Matematici Aplicate in Economie

MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE

Prof. univ. dr. Gheorghe MUNTEANU

Cuprins

Prefata 5

I Algebra liniara 7

1 Elemente recapitulative de algebra liniara 9

1.1 Matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Determinanti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Sisteme liniare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Spatii vectoriale 15

2.1 Definitie, exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Subspatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Liniara independenta, baza si dimensiune . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Schimbarea bazei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Lema substitutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Transformari liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Forme biliniare si patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7 Apicatii ale geometriei ın economie . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7.1 Geometrie ın planul euclidian . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7.2 Geometrie ın spatiul euclidian . . . . . . . . . . . . . . 41

II Analiza matematica 43

3 Siruri si serii numerice 45

3.0.3 Siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.0.4 Serii numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3

4 Matematici aplicate

4 Siruri si serii de functii 534.1 Serii de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.1 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Serii Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Functii de mai multe variabile reale 615.1 Limite si continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 Derivate partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.1 Formula lui Taylor pentru functii de mai multe variabile 695.3 Extreme la functii de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . 71

5.3.1 Extreme conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3.2 Lema celor mai mici patrate . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Calcul integral 816.1 Integrala definita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2.1 Integralele lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3 Integrala dubla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Ecuatii diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

III Probabilitati 956.5 Camp de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.6 Evenimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.7 Probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.7.1 Probabilitati conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.7.2 Scheme probabilistice clasice . . . . . . . . . . . . . . . 103

7 Variabile aleatoare 1097.1 Definitie, operatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2 Caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare . . . . . . . 1147.3 Repartitii clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Bibliografie 124

Prefata

Invatamantul economic cunoaste ın anii din urma o dezvoltare nu numai ınprivinta numarului de studenti, fapt justificat de prefaceri economice, ci siuna calitativa privind continutul disciplinelor universitare.

Trecand de la forma Institutelor economice la Academii de stiinte eco-nomice, acest ınvatamant si-a propus exigente sporite care sa-l faca compat-ibil cu cel mondial, ın care economia de piata ısi are reguli nu impuse deanumite doctrine si canoane specifice sistemului politic ci unor tendinte carese schimba cu rapiditate si trebuie sa reactionezi ca atare. Desigur pentru oasemenea actiune prima conditie este legata de cunostintele de specialitate.

Ne ıntrebam care este rolul matematicii ın acest context. Emanuel Kantspunea ca ”o stiinta contine atata stiinta cata matematica contine ın ea”.Nimic mai adevarat si ın cazul de fata !. Oare se pot acorda premii Nobelın economie fara ca teoria enuntata sa aiba o fundamentare matematica, omodelare stiintifica sub forma algoritmica riguroasa ?.

Intrebarea fireasca este cata matematica trebuie sa cunoasca un economist.Raspunsul este mai greu de dat. Depinde ın primul rand de responsabilitatilesale. Cert este ca el trebuie sa fie pregatit de o Universitate pentru oriceexigente, urmand ca la locul de munca sa dezvolte cerintele specifice. Sigureste faptul ca din multitudinea de ramuri ale matematicii sunt cateva indis-pensabile unui economist. Sunt cele legate de teoria optimizarii, de progra-mare liniara, neliniara sau discreta, de teoria jocurilor, de teoria aproximarii,de procese probabilistice, statistice, sisteme dinamice si multe altele. Acesteasunt doar cateva din disciplinele matematice pe care le ıntalnim mai des ıncursurile de specialitate ale marilor universitati din strainatate. La acestease adauga capitole aplicative de matematica economica cum ar fi cele privindalegerea sub certitudine sau incertitudine, teoria portofolio, etc.

5

6 Matematici aplicate

Pentru a putea sa te initiezi ın oricare din aceste discipline este nevoie deun punct de plecare. Acesta este cel oferit de manualele de matematica dinliceu si prezentul curs de matematici pentru economisti.

In aceste note de curs ne-am propus sa cuprindem, ıntr-o forma acesi-bila cat mai multor studenti, notiuni de matematica strict necesare pentruıntelegerea teoriilor matematice specificate mai sus cu aplicatii ın economie.

Credem ca dintr-un astfel de curs nu pot lipsi notiuni fundamentale dealgebra liniara precum cele de spatiu vectorial, baza, schimbari de baza,forme liniare si patratice, sau aplicatii imediate ın geometria analitica.

Studiul unor probleme de optimizare, de convexitate, nu poate fi facutfara cateva cunostinte elementare de analiza matematica pe dreapta realasau ın spatii cu mai multe dimensiuni.

In fine, teoria probabilitatilor ısi are un rol esential ın studiul multiplelorprocese economice. La acestea se adauga un curs separat cu notiuni destatistica matematica aplicata ın economie.

Przentul curs se adreseaza studentilor din anul ıntai din UniversitateaCrestina Dimitrie Cantemir, de la Brasov. El vine ın sprijinul celor careıntampina dificultati ın culegerea de notite de curs dar si pentru completarealor.

Profesor univ. dr. Gheorghe Munteanu

Partea I

Algebra liniara

7

Capitolul 1

Elemente recapitulative dealgebra liniara

In aceasta sectiune ne propunem sa facem o sinteza a principalelor notiunide algebra liniara studiate ın liceu, notiuni ce le vom folosi destul de des ınprima parte a cursului.

1.1 Matrice.

Notiunea de matrice, A = (aij)m×n , semnifica un tablou cu m linii si ncoloane cu elemente dintr-un corp (de regula corpul numerelor reale sau com-plexe). Cazuri particulare sunt cele ale matricelor linie, m = 1, sau matricecoloana, n = 1. Daca m = n matricea se numeste patratica, un exempluremarcabil fiind cel al matricii unitate, notata cu I, ın care toate elementelesunt zero exceptand cele de pe diagonala principala care sunt egale cu unu.

Cu matrice de acelasi fel se pot face operatii:

I. Adunarea matricelor: A + B = C, si are ca elemente suma ele-mentelor de pe aceleasi pozitii ın parte.

Adunarea are proprietatile:

1. A+ (B + C) = (A+B) + C , asociativa

2. A+B = B + A, comutativa

9

10 Capitolul 1. Algebra liniara

3. Exista o matrice O cu toate elementele zero si A + O = A, oricare arfi matricea A.

4. Oricare ar fi matricea A exista matricea −A, cu toate elementele desemne opuse si A+ (−A) = O.

Se spune ca (Mm×n,+), multimea matricelor de tipul m × n formeazagrup fata de adunare.

II. Amplificarea cu scalari a matricelor: αA = B este matricea ıncare toate elementele lui A se ınmultesc cu numarul α. Ea verifica catevapropritati ce sunt imediate dar stau la baza unei notiuni ce o vom dezvoltaın acest capitol, cea de spatiu vectorial.

1. (α+ β)A = αA+ βA

2. α(A+B) = αA+ αB

3. α(βA) = (αβ)A

4. 1A = A.

Observam ca aceasta operatie nu seamana cu cea dintai, ea asociaza unuinumar si unei matrice o matrice. Se spune ca este o lege de compozitieexterna.

Mai departe putem introduce o alta operatie (interna), ınmultirea, doarıntr-un caz particular, cel al matricelor ınlantuite, A ∈Mm×n si B ∈Mn×p,rezultatul fiind o matrice C = A.B ∈ Mm×p de elemente cij =

∑aikbkj,

adica elementele liniei i ”se ınmultesc” cu elementele coloanei j si se sumeazarezultatele.

III. Daca ne rezumam la matrice patratice Mn×n adunarea verifica ax-iomele:

1. A.(B.C) = (A.B).C, asociativa

2. I.A = A = A.I, element unitate I

3. A.(B + C) = A.B + A.C, distributiva

dar ın general necomutativa. Se spune ca (Mn×n,+, .) formeaza un inel.

Nu ıntodeauna exista o matrice, numita inversa, care ınmultita cu A sane dea matricea unitate I.

Prin transpusa unei matrice At ıntelegem matricea otinuta prin schim-barea liniilor ın coloane din matricea A.

Elemente recapitulative 11

1.2 Determinanti.

Prin determinantul unei matrice patratice A ∈ Mn×n ıntelegem un numarce se asociaza astfel

detA =∑σ

(−1)signσa1i1 .a2i2 . ... anin

adica din fiecare linie si fiecare coloana se alege cate un element, se ınmultesccu un anumit semn si se aduna rezultatele.

Pentru cazul n = 2 se obtine regula lui Cramer de dezvoltare a determi-natului, pentru n = 3 se obtine regula lui Sarius care este echivalenta cu ceaa triunghiului. Mai departe calculul determinantului se face dezvoltand pe olinie (sau coloana):

∆ = detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ....+ ainAin

unde Aij = (−1)i+j∆ij se numeste complementul algebric al elementului aijsi ∆ij se obtine taind linia i si coloana j ın ∆. Evident vom dezvolta peacea linie i ce contine cati mai multi de 0, eventual folosind proprietatiledeterminantilor facem ın prealabil cat mai multi de 0.

Nu insistam asupra proprietatilor determinantilor.

Revenim asupra inversei unei matrice. Prin A−1 ıntelegem matricea careverifica: A.A−1 = I = A−1.A.

Daca detA 6= 0 atunci exista o astfel de matrice si ea se calculeaza dupaformula

A−1 =1

detAA∗

unde A∗ se numeste matricea adjuncta si se obtine din A prin transpuneresi apoi ınlocuirea elementelor ın transpusa cu complementii algebrici. Existape langa calculul acesta direct si formule numerice pentru calculul inverseiunei matrice precum si programe pe calculator pentru ea. O astfel de metodao sa o vedem ceva mai ıncolo.

Numim rangul unei matrice, r = rangA, cel mai mare ordin al unuideterminant cu elemente din matricea A. Si aici exista metode numericefolosind transformari elementare de calcul al rangului.


1.3 Sisteme liniare.

Prin sistem liniar ıntelegem un sistem de formaa11x1 + a12x2 + ......a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ......a2nxn = b2

...............am1x1 + am2x2 + ......amnxn = bm.

(1.1)

Se spune ca are m ecuatii si n necunoscute x1, .., xn.

Daca b1 = b2 = ... = bm = 0 sistemul se numeste omogen si el areıntodeauna cel putin o solutie, anume x1 = x2 = .. = xn = 0, numita sisolutia banala sau nula. In general, daca gasim niste numere x1, .., xn caresa verifice sistemul spunem ca el este compatibil, ın caz contrar se spune caeste incompatibil.

Problema compatibilitatii sistemului se poate rezolva pe cel putin douacai. Repetam aici teorema lui Rouche. Intai se calculeaza rangul matriciisistemului.

A =

a11 . . a1n

. . . .

. . . .a1n . . ann

Liniile care intra ın determinantul ce da rangul lui A, notat ∆r, se numesc

principale, celelalte se numesc secundare. La fel necunoscute principale sinecunoscute secundare. Amintim ca prin determinat caracteristic asociatunei linii secundare se ıntelege un determinat de ordin r + 1, obtinut dindeterminantul principal ∆r prin adaugarea unei linii secundare si coloanatermenilor liberi corespunzatori. Exista atati determinanti caracteristici cıtelinii secundare exista. Rolul esential al unui astfel de determinant este caanularea lui este echivalenta cu faptul ca solutiile sistemului principal verificaacea linie secundara pentru care se calculeaza determinantul caracteristic.Daca toti determinantii caracteristici sunt zero putem renunta fara nici oproblema la liniile secundare si problema revine la a rezolva sistemul numaicu ecuatiile principale. Daca un determinant caracteristic este diferit de zeroatunci sistemul este incompatibil.

Pe scurt Teorema lui Rouche spune:

Elemente recapitulative 13

I. Daca m = n = r (toate ecuatiile si necunoscutele sunt principale,

∆ = detA 6= 0), atunci sistemul este compatibil cu solutie unica, xi = ∆i∆

, unde ∆i se obtine din ∆ prin ınlocuirea coloanei i cu coloana termenilorliberi. Aceasta este regula lui Cramer.

II. Daca m = r < n (toate ecuatiile sunt principale, raman necunoscutesecundare), sistemul este ıntodeauna compatibil, n − r nedeterminat, adicadepinde de n− r parametrii.

III. Dacam < r (raman ecuatii secundare, posibil si necunoscute secudaredar nu obligatoriu).

1. Daca toti determinantii caracteristici sunt zero atunci sistemul estecompatibil, si anume:

-daca n = r, unic determinat

-daca r < n, compatibil n− r nedeterminat.

2. Daca exista un determinant caracteristic nenul, sistemul este in-compatibil.

Exemplu: Discutati sistemulx1 − 2x2 + x3 + x4 = 1x1 − 2x2 + x3 − x4 = −1x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 5

Matricea sistemului este

1 −2 1 11 −2 1 −11 −2 1 5

si are rangul 2, necunos-

cute principale fiind spre exemplu x3, x4, prima si a doua linie sunt prin-

cipale. ∆r =

∣∣∣∣ 1 11 −1

∣∣∣∣ . Ramane o ecuatie secundara, a treia. Deter-

minantul caracteristic este ∆c =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 −1 −11 5 5

∣∣∣∣∣∣ = 0, deci sistemul este

compatibil cu x1 = α, x2 = β necunoscute secundare. Sistemul devinex3 + x4 = 1− α+ 2βx3 − x4 = −1− α+ 2β

si se rezolva direct prin adunare, x1 = α,

x2 = β, x3 = −α+ 2β, x4 = 1, deci compatibil dublu nedeterminat.


Exista si metode numerice de rezolvare a sistemelor liniare, unele pe cal-culator. O idee este data de metoda eliminarii a lui Gauss pe care o desriemın continuare.

Metoda lui Gauss consta ın eliminarea pe rand a cate o necunoscutapana ce ultima ecuatie contine doar o necunoscuta. Exemplificam printr-unexecitiu aceasta metoda.

x1 + x2 − x3 = 0x1 + 2x2 + x3 = 82x1 − x2 + 3x3 = 9

Scadem din a doua ecuatie prima si din a treia prima ınmultita cu 2:x1 + x2 − x3 = 0

x2 + 2x3 = 8− 3x2 + 5x3 = 9

Adunam la ecuatia a treia ecuatia a doua ınmultita cu 3x1 + x2 − x3 = 0

x2 + 2x3 = 811x3 = 33

Din ultima ecuatie rezulta ca x3 = 3, apoi mergand ın a doua obtinem x2 = 2si ın final din prima rezulta ca x1 = 1. Ideea se poate aplica pentru sistememult mai mari si se poate programa pe calculator.

Capitolul 2

Spatii vectoriale

Pregatirea anterioara a pus ın evidenta o structura algebrica ce poate fiıntalnita si pentru alte exemple, anume cea de spatiu vectorial, sau liniarcum se mai numeste.

Sa consideram V o multime ale carei elemente le notam cu x, y, z... si lenumim vectori (avand legtura si cu geometria vectorilor). Fie (K,+, .) uncorp comutativ de elemente α, β, γ.., numiti scalari.

2.1 Definitie, exemple

Numim spatiu vectorial peste corpul K o structura algebrica definita pe Vde doua legi de compozitie ce verifica axiomele

I) + : V × V → V , adunarea vectorilor, ce satisface axiomele unui grupabelian:

I)1. x+ (y + z) = (x+ y) + z , asociativa ∀x, y, z ∈ VI)2. x+ y = y + x, comutativa, ∀x, y ∈ VI)3. Exista un vector 0 astfel x+ 0 = x, ∀x ∈ V

I)4. ∀x ∈ V exista −x ∈ V astfel ıncat x+ (−x) = 0.

II) . : K × V → V , amplificarea cu scalari a vectorilor, ce satisface:

II)1. (α+ β)x = αx+ βx pentru ∀α, β ∈ K si ∀x ∈ VII)2. α(x+ y) = αx+ αy pentru ∀α ∈ K si ∀x, y ∈ V

15

16 Capitolul 2. Spatii vectoriale

II)3. α(βx) = (αβ)x pentru ∀α, β ∈ K si ∀x ∈ VII)4. 1x = x, unde 1 ∈ K si ∀x ∈ V.

Consecinte imediate ale definitiei sunt:

1. 0x = 0

2. 1(−x) = −x = (−1)x

3. αx = 0 daca si numai daca α = 0 sau x = 0.

Exemple remarcabile de spatii vectoriale sunt:

1. (K,+, .K) , orice corp este spatiu vectorial peste el ınsusi, ın particularspatiul real sau complex.

2. Fie Kn = (x1, x2, ..., xn)/ xi ∈ K, produsul cartezian al lui K de nori. Definim operatiile

(x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)

α(x1, x2, ..., xn) = (αx1, αx2, ..., αxn) ∀α ∈ K

(Kn,+, .K) devine spatiu vectorial peste K.

In particular putem discuta de (Rn,+, .R) spatiul real n dimensional,sau (Cn,+, .C) spatiul complex n dimensional. Spatiul real (R2,+, .R) seidentifica cu multimea punctelor din plan ıntr-un reper ımpreuna cu adunareasi amplificarea vectorilor din geometrie, dandu-ne geometria analitica dinliceu. Analog (R3,+, .R) se identifica cu multimea punctelor din spatiu. Inaceste spatii vom dezvolta si analiza matematica ın partea a doua a cursului.

Calculati: x = 3(1, 4,−1)+2(0, 2, 1)−(2, 1, 1). Dupa operatiile de mai susınseamna ca fiecare element din prima paranteza sa-l ınmultim cu 3, analog lacelelalte cu 2 respectiv -1 si sa adunam pe fiecare pozitie elementele obtinute.Raspunsul final este x = (1, 14,−2).

3. Vectorii din plan sau spatiu de care discutam mai sus.

4. (Mm×n,+, R) spatiul matricelor reale.

5. (F[a,b],+, R) spatiul functiilor reale definite pe [a, b] → R.

Putem continua cu multe alte exemple ce dovedesc importanta notiuniice o studiem.

Subspatii 17

2.2 Subspatii

Fie (V,+, .K) un spatiu vectorial si S ⊂ V o multime nevida.

Spunem ca S este subspatiu ın V daca restrictia operatiilor din V laS defineste pe acesta o structura de spatiu vectorial. Pentru aceasta estesuficient ca:

x+ y ∈ S , ∀x, y ∈ S si αx ∈ S, , ∀α ∈ K, x ∈ S

sau echivalentαx+ βy ∈ S , ∀x, y ∈ S, ∀α, β ∈ K .

Se pot da multe exemple de subspatii: matricele simetrice sau cele anti-simetrice, functiile pare sau impare, functiile polinomiale pana la un anumitgrad, etc.

Principalele operatii cu subspatii sunt:

1. Intersectia S1 ∩ S2 a doua subspatii este un subspatiu.

2. Suma S1 + S2 = x1 + x2/ x1 ∈ S1, x2 ∈ S2 este un subspatiu.

3. Fie M = x1, x2, .., xn ⊂ V o multime oarecare. Numim combinatieliniara de elementele lui M un vector de forma α1x1 + α2x2 + .. + αnxn.Multimea tuturor combinatiilor liniare de elementele lui M ımpreuna cuadunarea si amplificarea lor cu scalari formeaza un subspatiu ın V , numitsubspatiul generat de M, si notat [M ] . De observat ca reuniunea a douasubspatii nu este un subspatiu ın general dar se demonstreaza ca [S1 ∪ S2] =S1 +S2. Diferenta a doua subspatii nu este un subspatiu deoarece nu continepe 0.

Aplicatie. Fie S1 = (x1, x2) /x1 = x2 si S2 = (y1, y2) /y1 = −y2 dinR2. Aratati ca sunt subspatii, calculati S1 ∩ S2 si S1 + S2.

Solutie: S1 = (x, x) /x ∈ R si (x, x) + (y, y) = (x + y, x + y) ∈ S1,iar α(x, x) = (αx, αx) ∈ S1. Deci S1 este subspatiu ın R2. Analog S2 =(x,−x) /x ∈ R si (x,−x)+(y,−y) = (x+y,−(x+y)) ∈ S2, iar α(x,−x) =(αx,−αx) ∈ S2, adica S2 este subspatiu ın R2.

Pentru S1 ∩S2 vedem cand un element se gaseste ın ambele multimi. Fie(x, x) ∈ S1 si (y,−y) ∈ S2. Ele vor coincide daca x = y si x = −y adicax = y = 0, deci S1 ∩ S2 = (0, 0).


S1 + S2 este suma dintre un element din S1 si un element din S2, adicaS1 + S2 = (x, x) + (y,−y) = (x + y, x − y). Sa observam ca aceastamultime acopera toate perechile de numere reale, adica S1 + S2 = R2.

Intuitiv acest exercitiu ne spune ca ın plan S1 si S2 sunt doua drepte(prima si a doua bisectoare), intersectia lor se face evident ın origine, iarsuma dintre un vector de pe prima dreapta cu un vector de pe a doua dreaptane da un vector din plan; ıntreg planul putand fi acoperit de vectori, unul depe prima dreapta si celalalt de pe a doua dreapta.

Exercitii propuse. Verificati care din urmatoarele multimi sunt subspatiiın (R3,+, R):

a) S1 = (x1, x2, x3) /x3 = 0b) S2 = (x1, x2, x3) /x1 − 2x2 + 4x3 = 0c) S3 = (x1, x2, x3) /x1 − 2x2 + 4x3 = 3d) S4 = (x1, x2, x3) /x

21 + x2

2 = x23.

Raspuns: a) da, b) da; c) nu, d) nu.

2.3 Liniara independenta, baza si dimensiune

Fie (V,+, .K) un spatiu vectorial si M = v1, v2, ...., vn ⊂ V o multime(sistem) de vectori.

Spunem ca M este liniar independenta daca oricare ar fi combinatialiniara α1v1 + α2v2 + .. + αnvn = 0 aceasta este posibil daca si numai dacaα1 = α2 = ... = αn = 0.

In caz contrar spunem ca ei sunt liniar dependenti. Asta ınseamna caexista cel putin un αk 6= 0 si totusi suma sa fie = 0. In acest caz putem scoatepe vk din combinatie functie de ceilalti vectori. Deci, un sistem de vectorieste liniar dependent daca si numai daca unul din vectori este o combinatieliniara de ceilalti.

Mai general, o multime infinita de vectori din V este liniar independentadaca orice parte finita din ea este liniar independenta.

-daca M1 ⊂M2 si M1 este liniar dependenta atunci M2 este liniar depen-denta,

baza si dimensiune 19

-daca M1 ⊂ M2 si M2 este liniar independenta atunci M1 este liniarindependenta.

Definitie. Un sistem de vectori B = e1, e2, ...., en ⊂ V se spune caformeaza baza ın V daca:

1. B este liniar independent

2. Orice vector x ∈ V este o combinatie liniara de elementele lui B,

x = x1e1 + x2e2 + ..+ xnen =n∑i=1

xiei. (2.1)

Definitia se poate extinde la sisteme infinite de vectori, a doua conditiene spune ca subspatiul generat de B coincide cu V, adica [B] = V.

Scalarii x1, x2, ..xn din decompunerea lui x se numesc componentele vec-torului x ın baza B.

Propozitie 1. Descompunerea (2.1) a unui vector ıntr-o baza este unica.

2. Daca B = e1, e2, ...., en si B′ = e′1, e′2, ...., e′m sunt douabaze ın V atunci n = m.

Prima se demonstreaza imediat, daca x =∑n

i=1 xiei =∑n

i=1 yiei =⇒∑ni=1(xi − yi)ei = 0 si din liniara independenta rezulta xi = yi. A doua

afirmatie e mai complicat de aratat dar ea ne spune ca numarul vectorilororicarei baze din V este acelasi si se numeste dimensiunea spatiului, scriemdimV = n.

Propozitie 3. (Grassmann) Daca S1 si S2 sunt doua subspatii ın V,dimS1 = n1, dimS2 = n2 atunci dimS1+dimS2 = dim(S1+S2)+dim(S1∩S2).

Daca S1 ∩ S2 = 0 atunci suma se numeste directa si dimensiunea sa estesuma dimensiunilor subspatiilor.

De observat ca dimensiunea unui subspatiu este ≤ decat dimensiuneaspatiului.

