Post on 04-Jul-2015
1
MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE
Anul I, semestrul I CONłINUT Tema 1. Elemente de algebră superioară cu aplicaŃii în economie (vezi pag. 13-41 din
Matematici pentru economisti , I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)
◊ SpaŃii vectoriale. (vectori liniari independenŃi, sistem de generatori, bază a unui spaŃiu vectorial, dimensiune a unui spaŃiu finit dimensional).
◊ Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii vectoriale. ◊ Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan. ◊ Organizarea ca spaŃii metrice şi spaŃii normate. ◊ Forme liniare. ◊ Forme biliniare. (matricea ataşată formei biliniare, modificarea matricii unei funcŃionale
biliniare la schimbarea bazelor) ◊ Forme pătratice (forma canonică a unei forme pătratice, metode de aducere a unei forme
pătratice la forma canonică: Metoda lui Gauss, Metoda lui Jacobi) ◊ Operatori pe spaŃii vectoriale. ProprietăŃi. Valori proprii şi vectori proprii. ConŃinut
economic. Tema 2. Fundamentarea optimă a deciziilor prin programare liniară (vezi pag. 45-76
Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)
◊ Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma
generală, forma canonică, forma standard. Rezolvarea prin algoritmul simplex primal. - Trecerea de la o soluŃie posibilă de bază la altă soluŃie posibilă de bază (criteriul de ieşire
din bază); - Criteriul de intrare în bază; - Tratarea problemelor de P.L. care nu au forma standard; - Metoda bazei artificiale
◊ Forma duală a PPL. ◊ Teorema de dualitate şi conŃinutul economic al variabilelor duale (preŃuri umbră). ◊ Algoritmul simplex dual. ◊ Studii de caz în managementul financiar-contabil.
Tema 3. Decizii optime de transport (vezi pag. 45-76 Matematici pentru
economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) ◊ Formularea problemei transporturilor şi a modelului matematic. ◊ SoluŃii de bază iniŃiale. ◊ Criteriile de optimizare. ◊ Studii de caz.
2
Tema 4. Elemente de analiză matematică cu aplicaŃii în fundamentarea deciziei
economice optime (vezi pag. 86-115 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A.
Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)
◊◊◊◊ Serii numerice, criterii de convergenŃă. Şiruri de funcŃii. Serii de puteri. Seria Taylor . ◊ FuncŃii de mai multe variabile. MulŃimi şi puncte din Rn. ◊ Continuitatea funcŃiilor în spaŃiul Rn: limite, limite iterate. ◊ Derivabilitatea funcŃiilor în Rn: derivate parŃiale de ordinul I şi de ordin superior. ◊ DiferenŃiala de ordin I şi de ordin superior; conŃinut economic. ◊ Derivata funcŃiilor compuse. ◊ Extremele funcŃiilor de mai multe variabile ( punct de extrem local; punct staŃionar; punct
de minim local; ◊ punct de maxim local). ◊ Extreme cu legături (condiŃionate). ConŃinut economic. ◊ AplicaŃii şi studii de caz. ◊ Integrale.
Tema 5. Modelul dinamicii proceselor economice (vezi pag. 86-115 Matematici
pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)
◊ Dinamica proceselor economice: analiza în timp continuu şi în timp discret. ◊ Tipuri principale de ecuaŃii diferenŃiale cu aplicaŃii în economie: - ecuaŃii cu variabile separabile, - ecuaŃii diferenŃiale liniare: -ecuaŃii omogene, -ecuaŃii diferenŃiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaŃiile lor.
BIBLIOGRAFIE
1. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2000. 2. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2005,2007 3. BACIU A. – Matematici aplicate în economie şi finanŃe, Ed. FRM, Bucureşti, 2004
3
ALGEBRĂ LINIAR Ă SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii vectoriale. Baza şi
schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan. Organizarea ca spaŃii metrice şi spaŃii normate. Forme liniare, biliniare, pătratice. Operatori pe spaŃii vectoriale: valori proprii şi vectori proprii. ConŃinut economic. (vezi pag. 13-41 din Matematici pentru economisti , I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)
SpaŃii vectoriale Fie V o mulŃime nevidă de elemente şi K un corp de scalari (de regulă K este
corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C). Pe mulŃimea V se definesc două operaŃii: – operaŃia de adunare „+”, ca lege de compoziŃie internă
, avem Vx y V x y∀ ∈ + ∈
– operaŃia de înmulŃire „⋅” cu scalari, ca lege de compoziŃie externă; ∀ x ∈ V, α ∈ K avem α ⋅ x ∈ V DefiniŃie: MulŃimea nevidă V se numeşte spaŃiu vectorial peste corpul K dacă
(V, +) este grup abelian, adică verifică: 1) x + y = y + x (∀) x, y ∈ V 2) (x + y) + z = x + (y + z), (∀) x, y, z ∈ V 3) (∃) VO , elementul neutru astfel încât x + Ov = Ov + x = x, (∀) x ∈ V
4) (∀) x ∈ V, (∃) x− element opus, astfel încât x + (-x) = (-x) + x = Ov (∀) x ∈ V si (V, ⋅) verifică 1) (x + β)x = αx + βx pentru (∀) α, β ∈ K şi x ∈ V 2) α (x + y) = αx + αy pentru (∀) α ∈ K şi x, y ∈ V 3) (α ⋅ β) ⋅ x = α (βx) pentru (∀)α, β ∈ K şi x ∈ V 4. 1k ⋅ x = x pentru 1K ∈ K numit element neutru, (∀) x ∈ V
DefiniŃie Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul K. Un vector v ∈ V se numeşte combinatie liniară a vectorilor v1, ...., vm ∈V dacă există scalarii α1, α2, ...., αm ∈ K astfel încât
v = α1 v1 + α2 v2 + .....+ αm vm
4
DefiniŃie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vn din V se numeşte sistem de generatori ai spaŃiului vectorial V dacă orice vector v ∈V se poate scrie ca o combinaŃie liniară a vectorilor v1, v2, ...., vn.
DefiniŃie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm din V se numeşte sistem liniar independent dacă din α1v1 + α2v2 + ....+ αmvm = 0 rezultă ca scalarii
α1 = α2 = ..... =αm = 0 ObservaŃie: dacă există scalari nenuli, sistemul de valori se numeşte sistem liniar
dependent. PropoziŃie. Vectorii v1, v2, ..., vn ∈V sunt liniar dependenŃi dacă şi numai dacă
cel puŃin un vector dintre ei este o combinaŃie liniară de ceilalti. DefiniŃie. Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B = v1, v2, ..., vm se numeşte bază pe spaŃiul vectorial V dacă este formată
dintr-un număr maxim de vectori liniari independenŃi. Numărul vectorilor din bază determină dimensiunea spaŃiului.
DefiniŃie. CoeficienŃii α1, α2, ...., αn ai reprezentării vectorului v ∈ V în baza B se numesc coordonatele vectorului v în baza B.
PropoziŃie Sistemul de vectori unitari ( ) ( ) ( )1 21 0 ... 0 , 0 1 ... 0 , ..., 0 0 ... 1nb b b= = = formează o bază a spaŃiului
vectorial Rn numit bază canonică (sau unitară) Propozitie (Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei). Fie v ∈ Rn, A = {a1, a2, ... , an} şi B = {b1, b2, ..., bn} două baze din Rn şi prin abuz
de notatie notăm cu A şi B matricile acestor baze. Fie α1, α2, ..., αn coordonatele vectorului v în baza A şi β1, β2, ..., βn coordonatele
vectorului v în baza B şi pentru fiecare i, n,1i = , λi1, λi2, ..., λin, coordonatele vectorului vi în baza B. Atunci:
λα++λα=β
λα++λα=β
nnn1n1n
n1n1111
.....
..........
.....
care scris matricial devine:
β = M ⋅ α, unde
λλ
λλ=
nn1n
n111
M
L
MMM
L
sau M se numeşte matricea de trecere de la o bază la alta.
1.2. AplicaŃii liniare DefiniŃie: Fie V, V’ două spaŃii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K de
dimensiuni n respectiv m. O aplicaŃie T : V → V’ se numeşte aplicaŃie (transformare sau operator) liniară dacă este aditiva şi omogenă, deci dacă verifică:
a) T (x + y) = T(x) + T(y), (∀) x, y ∈ V b) T(αx) = αT(x), (∀)α ∈ K, x ∈ V.
5
Teoremă AplicaŃie T : V → V’ este aplicaŃie liniară dacă şi numai dacă:
T(αx + βy) = αT(x) + βT(y), (∀) α, β ∈ K, x, y ∈ V. Teoremă: Fie V, V’ două spaŃii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K; B = {a1, a2, ..., an} bază a spaŃiului vectorial V şi B’ = {b 1, b2, ..., bn} bază a
spaŃiului V’. Fie ai un vector oarecare din B atunci T(ai) ∈ V’ şi poate fi reprezentat în mod unic în funcŃie de vectorii bazei B’:
T(ai) = α1b1 + αi bi+ ... + αinbn. Matricea formată din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ... , T(an) în baza B’ se
va numi: matricea asociată aplicaŃiei liniare T în raport cu perechea de baze {B, B’}.
( )
ααα
αααααα
=
nnn2n1
n22221
n11211
'B,B TM
K
MMMM
K
K
1.3. Valori proprii şi vectori proprii asociaŃi aplicaŃiei liniare.
DefiniŃie: Fie V spaŃiu vectorial n – dimensional peste corpul de scalari K şi T : V → V o aplicaŃie liniară. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie
pentru aplicaŃie liniară T dacă există cel puŃin un vector nenul v ∈ V astfel încât: T(v) = λv. (1) DefiniŃie: Vectorul nenul v ∈ V care verifică relaŃia (1) se numeşte vector propriu
pentru aplicaŃia T asociată valorii proprii λ. Prezentăm în continuare modul de determinare al valorilor şi vectorilor proprii
pentru o aplicaŃie liniară. Fie T : V → V’ o aplicaŃie liniară cu matricea aplicaŃiei AT definită în baze
canonice. RelaŃia (1) se mai scrie: T(v) – λv = 0 sau ( ) 0T n vA E vλ− = (2)
RelaŃia (2) reprezintă scrierea matricială a unui sistem omogen. În consecinta coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluŃiile sistemului omogen (2). SoluŃiile sistemului omogen (2) nu sunt toate nenule numai dacă determinantul sistemului este nul: P(λ) = det (AT - λEn) = 0
Polinomul P(λ) se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaŃiei liniare T şi ecuaŃia P(λ) = 0 se numeşte ecuaŃia caracteristică a aplicaŃiei T.
