คู่มือครู คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.3...

คมอครสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม ๒

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท ๓

ตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๔๔

จดทาโดย สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

กระทรวงศกษาธการ

คาชแจง

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) ไดรบมอบหมายจากกระทรวงศกษาธการใหพฒนาหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ของกลมสาระ การเรยนรคณตศาสตร กลมสาระการเรยนรวทยาศาสตร รวมทงสาระการออกแบบและเทคโนโลย และสาระเทคโนโลยสารสนเทศในกลมสาระการเรยนรการงานอาชพและเทคโนโลย ตลอดจน จดทาสอการเรยนรตามหลกสตรดงกลาว คมอครเลมนเปนสวนหนงของสอการเรยนรตามหลกสตรของกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ใชประกอบการเรยนการสอนควบคกบหนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 3 สวนหนาของเลมประกอบดวยคาชแจงการใชคมอคร ในการใชคมอครขอใหอานคาชแจงการใชคมอครดงกลาวกอนทจะศกษารายละเอยดในแตละบท ในการจดทาคมอครเลมน สสวท. ไดรบความรวมมออยางดยงจากคณาจารย ผทรงคณวฒ และนกวชาการ จากหลายหนวยงานทงภาครฐและเอกชน สสวท. จงขอขอบคณทกทานไว ณ ทน และหวงเปนอยางยงวาคมอครเลมนจะเปนประโยชนสาหรบครผสอนคณตศาสตรใหสามารถนาไปใชหรอปรบใชใหเหมาะสมกบศกยภาพของผเรยน หากมขอเสนอแนะใดทจะทาใหคมอครเลมนสมบรณยงขนโปรดแจง สสวท. ทราบดวย จกขอบคณยง (นางสาวนาร วงศสโรจนกล) รองผอานวยการ รกษาการแทน ผอานวยการสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

คาชแจงการใชคมอคร

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยไดพจารณาเหนวา เพอใหการจดการเรยนการสอนคณตศาสตรมประสทธภาพและบรรลมาตรฐานการเรยนรทกาหนดไวในหลกสตรอยางครบถวนทงสามดาน ไดแก ดานความร ดานทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร และดานคณธรรม จรยธรรมและคานยม จงไดจดทาคมอครซงเสนอแนะแนวการจดกจกรรมการเรยนการสอนไวโดยละเอยดเพอใชควบคกบหนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 3 ดงนนครตองศกษาคมอครใหเขาใจถองแท ควรทดลองปฏบตกจกรรมเพอใหเกดความพรอมในการสอนกอนเขาสอน ทกบทเรยน และดาเนนกจกรรมตามทเสนอแนะไว ครอาจปรบเปลยนกจกรรมและวธจดกจกรรม การเรยนการสอนไดตามความเหมาะสมโดยคานงถงศกยภาพของนกเรยนเปนสาคญ คมอครของแตละบทประกอบดวยหวขอตอไปน 1. ชอบทและหวขอเรองประจาบท ระบจานวนชวโมงทใชในการเรยนการสอนของแตละบทและแตละหวขอไวโดยประมาณ ครอาจยดหยนไดตามทเหนสมควร 2. คานาประจาบท บอกสาระสาคญของบทเรยนทวไป สงทควรปฏบตและสงทควรยา 3. ผลการเรยนรทคาดหวงรายป ในแตละบทเรยนจะระบผลการเรยนรทคาดหวงรายปตามทปรากฏอยในหนงสอคมอการจดการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ครตองคานงถงเสมอวาจะตองจดกจกรรมการเรยนรใหนกเรยนเกดผลการเรยนรตามทกาหนด เพอการวดและประเมนผลหลงจบการเรยนการสอน ผลการเรยนรทผานการประเมนนจะทาใหผเรยนบรรลผลตามมาตรฐานการเรยนรชวงชนท 3 ดวย 4. แนวทางในการจดการเรยนร ในแตละหวขอยอยของแตละบทไดใหรายละเอยดของหวขอตอไปน

1) จดประสงค ระบไวเพอใหครคานงถงเสมอวาจะตองจดกจกรรมการเรยนการสอนใหนกเรยนมความรและมความสามารถตรงตามจดประสงคทวางไว ซงจะตองเกดขนระหวางเรยนหรอดาเนนกจกรรม ครตองประเมนผลใหตรงตามจดประสงคและใชวธการประเมนผลทหลากหลายเพอใหบรรลถงผลการเรยนรทคาดหวงรายป

การประเมนผลทหลากหลายอาจเปนการสงเกต การตอบคาถาม การทา แบบฝกหด การทากจกรรม หรอการทดสอบยอย จดประสงคใดทครเหนวา นกเรยนสวนใหญยงไมผาน ในชวโมงตอไปครควรนาบทเรยนนนมาสอน ซอมเสรมใหม

2) เอกสารแนะนาการจดกจกรรม ในบางหวขอไดระบรายการแบบฝกหดเพมเตมไว ดงรายละเอยดในขอ 6

3) ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน เปนสวนสาคญของคมอคร ครควรศกษาและทาความเขาใจควบคกบหนงสอเรยน เพอเตรยมจดกจกรรม การเรยนการสอนใหสอดคลองกบจดประสงคและเหมาะสมกบความสามารถของ นกเรยน

5. คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม คาถามทกคาถามในกจกรรมและแบบฝกหดทกขอมคาตอบใหและบางขอมเฉลยแนวคดไวใหเพอเปนแนวทางในการหาคาตอบ บางขอมหลายคาตอบแตใหไวเปนตวอยางอยางนอยหนงคาตอบ ทงนเพราะกจกรรมหรอแบบฝกหดทใหนกเรยนทาไดสอดแทรกปญหาทเปดโอกาสใหนกเรยนไดสบเสาะ สงเกต รวบรวมขอมล วเคราะห สรางขอความคาดการณและพสจนงาย ๆ การเฉลยคาตอบหรอการใหเหตผลประกอบคาตอบไดคานงถงพนฐานความรและวฒภาวะของนกเรยนเปนหลก การใหเหตผลหรอคาอธบายของนกเรยนอาจแตกตางจากทเฉลยไว ในการตรวจแบบฝกหดครควรพจารณาอยางรอบคอบ ยอมรบคาตอบทเหนวามความถกตองและเปนไปได ถงแมวา จะไมเหมอนกบคาตอบทเฉลยไว ปญหาทมลกษณะเปนปญหาชวนคด มคาตอบอยในสวนนดวย 6. แบบฝกหดเพมเตม ในบทเรยนไดเตรยมแบบฝกหดเพมเตมไวใหครเลอกหรอปรบใชใหเหมาะสมกบนกเรยนของตนเอง และไดแสดงคาตอบไวในวงเลบสแดงดวย

คาแนะนาการใชหนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร

หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร ประกอบดวย 1. เนอหาสาระ ในการนาเสนอเนอหาสาระของแตละบทเรยน ไดคานงถงการเชอมโยงความรใหม

กบความรพนฐานเดมของนกเรยน โดยพยายามใชตวอยางจากชวตจรงและความรจากศาสตรอนประกอบการอธบายเพอใหไดขอสรปเปนความรใหมตอไป

2. ตวอยาง มไวเสรมความเขาใจในเนอหาสาระและการนาไปใช 3. แบบฝกหดทายหวขอ แบบฝกหดทนาเสนอไวมหลายลกษณะ คอฝกทกษะการคดคานวณ แก โจทยปญหา ฝกวเคราะห ใหเหตผล และฝกหาขอสรปเพอนาไปสการสรางขอความคาดการณ 4. ปญหาชวนคดหรอเรองนาร เปนโจทยปญหาหรอสถานการณกระตนใหนกเรยนไดใชความรท เรยนมาเพอแกปญหาหรอหาขอสรปใหม

เพอใหเกดประสทธภาพสงสดในการใชหนงสอเรยน ครควรปฏบตดงน 1. ศกษาเนอหาสาระและวธนาเสนอควบคกบกจกรรมของแตละเรองทเสนอแนะไวในคมอคร ให

เขาใจอยางถองแท 2. ทาแบบฝกหดทายหวขอและแสวงหาวธการทเหมาะสมทสดในการหาคาตอบ โดยเฉพาะอยางยง

ขอทมวธคดหรอคาตอบทหลากหลาย ครตองยอมรบคาตอบของนกเรยนเมอนกเรยนมเหตผลทเหมาะสมมาประกอบคาตอบ

3. วางแผนการจดการเรยนรตลอดภาคเรยนใหครอบคลมทกเนอหาสาระและเหมาะสมกบเวลา 4. ในการสอนเนอหาสาระแตละเรองไมควรดวนบอกนกเรยนทนท ควรใชวธการสอนผานกจกรรม

หรออภปรายโตตอบ เพอใหนกเรยนสรปความคดรวบยอดดวยตนเองเทาทจะสามารถทาได 5. สรางสถานการณหรอโจทยทสอดคลองกบเนอหาสาระในบทเรยนเพมเตมจากสงทอยใกลตวหรอ

ภมปญญาทองถน เพอใหนกเรยนมความเขาใจในเนอหาสาระมากขนและสามารถเชอมโยงความรตาง ๆ เปนแนวทางในการประยกตตอไป

กาหนดเวลาสอนโดยประมาณ

หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 2

ชนมธยมศกษาปท 3

บทท เรอง จานวนชวโมง

การใหเหตผลเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม

ระบบสมการ

วงกลม

เศษสวนของพหนาม

รวม 60

สารบญ หนา คานา คาชแจง คาชแจงการใชคมอคร ก กาหนดเวลาสอนโดยประมาณ ง บทท 1 การใหเหตผลเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม 1 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 3 แนวทางในการจดการเรยนร 4 1.1 ความรพนฐานเกยวกบการใหเหตผลทางเรขาคณต 4

จดประสงค 4 ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 4

1.2 ทฤษฎบทเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม 7 จดประสงค 7

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 7 1.3 การสราง 8

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 11 บทท 2 ระบบสมการ 37 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 37 แนวทางในการจดการเรยนร 38 2.1 ระบบสมการทประกอบดวยสมการเชงเสนและสมการดกรสอง 38

2.2 ระบบสมการทประกอบดวยสมการดกรสองทงสองสมการ 39 จดประสงค 39

เอกสารแนะนาการจดกจกรรม 39 ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 39

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 41 แบบฝกหดเพมเตมและคาตอบ 43

บทท 3 วงกลม 45 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 45 แนวทางในการจดการเรยนร 46 3.1 วงกลม 46

3.2 มมทจดศนยกลางและมมในสวนโคงของวงกลม 47 จดประสงค 47

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 47 3.3 คอรด 49

3.4 เสนสมผสวงกลม 50 จดประสงค 50

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 50 คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 52 บทท 4 เศษสวนของพหนาม 88 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 88 แนวทางในการจดการเรยนร 88 4.1 การดาเนนการของเศษสวนของพหนาม 89

4.2 การแกสมการเศษสวนของพหนาม 90 จดประสงค 90

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 90 4.3 โจทยปญหาเกยวกบเศษสวนของพหนาม 91

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 92 คณะกรรมการจดทาสอการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน 101

บทท 1 การใหเหตผลเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม (15 ชวโมง)