Aplicatie: Care din urmatoarele sisteme de vectori sunt liniar indepen-dente si care formeaza baza ın R3 ?

a) v1 = (1, 2, 1), v2 = (−1, 0, 2), v3 = (1, 4, 4)

b) v1 = (1, 2, 1), v2 = (−1, 0, 2)

c) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1), v2 = (1, 2, 3)


d) v1 = (1, 2, 1), v2 = (−1, 0, 2), v3 = (1, 1, 1)

Solutie: a) verificam liniara independenta, α1v1+α2v2+α3v3 = 0 implica,α1(1, 2, 1) + α2(−1, 0, 2) + α3(1, 4, 4) = (0, 0, 0), adica

α1 − α2 + α3 = 02α1 + 4α3 = 0α1 + 2α2 + 4α3 = 0

, sistem liniar omogen cu determinan-

tul ∆ =

∣∣∣∣∣∣1 −1 12 0 41 2 4

∣∣∣∣∣∣ = 0 si rangul este doi, ∆p =

∣∣∣∣ 1 −12 0

∣∣∣∣ , α3 = λ ne-

cunoscuta secundara. Rezolvam si gasim α1 = −2λ, α2 = −λ. Deci sistemulare o infinitate de solutii, adica vectorii sunt liniar dependenti, v3 = 2v1 +v2.Baza nu formeaza.

b) Se obtine sistemul

α1 − α2 = 02α1 = 0α1 + 2α2 = 0

care are doar solutia α1 =

α2 = 0, deci vectorii sunt liniar independenti. Matricea sistemului are rangul2. Pentru a forma baza luam un vector x = (a, b, c) arbitrar si ıncercam sa ılscriem x = α1v1 + α2v2. Obtinem un sistem ca mai sus dar ın loc de 0 avempe coloana a, b, c, deci neomogen cu rangul 2 si ∆car 6= 0 ın general. Adicasistemul este incompatibil ın general. Deci nu formeaza baza. De observatca la fiecare sistem coloanele sunt tocmai vectorii dati. Astfel matricea sepoate scrie cu usurinta ıntodeauna.

c) vectorii sunt liniar dependenti , v4 = v1 +2v2 +3v3, nu formeaza baza.

d) Sistemul este

α1 − α2 + α3 = 02α1 + α3 = 0α1 + 2α2 + α3 = 0

liniar omogen cu ∆ 6=

0, deci avem doar solutia nula. Vectorii sunt liniar independenti. Luam unvector x = (a, b, c) arbitrar si ıncercam sa ıl scriem x = α1v1 + α2v2 + α3v3.Obtinem un sistem ca mai sus dar ın loc de 0 avem pe coloana a, b, c; sistemneomogen cu rangul 3 adica Cramer, cu solutie unica pentru (a, b, c) dati.Formeaza baza.

Orice trei vectori liniar independenti ın R3 vor forma o baza. Ea nu esteunica. Spre exemplu B = e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) estebaza numita canonica si orice x = (a, b, c) = ae1 + be2 + ce3.

In general ın Rn baza canonica este

baza si dimensiune 21

B = e1 = (1, 0, .., 0), e2 = (0, 1, .., 0), ..., en = (0, 0, .., 1) si orice x =(x1, x2, ..., xn) = x1e1 + x2e2 + .. + xnen. Deci este baza cu care lucram celmai usor.

2.3.1 Schimbarea bazei

Am vazut ca ıntr-un spatiu pot exista mai multe baze. FieB = e1, e2, ...., ensi B′ = e′1, e′2, ...., e′n doua baze ın V si x = x1e1 +x2e2 + ..+xnen =

∑xiei.

Ne intereseaza cum se scrie acelasi x dar ın baza B′, adica cine ar fi x =x′1e

′1 + x′2e

′2 + ..+ x′ne

′n =

∑x′ie

′i ?.

Pentru a da un raspuns la problema ar trebui sa stim cum se leaga B deB′. Desompunem fiecare vector din B′ dupa cei din B,

e′j = s1je1 + s2je2 + ...+ snjen =n∑i=1

sijei (2.2)

pentru fiecare j = 1, 2.., n.

Inlocuind mai sus rezulta x =∑x′ie

′i =

∑(∑sijx

′j)ei. Cum scrierea ıntr-

o baza este unica, rezulta

xi =n∑i=1

sijx′j (2.3)

Dar noua ne trebuie scrierea inversa, x′j functie de xi. Pentru aceasta scriemmatricial sistemul de deasupra astfel, fie

X =

x1

x2

:xn

, S =

s11 s12 .. s11

s21 s22 .. s11

. . .. .sn1 sn2 .. snn

, X ′ =

x′1x′2:x′n

Sistemul (2.3) se scrie X = S.X ′, sau prin inversare X ′ = S−1.X.

Se demonstreaza ca matricea S, numita matricea schimbarii de baze, esteinversabila ıntodeauna.

Aplicatie: In R3 se considera sistemele de vectori

B = e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 0), e3 = (1, 2, 3)B′ = e′1 = (1, 3, 3), e′2 = (2, 2, 3), e′3 = (6, 7, 9)


a) Aratati ca B si B′ sunt baze si gasiti matricea S a schimbarii bazelor.

b) Gasiti expresia vectorului x = 2e1 + 5e2 + 7e3 ın baza B′.

Solutie. Determinantul cu componentele lui B pe coloane este 6= 0 sicum sunt 3 vectori din R3, B formeaza baza. Analog B′. Pentru a gasi Sdescompunem e′j dupa B′:

e′1 = s11e1 + s21e2 + s31e3 =⇒

s11 + s21 + s31 = 1s11 + 2s21 = 3

3s31 = 3⇔

s11 = 1s21 = −1s31 = 1

Analog e′2 = s12e1 + s22e2 + s32e3 =⇒ s12 = 0, s22 = 1, s32 = 1 si

e′3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 =⇒ s13 = 1, s23 = 2, s33 = 3.

Astfel ca

S =

1 0 1−1 1 21 1 3

cu S−1 =

−1 −1 1−5 −2 32 1 −1

X este matricea coloana de elemente (2, 5, 7), astfel ca

X ′ = S−1.X =

−1 -1 1−5 -2 32 1 −1

.

257

=

012

adica x = 0e′1 + 1e′2 + 2e′3, scrierea lui x ın baza B′.

Exercitii propuse:

1. Gasiti dimensiunea subspatiului generat de vectorii din R3

a) S1 = v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 3), v3 = (1, 1, 0)b) S2 = v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 3, 0), v3 = (1, 1, 3)Calculati dimensiunile subspatiilor intersectie si suma ale lor.

2. Gasiti expresia vectorului x = (0, 4, 2) ın baza

B = e1 = (1, 2, 3), e2 = (2, 3, 1), e3 = (3, 1, 2).

3. Aratati ca

B′ = e′1 = (1, 1, 0), e′2 = (1, 0, 1), e′3 = (0, 1, 1)B′′ = e′′1 = (0, 1,−1), e′′2 = (1, 0,−1), e′′3 = (1,−1, 0)

Lema substitutiei 23

sunt baze si gasiti matricea S a schimbarii bazelor si expresia vectoruluix = (1, 1, 1) ın bazele B′ si B′′.

4. Sa se determine dimensiunea sumei si a intersectiei subspatiilor gener-ate de vectorii

U = u1 = (1, 2,−1), u2 = (3, 4,−2), u3 = (2, 2,−1) si

V = v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 2, 0).

5. Gasiti dimensiunea subspatiului din R3 a solutiilor sistemuluix1 − x2 + x3 = 0

2x2 − x3 = 02x1 + x3 = 0

.

2.3.2 Lema substitutiei

Exista o metota algoritmica (de aplicat si pe calculator) pentru a gasi expresiaunui vector ıntr-o baza, matricea schimbarii de baze si alte aplicatii. Estevorba de lema substitutiei. Pe scurt ea consta ın:

Sa presupunem caB = e1 = (1, 0, .., 0), e2 = (0, 1, .., 0), .., en = (0, 0, .., 1)este baza canonica si

B′ = e′1 = (s11, s21, .., sn1), e′2 = (s12, s22, .., sn2), ..., e

′n = (s1n, s2n, .., snn).

Intocmim un tabel de forma

e′1 e′2 ...e′j .. e′n xe1 s11 s12 ..s1j .. s1n x1

e2 s21 s22 ..s2j .. s2n x2

. . . .. .. . .ei si1 si2 ..sij .. sin xi. . . .. .. . .en sn1 sn2 ..snj .. snn xn

Daca dorim sa scoatem din baza B doar vectorul ei si sa-l ınlocuim cuvectorul e′j atunci trebuie sa ne asiguram ca sij 6= 0, iar prin calcul se arata

24 Capitolul 2.Spatii vectoriale

ca tabelul devine

e′1 e′2 ...e′j .. e′n xe1 s∗11 s∗12 ..0 .. s∗1n x∗1e2 s∗21 s∗22 ..0 .. s∗2n x∗2. . . .. .. . .e′j s∗i1 s∗i2 ..1 .. s∗in x∗i. . . .. .. . .en s∗n1 s∗n2 ..0 .. s∗nn x∗n

unde s∗ik = siksij iar s∗hk = 1

sij (sijshk − sikshj) pentru h 6= i, adica o regula a

dreptunghiului. Analog, x∗i = xisij iar x∗h = 1

sij (sijxh − xishj) pentru h 6= i.

Eliminand pe rand toate elementele bazei B, ınlocuindu-le cu cele alebazei B′, dupa n pasi se obtine x ın baza B′.

Exemplificam prin cateva exercitii acest lucru

Aplicatie: 1. Gasiti cu lema substitutiei expresia vectorului x = (0, 4, 2)ın baza B′ = e′1 = (1, 2, 3), e′2 = (2, 3, 1), e′3 = (3, 1, 2).

ConsideramB = e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) baza canonicasi ıntocmim tabelul

e′1 e′2 e′3 xe1 1 2 3 0e2 2 3 1 4e3 3 1 2 2

Scoatem din baza pe e1 si ıl ınlocuim cu e′1. Tabelul devine

e′1 e′2 e′3 xe′1 1 2 3 0e2 0 −1 −5 4e3 0 −5 −7 2


e′1 e′2 e′3 xe′1 1 0 −7 8e′2 0 1 5 −4e3 0 0 18 −18

Lema substitutiei 25


e′1 e′2 e′3 xe′1 1 0 0 1e′2 0 1 0 1e′3 0 0 1 −1

Deci de pe ultima coloana citim x = 1e′1 + 1e′2 − 1e′3 = e′1 + e′2 − e′3.

2. Gasiti matricea de trecere de la baza

B′ = e′1 = (1, 1, 0), e′2 = (1, 0, 0), e′3 = (1, 2, 3) la baza

B′′ = e′′1 = (1, 3, 3), e′′2 = (2, 2, 3), e′′3 = (6, 7, 9) si expresia vectoruluix = (14, 16, 21) ın cele doua baze.

Consideram B baza canonica si ıntocmim un tabel dublu

e′1 e′2 e′3 e′′1 e′′2 e′′3 xe1 1 1 1 1 2 6 14e2 1 0 2 3 2 7 16e3 0 0 3 3 3 9 21

Scoatem pe rand e1, e2, e3 si le ınlocuim cu e′1, e′2, e

′3 ,

e′1 e′2 e′3 e′′1 e′′2 e′′3 xe′1 1 1 1 1 2 6 14e2 0 −1 1 2 0 1 2e3 0 0 3 3 3 9 21

e′1 e′2 e′3 e′′1 e′′2 e′′3 xe′1 1 0 2 3 2 7 16e′2 0 1 −1 −2 0 −1 −2e3 0 0 3 3 3 9 21

e′1 e′2 e′3 e′′1 e′′2 e′′3 xe′1 1 0 0 1 0 1 2e′2 0 1 0 −1 1 2 5e′3 0 0 1 1 1 3 7

26 Capitolul 2.Spatii vectoriale

Observam ca matricea de trecere de la B′ la B′′ este S =

1 0 1−1 1 21 1 3

si expresia lui x ın B′ este x = 2e′1 + 5e′2 + 7e′3. Pentru a gasi expresia lui xın B′′ scoatem pe rand e′1, e

′2, e

′3 si le ınlocuim cu e′′1, e

′′2, e

′′3.

e′1 e′2 e′3 e′′1 e′′2 e′′3 xe′′1 1 0 0 1 0 1 2e′2 1 1 0 0 1 3 7e′3 −1 0 1 0 1 2 5

e′1 e′2 e′3 e′′1 e′′2 e′′3 xe′′1 1 0 0 1 0 1 2e′′2 1 1 0 0 1 3 7e′3 −2 −1 1 0 0 −1 −2

e′1 e′2 e′3 e′′1 e′′2 e′′3 xe′′1 −1 −1 1 1 0 0 0e′′2 −5 −2 3 0 1 0 1e′′3 2 1 −1 0 0 1 2

Astfel ca x = 0e′′1+1e′′2+2e′′3 si ın plus citim ca S−1 =

−1 -1 1−5 −2 32 1 −1

,

deci iata o metoda de a gasi inversa unei matrice pe aceasta cale. De observatca am folosit aceleasi date ca ın aplicatia de la schimbari de baze, rezultatelefiind aceleasi.

Exercitii.1. Gasiti expresia vectorului x = (3, 3, 4) ın baza B′ = e′1 =(1, 2, 3), e′2 = (1, 1, 1), e′3 = (1,−1, 0)

2. Se dau B′ = e′1 = (1, 2, 0), e′2 = (2, 3, 0), e′3 = (1, 1, 1) si B′′ = e′′1 =(0, 1, 1), e′′2 = (3, 5, 0), e′′3 = (1, 1, 1). Aratati ca sunt baze, gasiti matricea detrecere si expresia vectorului x = (1, , 2, 1) ın cele doua baze.

3. Gasiti inversa matricei A =

1 1 0 01 2 0 01 3 1 14 3 2 1

cu lema substitutiei.

Spatii euclidiene 27

2.4 Spatii euclidiene

Am vazut ca un exemplu important de spatiu vectorial cu care am lu-crat mai mult este Rn. Un element al sau poate fi privit si drept coordo-nate ale unui punct ın raport cu un reper. In acelasi timp el este un vec-tor. Notiunea aceasta de reper este geometrica si se refera la un sistem devectori ce formeaza o baza a spatiului, fixati ıntr-un punct. In geometrieaceasta notiune capata semnificatie daca putem masura distantele si unghi-urile. Definirea intuitiva a notiunii de perpendicularitate are un corespondentmatematic ın notiunea de produs scalar.

Definitie. Fie (V+, R) un spatiu vectorial real.

Numim produs scalar pe V o aplicatie notata 〈 , 〉 : V × V → R cuproprietatile:

1. 〈x, y〉 = 〈y, x〉2. 〈αx, y〉 = α〈x, y〉3. 〈x1 + x2, y〉 = 〈x1, y〉+ 〈x2, y〉4. 〈x, x〉 ≥ 0 si 〈x, x〉 = 0 daca si numai daca x = 0.

Notiunea pare abstracta dar imediat ne lamurim ce semnificatie geomet-rica are.

Perechea (V, 〈 , 〉) se numeste spatiu euclidian.

Definim norma (sau lungimea unui vector) ca fiind ‖ x ‖=√〈x, x〉. Din

4. observam ca are sens aceasta notiune.

Propozitie 1. Are loc urmatoarea inegalitate a lui Cauchy

| 〈x, y〉 |≤‖ x ‖‖ y ‖

Demonstratia e simpla si o facem aici. Consideram vectorul x + λy.Evident 〈x + λy, x + λy〉 ≥ 0 oricare ar fi λ ∈ R. Dar aceasta se mai scrie,λ2〈y, y〉 + 2λ〈x, y〉 + 〈x, x〉 ≥ 0, ∀λ ∈ R. Un polinom de grad 2 ın λ estepeste tot pozitiv daca si numai daca ∆ = 4(〈x, y〉2 − 〈x, x〉〈y, y〉) ≤ 0, adica〈x, y〉2 ≤‖ x ‖2‖ y ‖2. Din aceasta rezulta inegalitatea lui Cauchy.

Propozitie 2. Avem:

1. ‖ x ‖≥ 0 si = 0 daca si numai daca x = 0


2. ‖ αx ‖=| α |‖ x ‖3. ‖ x+ y ‖≤‖ x ‖ + ‖ y ‖

Numim distanta de la x la y marimea d(x, y) =‖ x− y ‖ .Propozitie 3. Avem

1. d(x, y) ≥ 0 si = 0 daca si numai daca x = y

2. d(x, y) = d(y, x)

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Demonstratiile sunt imediate daca tinem seama de inegalitatea lui Cauchy.

Definim unghiul a doi vectori ca fiind α ∈ [0, π] din relatia

cosα =〈x, y〉

‖ x ‖‖ y ‖.

Daca α = π2

atunci vectorii se zic perpendiculari si aceasta se ıntampladaca si numai daca 〈x, y〉 = 0.

Doua multimi se spun ca sunt ortogonale (perpendiculare) daca oricevector din prima este perpendicular pe orice vector din a doua. In particularputem discuta de subspatii ortogonale, S1 ⊥ S2.

Daca dimV = n si S este un subspatiu in V , dimS = k, atunci se arataca exista un subspatiu ortogonal lui S notat S⊥, dimS⊥ = n − k, astfel caV = S ⊕ S⊥.

Vectorii unei multimi din V se numesc ortogonali daca oricare doi suntperpendiculari. Daca ın plus ei sunt si de lungime unitate atunci multimease numeste ortonormata. In particular discutam de baza ortonormata ın carevectorii sunt 2 cate 2 perpendiculari si de lungime unitate. Geometric, fixandvectorii bazei ıntr-un punct obtinem un reper ortonormat, sau cartezian.

Exemple: 1. In (Rn,+, R), daca x = (x1, x2, ..., xn) si y = (y1, y2, ..., yn)atunci un produs scalar convenabil este:

〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + ....+ xnyn

numit si produsul scalar uzual. Avem

‖ x ‖=√x2

1 + x22 + ....+ x2

n ; d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + ....+ (xn − yn)2.

Spatii euclidiene 29

In Rn o baza ortonormata este chiar baza canonica, B = e1 = (1, 0, .., 0),e2 = (0, 1, .., 0), ..., en = (0, 0, .., 1). Ea este ortonormata, deoarece spreexemplu 〈e1, e2〉 = 1.0+0.1+0.0+...0.0 = 0, deci e1 si e2 sunt perpendiculari,analog ceilalti. Iar ‖ e1 ‖=

√12 + 02 + ....+ 02 = 1, analog ceilalti.

In R2 vectorii e1 = (1, 0) = i, e2 = (0, 1) = j fixati ıntr-un punct Oformeaza un reper ortonormat si se reprezinta ca mai jos. Analog in spatiu,e1 = (1, 0, 0) = i, e2 = (0, 1, 0) = j, e3 = (0, 0, 1) = k.

Ox--

i

j

6

Oy

6

Oy

-

Oz6

Ox

Pe Rn produsul scalar uzual nu este singurul produs scalar dar este cel ceintuitiv ne da imaginea geometrica cunoscuta. Noi vom folosi ın mod curentprodusul scalar uzual pe Rn.

In spatiul functiilor continue pe [a, b] un produs scalar des folosit este

〈f, g〉 =∫ baf(x)g(x)dx.

Procedeul de ortonormare Gram-Schmidt.

Fie S = v1, v2, ..., vn un sistem liniar independent (nu neaparat baza) devectori din spatiul euclidian (V, 〈 , 〉). Se pune problema obtinerii din acestsistem a altuia S ′ = e1, e2, ..., en ortonormat si care sa genereze acelasisubspatiu. Solutia este data de Procedeul Gram-Schmidt, care din aproapeın aproape construieste acest sistem.

Intai calculam e1 = v1

‖ v1 ‖.

Presupunem prin inductie ca am gasit e1, e2, ..., ek, ortonormati. Atunci


ek+1 se deduce dupa urmatoarea formula

ek+1 =fk+1

‖ fk+1 ‖unde fk+1 = vk+1 −

k∑i=1

〈vk+1, ei〉ei.

pentru fiecare k pana la n.

Aplicatie: 1. Sa se arate ca vectorii v1 = (1, 2,−1) , v2 = (0, 1, 2) suntortogonali, sa se ortonormeze si sa se completeze la o baza ortonormata aspatiului.

Solutie. Calculam 〈v1, v2〉 = 1.0 + 2.1 − 1.2 = 0, deci v1 si v2 suntperpendiculari. Ii ortonormam, e1 = v1

‖v1‖ = 1√6(1, 2,−1) si e2 = v2

‖v2‖ =1√5(0, 1, 2). Pentru ai completa la o baza ortonormata avem nevoie de ınca

un vector e3 care sa satisfaca: 〈e1, e3〉 = 0, 〈e2, e3〉 = 0, ‖ e3 ‖= 1. Luand e3 =(x, y, z) aceste conditii se scriu: x+2y−z = 0, y+2z = 0 si x2 +y2 +z2 = 1.Sistemul admite urmatoarele doua solutii e3 = ± 1√

30(5,−2, 1).

2. Sa se ortonormeze sistemul de vectori S = v1 = (1, 1, 1), v2 =(1, 0, 1), v3 = (0, 1, 1) ın raport cu produsul scalar uzual.

Solutie. ‖ v1 ‖=√

3 si deci e1 = 1√3(1, 1, 1).

Calculam f2 = v2−〈v2, e1〉e1 = (1, 0, 1)− 23(1, 1, 1) = 1

3(1,−2, 1), din care

rezulta e2 = f2‖f2‖ = 1√

6(1,−2, 1).

Calculam f3 = v3−〈v3, e1〉e1−〈v3, e2〉e2 = (0, 1, 1)−23(1, 1, 1)+1

6(1,−2, 1) =

16(−3, 0, 3) = 1

3(−1, 0, 1), din care rezulta e3 = f3

‖f3‖ = 1√2(−1, 0, 1).

Sistemul S ′ = e1 = 1√3(1, 1, 1), e2 = 1√

6(1,−2, 1), e3 = 1√

2(−1, 0, 1) este

ortonormat si genereaza acelasi subspatiu ca si S.

Sa consideram Sp un subspatiu ın V, dimSp = p, sie1, e2, ...ep bazaortonormata ın Sp.

Prin proiectia unui vector v pe Sp ıntelegem vetorul w =∑p

i=1〈v, ei〉ei.El este perpendicular pe toti vectorii subspatiului.

Exercitii propuse.

1. Sa se ortonormeze sistemul v1 = (1, 1, 0) , v2 = (−1, 1, 2) si sa secompleteze la o baza ortonormata a spatiului.

Transformari liniare 31

2. Sa se ortonormeze cu Gram-Schmidt v1 = (−1, 1, 1), v2 = (1, 2,−1),v3 = (1, 2, 3)

3. Sa se gaseasca un complement ortogonal subspatiului

a) S = (x1, x2, x3)/x3 = 0. b) S = (x1, x2, x3)/x1 = x2 = x3.

4. Sa se determine proiectia vectorului v = (1, 1, 1) pe subspatiul generatde vectorii

a) v1 = (1, 2, 3), v2 = (2,−1, 0) b) S2 = (x1, x2, x3)/x1 = x2 = x3

O aplicatie importanta privind spatiile euclidiene se refera la metoda celormai mici patrate, dar aceasta implica si cunostinte de analiza matemetica.

2.5 Transformari liniare

Fie V un spatiu vectorial. Un caz destul de des ıntalnit este cel al aplicatiilorce duc vectori dintr-un spatiu ın vectori din el.

Definitie. Numim transformare liniara o aplicatie T : V → V ce satisface:

T (αx+ βy) = αT (x) + βT (y) ; ∀α, β ∈ K, x, y ∈ V.

Sa ne fixam o baza ın V, B = e1,, e2, .., en si x =∑xiei un vector. Din

liniaritatea lui T obtinem ca T (x) =∑xiT (ei) si deci T este bine determi-

nata daca cunoastem vectorii

T (ei) = a1ie1 + a2ie2 + ...+ anien , ∀i = 1, 2, ...n.

Obtinem astfel o matrice A = (aij) ın care coloana i este scrierea lui T (ei)dupa baza B.

Daca notam matricial componentele vectoruli x ca fiind coloana cu

(x1 x2 xn)t = X, atunci matricial transformarea liniara este coloana

Y = T (X) = A.X

si deci o transformare liniara ıntr-o baza se scrie ca un sistem liniara11x1+ a12x21+ .... a1nxn = y1

.... ..... ... ... .. .an1x1+ an2x2+ ... annxn = yn


Astfel, variind liniar variabilele x1, x2, .., xn obtinem diverse raspunsuridespre fenomenul studiat. De aici interesul pentru astfel de aplicatii.

Daca schimbam baza B → B′ cu matricea S obtinem vectorul Y ′ =T (X ′) = A′.X ′. Ne intereseaza ce legatura exista ıntre A si A′. Raspunsul ılgasim daca tinem cont ca X = S.X ′ si anlog Y = S.Y ′. Obtinem ca

A′ = S−1.A.S

Astfel de matrice se numesc matrice asemenea.

Definitie. Un vector x ∈ V se numeste vector propriu pentru T dacaexista λ ∈ K astfel ca T (x) = λx.

Scalarul λ se numeste valuare proprie corespunzatoare lui x.

De fapt, pentru un λ dat putem vorbi nu numai de un vector propriu xci de un subspatiu propriu

Vλ = x ∈ V / T (x) = λx

acesta fiind lasat pe loc prin transformarea T.

Daca lucram matricial ıntr-o baza atunci T (x) = λx ne da A.X = λX,adica sistemul liniar omogen

(A− λI)X = 0.

El are solutii nenule daca

p(λ) = det(A− λI) = 0.

p(λ) este un polinom de grad n ın λ numit polinom caracteristic. Printreradacinile din K ale polinomului p(λ) = 0 gasim si valorile proprii ale trans-formarii liniare T. Rezolvand sistemul (A − λI)X = 0 pentru aceste valoriproprii obtinem vectorii proprii (subspatiile proprii) corespunzatori.

Vectorii si valorile proprii sunt aceeasi idiferent de baza.

Aplicatie. Aratati ca T (x) = (x1 + x2, x1 + x3, x2 + x3) este o transfor-mare liniara ın R3.

a) Determinati T (1, 0,−1)

Transformari liniare 33

b) Scrieti matricea lui T ın baza canonica din R3 si ın baza B′ = e′1 =(−1, 1, 1), e′2 = (1, 2,−1), e′3 = (1, 2, 3).

c) Gasiti valorile si vectorii proprii ai transformarii.

