第三章 第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 DFTDFT （二） （二）

Chapter 3

Discrete Fourier-Transform

（ Part Ⅱ ）

本章内容本章内容引言定义及举例基本性质 循环卷积、共轭对称等应用 计算线性卷积、谱分析

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

四种形式的傅里叶变换四种形式的傅里叶变换

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT定义

21 1

0 0

21 1

0 0

2

( ) ( ) ( ) , 0,1, , 1

1 1( ) ( ) ( ) , 0,1, , 1

N Nj nk nkNN

n n

N Nj nk nkNN

k n

jN

N

X k x n e x n W k N

x n X k e X k W n NN N

W e

其中，

NN

DFTDFT 的图形解释的图形解释

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT的一个例子

( ) sin(2 1000 ) 0.5sin(2 2000 3 4)inx t t t 输入信号：

8000Hz, 1/

( ) ( ) sin(2 1000 ) 0.5sin(2 2000 3 4)s s s

in s s s

f t f

x n x nt nt nt

采样率

8,

(0) 0.3535 (1) 0.3535 (2) 0.6464

(3) 1.0607 (4) 0.3535 (5) 1.0607

(6) 1.3535 (7) 0.3535

N

x x x

x x x

x x

取

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT的一个例子

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

27 78

0 0

7

0

7

0

7

0

7

0

( ) ( ) ( ) cos(2 8) sin(2 8)

(0) ( ) cos(2 0 8) sin(2 0 8)

(1) ( ) cos(2 1 8) sin(2 1 8)

(2) ( ) cos(2 2 8) sin(2 2 8)

(7) ( ) cos(2 7 8)

j nm

n n

n

n

n

n

DFT

X m x n e x n nm j nm

X x n n j n

X x n n j n

X x n n j n

X x n n

输出：

sin(2 7 8)j n

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

7

0

2 ( , )

1

(1) ( ) cos(2 1 8) sin(2 1 8) 0.0 4.0 4 90

2 1 8 1000

( ) 1000

s

n

m N f mf N

m

X x n n j n j

Hz

x n Hz

,称 为分析频率 相对于数字频率 ，如相对于 则为

时，第一个频率项为：

=其分析频率 或说明 中包含有 的信号成分

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

7

0

7

0

7

0

7

0

(2) ( ) cos(2 2 8) sin(2 2 8) 1.414 1.414 2 45

(3) ( ) cos(2 3 8) sin(2 3 8) 0 0

(4) ( ) cos(2 4 8) sin(2 4 8) 0 0

(5) ( ) cos(2 5 8) sin(2 5 8) 0 0

(6)

n

n

n

n

X x n n j n j

X x n n j n

X x n n j n

X x n n j n

X

同理，有如下频率项：

7

0

7

0

( ) cos(2 6 8) sin(2 6 8) 1.414 1.414 2 45

(7) ( ) cos(2 7 8) sin(2 7 8) 0.0 4.0 4 90

n

n

x n n j n j

X x n n j n j

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

7 7

0 0

(0) ( ) cos(2 0 8) sin(2 0 8) ( )

(0) 0 0n n

X x n n j n x n

X

直流分量：

本例中，经计算 ，说明原序列没有直流漂移

作业作业一、对以上例子中的输入信号，在以下几种情况下用 DF

T作谱分析，画出幅度谱和相位谱 ,并对每种情况进行分析，说明采样频率和 N对谱的影响。

1. 采样频率为 3000Hz ， N=8

2. 采样频率为 4000Hz ， N=8

3. 采样频率为 4000Hz ， N=16

4. 画出采样频率为 4000Hz ， N=16的时域抽取 FFT算法流图5. 编程序实现第 4步中的算法（可选）

( ) sin(2 1000 ) 0.5sin(2 2000 3 4)inx t t t 输入信号：

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））练习

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT和 Z变换的关系

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT基本性质序列 离散傅里叶变换 (DFT)x(n) X(k)

y(n)=ax1(n)+bx2(n) Y(k)=aX1(k)+bX2(k) a 、 b 为常数 线性x((n+m))N.RN(n) X(k) 时域循环移位 x(n ) X((k+m))N.RN(k) 频域循环移位

x*(n) X*(N-k) 复共轭序列的 DFT

X*(N-n) X*(k)

x(n)* y(n) X(k)Y(k) 时域循环卷积定理

nmNW

kmNW

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT基本性质

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

DFT基本性质

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））循环卷积的计算

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））循环卷积小结

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT共轭对称性

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT共轭对称性

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT的应用

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT谱分析相关问题

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

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3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））