1.1 ความรพนฐานเกยวกบการใหเหตผลทางเรขาคณต (2 ชวโมง) 1.2 ทฤษฎบทเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม (8 ชวโมง) 1.3 การสราง (5 ชวโมง) เนอหาในบทนจะกลาวถงสมบตทางเรขาคณตบางประการพรอมทงฝกใหนกเรยนมความสามารถ ในการใหเหตผลทางเรขาคณตซงเปนทกษะพนฐานสาคญของการเรยนคณตศาสตร นกเรยนจะไดเรยนรและฝกการใหเหตผลเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม รวมถงการนาสมบตตาง ๆ ของรปสามเหลยมและรปสเหลยมไปใชในการสรางทางเรขาคณตเพมเตมจากสาระทนกเรยนเคยเรยนมาแลว ในตอนเรมตน ของบทเรยนนไดทบทวนความรโดยรวบรวมสาระสาคญทนกเรยนเคยทราบแลวเกยวกบการใหเหตผลทางคณตศาสตรและสมบตเบองตนทางเรขาคณต ทงนเพอใชเปนพนฐานในการเรยนสาระตอไป ในการใหเหตผลทางเรขาคณต ครควรคานงถงการสอดแทรกแนวคดพนฐานเกยวกบระบบการพสจนใหนกเรยนมความเขาใจซงแสดงดวยแผนภาพไดดงน

คาอนยาม ใชเปนคาพนฐานในการสอความหมายใหเขาใจตรงกนโดยไมตองกาหนดความหมายของคา เราใชคาอนยามในการใหความหมายของคาทเกยวของกบเนอหาสาระในรปบทนยาม ซงขอความในบทนยามทกบทนยามสามารถเขยนใหเปนประโยคทเชอมดวย “กตอเมอ” สาหรบ สจพจน เปนขอความทยอมรบวาเปนจรงโดยไมตองพสจน เราใชคาอนยาม บทนยาม สจพจน อยางใดอยางหนงหรอหลายอยางประกอบกนในการใหเหตผลเพอพสจนขอความตาง ๆ วาเปนจรงหรอไมเปนจรง ขอความทพสจนไดวาเปนจรงอาจนามาสรปเปนทฤษฎบท เพอนาไปใชอางอง ในการใหเหตผลและสรางทฤษฎบทใหมตอไปได ในการพสจนขอความหรอโจทยปญหาทกาหนดให ครอาจแนะนาใหนกเรยนดาเนนการเปนขนตอนดงตอไปน

คาอนยาม บทนยาม สจพจน

สมบตทางคณตศาสตร

ใหเหตผล

ทฤษฎบท หรอ

สมบตใหมทางคณตศาสตร

1. อานและทาความเขาใจขอความหรอโจทยปญหาทกาหนดให โดยการพจารณาวาโจทยกาหนดอะไรบางและตองการใหพสจนอะไร 2. วเคราะหยอนกลบจากผลหรอสงทโจทยตองการใหพสจนไปหาเหตหรอสงทโจทยกาหนดให โดยพจารณาวาในแตละขนทเปนผลยอย ๆ กอนผลสดทายนนตองเกดจากเหตอนใดบาง และจากเหตนนตองอาศยบทนยาม สจพจน ทฤษฎบทหรอสมบตทางคณตศาสตรใดบางมาประกอบเพออางองไปสผลยอย ๆ เหลานน ทาเชนนเรอย ๆ จนกวาผลยอย ๆ นนมาจากเหตทเปนสงทโจทยกาหนดให 3. เขยนแสดงการพสจนจากเหตหรอสงทโจทยกาหนดใหผนวกกบเหตผลตามทวเคราะหไดในขอ 2 มาเขยนตามลาดบเหตและผลจนไดผลสดทายเปนสงทโจทยตองการใหพสจน การวเคราะหและลาดบขนการพสจนแสดงไดดวยแผนภาพ ดงน

การวเคราะหยอนกลบ

การเขยนแสดงการพสจน

ใหเหตผล

สงทตองการพสจน

สงทกาหนดให

บทนยาม / สจพจน / ทฤษฎบท / สมบตทางคณตศาสตร

วเคราะหหา “เหต” ททาใหเกด “ผล” บทนยาม / สจพจน / ทฤษฎบท / สมบตทางคณตศาสตร

สาหรบการสราง ครควรฝกใหนกเรยนเขยนหรอจนตนาการรปทโจทยตองการใหสรางกอน แลวคดวเคราะหยอนกลบเพอกาหนดลาดบการสรางตามความจาเปนกอนหลง ตามเงอนไขทโจทยกาหนดให แนวคดในการใหเหตผลและการสรางในสวนเฉลย เปนเพยงแนวคดหนงเทานน อกทงการเฉลย สวนใหญจะเขยนไวอยางรวบรด ครไมควรใหนกเรยนเลยนแบบเขยนรวบรดดงทเสนอไว แตครควรใหนกเรยนไดเพมเตมรายละเอยดการใหเหตผล และขนตอนการสรางตามทควรจะเปน ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 1. ใชสมบตเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยมในการใหเหตผลได 2. สรางและใหเหตผลเกยวกบการสรางทกาหนดใหได