Solutie. Se verifica direct luand x = (x1, x2, x3) si y = (y1, y2, y3) caT (αx+ βy) = αT (x) + βT (y).

a) T (1, 0,−1) = (1, 0,−1), deci este vector propriu pentru λ = 1

b) Matricea A ın baza canonica B = e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 =(0, 0, 1) se obtine calculand T (e1) = (1, 1, 0), T (e2) = (1, 0, 1) , T (e3) =

(0, 1, 1) si deci A =

1 1 01 0 10 1 1

.

Matricea S a schimarii de baze B → B′ este S =

−1 1 11 2 21 −1 3

si deci

A′ = S−1A.S, calcul direct.

c) Rezolvam ecuatia det(A − λI) = 0, adica

∣∣∣∣∣∣1− λ 1 01 −λ 10 1 1− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Obtinem λ1 = 1, λ2 = −1 , λ3 = 2, valorile proprii.

Pentru λ1 = 1 sistemul (A − λI)X = 0 devine

x2 = 0

x1− x2+ x3 = 0x2 = 0

cu solutia Vλ1 = (α, 0,−α).(pentru α = 1 se obtine cazul a) ).

Pentru λ2 = −1 sistemul (A−λI)X = 0 devine

2x1+ x2 = 0x1+ x2+ x3 = 0

x2+ 2x3 = 0cu solutia Vλ2 = (α,−2α, α).

Pentru λ3 = 2 sistemul (A−λI)X = 0 devine

−x1+ x2 = 0x1+ −2x2+ x3 = 0

x2− x3 = 0cu solutia Vλ3 = (α, α, α).

Acestea sunt subspatiile proprii din care putem extrage spre exempluurmatorii vectorii proprii v1 = (1, 0,−1), v2 = (1,−2, 1), v3 = (1, 1, 1)


Exercitii propuse. Determinati valorile si vectorii proprii ale transformarilorT : R3 → R3,

a) T (x) = (4x1 − 5x2 + 2x3, 5x1 − 7x2 + 3x3, 6x1 − 9x2 + 4x3) .

b) T (x) = (x1 + x2 + x3, x2 + x3, x3) .

2.6 Forme biliniare si patratice

Notiunile pe care le introducem sunt tot de algebra liniara dar prezintaimportanta pentru analiza matematica si geometrie.

Fie (V,+, R) un spatiu real.

Definitie: O aplicatie f : V × V → R ce satisface axiomele

1) f(αx1 + βx2, y) = αf(x1, y) + βf(x2, y) , ∀α, β ∈ R, x1, x2, y ∈ V2) f(x, αy1 + βy2) = αf(x, y1) + βf(x, y2) , ∀α, β ∈ R, x, y1, y2 ∈ Vse numeste forma biliniara.

Daca B = e1, e2, ..., en este o baza ın V si x =∑xiei, y =

∑yjej, din

axiome rezulta ca f(x, y) =∑xiyjf(ei, ej). Deci forma biliniara este perfect

cunoscuta daca ın baza B se dau f(ei, ej) = aij si deci

f(x, y) =n∑

i,j=1

aijxiyj cu f(ei, ej) = aij

Matricea A = (aij) se numeste matricea formei biliniare ın baza B.

Daca B′ = e′1, e′2, ..., e′n este alta baza si f(e′i, e′j) = a′ij, ce determina

matricea A′ = (a′ij), ne intereseza ce legatura exista ıntre A si A′. Pentruaceasta consideram S = (sij) matricea schimbarii de baze, e′j =

∑sijei.

Inlocuind ın f(e′i, e′j) dupa calcule se gaseste ca

A′ = St.A.S

legatura ıntre matricile ın cele doua baze.

Forma biliniara f se numeste simetrica daca f(x, y) = f(y, x), matricealasta ınseamna ca A este o matrice simetrica, aij = aji.

Forme biliniare si patratice 35

Unei forme biliniare simetrice f ıi putem asocia o aplicatie h : V → R ,h(x) = f(x, x), numita forma patratica asociata lui f.

Si invers, oricarei forme patratice h aplicatia f(x, y) = 12h(x+y)−h(x)−

h(y) este forma biliniara asociata lui h.

In baza B, egaland pe y cu x, obtinem

h(x) =n∑

i,j=1

aijxixj cu f(ei, ej) = aij,

f fiind forma biliniara asociata lui h.

La schimbari de baze matricea A se schimba si la forme patratice dupaaceeasi formula A′ = St.A.S.

Aplicatie: In raport cu baza canonica din R3 se considera:

f(x, y) = x1y1 + 2x2y2 − 4x3y3 + x1y2 + x2y1 − 2x1y3 − 2x3y1 + x2y3 + x3y2

a) Aratati ca f este biliniara simetrica si scrieti matricea sa ın bazacanonica.

b) Gasiti matricea lui f ın baza B′ = e′1 = (1, 1, 1), e′2 = (1, 1, 0), e′3 =(1, 0, 0)

c) Scrie-ti forma patratica asociata.

Solutie: Sa observam ca f(x, y) =∑n

i,j=1 aijxiyj si deci este o forma

biliniara. Matricea sa este A =

1 1 −21 2 1−2 1 −4

care este simetrica. Pentru

a gasi matricea ın baza B′ scriem S =

1 1 11 1 01 0 0

si transpusa sa aici

coincide cu S. Se calculeaza A′ = St.A.S =

−1 4 04 5 20 2 1

.

Forma patratica se obtine egaland pe x cu y,

h(x) = x21 + 2x2

2 − 4x23 + 2x1x2 − 4x1x3 + 2x2x3.


Legat de aceasta forma patratica o problema importanta este determinareaunei alte baze ın care h sa se scrie cat mai simplu, spre exemplu sa continanumai patrate. Se spune ca am gasit o expresie canonica a formei patratice.

La modul general, daca in baza B = e1, e2, ..., en forma patratica sescrie h(x) =

∑ni,j=1 aijxixj , gasiti o alta baza B′ = e′1, e′2, ..., e′n ın care

h(x′) = λ1(x′1)

2 + λ2(x′2)

2 + ...+ λn(x′n)

2.

Problema este posibila ıntodeauna si are mai multe solutii.

Dam aici doua cai de a rezolva expresia canonica:

1. Metoda lui Gauss. In mare consta ın urmatoarele

-se urmareste daca ın scrierea lui h(x) exista termeni cu patrate.

-daca, spre exemplu, x1 este la patrat atunci se grupeaza toti termenii cecontin pe x1 si se formeaza un binom sau trinom la patrat.

-ce ramane este o noua forma patratica ın mai putine variabile pentrucare se procedeaza ca mai sus.

Exemplificam pe cazul de mai ınainte aceasta metoda. Avem

h(x) = x21 + 2x2

2 − 4x23 + 2x1x2 − 4x1x3 + 2x2x3

si observam ca x1 este la patrat. Grupam toti termenii ce contin pe x1.Obtinem

h(x) = (x1 + x2 − 2x3)2 + x2

2 − 8x23 + 6x2x3. Pentru ultima parte avem o

noua forma patratica ın x2 si x3. Grupam dupa x2.

h(x) = (x1 + x2 − 2x3)2 + (x2 + 3x3)

2 − 17x23.

Acum daca notam

x′1 = x1 + x2 − 2x3

x′2 = x2 + 3x3

x′3 = x3

, obtinem ca h(x′) = (x′1)2 +

(x′2)2−17x′23 , adica expresie canonica. Pentru a determina baza ın care avem

aceasta inversam sistemul si rezulta,

x1 = x′1 − x′2 + 5x′3x2 = x′2 − 3x′3

x3 = x′3

.

Comparandu-l cu X = SX ′ , matricea schimbarii de baze este S = 1 −1 50 1 −30 0 1

, iar vectorii noii baze sunt coloanele lui S.

2. Metoda lui Jacobi. Se scrie matricea formei patratice ın baza data.

Apicatii ale geometriei ın economie 37

Se noteaza cu ∆1 =| a11 |, ∆2 =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , .. ∆r, determinantii ın ordine

crescatoare ca dimensiune de pe diagonala principala, toti nenuli, r = rangA.Atunci o expresie canonica este

h(x′) =1

∆1

(x′1)2 +

∆1

∆2

(x′2)2 + ...+

∆r−1

∆r

x′2r .

Aplicatie. Sa rezolvam aceeasi problema prin metoda Jacobi.

h(x) = x21 + 2x2

2 − 4x23 + 2x1x2 − 4x1x3 + 2x2x3 si matricea sa ın baza

canonica este:

A =

1 1 −21 2 1−2 1 −4

cu ∆1 = 1, ∆2 =

∣∣∣∣ 1 11 2

∣∣∣∣ = 1, ∆3 = detA = −17.

Deci expresie canonica este h(x′) = 11(x′1)

2 + 11(x′2)

2 − 117x′23 .

Sa observam ca ea nu coincide cu cea din metoda Gauss. Asa cum amspus nu putem discuta de o singura expresie canonica dar toate se leaga princeva, anume

Teorema lui Sylvester : Numarul semnelor de +, al celor de −, si al celorcu 0 este acelasi ın orice expresie canonica.

Exercitii propuse.

1. Scrieti matricea formelor biliniare ın baza canonica:

a) f(x, y) = x1y1+4x2y2−3x3y3+2x1y2+2x2y1−x1y3−x3y1+3x2y3+3x3y2

b) f(x, y) = x1y1− 3x3y3 + 6x1y2 + 6x2y1− 2x1y3− 2x3y1− x2y3− 3x3y2

c) f(x, y) = 2x1y1 +x2y2−x3y3 +x1y2 +x2y1−3x1y3−3x3y1 +x2y3 +x3y2

d) f(x, y) = x1y2 + x2y1 − x1y3 − x3y1 + x2y3 + x3y2

2. Reduceti prin metoda lui Gauss si a lui Jacobi formele patratice aso-ciate.

2.7 Apicatii ale geometriei ın economie

In aceasta sectiune dorim sa recapitulam notiuni fundamentale de geometrieanalitica studiate ın licee dar si sa le completam (fara a le dezvolta) cu unele


necesare pentru ıntelegerea altor discipline aplicative ın economie.

2.7.1 Geometrie ın planul euclidian

Am vazut ca algebra liniara din R2 ısi are o reprezentere plana prin fixareaunui punct O si a bazei canonice e1 = (1, 0) =

−→i si e2 = (0, 1) =

−→j . Aceasta

este notiunea de reper cartezian plan. Unui punct M i se asociaza un sistemde numereM(x, y), numite coordonatele sale. In plus, avem definita notiuneade produs scalar, distanta si unghiuri.

Principalele elemente ale geometriei analitice a planului se leaga de puncte,drepte si curbe plane.

O dreapta d se poate da prin cunoasterea unui punct al sau M0(x0, y0) sia unui vector director −→v = (l, n).

Un punct arbitrar se afla pe dreapta daca−−−→M0M = λ−→v .

Ox-

Oy

6

M

M0

v

α

Dezvoltat aceasta ınseamna ca x − x0 = λl si y − y0 = λn. Eliminandparametrul λ obtinem ca

x− x0

l=y − y0

n.

Daca l 6= 0, adica x 6= x0, atunci y − y0 = m(x − x0), unde am notatcu m = n

lnumita panta dreptei d, si reprezinta tangenta unghiului orintat

dintre axa ox si dreapta d.

Daca l = 0 atunci dreapta devine x− x0 = 0.


O conditie echivalenta cu a da un punct si un vector pentru a scrie odreapta ın plan este sa dam doua puncte M0(x0, y0) si M1(x1, y1). Ecuatiadreptei devine

x− x0

x1 − x0

=y − y0

y1 − y0

.

Deducem ca panta dreptei este m =y1 − y0

x1 − x0

Oricum, observam ca o dreapta ın plan se scrie sub forma generala ca

Ax+By + C = 0.

Fiind dat un punct P (x0, y0) arbitrar, distanta de la P la d se calculeazadupa formula

d(P, d) =| Ax0 +By0 + C |√

A2 +B2.

Legat de dreapta putem considera multimi de puncte care satisfac Ax+By + C ≤ 0 sau Ax + By + C ≥ 0. Ele reprezinta semiplanele determinatede dreapta d. Pentru a sti despre care din semiplane este vorba e suficientsa ne alegem un punct din plan si sa vedem care din cele doua inegalitatieste satisfacta. Atunci toate puntele din acel semiplan vor verifica aceeasiinegalitate. Prin considerarea unui sistem de astfel de inegalitati liniare sepot obtine multimi de puncte, numite domenii, separate de semiplane. Neintereseaza de regula cazul cand domeniile sunt convexe.

Problema des ıntalnita este sa determinam maximul (profit) sau minimul(cost) unei functii liniare f(x, y) = ax+by+c atuci cand (x, y) sunt dintr-undomeniu delimitat de un sistem de semiplane

A1x+B1y + C1 ≥ 0A2x+B2y + C2 ≥ 0

..................Anx+Bny + Cn ≥ 0

cu x ≥ 0, y ≥ 0.

O astfel de ploblema se numeste programare liniara plana. Fara a demon-sta, se arata ca maximul sau minimul (optimul) functiei f(x, y) = ax+by+cse atinge ın acele puncte (varfuri sau laturi) ale poligonului convex delim-itat de semiplane (restrictii) pentru care distanta de la origine la drepteleax+ by + λ = 0 este maxima.


Aplicatie. Sa se rezolve problema de programare liniara

max(3x+ 2y) = ?

2x+ y ≤ 10

x+ 2y ≤ 8

4x− y ≥ 5

x, y ≥ 0.

Domeniu delimitat de restrictii este cel din figura de mai jos

Ox-

Oy

6

A(1, 0)

B(2, 3)

H

HHHH

C(4, 2)AAAAAA

D(5, 0)

2x+ 3y = 0HHH

HHHH

DOMENIU

Ducand drepte paralele cu 3x + 2y = 0, cea mai ındepartata de origineintersecteaza poligonul ın x0 = 4 si y0 = 2.

Deci max(3x+ 2y) = 3.4 + 2.2 = 16.

O alta problema este cea a curbelor plane. Principalele curbe plane sunt

-cercul (x− a)2 + (y − b)2 = r2,

-elipsa raportata la axe x2

a2 + y2

b2− 1 = 0,

-hiperbola raportata la axe x2

a2 − y2

b2− 1 = 0,

-parabola raportata la axe y2 = 2px.

Presupunem cunoscute reprezentarile lor.


2.7.2 Geometrie ın spatiul euclidian

In buna parte, noile manuale scolare contin si aceste elemente de geometrieanalitica. Nu facem decat sa le trecem ın revista fara sa le dezvoltam.

-Ecuatiile dreptei determinate de un punct si un vector director −→v =(l,m, n)

x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n.

-Ecuatiile dreptei determinate de doua puncte

x− x0

x1 − x0

=y − y0

y1 − y0

=z − z0

z1 − z0

.

-Planul determinat de un punct si doi vectori∣∣∣∣∣∣x− x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣ = 0.

-Planul determinat de trei puncte∣∣∣∣∣∣x− x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Acesti determinanti dezvoltati ne dau ecuatia generala a planului

Ax+By + Cz +D = 0.

Distanta de la un punct la un plan este

d =| Ax+By + Cz +D |√

A2 +B2 + C2.

Problema programarii liniare in spatiu se formuleaza analog dar ea nu maiare o solutie grafica, ci este mult mai complicata, anume algoritmul simplexce are si o versiune informatizata.

In spatiu putem discuta de curbe si suprafete.


Principalele suprafete sunt:

-sfera (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2,

-elipsoidul x2

a2 + y2

b2+ z2

c2− 1 = 0,

-hiperboloidul cu o panza x2

a2 + y2

b2− z2

c2− 1 = 0,

-hiperboloidul cu doua panze x2

a2 + y2

b2− z2

c2+ 1 = 0,

-paraboloidul eliptic x2

a2 + y2

b2= z,

-paraboloidul hiperbolic x2

a2 − y2

b2= z,

-conul x2

a2 + y2

b2= z2

c2,

-cilindrii x2

a2 + y2

b2− 1 = 0, x

2

a2 − y2

b2− 1 = 0, y2 = 2pz.

Intersectii de suprafete determina curbe ın spatiu.

Problemele pot fi generalizate la spatii cu n dimensiuni. Spre exempludiscutam de hiperplane ca fiind puncte ce satisfac A1x1 +A2x2 + ....+Anxn+A0 = 0, sau de semispatii A1x1 + A2x2 + ....+ Anxn + A0 ≥ 0, etc.

Partea II

Analiza matematica

43

Capitolul 3

Siruri si serii numerice

In aceasta lectie repetam pe scurt cateva elemente din liceu privind sirurile,pentru ca apoi sa consieram sume infinite cu termenii unui sir de numere.

3.0.3 Siruri

Definitie: Numim sir de numere reale o aplicatie f : N → R, notata f(n) =an, unde n ∈ N.

Un sir se numeste marginit daca exista M ∈ R asfel ıncat | an |≤ M ,∀n ∈ N.

Un sir se numeste crescator daca an ≤ an+1, ∀n ∈ N. Daca an ≥ an+1,∀n ∈ N, sirul se numeste descrescator. Un sir se numeste monoton daca estefie crescator fie descrecator.

Definitie: Un sir (an) se spune ca este convergent catre a ∈ R daca ∀ε > 0,∃nε ∈ N asfel ıncat ∀n > nε sa avem | an − a |< ε.

Scriem acest lucru prin lim an = a si spunem ca an → a. Un sir care nu econvergent se numeste divergent.

Spunem an tinde la ∞ si scriem lim an = ∞ daca ∀ε > 0, ∃nε ∈ N asfelıncat ∀n > nε sa avem an > ε. Spunem an tinde la -∞ si scriem lim an = −∞daca ∀ε > 0, ∃nε ∈ N asfel ıncat ∀n > nε sa avem an < −ε.

Limita unui sir daca exista este unica.

Cu siruri se pot face opertiile de adunare, ınmultire, ımpartire, ridicare

45

46 Capitolul 3. Siruri si serii numerice

la putere.

Asa cum stim nu putem preciza limita sirurilor ın urmatoarele situatii:±∞∞ , 0

0, ∞.0, ∞−∞, 1∞, ∞0, 00.

Definitie: Un sir (an) se numeste fundamental (sau sir Cauchy) daca∀ε > 0, ∃nε ∈ N asfel ıncat ∀n,m > nε sa avem | an−am |< ε . Presupunandm = n+ p conditia se scrie echivalent, | an+p − an |< ε.

Propozitie.1. Un sir este convergent daca si numai daca este fundamental.

2. Orice sir monoton si marginit este convergent.

3. Daca bn ≤ an ≤ cn si sirurile bn si cn au aceeasi limita, atunci si antinde la aceeasi limita (teorema clestelui).

4. (Stolz-Cesaro) Fie bn →∞ crescator. Daca exista

liman+1 − anbn+1 − bn

atunci ∃ limanbn

si cele doua limite sunt egale.

5. (Raportului) Fie an ≥ 0 si ∃ lim an+1

anatunci ∃ lim n√an = lim an+1

an.

Urmatoarele limite sunt bine cunoscute:

lim(1 + 1n)n = e, lim n√an = 1, lim( 1

0!+ 1

1!+ ...+ 1

n!) = e.

Exercitii: Calculati limitele sirurilor:

1. an = 2n+23n+5

, 2. an = 2n2+3−3n+2

3. an = n−12n2+1

4. an = (n+1)3−(n−1)3

n2+n+1

5. an =√n+2−

√n+1√

n6. an =

3√n2+1− 5√n6+33√n+1

7. an = 1.2+2.3+....+n(n+1)12+32+....+(2n+1)2

8. an =1+ 1√

2+....+ 1√

n3√n+1

9. an = 1n2+3

sinn! 10. an =(n2+3n+2n2+1

)√n11. an = n

√n!n+1

12. an = 11sin x+ 1

2sin 2x+ ...+ 1

2n sinnx

3.0.4 Serii numerice

Fie (an) un sir de numere reale.

Dedinitie: Se numeste serie o suma de forma∑∞

n=1 an = a1 + a2 + a3 +...+ an + ......

Pe scurt se mai noteaza cu∑an.

Serii numerice 47

Fie Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an, numit sirul sumelor partiale. Avem caan = Sn − Sn−1 pentru n ≥ 2.

Dedinitie: Spunem ca seria∑an este convergenta daca sirul sumelor

partiale este convergent, adica ∃ limSn si este finita. In caz contrar seria sezice ca este divergenta.

Din relatia an = Sn − Sn−1 rezulta ca

Propozitie 1. Daca∑an este convergenta atunci an → 0, invers nu este

ıntodeauna adevarat.

Din faptul ca orice sir fundamental este convergent si invers, rezulta

Propozitie 2. Seria∑an este convergenta daca si numai daca ∀ε > 0,

∃nε ∈ N asfel ıncat ∀n > nε si p ∈ N sa avem | Sn+p − Sn |< ε.

Adica | an+1 + an+2 + ....+ an+p | poate fi facut oricat de mic.

Exemple: 1. Seria geometrica,∑qn = 1+ q+ q2 + ....+ qn + ..., cu q 6= 1.

Stim de la progresii geometrice ca Sn = qn+1−1q−1

si deci limSn exista si este

finita daca si numai daca | q |< 1, limSn = 11−q =

∑qn. Daca | q |> 1 seria

este divergenta.

2. Seria armonica,∑

1n

= 1 + 12

+ 13

+ ... + 1n

+ ... este divergenta dinurmatorul calcul:∑

1n

= 1 + 12

+ (13

+ 14) + (1

5+ ...+ 1

8) + ... > 1 + 1

2+ 2 1

22 + 22 123 + ...

= 1 + 12

+ 12

+ 12

+ ... > 1 + n2→∞.

3. Sa mai luam un exemplu,∑

1n2 = 1 + 1

22 + 132 + ... + 1

n2 + ... esteconvergenta din urmatorul calcul:

1n2 < 1

n(n−1)= 1

n−1− 1

npentru n ≥ 2. Cand calculam Sn doi cate doi

termeni se reduc si 0 < Sn < 1 + 1− 1n→ 2, deci este convergenta seria.

Observam ca aceste exemple contin numai termeni pozitivi. Nu esteobligatoriu dar cele cu termeni pozitivi au ceva aparte, si anume ca sirulsumelor partiale este crescator si deci e suficient sa fie marginit pentru caseria sa fie convergenta.

In general, seria modulelor∑| an | este cu termeni pozitivi si daca ea

este convergenta atunci spunem ca seria∑an este absolut convergenta. Din

inegalitatea | an+1 + an+2 + ... + an+p |≤| an+1 | + | an+2 | +...+ | an+p |,rezulta


Propozitie 3. Orice serie absolut convergenta este convergenta.

Serii cu termeni pozitivi.

Vom trata aici cazul cand an > 0. Unele din afirmatiile urmatoare suntimediate, altele sunt ceva mai complicate.

Propozitie 1. Daca Sn este marginit atunci∑an este convergenta.

Teorema 2. (Criterii de comparatie) Fie∑an si

∑bn doua serii cu an ≥

bn > 0.

-Daca∑an este convergenta atunci

∑bn este convergenta.

-Daca∑bn este divergenta atunci

∑an este divergenta.

Fie l = lim an+1

an

-Daca 0 < l <∞ atunci∑an si

∑bn au aceeasi natura.

-Daca l = 0 si∑bn este divergenta atunci

∑an este divergenta.

-Daca l = ∞ si∑an este convergenta atunci

∑bn este convergenta.

Teorema 3. (Criteriul lui D’Alembert). Fie∑an o serie cu termeni

pozitivi.

-Daca an+1

an≤ k < 1 atunci seria este convergenta.

-Daca an+1

an≥ 1 atunci seria este divergenta.

-Daca lim an+1

an< 1 atunci seria este convergenta.

-Daca lim an+1

an> 1 atunci seria este divergenta.

Observam ca nu se poate preciza nimic daca lim an+1

an= 1.

Teorema 4. (Criteriul radacinii al lui Cauchy). Fie∑an o serie cu

termeni pozitivi.

-Daca n√an ≤ k < 1 atunci seria este convergenta.

-Daca n√an ≥ 1 atunci seria este divergenta.

-Daca lim n√an < 1 atunci seria este convergenta.

-Daca lim n√an > 1 atunci seria este divergenta.

Observam ca nu se poate preciza nimic daca lim n√an = 1.

Urmatorul criteriu ne ofera o sansa atunci cand lim an+1

an= 1.

Serii numerice 49

Teorema 5. (Criteriul lui Raabe si Duhamel). Fie∑an o serie cu termeni

pozitivi.

-Daca limn( an

an+1− 1) < 1 atunci seria este divergenta.

-Daca limn( an

an+1− 1) > 1 atunci seria este convergenta.

Nu se poate preciza nimic daca limn( an

an+1− 1) = 1.

Teorema 6. (Criteriul de condensare, Cauchy). Fie∑an o serie cu ter-

meni pozitivi.

Seriile∑an si 2n

∑a2n au aceeasi natura.

Aplicatie. Consideram seria armonica generalizata∑

1nα . Ea are aceeasi

natura cu∑

2n 1

2nα =∑

1

2n(α−1) . Din exemplul seriei geometrice pentru q =12, rezulta:

Seria∑

1nα este convergenta pentru α > 1 si divergenta pentru α ≤ 1.

De observat ca, asa cum am aratat,∑

1n

este divergenta, ın timp ce∑

1n2

este convergenta.

