ДЛЯ РЕШЕНИЯ РЯДА ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ НЕ УДАЁТСЯ НАЙТИ

АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ, ТОГДА

ПРИБЕГАЮТ К ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ

МЕТОДАМ ИССЛЕДОВАНИЯ, ОБОБЩАЯ

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НА БОЛЬШОЙ КЛАСС

СХОЖИХ ЗАДАЧ.

ДЛЯ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ТАКОГО ПЕРЕХОДА

ПОЛЬЗУЮТСЯ РАЗЛИЧНЫМИ КРИТЕРИЯМИ

ПОДОБИЯ.

Два цилиндрических круглых

трубопровода будут геометрически

подобны, если все размеры одного

могут быть получены умножением

всех размеров имеющегося тела на

некоторый постоянный коэффициент.

.

Если два потока жидкости имеют

геометрически сходственные

ограничивающие поверхности и

скорости в сходственных точках

будут пропорциональны, то такие

потоки кинематически подобны.

Если для геометрически подобных

потоков жидкостей на сходственные

элементы действуют

пропорциональные силы, то говорят

о динамическом подобии.

Основные критерии подобия,

описывающие исследуемый процесс,

можно получить двумя способами:

• с помощью анализа размерностей;

• путем анализа дифференциальных

уравнений;

Рассмотрим метод Релея на примере задачи о теплообмене в трубе при турбулентном течении.

Необходимо найти коэффициент теплоотдачи , который зависит от:

• скорости u,

• динамической вязкости ,

• плотности ,

• коэффициента теплопроводности ,

• удельной теплоемкости жидкости c,

• диаметра трубы d.

Размерности этих величин в системе СИ следующие:

2 3; ; ; ;

; ; .

Дж м кг кгu

м К с с м м сДж Дж

c d мм К с кг К

Согласно теореме процесс зависит от 3-х безразмерных комплексов, (поскольку n = 7, а количество единиц с независимой размерностью k = 4; кг, м, с, К).

Представим коэффициент теплопроводности в виде:

0а б в г дС d c

где C0 – безразмерный коэффициент,

u – массовая скорость , введенная для упрощения расчетов.

2

кг

м с

(11.1)

Подставим размерности соответствующих величин в (1.1):

02 2

а в г дбДж кг Дж кг Дж

C мм К с м с кг К м с м К с

Поскольку размерность левой и правой частей

(1.2) должна быть одинаковой, суммируя показатели степеней

при одинаковых единицах измерений,

получим систему уравнений:

[ ] : 1

[ ] : 0 2

[ ] : 2 2

[ ] : 1

[ ] : 1

Дж в д

кг а в

м а б г д

с а г д

К в д

Совместное решение системы (3) дает следующие связи:

1 ; ; 1.д в г в а б а Подставляя полученные связи в исходное уравнение (1.1) получим:

1 10

а а в в а вС d c

Преобразуем (1.2) к следующему виду:

1

0

а вd d c

C

Обозначим безразмерные комплексы:

dNu число Нуссельта

Red ud

число Рейнольдса

Prc

число Прандтля

Таким образом, выражение (1.3) можно представить в виде критериального соотношения:

0 Re Prа вNu C где константы C0, а, в находятся из эксперимента.

Наиболее общий подход при использовании теории подобия - анализ дифференциальных уравнений движения, позволяющий определить КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ОБЪЕКТОВ.

Рассмотрим одномерное уравнение Навье-Стокса для подобных объектов 1 и 2:

.1

;1

22

2

2

2

2

2

22

21

2

1

1

1

1

11

22

11

x

v

x

pX

dt

dv

x

v

x

pX

dt

dv

xx

xx

Для выполнения условий подобия явлений необходимо обеспечить следующее:

x1 = Lx2;

vx1= vvx2;

= 2;

p1 = pp2;

X1 = QX2;

1 2,

где

L ,v, , p, Q ,

соответственно масштабы подобия длин, скоростей, вязкостей, давлений, сил тяжести, плотности.

Подставляя последние выражения в уравнение Навье-Стокса для объекта 1 и принимая во внимание, что t L v получаем:

.1

2

22

2

22

2

2

22

22

x

v

dx

dpx

dt

dv x

L

v

Lg

z

L

v

Для того, чтобы явления для объектов 1 и 2 были одинаковыми, необходимо равенство всех коэффициентов для всех членов (тогда уравнение для объекта 1 переходит в уравнение для объекта 2), т.е.

