Единство в многообразии

Урок повторения и обобщения знаний по теме

«Применение интеграла» Учитель математики Андреева Зинаида Маркеловна

МБОУ СОШ №41 с.Аксаково Белебеевского р-на Республики Башкортостан

Пафнутий Львович Чебышев

«Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под её влиянием, она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных».

Интеграл –

это функция, производная от которой равна

подинтегральной функции.

- знак интеграла,

- подинтегральная функция,

dx - приращение аргумента

dxf(x)

f(x)

Интегралы бывают неопределенные

f(x)dx

dxxв

а )(f

и определенные, т.е. имеющие пределы интегрирования

и -пределы интегрирования ва

Свойства интеграла:

dxxcdxxc )(f)(f 1)

-постоянный множитель можно вывести за знак интеграла

2)

-интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов функций

dxxgdxxdxxgx )()(f)()(f

Геометрический смысл интеграла

в

)f(xy

dxxS ва )(f

Интеграл от функции на отрезке равен площади криволинейной

трапеции

S

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 1

Вопрос:

Решить уравнение

Сектор № 1

Ответ:

4

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 2

Вопрос:

При каком a выполняется равенство

Сектор № 2

Ответ:

-2;

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 3

Вопрос:

Решить неравенство

Сектор № 3

Ответ:

[-20; 0]

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 4

Вопрос:

Вычислить интеграл

Сектор № 4

Ответ:

0

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 5

Вопрос:

Вычислить интеграл на отрезке [-2; 4], если график функции

y = f(x)

изображен на рисунке

Сектор № 5

Ответ:

11

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 6

Вопрос:

В каком отношении парабола y = x2 делит площадь прямоугольника, вершины которого находятся в точках

А (0; 0), В (3; 0), С (3; 9), Д (0; 9)?

Сектор № 6

Ответ:

1 : 2

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 7

Вопрос:

Внимание! Черный ящик!

То, что лежит в нем – получено в результате вращения фигуры,

образованной графиками функций y = x вокруг оси ОХ на отрезке [0; 3].

Что это за тело? Каков его объем?

Сектор № 7

Ответ:

Конус

9π

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 8

Вопрос:

Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислить

Сектор № 8

Ответ:

0,5 π

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 9

Вопрос:

Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна

V(t) = 2t – sinπt.

Найти путь, пройденный точкой за время от 2 до 6.

Сектор № 9

Ответ:

32

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 10

Вопрос:

Сила в 4Н сжимает пружину на 4 см. Какую работу нужно произвести,

чтобы сжать эту пружину на 2 см?

Сектор № 10

Ответ:

0,06 Дж

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

Сектор № 11

Вопрос:

Материальная точка массы m = 1 кг движется по прямой под действием силы, которая меняется по

закону F(t) = 8 – 12t Н.

Найти закон движения точки, если в момент времени t = 1 сек, её координата равна 0 и скорость равна 1 м/сек.

В какой момент времени скорость точки будет максимальной?

Сектор № 11

Ответ:

x(t) = 4t2 – 2t3 + t

t = c

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 1211 12

БлицСектор № 12

Вопрос № 1:

Сложение (+) и умножение (∙) имеют по обратному действию, которые называется вычитанием и делением. Следующему математическому действию – возведению в степень – обратно, извлечение корня.

С какой математической операцией взаимосвязана операция интегрирования?

Сектор № 12

Ответ:

Операция дифференцирования

Сектор № 12

Вопрос № 2:

Слово «интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690 г.). Оно переводится как приводить в

прежнее состояние, восстанавливать.

Кто был родоначальником интегрального и дифференциального исчисления?

Сектор № 12 Ответ:

Г. Лейбниц И. Ньютон

Сектор № 12

Вопрос № 3:

В Древней Греции математики занимались решением задач на нахождение квадратур плоских фигур и кубатур тел.

Какие задачи к этим видам относим мы сейчас?

Сектор № 12

Ответ:

Нахождение

площади плоских фигур

и

объема тел