Toate aceste criterii (si altele pe care noi nu le tratam aici) se aplica pentruserii cu termeni pouitivi. Pentru serii cu termeni oarecare lucrurile suntmai complicate. Un prim criteriu are ın vedere absoluta convergenta.

O serie se numeste alternanta daca∑an = a1 − a2 + a3 − a4 + .... =∑

(−1)n+1an si ai ≥ 0.

Teorema 6. (Criteriul lui Leibnitz). Daca sirul an este desrescator la 0,atunci seria alternanta

∑(−1)n+1an este convergenta.

Un ultim criteriu se refera la serii ın care termenii sunt produse de numerereale,

∑anbn.

Teorema 7. (Criteriul lui Abel). Daca sirul bn ≥ 0 este descrescator la 0si Sn =

∑an este sir marginit, atunci seria

∑anbn este convergenta.

Aplicatii. Studiati convergenta seriilor cu termeni pozitivi:

I.∑

n+12n+3

;∑

12n+3n ;

∑1

n2+n+1;∑

1√n(n+3)

;∑

n+2√n3+1

;∑

1n

(25

)n.

Solutii : Folosim criterii de comparatie.

1. Sirul an = n+12n+3

→ 126= 0, deci seria

∑n+12n+3

este divergenta.


2. 12n+3n < 1

2n si∑

12n este geometrica convergenta, deci

∑1

2n+3n esteconvergenta.

3. 1n2+n+1

< 1n2 si seria armonica

∑1n2 este convergenta, deci

∑1

n2+n+1

este convergenta.

4. Consideram an = 1√n(n+3)

si bn = 1n. Calculam lim an

bn= lim

√n(n+3)

n=

1, deci∑

1√n(n+3)

si∑

1n

au aceeasi natura, adica divergente deoarece∑

1n

este seria armonica divergenta.

5. Comparam an = n+2√n3+1

cu bn = n√n3

= 1√n. Cum lim an

bn= 1, cele doua

serii au aceeasi natura. Seria∑

1√n

=∑

1

n12

este divergenta, deci si seria∑n+2√n3+1

este divergenta.

6. Sirul an = 1n

(25

)n<(

25

)nsi seria geometrica

∑(25

)neste convergenta,

deci∑

1n

(25

)neste convergenta.

II.∑

2n+1

(√

2)n ;∑

2n−1

n!;∑

n4n

(n+1)2;∑ (2n)!

(n!)2;∑ 2.5.8....(3n−1)

1.5.9...(4n−3).

Solutii. Aplicam criteriul raportului.

1. an = 2n+1

(√

2)n si an+1 = 2n+3

(√

2)n+1 .Calculam lim an+1

an= 1√

2< 1, deci seria∑

2n+1

(√

2)n este convergenta.

2. an = 2n−1

n!si an+1 = 2n

(n+1)!. Calculam lim an+1

an= lim 2

n+1= 0 < 1, deci

seria∑

2n−1

n!este convergenta.

3. an = n4n

(n+1)2si an+1 = (n+1)4n+1

(n+2)2. Calculam lim an+1

an= 0 < 1, deci seria

este convergenta.

4. an = (2n)!

(n!)2si an+1 = (2n+2)!

((n+1)!)2. Calculam lim an+1

an= lim (2n+1)(2n+2)

(n+1)2=

4 > 1, deci seria este divergenta.

5. an = 2.5.8....(3n−1)1.5.9...(4n−3)

si an+1 = 2.5.8....(3n−1)(3n+2)1.5.9...(4n−3)(4n+1)

. Calculam lim an+1

an=

lim 3n+24n+1

= 34< 1, deci seria este convergenta.

III.∑(

n+12n+3

)n;∑(

n3n−1

)2n+1;∑(√

n2 + 1− n)n

;∑

( n√n− 1)

n.

Solutii. Aplicam criteriul radacinii.

1. an =(n+12n+3

)nsi calculam lim n

√an = lim n+1

2n+3= 1

2< 1, deci seria este

convergenta.

Serii numerice 51

2. an =(

n3n−1

)2n+1si calculam lim n

√an = lim

(n

3n−1

) 2n+1n = 1

9< 1, deci

seria este convergenta.

3. an =(√

n2 + 1− n)n

si calculam lim n√an = lim(

√n2 + 1 − n) =

lim 1√n2+1+n

= 0 < 1, deci seria este convergenta.

4. an = ( n√n− 1)

nsi calculam lim n

√an = lim( n

√n−1) = 0 < 1,deci seria

este convergenta.

IV.∑ (2n)!

4n(n!)2;∑

enn!nn ;

∑ln n2+1

n2 ;

Solutie:

1. an = (2n)!

4n(n!)2si an+1 = (2n+2)!

4n+1((n+1)!)2. Calculam lim an+1

an= lim (2n+1)(2n+2)

4(n+1)2=

1, deci nu putem trage o concluzie din criteriul raportului. Aplicam Raabe-

Duhamel, limn( an

an+1− 1) = limn4(n+1)2−(2n+1)(2n+2)

(2n+1)(2n+2)= 1

2< 1 deci seria este

divergenta.

2. an = enn!nn si an+1 = en+1(n+1)!

(n+1)n+1 . Calculam lim an+1

an= 1. Aplicam Raabe-

Duhamel, limn( an

an+1− 1) = 0 < 1, deci seria este divergenta.

3. an = ln n2+1n2 si an+1 = ln n2+2n+2

n2+2n+1. Calculam lim an+1

an= 1. Aplicam

Raabe-Duhamel, limn( an

an+1− 1) = limn

ln n2+1

n2 −ln n2+2n+2

n2+2n+1

ln n2+2n+2

n2+2n+1

> 1, deci seria con-

verge.

V.∑

(−1)n+1 1n

;∑

(−1)n+1 sin 1n2 ;

∑(−1)n+1

√2n

n+1;∑

cosnxn2

Solutie: Aplicam criteriul lui Leibnitz

1. an = 1n→ 0 descrescator, deci seria este convergenta.

2. an = sin 1n2 → 0 descrescator, deci seria este convergenta.

3. an =√

2nn+1

→√

2, deci seria este divergenta.

4. Aplicam Abel: bn = 1n

si | Sn |= 1n| cosx + cos 2x + ... + cosnx |≤ 1,

deci Sn marginit; seria este convergenta.

Exercitii propuse: Studiati convergenta seriilor.

∑ 1√n2 + 3n+ 2

;∑ 1

2n+ 1;∑

2n sin1

n;∑ 1

n!;∑ n

3n


∑ n2

n!,∑ 12 + 22 + ...+ n2

enn3;∑ √

n3 + 1−√n3

n;∑ 2n

n!∑(n2 + n+ 3

n2

)n;∑(

12 + 22 + ...+ n2

n3− n

4

)n;∑(

n+ 3

2n+ 3

)n lnn

∑ e√n

n;∑ 1.3.5....(2n− 1)

2.4.6....2n

1

2n+ 1;∑ 12.52.....(4n− 3)2

3272.....(4n− 1)2∑(−1)n+1 1

lnn;∑

(−1)n+1

√n

n+ 3;∑

(−1)n+1 1 + 2 + ...+ 2n

2n+1∑ sinnx

3n;∑ sinnx. cosnx

n3;∑

(−1)n2+1 2n

(n+ 1)n.

Capitolul 4

Siruri si serii de functii

Un sir de functii, notat (fn), este privit ca o aplicatie de la multimea nu-merelor naturale la multimea functiilor reale. Fie D domeniul comun dedefinire al functiilor fn.

Spunem ca un punct x0 ∈ D este punct de convergenta al lui (fn)daca sirul de numere reale (fn(x0)) este convergent. Notam cu C multimeapunctelor de convergenta.

Numim functie limita o functie f : C → R cu propietatea ca lim fn(x) =f(x).

Definitie. Spunem ca (fn) converge simplu pe D catre f daca ∀x ∈ D si∀ε > 0, ∃n(ε, x) ∈ N astfel ca |fn(x)− f(x)| < ε , ∀n > n(ε, x)

Daca n(ε, x) este acelasi pentru orice x ∈ D spunem ca (fn) convergeuniform pe D catre f.

Teorema 1. Daca (fn) este un sir de functii continue, uniform convergentcatre f , atunci functia limita f este continua pe acea multime.

2. Daca (fn) este un sir de functii derivabile, uniform convergentcatre f si sirul derivatelor converge uniform catre g, atunci functia f ′ = g pemultimea de derivabilitate.

3. Daca (fn) este un sir uniform convergent, de functii integrabile pe

[a, b] ,atunci functia limita f este integrabila si lim∫ bafn(x)dx =

∫ baf(x)dx.

Demonstrarea acestor afirmatii este ceva mai delicata si nu insistam aiciasupra sa.

53

54 Capitolul 4. Siruri si serii de functii

Exemple remarcabile de clase de siruri sunt:

1, x2 , x3 , ...., xn, ......

a1 sin x+ b1cox, a2 sin 2x+ b2co2x, ......, an sinnx+ bnconx, .....

4.1 Serii de functii

Fie (fn) un sir de functii definite pe d.

Definitie. Numim serie de functii simbolul∑fn = f1 + f2 + ...+ fn + ....

Seria∑fn se spune ca este convergenta ın x0 daca seria numerica

∑fn(x0)

este convergenta.

Multimea C a punctelor ın care seria este convergenta se numeste domeniude convergenta. Fie Sn = f1 + f2 + ...+ fn.

Seria∑fn converge simplu la f(x) daca ∀ε > 0 si x ∈ C, ∃n(ε, x) ∈ N

astfel ca |Sn(x)− f(x)| < ε pentru ∀n > n(ε, x).

Seria∑fn converge uniform la f(x) daca ∀ε > 0 si ∀x ∈ C, ∃n(ε) ∈ N

astfel ca |Sn(x)− f(x)| < ε pentru ∀n > n(ε).

Folosind criteriul lui Cauchy pentru Sn, conditia de uniforma convergentase traduce prin:

∀ε > 0 si ∀x ∈ C, ∃n(ε) ∈ N astfel ca |fn+1 + fn+2 + ...+ fn+p| < ε,pentru ∀n > n(ε) si p ≥ 1.

Teorema 1.(Weierstrass) O serie este uniform convergenta pe C daca ex-ista o serie numerica

∑an cu termeni pozitivi astfel ıncat |fn(x)| ≤ an ,

∀n ∈ N si ∀x ∈ C.2. O serie

∑fn uniform convergenta de functii continue are ca

suma o functie f continua.

3. Fie∑fn uniform convergenta la f si fn functii derivabile pe

C. Daca seria derivatelor∑f ′n este uniform convergenta la g, atunci f ′ = g.

4. Fie∑fn uniform convergenta la f si fn functii integrabile pe [a, b] .

Atunci functia suma f este integrabila pe [a, b] si∑∫ b

afn(x)dx =

∫ baf(x)dx.

Observam ca aceste operatii de derivabilitate si integrabilitate se transmitasupra functiei suma numai ın conditia de uniforma convergenta a seriei.

Serii de puteri 55

Discutam ın continuare o clasa particulara de serii de functii cu multeaplicatii practice, ın special ın procese de aproximare.

4.1.1 Serii de puteri

Numim serie de puteri o serie de forma∑anx

n = a0 + a1x + a2x2 + ... +

anxn + ....

Dat fiind faptul ca sirul de functii este format din puterile lui x, vorrezulta niste proprietati pentru seriile de puteri mult mai convenabile. Spreexemplu,

Propozitie. Multimea de convergenta e nevida (x0 = 0 este punct deconvergenta)

Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri∑anx

n exista un numarR > 0, numit raza de convergenta, astfel ıncat

1. Seria este absolut convergenta pe (−R,R) si divergenta pentru x /∈[−R,R] .

2. Seria este uniform convergenta pe (−r, r) ⊂ (−R,R) .

Demonstratia rezulta din urmatorul calcul simplu:

Fie x0 ∈ C, atunci ∀0 < x < x0 avem |anxn| = |an|∣∣∣ xx0

∣∣∣n |x0|n <

|an| |x0|n = anxn0 . Cum seria

∑anx

n0 cu termeni pozitivi este convergenta,

rezulta prima afirmatie.

Problema convergentei se reduce deci la determinarea razei de convergenta.Aceasta se rezolva cu urmatoarea afirmatie

Teorema Cauchy-Hadamard. Fie∑anx

n o serie de puteri, R raza sa deconvergenta. Atunci,

1. Daca ∃ lim n√|an| = L, atunci R = 1

Ldaca 0 < L <∞ si R = ∞ daca

L = 0;

2. Daca ∃ lim∣∣∣an+1an

∣∣∣ = L, atunci R = 1L

daca 0 < L <∞ si R = ∞ daca

L = 0.

Din faptul ca anxn sunt functii continue, derivabile, rezulta ca suma seriei∑

anxn va fi o functie continua S(x) si ın orice punct din (−R,R) avem

S ′(x) =∑nanx

n−1.


Prin integrare termen cu termen avem∫ baS(x)dx =

∑(∫ baanx

ndx).

4.1.2 Serii Taylor

Fie f : I → R o functie indefinit derivabila ın x0 ∈ I.Definitie. Prin seria Taylor a lui f ın x0 ıntelegem,

f(x0) +x− x0

1!f ′(x0) +

(x− x0)2

2!f ′′(x0) + ....+

(x− x0)n

n!f (n)(x0) + .....

Teorema Taylor. Daca f este derivabila de n+ 1 ori ın x0 atunci

f(x) = f(x0)+x− x0

1!f ′(x0)+

(x− x0)2

2!f ′′(x0)+....+

(x− x0)n

n!f (n)(x0)+R(x)

si limx→x0

R(x) = 0

In particular, daca x0 = 0 seria Taylor se numeste seria Mac Laurin afunctiei f,

f(x) = f(0) +x

1!f ′(0) +

x2

2!f ′′(0) + ....+

xn

n!f (n)(0) + ....

Aplicatie. I. Sa se dezvolte ın serie Mac Laurin functiile de mai jos si sase determine raza de convergenta:

1. f(x) = ex. Derivatele f (n)(x) = ex si deci f (n)(0) = 1. Aplicand formulade mai sus obtinem

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ .....+

xn

n!+ ....

Pentru determinarea razei de convergenta aplicam formula Cauchy-Hadamard,

L = limn→∞

an+1

an=

1(n+1)!

n!= 0 si deci R = ∞.

2. f(x) = sinx. Calculand derivatele ın 0 ale lui sin x, obtinem

sin x =x

1!− x3

3!+x5

5!.....+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+ ....

Serii Taylor 57

si R = ∞

3. f(x) = cosx. Calculand derivatele ın 0 ale lui cosx, obtinem

cosx = 1− x2

2!+x4

4!.....+ (−1)n+1 x2n

(2n)!+ ....

si R = ∞Sa observam ca prin ınmultire cu numarul complex i avem

cosx+ i sin x = eix ; cos x− i sin x = e−ix

si deci

sin x =eix − e−ix

2; cos x =

eix + e−ix

2

numite formulele lui Euler.

4. f(x) =1

1− x. Din seria binomiala stim ca

1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + ....+ xn + ...

pentru x ∈ (−1, 1). Prin trecerea lui x ın −x, obtinem pentru x ∈ (−1, 1)

1

1 + x= 1− x+ x2 − x3 + ....+ (−1)nxn + ...

Pin integrare termen cu termen deducem ca

ln(1 + x) =x

1− x2

2+x3

3− ....+ (−1)n

xn+1

n+ 1+ ...

pentru x ∈ (−1, 1).

5. f(x) = (1+x)α, unde α ∈ R si α 6= 0, 1, 2.... Dupa calculul derivatelorın x = 0 se deduce,

(1 + x)α = 1 + αx

1!+ α(α− 1)

x2

2!+ ...+ α(α− 1)..(α− n+ 1)

x2

n!...

convergenta pentru x ∈ (−1, 1).


O analiza separata pentru convergenta trebuie facuta de fiecare data ıncapetele intervalelor.

Exercitii rezolvate. Determinati multimea de convergenta pentru seriile:

1.∑

xn

n2n 2.∑(

n2n+1

)2n−1xn 3.

∑n!(x − 4)n 4.

∑(−1)n (2x)n

n5.∑ (x−2)n

n3n

Solutii.

1. an = 1n2n si an+1 = 1

(n+1)2n+1 . Calculam L = lim∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = 12, deci

R = 2. Seria este uniform convergenta pe (−2, 2). Studiem convergenta ınx = −2. Seria devine alternanta

∑(−1)n 1

ncare este convergenta. In x = 2

seria devine∑

1n, divergenta. Deci multimea de convergenta este [−2, 2).

2. an =(

n2n+1

)2n−1. Calculam L = lim n

√|an| = 1

4si deci R = 4. Seria

este uniform convergenta pe (−4, 4). In x = 4 si x = −4 se constata ca seriaeste divergenta.

3. Daca notam x−4 = y seria este de puteri cu an = n! si L = lim∣∣∣an+1

an

∣∣∣ =

∞, deci R = 0. Seria este convergenta doar pentru y = 0, adica x = 4.

4. an = (−1)n 2n

nsi gasim cu raportul ca L = 2, adica R = 1

2. Seria este

uniform convergenta pe(−1

2, 1

2

). In x = −1

2este divergenta iar ın x = 1

2

convergenta.

5. Daca notam x − 2 = y seria este de puteri cu an = 1n3n , pentru care

R = 3. Seria este uniform convergenta pentru y ∈ (−3, 3), adica x ∈ (−1, 5).In x = −1 seria este convergenta iar ın x = 5 divergenta.

II. Dezvoltati ın serie Taylor functiile:

1. f(x) = ex2, 2. f(x) = ln 1+x

1−x , 3. f(x) = ln√

1 + x2, 4. f(x) = cos2 x,

5. f(x) = 1x2−3x+2

.

Solutii. 1. Inlocuim x cu x2 ın dezvoltarea lui ex si rezulta,

ex2

= 1 + x2

1!+ x4

2!+ .....+ x2n

n!+ ....∀x ∈ R.

2. f(x) = ln 1+x1−x = ln(1+x)− ln(1−x) = 2

∑∞0

x2n−1

2n−1pentru x ∈ (−1, 1).

3. f(x) = ln√

1 + x2 = 12ln(1+x2) = 1

2(x

2

1− x4

2+ x6

3−....+(−1)n x

2n+1

2n+1+...)

4. f(x) = cos2 x = 12(1+cos 2x) = 1

2(2− (2x)2

2!+ (2x)4

4!.....+(−1)n+1 (2x)2n

(2n)!+...)

Serii Taylor 59

5. f(x) = 1x2−3x+2

= 1x−2

− 1x−1

= −12

11−x

2+ 1

1−x = −12

∑∞0

(x2

)n+∑∞

0 xn.

Capitolul 5

Functii de mai multe variabilereale

In liceu s-au studiat functii de forma f : D ⊂ R→ R depinzand de o singuravariabila x. Spre exemplu functiile elementare f(x) = x2, f(x) = sinx,f(x) = lnx etc., sau compuneri ale lor.

In multe aplicatii numarul variabilelor poate fi mai mare, spre exempluf : D ⊂ R2 → R, prin f(x) = x2 + 2y2, f(x) = sin(x + 3y), etc. Acestefunctii asociaza unui punct din plan (x, y) un numar real z = f(x, y).

Din punct de vedere geometric ele reprezinta suprafete ın spatiu R3.Cateva exemple le-am si enumerat atunci cand am discut geometrie analitica.Exemplu: planul z = x+ y − 3 sau paraboloidul eliptic z = x2

a2 + y2

b2, etc.

O reprezentare intuitiva avem ın desenul urmator.

61

62 Capitolul 5. Functii de mai multe variabile reale

Oy

-

Oz6

Ox

&%'$

.(x, y)

z = (x, y)

La modul general, putem considera functii de n variabile, f : D ⊂ Rn →R care asociaza unui punct x = (x1, x2, ...., xn) ∈ D → y = f(x) ∈ R.

5.1 Limite si continuitate

Am vazut ca Rn are o structura de spatiu vectorial fata de operatiile clasice

(x1, x2, ...., xn) + (y1, y2, ...., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ...., xn + yn)

α(x1, x2, ...., xn) = (αx1, αx2, ...., αxn)

si ın plus are si o structura euclidiana ce ne permite sa masuram unghiurilesi distantele, ‖ x ‖=

√x2

1 + x22 + ..+ x2

n, d(x, y) =‖ x− y ‖ .Definitie 1. Spunem ca un punct a = (a1, a2, ...., an) este limita unui sir

(x)k∈N de puncte din Rn (deci fiecare xk are n componenete) daca ∀ε > 0 ,∃k(ε) ∈ N astfel ca ∀k > k(ε) sa avem ‖ xk − a ‖< ε.

Daca pe fiecare componenta sirurile (x1)k, (x2)k, ..., (xn)k sunt convergenterespectiv la a1, a2, ..., an atunci (x)k∈N este convergent ın Rn la a.

Limite si continuitate 63

Definitie 2. Spunem ca functia f : D ⊂ Rn → R are limita (globala) L ınpunctul a = (a1, a2, ...., an) ∈ D daca ∀ε > 0 , ∃η(ε) > 0, astfel ca ∀x ∈ D cu‖ x−a ‖ < η sa avem ‖ f(x)−L ‖< ε. Scriem acest lucru prin lim

x→af(x) = L.

Daca L = f(a) atunci spunem ca f este continua ın punctul a ∈ D.Propozitie. Daca oicare ar fi sirul ((x1)k, (x2)k, ..., (xn)k) → (a1, a2, ...., an)

avem

‖ f ((x1)k, (x2)k, ..., (xn)k)− f (a1, a2, ...., an) ‖< ε

atunci limx→a

f(x) = f(a).

De observat ca aceasta afirmatie nu spune ca daca avem limite pe fiecarepozitie ın parte atunci exista limita globala. Spre exemplu putem consideraurmatoarele limite succesive, numite iterate,

limx1→a1

limx2→a2

... limxn→an

f (x1, x2, ...., xn)...

care sa existe dar sa nu existe limita globala. Mai mult, daca schimbamordinea limitelor e posibil ca rezultatele sa difere. Invers, daca exista limitaglobala atunci toate aceste limite iterate vor fi egale cu L, respectiv f(a)daca este functie continua ın a.

Exemple:

1. Sa se studieze limita functiei f(x, y) =

x−yx+y

daca (x, y) 6= (0, 0)

0 daca (x, y) = (0, 0)ın

a = (1, 2) si apoi ın a = (0, 0).

In a = (1, 2) indiferent cum ne apropiem cu siruri ((x)k, (y)k) → (1, 2)limita este aceeasi L = −1

3= f(a), deci functia este continua.

In a = (0, 0) sa calculam ıntai limitele iterate limx→0

limy→0

x− y

x+ y = lim

x→0(1) =

1, iar limy→0

limx→0

x− y

x+ y = lim

y→0(−1) = −1. aceasta ne spune deja ca functia nu

are limita ın a = (0, 0). Mai mult, putem observa ca daca consideram lim-itele unor siruri de forma

(1n, αn

) n→∞→ (0, 0) cu α fixat, atunci f(

1n, αn

)→ 1−α

1+α,

limita care depinde de valuarea lui α.

2. Sa se studieze limita functiei f(x, y) =

2xyx2+y2

daca (x, y) 6= (0, 0)

0 daca (x, y) = (0, 0)ın

a = (0, 0).


Calculam limitele iterate

limx→0

limy→0

2xy

x2 + y2 = lim

x→0(0) = 0, iar lim

y→0limx→0

2xy

x2 + y2 = lim

y→0(0) = 0.

Deoarece ele sunt egale am putea crede ca limita este 0. Sa consideramlimitele unor siruri de forma

(1n, αn

) n→∞→ (0, 0) cu α fixat. Atunci f(

1n, αn

)→

2α1+α2 , care depind de valuarea lui α. Deci limitele nu vor fi aceleasi indiferentde sirurile ce tind la (0, 0); functia nu are limita ın (0, 0).

Exercitii propuse:

1. Sa se reprezinte grafic domeniul maxim de definitie pentru functiile:

a) f(x, y) =√

4− x2 − y2 b) f(x, y) = ln(y − x2 − 1)

2. Sa se studieze existenta limitelor ın (0, 0) :

a) f(x, y) =

x2y3

x2+y2; (x, y) 6= (0, 0)

0 ; (x, y) = (0, 0)

b) f(x, y) =

sinxy√x2+y2

; (x, y) 6= (0, 0)

0 ; (x, y) = (0, 0)

5.2 Derivate partiale

Vom introduce o notiune care se studiaza la unele clase si ın liceu, cea dediferentiala la o functie de o variabila.

Din cate cunoastem cu totii, prin derivata unei fuctii continue f : D ⊂R→ R ın x0 ∈ D se ıntelege urmatoarea limita

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

.

Daca notam x− x0 = h, atunci limita se scrie echivalent:

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h,

care ne spune ca derivata masoara raportul dintre variatia lui f(x) ın x0 sivariatia lui x ın jurul lui x0. Tinand seama de semnificatia limitei aceasta

Derivate partiale 65

ınseamna,

f(x0 + h)− f(x0) = f ′(x0).h+ ω(h) cu limh→0

ω(h)

h= 0.

Notam cu df(x0) = f ′(x0).h = L(h) si care este o aplicatie liniara ın h,numita diferentiala functiei f ın x0.

In particular daca f(x) = x, atunci df(x0) = f ′(x0).h = h, indiferent de

punctul x0. De aici si notatia, dx = h, iar derivata se mai scrie f ′(x) =df

dx.

