Post on 11-Jan-2020
����������� �������� ���������
�������������� �� ���� ����
��������������� ��������� ������� �� �������������!
"�� ����#�����������������$�����������������%���&��� � ��� � ���� �'
���#����$�������#������������!� ( ������
����∧+=
���� �������#�������)������ ���� �
�(���$����&������� ����$���������
����#��������
* �� ��������������
"�� �� ��#�����������������$����� ���+������� ������ $( ��ρ �� �� �������
$( ���
������ �������������������� ��������������������� �
���� ��� #�����
�������� ��&���� �
�����&�������
,ερ=⋅∇ �
��$�����������������-.�� (��
,=⋅∇ ���
$�����������������-/���( φ�
� �������������
�
��
∂∂−=∧∇�
��$�����������������-/�����0(��
���
����
�
∂∂+=∧∇
�
��
����
,, εµ $�����������������-���1��(�
� "� �� ���
• �%� ��� 0 �1���%�������� ��##���������� $���'�������%����� ���+�������
������ ����������������������������� ����
$ ��� �����%� ����'������
�� ����2
• "�� �� ��������� ������ (�� �� ���+����� ����%����� ���#���� $������ �
����� ,��� =+∞→
�
�$ ,��� =
+∞→�
�
3��������4� ��� � ��������� �������� ���������$���� ,��
��+ �5 ,�
�� �
����������#������ ������������ ��� � �������2
������������ ���� �����������������
����������� �������� ���������
�������������� �� ����� ����
• 6�������&��� �������� ���%������� �������������������� �������2
• �� ��� �� �������� ����� ������� $ ��� ���� ��� ���7��� &���+��
��� ��%�� ������'�%������������ �������2
• �� �������� ��� &���+�� �� � ��� �� �������� �����+�� ρρρ += $
�����+�� ���
+=
• 6����������� ������ �%�������� ����������
8 �� �������� '����&�������$��������������� ���� �
�
8 �� �������� �������������$����������� ���� �
�2
��� �$ ��� �� �� �������$ �� �� ���� �� ��������� �� ���� ����� 2 (�%� �
����������������%������������������������
• �� �������� ���������&� �� 2
3�����&��� ����������� 9���� �� ��� �� �� ��������� ��� ��&������� ���
��������������#����������������2
3�����&��� ��� ���������� 9���� �� ��� �� �� �������� ��� ��&������� ���
��������������#����������������2
6�&�&���������� ��������%�������������� �������������� �������������
&��� ���������1��� ����)����� ������#����������������2
����������������������� ������������������ ��� ��&���������������
�����������������-���1���
���
����
�
∂∂+=∧∇
�
��
����
,, εµ
��� �$���� ���'����&��������
���
����
�
∂⋅∇∂+⋅∇=∧∇⋅∇=�
��
�������
,, (, εµ
��� ��
�
∂∂=
∂⋅∇∂ ρε��
, $�����%����������&���� ,=⋅∇+∂∂
�
��ρ
��� �$�� �������� ��������� ����������+�� �&������ ���������� ��&�����
�� �� ������ (��� � � �� #��� �� �� ����� ������������� �� � #��� �� ���� ��� ��
�������� ������� ����� ���&���#��
* �����������������-.��
6��,ε
ρ=⋅∇ ���
$���� ����� =⋅ τρε
����,
��
�������1����.�� � ��������7��� ��� #���2
� �����������������-/���
6�� ,=⋅∇ ���
����������� �������� ���������
�������������� �� ����: ����
"��� ��� ����7��� '#������ ��&���#2
6�����������%���%��� �%���������� ρ �������������������������%�
7���� �� ���&��������;����������������<2
" �����������������-/�����0
6���
��
∂∂−=∧∇�
��
(=����1��>
• ���������$ ���%� ��� '�������������� ��&���&�$��������&������� �%��
��������� �������2
• 6����� ����� ����� ������� ���
8 �� ������ ρ
8 ��&���������� ��
6�&��������%� �'�%���������������1�� �%������������������������������
����������� �� ���� ����������������� 2
• 4���������� ���
6����������� � ������
+= $�5 ��
������������������������ ������ $�� ���
