KALKULUS IIIBAB 1Fungsi dari ℝ ke ℝn

2

Single Variable

Multi Variable

Real Valued

Vector Valued

FUNGSIBentuk umum f : ℝm ℝn

f : ℝm ℝf : ℝ ℝn f : ℝm ℝn

f : ℝ ℝ

Indah Yanti

Indah Yanti 3

( , , )

LINTASANLintasan di ℝn adalah pemetaan c dari ℝ atau interval pada ℝ ke ℝn.

c : ℝ ℝn t ( f1(t), …, fn(t))

Jika c lintasan di ℝ3 maka c(t) dapat ditulis dalam bentuk

c(t) =x(t) y(t) z(t)

fungsi komponen

Indah Yanti 4x

y

z

a b

c(a)

c(b)

c = lintasan

Kurva C = bayangan dari c

Indah Yanti 5

Contoh 1.1c : ℝ ℝ2 t[a, b] ( ,

)

t[0, 2] (cos t, sin t)

x(t) y(t)t cos t sin t0 1 0

/2 0 1 -1 0

3/2 0 -12 1 0

Indah Yanti 6

Contoh 1.1 2

0

/2

3/2

ty

x

x2+ y2 = 1

berlawanan arah jarum jam

Indah Yanti 7

CONTOH 1.2Gambarlah lintasan – lintasan berikut ini:a. c1 : (r cos , r sin ); [0, 2]b. c2 : (r sin , r cos ); [0, 2]c. c3 : (r cos 2t, r sin 2t); t [0, 1]d. c3 : (r cos 4t, r sin 4t); t [0, 1]

Indah Yanti 8

SOLUSIc1 : (r cos , r sin ); [0, 2]Misal x = r cos , y = r sin , maka x2 + y2 = (r cos )2 + (r sin )2

= r2 cos2 + r2 sin2 = r2 (cos2 + sin2 )= r2

yang merupakan lingkaran dengan titik awal (r, 0) dan titik akhir (r, 0) dengan arah berlawanan arah jarum jam.

Indah Yanti 9

SOLUSIc1 : (r sin , r cos ); [0, 2]Misal x = r sin , y = r cos , maka x2 + y2 = (r sin )2 + (r cos )2

= r2 sin2 + r2 cos2 = r2 (sin2 + cos2 )= r2

yang merupakan lingkaran dengan titik awal (0, r) dan titik akhir (0, r) dengan arah searah jarum jam.

Indah Yanti 10

SOLUSIc1 : (r cos 2t, r sin 2t); t [0, 1]Misal x = r cos 2t, y = r sin 2t, maka x2 + y2 = (r cos )2 + (r sin 2t)2

= r2 cos2 2t + r2 sin2 2t = r2 (cos2 2t + sin2 2t)= r2

yang merupakan lingkaran dengan titik awal (r, 0) dan titik akhir (r, 0) dengan arah berlawanan arah jarum jam.

Indah Yanti 11

SOLUSIc1 : (r cos 4t, r sin 4t); t [0, 1]Misal x = r cos 4t, y = r sin 4t, maka x2 + y2 = (r cos )2 + (r sin 4t)2

= r2 cos2 4t + r2 sin2 4t = r2 (cos2 4t + sin2 4t)= r2

yang merupakan lingkaran dengan titik awal (r, 0) dan titik akhir (r, 0) dengan arah berlawanan arah jarum jam dan berputar sebanyak dua kali.

Indah Yanti 12

LINTASANPandang lintasan c(t) = ( f1(t), …, fn(t)). Misalkan Di, i = 1, …, n adalah daerah definisi dari fi(t) maka daerah definisi untuk c(t) adalah D = D1 D2 … Dn.

Indah Yanti 13

CONTOH 1.3Diketahui lintasan , tentukan daerah asal lintasan sehingga terdefinisi.

SOLUSIf1(t) = 9 – x2 terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi 9 – x2 0.

9 – x2 0Û (3 – x)(3 + x) 0Û – 3 x 3

c(t) = (9 – x2 , )1x – 3

Indah Yanti 14

CONTOH 1.3f2(t) = terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi x 3.

Diperoleh D1: – 3 x 3D2: x 3

sehinggaDc(t): – 3 x < 3

1x – 3

Indah Yanti 15

LIMIT LINTASANMisalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)) terdefinisi dan l = (l1, …, ln) adalah vektor di ℝn. Limit c(t) jika t mendekati a sama dengan l, ditulis limit c(t) = l

t aapabila ( > 0) ( > 0) sehingga

0 < t – a< ∥c(t) – l∥ < Secara intuitif, semakin dekat t ke a, semakin dekat c(t) ke l.