แนวทางในการจดการเรยนร 1.1 ความรพนฐานเกยวกบการใหเหตผลทางเรขาคณต (2 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถพสจนขอความทางเรขาคณตทกาหนดใหได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ในการจดกจกรรมเพอทบทวนประโยคเงอนไข ครอาจใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางขอความทมลกษณะเปนประโยคเงอนไขเชอมดวย ถา...แลว... อยางชดเจน และขอความทไมปรากฏการเชอมดวย ถา...แลว... อยางชดเจน แลวนามาวเคราะหแยกขอความสวนทเปน เหต และ ผล เพอใหนกเรยนเหนวา ในชวตประจาวนโดยเฉพาะอยางยงในคณตศาสตร เรามกพบขอความทมลกษณะเปนประโยคเงอนไข และจากประโยคเงอนไขดงกลาว เราสามารถนามาใชในการเขยนบทกลบของประโยคเงอนไข รวมทง การเขยนประโยคเงอนไขและบทกลบของประโยคเงอนไขใหเปนประโยคเดยวกนโดยใชคาวา ...กตอเมอ... โดยใชกจกรรม “ยงทาไดไหม” ตรวจสอบความรและความเขาใจ 2. ในการวางพนฐานเกยวกบการใหเหตผลทางเรขาคณต ครควรแนะนาคาอนยามทางเรขาคณตซงไดแก จด เสนตรงและระนาบ และยกตวอยางบทนยามทมการใชคาอนยาม เชน บทนยามของรงส บทนยามของเสนขนาน และชใหเหนวาทกบทนยามสามารถเขยนเปนประโยคทเชอมดวย “กตอเมอ” ครอาจยกตวอยางสจพจนทนกเรยนเคยทราบมาแลวเพมเตมจากทใหไวในหนงสอเรยนอกกได เชน เสนตรงทแบงครงมมมมหนงมเพยงเสนเดยว และเสนตรงทตงฉากกบเสนตรงทจดกาหนดใหมเพยง เสนเดยว พรอมทงแนะนาการพสจนขอความทางเรขาคณตซงอาจตองอางองบทนยามหรอสมบตทางเรขาคณต ดงเชนตวอยางท 1 อางองบทนยามของรปสเหลยมขนมเปยกปน 3. ครควรยกตวอยางโจทยปญหาใหนกเรยนไดเหนจรงวา ในการใหเหตผลทางเรขาคณตมการ พสจนวาขอความทกาหนดใหเปนจรง และบางขอความกใหพสจนวาไมเปนจรงซงทาโดยยกตวอยางคาน ดงตวอยางท 2 ทเสนอไว 4. สาหรบการทบทวนทฤษฎบทในหวขอนจะกลาวถงทฤษฎบทเบองตนทใชบอย ๆ เกยวกบเสนตรง เสนขนานและรปสามเหลยมกอน สาหรบทฤษฎบทเกยวกบรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะกลาวถงในหวขอตอไป ในการทบทวนความรครอาจใหนกเรยนชวยกนบอกสมบตตาง ๆ เกยวกบเสนตรง เสนขนานและรปสามเหลยม แลวจงแนะนาสมบตเหลานนในรปทฤษฎบททใหนกเรยนยอมรบโดยไมตองพสจน สาหรบตวอยางท 3 เมอนกเรยนไดพสจนแลว ครควรแนะนาวาขอความทกาหนดใหนนเปนสมบตทางเรขาคณตอกประการหนงทสามารถนาไปใชอางองในการใหเหตผลได

5. กอนใหนกเรยนทาแบบฝกหด 1.1 ครอาจนาแนวการพสจนทไดกลาวไวในบทนามาอธบายยกตวอยางใหนกเรยนเหนลาดบขนตอนการวเคราะหเพอเขยนการพสจน อาจใชโจทยขอ 2 ใน แบบฝกหดนเปนตวอยางดงน กาหนดให EF ตด AB และ CD ทจด E และ จด F ตามลาดบ และ A E X

∧ = D F Y

ตองการพสจนวา AB // CD ในการวเคราะหยอนกลบ ครใชการถามตอบจากสงทตองการพสจน เชอมโยงไปสสงท กาหนดให อาจใชตวอยางคาถาม เชน 1) โจทยตองการพสจนขอความใด [AB // CD] 2) มเงอนไขใดบางททาใหสรปไดวา AB // CD และควรใชเงอนไขใด [เมอเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง เสนตรงคนนขนานกน กตอเมอ มมแยงม ขนาดเทากน หรอ เมอเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง เสนตรงคนนขนานกน กตอเมอ มมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกนของเสนตดมขนาด เทากน] 3) ถาจะพสจนวา AB // CD โดยใชเงอนไขเกยวกบมมแยงมขนาดเทากนซงจะตอง แสดงวามมคใดมขนาดเทากน [ B E F

∧ = C F E

∧ หรอ A E F

∧ = D F E

4) ถาจะแสดงวา BE F∧

= CF E∧

สามารถนาขอมลใดมาใช [ A E X

∧ = B E F

∧, D F Y

∧ = C F E

∧ เนองจากแตละคเปนมมตรงขามกนและ

กาหนดให A E X∧

= D F Y∧

การวเคราะหยอนกลบขางตนแสดงไดดวยแผนภาพ ดงน จากแผนภาพขางตน เขยนแสดงการพสจนจากสงทกาหนดใหไปสสงทตองการพสจนไดดงน พสจน A E X

∧ = D F Y

∧ (กาหนดให)

เนองจาก A E X∧

= BE F∧

และ D F Y∧

= CF E∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามมขนาดเทากน) จะได BE F

∧ = CF E

∧ (สมบตของการเทากน)

ดงนน AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมแยงมขนาดเทากน แลวเสนตรง คนนขนานกน)

ครควรฝกใหนกเรยนใชการวเคราะหยอนกลบในการพสจนทางเรขาคณต ซงในระยะแรก ๆ ครอาจใชคาถามนาเพอเปนแนวทางกอนหรออาจใหนกเรยนชวยกนวเคราะหบนกระดาน หลงจากนนจงให นกเรยนฝกวเคราะหดวยตนเอง

AB // CD

ทฤษฎบท : เมอเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง เสนตรงคนนขนานกน กตอเมอ มมแยงมขนาดเทากน