��� ���
,
ερ=⋅∇ �
��$�� ,
���=∧∇ � ?��������&�+����������������� �������
,� =⋅∇ ���
$ ���
��
∂∂−=∧∇�
��
� ? �� ����&� �� ����� ��� � ��� ��������
������� �������2
6������' ��
������������������������$��' ���
���������������� &�� ��2
@� ��#��������� ��� ������� #�������/������$�� �������� ��&��������
,
���=∧ ��� $�� ,� =⋅ ���
��
• �+ ������������� ���������� �
6��
�
��
�
��
∂∂+=∧∇
∂∂−=∧∇�
���
���
,,, εµµ
A� �%0� ���� �� �%����&����� �� ����� �
,µ ��� �� ( � �� ��� �� '������ ��
�&�������� ;������ ���������� <$��0���� B�������������'�7�����C
� �����������������-���1��
���
����
�
∂∂+=∧∇
�
��
����
,, εµ
����������� �������� ���������
�������������� �� ����� ����
• 9����1���%���1���
A��%� ���� &���#������
6�������� ���� ������� ��� ⋅∂∂+=⋅ ��
�
�� �� �
��
��
,,, εµµ
• 4����� �� ���
8 ��������� �
8 ��&���������� ��
A�� ����� ������ ����� ������ ������������� ���2
• ;��������������������<
8 "�#��������
�
�
∂∂�
,ε � � �����1�� ' ��� ��� ��� �� ������� (��� �!���� ���� ��� ��� ��� ��
������� 26���������������
�" ∂
∂=�
�,ε
6� ���� ���� ��������� �� �����1�� �%���1�� �&�� ��� ����� ��� ��+�� ��
;�������� ��<
8 D��� ������������������������
o 4�� #�����������
����
,µ=∧∇ �%� ��� �������+���&������ ���������� ��&�����������������
��������
6�����##�� ������
⋅∇==∧∇⋅∇ ,, µ $������ ,=⋅∇ ��
������ �#������������2
A�#��������7��������������� ����������2
�%�������� �� �������-.�� �� �� �� ����� �� ��� ��&����� �� �� ������
����������������&���%�����������������-���1��2
o 4�� #�������+���� ������� �� ������������� � �� �� ����� �� ������ ��
����� ��������������
�
Γ
6�� ��� Σ⋅∧∇=⋅ ��� ��
�����
( 4��� ���� ���� ����
,µ=∧∇ �
6����������� ��#��������� ������ ,,
µµ =⋅=⋅∧∇ ���� ΣΣ
�����
�������� ��#���������� ,��
, =⋅=⋅∧∇ ���� ΣΣ����������
µ
������ ������������������ ����� ���� ��#��� %�������� �����)���������
(� �������������������������
��
∂∂+=∧∇�
���
,,, µεµ
6���
����
���� ,
,
,,
( µεµ =⋅∂∂+=⋅∧∇ ���� Σ
=
Σ
��
����
�
������� Σ=
Σ⋅
∂∂+=⋅∧∇
��
( ,
,
, ���
����
��
����
�
εµ
����������� �������� ����������������������� �� ����E ����
4��� ���� ������������ ������ � �� �##����+���$������ �����
,εσ=
������,ε
#��� =⋅����
������� ��
# =∂∂
$������ ����
�,,,
�
µεµ =⋅∂∂
���
�
/ 9����1���� ������ �����
4������ ���+����� $( �
ρ �������������� $( ����
������� ���+����� $( �� �
ρ ������� $( �� ����
���� 22$22( �� ��
µλρµρλ ++ ��������������� 22$22( �� ��������
µλµλ ++
3��������
��;��������<�� ������ �����&���������� �������� ���&�������������1��2
. ���������������
����
2
����������������������
�� �������� ���������-/�����0 ���������-���1���������� ��� ��
����� ���� �
� ��������� 26�������##����'������&�����0 ����$�������
�����������������$���������������������� ���� $' �&��� ���� �
�
(�%� �������������������������� &������ ���&������� ������ �
����� ���� ����� ���� $����%�������� �� ���������
�������� �����������$���%0���� ����������
(��������������%��������$�%� ������ ��� ��� ���������'���������
� 9��� #���������� �����
• �� ����������+�1���6���� ��1��������#�������� �������� ����!$�5�!� ������� ������'��
&��� �$�����������'�2
6����� ����
$ ������������ ���������� �$ F$F ����
��� �!2
8 "�� �$�����#������������! ( ���������
∧+=
8 "�� �!$�����#������������! FFF(FF ���������
∧+=
• ��� ��&���������������� F�� =
• 9��� #�������������������8 /������������� ������
��������&�������������$ F����
