А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.СвешниковДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» подредакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. Учебник создан на базелекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультетеМосковского государственного университета. Изложение отвечает современномусостоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуетсяспециалистам по физике и математике. Большое внимание уделено численным иасимптотическим методам решения. Воспроизводится со 2-го изд. (1985 г.).Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям

«Физика» и «Прикладная математика».ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию 5Предисловие ко второму изданию 5Предисловие к первому изданию 6Глава 1. Введение 7§ 1. Понятие дифференциального уравнения 7§ 2. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 12Глава 2. Общая теория 23§ 1. Элементарные методы интегрирования 23§ 2. Теоремы существования и единственности решения начальной задачи

для одного уравнения первого порядка, разрешенного относительнопроизводной. Алгоритм ломаных Эйлера

31

§ 3 Уравнение, неразрешенное относительно производной 39§ 4. Теорема существования и единственности решения нормальной

системы46

§ 5. Зависимость решений от начальных значений и параметров 51§ 6. Метод последовательных приближений (метод Пикара) 59§ 7. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке 63Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения 67§ 1. Уравнения движения маятника как пример линейного уравнения.

Основные свойства линейного уравнения с постояннымикоэффициентами

67

§ 2. Общие свойства линейного уравнения n-го порядка 73§ 3. Однородное линейное уравнение n-го порядка 76§ 4. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка 79§ 5. Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами 82§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория 88§ 7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами96

§ 8. Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда 101Глава 4. Краевые задачи 105§ 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание 105§ 2. Неоднородная краевая задача 110§ 3. Задачи на собственные значения 123

Глава 5. Теория устойчивости 128§ 1. Постановка задачи 128§ 2. Исследование на устойчивость по первому приближению 134§ 3. Метод функций Ляпунова 138§ 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя 144Глава 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных

уравнений151

§ 1. Разностные методы решения начальной задачи 151§ 2. Краевые задачи 167Глава 7. Асимптотика решений дифференциальных уравнений по малому

параметру177

§ 1. Регулярные возмущения 177§ 2. Сингулярные возмущения 183Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка 209§ 1. Линейное уравнение 209§ 2. Квазилинейное уравнение 218Список литературы 228Предметный указатель 229

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАналитическая теория

дифференциальных уравнений102

Аппроксимация разностной схемы,порядок аппроксимации 158

Асимптотика 180Асимптотическая формула 178Асимптотический ряд 180Асимптотическое представление 178— разложение 180Бегущая волна 212Возмущение правых частей (входных

данных) 158, 159— регулярное 180— сингулярное 183Возмущенная задача 159Возмущенное и невозмущенное

уравнения 180Вырожденная система 184Граничные условия первого, второго

и третьего рода 107C-дискриминантная кривая 45p-дискриминантная кривая 45Задача краевая 107— на собственные значения (задача

Штурма—Лиувилля) 107, 123

— начальная (задача Коши) 10Импульсная матрица 94— функция 81Интеграл дифференциального

уравнения 24Интегральная кривая 9— поверхность 210Интегральное уравнение 11— — Фредгольма второго рода 126Интегрирование в квадратурах 24— дифференциального уравнения 9Интегро-дифференциальное

уравнение 19Качественная теория

дифференциальных уравнений150

Квадратура 24Лемма о дифференциальных

неравенствах 29— — — — столбцов 90, 93Линейная зависимость и

независимость столбцов 90, 93— — — — функций 77Ломаные Эйлера 32Матрицант 94

Матричная запись системы линейныхуравнений 90

Метод вариации постоянной 27— ВБК 203— неопределенных коэффициентов

88— последовательных приближений

(метод Пикара) 27— стрельбы 167— усреднения 203Метрическое пространство 63Независимость первых интегралов

216Неподвижная точка 63Неустойчивость решения 143Норма равномерная (чебышёвская)

153— собственной функции 125— среднеквадратичная (гильбертова)

153Нормальная система

дифференциальных уравнений8

Область влияния устойчивого корня186

Обобщенное решениеквазилинейного уравнения 226

— — обыкновенногодифференциального уравнения12, 38

Общее решение линейногонеоднородного уравнения 80

— — — однородного уравнения 68,79

— — — уравнения в частныхпроизводных 217

— — системы линейных уравнений94

Общий интеграл 24Обыкновенная точка 38Однородные и неоднородные

краевые задачи 107Операторный многочлен 84Определитель Вронского 77, 93Особая точка 38

Особое решение 45Остаточный член асимптотической

формулы 178Первый интеграл 215Пограничные члены 192Пограничный ряд 192— слои 190Поде направлений 10Порядок аппроксимации 158— дифференциального уравнения 7Предельный цикл 149Принцип максимума 171— сжатых отображений 64— суперпозиции 75, 91Присоединенные векторы 100Прогонка алгебраическая 174— обратная 176— прямая 175Пространство решении линейного

однородного уравнения 76, 79— — системы линейных уравнений

94ε-приближение по невязке 34, 49— — — отклонению 36Разностная схема «предиктор —

корректор» 166— — Рунге — Кутта 164— — Эйлера 154— — явная 154Регулярный ряд 192Резонансный и нерезонансный

случай в неоднородномлинейном уравнении 72, 87

Релаксационные колебания 208Решение общее 24— частное 9, 24Седло 147Сепаратриса 147Сетка, сетки узел, сетки шаг 152— равномерная и неравномерная 152Сеточная функция 152Система линейных уравнений 74, 88— первого приближения 134Собственное значение, его ранг 108Собственные колебания 108

— функция 108Специальные функции 102Среднее значение 204Сходимость по невязке 34, 49— разностной схемы 153Теорема о неподвижной точке 63— о неустойчивости 143Теорема об общем решении

линейных уравнений 79, 94— об устойчивости 141— об устойчивости асимптотической

142— Стеклова о разложении по

собственным функциям 125— существования и единственности

решения краевой задачи 120— Тихонова о сингулярно

возмущенной системе 188— Чаплыгина о дифференциальных

неравенствах 10Теоремы существования и

единственности решенияначальной задачи длянормальной системы уравнений49

— — — — — — — — уравнения,неразрешенного относительнопроизводной 40

— — — — — — — — — первогопорядка 36, 61, 62

Теория возмущений 180Тождество Лагранжа 109Точка поворота 203— покоя 145, 148Тривиальное решение 78, 107Ударная волна 226Узел 146Уравнение Бернулли 29— Ван дер Поля 208— в вариациях 58— в частных производных 7— в частных производных,

квазилинейное 209— в частных производных, линейное

209

— колебаний упругого стержня 20— Лагранжа 43— линейное, первого порядка 26— линейное, n-го порядка 67, 73— маятника 15, 67—, неразрешенное относительно

производной 39— обыкновенное 7— переноса 17— Риккати 29— с разделяющимися переменными

23— теплопроводности 22— Эйлера 88— Эйри 102Условие Липшица 31, 46, 60Устойчивость асимптотическая 129— по Ляпунову 129— разностной схемы 160Устойчивый корень 185Фазовая траектория 9Фазовое пространство 9Фазовый портрет 149Фокус 148Формальный ряд 102, 191Формула Грина 109Фундаментальная матрица 94— система решении 78, 93Функция Грина краевой задачи 112— — обобщенная 117— Ляпунова 140—142, 144— положительно определенная 140Характеристики квазилинейногоуравнения в частных производных

219— линейного уравнения в частныхпроизводных 210, 214Характеристический многочлен 83Характеристическое уравнение 67,

71, 84, 96, 163Центр 148