Teoremă: Fie T: V → V’, λ ∈ K este o valoare proprie a aplicaŃiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaŃiei caracteristice.
6
1.3. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică.
DefiniŃie Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul real (R), de dimensiune n. O aplicaŃie f : V → R este o formă (transformare sau operator) liniară dacă este aditivă şi omogenă, adică:
a) f(x + y) = f(x) +f(y) (∀) x, y ∈ V b) f(αx) = αf(x), (∀) α ∈ R, x ∈ V. DefiniŃie O aplicaŃie f : V × V → R este o formă biliniar ă dacă este liniară în
raport cu ambele argumente, deci: 1. f(ax1 + bx2, y) = af(x1, y) + bf(x2, y) (∀) x1, x2, y ∈ V, (∀)a, b ∈ R 2. f(x, ay1 + by2) = af(x, y1) + bf(x,y2), (∀) x, y1, y2 ∈ V, (∀)a, b ∈ R Pentru formule biliniare vom da o modalitate de scriere a acestora sub forma
matricială: ObservaŃie: O formă biliniară este determinată dacă se cunoaşte matricea formei
A. DefiniŃie O formă biliniară se numeşte forma biliniar ă simetrică dacă matricea
formei este o matrice simetrică (adică matricea A este egală cu transpusa sa: Tff AA = ).
DefiniŃie Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul de scalari R, de dimensiune n. O aplicaŃie g: V → R este o formă pătratic ă dacă există o aplicaŃie biliniară simetrică f: V × V → R astfel încât g(x) = f(x, x) = xT Ax, (∀)x ∈V
Valorile
nn1n
n111
n2221
12112111
aa
aa
..., ,aa
aa ,a
K
MMM
L
=∆=∆=∆
se numesc minorii matricei A.
DefiniŃie Fie g : V → R o formă pătratică. g este pozitiv definită dacă toŃi minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi; g este semipozitiv definită dacă minorii sunt pozitivi sau zero; g este negativ definită dacă minorii impari, ∆1, ∆3 ... < 0 şi
∆2, ∆4 ... > 0; g este seminegativ definită dacă minorii impari ∆1, ∆3 ... ≤ 0 şi minorii pari ∆2, ∆4 ... ≥ 0; g pentru care nu sunt îndeplinite nici una din condiŃiile anterioare este o formă pătratică nedefinită.
DefiniŃie: Fie g : V → R o formă pătratică. Într-o bază a spaŃiului B ∈ V forma pătratică g are o formă canonică dacă matricea formei este o matrice diagonală.
Metoda lui Jacobi
Fie o formă pătratică g : V → R, g(x) = xTAx, A – matrice simetrică. Dacă toŃi minorii matricei A sunt nenuli atunci există o bază a spaŃiului V, astfel încât forma pătratică să se transforme în formă canonică:
( ) 2n
n
1n22
2
121
1
y...yy1
yg∆
∆++
∆∆
+∆
= −
unde y = (y1 y2, ..., yn) reprezintă coordonatele vectorului x în baza B.
7
Metoda lui Gauss constă în formarea de pătrate perfecte când conŃin cel puŃin un aii ≠ 0
Test de autoevaluare
1) Fie 2 vectori x, y ∈ R3 ( ) ( )1, 2, 1 şi y 0, 1, 3 x = = atunci
a) ( )1, 3, 4x y+ = ; b) ( )0, 3, 4x y+ = ; c) ( )0, 2, 4x y+ = ;d) ( )1, 3, 1x y+ =
Raspuns a) ( )1, 3, 4x y+ =
x + y = ( ) ( ) ( )1, 2, 1 + 0, 1, 3 = 1, 3, 4 x y+ =
2) Fie vectorii v1, v2, v ∈ R3. ( )1 1, 2, 3v = şi ( )2 0, 1, 1v = Să se scrie vectorul ( )1, 2, 4v = −
ca o combinaŃie liniară a vectorilor v1 şi v2. a) 1 22v v v= + ; b) 1 22v v v= − ; c) 1 2v v v= + ; d) v nu se poate scrie ca o combinatie
liniara a a vectorilor v1 şi v2 Raspuns d) Rezolvare Conform definiŃiei trebuie să aflăm scalarii α1 şi α2 astfel încât
v = α1v1 + α2 v2 ⇔
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 1 2
1, 2, 4 1, 2, 3 0, 1, 1
1, 2, 4 1, 2, 3 0, 1, 1
1, 2, 4 , 2 , 3
α αα α α α α αα α α α α
− = ⋅ + ⋅ ⇔
⇔ − = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇔
⇔ − = + +
sau altfel scris obŃinem următorul sistem cu necunoscutele α1, α2.
=α=α
−=α⇔
=α+α=α+α
−=α
741
4322
1
2
2
1
21
21
1 sistem incompatibil sau putem afirma că
vectorul v nu se poate scrie ca o combinaŃie liniară a vectorilor v1 şi v2. 3) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 30, 2, 1 ; 1, , 1 ; , 0, 1 ; Rv v m v m m= = − = ∈
DeterminaŃi parametrul m∈ R astfel încât vectorii v1, v2, v3 să fie liniar independenŃi. a)m=1; b) m=-1; c) m R∈ ; d) m=0 Raspuns c) Rezolvare
8
Aplicând definiŃia trebuie să punem condiŃia ca toŃi scalarii α1, α2, α3 ∈ K să fie nuli în egalitatea: α1v1 + α2v2 + α3v3 =0sau transformând această egalitate într-un sistem de ecuaŃii liniare omogene cu solutie nula unica, atunci obligatoriu trebuie să punem conditia ca determinantul matricii formată din vectorii v1, v2, v3 să fie nenul:
det A ≠ 0 ⇔
111
0m2
m10
− ≠ 0 ⇔ 0 + 0 –2m –m2 – 0 –2 ≠ 0
⇔ m2 + 2m + 2 ≠ 0 ⇔ (m+1)2 + 1 ≠ 0 (∀) m ∈ R Aşadar vectorii sunt liniar independenŃi pentru (∀) m ∈ R 4) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 2 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1v v v= = = , v1, v2, v3 ∈ R3
Vectorii v1, v2, v3 formează o bază a spatiului vectorial R3 ? Raspuns A Rezolvare Pentru a demonstra că sistemul format din trei vectori v1, v2, v3 (numarul
vectorilor din baza trebuie sa fie egal cu dimensiunea spatiului in care se lucreaza) formează baza este suficient să demonstrăm că este un sistem liniar independent
⇔
112
211
111
≠ 0 ⇔ Vectorii v1, v2, v3 formează o bază a spatiului vectorial
R3 5) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 2 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1v v v= = = , v1, v2, v3 ∈ R3
Exprimati coordonatele vectorului ( )2, 1, 2 v = − în baza v1, v2, v3 .
a) ( )2, 1, 0v = − ; b) ( )0, 3, 5v = ; c) ( )0, 3, 5v = − ; d) alt raspuns.
Raspuns c) Rezolvare
Vom afla coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 aplicând metoda Gauss-Jordan:
B v 1 1 1 2 1 1 2 -1 2 1 1 2 1 1 1 2 0 0 1 -3 0 -1 -1 -2 1 1 0 5 0 0 1 -3 0 -1 0 -5 1 0 0 0 0 0 1 -3
9
0 1 0 5 Citim din ultimul tabel coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 şi anume
( )0, 5, 3v = −
6) Exprimati vectorul ( )3, 1, 2v = − în baza unitară.
a) 1 2 33v e e e= + + ; b) 1 2 33 2v e e e= − + + ; c); 1 2 33v e e e= + − d) 1 2 33v e e e= − − Raspuns b) Rezolvare În spaŃiul R3 vectorii unitari sunt ( ) ( ) ( )1 2 31, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1e e e= = =
şi atunci putem scrie v = -3e1 + 1 ⋅ e2 + 2⋅ e3. 7) Exprimati vectorul ( )3, 1, 2v = − în baza v1, v2, v3 unde
( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 1 ; 3, 1, 2 ; 1, 1, 1v v v= − = − =
a) 1 2 30 1 1v v v v= + + ; b) 1 2 30 1 0v v v v= + + ; c) 1 2 31 1 0v v v v= + + ; d) alt răspuns. Raspuns b) Rezolvare Pentru a exprima v în baza v1, v2, v3 se rezolvă prin metoda Gauss Jordan şi
obŃinem 1 2 30 1 0v v v v= + + (sau se observă având în vedere că 2v v= ). 8) Fie următoarele sisteme de vectori: A = {a1, a2, a3}, unde ( ) ( ) ( )1 2 31, 4, 2 ; -1, 2, 0 ; 3, 1, 5a a a= = = şi
B = {b1, b2, b3}, unde ( ) ( ) ( )1 2 32, 4, 5 ; -1, 1, 0 ; -2, 0, 2b b b= = = .