= $ $����� += F
"��� FFFF ����$�����������
∧+=∧+∧+ ���� F��∀
���������#�������$������� �$������
∧+=F �� ����
=F
����������� �������� ����������������������� �� ����G ����
8 "� �� ����
6� ��� ��1�� �� #�� ��#��� ���#�������� ������ �� �� � �������� λ �
�����H���'��&��� �$�
������
"�� �!$��#��� �#��������� �
���
,�F
πελ= $ ,F=�
�
"�� �$ F�
, ��
$�
���≠= θ
λπ
µ
8 ������ ������ #������ ��������&��������������� %������������ 2
�%�������������� ��� ��������� ����������&� ��2
• 9��� #����������� ����������
6����������� F����
≠ $ $����� +≠ F
6���������
��
$����
���
$��
��
��
��
��
∧−=
∧+=
F
F
3��������
6�&��� �����%�������������� �����������#���� ������������ �������
��������������������; ���<$������������������� �����1��' �
�2
6��+�������� ��� #������ 0�������� 2
���� ���&���+�� �������������������������
$�
2
"�� �%�����������������
6����� �
����
$��
����
��
,2�FFF
επλ==∧−=
�� % �
��
$�
�
$����
����
��
,2�FF
επλ∧=∧+=
"��� θθλ
πµ
πελ
�
$�
�
$�
���
��
,
,
�==
3��������
�� #���$ ����� #������ #�� ��� �����&���� �� &��� � �� �� ����1�� � �
���� �������� ������&� ��$ �� ���� �%� � �� �)�� ��� � ���� ,ε �� ,µ (���$
�������&���&���$&���#���� �
,, =�µε
: ������������� �����
6���
��
∂∂−=∧∇�
��
�� ���
����
�
∂∂+=∧∇
�
��
����
,, εµ
����������� �������� ����������������������� �� ����I ����
• ���� ���
6�� ���
����
�
∂∂+
∂∂−=∧∇∧∇
�
�
��
�����
,,, ( εµµ
��� �����������
� ( ( ∇−⋅∇∇=∧∇∧∇
"����
�
��
∂∂+∇=
∂∂−∇
�����
,
,
�
�
,,
� µε
ρεµ
4����
�
∂∂+∇=��
�
,
,
µε
ρ�&�� �
,, =�µε
(3������ �����������%����+������$�
�
�
�
�� ∂∂−∇=
�
��� �$��� ��&��� ,=ρ $ ,��
=
"��� ,��
=� ?�� �������J� �%�������� �%���� ��� ���� �&����� ��������
,,
µε=� 2
"�� ��������$���%���� �%���������%������� ������������������� �
������+�����������1��
• ���� ���
6�����&������)������1�� ����
∧∇−= ,µ
6��+�������� ������������������������� ������H������ ��&����&��
�����������,,
µε=�
�������������������
3��������
�� ��������� �� ��� ��� �� ����� ������������ $ �� �� ���� ���#�� ����&�� ��
��������� ��� �������� �� �� ��0 ����$ ��� ������� �� ��������� ���� �%�##�� ��+��
������������� �2��� ����������� ���� �
� ���������� $���%� ��� �)����2
� ��� ������� ��������� 3�����
• ��������� �������$��� ,���
=∧∇ � $����������� ��$������ $� ∇−=��
6���)�� ���� ,
+= ��� τπερ
�
$
• ��������� �������$��� ,=⋅∇ ���
$��������� �� ������� �
���∧∇=
6���)�� φτπ
µ ∇+= ����
��
�
�
,
�����������-&������� ����7��� ��#������������2
����������� �������� ����������������������� �� ����K ����
� ���������&������
6���
�
��
∂∂∧∇−=
∂∂−=∧∇
��
���
"��� ,�
���
=���
����
�
∂∂+∧∇
�
�
��� �$����� ��$������ $�
� ∇−=
∂∂+
��
�
6��
$�
∂∂−∇−=�
��2
: ������ ���
6�������� ������������ ������������������������ ������� ����'
$∇−�
$��������� �������� &�� ���'�
∂∂−�
2
6����� �����&��������� �������� $( $( $ �����
↔
* @���� A�������������� ���� ���������
8 4� �� ������������&������$���� φ∇+=
��� F �������� $( �
��φ∇ ����
�� ����&����2
8 ��� $&��� ���������
6������
$
�
$�
∂∂−∇−=
∂∂−∇−= F
F
��
���
"����
$$∂∇∂+∇=∇ φ�
��F
6� ��
���
�
∂∂−∇=∇
�$$
φ��F
������ (F �&�
$$ +∂∂−= φ
� "�#�������
• L��7����$�%� ��������� $( $ �
• L������ #����������7����$�%� ������������� F$F( $( $ $ ��
→
• �����������7������%� ������������� ���������������%������ �'
��7����(������������
����������� �������� ���������
�������������� �� ����M ����
� @������������! �����������7������������!