16

LIMIT LINTASANCatatan

Pertidaksamaan segitiga di ℝ3

dimana

Indah Yanti

∥c(t) – l∥ = √(f1(t) – l1)2 + … + (fn(t) – ln)2

√(f1(t) – l1)2 + (f2(t) – l2)2 + (f3(t) – l3)2 f1(t) – l1+ f2(t) – l2+ f3(t) – l3fi(t) – li √ (f1(t) – l1)2 + (f2(t) – l2)2 + (f3(t) – l3)2 fi(t) – li= √ (fi(t) – li)2

Indah Yanti 17

TEOREMA 1.1Misalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)). Maka

limit c(t) = lt a

Û limit ∥c(t) – l∥ = 0t a

Indah Yanti 18

TEOREMA 1.2Misalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)). Maka c mempunyai limit di a jika dan hanya jika f1(t), …, fn(t) mempunyai limit di a. Dalam hal ini

limit c(t) = lt a

Û limit fi (t) = lit auntuk i = 1, 2, …, n.

19

BUKTI TEOREMA 1.2() Diketahui artinya

( > 0) ( > 0) 0 < t – a< ∥c(t) – l∥< dari pertaksamaan segitiga fi(t) – li ∥c(t) – l∥ < , i = 1, …, nJadi ( > 0) ( > 0) 0 < t – a< fi(t) – li< atau

Indah Yanti

limit c(t) = lt a

limit fi (t) = lit a

Indah Yanti 20

Bukti TEOREMA 1.2() Diketahui , artinya

( > 0) ( > 0) 0 < t – a< fi(t) – li< /3diketahui ∥c(t) – l∥< f1(t) – l1+ … + fn(t) – ln< /3 + /3

+ /3Û ∥c(t) – l∥< .Jadi ( > 0) ( > 0) 0 < t – a< ∥c(t) – l∥<

atau

limit fi (t) = lit a

limit c(t) = lt a

Indah Yanti 21

TEOREMA 1.3Misalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)), d(t) = (g1(t), …, gn(t)) dan h(t) fungsi real. Jika , , dan ada dan berhingga, maka

limit c(t)t a

limit d(t)t a

limit h(t)t a

limit c(t) tunggalt a

1.2.limit (c(t) + d(t)) =

t a

limit c(t) +t a

limit d(t)t a

Indah Yanti 22

TEOREMA 1.33.limit (c(t) – d(t)) =

t a

limit c(t) –t a

limit d(t)t a

4.limit kc(t) =

t a

k limit c(t), k adalah konstanta realt a

5.limit (c(t).d(t)) =

t a

limit c(t).t a

limit d(t)t a6

.limit (h(t).d(t)) =

t a

limit h(t).t a

limit d(t)t a

Indah Yanti 23

KONTINUITASMisalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)) terdefinisi pada D ℝ. Lintasan c dikatakan kontinu di a D jika dan hanya jika

limit c(t) = c(a)t aatau ( > 0) ( > 0) sehingga

0 < t – a< ∥c(t) – c(a)∥ <

Lintasan c(t) = (f1(t), …, fn(t)) dikatakan kontinu di D ℝ jika c kontinu di setiap titik pada D.

Indah Yanti 24

SoalTentukan nilai c(0) agar fungsi c yang didefinisikan sebagai

kontinu di setiap titik.

c(t) = , , t 0sin t t

1 – et t

25

Solusilim = 1

lim = lim = lim – et = –1 (aturan L’Hospital)

Sehingga fungsi menjadi

Indah Yanti

sin t tt 0

t 01 –

et td(1 – et)/dtdt/dt

t 0

c(t) =sin t t

1 – et t, , untuk t

0(1, –1) , untuk t = 0

Indah Yanti 26

TURUNAN LINTASANMisalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)). Turunan c di a didefinisikan sebagai

c’(a) =

limit c(t) – c(a)t a t – a

c’(t) =

limit c(t + h) – c(t)h 0 h

atau secara umum

dengan asumsi nilai limit tersebut ada.

Indah Yanti 27

TURUNAN LINTASANJika lintasan diferensiabel, maka turunannya adalah matriks berukuran n 1.

c’(t) =

=

df1

dt, ,

dfn

dt=(f1’(t), …, fn’(t))

dfn

dt

df1

dt

Jika salah satu fungsi komponen tidak memiliki turunan maka lintasan disebut tidak mempunyai turunan.