Să se determine matricea de trecere de la baza A la baza B.
a)
−−=
205834
21715
14155
16
1M ; b)
5 15 141
15 17 216
34 58 20
M
− = − −
; c) 5 15 14
115 17 0
1634 58 20
M
= − −
;
d) alt raspuns. Raspuns a) Rezolvare
Fie M matricea de trecere de la A la B
Din vA = A-1 ⋅ v ⇒ v = A ⋅ vA ⇒ vB = B-1 ⋅ v ⇒ v = B ⋅ vB
A ⋅ vA = B ⋅ vB ⇒ vA = A-1 B vB deci MT = A-1B pe care o vom determina
aplicând metoda Gauss-Jordan
10
−−=
20214
581715
34155
16
1M T
−−=
205834
21715
14155
16
1M
A B 1 -1 3 2 -1 -2 4 2 1 4 1 0 2 0 5 5 0 2 1 -1 3 2 -1 -2 0 6 -11 -4 5 8 0 2 -1 1 2 6 1 0 7/6 4/3 -1/6 -2/3 0 1 -11/6 -2/3 5/6 4/3 0 0 8/3 7/3 1/3 10/3 1 0 0 5/16 -5/16 -17/8 0 1 0 15/16 17/16 29/8 0 0 1 7/8 1/8 5/4
9) AplicaŃia T : R2 → R3 unde
T(x1, x2) = (x1 + x2, –x2, – x1–x2) este o aplicaŃie liniară ? Raspuns A Rezolvare Conform teoremei vom arăta că: T(αx + βy) = αT(x) + βT(y) (∀) α, β ∈R, x, y ∈R2 ⇔ T(αx1 + βy1, αx2+ βy2) = αT(x1, x2) + βT(y1, y2) ⇔ (αx1 + βy1 + αx2 + βy2, – αx2 – βy2, – αx1 – βy1 – αx2 – βy2) = = α(x1 + x2, –x2, – x1 –x2) + β(y1 + y2, –y2, – y1 –y2) (A). 10) Fie aplicaŃia liniară T : R2 → R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2) Să se determine matricea asociată aplicaŃiei liniare T în raport cu perechea de
baze: B = {a1, a2} şi B’ = { b1, b2, b3}, unde ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2
1 2 3
1, 1 , -1, 3 ;
1, 1, 1 , 1, 3, 4 , 5, -1, 0
a a
b b b
= =
= = =
11
a) ( )
−
−
=
8
7
8
1
8
1
8
92
5
4
10
TM 'B,B ; b) ( ), '
10 5
4 29 1
8 81 7
8 8
B BM T
=
; c); ( ), '
10 5
4 29 1
8 81 5
8 8
B BM T
= −
d) alt raspuns. Raspuns a) Rezolvare
T(a1) = T(1, 1) = (2, –1, –2) T(a2) = T(–1, 3) = (2, –3, –2). Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt: (10/4, –9/8, 1/8) şi respectiv (–5/2, 1/8, 7/8). Deci
( )
−
−
=
8
7
8
1
8
1
8
92
5
4
10
TM 'B,B
11) Fie aplicaŃia liniară T : R2 → R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2) Să se determine matricea asociată aplicaŃiei liniare T în raport cu bazele
canonice.
a) ( ), '
1 1
0 1
1 1B BM T
= −
; b) ( )
−−−=
11
10
1 1
TM 'B,B ; c) ( ), '
1 1
0 1
1 0B BM T
= −
;
d) alt raspuns. Raspuns b) Rezolvare Bazele canonice sunt B = {e1, e2}, ( ) ( )1 21, 0 , 0, 1e e= = şi
{ } ( ) ( ) ( )' ' '1 2 3 1 2 3' , , , 1, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1B e e e e e e= = = =
' ' '
T(e1) = T(1, 0) = (1, 0, –1) T(e2) = T(0, 1) = (1, –1, –1). Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt (1, 0, –1) şi respectiv (1, –1, –1)
şi deci
12
( )
−−−=
11
10
1 1
TM 'B,B
12) Fie T : R3 → R3 o aplicaŃie liniară a cărei matrice asociată în raport cu baza
canonică este:
=130
310
004
A T
Să se afle valorile proprii asociaŃi acestui operator. a) λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = 2; b) λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = –2; c) λ1 = λ2 = –4 şi λ3 = –2; d) alt
raspuns. Raspuns b)
Rezolvare
Polinomul caracteristic ( ) ( )λ−
λ−λ−
=λ−=λ130
310
004
EAdetP 3 şi atunci
ecuaŃia caracteristică va fi: (4 –λ)2 (–2 –λ)= 0 Valorile proprii sunt soluŃiile acestei ecuaŃii: λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = –2. 13) Fie T : R3 → R3 o aplicaŃie liniară a cărei matrice asociată în raport cu baza
canonică este:
=130
310
004
A T
Să se afle vectorii proprii asociaŃi acestui operator. a) v = (k, h, h), unde k, h ∈ R şi v = (0, –p, p), unde p ∈ R nenul ; b) v = (k, -h, h),
unde k, h ∈ R şi v = (0, p, p), unde p ∈ R nenul; c) v = (k, -h, -h), unde k, h ∈ R şi v = (0, –p, p), unde p ∈ R nenul; d) alt raspuns.
Raspuns a)
Rezolvare Vectorii proprii asociaŃi valorii proprii λ se află rezolvând ecuaŃia: T(v) = λv
13
Cum polinomul caracteristic ( ) ( )λ−
λ−λ−
=λ−=λ130
310
004
EAdetP 3 atunci
ecuaŃia caracteristică va fi: (4 –λ)2 (–2 –λ)= 0 Valorile proprii sunt soluŃiile acestei ecuaŃii: λ1 = λ2 = 4 şi λ3 = –2. Aşadar, fie λ1 = λ2 = 4, atunci vom rezolva ecuaŃia T(v) = 4v, v ∈ R3
∈=∈
⇔
==
⇔
=+=+
=
Rvv
Rv
vv
vv
v4vv3
v4v3v
v4v4
32
1
23
11
332
232
11
Deci v = (k, h, h), unde k, h ∈ R şi nu sunt simultan nuli, este vectorul propriu căutat asociat valorii λ = 4.
Fie λ3 = –2 atunci vom rezolva ecuaŃia T(v) = -2v, v ∈ R3
∈−==
⇔
−=+−=+
−=
Rvv
0v
v2vv3
v2v3v
v2v4
32
1
332
232
11
Deci v = (0, –p, p), unde p ∈ R nenul, este vectorul propriu asociat valorii λ = –2. 14) Fie o formă biliniară f : R2 × R2 → R f(x, y) = x1y1 – 2x2y1 + x1y2. Care este matricea formei biliniare în baza canonică?
a)1 1
3 0fA
= − ;b)
−=
02
11A f ;c)
1 1
2 0fA
=
; d) alt raspuns.
Raspuns b) Rezolvare Fie:
( ) ( ) 22221221211211112
1
2221
121121 ayxayxayxayx
y
y
aa
aa xxy,xf +++=
=
Această formă o identificăm cu forma biliniară dată şi se obŃine matricea formei
în baza canonică:
−=
02
11A f
15) Să se aducă la forma canonică următoarea funcŃională pătratică: g : R3 → R, ( ) 2
2323123
21 xxx6xx4xx2xg ++−−= (utilizaŃi metoda lui Jacobi)
a) ( ) 2 2 21 2 3
1 1
2 12f y y y y= + − ; b) ( ) 2 2 2
1 2 31 1
2 12f y y y y= + + ; c) ( ) 2 2 2
1 2 31 1
2 12f y y y y= − − d)
alt raspuns.
14
Raspuns a) Rezolvare
−−
−=
132
310
202
A
Calculăm minorii 1 11 2 3
2 0 22 0
2; 2; 0 1 3 240 1
2 3 1
a
−∆ = = ∆ = = ∆ = = −
− −
( ) 23
22
21
23
22
21 y
12
1yy
2
1y
24
2y
2
2y
2
1yf −+=++=
şi observăm că această formă pătratică este nedefinită. 16) Să se aducă la forma canonică următoarea formă pătratică g : R3 → R ( ) 3121
23
22 xx4xx4xxxg −+−= utilizând metoda lui Gauss.
a) ( ) 2 21 2g y y y= + ; b) ( ) 2 2
1 2g y y y= − − ; c) ( ) 2 21 2g y y y= − ; d) alt raspuns.
Raspuns c) Rezolvare Rezolvare:
Matricea formei este:
−−
−=
102
012
220
A cu minorii
0
102
012
220
,412
20 ,0 321 =
−−
−=∆−==∆=∆
Metoda lui Jacobi nu se poate aplica deoarece avem minori nuli şi atunci vom aplica acest exemplu metoda lui Gauss.
Metoda lui Gauss constă în formarea de pătrate perfecte când conŃin cel puŃin un aii ≠ 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
221
231
21231
23
21
2121
22
yyyg
xx2x2xxx4xx4x4xx4xxg
−=⇒
⇒+−+=−−−++=
are natură nedefinită. 17) Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm din V se numeşte sistem liniar
independent dacă din α1v1 + α2v2 + ....+ αmvm = 0 rezultă că scalarii α1 = α2 = ..... =αm = 0.
Raspuns A.
15
18) Fie V un spaŃiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B = v1, v2, ..., vm se numeşte bază pe spaŃiul vectorial V dacă este formată dintr-
un număr maxim de vectori liniari independenŃi Raspuns A.
19) AplicaŃie T : V → V’ este aplicaŃie ... dacă şi numai dacă:
T(αx + βy) = αT(x) + βT(y), (∀) α, β ∈ K, x, y ∈ V. a) liniară; b) neliniară; c) biliniară; d) alt răspuns.
Raspuns a) 20) Fie T: V → V’, λ ∈ K este o valoare ... a aplicaŃiei liniare T dacă şi numai
dacă este rădăcină a ecuaŃiei caracteristice Raspuns a) proprie; b) caracteristică; c) alt răspuns.
PROGRAMARE LINIAR Ă (vezi pag. 45-76 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu,
R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma
generală, forma canonică, forma standard. Rezolvarea prin algoritmul simplex primal. - Trecerea de la o soluŃie posibilă de bază la altă soluŃie posibilă de bază (criteriul de ieşire
din bază); - Criteriul de intrare în bază; - Tratarea problemelor de P.L. care nu au forma standard; - Metoda bazei artificiale
Forma duală a PPL. Teorema de dualitate şi conŃinutul economic al variabilelor duale (preŃuri umbră). Algoritmul simplex dual. Studii de caz în managementul financiar-contabil.
Formularea problemei transporturilor şi a modelului matematic. SoluŃii de bază iniŃiale. Criteriile de optimizare. Studii de caz.
Diverse probleme economice şi sociale la o serie de probleme de optimizare. De
exemplu: 1. probleme de planificare a investiŃiilor (probleme de utilizare oprimă a unor
resurse); 2. probleme de transport; 3. probleme de planificare a producŃiei. Problema utilizării optime a unor resurse O întreprindere produce articolele A1, A2, ... An utilizând materiile prime
(resursele) M1, M2, ... Mm (disponibil de forŃă de muncă, capital, energie). Resursele sunt
16
în cantităŃi limitate, din, de exemplu Mj dispunem de o cantitate maximă bj (cunoscută). Se cunosc, de asemenea:
• consumurile tehnologice – aij (aij ≥ 0) cantitatea din Mj ce se consumă pentru a
fabrica o unitate din Ai ( )m1,j ,n1,i ==
mnm2m1m
2n22212
1n12111
n21
aaaM
aaaM
aaaM
AAA
L
M
L
L
L
• beneficiile unitare ci (ci > 0) n1,i = reprezentând suma realizată prin valorificarea unei unităŃi din produsul Ai.