�������������7������������!$�%� � ,�
=∂∂+⋅∇
�
$
� ��
2
8 ����� ���7'�����1��2
8 6�&������%������������ �����#��� ��&����� ������ 2
8 ��������� �������$��������&���7������������+2
� ��� �����
A�0��� ������� C
: D���������
A�0����)�������#�����C
� �������� ������������
�� �������� ���������-/������������-/�����0 ����������� ��� ��
#����)���%����� �� ���$2
6������� �
,ερ=⋅∇ �
��$ �
��
����
�
∂∂+=∧∇
�
��
����
,, εµ
• �����������������-.�� �
6��,ε
ρ=���
����
�
∂∂−∇−⋅∇
�
$
���
"���,
�
ερ−=
∂⋅∇∂+∇�
$
���
��$�&����7������������!�
,
�
�
�
�
ερ−=
∂∂−∇
�
$
�$
�
6�,ε
ρ−=$
• �����������������-���1���
6�� ���
����
�
∂∂−∇−
∂∂+=∧∇∧∇
�
$
��
������
�,
( µ
"����
�
��,
� (
�
��
$
�
∂∂−�
�
���
�
∂∂∇−=∇−⋅∇∇
��������
µ
��� ����� ,�
����=�
�
���
�
∂∂+⋅∇∇
�
$
� $
6��������J���������� ��
,µ−=
����������� �������� ����������������������� �� ����, ����
• "� �� ����
8 ������������� �������� ���������������%����+������2
8 6������������� ���$$������ ���� �����+�������� ������ 2
8 �������������7������������!� �������&� ��2
E ����������������
• 4��������� �������� ������������ �
�
$ρ
ρ ��
��� ����� ���� �������� ����������� 2
6������������ $( ��$ $ $( �� �
2
�� �������$����(�������� '� =
���= τρπε
�
'�$
(
�
(
,
���= τπ
µ�
'�
(
� ( ,
��
6� ���� ������� ��� ��� �� �� �������$ �� ��������� ��&��� ���
��������
���−= τ
πµ
�
�'�� �
$(
� $( ,
��
���−
= τρπε
�
�'��$ �
$(
�
$(
,
• A��������������4��� ���������������#���������'$������ �#��� �������������� ���
�%��#������������������������ �����$�%�5�����������������������2
�� ��������+������ �������0 �������� ��� #�� ����2
��� ��� �� ������������ $ ��� �� �����&����2
��� �$���)����� ���������H��� $(��' −ρ �� $(
��' −
���� $(
��' +ρ
�� $(��' +
� � � �� � �������2 ��� ����� ������� � � ���� ��� #�� ����
��0 ��������$��� ������� ����#�����������#��������������������� �#���
������������%�����%�������2
3������ �� ��������� �� ��� ��� �� ����� �� ������$ �� �%��� ������
����#���������0 ����2
" @������������+ @������������+
6��$��7������������+$ ,=⋅∇ ��
����������� �������� ����������������������� �� ���� ����
� �������� ������������
• ����$��
6��,ε
ρ=⋅∇ ���
"���,ε
ρ=∂∂⋅∇−∇⋅∇−
�
$
����
$ ���,
�
ερ−=∇ $
�
6��+�������� �������������� ��������
���= τρπε
�
�'$
$(
�
,
• ���� ���&�������7����$����������&����+���������� ����������
�
$
�
∂∂∇+−=
���
�,
µ
������� ��������������������������������� "�� ������������������
,ερ=⋅∇ �
��$�� �����+�� ρρρ += 6��������������%������������ '
��⋅∇−=���ρ
�
��
∂∂−=∧∇�
��$�� ������������2
,=⋅∇ ���
���
����
�
∂∂+=∧∇
�
��
����
,, εµ $�� �����+�� ���
+= 2�����#�� $�
'�
∂∂−∧∇=�
������
* "�� ���������=A �����������������
6��
�εε
ρ,
��+��=⋅∇��
$ ,���
=∧∇ �
�� ,=⋅∇ ���
$ ��+��, �
���µµ=∧∇
� �������� ��� �N���
6� ���� ��������� �� #������� ���&������ ��� �N��������2
��� �$ $( $( ω����� → $�&�� 3�( $( 2������ ω−=�
6�����
�εε
ρ
,
��+��=⋅∇��
�5 ε � ���������$
�� ,=⋅∇ ���
$
�� ������
ω+=∧∇
����������� �������� ����������������������� �� ����� ����
����#�� ( ,��+��, ���
����εωεµµ −=∧∇ �5 µ � ��� ���������2
: ��������&����+��
6���������� �������� #�������/������ �+∞
∞−
−= ωωπ
ω ����� �� 2 $(�
$(
�
�� ���������������������� ��������� ������!����������"���
$( ��σ
$( ��
��
� �������
2
������������������� ����������������
�
��
∂∂−=∧∇�
��
6�������
����
�����
φ
������� ⋅−=⋅∂∂−=⋅∧∇=⋅ ���
��
���
�
���� ��
��������%���� �������&�� ,$�� ��#�����&��������� ����� ��������
��#��������� �&�� ,2
��� �$ ,�
=− (( ����
2
� "� ������������������� �����������
• �� ��������
6� ���� � ��%�� � � �� ������ ��� �N���$ �� ��� � � �� �+�� ��� ��%��
������ ���� ����'������ #�������/������2
6� � ����
�εερ
,
=⋅∇��
�5 ε � � ��##����� ���� �������� (��� ��� ����
��� ��������� ��%�� ���� ��� ��������=A
4���,
(ερ
ε =⋅∇ �
��
����������� �������� ����������������������� �� ����: ����
��������&������ ( ),
$��$ εσεε =⋅− ���
���(σ �����������������������
�� ������ ��+��
"%�5 ���
���
,
$��$ εσεε =−
• �� ������������
��� ��� $�$ == εε $��� ������
,
� εσ=−
* �������
2
������������������� �����������
6�����7��� ��� ,=⋅∇ ���
$���� ,$�$
���=− �� ��
� "� ������������������� ����������������
• �� ��������
( )���
����εωεµµ ,, −=∧∇
6�� ��� ⋅∧∇=⋅ ��� �������
"� ��� $ �� � � ������� �� �� ����� ���� ������������$ �� +∞→
� �� ��
�����������$ ���� �� ���� ����&�� �� ������+����� �� �� ��� �%����� ���
( )���
����εωεµµ ,, −=∧∇ �������
�
��
�
,µµ
=∧∇
4��� ���
�
(
( ����
∧=− ,
$
$
�$
�$ µµµ
• �� ������������
��� ��� $�$ == µµ $������� ����
����∧=− ,� µ
• "�� ������������ ��#���������������� �������$������&������0�� ������������
�� � ����� $�5���%0��� ��������������� �+��$�������������� ��
��������� ��#������(��&��������
�� ���������� $��%�����������������%�� ��#���2
�����%�������������� ���
�����&������������$��#���#��������������������
6� &� &��� ��� ��� �� �� ����$ ��� ��� �� ������� �������$ �� �������
���� ����������&�����$��������%���%��� �� �������� 0�������� �����
��
��σ 2
����������� �������� ����������������������� �� ����� ����
8 4���� �� ������ ����� ��%�� ������$ �� ���� ����� �)�� �&��� ��
������� ��� ����� ����� ��#������ ��&�����#�������%����������
�
���
→
��
8 ����������������&�������������������� ��#����
4������������� ��#������$ +∞→�
���� ��#���?��� ���
2σ= �� ��
� �#���2��� ��
( ��������������������$σ � �#���$�������� �������� ��%� ��� �$��
���� ,��
=� $ ��� ,$
$
�$
�$�
��
=−
(
( ��
µµ
�� � $�$ == µµ $ ,$�$
���=− (( ��
(� 4� �� � �� ���������� ���#���$ σ � � ��#���$ �� � ����� �� &�����
��#���� 2��� �$ ' �� ��#���$ �� � � ��� ��� ���� +∞→
� �� �� � ���
������ ����� ��#������2��'�%���������$ ,��
=� ���� ,��
= 2
��� �$ �� ������ &����+��$ �� ��� ���� �� ������� ��#������ � � �� ��
�����������$�������� ����������������� ��������� ��2
���#�����$��%�� �������������%�&��$��%�����'���������� ������+��
"�#�������
�%� ���� ��� ρ � ������������������ �� , $(���
=�
6�� ����� ��������� �������2
� �������� ���������
,,
,,
=⋅∇=∧∇
=⋅∇=∧∇
��
��
�����
�����
ερ
: �����
• ,��
=�
• ������������ �������2
����������� �������� ����������������������� �� ����E ����
* 3�������������� "�#�������
�%� ���� ��� ρ �� � �������������� ������ 2
6�� ����� ��������� �������2
���������� ,=⋅∇ ��
(��� ��&���������������
� �������� ���������
,
,
,
,
=⋅∇=∧∇
=⋅∇=∧∇
��
��
�����
�����
µερ
: �����
�� ����� �����������
• ��� ��������
�
• ��� �������� ρ $�%� ����)���������%�������������� �������2
� 3�����&����+�� "�#�������
�%� ���� ��� ��� ρ ������������� 2
� �������� ���������
�� ����� ��� ��������
,,,
,
=⋅∇���
����
�
∂∂+=∧∇
=⋅∇∂∂−=∧∇
��
��
��
��
���
���
���
��
εµ
ερ
: �����
�� ����� ��������� 2
����������� �������� ����������������������� �� ����G ����
" 3����� ��� �-��������� ��������������� ������ ��� �8��������� (�3O�
'
�
$( ��ρ
$( ���
6���������� ��������� ����� �
������ ��������� �����τ ��&���������� ρ �� �2
��������������������''�� � P
�� ��%�� ������� �%������������� �� ������ ��� �8��������� $ �%� �
��� ��������� τ<<� P �F� �8'8������������������� ���������+������������'��&����������
ρ �� �2
� ��������� ��������
• ������ ����� ����� $���&����
���−
= τρπε
�'�
�'��$ �
$(
�
$(
,
$ ���−= τ
πµ
�'�
�'�� �
$(
� $( ,
��
2
��,P ερ−=$ $
��
,µ−=
• �&���%�3O��
6�� ���= τρπε
�'�
�'��$
$(
�
$(Q
,
�� ���= τπ
µ�
'�
�'��
$(
� $(Q ,
��
��� �$��������������������&����������������� �������2
��������� �� �������� �
,
� Qε
ρ−=∇ $�
$ ���
,
� Q µ−=∇ 2
�%� ���������� ������ ������������&��� ���������1��� ���#����2
(6�����&���#������ Q$ $ Q �
&���#�������7��� ��7������������!
: �����Q�
�
�� Q��
�������� 2
• 6������
$�
∂∂−∇−= Q
���
�� ����
∧∇=Q
• �������� ����������
8 ,Q =⋅∇ ���
8 �
��
∂∂−=∧∇ Q
Q
���
�� ���������1�� �������� ������7��� �������� �
8 ,
�
�
�
,
ερ
ερ ≈
∂∂+=⋅∇
�
$
����
����������� �������� ����������������������� �� ����I ����
8 �
$
��
∂∇∂−=∧∇ Q
Q�,
����
µ
��� ���������� ������������
$
� ∂∇∂ Q
�
�
�
�����������������&��� ���� ���� $$ �
,
∇≈−=�
ερ
�F� �8'8���� $�
$
�$ �
�
�
�
� ∇≈∂∂−∇
��$ ���
,
�
�
�
,
ερ
ερ ≈
∂∂+
�
$
�2
��� ����� �� ������������� #���� ��� ��� �� �� ����&�� �%����� �$
�������%����������
$
� ∂⋅∇∂
�
�
2
� 3�������� �8�������������������;��� �-������� �������<
• "�#��������
�%� �������������������� ������� ��%������������������� �������2
�F� �8'8�����
�
����
��
,Q
,Q
µ−=∧∇=⋅∇
����������
�� �%� � �� �
�
� ∂∂�
�
��� � � ��������+�� ����������$ ��� � ������+�����
���+��� ��� ��%�� &� �������� �� �������� 2 �� #���$ �� ������ #���� ����� �)��
�%��������� �%����������������� �������������� ����������������1 ������2
• ��� ������� ���� ����� �
8 4��������� ����%� �������������������� �������2
(��
6����� θπµ
���
����
(2�
(Q ,=
8 4��������� ���
�
��
�
∂∂−=∧∇
=⋅∇
Q, �
��
��
ερ
• ��� ������� ���� ��������� �
,
� Qερ−=∇ $
�$
���
,
� Q µ−=∇
��� �$������������ ��������������������� ���� �
�$�������������������
�� ���� �������������2
• ��� ������� �� ��
8 ���������������
6�� ����
,µ=∧∇ 2"��� ,=⋅∇ ��
����������� �������� ����������������������� �� ����K ����
8 ��� ��&����������������
6���%��������� ,=⋅∇+∂∂
�
��ρ2
"������������������∂
∂ρ?��� ��&�������RR
��#���$����������$H��%��� �� �� ����������������� ��������������
����0 ��������� ���������
�
�, �
,S�
6�� ,=∂∂+
∂∂
�
�
ρ
*�����
���������
�����
�
��
�# ��
�
��
� ( (2222 ,,
,
,
,
,
+−=∂∂== ��
++ ρρ
"��� �+
∂∂=+−
��
���
����
,
,
2 ( ( ,,
ρ
4������������ ���1 ������������� ���$������� ( ( ,, ��� +≈ ���
,=∂∂�
$����� ���� �
+
∂∂��
���
�
,
,
2ρ
� ���������+����&��� ( ,� �� ( , �� + 2
