Post on 15-Jan-2016
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~~ 2006
517(075.8) 22.173-2
34
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. . . - 4- . - .: -, 2006.-608 .: . - ( ).
ISBN 581121778-1
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( , , ), , ,
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ISBN 5-8112-1778-1
22.173-2 517(075.8)
- , 2005, 2006
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1. 1. ...................................................... 16
1.1. ....................................... 16 1.2. ................................ 17
2. ................................................. 20 2.1. ................... . . . .... ............. 20 2.2. ........................... ...... 22
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1. ... .................................... 24 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2. .
-............................ 30 4.3. .
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5.1. .......................... . .... . ....... 39 5.2. .......... ........... 40 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4. .
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6. ............ 47 6.1. .. ................ 47 6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.3.
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IV.
12. ............. 90 12.1. . .... ... ..... . . .. . . . . . .. .. . ............ 90 12.2. . .. . .... .. ... . .. .. . 92 12.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 12.4. ...... . . .. . .... ... .. .. 98 12.5. . . . . . . . . 101 12.6. .
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16.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 16.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 16.3. ~ 00 ........................... " 135 16.4. (...). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
17. (...) ....................... . . 136 17.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 17.2. ,
..................... ...... 140 17.3. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 17.4. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 144 17.5. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 17.6. ................... .. ...... 146
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20.4. , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 167
20.5. . . . . . . . . . . . .. 169 20.6. . . . . . . . .. 171 20.7. . . . . . . . . . . . 175 20.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
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23.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182
23.2. . . . . 183 23.3.
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24.1 . . .. .... . . . ............ 185 24.2. . . . . . . . 186 24.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 24.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188
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25. . . . . . . . . . . .. 192 25.1. ... 192 25.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 25.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200 25.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 25.5.
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26.1. ...................... 214 26.2. . . . . . . . . . . 215
VI. 27. ............... 218
27.1. ....................................... 218 27.2. .. . . . .. 218
27.3. .......... '............ 219 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
28.1. ........................... 221 28.2. ................ " . . . . . . . .. 221 28.3. ......................... 222 28.4. ...... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 28.5. . . . . . . . . . . . . .. 224
. 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226
29.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226 29.2. .................... 227 29.3. . . . . . . . .. 230
30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232 30.1. . . . . . . . . . . . . . .. 232 30.2.
( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... 234 30.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 236
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7
31.2. ..... 244 31.3: . . . . . . . . . . . . . . . . .. 246
32. . . . . . . . . . . . . . . . 248 32.1. . . . . . . . 248 32.2. J sinm . cosn dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 32.3. . . .. 250
33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 33.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251 33.2. - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253 33.3. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 33.4. J R(x; .../2 + + ) dx.... . ... . .... ... 255 33.5. r . . . . . . . . . . . 255
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VIII. 35. . .. 259 36.
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39.1. -. . . . . . .. .... ................ 269 39.2. ( ) . . . 269 39.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 271 39.4.
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40.1. ( 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 273
40.2. ( II ) .... .... ..... .......... 276
41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 278 41.1. . . . . . ... . .. 278 41.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 41.3. .. .... ..... . .. . . 283 41.4. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 41.5 . . .. . . . . . . . .. 289 41 .6. ... 291
42 . .. . . . . .. 298 42 .1. ................ . . .. . . ........ 298
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42.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 299 42.3. () . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 300
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43.1. ....................................... 304 43.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 43.3. . . . . . . . . . . . . .. 306 43.4. ,
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...... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 44.1.
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 308 44.2. ................ 310
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44.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 312 44.5. ...................... 313 44.6. . . . 314 44.7. ....... 316 44.8. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 317
45. .. . . . . . . . . .. 318 46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
46.1.0 ....................................... 320 46.2. ....... 321 46.3.
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47. .......... 325 47.1.0 ....................................... 325 47.2. ,
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48.6. ........................... 342 49. . . . . . . . . . . .. 344
49.1. ....................................... 344 49.2. , . . . .. . . . . . 346 49.3.
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50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 354 50.1.
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........................ 357 51.
() ....................................................... 358 51.1. .... 358 51.2. ............. 360 51.3.
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51.4. n- (n > 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 365
52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 52.1. .................. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 52.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 52.3.
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XI. 53. ................. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 378
53.1. ....................... 378 53.2.
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............ : . . . . . . . . . . . . . . . . .. 382 53.5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 386 53.6. ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 388
54. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 391
10
54.1. ..... ....................... ........... 391 54.2.
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54.4. ' . . . . . . . . . . . . 398 .
55. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 55.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 55.2. 1 . . . . . . . . .. 404 55.3. '
1 ..... .. ....... .. . . ... ........ . . . ...... . ............. 405 56. . ..... ......... . . . .. . . ... . . .. 407
56.1.0 ....... ...... . ... .. .. ... . . ... .. . ... .. .. 407 56.2. 11 . . . . . . . .. 410 56.3. - ... . . ..... ..... ... . ...... 412 56.4.
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11.5.
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IV. I 10-121 12.
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91
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95
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119
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, JCut1 = f(x),
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14.2. . .
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120
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u'1,, '1v,uu = f(x) - , , - .
, = ~
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. 99
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, , = f(x) .
u"t'1uil : . . , : , .
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121
, . .
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14.3.
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, , ! .OHOOHHL. , 1 - .OHOOHHL.. , , u.
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122
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, = sin 21; 41; 61, ... ( ) - = 21. , f(x + ) = f(x).
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14.4.
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, . = '(), = f(x), f(x) = ( ).
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2. = 2 , (; 1], = ..fij; , = 2 , (-1; 1], , . . -
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, = J(x) = () , . . . , , ,
(. . ) , - ,
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" . ' "il = f(x) = () ..'' ' "' .
14.5.
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14.6.
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1) lC. = , > , =f. 1. . 104 ,
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124
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.. ----
. 105
125
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. 106.
. 106
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. 107
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(, , , ) ,
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126
y=arcsinx
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. 108
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15. 15.1.
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_ ,
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127
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> , n N
. , , V N zn-.
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{ } QMY , . .
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128
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n-+ n
, N . , = 236' N= [2~] = [26] = [8~] =8; = 0,01,
N = [ ~ ] = [100] = 100. 100 N = N (). .
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-; +;
. 109
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N, n , n > N, - (. . 109). 5 ll.
129
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15.3.
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15.2. lim n = , lim n = -n---+ n---+
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15.4. , . .
. .
130
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1 23 .... n
= 1, = 1 , n
( 1 + .!.)n = 1 + :: . .!. + n(n - 1) . ~ + n(n ,- 1)(n - 2) . ~+ . . . n 1 n 1 . 2 n 2 1 . 2 . 3 n 3 n(n - 1)(n - 2) ... (n - (n - 1)) 1
... + ._= 1 23 n nn
= 1 + 1 + _1 (1 _ .!.) + _1_ (1 - .!.) (1 _ ~) + ... 12 n 123 n n
1 (1)( 2) ( n-1) ... + . 1-- 1-- 1---123 .... n n n'" n
(1 + .!.) n = 1 + 1 + _1 (1 _ .!.) + _1_ (1 - .!.) (1 _ ~) + ... n 12 n 123 n n
1 (1) ( n-1) ... + 1-- 1---123 .... n n'" n' (15 .3)
(15.3) , n . , n k , (1- k), (1- ~), .. . .
{n } ,; { ( 1 + k) n} - m.,
(15.4) , . (15.3) ; ,
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, 3, 4, 5, ... , , 2: '
(1 + .!.)n < 1 + (1 + ~ + 2- + ... + _1_). n 2 22 2n - 1
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. = e1n . 10:
19x = Ig(e1nx ), . . 19x = lnx lge. , 19 ~ 0,4343. ;;L, 19 ~ 0,4343 ln . , ln ~ 0,4143 19 , . . ln ~ 2,30261g .
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16. 16.1.
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132
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: lim f(x) = , -+ , ,
. ~ 2 ( -, )'. -
7'UU m'7 ( --+ ), ,
i , Ix - xol < , If(x) - AI < .
lim f(x) = . -+ :
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{::=> lim f(x) = . x-txo
: = lim f(x), x-+..:to
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Q : > , = () > , , Ix - 31 < , 1(2x-1)-51 < , . . Ix-31 < ~. = ~, , , Ix - 31 < ( = ~), 1(2x - 1) - 51 < . , lim (2 - 1) = 5.
-+
133
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--+
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- +
. 110
16.2.
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, ---7
. 111
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, . .
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'UU , :
('tJe > :J = () 'tJx (; + ) ~ If(x) - 2 1 < ) {:::::::::> {:::::::::> lim j(x) = 2 -++ j(x() + ) = 2 .
134
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---+
, = 1 = 2 . : f(xo -) f(xo+O) , = li f(x)
z-tzo = - ).
1 -:f. 2 , li f(x) . z-tzo
16:3. ---? 00 ~ = f(x) (-00; 00).
': f(x) ~ 00, = () > ,
, Ixl > If(x) - I < . :-________________________________________________ --.