Notăm cu xi n,1i = cantitatea de produs Ai ce va fi fabricată. Cunoaşterea lui xi, reprezentând obiectivul final într-o problemă de planificare a producŃiei.
Încasările totale fiind ( ) ∑=
=n
1iiin21 xcxx,xf K
În cazul în care unitatea dispune de materii prime, se pune problema utilizării lor astfel încât să obŃină încasări totale cât mai mari.
( )
[ ]
=≥
=≤
=
∑
∑
=
=
n1,i ,0x
m,1j,bxa
xcfmax
1
i
j
n
1iiij
n
1iii
Matriceal problema se scrie
( )[ ]
≥≤
=′
0x
BAx
cxfmax
1
Putem spune că la un model de programare liniară avem: 1. o funcŃie obiectiv (liniară în toate variabilele) f = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn 2. un sistem de restricŃii formate din ecuaŃii şi inecuaŃii liniare 3. condiŃii de nenegativitate asupra variabilelor 4. un criteriu de optim – de „min” sau de „maxim” FORMA STANDARD A PROBLEMEI DE PROGRAMARE LINIARĂ
17
Considerând o problemă de programare liniară, având drept criteriu de optim „min” (de exemplu, minimizarea cheltuielilor) aceasta se va scrie în formă standard astfel:
( )
[ ]
≥≥≥=+++
=+++=++++++=
0x,0x,0x
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
xcxcxcfmin
2
n11
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
mn2211
K
K
M
K
K
K
Sau matriceal
( )[ ]
≥=
=′
0x
BAx
cxfmax
2
• DefiniŃie 1. Un vector X0 ≥ 0 ce verifică relaŃia AX = B se numeşte soluŃie posibilă a modelului.
• DefiniŃie 2. O soluŃie posibilă X0 pentru care numărul de componente nenule r este mai mic sau egal cu m, iar vectorii ce corespund componentelor nenule sunt liniar independenŃi se numeşte soluŃie de bază.
• În cazul în care r < m soluŃia de bază se numeşte degenerată. • DefiniŃie 3. SoluŃia posibilă X′ este optimă dacă pentru orice soluŃie posibilă X
avem: CX′ ≤ CX • Teoremă. Dacă X0 este o soluŃie optimă de bază a problemei de programare
liniară (PL) atunci vectorii ce corespund componentelor nenule ale lui X0 sunt liniari independenŃi.
•Fie problema de programare liniară
[ ]( )
=⟨≥∈=
∈∈=
×
mA rang n,m 0X
RMA BAX
RC,RX CX f min
nm
mn
Pentru rezolvarea acestuia procedăm astfel: 1. se întocmeşte lista cu vectorii corespunzători coloanelor matricii A: a1, a2, ... an 2. dintre vectorii a1, a2, ... an se alege o bază { }
m21 iii a ,...a,aT = .
3. Se calculează componentele BT ale vectorilor B în baza T. 4. Se determină componentele vectorilor { }n21 a ... ,a ,a în baza T şi se trec în
tabelul SIMPLEX.
18
Cj: C1 C2 Cn
CB coeficienŃii
bazici
B baza
XB soluŃia
a1 a2 am
C1 1i
a
C2 2i
a
⋮ ⋮ Cm
mia co
mpo
nent
ele
lui B
în
baza
T
Zj Z0 Z1 Zn
∆j = Cj – Zj
B
m
1iB0jij XC Z,aCZ ∑
=
⋅==
5. Dacă ∆j ≥ 0 atunci
• baza T este optimă; • soluŃia de bază BT completată cu zerourile necunoscutelor este soluŃie optimă de bază • valoarea optimă a funcŃiei obiectiv este Z0 şi rezolvarea s-a încheiat. Dacă ∃ β pentru care ∆β < 0, baza T nu este optimă şi se trece la punctul 6o.
6. Se va introduce în bază vectorul aβ (unde: indicele β este dat de cea mai mare diferenŃă negativă în modul) parcurgând etapele următoare: a. se împarte coloana BT la coloana componentelor lui aβ (numai
componentele strict pozitive); b. se alege rezultatul minim; c. vectorul aα iese din bază şi intră în bază vectorul aβ; d. elementul aflat pe linia α şi coloana β se numeşte pivot).
7. Completarea tabloului simplex se va face astfel: • baza nouă se obŃine prin scoaterea lui aα din bază şi înlocuirea cu aβ; • coloana pivotului devine vector unitar; • linia pivotului se împarte la pivot, rezultatul trecându-se în total pe linia α; • se aplică regula dreptunghiului (elementul ce se calculează este dat de
produsul elementelor de pe diagonala pivotului
– produsul elementelor de pe
cealaltă diagonală pivot
• se completează liniile anexă; • se revine la punctul 5o.
19
OBSERVAłII • La ieşirea din bază dacă sunt mai multe rapoarte minime egale poate ieşi oricare din variabilele corespunzătoare. • Dacă la căutarea variabilei ce părăseşte baza pe coloana ce intră în bază nu avem nici un element strict pozitiv (toate negative sau zero) algoritmul se va încheia cu concluzia optim infinit.
Să se rezolve următoarea problemă de programare liniară:
[ ]
1,5i ,0x
16x3xx
12xx2x
8x2xx
x2x3xx2x fmin
i
543
542
541
54321
=≥
=++=++=++
++++=
Rezolvare
Scriem matricea
=31100
12010
21001
A
Observăm că avem o bază { }321 a ,a ,aB =
Cj 2 1 1 3 2 CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 2 a1 8 1 0 0 1 2 1 a2 12 0 1 0 2 1 1 a3 16 0 0 1 1 3 Zj 2⋅8+1⋅12+1⋅16=44 2 1 2 5 8
∆j = Cj – Zj 0 0 0 -2 -6 soluŃia nu
este optimă (∃ ∆j < 0)
2 a5 4 1/2 0 0 1/2 1 1 a2 8 -1/2 1 0 3/2 0 1 a3 4 -3/2 0 1 -1/2 0 Zj 20 -1 1 1 2 2
∆j = Cj – Zj 3 0 0 1 0 ∆j ≥ 0 soluŃia este optimă
Concluziile sunt următoarele: • baza { }321 a ,a ,aB = nu este optimă deoarece ∆4 < 0, ∆5 < 0;
20
• corespunzător lui ∆5 (celei mai mari diferenŃe negative în modul) alegem vectorul a5 în scopul introducerii în bază;
• împărŃind coloana „soluŃie” la coloana lui a5, găsim
3
16 ,
1
12 ,
2
8, iar
2
8
3
16 ,
1
12 ,
2
8min =
, corespunzător pivotului va fi a15 = 2
a1 iese din bază, a5 intră în bază. La Pasul următor observăm că toate diferenŃele ∆j ≥ 0, soluŃia este optimă • baza { }325 a ,a ,a este optimă
• soluŃia optimă de bază este x5 = 4, x2 = 8, x3 = 4 x1 = x4 = 0 • valoarea minimă a lui f este Z0 = 9 Algoritmul SIMPLEX pentru care nu au soluŃia iniŃială. • RestricŃiile pot fi puse (sau sunt) sub forma Ax ≤ b, b ≥ 0, x ≥ 0 indiferent dacă problema este de „max” sau de „min”. • Deoarece în cazul inegalităŃii α ≤ β ∃ γ ≥ 0 astfel încât α + γ = β vom adăuga la
fiecare inegalitate a problemei câte o variabilă y pozitivă astfel încât sistemul de inegalităŃi al problemei devine sistem de egalităŃi.
Fixând x1 = x2 = ... = xn = 0 avem soluŃia y1 = b1, ... ym = bm posibilă prin construcŃie.
În funcŃia obiectiv variabilele y sunt introduse şi numite variabile de compensare sau de egalizare sau variabile ecart vor figura cu coeficient „0”
Pentru problema modificată în acest fel şi adusă, deci la forma standard se aplică algoritmul simplex ca în cazul precedent.
(3)
[ ] [ ]
≥≥=+
⋅+=⇔
≥≥≤
=
0Y 0,X
b yIAX
y0CXfmax
0X
0b ,bAX
CXfmax
m (3’)
(3’) ⇔
[ ]
=≥=≥
=++++
=++++=++++
+=
m1,j ,0y ,n1,i ,0x
byxa...amxxa
b yxa...xaxa
b yxa...xaxa
y0CXfmax
j1
mmnmn211m
22nn2222121
11nn1212111
M (4)
21
OBSERVAłII • La determinarea algoritmului SIMPLEX soluŃia optimă poate cuprinde variabile
X cât şi variabile Y
=
0
00
y
xX
• În cazul în care există componente y în soluŃia optimă, interpretarea lor economică poate fi aceea de economie de resurse în sensul că pentru componenta optimă yk de exemplu, diferită de zero, atunci resursa bk ≠ 0, nu a fost transformată în întregime.