Aplicatie: Calculati diferentiala functiei f(x) =x sin x

x2 + 1ın x0 = 0.

Avem df(0) = f ′(0).h = f ′(0)dx, iar f ′(x) = (sinx+x cosx)(x2+1)−2x2 sinxx2+1

sideci f ′(0) = 0, astfel ca df(0) = 0. Nu acelasi lucru se ıntampla ın altepuncte.

Sa trecem acum sa generalizam aceasta notiune la functii de mai multevariabile reale.

Definitie. O functie f : D ⊂ Rn → R este diferentiabila ın a =(a1, a2, ...., an) ∈ D daca exista o aplicatie liniara L : Rn → R astfel ıncat

lim‖h‖→0

f(a+ h)− f(a)− L(h)

‖ h ‖= 0 ; ∀h = (h1, h2, ...., hn)

Din aceasta definitie rezulta imediat ca exista ω(h) astfel ıncat

f(a+ h)− f(a) = L(h) + ω(h) cu lim‖h‖→0

ω(h)

‖ h ‖= 0.

Sa dam o exprimare mai dezvoltata a acestei definitii. Aplicatia L :Rn → R fiind liniara se poate scrie matricial ca L = (D1, D2, ..., Dn) sih = (h1, h2, ..., hn)

t, astfel ca L(h) = D1h1 +D2h2 + ... +Dnhn. Pentru a fiın notatile din cazul n = 1 scriem L(h) = df(a)

Sa consideram doua cazuri particulare imediate:

1. Fie f (x1, x2, ., xi, ..., xn) = xi.

Atunci f (a1 + h1, .., ai + hi, ..., an + hn) − f (a1, .., ai, ..., an) = ai + hi −ai = hi.


Prin urmare dxi(a) = hi.

2. Fie f (x1, x2, ., xi, ..., xn) arbitrara dar diferentiabila.

In definitia diferentiabilitatii am vazut ca limita este 0 indiferent de h cetinde la 0. Deci sa alegem h particular, h = (0, 0, ., hi, ..., 0) . Rezulta,

f (a1 + 0, .., ai + hi, ..., an + 0) − f (a1, .., ai, ..., an) = Dhhi + ω(h). Cum

lim‖h‖→0ω(h)‖h‖ = 0, deducem ca

Di = limhi→0

f (a1 + 0, .., ai + hi, ..., an + 0)− f (a1, .., ai, ..., an)

| hi |.

Daca exista aceasta limita ea se numeste derivata partiala a functiei f ın

punctul a si se noteaza cu simbolul∂f

∂xi. In multe cazuri pentru prescurtare

se foloseste si notatia∂f

∂xi= fxi.

Sa observam ca∂f

∂xiseamana cu derivata unei functii de o singura vari-

abila xi, ın rest celelalte variabile fiind fixate. De aici si termenul de derivatapartiala. Vom avea n astfel de derivate partiale.

Revenind la diferentiala unei funtii rezulta ca ıntr-un punct a oarecare,pe care nu ıl mai scriem, vom avea

df =∂f

∂x1

dx1 +∂f

∂x2

dx2 + ....+∂f

∂xndxn =

n∑i=1

∂f

∂xidxi.

Se observa ca diferentiala unei functii ıntr-un punct reprezinta variatiaacelei functii cu ponderile hi = dxi ale directiilor ın care se face variatiafunctiei.

Din punct de vedere economic, spre exemplu derivata partiala ar puteareprezenta o variatie a cererii atunci cand unul din preturi variaza, diferentialaar fi variatia cererii de produse la o variatie inflationista de preturi.

Se pune ıntrebarea cand o functie cu derivate partiale este diferentiabila.Raspunsul este dat de

Teorema. i) Daca f este diferentiabila ın punctul a atunci ea admitederivate partiale ın acel punct.


ii) Daca f admite derivate partiale ıntr-o vecinatate a punctului asi acestea sunt continute ın acea vecinatate atunci f este diferentiabila ın a.

La functii de o singura variabila reala, ın liceu s-au considerat si derivatede ordin superior, f ′, f ′′, f ′′′, .., f (n) ca fiind derivatele functiei anterioare ınacest sir. Putem considera derivate partiale si diferentiale de ordin superior

la functii de mai multe variabile, spre exemplu notam prin∂2f

∂xj∂xiderivata

partiala ın rapot cu xj a functiei∂f

∂xi. Matricea J =

(∂2f

∂xj∂xi

)cu derivatele

partiale de ordin doi se numeste matricea Jacobi a functiei f.

Pentru simplitate ın continuare vom considera cazul functiilor de douavariabile, adica avem f(x, y), pentru care putem sa consideram urmatoarelederivate partiale:

∂2f

∂x∂x=∂2f

∂x2;∂2f

∂y∂y=∂2f

∂y2;∂2f

∂x∂y;∂2f

∂y∂x.

Prescurtat acestea se mai noteaza : f ′′x2 ; f ′′y2 ; f ′′xy respectiv f ′′yx.

Aplicatie. Se da functia f(x, y) = x3 + 2x2y − 7xy4 + sin(x2 + y2).

a) Calculati diferentiala functiei f ın A(1, 0).

b) Calculati derivatele partiale de ordin doi ale functiei.

Solutie: a) ∂f∂x

= 3x2 + 4xy − 7y4 + 2x cos(x2 + y2) si∂f∂y

= 2x2−28xy3 +2y cos(x2 +y2). Ele sunt functii continue. Calculate ın

A(1, 0) ne dau, ∂f∂x

(1, 0) = 3+2 cos 1 si respectiv ∂f∂y

(1, 0) = 2. Deci df(1, 0) =

(3 + 2 cos 1)dx + 2dy. Sigur, acesta diferentiala la randul ei se calculeazapentru diverse directii dx si dy.

b) ∂2f∂x2 = 6x+ 4y + 2 cos(x2 + y2)− 4x2 sin(x2 + y2)

∂2f∂y2

= −84xy2 + 2 cos(x2 + y2)− 4y2 sin(x2 + y2)

∂2f∂x∂y

= 4x− 28y3 − 4xy sin(x2 + y2)

∂2f∂x∂y

= 4x− 28y3 − 4xy sin(x2 + y2)

Observam ca ultimele doua derivate partiale sunt egale ın orice punct. Seıntampla aceasta pentru orice functie ?. Raspunsul este dat de:


Criteriul lui Schwarz. Presupunem ca f(x, y) are derivatele partiale

numite mixte de ordin doi∂2f

∂x∂ysi

∂2f

∂y∂xıntr-un punct (a, b). Daca acestea

sunt continue ıntr-o vecinatate a punctului (a, b) atunci derivatele partialemixte de ordin doi sunt egale.

O problema interesanta priveste derivarea functiilor compuse. Aicinu vom intra ın detalii, vom da doar cateva idei de lucru.

1. Presupunem ca avem f(x, y) o functie ce admite derivate partiale si larandul lor x si y sunt functii derivabile de un parametru t. Atunci un calcular fi sa facem ınlocuirea f(x(t), y(t)) si functia va fi derivabila de o singuravariabila t. Pentru a evita acest calcul putem aplica urmatoarea formula:

f ′(t) =df

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt.

Exemplu: Fie f(x, y) = x2 + 2y2 unde x = cos t si y = sin t. Calculatif ′(t).

Calculam ∂f∂x

= 2x si ∂f∂y

= 4y, iar dxdt

= − sin t si dydt

= cos t. Din formulade mai sus rezulta

f ′(t) = −2 cos t sin t+ 4 sin t cos t = 2 sin t cos t = sin 2t.

2. Presupunem ca avem f(x, y) o functie ce admite derivate partialesi la randul lor x si y sunt functii cu derivate partiale de u si v, adicaf(x(u, v), y(u, v)). Pentru calculul derivatelor partiale a lui f ın raport cuu si v putem aplica formulele:

∂f

∂u=∂f

∂x

∂x

∂u+∂f

∂y

∂y

∂u;∂f

∂v=∂f

∂x

∂x

∂v+∂f

∂y

∂y

∂v.

Exemplu: Fie f(x, y) = ln(1+x2 +3y2) si x = u−v iar y = uv. Calculati∂f∂u

si ∂f∂v

.

Calculam ∂f∂x

= 2x1+x2+3y2

si ∂f∂y

= 6y1+x2+3y2

. Apoi, ∂x∂u

= 1 ; ∂y∂u

= v si∂x∂v

= −1 ; ∂y∂v

= u.

Prin ınlocuire ın formula obtinem


∂f∂u

= 2x1+x2+3y2

+ 6y1+x2+3y2

v si ∂f∂v

= −2x1+x2+3y2

+ 6y1+x2+3y2

u ın care x = u− viar y = uv.

Teorema lui Euler pentru functii omogene.

O functie f(x1, x2, ..., xn) se numeste omogena de grad α daca

f(tx1, tx2, ..., txn) = tαf(x1, x2, ..., xn) , ∀t ∈ R.

Aplicam derivarea functiilor compuse si rezulta:

dfdt

= ∂f∂(tx1)

x1 + ∂f∂(tx2)

x2 + ...+ ∂f∂(txn)

xn = αtα−1f.

Aceasta formula find valabila ∀t ∈ R. In particular, facem t = 1 si obtinemformula

∂f

∂x1

x1 +∂f

∂x2

x2 + ...+∂f

∂xnxn = αf

Aplicatie. Sa se arate ca functia f(x, y, z) = x√y + z+y

√x+ z+z

√y + x

este omogena si sa se verifice enuntul teoremei lui Euler.

Calculam f(tx, ty, tz) = t32 f(x, y, z), deci functia este omogena de grad

32. Avem:

∂f∂x

=√y + z + y

2√x+z

+ z2√y+x

∂f∂y

= x2√y+z

+√x+ z + z

2√y+x

∂f∂z

= x2√y+z

+ y2√x+z

+√y + x

Atunci expresia x∂f∂x

+ y ∂f∂y

+ z ∂f∂z

ne da = 32f.

5.2.1 Formula lui Taylor pentru functii de mai multevariabile

In cadrul lectiei privind dezvoltarile ın serie Taylor am prezentat o formulace ne permitea sa aproximam functii cu serii de puteri, eventual cu sumepartiale din serii de puteri. Ceva asemanator se ıntampla si la functii de maimulte variabile.

Fie f : D ⊂ Rn → R , f(x1, x2, ..., xn), si a = (a1, a2, ..., an) ∈ D ın caref are derivate partiale pana la ordinul k + 1.


Daca luam functia de o variabila reala F : [0, 1] → R,

F (t) = f ((1− t)a1 + tx1, ..., (1− t)an + txn)

ea satisface F (0) = f(a1, a2, ..., an) si F (1) = f(x1, x2, ..., xn).

Pentru F (t) putem aplica formula lui Taylor de o singura variabila reala,si avem

F (t) = F (0) + t1!F ′(0) + t2

2!F ′′(0) + ...+ tk

k!F (k)(0) +R(t),

care pentru t = 1 devine

f(x1, x2, ..., xn) = f(a1, a2, ..., an)+ 11!F ′(0)+ 1

2!F ′′(0)+ ...+ 1

k!F (k)(0)+R.

Mai ramane de calculat F ′(0), F ′′(0), .., F (k)(0). Sa observam ca F (α)(0) =dF (α)

dt(0) = diferentiala de ordin α a functiei f ın a = (a1, a2, ..., an), notata

cu((x1 − a1)

∂∂x1

+ ....+ (xn − an)∂∂xn

)(α)

. Astfel ca

f(x) = f(a) +1

1!

((x1 − a1)

∂

∂x1

+ ....+ (xn − an)∂

∂xn

)f(a) + ...

+1

k!

((x1 − a1)

∂

∂x1

+ ....+ (xn − an)∂

∂xn

)(k)

f(a) +R.

Putem particulariza usor formula pentru n = 2,

f(x, y) = f(a1, a2) +1

1!

((x− a1)

∂

∂x+ (y − a2)

∂

∂y

)f(a) +

1

2!

((x− a1)

2 ∂2

∂x2+ 2(x− a1)(y − a2)

∂2

∂x∂y+ (y − a2)

2 ∂2

∂y2

)f(a) +

....+1

k!

((x− a1)

∂

∂x+ (y − a2)

∂

∂y

)(k)

f(a) +R.

Aplicatie. Sa se dezvolte ın serie Taylor functiile:

a) f(x, y) = x3 − 2y3 + xy ın A(1, 2)

b) f(x, y) = x2ey ın A(0, 0)

Solutie: a) Calculam f(1, 2) = −13

Extreme la functii de mai multe variabile 71

∂f∂x

= 3x2 + y |(1,2)= 5 ; ∂f∂y

= −6y2 + x |(1,2)= −23

∂2f∂x2 = 6x |(1,2)= 6 ; ∂2f

∂x∂y= 1 |(1,2)= 1 ; ∂2f

∂y2= −12y |(1,2)= −24

∂3f∂x3 = 6 |(1,2)= 6 ; ∂3f

∂x2∂y= 0 ; ∂3f

∂x∂y2= 0; ∂3f

∂y3= −12

iar derivatele de ordin mai mare sunt 0. Obtinem,

f(x, y) = −13 + 11!

((x− 1)5 + (y − 2)(−23)) +12!

((x− 1)26 + 2(x− 1)(y − 2) + (y − 2)2(−24)) +13!

((x− 1)36 + (y − 2)3(−12)) .

b) Procedam analog, avem

∂f∂x

= 2xey |(0,0)= 0 ; ∂f∂y

= x2ey |(0,0)= 0

∂2f∂x2 = 2ey |(0,0)= 2 ; ∂2f

∂x∂y= 2xey |(0,0)= 0 ; ∂2f

∂y2= x2ey |(0,0)= 0

∂3f∂x3 |(0,0)= 0 ; ∂3f

∂x2∂y|(0,0)= 2 ; ∂3f

∂x∂y2|(0,0)= 0; ∂3f

∂y3|(0,0)= 0

si la fel se deduc derivatele de ordin mai mare.

Inlocuind ın serie obtinem,

f(x, y) = 12!(2x2) + 1

3!(3x2y) + ... = x2(1 + 1

1!y + 1

2!y2 + ...).

Exercitii propuse: Dezvoltati ın serie Taylor,

a) f(x, y) = ex ln(y + 1) ın (0, 0)

b) f(x, y) = ex+y ın (0, 0).

5.3 Extreme la functii de mai multe variabile

Amintim ca derivata unei functii de o singura variabila reala joaca un rolimportant ın determinarea punctelor de maxim sau minim ale functiei, adicapunctele de extrem.

Un punct x0 este de maxim (minim) pentru functia f : D ⊂ R→ R dacagasim o vecinatate a lui x0 ın care f(x) ≥ f(x0) (respectiv f(x) ≤ f(x0)).Pentru a determina punctele de extrem se calculeaza derivata f ′(x) se rezolvaecuatia f ′(x) = 0 si daca x0 este o solutie ea nu este neaparat punct deextrem; daca f ′′(x0) 6= 0 si la stanga lui x0 functia f ′(x) < 0 iar la dreapta


lui x0 functia f ′(x) > 0 atunci x0 este punct de maxim. Daca semnele suntinvers atunci x0 este punct de minim.

Sa trecem acum la functii de mai multe variabile reale.

Un punct x0 ∈ D este de maxim (minim) pentru functia f : D ⊂ Rn → Rdaca gasim o vecinatate a lui x0 ın care f(x) ≥ f(x0) (respectiv f(x) ≤f(x0)). Pentru a caracteriza un punct de extrem e necesar sa mai introducemo notiune.

Definitie. Numim derivata functiei f dupa directia v = (v1, v2, ..., vn) ∈Rn marimea

df

dv= v1

∂f

∂x1

+ v2∂f

∂x2

+ ...+ vn∂f

∂xn=< v, grad f >

unde grad f =(∂f∂x1, ∂f∂x2, ..., ∂f

∂xn

)este un vector care ın cazul unei suprafete

y = f(x, y) este perpendicular (ortogonal) la suprafata ın acel punct.

Oy

-

Oz6

Ox

&%'$

.(x, y)

-

grad

6

Considerand curbe pe suprafata ce trec prin punctul de extrem x0 tan-gentele la acestea vor trebui sa fie perpendiculare pe vectorul grad f, deci< v, grad f >= 0 pentru vectori tangenti la curbe. In particular, alegem

Extreme la functii de mai multe variabile 73

ın punctul de extrem curbele pentru care vectorii tangenti sunt coliniari cuaxele de coordonate, adica v = ei = (0, 0, ..., 1, 0, ..., 0) , i = 1, 2, .., n, vec-torii bazei canonice din Rn. Atunci < ei, grad f >= 0, ∀i = 1, 2, .., n, dincare deducem ca ∂f

∂xi= 0, i = 1, 2, .., n. Obtinem ca ıntr-un punct de extrem

derivatele partiale de ordin unu toate vor trebui sa fie egale cu 0.

Un punct x0 ın care∂f

∂x1

=∂f

∂x2

= ... =∂f

∂xn= 0 se numeste punct

stationar. El nu este obligatoriu punct de extrem dar este o conditie necesarapentru a fi punct de extrem.

Aplicam formula lui Taylor cu k = 2 ın x0 = (a1, a2, .., an) stationar,obtinem

f(x)− f(x0) =1

2!

n∑i=1

∂2f

∂xi∂j(xi − ai)(xj − aj) +R

Atunci cand x e aproape de x0 , restul tinde la 0 si (xi − ai) = dxi sunttocmai diferentiale de ordin intai. Astfel ca

f(x) > f(x0) daca d2Φ |x0=n∑i=1

∂2f

∂xi∂jdxidxj > 0

f(x) < f(x0) daca d2Φ |x0=n∑i=1

∂2f

∂xi∂jdxidxj < 0.

Deci x0 este punct de minim (maxim) daca forma patratica d2Φ calcu-lata ın x0 este pozitiv (negativ) definita. Raspunsul cand o forma patraticaeste pozitiv definita este dat spre exemplu de metoda Jacobi de reducere laexpresie canonica. Adica calculam

∆1 =∣∣∣∂2f∂x2

1

∣∣∣x0

,∆2 =

∣∣∣∣∣∂2f∂x2

1

∂2f∂x1∂x2

∂2f∂x2∂x1

∂2f∂x2

1

∣∣∣∣∣x0

, ....

Daca toate aceste cantitati sunt pozitive atunci x0 este punct de minim.In cazul maximului rapoartele ∆i−1

∆itrebuiesc sa fie toate negative.

Particularizam acest raspuns ın cazul functiilor de doua variabile.

Teorema. Fie f(x, y) o functie de doua variabile. Pentru a gasi punctelede extrem procedam astfel:

1. Rezolvam sistemul ∂f∂x

= ∂f∂y

= 0 si gasim punctele x0 stationare.


2. Calculam ın x0 cantitatile ∆1 si ∆2.

Daca ∆2 > 0 si ∆1 > 0 atunci x0 este punct de minim.

Daca ∆2 > 0 si ∆1 < 0 atunci x0 este punct de maxim.

In alte situatii x0 nu este punct de extrem, spre exemplu ∆1 < 0 avempunct sa .

Aplicatie. 1. Gasiti punctele de exrem ale functiei f(x, y) = x3+y3−3xy.

Calculam ∂f∂x

= 3x2 − 3y si ∂f∂y

= 3y2 − 3x. Rezolvam sistemul3x2 − 3y = 03y2 − 3x = 0

si gasim solutiile O(0, 0) si A(1, 1).

Calculam derivatele partiale de ordin doi:∂2f∂x2 = 6x ; ∂2f

∂x∂y= −3 ; ∂2f

∂y2= 6y, si deci

∆1 = 6x si ∆2 =

∣∣∣∣ 6x −3−3 6y

∣∣∣∣ = 36xy − 9.

In O(0, 0) avem ∆1 = 0 si ∆2 = 9, deci O nu este punct de extrem.

In A(1, 1) avem ∆1 = 6 si ∆2 = 27, deci A este punct de extrem, minim.

2. Gasiti punctele de exrem ale functiei f(x, y) = x3 + y3 − 12x− 3y.

Calculam ∂f∂x

= 3x2 − 12 si ∂f∂y

= 3y2 − 3. Rezolvam sistemul3x2 − 12 = 03y2 − 3 = 0

si gasim solutiile A(2, 1), B(2,−1), C(−2, 1), D(−2,−1).

Calculam derivatele partiale de ordin doi:∂2f∂x2 = 6x ; ∂2f

∂x∂y= 0 ; ∂2f

∂y2= 6y, si cantitatile ∆1 si ∆2 sunt:

In A(2, 1), avem ∆1 = 12 si ∆2 = 72, deci A este minim.

In B(2,−1), avem ∆1 = 12 si ∆2 = −72, deci B este punct sa.

In C(−2, 1), avem ∆1 = −12 si ∆2 = −72, deci C este punct sa.

In D(2, 1), avem ∆1 = −12 si ∆2 = 72, deci D este maxim.

Exercitii propuse. Gasiti punctele de exrem ale functiilor:

a) f(x, y) = xy(x+ y − 3)

b) f(x, y) = xy2ex−y

Extreme conditionate 75

c) f(x, y, z) = x3 − 3x2 + y2 + z2 + yz − 10y − 8z.

5.3.1 Extreme conditionate

Exista cazuri ın care variabilele unei functii definite ıntr-un domeniu trebuiescsa satisfaca niste conditii suplimentare. Ne propunem sa gasim extremeleunei astfel de functii. Problema se poate formula astfel:

Gasiti punctele de extrem ale functiei

f : Rn+m → R, z = f(x1, ..., xn, y1, ..ym) ce satisfac legaturile:F1(x1, ..., xn, y1, ..ym) = 0.......................................Fm(x1, ..., xn, y1, ..ym) = 0

.

O metoda ar fi sa scoatem y1, ..ym din sistem si sa obtinem z ca o functienumai de (x1, ..., xn). Aceasta nu este ıntodeauna posibil. Solutia este datade metoda multipicatorilor lui Lagrange. Consideram urmatoarea functie:

L = f + λ1F1 + ...+ λmFm.

Sa observam ca extremele lui f cu legaturile de mai sus coincid cu ex-tremele lui L. Deci gasim punctele stationare ca solutii ale sistemului:

∂L∂x1

= .. = ∂L∂xn

= 0 ; ∂L∂y1

= .. = ∂L∂ym

= 0 ; F1 = ... = Fm = 0.

Obtinem un sistem cu 2m+n ecuatii si tot atatea necunoscute: xi, ya, λa.Se rezolva si se determina care din ele sunt puncte de extrem pentru L.

Aplicatie. Gasiti punctele de extrem ale functiei f(x, y) = x + 2y cesatisfac x2 + y2 = 5

Considerm functia lui Lagrange L = x+ 2y + λ(x2 + y2 − 5).∂L∂x

= 1 + 2λx = 0 ; ∂L∂y

= 2 + 2λy = 0 ; x2 + y2 − 5 = 0,

sistem ce admite solutiile λ = 12

; x = −1 ; y = −2 si λ = −12

;x = 1 ; y = 2.

Calculam derivatele partiale de ordin doi ale lui L ın primul caz si gasimca A(−1,−2) este minim conditionat, iar B(1, 2) este maxim conditionat.


Exercitii propuse. Gasiti punctele de extrem ale functiilor

a) f(x, y) = x2 + y2 + xy cu 2x+ y = 3

b) f(x, y) = xy cu x2 + y2 = 10

c) f(x, y, z) = x− 2y + 2z cu x2 + y2 + z2 = 9.

5.3.2 Lema celor mai mici patrate

Am vazut ca ın Rn exista o posibilitate clara de a masura distantele cuajutorul produsului scalar uzal ce corespunde imaginii geometrice cunoscute.Ca o aplicatie a acestui produs scalar apare determinarea conditiilor ın carelungimea unui vector, cu componente variabilele unui proces economic, sa fieminima sau maxima. Aceasta este esenta urmatoarei aplicatii ce o prezentam.Vom trata la ınceput un caz particular important pentru ca apoi sa analizamcazul general si solutia sa.

I. Presupunem ca studiem un fenomen economic f ce depinde liniar de nvariabile c1, c2, .., cn (costuri), adica

f = c1x1 + c2x2 + ....+ cnxn, numit si trend liniar.

Facand diverse testari economice pentru costuri diferite c1, ..., cn, se potdetermina raspunsurile pentru valorile lui f . Sa presupunem ca facem mtestari pentru diverese costuri. Problema cere sa determinam cantitatilex1, x2, .., xn (din fiecare produs) care sa aproximeze liniar ”cel mai bine”fenomenul f. O prima observatie ne spune ca ar trebui sa repetam experi-mentul de cat mai multe ori, adica m >> n, si obtinem un sistem liniar deforma

c11x1 + c12x2 + ....+ c1nxn = f1

c21x1 + c22x2 + ....+ c2nxn = f2

...................cm1x1 + cm2x2 + ....+ cmnxn = fm

ın care numarul ecuatiilor este mult mai mare decat al necunoscutelor.

Evident, daca cerem prea multe conditii e foarte posibil ca sistemul sanu fie compatibil si din punct de vedere matematic problema e ıncheiata,nu avem solutii. Din punct de vedere economic cerem a gasi solutiile ”celemai bune” pentru fenomenul f. Ce sa ıntelegem prin aceasta ?. Intelegemca diferentele dintre valorile din dreapta si membri din stanga la fiecare din

Lema celor mai mici patrate 77

ecuatii sa fie cat mai mici, adica vectorul

v1 = c11x1 + c12x2 + ....+ c1nxn − f1

v2 = c21x1 + c22x2 + ....+ c2nxn − f2

....................

vm = cm1x1 + cm2x2 + ....+ cmnxn − fm

sa aiba lungimea (norma ) minima,

F (x1, .., xn) =‖ v ‖2= (v1)2 + ...+ (vm)2 = minim.

