Post on 30-Dec-2015
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Ⅷ. 삼 각 비
1. 삼 각 비1. 삼 각 비
2. 삼각비의 활용2. 삼각비의 활용
1. 삼각비
1. 삼각비의 뜻
2. 삼각비의 값
3. 삼각비 사이의 관계
1. 삼각비의 뜻
c
a Asin)1(
c
bcos A)2(
b
atan A)3(
오른쪽 그림과 같이 C = 900 인 직각삼각형 ABC 에서 A
CB
c
b
a
직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각의 크기가 정해지면
어느 두 변의 길이의 비는 직각삼각형의 크기에 관계
없이 항상 일정하다 .
삼 각 비 의 뜻 Ⅰ삼 각 비 의 뜻 Ⅰ
요점요점
2. 삼각비의 암기법
( 빗변 )( 높이 ) Asin
( 빗변 )( 밑변 ) Acos
( 밑변 )( 높이 ) Atan
삼각비에서 sin, cos, tan 는 각각 sine, cosine, tanrnt의
약자이고 , A 는 A 의 크기를 나타낸다 .
A
빗변높이
A
빗변
밑변 A
높이
밑변
삼 각 비 의 뜻 Ⅱ삼 각 비 의 뜻 Ⅱ
요점요점
문제 ) 오른쪽 그림과 같은 △ ABC 에서 sin B + cos B 의 값은 ?
A C
10
B
8
106
AB
BCcosB
10
8
AB
ACsinB
풀이 ) △ ABC 에서 피타고라스 정리에 의하여 6BC
※ 활 용 예 제
57 sin B + cos B =
0 30 45 60 90A삼각비
sinA
cosA
tanA
1. 특수각의 삼각비의 값
021
22
23
1
123
22
21
33 1 3
1
12
450
450
1
600
300
32
삼 각 비 의 값 Ⅰ삼 각 비 의 값 Ⅰ
요점요점 ① 직각이등변삼각형의 세 변의 길이의 비는 1 : 1 : 이다 .② 한 예각의 크기가 600 인 직각삼각형의 세 변의 길이의 비 는 1 : : 2 이다 .
2
3
0
0
문제 ) 다음을 계산하시오 .
1) sin 60° sin 90 ° - cos 60 ° cos 90 °
2) sin2 60 ° + tan2 60 ° sin2 90 °
23
021
123
( )준식
4
153
4
3
1)3( 222
)23
(
( )준식
※ 활 용 예 제
풀이 )
2. 임의의 예각에 대한 삼각비의 값
cos 20 ° 의 값은 삼각비의 표에서 20° 의 행과 cos 의 열이
만나는 것의 값 이다 .
반지름의 길이가 1 인 4 분원에서
OBOA
OBx cos)2(
cos x
OBOA
ABx sin)1(
sin x
CDOC
CD
OB
ABx tan)3(
tan x
삼 각 비 의 값 Ⅱ삼 각 비 의 값 Ⅱ
요점요점
문제 ) 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1 인 사분원에서
tan x 를 나타내는 선분은 ?
CD1
CD
OD
CD
OB
ABtan x
※ 활 용 예 제
풀이 )
cosBAcosA sin )(900
sinBAsincosA )(900
tanBtantanA
1
A)(90
1
o
(1) 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형 ABC 에서
A
CB
c
b
a
A + B = 900 일 때 , A 와 B 를 서로 다른 각의
여각 이라고 한다 .
(1) 여각의 삼각비(1) 여각의 삼각비
삼각비 사이의 관계 Ⅰ삼각비 사이의 관계 Ⅰ
요점요점
cosA
sinAtanA
(2) 세 삼각비 사이의 관계 (3) 사인과 코사인 사이의 관계
1 AcosAsin 22
(4) 삼각비의 값의 변화
x 가 0º 에서 900 까지 변할 때
(1) sin x 의 값은 0 에서 1 까지 증가한다 .
(2) cos x 의 값은 1 에서 0 까지 감소한다 .
1
450 900 x
y
y=tan x
y=sin x
y=cos x
tan x 의 값은 0 부터 증가하므로 tan 900 의 값은
정할 수 없다 .
삼각비 사이의 관계 Ⅱ삼각비 사이의 관계 Ⅱ
요점요점
1Acos)135
( 22
문제 ) sin A = 일 때 cos A 의 값을 구하여 보자 .
( 단 , 0 < A < 90 )135
169144
16925
1Acos2
1312
cosA
※ 활 용 예 제
풀이 )
2. 삼각비의 활용
1. 거리 재기
2. 도형의 넓이
1. 직각삼각형의 변의 길이
sinA
accsinA,a 이므로
c
a Asin
cosA
bcccosA,b 이므로
c
b Acos
직각삼각형에서는 한 변과 한 각의 크기를 알면 삼각비의 값을 이용하여 나머지 두 변의 길이를 알 수 있다 .
tanA
acbtanA,a 이므로
b
aan At
C = 900 인 직각삼각형 ABC 에서
B
A
C
c
b
a
거 리 재 기거 리 재 기
요점요점
2
1
x
2sin30 0
문제 ) 오른쪽 그림에서 x 와 y 의 값을 각각 구하여 보자 .
3
1
y
2tan30 0 32 y
300
x
y
2
4 x
※ 활 용 예 제
풀이 )
1. 삼각형의 넓이
bcsinA2
1S
삼각비를 이용하여 삼각형 , 사각형의 넓이를 구할 수 있다 .
ABC 에서 두 변과 그 끼인각을 알 때
A
C
B
ba
ch
s
도 형 의 넓 이 Ⅰ도 형 의 넓 이 Ⅰ
요점요점
( 풀이 )
600 이고 AB = AC 이므로
△ ABC 는 정삼각형이다 .
즉 A =600 2
31010
2
1
sin6010102
1ΔABC 0
)(cm325 2
문제 ) 다음 도형의 넓이를 구하시오 .
600
A
10cm10cm
HB C
※ 활 용 예 제
3. 일반사각형의 넓이
sinxabS
삼각비를 이용하여 삼각형 , 사각형의 넓이를 구할 수 있다 .
아래 그림의 평행사변형의넓이 S 는
A
CB
D
xa
b
2. 평행사변형의 넓이
아래 그림의 사각형 ABCD의 넓이 S 는A
x
B C
D
a
b
sinxabS2
1
도 형 의 넓 이 Ⅱ도 형 의 넓 이 Ⅱ
요점요점
( 풀이 )
2
32030
2
1
sin60 BDAC2
1ABCD 0
문제 ) 다음 아래 그림과 같이 두 대각선의 길이가 각각
20cm, 30cm 이고 , 두 대각선이 이루는 각의 크기가
60 인 �ABCD 의 넓이를 구하시오 .
)(cm3150 2
A
600
B C
D
30cm
20cm
※ 활 용 예 제