Post on 29-May-2015
MATHEMATICALPROJECT
A Number of N-edge Disjoint Cycle in Complete Graph and L’ Posa Conclusion
ADVISORS
AJ.CHIDCHALERM KONGPRADIT
AJ.TAMMANOON PUIROD
ที่��มาและแนวคิ�ดของปั�ญหา
กำ�าหนดให� G เปั�นกำราฟใดๆ ถ้�าจำ�านวนเส้�นเชื่#�อมของกำราฟ G ม�คิ$ามากำกำว$าจำ�านวนจำ%ดยอดของกำราฟ G แล�วกำราฟน'(นจำะม�ว'ฏจำ'กำร 1 ว'ฏจำ'กำรเส้มอ
กำ�าหนดให� G เปั�นกำราฟใดๆ ถ้�าจำ�านวนเส้�นเชื่#�อมของกำราฟ G ม�คิ$ามากำกำว$ากำว$าจำ�านวนจำ%ดยอดบวกำส้��แล�วจำะได�ว$ากำราฟน'(นจำะม�ว'ฎจำ'กำร 2 ว'ฏจำ'กำรที่��ไม$ม�ม�เส้�นเชื่#�อมร$วมกำ'น
ตั'วอย$าง
e ≥ v
e=3 v=4 e=5 v=5 e=7 v=6
ตั'วอย$าง e ≥ v+4
v=6 e=10 v=7 e=11
แนวทางการพิสู�จน�โดยขั�ดแย�ง ให้� G
เป็�นกราฟท��เล็�กท��สู ดท��เป็�น counter example
i) Girth ขัอง G มี�ขันาด 5ii) minimum degree 3
ท#าให้� v ≤ 8 โดยการสูร�างไมี%มี�กราฟน�&น
ปั�ญหาที่��ตั�องถ้.กำถ้ามคิ#อ
ป็'ญห้าป็'ญห้า กำ�าหนดให� G เปั�นกำราฟใดๆ ถ้�า G ม�จำ�านวนว'ฏจำ'กำรที่��ไม$ม�เส้�นเชื่#�อมร$วมกำ'นที่'(งหมด N ว'ฏจำ'กำรแล�ว E ≥ V+L
จำากำปั�ญหาที่��กำล$าวมาเราจำะหา คิ$าของ L ในร.ปัคิ$าคิงที่�� หร#อ ในเที่อมของ V
จำากำปั�ญหาน�(ที่�าให�เราตั�องพยายามหาคิ#อจำ�านวนว'ฏจำ'กำรที่��แน$นอนในกำราฟที่%กำๆร.ปัแบบที่��เปั�นไปัได�
ปั�ญหาที่��เกำ��ยวข�องและปั�ญหาเพ��มเตั�ม
E+
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
4 2
5 2 3
6 2 4
7 2 7
8 2 8
ปั�ญหา กำารหาจำ�านวนว'ฏจำ'กำรคิวามยาวตั$างๆ กำารพ�จำารณาว$าในกำราฟบร�บ.รณ1ที่��ม�ขนาด N น'(นจำะ
ม�จำ�านวนว'ฏจำ'กำรที่��ไม$ม�เส้�นเชื่#�อมร$วมกำ'นที่'(งหมดเที่$าไหร$
ตั'วอย$าง
แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3
V1
V2V3
พ�จำารณากำารส้ร�าง
Cycle ที่��ม�คิวามยาว 3 บนเซตั ของจำ%ดยอด 3 จำ%ดน'(นเราจำะเห3นได�ว$า จำะให� cycle ที่��จำ�าเพาะเจำาะจำงตั$างกำ'บกำรณ�บนจำ%ดยอด 4 จำ%ดแล�วหา cycle คิวามยาว 4 เพราะฉะน'(นถ้�าเซตัของจำ%ดยอด 2 เซตั A และ B โดยที่�� แล�วเราส้ามารถ้ส้ร�างว'ฏจำ'กำรจำากำไม$ A กำ3 B เที่$าน'(น
V4V4
V2V2 V1V1
V3 V3
2A B
แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3
จากขั�างต้�นป็'ญห้าขัองเราน�&นจะล็ดล็งเห้ล็+อเป็�นคำ#าถามีท��ว%า
, , , , , 1,2,3 ( , 1,2,3 1i i jB A a b c a b c n i j k A A
ป็'ญห้าคำ+อ คำ%า n คำ%าห้น.�ง ขันาดขัองเซต้ B ท��ให้ญ%ท��สู ดเป็�นเท%าใด
, , , , , 1, 2,3 ( , 1, 2,3 1i i jB A a b c a b c n i j k A A
แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3
V1
V2V3
V2V1
V3V4
1,2,3{ 1,2,3 }
{ 1,2,3 } { 1,2,4 }
{ 1,3,4 }