Determinam punctele stationare rezolvand sistemul ∂F∂x1

= ... = ∂F∂xn

= 0si gasim o singura solutie, ce se verifica usor ca este chiar minimul.

Aplicatie. Sa presupunem ca ın urma analizei economice se obtine sis-temul

9x1 + 2x2 = 11

x1 + x2 = 2

2x1 − x2 = 2

x1 + 2x2 = 4

Gasiti cea mai buna solutie ın sensul lemei celor mai mici patrate.

Evident sistemul este incompatibil, din primele doua ecuatii rezulta x1 =x2 = 1 care nu verifica celelalte ecuatii. Avem

v1 = 9x1+2x2−11 ; v2 = x1+x2−2 ; v3 = 2x1−x2−2 ; v4 = x1+2x2−4.

F (x1, x2) = (9x1 + 2x2 − 11)2 + (x1 + x2 − 2)2 +

+ (2x1 − x2 − 2)2 + (x1 + 2x2 − 4)2 .

Rezolvam sistemul ∂F∂x1

= ∂F∂x2

= 0

18(9x1 +2x2− 11)+2(x1 +x2− 2)+4(2x1−x2− 2)+2(x1 +2x2− 4) = 0

4(9x1 + 2x2− 11) + 2(x1 + x2− 2)− 2(2x1− x2− 2) + 4(x1 + 2x2− 4) = 0

adica

87x1 + 19x2 = 10919x1 + 10x2 = 32

cu solutiile x1 = 482509

si x2 = 713509

, cea mai

buna solutie ın sensul lemei celor mai mici patrate.

II. Studiem un caz mai general:


Consideram n puncte A1 (x1, y1) , A2 (x2, y2) , ...., An (xn, yn) .

Ne intereseaza sa determinam o functie de o variabila

Φ(x) = c1ϕ1 + c2ϕ2 + ...+ cmϕm

care sa treaca prin punctele A1, A2, .., An, unde ϕ1, ϕ2, .., ϕm sunt functiiconvenabil alese. Spre exemplu cel mai des considerate sunt ϕ1 = 1, ϕ2 = x,ϕ3 = x2, ..., ϕm = xm.

Ca mai ınainte problema se pune ın sensul legii celor mai mici patrate,

n∑i=1

(Φ(xi)− yi)2 = minim

adica functia

F (c1, c2, .., cm) =n∑i=1

c1ϕ1(xi) + ...+ cmϕm(xi)− yi2 = minim.

Rezolvam ∂F∂c1

= ... = ∂F∂cn

= 0, adica

2∑n

i=1 c1ϕ1(xi) + ...+ cmϕm(xi)− yiϕk(xi) = 0 pentru k = 1, 2, ...,m.

Din aceasta rezulta sistemul

c1∑n

i=1 ϕ1(xi)ϕk(xi) + ......+ cm∑n

i=1 ϕm(xi)ϕk(xi) =∑n

i=1 yiϕk(xi) ;

k = 1, 2, ...,m.

Notam

akj =n∑i=1

ϕj(xi)ϕk(xi) ; bk =n∑i=1

yiϕk(xi)

si sistemul devine liniar ın necunoscutele c1, c2, ...., cm

ak1c1 + ak2c2 + ...+ akmcm = bk ; k = 1, 2, ...,m.

Rezolvarea se poate face pe caile cunoscute, eventual matricial sub formaA.C = B unde

a11 .. .. a1m

.. .. .. ..

.. .. .. ..am1 .. .. amm

.

c1..cm

=

b1..bm

.

Lema celor mai mici patrate 79

Pentru a scrie mai usor matricele A si B sa obsevam ca daca notam

U =

ϕ1(x1) .. .. ϕ1(xn).. .. .. .... .. .. ..ϕm(x1) .. .. ϕm(xn)

; Y =

y1

.

.yn

atunci A = U.U t si B = U.Y , astfel ca solutia finala este C = (U.U t)

−1.U.Y.

Aplicatie. Gasiti functia polinomiala Φ(x) = c1 +c2x+c3x2 care sa treaca

prin punctele A1(−2, 3), A2(−1, 0), A3(0,−1), A4(1, 0), A5(2, 3).

Solutie. Avem ϕ1(x) = 1, ϕ2(x) = x, ϕ3(x) = x2 si

ϕ1(x1) = 1, ϕ1(x2) = 1, ϕ1(x3) = 1, ϕ1(x4) = 1, ϕ1(x5) = 1

ϕ2(x1) = −2, ϕ2(x2) = −1, ϕ2(x3) = 0, ϕ2(x4) = 1, ϕ2(x5) = 2

ϕ3(x1) = 4, ϕ3(x2) = 1, ϕ3(x3) = 0, ϕ3(x4) = 1, ϕ3(x5) = 4

Matricea U si Y sunt

U =

1 1 1 1 1−2 −1 0 1 24 1 0 1 2

; Y =

30−103

din care rezulta

A = U.U t =

5 0 100 10 010 0 34

; B = U.Y =

5024

astfel ca sistemul A.C = B ne da solutiile c1 = 0, c2 = −1, c3 = −1,

adica Φ(x) = −x− x2.

Capitolul 6

Calcul integral

In acest capitol vom repeta pentru ınceput ideea de integrala definita, pentruca apoi sa extindem notiunea la cazul integralelor improprii, ın particular in-tegralele lui Euler, si ın final integrala dubla pentru functii de doua variabile.

6.1 Integrala definita

Repetam pe scurt cateva din ideile din liceu privind calculul integral.

Fiind data o functie f : D ⊂ R → R, ea este cu primitive daca exista ofunctie F : D ⊂ R→ R astfel ıncat sa avem F ′ = f pentru orice x ∈ D.

Daca exista F ea nu este unica deoarece F + c este tot o primitiva.Multimea primitivelor lui f se noteaza cu

∫f(x)dx.

Se cunosc primitivele functiilor elementare si prin integrare prin parti,adica

∫fg′dx = fg −

∫f ′gdx, se mai pot calcula ın unele cazuri si integrala

produsului a doua functii. De asemenea, prin schimbare de variabila se poate

ajunge la integrale cunoscute. Spre exemplu calculati

∫1√x+ 1

dx.

Facem schimbarea de variabila√x = t, adica x = t2 si deci dx = 2tdt.

Prin ınlocuire obtinem,∫1√x+ 1

dx =

∫2t

t+ 1dt = 2

∫(1 − 1

t+ 1)dt = 2t − 2 ln(t + 1) + c =

2√x− 2 ln(

√x+ 1) + c.

81

82 Capitolul 6. Calcul integral

Prea multe schimbari de variabila nu se cunosc si nici scopul nostru nueste aici de a dezvolta aceasta idee.

S-au studiat ın liceu cateva clase de functii pentru care problema primi-tivelor se rezolva. Cea mai cunoscuta clasa este cea a functiilor rationale.

In studiul integralei definite s-a plecat de la ideea determinarii ariei de-limitate de graficul unei functii (pozitive), axa 0x si doua drepte verticalex = a si x = b.

Ox-

Oy

6

a bx1 xi−1 xi xn−1

Pentru aceasta s-a ımpartit intervalul [a, b] ın n parti, ∆ : x0 = a < x1 <... < xi−1 < xi < ... < xn = b, cu distanta | xi − xi−1 | → 0. Se aproximeazaariile obtinute cu ariile unor dreptunghiuri de baza xi − xi−1 si de ınaltimef(ξi), unde ξi ∈ [xi−1, xi] este punct intermediar oarecare, si se trece la limitacand n→∞. Daca exista limita

limn→∞

n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1) =

∫ b

a

f(x)dx

se spune ca functia este integrabila.

Intre integrabilitate si primitive, daca exista ambele, exista o anumitalegatura data de formula Leibnitz-Newton:

∫ baf(x)dx = F (b) − F (a), unde

F este o primitiva a lui f.

Functiile continue pe D au primitive si sunt integrabile, ın rest lucrurilesunt mai complicate.

Integrale improprii 83

Formula de integrare prin parti se aplica astfel∫ b

a

fg′dx = fg |ba −∫ b

a

f ′gdx, iar schimbarea de variabila duce si la

schimbarea limitelor de integrare fara sa fim nevoiti sa revenim la variabilainitiala.

Nu insistam asupra proprietatilor acestor integrale, ele fiind studiate ınliceu.

Cateva exemple de integrale definite vor aparea ın lectia urmatoare ıntr-un caz mai general.

6.2 Integrale improprii

Discutam de doua clase de integrale improprii:

I. Integrale nedefinite, ın care una sau ambele limite de integrare suntnemarginite,∫ ∞

a

f(x)dx

∫ b

−∞f(x)dx ,

∫ ∞

−∞f(x)dx =

∫ a

−∞f(x)dx+

∫ ∞

a

f(x)dx.

In toate aceste cazuri domeniul de integrare este nemarginit.

Definitie. Spunem ca

∫ ∞

a

f(x)dx este convergenta daca exista

limb→∞

∫ b

a

f(x)dx si este finita limita. In caz contrar integrala e divergenta.

Daca f admite primitive atunci scriem

∫ ∞

a

f(x)dx = F (∞)−F (a) unde

F (∞) = limb→∞

F (b).

Analog definim convergenta la −∞ a integralei.

Propozitie 1. Daca 0 ≤ f(x) ≤ g(x) si∫∞ag(x)dx este convergenta atunci

si∫∞af(x)dx este convergenta.

2. Daca 0 ≤ f(x) ≤ g(x) si∫∞af(x)dx este divergenta atunci

si∫∞ag(x)dx este divergenta.

Sa analizam cateva exemple:


1. a)

∫ ∞

0

1

1 + x2dx, b)

∫ −1

−∞

1

x2dx, c)

∫ ∞

1

1√xdx, d)

∫ ∞

1

lnx

x2dx.

Solutii. a)∫∞

01

1+x2dx = arctgx |∞0 = arctg∞− arctg0 = π2, deci integrala

e convergenta.

b)∫ −1

−∞1x2dx = − 1

x|−1−∞= 1− 1

∞ = 1, deci integrala e convergenta.

c)∫∞

11√xdx = 2

√x |∞1 = 2

√∞− 2 = ∞, integrala e divergenta.

d)∫∞

1lnxx2 dx = − 1

xlnx |∞1 +

∫∞1

1x2dx = − limx→∞

lnxx

+ 0− 1x|∞1 = 1, deci

convergenta.

In general daca dorim sa aplicam criteriul de comparatie, comparam cu∫ ∞

a

1

xαdx ==

1

1− α

1

xα−1=

convergenta daca α > 1divergenta daca 0 < α ≤ 1

, a > 0.

Propozitie. Fie f : [a,∞) → R, f(x) > 0. Daca exista un β > 1 astfel ca

limx→∞

xβf(x) = L finita, atunci

∫ ∞

a

f(x)dx este convergenta.

Aplicatie. a)

∫ ∞

0

arctgx

1 + x4dx, b)

∫ ∞

0

1

x2 + x+ 3dx.

a) Calculam limx→∞

x4f(x) = 1, deci integrala e convergenta.

b) Calculam limx→∞

x2f(x) = 1, deci integrala e convergenta.

II. Integrale din functii nemarginite pe [a, b] .

Presupunem ca exista c ∈ [a, b] ın care limx→c

f(x) = ±∞.

Atunci desfacem

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx si obtinem doua

integrale pentru care doar una din limitele de integrare este improprie.

Definitie 1. Spunem ca

∫ c

a

f(x)dx este convergenta daca limε→0

∫ b−ε

a

f(x)dx

este finita.

2. Spunem ca

∫ b

c

f(x)dx este convergenta daca limε→0

∫ b

c+ε

f(x)dx

este finita.

Propozitie. Daca exista β < 1 astfel ca limxc

(x− c)βf(x) = L finita, atunci

Integralele lui Euler 85∫ c

a

f(x)dx este convergenta. Analog pentru cealalta integrala.

Studiati convergenta integralelor:

a)

∫ 1

0

1

xdx, b)

∫ 1

0

1

x2dx, c)

∫ 0

−1

1√1− x2

dx d)

∫ 3

0

1

x2 − 3x+ 2dx.

Solutii : a)∫ 1

01xdx = ln x |10= ln 1 − ln(+0) = ∞, deci integrala este

divergenta.

b)∫ 1

01x2dx = − 1

x|10= −1 + 1

+0= ∞, deci integrala este divergenta.

c)∫ 0

−11√

1−x2dx = arcsin x |0−1= 0− (−π2) = π

2, deci integrala este conver-

genta.

d)∫ 3

01

x2−3x+2dx =

∫ 3

01

(x−1)(x−2)dx si convergenta se pune ın 1 si 2.

Studiem convergenta integralei∫ 1

01

(x−1)(x−2)dx.

Calculam limx1

(x − 1)βf(x) ea este ∞ pentru β > 1, integrala este diver-

genta.

Analog se arata ca∫ 2

11

(x−1)(x−2)dx si

∫ 3

21

(x−1)(x−2)dx sunt divergente.

Exercitii propuse. Studiati convergenta integraleor:

1. a)

∫ ∞

3

1

x2 − 3x+ 2dx, b)

∫ ∞

1

1

x2 lnxdx, c)

∫ −2

−∞

x4

√1− x2

dx.

2. a)

∫ 1

0

1

x2 − xdx, b)

∫ e

1

1

x2 lnxdx, c)

∫ 1

0

x√1− x2

dx d)

∫ 2

1

x lnx

x3 − 1dx.

6.2.1 Integralele lui Euler

a) Functia Gamma,

Γ(a) =

∫ ∞

0

xa−1e−xdx , a > 0.

Este impropie atat ın 0 cat si la ∞. Se verifica cu ajutorul Propozitiilorenuntate ca integrala este convergenta.

Aceasta integrala are urmatoarele proprietati.

Prpopozitie 1. Γ(1) = 1 (calcul direct)


2. Γ(a+ 1) = aΓ(a) (integrare prin parti)

3. Γ(n+ 1) = n! (din relatiile anterioare)

4. Γ(α).Γ(1− α) = πsinαπ

pentru α ∈ (0, 1)

5. Γ(12) =

√π (din relatia anterioara pentru α = 1

2).

Aplicatie. Calculati a)

∫ ∞

0

x6e−xdx, b)

∫ ∞

0

x7e−x2

dx, c)

∫ ∞

0

x2 − 3x+ 2

exdx.

Solutie. a)∫∞

0x6e−xdx = Γ(7) = 6! = 720

b) facem schimbarea de variabila x2 = t =⇒ 2xdx = dt si integraladevine,∫∞

0x7e−x

2dx = 1

2

∫∞0

√t7e−t

√tdt = 1

2

∫∞0t4e−tdt = 1

2Γ(3) = 3.

c)∫∞

0x2−3x+2

ex dx =∫∞

0x2

ex dx−3∫∞

0xexdx

∫∞0

2exdx = Γ(3)−3Γ(2)−2Γ(1) = 1.

Prin integrala Poisson ıntelegem

I =

∫ ∞

0

e−x2

dx =

√π

2

Calculul lui I se face prin schimbarea de variabila x =√t si obtinem,

I = 12

∫∞0

1√te−tdt = 1

2Γ(1

2) =

√π

2. De observat ca∫ ∞

−∞e−x

2

dx = 2I =√π.

b) Functia Beta,

β(a, b) =

∫ 1

0

xa−1(1− x)b−1dx, a, b > 0

Propozitie 1. β(a, b) = β(b, a) (substitutie t = 1− x)

2. β(a, b) = b−1a+b−1

β(a, b− 1) (parti f = (1− x)b−1, g′ = xa−1)

3. β(a, b) = Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)

si deci β(12, 1

2) = π.

Aplicatie. Calculati a)∫ 1

0x8(1− x3)5dx , b)

∫ e1

1x

ln3 x(1− lnx)4dx.

Solutie. a) facem x3 = t si obtinem

Integrala dubla 87

I = 13

∫ 1

0t

83 (1− t)5t

−23 dt = 1

3β(3, 6) = 1

3Γ(3)Γ(6)

Γ(9)= 1

504

b) facem lnx = t si obtinem

I =∫ 1

0t3(1− t)4dt = β(4, 5) = Γ(4)Γ(5)

Γ(9)= 1

208.

Exercitii propuse. Calculati

1. a)∫ −1

−∞(x+ 1)3ex+1dx b)∫ 1

0x(lnx)5dx c)

∫∞0x2e−x

2dx

2. a)∫∞

0x4

1+x6dx , b)∫ 1

0x2√

1− x2dx.

6.3 Integrala dubla

Fie f : D ⊂ R2 → R , z = f(x, y) o functie marginita pe D din plan.

Oy

-

Oz6

Ox

&%'$

-Ox

Oy

6

&%'$

D

.(x, y)D

Ne propunem sa determinam volumul corpului delimitat deD si suprafataz = f(x, y). Pentru aceasta, prin analogie cu studiul din plan pentru calcululariei, divizam D ın subdomeniile ∆ : D1, D2, ..., Dn, de diametrii tinzand la0 cand n→∞, si notam cu ωi = ariaDi. Consideram ın fiecare domeniu Di

puncte intermediare (ξi, ηi) ∈ Di, arbitrare.


Definitie. Daca exista limita Riemann

limn→∞

n∑i=1

f(ξi, ηi)ωi = I

spunem ca f admite integrala dubla pe D si notam aceasta limita prin

I =

∫ ∫D

f(x, y)dxdy.

Verificam imediat ca

∫ ∫D

(αf+βg)dxdy = α

∫ ∫D

fdxdy+β

∫ ∫D

gdxdy.

Ne propunem sa dam formule de calcul pentru integrala dubla. Distingemtrei cazuri:

1. Domeniul D este un dreptunghi, D = [a, b]× [c, d] .

Ox-

Oy

6

a b

D

c

d

Impartim domeniul ın n × m dreptunghiuri mai mici Dij. Fie mij ≤f(x, y) ≤ Mij, valorile minime si maxime ale lui f pe Dij. Presupunem capentru x fix f este integrabila pe [c, d] , atunci

mij(yj − yj−1) ≤∫ yj

yj−1

f(x, y) ≤Mij(yj − yj−1),

si prin sumare obtinemm∑j=1

mij(yj − yj−1) ≤∫ d

c

f(x, y)dy = F (x) ≤m∑j=1

Mij(yj − yj−1).

Integrala dubla 89

Inmultind acesta relatie cu (xi − xi−1) si sumam de la 1 la n, obtinem:

n∑i=1

m∑j=1

mij(xi−xi−1)(yj−yj−1) ≤∫ b

a

F (x)dx ≤n∑i=1

m∑j=1

Mij(xi−xi−1)(yj−yj−1).

Daca exista∫ baF (x)dx atunci exista si integrala dubla si∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

F (x)dx =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx.

Inversand ordinea sumari avem si∫ ∫D

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy.

2. Domeniul D este simplu ın raport cu axa oy,

Ox-

Oy

6

a b

& %

' $D

ϕ1(x)

ϕ2(x)

Procedand ca mai ınainte fie ϕ1(x) si ϕ2(x) curbele ce delimiteaza pe Dıntre x = a si x = b, atunci∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

F (x)dx =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

φ1(x)

f(x, y)dy

)dx.


3. Domeniul D este simplu ın raport cu axa ox,

Ox-

Oy

6

c

d

ψ1(y) ψ2(y)

Analog fie ψ1(y) si ψ2(y) curbele ce delimiteaza pe D ıntre y = c si y = d,atunci ∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

G(y)dy =

∫ d

c

(∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y)dx

)dy.

Schimbarea de variabila ın integrala dubla:

Consideram (x, y) ∈ D si facem schimbarea

x = x(u, v)y = y(u, v)

cu (u, v) ∈ D′.

Notam cu J =

∣∣∣∣ ∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣, atunci∫ ∫D

f(x, y)dxdy =

∫ ∫D′f(x(u, v), y(u, v)) |J | dudv.

Cea mai des ıntılnita schimbare fiind cea in coordonate polare x = u cos v; y = u sin v pentru care J = u.

Aplicatie. Calculati :

1.

∫ ∫D

(x2 + y3)dxdy pe D = [0, 1]× [−1, 1] .

I =∫ ∫

D(x2 + y3)dxdy =

∫ 1

0

(∫ 1

−1(x2 + y3)dy

)dx

Ecuatii diferentiale 91

Calculam separat∫ 1

−1(x2 + y3)dy = (x2y + 1

4y4) |y=1

y=−1= 2x2, deci I =∫ 1

02x2dx = 2

3.

2.

∫ ∫D

(x− y)dxdy pe D marginit de ϕ1 : y = x2 si ϕ2 : y = x

Domeniul este simplu fata de oy si deci calculam ıntai

F (x) =∫ ϕ2=x

ϕ1=x2(x− y)dy = (xy − 12y2) |y=xy=x2=

12x2 − x3 + 1

2x4

Astfel∫ ∫

D(x−y)dxdy =

∫ 1

0(1

2x2−x3+ 1

2x4)dx = (1

6x3− 1

4x4+ 1

8x5) |10= 1

24

3.

∫ ∫D

xydxdy pe D marginit de x2 ≤ y ≤ 2x+ 3.

Domeniul este simplu ın raport cu oy.

Punctele de intersectie sunt A(−1, 1) si B(3, 9).

I =∫ 3

−1

(∫ 2x+3

x2 xydy)dx =

∫ 3

−1

(−1

2x5 + 2x3 + 6x2 + 9

2x)dx = 160

3.

Exercitii propuse:

∫ ∫D

1

(x+ y)2dxdy pe D = [3, 4]× [1, 2]

b)

∫ ∫D

y − 1

x2 + 1dxdy pe D marginit de y = −x2 + 3x si y = x

2.

c)

∫ ∫D

(x2 + y)dxdy pe D marginit de y = x2 si y2 = x.

6.4 Ecuatii diferentiale

Ecuatiile diferentiale sunt cele care exprima legaturi ıntre o functie y = f(x)si derivatele sale y′, y′′, .., y(n), adica

F (x, y, y′, y′′, .., y(n)) = 0.

Se spune ca avem o ecuatie diferentiala de ordin n.

Chiar si pentru ecuatiile diferentiale de ordin ıntai gasirea unei solutii esteo problema complicata si se cunosc doar cateva clase de ecuatii de ordin ıntaicare se pot rezolva efectiv. Se arata ca o ecuatie diferentiala de grad ıntaidaca admite solutie ea nu este unica ci depinde de o constanta. Multimeatuturor solutiilor la o ecuatie de grad k depinde de k constante.


Prezentam doar cateva idei privind ecuatiile diferentiale de ordin ıntai.

a) Ecuatii cu variabile separabile. Sunt de forma

y′ = f(x)g(y).

Asa cum am vazut derivata y′ = dydx, astfel ca ecuatia se mai scrie dy

dx=

f(x)g(y). Presupunem g(y) 6= 0. Metoda de integrare presupune separareavariabilelor y si x ın cate un membru si integrarea lor ca variabile indepen-dente, adica ∫

1

g(y)dy =

∫f(x)dx.

Evident solutiile vor depinde de o constanta pusa doar ın unul din membri.

Aplicatie: Sa se integreze ecuatia y′ tgx− y = 0.

Scriem ecuatia sub forma dydx

= y tgx sau echivalent, dyy

= tgx dx. Prin

integrare obtinem,∫

dyy

=∫tgxdx, adica ln y = − ln(cosx) + c. Eventual

punand constanta c = lnC, rezulta y = Ccosx

.

b) Ecuatii omogene, sunt de forma

y′ = f(y

x).

Se face o schimbare de variabila, u = yx, din care rezulta: y = ux si

y′ = u′x+ u ın urma careia ecuatia este cu variabile separabile.

Aplicatie: Sa se integreze ecuatia y′ = 1 + yx

+(yx

)2.

Facem substitutia de mai sus si obtinem,

u′x+u = 1 +u+u2, si deci du1+u2 = 1

xdx. Prin integrare rezulta arctg u =

lnx+ c, adica yx

= tg(lnx+ c).

Mai exista ınca cateva clase de ecuatii care se reduc la cele cu variabileseparabile. Nu insistam asupra lor. O clasa distincta este:

c) Ecuatia liniara de ordin ıntai,

P (x)y′ +Q(x)y = R(x).

Rezolvarea ei este ingenioasa si solutia se datoreaza lui L. Euler. Estemetoda variatiei constantei.

Ecuatii diferentiale 93

Se procedeaza ın doua etape. Intai se rezolva ecuatia omogena P (x)y′ +Q(x)y = 0, care este cu variabile separabile, solutia sa generala depindede o constanta c. In etapa a doua se cauta solutie pentru ecuatia data(neomogena) de forma solutiei obtinute pentru cea omogena ın care constantao luam ca o functie de x.

Aplicatie: Sa se integreze y′ + 2xy = x2.

Luam ecuatia omogena y′ + 2xy = 0. Separam variabilele si obtinem,

dyy

= −2dxx. Prin integrare rezulta solutia generala ln y = −2 ln x+lnC, adica

y = Cx2 .