B E F∧

= C F E∧

ทฤษฎบท : ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามมขนาดเทากน

A E X∧

= B E F∧

, D F Y∧

= C F E∧

A E X∧

= D F Y∧

ใหเหตผล โดยใชบทนยาม / สจพจน / ทฤษฎบท / สมบต

1.2 ทฤษฎบทเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม (8 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถนาทฤษฎบทเกยวกบความเทากนทกประการของรปสามเหลยมและ สมบตของรปสเหลยมดานขนานไปใชในการใหเหตผลได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครควรทบทวนทฤษฎบทเกยวกบเงอนไขททาใหสรปไดวารปสามเหลยมสองรปเทากน ทกประการซงไดแก รปสามเหลยมสองรปทมความสมพนธกนแบบ ด.ม.ด., ม.ด.ม., ม.ม.ด. และ ด.ด.ด. โดยไมแสดงการพสจน แตยกตวอยางทแสดงการนาทฤษฎบทดงกลาวไปใชอางองในการใหเหตผล เชน การพสจนวาจดใด ๆ ทอยบนเสนแบงครงมมมมหนง ยอมอยหางจากแขนทงสองขางของมมเปนระยะเทากน โดยใชทฤษฎบทเกยวกบรปสามเหลยมทมความสมพนธกนแบบ ม.ม.ด. 2. นกเรยนเคยทราบสมบตของรปสามเหลยมหนาจวมาบางแลว ในหวขอนนกเรยนจะไดทราบถงทฤษฎบททเกยวของกบรปสามเหลยมหนาจว คอ การพสจนวา รปสามเหลยมใด ๆ ทมมสองมมมขนาดเทากน เปนรปสามเหลยมหนาจว โดยพสจนทฤษฎบททกลาววา ดานสองดานของรปสามเหลยมรปหนงจะยาวเทากน กตอเมอ มมทอยตรงขามดานทงสองนนมขนาดเทากน การพสจนทฤษฎบทนครควรชใหนกเรยนสงเกตวา การพสจนขอความใด ๆ ทเชอมดวย“กตอเมอ” จะตองแยกพสจนเปนสองตอน ใหครสงเกตวาเราจะไมพสจนทฤษฎบทนโดยใชการแบงครงมมยอดของรปสามเหลยม ทงน เพราะในการสรางเสนแบงครงมมมการพสจนทอางองถง ด.ด.ด. และการพสจนรปสามเหลยมเทากน ทกประการดวยความสมพนธแบบ ด.ด.ด. กอางองมาจากสมบตดงกลาวของรปสามเหลยมหนาจว ซงทาใหเกดลกษณะการใหเหตผลแบบวนกลบ ในหนงสอเรยนจงพสจนทฤษฎบทดงกลาวดวยการใชความสมพนธแบบ ด.ม.ด. และ ม.ม.ด. 3. ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนทฤษฎบทเกยวกบรปสเหลยมดานขนานมสาระสาคญของ เนอหาทครควรทราบเกยวกบสาระทนกเรยนเคยทราบมาบางแลว ดงน บทนยาม รปสเหลยมดานขนาน คอ รปสเหลยมทมดานตรงขามขนานกนสองค ทฤษฎบท 1) ดานตรงขามของรปสเหลยมดานขนานยาวเทากน 2) ถารปสเหลยมรปหนงมดานตรงขามยาวเทากนสองค แลวรปสเหลยมรปนนเปน รปสเหลยมดานขนาน 3) มมตรงขามของรปสเหลยมดานขนานมขนาดเทากน 4) ถารปสเหลยมรปหนงมมมตรงขามทมขนาดเทากนสองค แลวรปสเหลยมรปนน เปนรปสเหลยมดานขนาน

5) เสนทแยงมมทงสองของรปสเหลยมดานขนานแบงครงซงกนและกนทจดตดของ เสนทแยงมม ขอ 1), 3) และ 5) เปนสมบตของรปสเหลยมดานขนานซงนกเรยนเคยเรยนมาแลว โดยยงไมมการพสจน และจะพสจนใหเหนจรงในบทเรยนน ขอ 2) และขอ 4) เปนบทกลบของขอ 1) และขอ 3) ตามลาดบ ทาใหทราบเงอนไข เกยวกบความยาวของดานและขนาดของมมททาใหรปสเหลยมเปนรปสเหลยมดานขนาน สาหรบทฤษฎบท สวนของเสนตรงทปดหวทายของสวนของเสนตรงทขนานกนและยาว เทากน จะขนานกนและยาวเทากน ทฤษฎบทนชวยใหเราทราบเงอนไขททาใหรปสเหลยมเปนรปสเหลยมดานขนานเพมอกหนงเงอนไข คอ รปสเหลยมทมดานทอยตรงขามกนคหนงขนานกนและยาวเทากน เปนรปสเหลยมดานขนาน และทฤษฎบททกลาววา สวนของเสนตรงทลากเชอมจดกงกลางของดานสองดานของรปสามเหลยมใด ๆ จะขนานกบดานทสามและยาวเปนครงหนงของดานทสาม ซงเปนทฤษฎบททม ประโยชนในการนาไปใชอางองไดมาก ดงนนในการเรยนการสอน ครจงอาจทบทวนทฤษฎบทขอ 1), 3) และ 5) โดยใหนกเรยนชวยกนอธบายขนตอนการพสจนดวยวาจาบนกระดานดากอน แลวจงพสจนทฤษฎบท ขอ 2) และขอ 4) ตอเนองกนไป 4. สาหรบโจทยขอ 1, 3, 5 และ 7 ในแบบฝกหด 1.2 ข เปนทฤษฎบททนามาเปนแบบฝกหด ใหนกเรยนไดพสจนดวยตนเอง ครอาจนาทฤษฎบทเหลานมาสรปเปนความรรวมกนอกครงกได และแนะนาใหนกเรยนจดจาไวใชอางองในการใหเหตผล และนาไปใชแกปญหาตอไป 5. สาหรบกจกรรม “นาร” มเจตนาใหไวเปนความรและใหนกเรยนเหนการเชอมโยง ทนาสมบตทางเรขาคณตไปใชในการสรางอปกรณทนแรงเพอใหมความสะดวกตอการดารงชวต 6. กจกรรม “พสจนไดหรอไม” มเจตนาใหเปนความรเพมเตม เพอเสรมทกษะในการใหเหตผลและใหเหนการนาสมบตดงกลาวไปใชในการพสจนเกยวกบการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวน ๆ ทเทากน ซงนกเรยนเคยสรางมาแลว แตยงไมมการพสจน 1.3 การสราง (5 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถสรางรปสามเหลยมและรปสเหลยมตามเงอนไขทกาหนดใหได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครทบทวนเพอตรวจสอบความรและความเขาใจเกยวกบการสรางทใชเครองมอเพยง 2 อยางคอ สนตรงและวงเวยน และการสรางพนฐาน 6 อยางทนกเรยนเคยเรยนมาแลว ครอาจใหนกเรยน อธบายการสรางดวยวาจาโดยพจารณาจากรองรอยการสรางในแตละขอทเสนอไวในหนงสอเรยน