EXEMPLU
(4)
[ ]
1,4i ,0x
15x3xx2x
12xxxx2
x5xx4x2fmax
i
4321
4321
4321
=≥
≤+++≤+++
+−+=
⇔
⇔(5)
[ ]
0y ,0y ,1,4i ,0x
15yx3xxx
12yxxxx2
y0y0x5xx4x2fmax
21i
24321
14321
214521
≥≥=≥
=++++=++++
+++−+=
Matricea corespunzătoare va fi:
103111
011112
B = {y1, y2} Întocmim tabloul simplex
cj: 2 4 -1 5 0 0 CB B XB a1 a2 a3 a4 y1 y2 0 y1 12 2 1 1 1 1 0
=
3
15,
1
12min
0 2y 15 1 2 1 3↓ 0 1
PIVOT 33
15 →=
zj 0 0 0 0 0 0 ∆j = cj – zj 2 4 -1 5 0 0 soluŃia nu este
optimă (∃∆j > 0)
22
0 y1 7 5/3 1/3 2/3 0 1 -1/3
=3/2
5,
3/1
7min =
5 4a 5 1/3 2/3↓ 1/3 1 0 1/3
PIVOT 3/23/2
5 →=
zj 25 5/3 10/3 5/3 5 0 5/3 ∆j = cj – zj 1/3 2/3 -8/3 0 0 -5/3 soluŃia nu este
optimă (∃∆j > 0) 0 y1 9/2 3/2 0 1/2 -1/2 1 -1/2 4 a2 15/2 1/2 1 1/2 3/2 0 1/2 zj 30 2 4 2 6 0 2 ∆j = cj – zj 0 0 -3 -1 0 -2 SoluŃia este optimă
(∆j ≤ 0) SoluŃia este x1 = x3 = x4 = 0, x2 = 15/2 y1 = 9/2, y2 = 0 fmax = 30 METODA BAZEI ARTIFICIALE Constă în introducerea unui număr de m variabile artificiale ui, ui ≥ 0 câte una la
fiecare restricŃie astfel încât restricŃiile modificate devin:
≥≥=+0u ,0x
buIAX m
iar funcŃia obiectiv [max]f = CX – Mu sau [min]f = CX + Mu, unde M ≥ 0 foarte mare în raport cu cifrele ce apar în calcule. Scopul introducerii variabilelor artificiale este acela de a avea pentru început o
soluŃie de bază, constatând că aceasta este dată chiar de variabilele artificiale. La terminarea algoritmului SIMPLEX pentru o astfel de problemă putem avea
următoarele situaŃii: 1. soluŃia optimă nu conŃine variabile artificiale 2. soluŃia optimă conŃine variabile artificiale, dar de valoare zero. În acest caz
problema are soluŃie optimă degenerată 3. soluŃia optimă conŃine variabile artificiale nenule. În acest caz problema nu are
soluŃie, pentru că nu a fost corect formulată. Din punct de vedere economic prezenŃa variabilelor artificiale în funcŃia obiectiv înseamnă o diminuare a valorii maxime sau o creştere a valorii minime.
23
EXEMPLU
[ ]
1,4i ,0x
15x3xx2x
10xxxx2
x5xx4x2fmax
i
4321
4321
4321
=≥
=+++=+++
+−+=
Rezolvare
Matricea sistemului
1121
1112:A
Problema se va rescrie
[ ]
0u ,0u ,1,4i ,0x
15ux3xx2x
10uxxxx2
MuMux5xx4x2fmax
21i
24321
14321
214321
≥≥=≥
=++++=++++
−++−+=
Matricea se rescrie corespunzător
=
103121
011112A
B = {u1, u2}
cj 2 4 -1 5 -M -M CB B XB x1 x2 x3 x4 u1 u2 -M u1 10 2 1 1 1 1 0
=
3
15,
1
10min
-M 2u 15 1 2 1 3↓ 0 1
PIVOT 33
15 →=
zj -3M -3M -2M -4M -M -M ∆j = cj – zj 2-3M 3M+4 2M-1 4M+5 0 0 soluŃia nu este
optimă (∃∆j > 0) -M u1← 5 5/3 1/3 2/3 0 1 -1/3 5 x4← 5 1/3 2/3 1/3 1 0 1/3
=
3/1
5 ,
3/5
5min
zj 5/3-
5/3M 10/3-M/3
5/3-2M/3
5 -M M/3+5/3 PIVOT 3/5
3/5
5 →=
24
∆j = cj – zj 5/3M+1/3
M/3+2/3
2M/3-8/3
0 0 -4M/3-5/3 soluŃia nu este optimă (∃∆j > 0)
2 x1 3 1 1/5 2/5 0 3/5 -1/5 5 x4← 4 0 3/5↓ 1/5 1 -1/5 2/5
=
3/5
4 ,
5/1
3min
zj 26 2 17/5 9/5 5 1/5 8/5
PIVOT 5/35/3
4⇒=
∆j = cj – zj 0 3/5 -14/5 0 -M-
1/5 -M-8/5 soluŃia nu este
optimă (∆j ≤ 0) 2 x1 5/3 1 0 1/3 -1/3 2/3 -1/3 4 x2 20/3 0 1 1/3 5/3 -1/3 2/3 zj 80/3 2 4 2 6 0 2 ∆j = cj – zj 0 0 -3 -1 -M -M-2 soluŃia este
optimă (toate diferenŃe ∆j ≤ 0)
SoluŃia max f = 80/3 x1 = 5/3 u1 = u2 = 0 x2 = 20/3 x3 = x4 = 0 OBSERVAłII Pentru o problemă ce nu are soluŃie iniŃială procedăm astfel: 1. restricŃiile de forma α ≤ β devin egalităŃi introducând variabilele de
compensare; 2. pentru restricŃiile α = β introducem variabilele artificiale; 3. pentru restricŃiile α ≥ β introducem variabilele de compensare şi artificiale. Formal putem scrie: • α ≤ β ⇒ α + γ = β • α = β ⇒ α + u = β • α ≥ β ⇒ α – γ + u = β În funcŃia obiectiv sunt introduse variabilele de compensare ca în cazul 1 şi
variabilele artificiale ca în cazul 2.
25
EXEMPLU
[ ]
1,6i ,0x
8xxxx2xx
24xx3xxx2x
8xxxxxx2
x4x3x2xxxfmin
i
654321
654321
654321
654321
=≥
≥+++++=+++++
≤++++++++++=
Rezolvare Problema se va rescrie introducând variabilele de compensare şi artificiale
corespunzătoare
[ ]
0u ;0u ;0y ,0y ,1,6i ,0x
8uyxxxx2xx
24uxx3xxx2x
8yxxxxxx2
MuMuy0y0x4x3x2xxxfmin
2121i
22654321
1654321
1654321
2121654321
≥≥≥≥=≥
=+−+++++=++++++
=+++++++++++++++=
Matricea sistemului va fi:
− 1010111211
0100131121
0001111112
:A
Observăm că B = {y1, u1, u2}
cj 1 1 1 2 3 4 0 0 M M CB B XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 u1 u2 0 y1← 8 2 1 1 1 1↓ 1 1 0 0 0 M u1 24 1 2 1 1 3 1 0 0 1 0 M u2 8 1 1 2 1 1 1 0 -1 0 1 zj 2M 3M 3M 2M 4M 2M 0 -M M M ∆j = cj – zj 1-
2M 1-3M
1-3M
2-2M
3-4M
4-2M
0 M 0 0 soluŃia nu este optimă (∃∆j < 0)
3 x5 8 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 M u1 0 -5 -1 -2 -2 0 -2 -3 0 1 0 M u2 0 -1 0 1 0 0 0 -1 -1 0 1 zj 24 6- 3- 3- 3- 3 3- 3- -M M M
26
6M M M 2M 2M 4M ∆j = cj – zj 6M
-5 M-2
M-2
2M-1
0 2M+1
4M-3
M 0 0 ∆ ≥ 0 soluŃia este optimă degenerată
SoluŃia [min]f = 24 u1 = u2 = 0 y1 = y2 = 0 x1 = x2 = x3 = x4 = x6 = 0 x5 = 8
27
ELEMENTE DE ANALIZ Ă MATEMATIC Ă CU APLICA łII ÎN
FUNDAMENTAREA DECIZIEI ECONOMICE OPTIME (vezi pag. 86-115 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A.
Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) FuncŃii de mai multe variabile. MulŃimi şi puncte din Rn. Continuitatea funcŃiilor în spaŃiul Rn: limite, limite iterate. Derivabilitatea funcŃiilor în Rn: derivate parŃiale de ordinul I şi de ordin superior. DiferenŃiala de ordin I şi de ordin superior; conŃinut economic. Derivata funcŃiilor compuse. Extremele funcŃiilor de mai multe variabile ( punct de extrem local; punct staŃionar; punct de minim local;punct de maxim local). Extreme cu legături (condiŃionate). ConŃinut economic. AplicaŃii şi studii de caz. Integrale.
Tipuri principale de ecuaŃii diferenŃiale cu aplicaŃii în economie: - ecuaŃii cu variabile separabile, - ecuaŃii diferenŃiale liniare: -ecuaŃii omogene, -ecuaŃii diferenŃiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaŃiile lor.
1. DiferenŃiale Fie f o funcŃie reală de două variabile, f : E ⊂ R2 → R şi fie (x0, y0) un punct interior lui
E. DefiniŃie. Spunem că funcŃia f(x, y) e diferenŃială în punctul (x0, y0) dacă există două
numere reale λ şi µ şi o funcŃie ω (x, y) : E ⊂ R2 → R, continuă în (x0, y0) şi nulă în acest punct:
( ) ( ) 0yxy,xlim 00
yyxx
0
0
=ω=ω→→
astfel încât pentru orice punct (x, y) ∈ E, să avem egalitatea
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20
200000 yyxxy,xyyxxyxfy,xf −+−ω+−µ+−λ=−
ProprietăŃi: 1) Dacă funcŃia f e diferenŃiabilă în punctul (x0, y0), atunci ea are derivate parŃiale în (x0,
y0) şi f′x (x0, y0) = λ, f′y (x0, y0) = µ Egalitatea de definiŃie a diferenŃiabilităŃii se scrie:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )2
02
0
000y000x00
yyxxy,x
yyy,xfxxy,xfyxfy,xf
−+−ω++−′+−′=−
2) Dacă funcŃia f e diferenŃiabilă în (x0, y0) atunci ea este continuă în acest punct.
28
3) Dacă funcŃia f are derivate parŃiale f’x, f’ y într-o vecinătate V a lui (x0,y0) şi dacă aceste derivate parŃiale sunt continue în (x0, y0) atunci funcŃia f este diferenŃiabilă în (x0, y0).
DefiniŃie. FuncŃia liniară de două variabile: df(x0, y0) = f′x(x0,y0) ⋅ (x – x0) + f’y (x0,y0) ⋅ (y – y0) se numeşte diferenŃiala funcŃiei f(x, y)
în punctul (x0, y0). DiferenŃiala funcŃiei f se mai notează df(x, y) = f’x(x, y)dx + f′y(x, y)dy DefiniŃie. Spunem că f admite diferenŃiala de ordin 2 în (x0, y0) dacă toate derivatele parŃiale de
ordinul întâi există într-o vecinătate a punctului (x0, y0) şi sunt diferenŃiabile în (x0, y0)
( ) ( ) ( ) ( ) 200y00xy
200x00
2 dyy,xfdxdyy,xf2dxy,xfy,xfd 22 ′′+′′+′′=
Exemple 1) Pornind de la definiŃie, să se arate că funcŃia f(x, y) = (x – 1)2 + y2 este diferenŃiabilă în punctul A(1, 1). Rezolvare: Va trebui să arătăm că are loc egalitatea:
(1) ( ) ( ) ( )20
20 yyxxy,x)1y(
y
)1,1(f)1x(
x
)1,1(f)1,1(f)y,x(f −+−ω+−
∂∂+−
∂∂=−
cu ( ) 0y,xlim1y1x
=ω→→
.