In etapa a doua cautam solutie pentru ecuatia neomogena de forma y =C(x)x2 , si de aici rezulta y′ = C′x−2C

x3 . Prin ınlocuire ın ecuatia neomogenaobtinem,

C′

x2 − 2Cx3 + 2

xCx2 = x2, adica C ′ = x4 si deci C = x5

5+K. Astfel ca solutia

generala pentru ecuatia neomogena este y =x5

5+K

x2 , altfel scris y = x5

+ Kx2.

Execitii propuse. Sa se integreze:

1. a) xy′ = y3 + y b) y′ = 1−y2x lnx

c) y′ = 1+y2

1+x2 .

2. a) y′ = x+yy

b) xy′ =√x2 − y2 + y c) y′ = x−2y

2x+y.

3. a) y′ − 2xy = x− x3 b) y′ − 4xy = x2 + 1 c) y′ + 1

xy = sinx.

Partea III

Probabilitati

95

Evenimente 97

6.5 Camp de probabilitate

Notiunea de probabilitate este direct legata de fenomene ce se pot sau nurealiza. Acestea sunt evenimentele pe care le introducem ın continuare.

6.6 Evenimente

Definitia 1 Se numeste proba orice realizare a unui experiment.

Definitia 2 Se numeste eveniment orice rezultat al unui experiment desprecare putem spune ca s-a realizat sau ca nu s-a realizat, dupa efectuarea uneiprobe.

Un eveniment se numeste :

1. Sigur daca apare ın orice proba a experimentului

2. Imposibil daca nu poate sa apara ın nici o proba

3. Intamplator sau aleator daca poate sa apara sau sa nu apara intr-oproba a experimentului considerat .

Notam cu Ω evenimentul sigur, cu Φ evenimentul imposibil si cu literemari ale alfabetului (eventual indexate) evenimentele aleatoare (A,B,A1, ..).

Exemplu. Se arunca cu un zar de mai multe ori. Fiecare situatie ınparte este o proba. Rezultatul poate fi urmatorul: sa apara una din fetele1, 2, 3, 4, 5, 6. Fiecare sunt evenimente. Putem sa ne gandim si la evenimentede forma: sa apara o cifra para, adica A = 2, 4, 6; este un evenimentcompus, celelalte fiind simple.

Definitia 3 Se numeste eveniment suma (sau reuniune ) a doua eveni-mente A si B asociate aceluiasi experiment, evenimentul care se realizeazaori de cate ori se realizeaza A sau B si se noteaza cu A ∪B.

Se numeste eveniment produs (sau intersectie ) a doua evenimente A siB asociate aceluiasi experiment, evenimentul care se realizeaza simultan cuevenimentele A si B si se noteaza cu A ∩B.

Se numeste eveniment diferenta a evenimentelor A si B asociate aceluiasiexperiment, evenimentul care consta ın realizarea lui A si nerealizarea lui B,si se noteaza cu A−B.

Spunem ca evenimentul A implica evenimentul B daca B se realizeaza

98 Capitolul 7. Camp de probabilitate

ori de cate ori se realizeaza A si scriem A ⊂ B

Spre exemplu la aruncarea cu un zar, daca A = 2, 4 si B = 1, 2, 3atunci A ∪B = 1, 2, 3, 4, A ∩B = 2, A−B = 4

Observam analogia ıntre evenimente si multimi, motiv pentru care sefolosesc notatiile din teoria multimilor.

Doua evenimente A si B se numesc echivalente daca A ⊂ B si B ⊂ A, adica oricare dintre ele se realizeaza numai atunci cand se realizeaza sicelalalt. Scriem A = B

Spunem ca doua evenimente A si B sunt :

1. Incompatibile daca A ∩B = Φ adica nu se pot realiza simultan;

2. Compatibile daca A ∩B 6= Φ , adica se pot realiza simultan.

Spunem ca evenimentele A si B sunt contrare (opuse sau complementare )daca sunt incompatibile si reuniunea lor este evenimentul sigur, adica A∩B =Φ si A ∪B = Ω .

Notam evenimentul contrar lui A cu CA sau A

Teorema. (Proprietati ale operatiilor cu evenimente )

1. A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), A ∪ A = A,A ∪ Φ =A,A ∪ Ω = Ω

2. A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), A ∩ A = A,A ∩ Φ =Φ, A ∩ Ω = A

3. A∩ A= Φ, A∪ A= Ω,Ω= Φ,Φ= Ω, A= A,A ∪B =A ∩ B,A ∩B =A∪ B

4. A ∩ (∪nk=1Bk) = ∪nk=1 (A ∩Bk) , A ∪ (∩nk=1Bk) = ∩nk=1 (A ∪Bk)

Definitia 4. Fiind data o multime arbitrara nevida Ω numim corp de partio submultime K a partilor P(Ω) a lui Ω cu proprietatile:

1. Daca A ∈ K atunci A∈ K2. Daca A ∈ K atunci A ∪B ∈ K.Daca definitia se extinde asupra unei reuniuni infinite de evenimente

atunci K se numeste corp (camp) Borelian de evenimente.

Daca Ω = ω1, ω2, ..., ωn si K = P(Ω) atunci ω1, ω2, ..., ωn se numescevenimente elementare.

Probabilitate 99

Spre exemplu la aruncarea cu un zar sunt 6 evenimente elementare sianume aparitia uneia din cifrele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6. Din acestea prin reuniunesau negare se obtine orice eveniment (parte a evenimentului sigur) referitorla experienta aruncarii cu un zar.

Aplicatie: Un produs provine de la trei firme avand fiabilitate diferita.Se cumara cate o bucata din fiecare. Exprimati evenimentele:

1. Toate trei produsele sunt bune.

2. Doua produse sunt bune.

3. Nici un produs nu este bun.

4. Cel putin un produs este bun.

Solutie. Notam cu Ai, i = 1, 2, 3, evenimentul ca produsul de la firma Fisa fie bun. Atunci:

1. A = A1 ∩ A2 ∩ A3

2. B =(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3

)3. C = A1 ∩ A2 ∩ A3

4. D = A1 ∩ A2 ∩ A3

6.7 Probabilitate

Exista o definitie clasica a notiunii de probabilitate pe care o prezentamla ınceput.

Definitie. Prin probabilitatea unui eveniment ıntelegem raportul dintrenumarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului si numarul cazurilor egalposibile acelui eveniment.

Imediat putem desprinde cateva proprietati:

Prpozitie. a). P (A) ≥ 0,

b). P (Ω) = 1 si P (Φ) = 0

c) Daca A ∩B = Φ atunci P (A ∪B) = P (A) + P (B)

d) Daca evenimentele sunt independente atunci P (A∩B) = P (A).P (B).

Exemple: a) Sa se determine probabilitatea aparitiei cifrei 6 la aruncarea


cu un zar.

Raspuns: P (A) = 16.

b) Sa se determine probabilitatea aparitiei perechii (6, 6) la aruncarea cudoua zaruri.

Raspuns: P (B) = 136

dar probabilitatea aparitiei perechii (4, 6) este 236.

c) Doi tragatori lovesc asupra aceleiasi tinte. De regula primul din 5focuri nimereste de 3 ori. Al doilea din 6 focuri nimereste de 4 ori. Care suntprobabilitatile

1. Tinta sa fie lovita de ambii tragatori.

2. Tinta sa nu fie lovita.

3. Tinta sa fie lovita doar de unul din tragatori.

Solutie: Probabilitatea ca primul sa nimeresca este P (A1) = 35

iar ca sanu nimereasa este P (A1) = 2

5.

Probabilitatea ca al doilea sa nimeresca este P (A2) = 46

iar ca sa nunimereasa este P (A2) = 2

6.

1. P (A) = P (A1 ∩ A2) = P (A1).P (A2) = 1230

= 25.

2. P (B) = P (A1 ∩ A2) = P (A1).P (A2) = 430

= 215

3. P (C) = P((A1 ∩ A2

)∪(A1 ∩ A2

))= P

(A1 ∩ A2

)+ P

(A1 ∩ A2

)=

35

26

+ 25

46

= 415

d) Daca ın problema de la sfarsitul sectiunii precedente probabilitateaca produsul de la firma F1 sa fie bun este P (A1) = 90%, de la firma F2

este P (A2) = 95%, iar de la F3 este P (A3) = 98%, atunci probabilitatileevenimentelor cerute sunt:

1. P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = 90100

95100

98100

2. P (B) = 90100

95100

2100

+ 90100

5100

98100

+ 10100

95100

98100

3. P (C) = 10100

5100

2100

4. P (D) = 1− 90100

95100

98100.

Definitia data este acceptabila pentru evenimente ce contin un numarfinit de posibilitati. Dar ın general pot aparea situatii mult mai complicate.Aceasta a dus la o defintie axiomatica care sa o generalizeze pe cea de maisus. Ea a fost data de Kolmogorov ın 1929.

Probabilitati conditionate 101

Definitie. Fie K un camp de evenimente. Numim probabilitate o functieP : K → R cu proprietatile:

1. P (A) ≥ 0, ∀A ∈ K,2. P (Ω) = 1

3. P (A ∪B) = P (A) + P (B) , ∀A,B ∈ K, incompatibile, A ∩B = Φ.

Din aceasta definitie desprindem cu usurinta proprietatile amintite maiınainte:

Prpopozitie. 1. P (A) = 1− P (A) (din A ∪ A = Ω)

2. P (Φ) = 0 (din Ω ∪ Φ = Ω)

3. A ⊂ B =⇒ P (A) ≤ P (B) (din B = A ∪ (B ∩ A) = A ∪ (B − A))

4. 0 ≤ P (A) ≤ 1

5. P (B − A) = P (B)− P (A ∩B)

(din B = B∩Ω = B∩(A ∪ A

)= (B∩A)∪ (B∩ A) = (B∩A)∪ (B−A)).

6. Daca A ⊂ B atunci P (B − A) = P (B)− P (A)

7. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

si P (A ∪B) = P (A) + P (B) daca A ∩B = Φ.

(din A ∪B = A ∪ (B − (A ∩B)) = ...).

Prin inductie se generalizeaza la:

8. P (∪ni=1Ai) =n∑i=1

P (Ai)−∑i<j

P (Ai ∩ Aj)+

+∑i<j<k

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) + ...+ (−1)nP (∪ni=1Ai)

si P (∪ni=1Ai) =n∑i=1

P (Ai) daca evenimentele sunt toate incompatibile.

6.7.1 Probabilitati conditionate

Fie A si B doua evenimente a caror realizare depinde unul de realizareaceluilalt. Presupunem ca P (B) 6= 0. Putem defini o functie care sa fieprobabilitate astfel:


Definitie. Se numeste probabilitatea evenimentului A conditionat de Bvaluarea

P (A | B) =P (A ∩B)

P (B).

Se mai noteaza P (A | B) = PB(A) si observam ca daca evenimentele nusunt conditionate atunci putem regasi ca P (A ∩B) = P (A).P (B).

Se verifica axiomele probabilitatii:

1) P (A | B) ≥ 0

2) P (Ω | B) = 1

3) P (A1 ∪ A2 | B) = P (A1 | B) + P (A2 | B).

Prin inductie obtinem

P (∩ni=1Ai) = P (A1).P (A2 | A1).P (A3 | A1∩A2)...P (An | A1∩A2..∩An−1)

iar daca evenimentele nu sunt conditionate

P (∩ni=1Ai) = P (A1).P (A2)...P (An).

Doua formule joaca un rol important ın teoria probabilitatilor:

Formula probabilitatii totale: daca A1, A2, .., An este un sistem completde evenimente atunci oricare ar fi evenimentul A avem

P (A) = P (A1).P (A | A1) + P (A2).P (A | A2) + ..+ P (An).P (A | An).Formula lui Bays : Daca A1, A2, .., An este un sistem complet de eveni-

mente si P (Ai) 6= 0, P (A) 6= 0 atunci

P (Ai | A) =P (Ai).P (A | Ai)∑ni=1 P (Ai).P (A | Ai)

.

Aplicatie.a) La un magazin se gasesc 100 piese de acelasi fel, 60 de la firmaF1 si 40 de la firma F2. Fiabilitatea celor de la F1 este de 90% iar a celor dela F2 este de 95%. Un client cumpara o piesa. Care este probabilitatea ca easa fie buna?

Solutie. Probabilitatea ca piesa sa provina de la F1 este P (A1) = 60100

sica ea sa functioneze este P (A | A1) = 90

100. Analog, probabilitatea ca piesa sa

provina de la F2 este P (A2) = 40100

si ca ea sa functioneze este P (A | A2) = 95100.

Aplicam formula probabilitatii totale si gasim:

P (A) = 60100. 90100

+ 40100

95100.

Scheme probabilistice clasice 103

b) Se dau trei urne identice ca forma, prima avand 10 bile albe si 3 negre,a doua avand 7 bile albe si 5 negre, a treia avand 12 bile albe si 7 negre. Seextrage la ıntamplare o bila din una din urne. Care este probabilitatea ca easa fie alba.

Solutie. Rationamentul e asemanator ca mai ınainte, sansa de a alege unadin urne este 1

3. Dupa formula probabilitatii totale obtinem:

P (A) = 13

1013

+ 13

712

+ 13

1219.

b) Din mai multe controale la trei magazine se constata ca marfa estecorect declarata ın proportie de 90%,80%,70%. La un control inopinant sesorteaza 50 de documente de provinienta a marfurilor: 20 de la primul, 15de la al doilea, 15 de la al treilea. Din acestea se studiaza doar unul.

1. Care este probabilitatea ca el sa fie corect declarat?

2. Constatand ca este corect declarat care este probabilitatea ca el sa fiede la primul magazin.

Solutie. Notam cu Ai evenimentul ca documentul sa fie de la magazinuli. Avem P (A1) = 20

50, P (A2) = 15

50si P (A3) = 15

50.

Fie A evenimentul ca documentul controlat sa fie corect. Avem

P (A | A1) = 90100, P (A | A2) = 80

100, P (A | A3) = 70

100.

1. Din formula probabilitatii totale obtinem:

P (A) =∑P (Ai).P (A | Ai) = 20

5090100

+ 1550

80100

+ 1550

70100

= 81100

2. Aplicam formula lui Bays:

P (A1 | A) =P (A1).P (A | A1)∑P (Ai).P (A | Ai)

=2050

90100

81100

=4

9.

6.7.2 Scheme probabilistice clasice

Multe din problemele privind calculul probabilitatii se ıncadreaza ın catevatipare clasice numite si scheme probabilistice. Prezentam sub forma standardaceste enunturi, ele putand fi formulate ın termeni economici.

a) Schema bilei nerevenite (hipergeometrica).

O urna contine a bile albe si b bile negre. Se fac n ≤ a+ b extrageri faraa repune bila ınapoi ın urna.


Care este probabilitatea ca α din ele sa fie albe si β negre.

Raspunsul se afla imediat daca analizam cazurile posibile si cele favora-bile.

P (A) =CαaC

βb

Cα+βa+b

.

O generalizare este schema hipergeometrica cu mai multe culori, enuntulfiind acelasi dar se considera k culori:

P (A) =Cα1a1Cα2a2...Cαk

ak

Cα1+a2+..+aka1+a2+..+ak

.

b) Schema lui Poisson.

Fie n evenimente independente A1, A2, ..An, cu P (Ai) = pi si P (Ai) =qi = 1− pi.

Care este probabilitatea evenimentului A ca din cele n evenimente sa serealizeze k?

Raspunsul este: P (A) = coeficientul lui xk polinomul

Q(x) = (p1x+ q1)(p2x+ q2)...(pkx+ qk).

Pentru a justifica acest raspuns analizam spre exemplu un caz particu-lar mai usor de scris, n = 4 si k = 3. Atunci A =

(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4

)∪(

A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4

)∪(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4

)si deci

P (A) = p1p2p3q4 + p1p2q3p4 + p1q2p3p4 + q1p2p3p4 care reprezinta exact coefi-cientul lui x3 din dezvoltarea polinomului Q(x) = (p1x+ q1)(p2x+ q2)(p3x+q3)(p4x+ q4). Situatia generala se discuta la fel.

c) Schema Bernoulli (schema binomiala).

Se considera o experienta si un eveniment A legat de ea cu P (A) = p. Sefac n probe. Care este probabilitatea ca din cele n sa se realizeze k.

Raspunsul este

Pn,k(A) = Cknp

kqn−k , unde q = 1− p.

Justificarea rezulta din schema lui Poisson ın care cele n evenimente in-dependente sunt de fapt fiecare proba ın parte si deci Q(x) = (px + q)n,coeficientul lui xk fiind Ck

npkqn−k .


Aplicatie.

1. La deschiderea bursei se pun ın vanzare 100 actiuni cu aceeasi valuare30 de la firma F1 si 70 de la F2. La ınchiderea bursei s-au vandut 10 actiuni.

a) Care este probabilitatea ca 3 sa fie de la F1 si 7 de la F2.

b) Care este probabilitatea ca toate sa fie de la F2.

c) Care este probabilitatea ca cel putin 7 sa fie de la F1.

Solutie. Este schema bilei nerevenite:

a) P (A) =C3

30C770

C10100

.

b) P (B) =C0

30C1070

C10100

c) P (C) =C7

30C370

C10100

+C8

30C270

C10100

+C9

30C170

C10100

+C10

30C070

C10100

.

2. La o estimare cam 40% din produsele unei firme sunt de calitate foartebuna, 58% bune si 2% defecte.

Dintr-un lot de 100 piese se iau 5. Care este probabilitatea ca:

a) 2 sa fie foarte bune, 3 bune.

b) 1 sa fie defecta.

c) 1 sa fie foarte buna, 3 bune , 1 defecta.

d) cel putin una foarte buna.

Solutie. Este schema bilei nerevenite cu multiple culori:

a) P (A) =C2

40C358C

02

C5100

.

b) P (A) =C4

98C12

C5100

.

c) P (A) =C1

40C358C

12

C5100

.

d) P (A) =C1

40C460

C5100

+C2

40C360

C5100

+C3

40C260

C5100

+C4

40C160

C5100

+C5

40C060

C5100

.

3. Un depozit detine 3 loturi de 100 piese ficare provenind de la trei firme


diferite. Prima firma produce ın medie 3 % rebuturi, a doua 4%, iar a treia6%.

Se alege cate o piesa din fiecare lot. Care este probabilitatea ca:

a) 2 sa fie bune, una defecta.

b) toate sa fie bune.

Solutie. Fie p1 = 97100, p2 = 96

100si p3 = 94

100probabilitatile de a extrage piesa

buna din fiecare lot separat si q1 = 3100, q2 = 4

100si p3 = 6

100probabilitatile

de a extrage piesa defecta. Aplicam schema Poisson.

a) Q(x) = (p1x+ q1)(p2x+ q2)(p3x+ q3). Coeficientul lui x2 este P (A) =p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3.

b) P (B) = p1p2p3.

4. La un sondaj de opinie se pun trei ıntrebari la care raspunsurile suntcu DA sau Nu. Rezultatul sondajului arata ca au raspuns cu Da la primaintrebare 40%, la a doua 70 %, iar la a treia 80%.

Care este probabilitatea ca un client sa raspunda:

a) Da la toate trei ıntrebarile.

b) 2 Da si 1 Nu.

c) toate trei Nu.

d) primele doua raspunsuri Da si al treilea Nu.

Solutie. Este tot schema Poisson. Fie p1 = 40100, p2 = 70

100si p3 = 80

100

probabilitatile de a raspunde cu Da la ıntrebarile respective si q1 = 60100,

q2 = 30100

, q3 = 20100

probabilitatile de a raspunde cu Nu.

a) P (A) = p1p2p3.

b) P (B) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3.

c) P (C) = q1q2q3.

d) P (D) = p1p2q3.

5. Se arunca cu 2 zaruri de 5 ori. Care este probabilitatea ca suma lor safie 8 de 3 ori.

Solutie. Probabilitatea ca la o aruncare cu zarurile suma sa fie 8 estep = 5

36si sa nu fie 8 este q = 31

36. Aplicam schema Bernoulli sa obtinem ca


P (A) = C35

(536

)3 (3136

)2.

6. La o banca se constata ca din creditele acordate ın ultimul an 10% aufost neperformante. Se incheie ıntr-o zi 5 credite. Care este probabilitateaca :

a) toate sa fie performante.

b) nici unul performant.

c) 4 performante.

Solutie. Suntem ın conditiile schemei Bernoulli, p = 90100

= 910

si q = 10100

=110

.

a) P (A) = C55

(910

)5 ( 110

)0=(

910

)5.

b) P (B) = C05

(910

)0 ( 110

)5=(

110

)5.

c) P (C) = C45

(910

)4 ( 110

)1= 5 94

105 .

Capitolul 7

Variabile aleatoare

Notiunea de probabilitate nu este ın masura sa dea o imagine totala asupraunui fenomen. El se produce de regula ıntr-un interval de timp sau pe oanumita distanta si ar trebui sa avem informatii probabilistice la fiecare mo-ment despre acel fenomen. Notiunea pe care o introducem, cea de variabilaaleatoare, are ın vedere tocmai acest lucru. Sigur, un interval de timp sauspatiu este o multime cu o infinitate de valori, trecerea de la o valuare laalta facandu-se continu. De multe ori e suficient sa cunoastem situatia la unnumar finit de valori, acesta numindu-se caz discret.

7.1 Definitie, operatii

Definitie. Fie (Ω, K, P ) un camp borelian de probabilitate. Numim variabilaaleatoare o aplicatie ξ : Ω → R cu proprietatea ca ω ∈ Ω | ξ(ω) < x ∈ Kpentru orice x ∈ R.

Variabilele aleatoare se noteaza cu ξ, η, .. sau cu X, Y, ...

Propozitie. Daca ξ este o variabila aleatoare atunci si

a) ω ∈ Ω | ξ(ω) ≤ x ∈ Kb) ω ∈ Ω | ξ(ω) > x ∈ Kc) ω ∈ Ω | ξ(ω) ≥ x ∈ K,si reciproc, ficare din aceste afirmatii implica faptul ca ξ este variabila

109

110 Capitolul 8. Variabile aleatoare

aleatoare.

Variabila aleatoare ξ se numeste discreta daca multimea valorilor saleeste finita sau numarabila. Daca multimea valorilor este R sau intervalereale atunci variabila se numeste de tip continu.

a) Variabile aleatoare de tip discret.

Fie ωi un sistem complet de evenimente elementare din Ω.

Numim repartitie a unei variabile aleatoare de tip discret un tabel deforma

ξ :

(x1 x2 ... xn ...p1 p2 ... pn ...

)unde xi = ξ(ωi) si pi = P (ω ∈ Ω | ξ(ωi) < xi) = P (ξ = x).

Pe scurt notam ξ :

(xipi

)si observam ca pi ≥ 0 iar din faptul ca avem

un sistem complet de evenimente implica∑pi = 1. De regula vom analiza

cazul finit si mai rar pe cel numarabil, adica i = 1, 2, ..n.

Exemplu. Un lot de piese este supus unui control de calitate. Din analizeanterioare se stie ca fiabilitatea produselor este de 85%. Cumparatorul faceun control extragand 5 piese la ıntamplare. Daca una este defecta se respingeıntreg lotul. Descrieti ca o variabila aleatoare situatia posibila.

1. Se poate ıntampla ca lotul sa fie respins de la prima piesa extrasa. Fieω1 acest eveniment cu probabilitatea p1 = 15

100= 0, 15. Asociem ξ(ω1) = 1.

2. Fie ω2 evenimentul ca lotul sa fie respins dupa a doua piesa; aceastaınseamna ca prima a fost buna iar a doua defecta, deci p2 = 0, 85.0, 15 siasociem ξ(ω2) = 2.

3. Lotul sa fie respins dupa a treia piesa, deci p3 = (0, 85)2 .0, 15 siasociem ξ(ω3) = 3.

4. Lotul sa fie respins dupa a patra piesa, deci p4 = (0, 85)3 .0, 15 siasociem ξ(ω4) = 4.

5. Lotul sa fie respins dupa a cincea piesa, deci p5 = (0, 85)4 .0, 15 siasociem ξ(ω5) = 5.

6. Lotul sa nu fie respins, deci p6 = (0, 85)5 si asociem ξ(ω6) = 0.

Intr-un tabel avem ξ :

Definitie, operatii 111(1 2 3 4 5 0

0, 15 0, 85.0, 15 (0, 85)2 .0, 15 (0, 85)3 .0, 15 (0, 85)4 .0, 15 (0, 85)5

)Cu variabile aleatoare se pot face operatii:

1. Daca c ∈ R este o constanta atunci c+ ξ :

(c+ xipi

)este o variabila

aleatoare.

2. c.ξ :

(c.xipi

)este variabila aleatoare.

3. Daca ξ :

(xipi

)si η :

(yjqj

)sunt doua variabile aleatoare, i = 1, n

si j = 1,m, atunci definim

ξ + η :

(xi + yjpij

)unde pij = P (ω ∈ Ω | ξ(ωi) < xi) ∩ P (ω ∈ Ω | η(ωj) < yj).

Daca variabilele sunt independente atunci pij = pi.qj.

Ar trebui sa verificam ca aceasta definitie este corecta, adica∑i,j

pij =∑i

(∑j

piqj

)=∑i

(pi∑j

qj

)=∑i

(pi.1) = 1.

4. Definim analog

ξ.η :

(xi.yjpij

)unde pij = P (ω ∈ Ω | ξ(ωi) < xi) ∩ P (ω ∈ Ω | η(ωj) < yj).