8 6�� ,=⋅∇ ��
$���� �� �'#������ ��&���#2
��� �$ ��� ��#�� ���������� �5 �� ���� ��������� �%�3O�����������$ ��
�������� ����)����� ������#��'�������� ����$�)�� ����������������
������ 2
• ������������ ���%�3O������������8 A��������������������������
���� �� �����N�� ���&�� � ��� �� ������� ��� �����������$ �� ������ ��
����� ���������� &����+��$ ��� ���������� ���� �� ����� ���������� (&� ��
����������������1����� ����� �
��� ������������$ ����� �� ������� � � ��������$ �F� �8'8���� ������ <<2ρ
8 "�� ��������������������
6� ���� ���%��� ��������� ��� �N�������� == µε
6�� ( )�������
2Q ,, ωεµ −=∧∇
�� ���
2σ= $�&��τω
σσ2
,
�−= 2
6�&�������������� ���� �� ����������������%�3O������������
6����������&��� ����
2,ωε<< $�F� �8'8���� ωετω
σ,
,
2�
�<<
−$����������
ωετω
σ,
��
,
<<
+
������+������������$ G
, 42�,T −σ $�� 4A,T
,
−ε $ ,T E−τ
��������������%�3O�$��#���������� G 2���, −<<ω 2
6����������%������������������� �1 ��%����##����'�������2
����������� �������� ����������������������� �� ����M ����
E 3�������� �8���������������� �������;��� �-������� �������<
• "�#��������
�%� ���� ��%�������������� ������� ��%������������������� �������2
6������ QQQ $�
$� ∇−=
∂∂−∇−=
��
��$ ��� ,Q
���=∧∇ �
• ��� ������� ����������
8 ���� Q��
�
,Q���
=∧∇ � $,
Qερ=⋅∇ �
��
8 ���� Q��
�
,Q =⋅∇ ���
$�
�
��
∂∂+=∧∇ Q
Q�,
����
µ
6������������������������������������ ���� �
�2
• ��� ������� ���� ��������� �
,
�
ερ−=∇ $
�$
���
,
� µ−=∇
�)������������������%�3O�����������2
• �� �%������������
8 ��� ��� ρ � ��������� � 2ρ<< (�F� �8'8��������� ������ ��������
8 ������������ �����2
����(�� ��������������� ������������� ��������� ������
"�� �� �� ������� ������� �� ������� �������$ �� �&��� �� ���� �� 0������
P�%���� 0������������ ������� ���� ������ 2
A��$ �� �� ���� ��� ��� ������ �� 0������ ���� ρ �� � �������������� �%�� ��
�%�����$���������%���� 0������ ��������'���� ������� �##���� ������ 2
� 3���������� �������� ����������� 0��������
����������π �� 0������'��#�� ���� ��� ρ '������ ����2
���������
6�� ���−
= τρπε
�'�
�'$ �
$(
�
,
$ ���−
= τπ
µ�
'�
�' �
$(
�
,
��
"��� �π � ��������� 0���������� ρ �� �'������ ����$���� �%��� �
������$�� ��� �2
����������� �������� ����������������������� �� �����, ����
� �����
6�� ����
∧∇= 2
"������������� 0���������� �� ��%���� 0���������� �
�2
���
$�
∂∂−∇−=�
��$�������������� 0����������
���$��� ��� ���
���� ��2
+−−+−+
�
�
�
�
� $(ρ
: 3���������
4� π � ��������� 0���������� ��$����
,ερ=⋅∇ �
�������%� ��� ���
������ 0���������� ρ 24�π � ��������%���� 0���������� ������ 0������
���� ��$����
�
�
��
∂∂+=∧∇�
���
�,
µ �����%� ��������� 0���������� �2
−++−+−−+
��
�
��
ρ $( $( $(
* 3������������������ ��������������� 0�������� 2��������
���������� ������� �3O�������������������� �������
4�����N����������&����+��
6���� ��1���� �����N����#���$�����%���� � ����)% 2
• ������������������
6�� %������222,µ= (���� � <
�� ,��
=�
• ����������� �-����������8 ������ ��������� �
������+������������$ ,=ρ 2
"��� ,=⋅∇ ��
$�� ����
,µ=∧∇ ���������������� �� �����N����������
���������%����� ���� ����)����� ������#��2
8 ����� ���
6�� %��������
2(22 ( ,µ=
����������� �������� ����������������������� �� ����� ����
8 ����� ���
( 40������ �
9����������������%� ��������%���� 0���������� ρ �� �
"��� �����
$(=
(� 6������&��� ,=⋅∇ ���
$�����������&���#��+�����#��������� ��2
(: ���
��
∂∂−=∧∇�
���
6�� ������� ⋅−=⋅∂∂−=⋅∧∇=⋅ ���
��
���
�
���� ��
����
�����
"���$����������������������%���)%������0����
2 2(2(22� �
, �����
�� πµπ −=
4��� θµ ���
���
�
��
,�
−=
�������������
6� ������ ���%� ��� �����$��� ��%�����#���
�
�
��
∂∂+=∧∇�
���
�,
µ
6�������� ��7������������ ���������������&����� ����������������#
���� �����2
6��+�������� ������������� ����� ����� ( �� #�����%��� ����
� ������ �������������
�(�
σ σ−
%��
6�������� ���� �
�' �%����������������� ����� (��������� �� �##�� ��
+���
• �������� ��������
6�� ,=� $���� %����
,εσ= �� ,
��=�
• ����������� �-����������
8 Q��
�
,
Qερ=⋅∇ �
��
,Q���
=∧∇ �
"��� %��
����
,
( (Q
εσ=
8 Q��
�
6�� ,Q =⋅∇ ���
����������� �������� ����������������������� �� ������ ����
���
�
��
∂∂=∧∇�
��
�
Q
( 9���������������� %��
� ��������� 0���������� �$ ρ 2
"��� �%����
$$(=
(� �������� �����������)%����0����
�
,
�� 2(
2� �
����
��
�
�� σ
εππ =⋅=× ��
��
4��� θσµ �
��
��
��
,�
=
"��)��$������������������������������' ��C
* ��� ���� �������%��� ��������������&�−β2
���1��
��
6� ���� � ��� �%��� ��� � � � ������$ �� �� ������� �� ����������� ��
�������� �����������&���� �����2
��� �$��&��� � ������������������ ��������%���������������� 2
6������������ �����
$$$ρ
� �������� ρ (�������%� ����
6���� ��1����&����������� ��������� ��1�� ����0�� �� � + 2
��&��������������� �������� $��� �� �������� ���������� ��� ��
������������������ ����� ���������������� ���%���� ��� ��������$�F� �8
'8������%�������������
���� 2(−=ν �5ν � ������+���%�������� ��� ���
������2
��� �$�
���2�π
ρ = $ ����
��2�
2
πνρ −= (�� �
��
�#2ν=
: ���������
2
6�� �
��
���
�2�
22
πνρ −==
����������� �������� ����������������������� �� �����: ����
� �������� ��
2
���������� 0������ ��������$ �����
(=
��� ����� ,=⋅∇ ���
$���� ,��
=�
E �������� ��2
6�� �����
(=
9����1����.�� �
������� ��1������0��$
,,
,
�
� P(2�2 (2�
εεπρ
π ��#��#�
−=+
=× �
"��� �
��#�
��
�
,�
P(
πε−=
G U���#����������%�����������������-���1��R
6�� ,���
=∧∇ �
���
,22�
2�
2�
,
2
��,�,
����
�=×+−=
∂∂+
�
���
�#
��
�
�
�
�
εππνµµ
ν
� ��������������������������
• L�������� ( ��
�������������������� ( ���
(�����
• 6� ���� ���� ,=ρ $τ�
×= (
���
6������������ ��������
$(
$(
��
����
��
������� �%� ����2
6� ���� ������������������ �����������
6������ �� �������� ,=⋅∇ ���
$ ����
,µ=∧∇ 2
6��������J���� �������$' �&���τ�
��� ( $(
����=
����������� �������� ���������
�������������� �� ������ ����
� "�����������������������������
6������ ���� �������� �
,,
==⋅∇ερ
���
$ *�
�
��
�����
, ( µτ
=−=∂∂−=∧∇ �5
,
(
τµ�
*
��−=
6������������������������������ $���%�0����1 �� �&������2
"���� $ ������ ���������������������� �������$�F� �8'8������%���
������������������2
: 4���������� �
����� ����'������%�� �����N������0���2
6������ %�����
, µ= '�%���������
������ %� �
*
��
τ−=
��� �$���� � < $ θτµ
�
� � ��2
�
,−= $������ � > $ θτµ
�
�� � ��
2�
�
,−=