.2

02

LLg

L

v

Из полученного условия можно составить три независимых гидромеханических критерия подобия:

.1 ;1 ;1z

0220

gLv

Согласно первому критерию, который называется коэффициентом Эйлера или коэффициентом давления, имеем

;222

2211

1 constv

p

v

pEu

согласно второму - критерию Рейнольдса

constLvLv

2

222

1

111Re

и третьему - критерию Фруда

.2

21

1

21 const

gL

v

gL

vFr

Следовательно, для полного гидромеханического подобия ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости необходимо равенство Re, Fr, Eu.

В отдельных задачах возможно равенство некоторых критериев. Так, для определения потерь давления в горизонтальной круглой цилиндрической трубе необходимо равенство лишь критерия Рейнольдса, что соответствует одинаковому значению коэффициента сопротивления .

критерий Рейнольдса Re является отношением сил инерции к силам трения;

критерий Фруда Fr - сил инерции к силам тяжести,

критерий Эйлера Eu - перепада давления к силам инерции.

Из приведённых критериев можно получить ещё три критерия:

L

pEuFri

;v

pLEuReaL

;Re 2

v

L

FrtS ЧИСЛО СТОКСА

ЧИСЛО ЛАГРАНЖА

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УКЛОН

Все остальные сочетания из соотношений сил инерции, тяжести, трения и перепада давления будут обратными величинами приведённых шести критериев.

Для вязкопластичных жидкостей помимо приведённых критериев подобия имеются условия динамического подобия, обусловленные наличием сил пластичности.

Отношение сил пластичности к силам вязкости характеризует критерий Сен-ВенанаИльюшина

.ср

L0

vSen

Сил тяжести к силам пластичности критерий Стокса

0

LtS

Сил инерции к силам пластичности – критерий Рейнольдса

0

2CPvRe

Все приведённые критерии относятся к случаю

установившегося движения.

При неустановившемся движении появляется

дополнительный критерий подобия Sh = vt/L,

представляющий собой отношение инерционной

силы при нестационарном движении pvL3/t к

инерционной силе при стационарном движении pv2 L2

и называемый критерием Струхаля, или

гомохронности.

Получение критериев подобия на основе

анализа дифференциальных уравнений

рассмотрим на примере условий теплового

подобия, когда подобны температурные

поля и тепловые потоки (соблюдается

также геометрическое и гидродинамическое

подобие).

Для подобных, в указанном смысле, систем запишем системы уравнений, включающие уравнения теплопроводности (закон Фурье) и теплообмена (закон Ньютона):

2 2 21 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 2 2 21 1 1 1 1 1 1

11 1 1

1

( )T T T T T T T

u v w at x y z x y z

TT

y

2 2 22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2

22 2 2

2

( )T T T T T T T

u v w at x y z x y z

TT

y

Здесь

Ti – температура;

i – коэффициент теплопроводности;

ai = i(ici ) – коэффициент температуропроводности;

ui, vi, wi – компоненты вектора скорости по осям xi, yi, zi.

Вследствие подобия систем можно записать следующие соотношения:

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2

1 1 1

; ;

; ;

; ; ;

l t

U

T a

x y z tconst C const C

x y z t

u v wconst C const C

u v w

T aconst C const C const C

T a

(*)

Выражая переменные второй системы через переменные первой системы (с помощью (*)), получим:

1 1 1 11 1 1

1 1 1 1

2 2 21 1 1

12 2 2 21 1 1

11 1 1

1

( )

T T U

t l

a T

l

TT

l

C T C C T T Tu v w

C t C x y z

C C T T Ta

C x y z

C C TC C T

C y

Из условия тождественности двух рассматриваемых систем уравнений следует равенство всех коэффициентов (они должны сокращаться):

2 2

2

, 1;

, 1;

, 1;

T a T a t

t l l

U T a T U l

l l a

T lT

l

C C C C C

C C C

C C C C C C

C C C

C C C CC C

C C

1 1 2 22 2 21 2

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

a t a t atFo idem число Фурье

l l l

u l u l ulPe idem число Пекле

a a a

l l lNu idem число Нуссельта

ОТКУДА СЛЕДУЕТ:

Указанные критерии определяют тепловое

подобие систем.

Использование дифференциальных

уравнений для получения критериев

подобия возможно, если известен процесс

(который, собственно, и описывается

соответствующими уравнениями). Если же

процесс (apriori) не известен, то для

нахождения критериев подобия

целесообразно использовать метод Релея.