2. กอนทากจกรรมการสรางเสนขนานผานจด P ซงอยภายนอก AB ใหขนานกบ AB ครอาจ ทบทวนหลกการและแนวคดเกยวกบการสรางทสมบรณซงม 4 ขนตอนและเคยแนะนาไวแลวในคมอคร สาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1 ดงน 1) ขนวเคราะห ครควรแนะนาใหนกเรยนทาความเขาใจโจทย หาความสมพนธระหวางสงทกาหนดใหและสงทตองการสราง โดยการเขยนรปทตองการอยางคราว ๆ กอน แลวจงคดลาดบขนตอนการสรางกอนหลง 2) ขนสราง ดาเนนการสรางตามทคดไวในขอ 1) ซงในชนนสวนใหญจะใหเขยนวธสรางดวย ครอาจตกลงกบนกเรยนใหเขยนการสรางพนฐาน 6 อยางโดยสงเขปและเขยนขนตอนการสราง อน ๆ โดยละเอยด 3) ขนพสจน ครควรยาวาทก ๆ การสรางควรมการพสจนยนยนวาการสรางนนถกตองและเปนจรงตามทโจทยตองการ ยกเวนโจทยจะกาหนดวาไมตองพสจน 4) ขนอภปรายผล ครควรชใหนกเรยนเหนวาการสรางรปทโจทยตองการบางรปสามารถสรางไดรปแตกตางกน และบางรปกใชวธการสรางแตกตางกนไดดวย ดงนนครอาจใหมการ อภปรายรวมกนในชนเรยนเพอใหนกเรยนไดทราบถงแนวคดทแตกตางกน และแนวคดใดนาจะทาให การสรางมประสทธภาพกวา 3. กจกรรม “มไดรปเดยว” เปนกจกรรมทตองการใหนกเรยนใชความรเกยวกบสมบตของ รปสามเหลยมทเทากนทกประการ และสมบตของรปสามเหลยมหนาจวมาชวยวเคราะหการสราง ในการทาแบบฝกหดของกจกรรมน ครอาจใหนกเรยนรวมกนอภปรายถงลาดบขนตอนการ สรางแตละขอ และแนวคดทแตกตางกน สาหรบโจทยขอ 5 ครอาจแนะนาใหนกเรยนสรางรป ∆ DEF ทมมสองมมมขนาด p และ ขนาด q แลวใหนกเรยนใชขนาดของมมทสามของ ∆ DEF ซงมขนาด r มาสราง ∆ ABC ตามเงอนไขในโจทย โดยสราง AC ยาว a หนวย สราง ACX

∧ = q สราง CA Y

∧ = r และให CX

ตดกบ AY ทจด B จะได A BC

∧ = p และได ∆ ABC ตามตองการ ดงรปการสรางตอไปน

p q r q

4. สาหรบกจกรรม “มไดหลายรป” มเจตนาใหนกเรยนเหนวาการสรางรปเรขาคณตบางรป ถาเงอนไขทโจทยกาหนดมไมเพยงพอทจะทาใหไดรปการสรางเปนรปเดยวกน หรอเปนรปทเทากน ทกประการ อาจทาใหรปทสรางมไดมากกวา 1 รป 5. กจกรรม “สรางไดไมยาก” มเจตนาใหนกเรยนไดเรยนรเกยวกบการสรางรปสเหลยมทตองอาศยสมบตของรปสเหลยมดานขนาน รปสเหลยมจตรสหรอรปสเหลยมรปวาว มาชวยในการวเคราะหการสราง รวมถงการสรางรปสามเหลยมและรปสเหลยมตามเงอนไขในโจทย ครอาจนาแบบฝกหดบางขอมาใหนกเรยนไดอภปรายรวมกนอกครงเพอดแนวคดของนกเรยนทแตกตางกน เชน แบบฝกหดขอ 2 การสรางรปสเหลยมรปวาวสามารถสรางได 3 แบบโดยใชความยาว a หรอ b หรอ c เปนความยาวของเสนทแยงมมหนงเสน ดงน 6. กจกรรม “แบงครงมม” มเจตนาเพอเสรมความรใหนกเรยนเหนวาวธสรางเสนแบงครงมม อาจทาไดอกวธหนง ครอาจใหนกเรยนชวยกนพสจนหรออาจใหนกเรยนเขยนการพสจนแลวนามาแสดงบนปายนเทศกได 7. สาหรบกจกรรม “เขาหาไดอยางไร” มเจตนาใหเปนความรเพมเตม เพอใหนกเรยนเหนตวอยางทชาวกรกโบราณเชอมโยงความรเกยวกบการสรางทางเรขาคณตไปชวยในการหาคาตอบทางพชคณต ครอาจใหนกเรยนลองทากจกรรมตามทระบไวในหนงสอเรยน เพอตรวจสอบความเขาใจและเหนความนาทงของวธการน

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม คาตอบกจกรรม “ยงทาไดไหม”