{ 2,3,4 }
แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3
V1
V2
V3V4
V5
{ 1,2,3 } { 1,2,4 } { 1,2,5 }{ 1,3,4 } { 1,3,5 } { 1,4,5 }
{ 2,3,4 } { 2,3,5 }{ 2,4,5 }
{ 3,4,5}
แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3
V6 V1
V2
V3V4
V5
{ 1,2,3 } { 1,2,4 } { 1,2,5 } { 1,2,6 }{ 1,3,4 } { 1,3,5 } { 1,3,6 }{ 1,4,5 } { 1,4,6 }{ 1,5,6 }
{ 2,3,4 } { 2,3,5 } { 2,3,6 }{ 2,4,5 } { 2,4,6 }{ 2,5,6 }
{ 3,4,5 } { 3,4,6 }{ 3,5,6 }
{ 4,5,6 }
แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C3
V1
V2
V3
V4V5
V6
V7
{ 1,2,3 } { 1,2,4 } { 1,2,5 } { 1,2,6 } { 1,2,7 }{ 1,3,4 } { 1,3,5 } { 1,3,6 } { 1,3,7 }{ 1,4,5 } { 1,4,6 } { 1,4,7 }{ 1,5,6 } { 1,5,7 }{ 1,6,7 }{ 2,3,4 } { 2,3,5 } { 2,3,6 } {2,3,7}{ 2,4,5 } { 2,4,6 } { 2,4,7 }{ 2,5,6 } { 2,5,7 }{ 2,6,7 }{ 3,4,5 } { 3,4,6 } { 3,4,7 }{ 3,5,6 } { 3,5,7 }{ 3,6,7 }{ 4,5,6 } { 4,5,7 }{ 4,6,7 }{ 5,6,7 }
ผลที่��ได�จำากำกำารส้'งเกำตัที่�าให�ได�ว$า Conjecture
j(6 4 ) 4 6
(5 4 ) 2 6
(4 4 ) (3 3 ) 1 6
f k k
f k k
f k f k k
เม#�อ k ม�คิ$าเปั�นจำ�านวนเตั3มที่��ไม$เปั�นลบ
แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหา C n
จ#านวนว�ฏจ�กรคำวามียาว n ในกราฟบรบ�รณ์� Kn มี�คำ%าเท%าก�บ
1
2
n
แนวทางการพิสู�จน�
i) พิจารณ์าด�กร�ขัองแต้%ล็ะจ ดยอดii) คำวามีจรงท��ว%าว�ฏจ�กรท��มี�คำวามียาว n ออกจากแต้%ล็ะจ ดยอดวนกล็�บมีาท��เดมี ด�กร�ขัองแต้%ล็ะจ ดยอดจะห้ายไป็ท�ล็ะ2 เสูมีอiii) พิจารณ์าว%า จ ดแต้%ล็ะจ ดน�&นเชื่+�อมีโยงก�นห้มีดจากคำวามีเป็�นบรบ�รณ์�
ตั'วอย$าง ว'ฏจำ'กำรคิวามยาว n บน Kn
แนวที่างกำารแกำ�ปั�ญหากำรณ� C4
ป็'ญห้ากรณ์� ว�ฏจ�กรคำวามียาว 4 ในกราฟน�&คำ%อนขั�างซ�บซ�อน ไมี%เห้มี+อนกรณ์�ขัอง C3 เน+�องจากบนจ ดยอดสู��จ ดน�&นไมี%ได� จ#านวนว�ฏจ�กรท��จ#าเพิาะบนจ ดยอดสู��จ ดใดๆ
แต้%ก�พิอมี�เง+�อนไขับางป็ระการถ�าเราก#าห้นดล็งไป็เราจะได�เง+�อนไขัขัองเซต้ท��เราต้�องการสูร�างเห้มี+อนกรณ์� ขัอง C3 , , , , , , 1, 2,3 ( , 1,2,3 1 2i i jB A a b c d a b c d n i j k A A
แล็ะย�งมี�เง+�อนไขัต้%อไป็อ�กว%า แต้%ล็ะคำ�ขัองต้�วเล็ขัท��สูร�างจาก 1,2,3…n น�&นจะป็รากฏได�ไมี%เกน 2 คำร�&งเท%าน�&น
แนวที่างกำรณ� C5
เน#�องจำากำเราที่ราบมาแล�วบนจำ%ดบอด 5 ใดน'(นจำะตั�องม�ว'ฏจำ'กำรที่��ม�คิวามยาว 5 อย$างน�อย 2 อ'น
ที่�าให�เราได�ว$า
15 5,
2 5m
m mK m DC m
ส้�าหร'บกำรณ�คิวามยาว n ใดๆ ส้.ตัรน�(จำะเปั�นผลพลอยได�โดยตัรงจำากำเร#�อง Cn บน Kn
1,
2m
m mK n m DC n m
n
ข�อส้ร%ปับางปัระกำารของ C4
2
1
2 ( 1)4
2 4
m
i
m i m mC