(y>03M>Oyx: Ixl>M ==> If(x)-AI 3 > , - (-00; -) (; +00) f(x) -OKpeCTHOCTb , . . 2, = + = - (. . 112).
. 112
16.4. (...) ~ = f(x) ':' 'ii ~ ,
> 6 = 6() > , , 0< Ix-xol < 6,
135
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("1> 38 > Vx: ' - l < 8, f. ==> If(x)1 > ) {::::::} {::::::} lim f ( ) = 00.
-+
, = ~2 ... -t 2. -
f(x) -t , lim f(x) = +00;
x-tQ
, lim f(x) = -00. -4
~ = f(x), , ':','', .11. -t 00, > N = N(M) > , , 'l > N, lJ(x)1 > . :
("1> 3N > Vx : 'l > N => lJ(x)1 > ) {::::::} m f(x) = 00. x-too
, = 2 ... -t 00. , , (~ , , . '. N, ... . , V N = n 2 + 1, n N,
. , ... ' ..II. ''u'''i1 . : ... (, = xsinx.)
, lim f(x) = , - 'lC''' 'u, 1J, -4
f(x) 'u'' . , , -t If(x) - I < 6 . , - 6 < < f(x) < + 6 ( - 6; + 6), , f(x) .
17. (...) 17.1.
~ = f(x) ':','', .11. -t ,
1 }~n; f(x) = 01 (17.1) 136
(17.1) : > > , ,
< Ix - xol < , Ij(x)1 < .
... -t + , -t - , -t +00, -t -00: j(x) -t .
; , j . .
. . . = 2 -t ; = - 2 -t 2; = sin -t nk, k Z.
: n = ~, n , - .
17.1. .
() j() - .. -t . , lim () = , . . > , , f2 > -----+ 61 > , ,
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X---i'Q
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Io:(x) + j()1 ~ la(x)1 + Ij()1 < 2 + 2 = . ,
VE>O 30 > 0 Vx: O
f () --+ . > ,
If(x)1 :::; (17.4) 81 - . () - ...
--+ . > , , k > - 82 > , , < < Ix - I < 82,
la(x)1 < (17.5) 8 81 82. , < Ix - xal < 8,
(17.4) (17.5) . , If(x) a(x)1 = If(x)Ila(x) I < < k . = . , f() . () --+ .
17.1. .. . , (17.2) : . . . .
17.2. ... .
17.3. , ,
.
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, f(X) . < lal , , 8 > , , < Ix - xal < 8,
If(x) - al < . > If(x) - al = la - f(x)1 ~ lal-lf(x)l,
'l ..., I)1 < , . . Ij(x)1 > lal- > . ,
1 1 1 1 1 j(x) = Ij(x)1 < lal- = , . . ~) - .
17.4. () - ~ ( -:f ), ~ :
\; j(x) - , 1) - .
() ... --t , . . lim () = . x-txo
(v > 30> vx: 0< ' - l < ) ===} l()1 < ,
. .1 a(~) 1 > ~, . 1 () 1 > , = ~. , ,(l) . .
.',u : , --t , , --t 00 .
u 17.1. ,
j(x) = ( - 1)2 . sin3 _1_ -1
--t 1 .
Q : lim ( - 1)2 = ,
17.2. ,
17.5. J(x) , , (), . . lim f(x) = , f(x) = + ().
%--+%0
lim f( x ) = . , %--+%0
(Vc: > 38> Vx: 0< ' - l < 8) ==> If(x) - I < , . . If(x) - - 01 < :. , f(x) -
, , . . . .., (): f(x) - = () . f(x) = + ().
17.6 (). f(x) () , f(x), . . f(x) = + () , lim f(x) = . x---tQ
f(x) = +(), () - . .. --t , . . lim () = %--+%0
= .
(VC: > 38> Vx: 0< ' - l < 8) ==> l()1 < . f(x) = + (), () = f(x) - .
(Vc > 38> Vx: 0< ' - l < 8) ==> If(x) - I < :. , lim f(x) = .
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u. 17.2. , lim (5 + ) = 7. %--+2
Q : 5 + 7 ... - 2 ( --t 2), . . 5 + = 7 + ( - 2). , 17.6 lim(5 + ) = 7.
%--+2
140
17.3.
, . , ~ ~ 00, . ,
lim f(x), lim
Q , . lim f(x) = , lim ip(x) = ,
-t -+
f(x) = + (), ip(x) = + (3(), () (3() - . .. ,
f(x) . ip(x) = ( + ()) . ( + (3()), .