Deoarece 0x
)1,1(f =∂
∂ şi 2
y
)1,1(f =∂
∂ şi f(1, 1) = 1 atunci egalitatea (1) devine:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 1y1xy,x1y21y1x −+−⋅ω+−=−+− cu ( ) 0y,xlim1y1x
=ω→→
sau
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yx, 1y1x y,x1y1x 2222 ω−+−ω=−+−
De aici deducem
( ) ( ) ( )22 1y1xy,x −+−=ω şi ( ) ( ) 01y1xlim 22
1y1x
=−+−→→
2) Să se arate că funcŃia:
( )
≠≠==
=0y sau 0 xdaca 1,
0ysau 0 xdaca 0,y,xf
nu este diferenŃiabilă în origine. Rezolvare: Dacă funcŃia ar fi diferenŃiabilă în origine ar trebui să avem egalitatea:
29
( ) 22 yxy,x)0y(y
)0,0(f)0x(
x
)0,0(f)0,0(f)y,x(f +ω+−
∂∂+−
∂∂=− cu
( ) 0y,xlim1y1x
=ω→→
.
Să presupunem că x ≠ 0, y ≠ 0- Avem 0y
)0,0(f
x
)0,0(f =∂
∂=∂
∂ deoarece f(x. y) =
1 egalitatea (2) devine ( )y,xyx1 22 ω+= .
Însă membrul drept tinde către zero când x şi y tind la zero, ceea ce contrazice însăşi
egalitatea. Exemplu 3
Este funcŃia ( ) 22 yxy,xf += diferenŃiabilă în origine?
Rezolvare Dacă funcŃia ar fi diferenŃaibilă în origine, conform unei teoreme enunŃate la începutul
capitolului, ar trebui să admită derivate parŃiale în acest punct. Însă
( ) ( )1
x
xlim
x
xlim
x
0,00,xflim
0x0x
2
0x0x
0x0x
===−
⟩→
⟩→
⟩→
( ) ( )1
x
xlim
x
xlim
x
0,00,xflim
0x0x
2
0x0x
0x0x
===−
⟨→
⟨→
⟨→
.
Analog procedăm pentru y
)0,0(f
∂∂
.
În origine, funcŃia nu admite derivate parŃiale, deci nu este diferenŃiabilă. Exemplul 4 Să se calculeze diferenŃialele de ordinul întâi şi doi pentru următoarele funcŃii: a) f (x, y) = cos xy definită pe R2
b) ( ) 22 yxy,xf += definită pe R2
c) f (x, y) = x ln y definită pe RX(0, ∞) d) f (x, y) = ex+2y definită pe R2. Rezolvare: Deoarece funcŃia admite derivate parŃiale de orice ordin.
30
a) Însă: ( ) ( )
sin xy xy
y,xf sin xy, y
x
y,xf −=∂
∂−=∂
∂
Deci df (x, y) = - sin xy [ydx + xdy]
Apoi ( ) ( ) xycosysin xy y
xx
y,xf 22
2
−=−∂∂=
∂∂
( ) ( ) xycosxysin xy xd
xyx
y,xf2
−=−∂∂=
∂∂∂
( ) ( ) xycosxxysinxyy
y,xf 22
2
−=−∂∂=
∂∂
prin urmare: d2f(x,y) = - cos xy[y2dx2 + 2xy dxdy + x2dy2] b) Am văzut în exemplul precedent că în origine funcŃia nu este diferenŃiabilă. În orice alt
punt, funcŃia admite derivate parŃiale continue: ( )
22 yx
x
x
y,xf
+=
∂∂
şi ( )
22 yx
y
x
y,xf
+=
∂∂
deci este diferenŃiabilă şi avem:
( ) [ ]ydyxdxyx
1y,xdf
22+
+=
( )( )2
322
2
222
2
yx
y
yx
x
xx
y,xf
+=
+∂∂=
∂∂
( )( )2
322
2
222
2
yx
x
yx
y
yy
y,xf
+=
+∂∂=
∂∂
( )( )2
322
2
yx
xy
yx
y,xf
+=
∂∂∂
Deoarece derivatele parŃiale de ordinul al doilea sunt continue în tot planul exceptând originea, rezultă că în orice punct diferit de origine diferenŃială a doua există şi este:
( )( )
[ ]2222
2
322
2 dyxxydxdy2dxyyx
1y,xfd +−
+=
c) Pe domeniul dat funcŃia admite derivate parŃiale de orice ordin continue în tot planul, deci funcŃia admite diferenŃiale de orice ordin:
( )yln
x
y,xf =∂
∂ şi
( )y
x
x
y,xf =∂
∂
Aşadar ( ) dyy
xydxlny,xdf +−
( ) [ ] 0ylnxx
y,xf2
2
=∂∂=
∂∂
( )22
2
y
x
y
x
xx
y,xf −=
∂∂=
∂∂
31
( )y
1
yx
y,xf2
−=∂∂
∂
Aşadar ( ) dxdyy
2dy
y
xy,xfd 2
22 +−=
d) Deoarece ( ) y2xex
y,xf +=∂
∂ şi
( ) y2xe2y
y,xf +=∂
∂
şi atunci ( ) [ ]dy2dxey,xdf y2x += +
( ) [ ] y2xy2x2
2
eexx
y,xf ++ =∂∂=
∂∂
( ) [ ] y2xy2x2
2
e4e2yy
y,xf ++ =∂∂=
∂∂
( ) [ ] y2xy2x2
e2e2xyx
y,xf ++ =∂∂=
∂∂∂
şi atunci ( ) [ ]22y2x2 dy4dxdy4dxey,xfd ++= + 2. Extremele funcŃiilor de două variabile
DefiniŃie
Fie f o funcŃie reală, de două variabile, definite pe o mulŃime E ⊂ R2. Un punct (a, b) ∈ E se numeşte punct de maxim local (respectiv de minim local) al funcŃiei f(x, y), dacă există o vecinătate V a lui (a, b) astfel încât, pentru orice (x, y) ∈ V ⊂ E să avem: f(x, y) ≤ f(a, b) (respectiv f(x, y) ≥ f(a, b)).
Teoremă Dacă funcŃia f are derivate parŃiale într-un punct de extrem (a, b) din interiorul mulŃimii
E, atunci derivatele parŃiale ale funcŃiei se anuleaza în acest punct: f’ x(a, b) = 0 şi f’ y(a, b) = 0
DefiniŃie
Un punct interior (a, b) ∈ E se numeşte punct staŃionar al funcŃiei f(x, y) dacă funcŃia f( x, y) e diferenŃiabilă în punctul (a, b) şi dacă diferenŃiala sa e nulă.
Teoremă Dacă (a, b) este punct staŃionar al funcŃiei f(x, y) şi dacă funcŃia f(x, y) are derivate
parŃiale de ordinul doi continue într-o vecinătate V a punctului (a, b) atunci:
1) Dacă ( ) ( ) ( )[ ] 0b,afb,afb,af2''
xy''
y
''
x 22 ⟩−=∆ , atunci (a, b) e punct extrem local al
funcŃiei f(x,y) şi anume:
– dacă ( ) 0 ba,f ''
x2 ⟩ atunci (a, b) e punct de minim
– dacă ( ) 0 ba,f ''
x2 ⟨ atunci (a, b) e punct de maxim.
32
2) Dacă ∆ < 0 atunci (a, b) nu este punct de extrem 3) Dacă ∆ = 0 atunci nu se poate afirma nimic despre punctul (a, b). Exemplu: Să se găsească extremele următoarelor funcŃii:
a) ( ) 0 y x,,7
20
x
50xyy,xf ⟩++=
b) f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2
Rezolvări: a) Conform teoriei generale, extremele funcŃiei sunt soluŃii ale sistemului:
(1)
( )
( )
=−=∂
∂
=−=∂
∂
0y
20x
y
y,xf
0x
50y
x
y,xf
2
2
SoluŃia sistemului (1) este x = 5 şi y = 2. Atunci numim punctul (5,2) punct staŃionar:
Avem ( ) ( ) ( )
1yx
y,xf şi
y
40
y
y,xf ,
x
100
x
y,xf 2
32
2
32
2
=∂∂
∂=∂
∂=∂
∂
( )( ) ( ) ( )
3yx
2,5f
y
2,5f
x
2,5f22
2
2
2
2
2,5=
∂∂∂−
∂∂⋅
∂∂=∆
Deoarece ( )
0 x
2,5f2
2
⟩∂
∂, funcŃia f admite în punctul (5,2) un minim şi valoare f(5, 2) = 30.
b) Avem:
(2)
( )
( )
=−=∂
∂
=−=∂
∂
02x2y
y,xf
04x2x
y,xf
Punctul staŃionar, adică soluŃia sistemului (2) este (2, 1). Calculăm derivatele parŃiale în punctul (2, 1):
2y
f(2,1) 2,
x
f(2,1)2
2
2
2
=∂
∂=∂
∂ şi 0
ux
f(2,1)2
=∂∂
∂
04/ )1,2( f=∆ şi 02x
f(2,1)2
2
f=∂
∂ aşadar punctul (2,1) este punctul de minim şi
valoare functiei este f(2,1) = 4+1-8-2+5 = 0 3. Extreme cu legături condi Ńionate Se consideră funcŃia cu două variabile f:E⊂R2 → R (1) şi condiŃia F(x,y) = 0 (2) unde F are acelaşi domeniu de definiŃie ca şi funcŃia f.