Indah Yanti 28

TEOREMA 1.4Aturan TurunanMisal b(t) dan c(t) adalah lintasan yang diferensiabel di ℝn serta p(t) dan q(t) adalah dua fungsi skalar yang diferensiabel, maka

ddt [b(t) + c(t)] = b’(t) + c’(t)

ddt [p(t)c(t)] = p’(t)c(t) +

p(t)c’(t)ddt [b(t) c(t)] = b’(t) c(t)+ b(t)

c’(t)ddt [c(q(t))] =

q’(t)c’(q(t))

Aturan Penjumlahan

Aturan Perkalian Skalar

Aturan Dot Product

Aturan Rantai

Indah Yanti 29

TEOREMA 1.5Aturan TurunanMisal b(t) dan c(t) adalah lintasan yang diferensiabel di ℝ3

ddt [b(t) c(t)] = b’(t) c(t)+ b(t)

c’(t)Aturan Cross Product

Indah Yanti 30

Soal Diberikan c(t) = (e2t, , t cos t). Maka

c’(t) = (2e2t, , cos t – t sin t).

Jika c(t) = (e2t, |t|, t cos t). Maka c(t) tidak mempunyai turunan di t = 0 karena fungsi |t| tidak mempunyai turunan di t = 0.

t2 cos t – 2t sin t t4

sin tt2

Indah Yanti 31

KECEPATAN DAN KELAJUANJika c lintasan dan diferensiabel, maka c disebut lintasan yang diferensiabel. Kecepatan c pada saat t didefinisikan

c’(t) =

limit c(t + h) – c(t)h 0 h

dan kelajuan dari lintasan c(t) adalah s = ∥c’(t)∥, yang merupakan panjang dari vektor kecepatan.

Indah Yanti 32

Soal Diberikan c(t) = (cos t, sin t, t). Tentukan vektor kecepatan pada saat t = /2.

Indah Yanti 33

Solusi c’(t) = (– sin t, cos t, 1) c’(/2) = (– sin (/2), cos (/2), 1)

= (–1, 0, 1)

x

y

z

2

Indah Yanti 34

Soal Diketahui lintasan c(t): [0, 2] (cos3 t, sin3 t).a. Gambarlah lintasan tersebutb. Tentukan vektor kecepatan dari lintasan tersebutc. Tentukan kelajuan dari lintasan tersebut.

Indah Yanti 35

GARIS SINGGUNG LINTASANJika c(t) sebuah lintasan, dan c’(t0) 0, persamaan garis singgung di titik c(t0) adalah

l(t) = c(t0) + (t – t0)c’(t0)

Pada saat t = t0 makal(t0) = c(t0) + (t0 – t0)c’(t0)

Û l(t0) = c(t0) l(t)

l(t0) c(t0) c(t)

Indah Yanti 36

Soal Sebuah lintasan di ℝ3 melalui titik (3, 6, 5) pada saat t = 0 dengan vektor singgung i – j. Tentukan persamaan garis singgung di titik tersebut.

Indah Yanti 37

Solusi c(t0) = (3, 6, 5)t0 = 0c’(t0) = i – j = (1, –1, 0)

l(t) = c(t0) + (t – t0)c’(t0) = (3, 6, 5) + (t – 0)(1, –1, 0) = (3 + t, 6 – t, 5)

Indah Yanti 38

Soal Tentukan panjang busur untuk setiap lintasan berikut:1. c(t): [0, 2] (t – sin t, 1 – cos t)2. c(t): [0, 2] (cos t, sin t, t)3. c(t): [0, 2] (cos3 t, sin3 t).

39

INTEGRAL LINTASANIntegral lintasan, atau integral dari fungsi f(x, y, z) sepanjang lintasan c, terdefinisi jika c : I = [a, b] ℝ3

adalah kelas C1 dan jika fungsi komposit t f(x(t), y(t), z(t)) kontinu pada I. Integral fungsi didefinisikan sebagai berikut

Indah Yanti

f ds = c [ f(x(t), y(t), z(t)) . ∥c’(t)∥] dta

b

Indah Yanti 40

Soal Misal diketahui c(t): [0, 2] (cos t, sin t, t) dan f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.Hitung

f dsc

Indah Yanti 41

Indah Yanti 42

PANJANG BUSURMisal c(t) adalah sebuah lintasan yang kontinu diferensiabel. Maka

ℓ(c) = ∥c’(t)∥ dt

c(t): [a, b] ℝn

ℓ(c) = ∥c’(t)∥ dta

b

Indah Yanti 43

Soal Diketahui lintasan c(t) = (r cos t, r sin t), dimana t berada di interval [0, 2]. Tentukan panjang busur dari lintasan c(t).

Indah Yanti 44

Indah Yanti 45

Daftar tambahan nilai kuis1. Ongky2. Sigit