1. 1) ถารปสามเหลยมรปหนงเปนรปสามเหลยมดานเทา แลวรปสามเหลยมนนมสวนสงทง สามเสนยาวเทากน 2) ถาเสนทแยงมมทงสองเสนของ ABCD ตดกนเปนมมฉากและแบงครงซงกนและกน แลว ABCD เปนรปสเหลยมทมดานทงสยาวเทากน 2. 1) รปสามเหลยมรปหนงมสวนสงทงสามเสนยาวเทากน กตอเมอ รปสามเหลยมนนเปน รปสามเหลยมดานเทา 2) ABCD เปนรปสเหลยมทมดานทงสยาวเทากน กตอเมอ เสนทแยงมมทงสองเสนของ ABCD ตดกนเปนมมฉากและแบงครงซงกนและกน 3. 1) “ถารปสเหลยมรปหนงเปนรปสเหลยมดานขนาน แลวดานตรงขามของรปสเหลยมนน ยาวเทากนสองค” และ “ถารปสเหลยมรปหนงมดานตรงขามยาวเทากนสองค แลว รปสเหลยมนนเปนรปสเหลยมดานขนาน” 2) “ถารปสามเหลยมรปหนงมขนาดของมมเทากนสองมม แลวรปสามเหลยมนนเปน รปสามเหลยมหนาจว” และ “ถารปสามเหลยมรปหนงเปนรปสามเหลยมหนาจว แลว รปสามเหลยมนนมขนาดของมมเทากนสองมม”

คาตอบแบบฝกหด 1.1 1. แนวคดในการพสจน เนองจาก 1

∧ = 4

= 2∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามมขนาดเทากน)

2 1 4 3

จะได 4∧

= 2∧

(สมบตของการเทากน) เนองจาก 3

∧+ 4∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) ดงนน 3

∧+ 2∧

= 180o (สมบตของการเทากน โดยแทน 4∧

ดวย 2∧

) 2. แนวคดในการพสจน เนองจาก A E X

∧ = D F Y

A E X∧

= BE F∧

และ D F Y∧

= CF E∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขาม มขนาดเทากน) ดงนน BE F

∧ = CF E

นนคอ AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมแยง มขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) 3. แนวคดในการพสจน

1) เนองจาก G E A∧

= CF E∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบน ขางเดยวกนของเสนตดมขนาดเทากน)

และ CF E∧

= D F H∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามมขนาด เทากน) ดงนน G E A

∧ = D F H

2) เนองจาก G E B∧

+ G E A∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) ดงนน G E B

∧ + CF E

∧ = 180o (สมบตของการเทากน โดยแทน G E A

∧ ดวย CF E

4. แนวคดในการพสจน

เนองจาก A BE∧

= DCB∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมแยง มขนาดเทากน) และ BE D

∧ = DCB

∧ + E DC

∧ (ถาตอดานใดดานหนงของรปสามเหลยมออกไป

มมภายนอกทเกดขนจะมขนาดเทากบผลบวกของขนาด ของมมภายในทไมใชมมประชดของมมภายนอกนน) ดงนน BE D

∧ = A BE

∧ + E DC

∧ (สมบตของการเทากน โดยแทน DCB

∧ ดวย A BE

1) เนองจาก BM N∧

= C N M∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมแยง มขนาดเทากน)

O E FP

และ C N M∧

= E O N∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลว มมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกน ของเสนตดมขนาดเทากน) ดงนน E O N

∧ = BM N

2) เนองจาก A M N∧

+ BM N∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) จะได A M N

∧+ E O N

∧ = 180o (สมบตของการเทากน โดยแทน BM N

∧ ดวย E O N

3) ดงนน AB // EF (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหขนาด ของมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด รวมกนเทากบ 180 องศา แลวเสนตรงคนน ขนานกน)

คาตอบแบบฝกหด 1.2 ก

1. แนวคดในการพสจน เนองจาก ∆ AMB ≅ ∆ CMD (ด.ม.ด.) จะได A BM

∧ = CDM

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ

จะมขนาดเทากน) ดงนน AB // DC (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมแยงม ขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน)

2. แนวคดในการพสจน เนองจาก AB = AC และ DB = DC (กาหนดให) และ AD = AD ( AD เปนดานรวม) ดงนน ∆ ABD ≅ ∆ ACD (ด.ด.ด.) 3. แนวคดในการพสจน เนองจาก ∆ AEB ≅ ∆ ADC (ม.ม.ด.) ดงนน AE = AD และ BE = CD (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน)

4. แนวคดในการพสจน เนองจาก A

∧ = B

∧ และ B

∧ = C

จะได BC = AC และ AC = AB (ถารปสามเหลยมรปหนงมมมทมขนาดเทากนสองมม แลวดานทอยตรงขามกบมมคทมขนาดเทากน จะยาว เทากน) ดงนน AB = AC = BC (สมบตของการเทากน) นนคอ ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา

5. แนวคดในการพสจน กาหนดให ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา ม AD , BE และ CF เปนเสนมธยฐาน ตองการพสจนวา AD = BE = CF พสจน เนองจาก ∆ ABD ≅ ∆ CBF (ด.ม.ด.) ดงนน AD = CF (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) เนองจาก ∆ ACD ≅ ∆ BCE (ด.ม.ด.)

ดงนน AD = BE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) นนคอ AD = BE = CF (สมบตของการเทากน) 6. แนวคดในการพสจน

ลาก EM และ CM เนองจาก ∆ EAM ≅ ∆ CBM (ด.ม.ด.) ดงนน EM = CM (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) จะได ∆ DEM ≅ ∆ DCM (ด.ด.ด.) ดงนน E DM

∧ = CDM

จะมขนาดเทากน)

คาตอบแบบฝกหด 1.2 ข 1. แนวคดในการพสจน กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมดานขนานม BD และAC เปนเสนทแยงมมตดกน ทจด E ตองการพสจนวา DE = BE และ AE = CE พสจน เนองจาก ∆ DAE ≅ ∆ BCE (ม.ด.ม.)