33
DefiniŃie: Extremele funcŃiei (1) care satisfac şi condiŃia (2) se numesc extreme
condiŃionate ale funcŃiei (1) de condiŃia (2), sau extremele funcŃiei (1) supuse la legăturile (2). DefiniŃie: Punctele staŃionare ale funcŃiei (1) când (x,y) parcurge mulŃimea ∆ a soluŃiilor
condiŃiei (2) se numesc puncte staŃionare legate sau puncte staŃionare condiŃionate ale funcŃiei f. Dacă punctul M (a,b) este punctul de extrem căutat atunci considerăm funcŃia:
y)λF(x,y)f(x,y)(x, +=ϕ unde λ se numeşte multiplicatorul lui Lagrange. Pentru aflarea coordonatelor punctului M(a,b) rezolvăm următorul sistem de derivate
parŃiale:
=
=∂ϕ∂
=∂ϕ∂
0)y,x(F
0y
0x
1) Dacă d2ϕ(a,b) > 0 atunci punctul M(a,b) este punct de minim 2) Dacă d2ϕ(a,b) < 0 atunci punctul M (a,b) este punct de maxim Altfel nu putem preciza natura punctului M. Exemple: DeterminaŃi punctele de extrem pentru: a) f(x,y) = x+3y cu condiŃia x2+y2=5 definit pe R2
b) y
1
x
1)y,x(f += cu condiŃia x+y=1 definit pe R2\{(0,0)
Rezolvări: Considerăm ϕ(x,y) = x+3y+λ(x2+y2-5)
=+
=λ+=∂∂
=λ+=∂ϕ∂
5yx
0y23y
u
0x21x
)1(
22
SituaŃia sistemului (1) este 11 3
P ,2 2
− −
pentru 2/1=λ
şi
2
3,
2
1P2 pentru 2/1=λ
Calculăm derivatele parŃiale de ordinul II
34
λ=λ+∂∂=
∂ϕ∂
λ=λ+∂∂=
∂ϕ∂
2y23(yy
)y,x(
2)x21(xx
)y,x(
2
2
2
2
0)23()(2
=+∂∂=
∂∂∂
yxyx
xy λϕ
0222
3,
2
1 222 ⟩+=
−− dydxd ϕ astfel concluzia este că punctul
−−2
3,
2
11P este punct de minim
0222
3,
2
1 222 ⟨−−=
dydxd ϕ şi în acest caz
2
3,
2
12P este punct de
maxim
b) Considerăm )1(11
),( −+++= yxyx
yx λϕ
Rezolvăm sistemul
(2)
=+
=+−=∂
∂
=+−=∂
∂
1
01),(
01),(
2
2
yx
yy
yxxx
yx
λκ
λϕ
SoluŃia sistemului este 4
1pentru
2
1,
2
1 =
λP
322
2 21),(
xxxx
yx =
+−∂∂=
∂∂ λϕ
322
2 21),(
yyyy
yx =
+−
∂∂=
∂∂ λϕ
01),(
2
2
=
+−
∂∂=
∂∂∂ λϕ
yxyx
yx
+= 2
32
32 11
2 dyy
dxx
d ϕ
⟩+=
2
1,
2
1P astfel 0)(16
2
1,
2
1 222 dydxd ϕ e punct de minim.
35
EcuaŃii diferenŃiale de ordinul întâi
DefiniŃie Se numeşte ecuaŃie diferenŃială de ordinul întâi o ecuaŃie de forma
( ), , 0F x y y =/
(1)
unde: F este o funcŃie reală dată, definită pe 3D R⊂ , având ca argumente: variabila independentă x R∈ , funcŃia necunoscută ( )y y x= şi derivata sa ( )y y x=
/ /.
Dacă ecuaŃia (1) se poate scrie
( ),y f x y=/
(2)
Atunci (2) se numeşte forma explicită sau normală a ecuaŃiei diferenŃiale (1). Dacă ( )y xϕ= este o soluŃie a ecuaŃiei (2) graficul soluŃiei este o curbă plană cu
proprietatea că în fiecare punct al ei, tangenta la curbă are direcŃia câmpuluiϕ ce trece prin punctul considerat.
A rezolva ecuaŃia (2) revine la determinarea curbelor integrale, cu proprietatea că în fiecare punct al lor sunt tangente la direcŃia câmpuluiϕ .
Problema determinării soluŃiei ecuaŃiei (2), al cărei grafic trece printr-un punct dat ( )0 0,x y se numeşte problemă Cauchy.
Iar ( )0 0y y x= condiŃie iniŃială sau condiŃie Cauchy.
1. Să rezolvăm o ecuaŃie de forma ( ) [ ], ,y f x f a b=
/ : continuă
dyy
dx=
/
(2)
EcuaŃia devine
( )dyf x
dx= (3)
Separăm variabilele ( )dy f x dx= (4)
Şi
( )y f x dx C= +∫ (5)
Astfel obŃinem soluŃia generală a ecuaŃiei (2) ( )y x Cϕ= + (5)
Pentru rezolva problema Cauchy impunem condiŃia ca soluŃia să treacă printr-un punct dat ( )0 0,x y .
( )0 0y x Cϕ= + (6)
şi
( )0
0
0 0
x
x
y f x dx C y C= + ⇒ =∫ (7)
Găsim soluŃia problemei Cauchy ( )0 0y y xϕ= + (8)
36
2. Să rezolvăm o ecuaŃie de forma
( ) [ ], ,y f y f a b=/ :
continuă dy
ydx
=/
(9)
Şi
( )dy
dxf y
= (10)
Atunci
( )dy
C xf y
+ =∫ (11)
Găsim soluŃia generală în formă implicită ( )x y Cϕ= + (12)
3. Să rezolvăm o ecuaŃie de forma
( )( ) [ ] [ ], , , ,
f xy f a b g c d
g y=
/ : : continuă
dyy
dx=
/
(13)
Separăm variabilele ( ) ( )g y dy f x dx= (14)
Atunci
( ) ( )g y dy f x dx C= +∫ ∫ (15)
Găsim soluŃia generală în formă implicită ( ) ( )G y F x C= + (16)
EcuaŃii omogene
( )( )
,, ,
,
P x yy P Q
Q x y=
/ funcŃii omogene de grad m în x şi y
(17)
Şi
1,
1,
m
m
yx P
xy
yx Q
x
=
/ funcŃii omogene de grad m în x şi y
(18)
Astfel ecuaŃia se poate scrie dy y
fdx x
=
(19)
Facem schimbarea de funcŃie ( ) ( )y x
u xx
= ;
( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ /
(20)
Vom găsi
37
( ) ( ) ( )f u u x xu x= +/
(21)
Rescriem
( ) ( )f u uu x
x
−=
/
(22)
Astfel
( ) ( ), 0du dx
f u uf u u x
= − ≠−
(23)
Integrînd obŃinem
( )lndu
x Cf u u
= +−∫ (24)
Sau ( )ln x u Cϕ= + (25)
dar ( ) ( )y x
u xx
= , atunci putem scrie soluŃia ecuaŃiei sub forma
lny
x Cx
ϕ = +
(26)
Dacă ( ) 0f u u− = , fie 0u u= soluŃia egalităŃii anterioare, atunci soluŃia ecuaŃiei va
fi 0y xu= , şi se numeşte soluŃie singulară.
EcuaŃii reductibile la ecuaŃii omogene
1 1 1
ax by cy f
a x b y c
+ += + +
/
(27)
Dacă a) 1c c= , ecuaŃia (17) devine o ecuaŃie omogenă. b) { } ( )1 2 0 0, ,d d M M x y∩ = , unde 1 2 1 1 1. ;d ax by c d a x b y c+ + + +
: :. Facem schimbarea
de variabilă 0t x x= − şi schimbarea de funcŃie 0u y y= − , atunci ecuaŃia (27) se rescrie
0 0
1 0 1 0 1 1 1
ax by c at buduf
dt a x b y c a t b u
+ + + += ⇔ + + + +
1 1
du at buf
dt a t b u
+⇔ = + , o ecuaŃie omogenă.
(28)
b) 1 21 1
a bd d
a bλ⇒ = =
| |, ecuaŃia (27) devine
( ) 1
dy ax by cf
dx ax by cλ + += + +
(29)
Facem schimbarea de funcŃie ax by u+ = , atunci (28) se rescrie
( )1
11u c
u a fb u c
λ
+− = +
/, o ecuaŃie omogenă.
(30)
38
EcuaŃia liniar ă de ordinul întâi
Forma generală ( ) ( ) [ ]0, , ,y P x y Q x P Q a b+ + =
/ : continue (31)
Rezolvare I. 1. Se rezolvă ecuaŃia omogenă
( ) 0,y P x y+ =/
(32)
având soluŃia ( )1y x .
I. 2. Facem schimbarea de funcŃie ( ) ( )1y y x u x=
în ecuaŃia (31) şi găsim
( ) ( )1 1 1 0,y u y u P x y u Q x+ + + =/ /
(33)
sau
( )( ) ( )1 1 1 0,u y P x y y u Q x+ + + =/ /
( ) ( )( )1
10
Q xy u Q x u
y x+ = ⇒ = −/ /
(34)
Integrând obŃinem ( ) ( )u x x Cϕ= +
Astfel găsim soluŃia ecuaŃiei (31) va fi ( )( )1y y x Cϕ= + (35)
II. Metoda varia Ńiei constantelor II. 1. Se rezolvă ecuaŃia omogenă
( ) 0,y P x y+ =/
(36)
având soluŃia ( )1y Cy x= .