5. Variavila aleatoare ξk se defineste direct prin ξk :

(xkipi

), analog

√ξ :

( √xipi

)pentru xi ≥ 0, sau variabilele ξ−1 :

(1xi

pi

), ξη

:

( xi

yi

pi

).

Aplicatie: Fie variabilele independente

ξ :

(0 1 212

14

14

)si η :

(−1 1 213

16

12

).

Calculati 2ξ , η2 ,√ξ si 2ξ + 3η, ξ.η2.

Solutie. a) 2ξ :

(0 2 412

14

14

)b) η2 :

(1 1 413

16

12

)=

(1 412

12

).


c)√ξ :

(0 1

√2

12

14

14

). d) Calculam ıntai 3η :

(−3 3 613

16

12

). Pentru

calculul lui X = 2ξ + 3η socotim toate valorile lui xi adunate pe rand cufiecare valoare a lui yj cu probabilitatile pi.qj. Obtinem:

X :

(−3 3 6 −1 5 8 1 7 2416

112

14

112

124

18

112

124

18

).

d) Pentru calculul lui Y = ξη2 socotim toate valorile lui xi ınmultite perand cu fiecare valoare a lui y2

j cu probabilitatile pi.qj. Obtinem:

Y :

(0 0 1 4 2 814

14

18

18

18

18

)=

(0 1 2 4 812

18

18

18

18

).

b) Variabile aleatoare de tip continu.

Fie ξ : Ω → R si Ax = ω ∈ Ω | ξ(ω) < x pentru x ∈ R.Si cu aceste variabile aleatoare de tip continu putem defini operatii.

1. c+ ξ : ω ∈ Ω | ξ(ω) < x− c ∈ K2. c.ξ :

ω ∈ Ω | ξ(ω) < x

c

∈ K

3. ξ + η : ω ∈ Ω | ξ(ω) < x− η(ω) ∈ K

4. ξ.η :ω ∈ Ω | ξ(ω) < x

η(ω)

∈ K

5. ξ2 : ω ∈ Ω | ξ2(ω) < x ∈ K

6√ξ :ω ∈ Ω |

√ξ(ω) < x

∈ K, etc.

Aceste operatii nu se pot exprima asa simplu cu ajutorul unor tabele. Aicidiscutam nu de tabel de repartitie ci de o functie de repartitie F : R→ [0, 1]data de

F (x) = P (ω ∈ Ω | ξ(ω) < x) = P (Ax).

Cand avem mai multe variabile aleatoare atunci se specifica functia de repartitiecu Fξ(x).

Teorema. 1. Daca x1 < x2 atunci F (x1) < F (x2)

2. limx→−∞

F (x) = 0 si limx→∞

F (x) = 1.

3. limx→x0

F (x) = F (x0) si deci F este continua ın ∀x0 ∈ R.

4. P (a ≤ ξ < b) = F (b)− F (a).

5. P (a < ξ < b) = F (b)− F (a)− P (ξ = a).

Definitie, operatii 113

6. P (a ≤ ξ ≤ b) = F (b)− F (a) + P (ξ = b).

7. P (a < ξ ≤ b) = F (b)− F (a) + P (ξ = b)− P (ξ = a).

Demonstratiile acestora fiind imediate din incluziuni de evenimente siproprietatile probabilitatii.

Definitie. Fie ξ o variabila aleatoare. Daca exista o functie f : R→ [0,∞)integrabila astfel ıncat

F (x) =

∫ x

−∞f(u)du

atunci f se numeste densitatea de repartitie a lui ξ.

Un calcul imediat este:

f(x) = F ′(x) = lim∆x→0

F (x+ ∆x)− F (x)

∆x= lim

∆x→0

P (x ≤ ξ < x+ ∆x)

∆x, si

deci diferential avem: P (x ≤ ξ < x+ ∆x) = f(x)dx.

Propozitie. 1. f(x) ≥ 0, 2.

∫ +∞

−∞f(u)du = 1

3. P (a ≤ ξ < b) = F (b)− F (a) =

∫ b

a

f(u)du.

Aplicatii.

1. Fie (Ω, K, P ) un camp finit de probabilitate, Ω = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5 siP (ωi) = 1

5. Definim ξ(ωi) = i3−9i2 +23i−5. Sa se scrie functia de repartitie

a lui ξ si sa se determine P (8 ≤ ξ < 12).

Solutie. ξ(ω1) = ξ(ω3) = ξ(ω5) = 10, iar ξ(ω2) = 13, ξ(ω4) = 7. Deci

ξ :

(7 10 1315

35

15

). Din definitia functiei de repartitie,

F (x) = P (ω ∈ Ω | ξ(ω) < x) rezulta:

F (x) =

0, x ≤ 715, 7 < x ≤ 10

45, 10 < x ≤ 13

1, x > 13

. Avem P (8 ≤ ξ < 12) = 350.

2. Fie f : R→ R, f(x) =

k sin x x ∈ [0, π]0 x /∈ [0, π]

.


a) Sa se determine k ∈ R astfel ca f sa fie densitatea de repartitie a uneivariabile aleatoare.

b) Determinati F si calculati F (π4).

Solutie. a) Din ultima propozitie trebuie ca f(x) ≥ 0,si

∫ +∞

−∞f(u)du = 1,

adica k ≥ 0 si

∫ π

0

k sinudu = 1 din care rezulta k = 12.

b) F (x) =∫ x−∞ f(u)du = F (x) =

∫ x0f(u)du pentru x ∈ [0, π] si F (x) = 1

daca x > π.

Deci F (x) =

0, x ≤ 012(1− cosx) x ∈ (0, π]

1 x > π. Avem F (π

4) = 1

2(1− cos π

4) =

12(1−

√2

2).

3. Se da F : R→ R, prin F (x) =

0, x ≤ 0kx2 x ∈ (0, 1]1 x > 1

.

a) Sa se determine k ∈ R astfel ca F sa fie functia de repartitie a uneivariabile aleatoare.

b) Determinati densitatea de repartitie.

Solutie. a) F trebuie sa fie continua si derivata sa sa fie f.

Din continuitate avem k = 1.

b) Calculam F ′(x) = f(x) =

0, x ≤ 02x x ∈ (0, 1]1 x > 1

care este continua cu

proprietatile unei densitati de repartitie.

7.2 Caracteristici numerice ale unei variabile

aleatoare

Fie (Ω, K, P ) un camp borelian de probabilitate si ξ : Ω → R o variabilaaleatoare.

Vom defini cateva marimi ce dau informatii globale asupra lui ξ.

Caracteristici numerice 115

1. Valoarea medie. Masoara tendinta centrala a variabilei aleatoare ξ.

Vom defini aceasta notiune separat pentru cazul discret si continu.

Definitie. Daca ξ :

(xipi

)este o variabila discreta atunci media sa

M(ξ) =∑xipi.

Daca ξ :

(x

f(x)

)este o variabila continua, cu densitatea de repartitie

f(x), atunci media sa M(ξ) =∫ +∞−∞ xf(x)dx.

Cateva proprietati se verifica usor atat pentru variabile discrete cat sicontinue:

Propozitie. 1. Daca ξ = c este constanta atunci M(ξ) = c.

2. M(c.ξ) = cM(ξ).

3. M(ξ + η) = M(ξ) +M(η).

4. M(ξ.η) = M(ξ).M(η).

2. Momentul initial de ordin k. Este o notiune mai generala decatmedia.


(xipi

)este o variabila discreta atunci momentul de

ordin k este Mk(ξ) =∑xki pi.

Daca ξ :

(x

f(x)


f(x), atunci momentul de ordin k este Mk(ξ) =∫ +∞−∞ xkf(x)dx.

Observam ca media este tocmai momentul de ordin 1.

2. Momentul central de ordin k. Este o notiune ce masoara ımprastiereafata de medie.


(xipi

)este o variabila discreta atunci momentul

central de ordin k este µk(ξ) = Mk (ξ −M(ξ)) =∑

(xi −M(ξ))k pi.

Daca ξ :

(x

f(x)


f(x), atunci momentul central de ordin k este µk(ξ) = Mk (ξ −M(ξ)) =∫ +∞−∞ (x−M(ξ))k f(x)dx.


Vom discuta ın mod deosebit un caz particular si anume momentul centralde ordin doi, numit dispersia lui ξ, notata D(ξ) = M2 (ξ −M(ξ)) .

Propozitie. Dispersia unei variabile aleatoare are proprietatile:

1. Daca ξ = c atunci D(ξ) = 0.

2. D(cξ) = c2D(ξ).

3. D(ξ) = M2(ξ)−M2(ξ) = M(ξ2)−M2(ξ).

4. D(ξ + η) = D(ξ) +D(η).

5. D(ξ + c) = D(ξ).

De notat ca formula 3. ne ofera o modalitate directa de calcul a dispersiei.

Are loc urmatoarea Inegalitate a lui Cebısev:

P (ω / | ξ(ω)−M(ξ) |≥ ε) ≤ D(ξ)

ε2

pentru orice ε > 0.

Aceasta este o inegalitate ce se refera la medie si dispersie.

4. Abaterea medie patratica se defineste ca fiind σ(ξ) =√D(ξ).

Ea are sens deoarece D(ξ) ≥ 0 ıntodeauna.

Urmatoarele notiuni sunt legate de doua variabile aleatoare ξ si η, numitasi variabila aleatoare bidimensionala.

5. Se numeste moment initial de ordin (r, s) al perechii de variabilealeatoare (ξ, η) media mr,s = M(ξr.ηs). Momentul central de ordin (r, s) este

µr,s = Mrs ((ξ −M10(ξ)).(η −M01(η))) = M ((ξ −M(ξ))r.(η −M(η))s) .

6. Coeficientul de corelatie al perechii de variabile aleatoare (ξ, η) este

ρ (ξ, η) = M

(ξ −M(ξ)

σ(ξ).η −M(η)

σ(η)

)=

1

σ(ξ)σ(η)M ((ξ −M(ξ)).(η −M(η)))

unde σ(ξ) este abaterea medie patratica.

Aplicatie.

1. Se considera variabilele aleatoare

ξ =

(−1 0 114

12

14

)si η =

(−1 1 213

13

13

). Calculati media si dispersia

variabilelor: ξ , η , 3ξ + 2η , ξ2.η

Caracteristici numerice 117

Determinati coeficientul de corelatie al lui (ξ, η).

Solutie. M(ξ) = −1.14+0.1

2+1.1

4= 0. Pentru calculul dispersiei calculam

ıntai ξ2 =

(0 112

12

)si deci M(ξ2) = 0.1

2+ 1.1

2= 1

2. Astfel ca dispersia

D(ξ) = M(ξ2)−M2(ξ) = 12− 02 = 1

2.

Analog pentru η, media este M(η) = −1.13

+ 1.13

+ 2.13

= 23, iar η2 =(

1 423

13

)si M(η2) = 1.2

3+4.1

3= 2. Deci dispersia D(η) = M(η2)−M2(η) =

22 − 49

= 329.

Pentru calculul mediei si dispersiei lui X = 3ξ + 2η folosim proprietatilelor.

M(X) = 3M(ξ) + 2M(η) = 3.0 + 223

= 43

si D(X) = 9D(ξ) + 4D(η) =91

2+ 432

9= 266

18.

Analog avem media si dispersia lui Y = ξ2.η ,

M(Y ) = M(ξ2).M(η) = 12.23

= 13, iar pentru calculul dispersiei trebuie

gasit efectiv Y =

(−1 0 1 216

12

16

16

). Deci Y 2 =

(0 1 412

13

16

)si D(Y ) =

M(Y 2)−M2(Y ) = 1 + 13

= 43.

Pentru calculul corelatiei avem

ρ(ξ, η) = 1σ(ξ)σ(η)

M ((ξ −M(ξ)).(η −M(η))) =

= 83M ((ξ −M(ξ)).(η −M(η))) = 8

3.0 = 0

2. Se testeaza 2 prototipuri de aparate. Probabiltatile ca acestea satreaca testul sunt respectiv: p1 = 0, 7 si p2 = 0, 8. Notam cu ξ variabilaaleatoare respectiva. Dupa unele ajustari se ımbunatatesc performanteleobtinand variabila η cu probabilitatile q1 = 0, 9 si q2 = 0, 9.

Sa se scrie si sa se determine mediile, dispersiile celor doua variabile sicoeficientul lor de corelatie.

Solutie. Fie 0,1,2 numarul prototipurilor ce trec testul. Variabilele sescriu dupa schema lui Poison

ξ =

(0 1 2

0, 06 0, 38 0, 56

)si η =

(0 1 2

0, 01 0, 18 0, 81

).

M(ξ) = 1.0, 38 + 2.0, 56 = 1, 5 si M(η) = 1.0, 18 + 2.0, 81 = 1, 8


M(ξ2) = 1.0, 38 + 4.0, 56 = 2, 62 si M(η2) = 1.0, 18 + 4.0, 81 = 3, 42

Deci D(ξ) = 2, 62− 2, 25 = 0, 37 si D(η) = 3, 42− 3, 24 = 0, 18.

Corelatia se calculeaza dupa formula de mai ınainte.

3. Se considera functia f(x) =

ax2e−kx, x ≥ 00 x < 0

unde k > 0 si

a ∈ R.a) Determinati a astfel ca f sa fie densitatea de repartitie a unei variabile

aleatoare ξ.

b) Gasiti F functia de repartitie.

c) Calculati M(ξ), D(ξ) si P (0 < ξ < 1k).

Solutie. a) Din∫ +∞−∞ f(x)dx = 1 rezulta a

∫ +∞0

x2e−kxdx = 1. Facem

substitutia y = kx si obtinem ak3

∫ +∞0

y2e−ydy = 1 adica ak3 Γ(3) = 1, din care

rezulta a = k3

2.

b) F (x) = P (ξ < x) =

k3

2

∫ +∞0

x2e−kxdx x > 00 x ≤ 0

=

=

1− k2x2+2kx+2

2e−kx x > 0

0 x ≤ 0

c) M(ξ) =∫ +∞−∞ xf(x)dx = Γ(4)

2k= 3

ksi D(ξ) = M(ξ2)−M2(ξ) = 12

k2− 9k2 =

3k2 .

P (0 < ξ < 1k) = F ( 1

k)− F (0) = 1− 5

2e.

7.3 Repartitii clasice

Asa cum am vazut pentru calculul probabilitatii s-au conturat cateva clase deprobleme ce urmeaza scheme clasice. La fel putem discuta si pentru variabilealeatoare.

I. Repartitii clasice discrete.

1.Repartitia discreta uniforma

are scrierea ξ :

(k

f(k)

)unde k = 1, n si pk = f(k) = 1

n.

Repartitii clasice 119

Verificam direct ca

Propozitie. 1 f(x) ≥ 0 si∑f(k) = 1

2. M(ξ) =n∑k=1

k1

n=n+ 1

2

3.M(ξ2) =n∑k=1

k2 1

n=

(n+ 1)(2n+ 1)

6

4.D(ξ) = M(ξ2)−M2(ξ) =n2 − 1

12.

2. Repartitia binomiala si Poisson.

Repartitia binomiala este ξ :

(k

f(k)

)unde k = 0, n si pk = f(k) =

Cknp

kqn−k cu p+ q = 1 si p, q ∈ [0, 1] .

Propozitie. 1. f este o densitate de repartitie, f(x) ≥ 0 si∑f(k) = 1

2. M(ξ) = np si D(ξ) = npq.

Consideram situatia p = λn

si trecem la limita,

limn→∞

Ckn

(λ

n

)k (1− λ

n

)n−k=λk

k!e−λ.

Obtinem astfel urmatoraea repartitie infinita, numita repartitia Poisson:

ξ =

(0 1 2 ... n ...

e−λ λ1!e−λ λ2

2!e−λ ... λn

n!e−λ ...

).

Sa calculam :

M(ξ) =∑k λ

k

k!e−λ = λe−λ

∑λk−1

(k−1)!= λe−λeλ = λ,

M(ξ2) =∑k2 λk

k!e−λ = λe−λ

∑k λk−1

(k−1)!= λe−λ

(∑λk

(k−1)!

)′= λe−λ

(λeλ)′

=

λ(λ+ 1). Obtinem de aici ca D(ξ) = λ(λ+ 1)− λ2 = λ.

3. Repartitia hipergeometrica.

Are scrierea ξ :

(k

f(k)

)unde k = 0, n si pk = f(k) =

CkaC

n−kb

Cna+b

.

Propozitie. 1. f(x) ≥ 0 si∑f(k) = 1.


2. M(ξ) =∑

kCkaC

n−kb

Cna+b

= na

a+ b

3. D(ξ) = na

a+ b.b

a+ b

a+ b− n

a+ b− 1.

II. Repartitii continue.

1. Repartitia continua uniforma.

Are scrierea ξ :

(x

f(x)

)unde f(x) =

1b−a x ∈ [a, b]

0 x /∈ [a, b].

Propozitie. 1. f(x) ≥ 0 si

∫ +∞

−∞f(x)dx = 1

2. M(ξ) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx =

a+ b

2

3. M(ξ2) =

∫ +∞

−∞x2f(x)dx =

a2 + ab+ b2

3si D(ξ) =

(a− b)2

12.

2. Repartitia exponentiala.

Are scrierea ξ :

(x

f(x)

)unde f(x) =

0 x < 0µe−µx x ≥ 0

, µ > 0.


∫ +∞

−∞f(x)dx = 1

2. M(ξ) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx = µ

∫ ∞

0

e−µxdx =1

µ

3. M(ξ2) =

∫ +∞

−∞x2f(x)dx =

2

µ2si D(ξ) =

1

µ2.

2. Repartitia normala (Gauss).

Are scrierea ξ :

(x

f(x)

)unde f(x) = 1

σ√

2πe−

(x−m)2

2σ2 cu m ∈ R si σ > 0.

Daca facem substitutia x−m√2σ

= t, integrand obtinem:


∫ +∞

−∞f(x)dx = 1

2. M(ξ) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx = m


3. D(ξ) =

∫ +∞

−∞(x−M(ξ))2f(x)dx = σ2

4. Functia de repartitie este F (x) =1

σ√

2π

∫ x

−∞e−

12t2dt.

3. Repartitia Gama.

Are scrierea ξ :

(x

f(x)

)unde f(x) =

0 x ≤ 0

1Γ(a+1)ba+1x

ae−xb x > 0

, cu

a > −1 si b > 0.

Facand substitutia xb

= t se verifica urmatoarele:


∫ +∞

−∞f(x)dx = 1

2. M(ξ) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx = b(a+ 1)

3. D(ξ) =

∫ +∞

−∞(x−M(ξ))2f(x)dx = b2a.

4.Repartitia Beta.

Are scrierea ξ :

(x

f(x)

)unde f(x) =

0 x /∈ [0, 1]

1β(a,b)

xa−1(1− x)b−1 x ∈ [0, 1],

cu a, b > −1 .


∫ +∞

−∞f(x)dx = 1

2. M(ξ) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx =

a(a+ 1)

(a+ b)(a+ b+ 1)

3. D(ξ) =

∫ +∞

−∞(x−M(ξ))2f(x)dx =

ab

(a+ b)(a+ b+ 1)

5. Repartitia hi-patrat (χ2).

Are scrierea ξ :

(x

f(x)

)unde f(x) =

0 x ≤ 0

1

Γ( k2)2

k2x

k2−1e−

x2 x > 0 , cu

k > 0 .


∫ +∞

−∞f(x)dx = 1


2. M(ξ) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx = k

3. D(ξ) =

∫ +∞

−∞(x−M(ξ))2f(x)dx = 2k.

6. Repartitia Student.

Are scrierea ξ :

(x

f(x)

)unde f(x) =

Γ(n+1

2

)√nπΓ

(n2

) .(1 + x2

n

)−n+12, x ∈ R.


∫ +∞

−∞f(x)dx = 1

2. M(ξ) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx = 0

3. D(ξ) =

∫ +∞

−∞(x−M(ξ))2f(x)dx =

√n

n− 2.

Aplicatii.

1. O masina automata produce piese de calitate corespunzatoare ınproportie de 90%. Se extrag 10 piese la ıntamplare. Sa se scrie variabilaaleatoare ξ ce descrie situatia posibila. Gasiti M(ξ), D(ξ), σ(ξ).

Determinati probabilitatile: P (ξ ≥ 5) si P (6 ≤ ξ < 8).

Solutie. Este o repartitie binomiala cu n = 10 si p = 90100

= 0, 9. Deci

ξ :

(k

f(k)

)unde k ∈ 0, 1, 2, ..., 10 si f(k) = Ck

10 (0, 9)k (0, 1)10−k .

M(ξ) = np = 9 , D(ξ) = npq = 9.0, 1 = 0, 9 si σ(ξ) =√D(ξ) =

√0, 9.

P (ξ ≥ 5) =10∑k=5

Ck10 (0, 9)k (0, 1)10−k iar P (6 ≤ ξ < 8) = C6

10 (0, 9)6 (0, 1)4+

C710 (0, 9)7 (0, 1)3 .

2. La o agentie Loto sunt 10000 de bilete din care 10 castigatoare. Uncumparator ia 8 bilete. Sa se scrie variabila aleatoare ξ ce exprima situatiaposibila. Gasiti M(ξ), D(ξ), σ(ξ).

Determinati probabilitatile: P (ξ ≤ 3) si P (ξ = 8).

Solutie. Situatia se poate reprezenta cu o repartitie hipergeometrica cu


n = 8 , deci ξ :

(k

f(k)

)unde k ∈ 0, 1, 2, ..., 8 si f(k) =

Ck10C

8−k9990

C810000

.

M(ξ) = na

a+ b= 0, 008, D(ξ) = n

a

a+ b.b

a+ b

a+ b− n

a+ b− 1= 0, 0079

si σ(ξ) =√D(ξ) =

√0, 0079.

P (ξ ≤ 3) =3∑

k=0

Ck10C

8−k9990

C810000

si P (ξ = 8) =C8

10

C810000

.

3. O firma este aprovizionata de trei furnizori. Acestia au capacitateade a-si onora comenzile cu probabilitatile: p1 = 0, 9 , p2 = 0, 8 , p1 = 0, 7.Scrieti variabila aleatoare ce exprima numarul furnizorilor ce pot sa-si onorezecomanda. Gasiti M(ξ), D(ξ), σ(ξ).

Solutie. Este o repartitie binomiala cu trei urne. Avem q1 = 0, 1 , q2 = 0, 2, q3 = 0, 3.

Variabila aleatoare este

ξ =

(0 1 2 3

0, 006 0, 092 0, 398 0, 504

).

M(ξ) = 2, 45, D(ξ) = M(ξ2)−M2(ξ) = 0, 46, σ(ξ) =√

0, 46.

4. Intr-o urna Loto sunt bile identice numerotate de la 1 la 49.

a) Se etrage o bila din urna. Scrieti variabila aleatoare ce reprezintanumarul extras.

b) Se extrag 5 bile fara revenirea lor ın urna. Scrieti variabila aleatoarece reprezinta posibilitatile unui jucator de a castiga din un bilet cumparat.

Calculati mediile si dispersiile lor.

Solutie. a) Este repartitie uniforma, ξ :

(k149

)unde k ∈ 1, 2, ..., 49 .

M(ξ) = n+12

= 25, D(ξ) = n2−112

= 200.

b) Este schema hipergeometrica ξ :

(k

f(k)

)unde k ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5

si f(k) =Ck

5C5−k44

C549


M(ξ) = na

a+ b= 0, 055, D(ξ) = n

a

a+ b.b

a+ b

a+ b− n

a+ b− 1= 0, 00396.

5. Intr-o urna sunt 6 bile albe si 4 negre. Se extrag la ıntamplare 3bile. Fie ξ variabila aleatoare care reprezinta numarul bilelor albe extrase.Calculati media si dispersia ın urmatoarele situatii

a) extragerea este revenita.

b) extragerea este nerevenita.

Solutie. a) Repartitia este binomiala, n = 3, p = 0, 6

ξ =

(0 1 2 30, 43 3.042.0, 6 3.04.0, 62 0, 63

), M(ξ) = np = 1, 8 ; D(ξ) =

npq = 0, .72

b) Repartitia este hipergeometrica

ξ =

(0 1 2 34C3

10

C16C

24

C310

C26C

14

C310

C36

C310

), M(ξ) = 1, 8 ; D(ξ) = 14

25.

Bibliografie

[1] G.Atanasiu, G.Munteanu, M.Postolache Algebra liniara, geometrieanalitica, ecuatii diferentiale, Ed. All, Bucuresti, 1994.

[2] D.Baz, V.Butulescu, N.Stremtan, Matematici aplicate ın economie,Univ. Crestina Dimitrie Cantemir, Bucuresti, 1999.

[3] S.Chirita, Probleme de matematici superioare, Ed. Didactica si Peda-gogica, Bucuresti, 1989.

[4] O.Popescu si colectiv, Matematici aplicate ın economie, Vol. 1, Ed. Di-dactica si Pedagogica, Bucuresti, 1993.

[5] O.Popescu si colectiv, Matematici aplicate ın economie, Culegere deprobleme, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1999.

[6] I.Radomir, O.Popescu, Matematici pentru economisti, Ed. Univ. Tran-silvania, Brasov, 1999.

[7] P.Stavre, Matematici speciale cu aplicatii ın economie, Ed. Scrisulromanesc, 1982.

125

Matematici Aplicate in Economie

Documents

Transcript of Matematici Aplicate in Economie