.5 m dal suolo. Calcola qual è la gittata dellancio se l’angolo è:1) 20o
2) 30o
3) 40o
t) θ cos (v x 0
) t(g 1/2 - t ) θsen (v y 0 200
t) (3.29 x 0 1.5 - t ) (1.2 - ) t(g 1/2 2
s 0.69 t
Risolvo per q = 20o
Per q = 30o
Per q = 40o
s 0.76 t
s 0.83 t
53
Lancio con un angolo qualunque e x0=y0=0
t cosθvx 0
20 gt
2
1 t senθvy
gt -senθv v 0y
cosθv v 0x Gittata (y=0):
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Lancio con un angolo qualunquee con posizione iniziale qualunque
gt -senθv v 0y
cosθv v 0x
Uguale al caso precedente,
ma ri-compaiono x0 e y0
t cosθ v xx 00
200 gt
2
1 t senθ v y y
55
Moto parabolico(Moto di un proiettile con e senza aria)
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EsercizioUn delfino salta dall’acqua con v0 = 12 ms-1, verso l’allenatrice che è a
d = 5.50 m e h = 4.10 m. Nell’istante in cui il delfino esce dall’acqua, l’allenatrice lascia cadere una palla.
Dimostrare che il delfino riesce a prendere la palla.
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EsercizioSoluzione
o36.7 m 5.50
m 4.10arctan
d
harctan θ
Comincio a calcolare q
gt -senθv v d 0dy
cosθv v d 0dx
t cosθ v x d 0d
2d 0d gt
2
1 t senθ v y
2 p gt
2
1 h y
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EsercizioIl delfino raggiunge la distanza della palla quando
xd = d = 5.50m
gt -senθv v d 0dy cosθv v d 0dx
t cosθ v x d 0d
2d 0d gt
2
1 t senθ v y
2p gt
2
1 h y
gt -senθv v d 0dy cosθv v d 0dx
s 0.572 ms 9.62
m 5.50
cosθv
x t
1-d 0
d
2d 0d gt
2
1 t senθ v y
2p gt
2
1 h y
... e questo evento succede al tempo t = 0.572 s
59
EsercizioAl tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad
un’altezza...
gt -senθv v d 0dy cosθv v d 0dx
t cosθ v x d 0d
2d 0d gt
2
1 t senθ v y
2p gt
2
1 h y
gt -senθv v d 0dy
cosθv v d 0dx
t cosθ v x d 0d
2p gt
2
1 h y
m 2.50 m 1.60 - m 4.10 s) (0.572)ms (9.81 2
1 s) 0.572())sen(36.7ms (12.0 y 22-o1-
d
Al tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad un’altezza di 2.50 m
60
EsercizioAl tempo t = 0.572 s la palla si troverà ad
un’altezza...
gt -senθv v d 0dy
cosθv v d 0dx
t cosθ v x d 0d
2d 0d gt
2
1 t senθ v y
2p gt
2
1 h y
gt -senθv v d 0dy
cosθv v d 0dx
t cosθ v x d 0d
2d 0d gt
2
1 t senθ v y
m 2.5 m 1.60 - m 4.10 s) (0.572)s (9.81 2
1 m 4.10 y 22-
p
Al tempo t=0.572 s la palla si troverà ad un’altezza di 2.50 m
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Moto circolare uniforme (1)
Un oggetto che si muove lungo una traiettoria circolare con velocità costante in modulo è in moto circolare uniforme.
Il vettore velocità varia continuamente la propria direzione.
Quindi l’oggetto è sottoposto ad accelerazione.
Il vettore accelerazione è diretto verso il centro della circonferenza accelerazione centripeta
Il tempo impiegato a descrivere una circonferenza di raggio r è detto periodo
62
Moto circolare uniforme (2)
xP
yP
Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati
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Moto circolare uniforme (3)
Modulo dell’accelerazione centripeta
Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati
64
Moto circolare uniforme (4)
L’accelerazione è effettivamente diretta verso il centro della circonferenza. Infatti:
Quindi = il vettore accelerazione ha direzione radiale ed è rivolto al centro.
Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati
65
Accelerazione radiale e tangenziale
In generale, la velocità cambia per intensità e direzione lungo la traiettoria Vettore velocità: sempre tangente alla traiettoria Vettore accelerazione può essere espresso come:
Il raggio dei cerchi tratteggiati è il raggio di
curvatura della traiettoria nei punti A, B e C
con versore tangenziale versore normale alla traiettoria, diretto verso il centro di curvatura
Accelerazione tangenziale
Accelerazione radiale
La dimostrazione è nelle 2 slide seguenti (non c’è nel testo)
66
f
x
yC
Accelerazione radiale e tangenziale
Ora occorre dimostrare che df/dt=v/R ….
67
f
x
yC
f+df
df R
Accelerazione radiale e tangenziale
Nel tempo dt, il punto percorre un cammino elementare ds=vdt arco di circonferenza ds=Rdf
(1)
(2)
Quindi, sostituendo la (2) nell’espressione ricavata per l’accelerazione, si ottiene:
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Moto armonico (1)
xP
yP
Nel moto circolare uniforme la velocità angolare è costante:
In un periodo T viene descritto un angolo giro, quindi
La proiezione del punto P sull’asse x (o y) descrive un moto armonico:
Questo argomento non è presente nei testi consigliati
69
Moto armonico (2)
70
Moto relativo unidimensionale
Se i due sistemi di riferimento si muovono a velocità costante l’uno rispetto all’altro, si ha:
L’accelerazione del punto materiale P è la stessa nei due sistemi di riferimento
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Moto relativo bidimensionale
derivando rispetto al tempo, si trova:
Se è costante, allora:
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Con la cinematica 2D risolvo il problema del moto di un proiettile
Prossima lezione: Le leggi di Newton
Riassumendo