II. 2 Metoda variaŃiei constantelor constă în a căuta pentru ecuaŃia (31) o soluŃie de forma ( ) ( )1y C x y x= .
Astfel ecuaŃia (31) devine
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0,y C x y C x P x C x y Q x+ + + =/ /
( ) ( )1 0,y C x Q x+ =/
( ) ( )1
1
Q xC x dx C
y= − +∫ ,
(37)
iar ( ) ( ) 1C x x C= Ψ + (39)
Înlocuim (38) în ( ) ( )1y C x y x= şi găsim soluŃia ecuaŃiei (31)
( ) 1 1 1y x y C y= Ψ + (40)
39
Test de autoevaluare rezolvat- Analiză matematică
1. CalculaŃi derivatele parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei ( ), 2 3 1f x y x y= − +
a) ( , ) 2; ( , ) 3x yf x y f x y= = −/ /
;
b) ( , ) 3; ( , ) 3x yf x y f x y= = −/ /
;
c) ( , ) 3; ( , ) 3x yf x y f x y= =/ /
;
d) alt răspuns. Răspuns a) SoluŃie
( , ) 2; ( , ) 3x yf x y f x y= = −/ /
2. CalculaŃi derivatele parŃiale în punctul M (1,0) ale funcŃiei xyyxyxf 4),( 22 −+= a) (1,0) 2xf ′ = , (1,0) 4yf ′ = − ;
b) (1,0) 4xf ′ = , (1,0) 4yf ′ = − ;
c) (1,0) 2xf ′ = , (1,0) 2yf ′ = − ;
d) alt răspuns. Răspuns a)
Rezolvare Fie ( )0 0,M x y unde 0 01, 0x y= = , atunci
0 0 0 0( , ) 2 4 (1,0) 2x xf x y x y f′ ′= − ⇒ = 0 0 0 0( , ) 2 4 (1,0) 4y yf x y y x f′ ′= − ⇒ = −
3. CalculaŃi derivatele parŃiale de ordinul al doilea ale funcŃiei xyyxyxf 3),( 33 −+= a) 2 ( , ) 6xf x y x′′ = ,
2 ( , ) 6yf x y y′′ = − ,
( , ) 3xyf x y′′ = − ;
b) 2 ( , ) 6xf x y y′′ = ,
2 ( , ) 6yf x y x′′ = ,
( , ) 3xyf x y′′ = ;
c) 2 ( , ) 6xf x y x′′ = ,
2 ( , ) 6yf x y y′′ = ,
( , ) 3xyf x y′′ = − ;
d) alt răspuns. Răspuns c) SoluŃie
3 3 2( , ) ( 3 ) 3 3x xf x y x y xy x y′ = + − = −/
3 3 2( , ) ( 3 ) 3 3y yf x y x y xy y x′ = + − = −
/
22( , ) (3 3 ) 6xxf x y x y x′′ = − =
/
40
22( , ) (3 3 ) 6yyf x y y x y′′ = − =
/
2( , ) (3 3 ) 3yx xf x y y y′′ = − = −/
4.CalculaŃi derivatele parŃiale de ordinul al doilea ale funcŃiei f(x,y) = ex-y
a) 2 ( , ) x yxf x y e −′′ =
2 ( , ) x yyf x y e −′′ = −
( . ) x yyxf x y e −′′ = −
b) 2 ( , ) x yxf x y e −′′ =
2 ( , ) x yyf x y e −′′ =
( . ) x yyxf x y e −′′ = −
c) 2 ( , ) x yxf x y e −′′ =
2 ( , ) x yyf x y e −′′ =
( . ) x yyxf x y e −′′ =
d) alt răspuns. Răspuns b) Rezolvare
( )( , ) x y x yx
xf x y e e− −′ = =
/
( )( , ) x y x yy
yf x y e e− −′ = = −
/
( )2 ( , ) x y x yx x
f x y e e− −′′ = =
/
( )2 ( , ) x y x yy y
f x y e e− −′′ = − =
/
( )( . ) x y x yyx
xf x y e e− −′′ = − = −
/
( )( , ) x y x yxy
yf x y e e− −′′ = = −
/
5. Să se calculeze diferenŃiala de ordinul întâi pentru următoarea funcŃie:
f (x, y) = ex+2y definită pe R2. a) ( ) [ ]2, 2x ydf x y e dx dy+= −
b) ( ) [ ]dy2dxey,xdf y2x += +
c) ( ) [ ]2, 2x ydf x y e dx dy+= − +
d) alt răspuns. Răspuns b)
Rezolvare: Deoarece ( ) 2, x y
xf x y e +=/
şi ( ) 2, 2 x yyf x y e +=
/
41
şi atunci ( ) [ ]dy2dxey,xdf y2x += + 6. Să se calculeze diferenŃiala de ordinul al doilea pentru următoarea funcŃie:
f (x, y) = ex+2y definită pe R2.
a) ( )2 2 2 2, 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +
b) ( )2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +
c) ( )2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +
d) alt răspuns. Răspuns c) Rezolvare
( )22 2, x y x y
x xf x y e e+ + = =
// /
( )22 2, 2 4x y x y
y yf x y e e+ + = =
// /
( ) 2 2, 2 2x y x yxy
yf x y e e+ + = =
// /
şi atunci ( )2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +
7. SoluŃia ecuaŃiei 2 1y x= +/
va fi
a) 2y x x C= + + ;
b) 22y x x C= + + ;
c) 3
23
xy x C= + + ;
d) alt răspuns. Răspuns a)
8. SoluŃia ecuaŃiei y y=/
va fi a) ln y x C= + ;
b) 2ln y x C= + ;
c) 2
ln2
xy C= + ;
d) alt răspuns. Răspuns a)
9. SoluŃia ecuaŃiei 2 1
2 1
xy
y
+=−
/va fi
a) 2 22 2y y x x C− = + + ;
b) 2 2 2y y x x C− = + + ;
c) 2 2y y x x C− = + + ; d) alt răspuns. Răspuns c)
42
10. SoluŃia ecuaŃiei xy x y= − −
/va fi
a) ( )2x x y C− = ;
b) ( )2x y x C+ = ;
c) ( )2x y x C− = ;
d) alt răspuns. Răspuns b) SoluŃie
1y
xy x y yx
= − − ⇔ = − −/ /
Facem schimbarea de funcŃie( ) ( )y x
u xx
= ;
( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ /
. Astfel ecuaŃia devine
1 2 ,1 2
du dxxu u
u x= − − ⇔ = −
+
/integrând obŃinem
( )2 1 2x u C+ = , adică ( )2x y x C+ = , soluŃia generală a ecuaŃiei.
11. SoluŃia ecuaŃiei 2 5
2 4
dy x y
dx x y
− += −− +
va fi
a) ( )2
21
1 12 2
1 11 1
y
x C xy y
x x
+++ = +
+ + + − + +
;
b) ( )2
21
1 12 2
1 11 1
y
x C xy y
x x
−−− = +
− − + − − −
;
c) ( )2
21
1 12 2
1 11 1
y
x C xy y
x x
−−+ = +
− − + − + +
;
d) alt răspuns. Răspuns c) SoluŃie Rezolvăm sistemul
2 5 0 1
2 4 0 2
x y x
x y y
− + = = − ⇒ − + − = =
, deci { } ( )1 2 , 1,2d d M M∩ = − , unde
1 2. 2 5 0; 2 4 0d x y d x y− + = − + =: :
. Facem schimbarea de variabilă 1t x= + şi schimbarea de funcŃie 2u y= − , ecuaŃia
devine
43
2
2
du t u
dt u t
−=−
, ecuaŃie omogenă. (1)
1 2
2
udu t
udtt
−=
−
(2)
Facem schimbarea de funcŃie,
( )uv t
t= (3)
Cu ajutorul relaŃiei (3) ecuaŃia (2) se rescrie 21 2 1
2 2
v vv tv tv
v v
− −+ = ⇔ = ⇔− −
/ /
2
2,
1
v dtdv
tv
−⇔ =−
Integrând membru cu membru avem
2 2
1 1 1 1ln ln ,
1 11 1
v vtC tC
v vv v
− −= ⇔ =+ +− −
Astfel, găsim soluŃia generală a ecuaŃiei
( )2
21
1 12 2
1 11 1
y
x C xy y
x x
−−+ = +
− − + − + +
12. SoluŃia ecuaŃiei 1 3 3
1
x yy
x y
− −=+ +
/va fi
a) ( ) ( )2ln 1x y x y x C− + − − − + = + ;
b) ( ) ( )2ln 1x y x y x C+ + − − + = − + ;
c) ( ) ( ) 2ln 1x y x y x C− + − − − + = + ;
d) alt răspuns. Răspuns a)
SoluŃie b) Observăm că 1 2d d
| |, unde 1 2:1-3 3 0; 1 0d x y d x y− = + + =
:.
Facem schimbarea de funcŃie, ( )
( ) ( )1 .
x y u x
u x y x
+ = ⇒
= +/ /
(1)
EcuaŃia devine
44
( )2 11 31
1 1
uu duu
u dx u
−−− = ⇔ = ⇔+ +
/
21 ,
1du dx
u − + = −
(2)
Integrând membru cu membru avem
( )2ln 1 ,u u x C− − − = +
Astfel, găsim soluŃia generală a ecuaŃiei ( ) ( )2ln 1x y x y x C− + − − − + = +
13. SoluŃia ecuaŃiei 0xy y x− + =
/va fi
a) ( )lny x K x= + ;
b) ( )lny x K x= − + ;
c) ( ) 2lny x K x= − + ;
d) alt răspuns. Răspuns b)
SoluŃie 1. Rezolvăm ecuaŃia omogenă
0dy dx
xy yy x
− = ⇔ =/
(1)
Integrând membru cu membru avem ln ln ln ,y x C= +
Găsim soluŃia ecuaŃiei omogene .y Cx= (2)
2. Aplicăm „Metoda variaŃiei constantelor”, căutăm soluŃia ecuaŃiei 0xy y x− + =/
, de forma
( ) .y C x x= (3)
EcuaŃia 0xy y x− + =/
, cu relaŃia (3) devine
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )2
0
0.
x C x x C x xC x x
x C x xC x xC x x
+ − + = ⇔
⇔ + − + =
/
/ (4)
Astfel
( ) ( )1lnC x C x x K
x= − ⇒ = − +
/ (5)
Atunci ecuaŃia 0xy y x− + =/
are soluŃia ( )lny x K x= − + .
14. SoluŃia ecuaŃiei x yy
x
+=/
va fi
a) lny Cx= ;
b) 2 lny x Cx= ; c) lny x Cx= ;
45
d) alt răspuns. Răspuns c) SoluŃie
1x y y
y yx x
+= ⇔ = +/ /
Facem schimbarea de funcŃie( ) ( )y x
u xx
= ;
( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ /
. Astfel ecuaŃia devine
1 1
.
duxu u u x
dxdx
dux
+ = + ⇔ = ⇔
⇔ =
/
Integrând obŃinem lnu Cx= , adică ln .y x Cx= , soluŃia generală a ecuaŃiei.
15. SoluŃia ecuaŃiei 2
4 1
4
yy
x
−=−
/va fi
a) ( )214 1
4y C x = − +
;
b) ( )214 1
4y C x = + +
;
c) ( )214 1
4y C x = + −
;
d) alt răspuns. Răspuns a) SoluŃie
2 2
4 1 4 4
4 14 4
y y dxy dy
yx x
−= ⇔ =−− −
/, integrând obŃinem
( ) ( )2ln 4 1 ln 4y C x− = − , găsim soluŃia ecuaŃiei
( )214 1
4y C x = − +
.