ดงนน DE = BE และ AE = CE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 2. แนวคดในการพสจน

เนองจาก ∆ DOA ≅ ∆ COB (ด.ม.ด.) จะได AD = BC (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) และ A DC

∧ = BCD

จะมขนาดเทากน) ดงนน AD // BC (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมแยง มขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน)

นนคอ ACBD เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมทมดานทอยตรงขามกนคหนง ขนานกนและยาวเทากน เปนรปสเหลยม ดานขนาน) 3. แนวคดในการพสจน กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมมมฉาก ตองการพสจนวา ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน

พสจน เนองจาก A

∧= B∧

= C∧

= D∧

= 90o (มมภายในของรปสเหลยมมมฉากแตละมมม ขนาดเทากบ 90 องศา) จะได A

∧ + D

∧ = 180o และ A

∧ + B

∧ = 180o (สมบตของการเทากน)

ดงนน AB // CD และ BC // AD (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหขนาดของมมภายในทอยบนขางเดยวกน ของเสนตด รวมกนเทากบ 180 องศา แลวเสนตรงคนนขนานกน) นนคอ ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมดานขนาน คอ รปสเหลยม ทมดานตรงขามขนานกนสองค) 4. แนวคดในการพสจน เนองจาก ED // BF (ตางกเปนสวนหนงของดานตรงขามทขนานกนของ รปสเหลยมดานขนาน) และ ED = BF (จด E และจด F เปนจดกงกลางของ AD และ BC ซงมความยาวเทากน) ดงนน DFBE เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมทมดานทอยตรงขามกนคหนง ขนานกนและยาวเทากน เปนรปสเหลยม ดานขนาน)

กาหนดให ∆ ABC มจด X เปนจดกงกลางของ AB และ XY // BC ตองการพสจนวา จด Y เปนจดกงกลางของ AC พสจน เนองจาก ∆ AXY ∼ ∆ ABC (ถารปสามเหลยมสองรปมขนาดของมมเทากนเปนค ๆ สามค แลวรปสามเหลยมสองรปนนเปนรปสามเหลยม ทคลายกน) จะได AX

AB = AYAC (สมบตของรปสามเหลยมคลาย)

เนองจาก AXAB = 1

2 (จด X เปนจดกงกลางของ AB )

ดงนน AYAC = 1

2 (สมบตของการเทากน)

AY = 12 AC (สมบตการคณไขวของอตราสวน)

นนคอ จด Y เปนจดกงกลางของ AC 6. แนวคดในการพสจน

เนองจาก ∆ AED ≅ ∆ CFB (ม.ด.ม.) จะได A E D

∧ = C F B

จะมขนาดเทากน)

เนองจาก A E D∧

+ D E B∧

= C F B∧

+ B F D∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) จะได D E B

∧ = B F D

เนองจาก A D E∧

+ E D F∧

= CBF∧

+ F BE∧

(มมตรงขามของรปสเหลยมดานขนานมขนาดเทากน) จะได E D F

∧ = F BE

ดงนน BEDF เปนรปสเหลยมดานขนาน (ถารปสเหลยมรปหนงมมมตรงขามทมขนาด เทากนสองค แลวรปสเหลยมรปนนเปน รปสเหลยมดานขนาน) 7. แนวคดในการพสจน

กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมขนมเปยกปนทม AC และ BD เปนเสนทแยงมม ตดกนทจด O ตองการพสจนวา AC BD⊥ พสจน เนองจาก ∆ AOD ≅ ∆ COB (ม.ม.ด.) จะได AO = OC (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) จะได ∆ AOB ≅ ∆ COB (ด.ด.ด.) A O B

∧ = CO B

จะมขนาดเทากน) A O B

∧+ CO B

∧ = 180o (ขนาดของมมตรง)

จะได A O B∧

= CO B∧

= 1802 = 90 o (สมบตของการเทากน)

ดงนน AC BD⊥

8. แนวคดในการพสจน ลาก AC จะได PQ // AC และ PQ = 1

2 AC (สวนของเสนตรงทลากเชอมจดกงกลางของดานสอง ดานของรปสามเหลยมใด ๆ จะขนานกบดานทสามและ ยาวเปนครงหนงของดานทสาม) ในทานองเดยวกน จะได SR // AC และ SR = 1

2 AC ดงนน PQ // SR และ PQ = SR (สมบตของเสนขนานและสมบตของการเทากน) นนคอ PQRS เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมทมดานทอยตรงขามกนคหนง ขนานกนและยาวเทากน เปนรปสเหลยม ดานขนาน)

คาตอบกจกรรม “พสจนไดหรอไม”

1. แนวคดในการพสจน กรณทมเสนตรงสามเสนขนานซงกนและกน

กาหนดให เสนตรง 1 , 2 และ 3 ขนานซงกนและกน PQ เปนเสนตด เสนตรง 1 , 2 และ 3 ทจด A , B และ C ตามลาดบ ทาให AB = BC และ RS เปนเสนตดเสนตรง 1 , 2 และ 3 ทจด D , E และ F ตามลาดบ ตองการพสจนวา DE = EF พสจน ลาก XY ผานจด E และใหขนานกบ PQ โดย XY ตดเสนตรง 1 ทจด L และตดเสนตรง 3 ทจด F เนองจาก ABEL เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมดานขนาน คอ รปสเหลยมทม ดานตรงขามขนานกนสองค) ดงนน AB = LE (ดานตรงขามของรปสเหลยมดานขนานยาวเทากน) ในทานองเดยวกนจะไดวา BC = EK เนองจาก AB = BC (กาหนดให) ดงนน LE = EK (สมบตของการเทากน) 1

∧ = 2

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมแยงมขนาด

เทากน) 3

∧ = 4

∧ (มเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามมขนาดเทากน)

จะได ∆ DEL ≅ ∆ FEK (ม.ด.ม.) นนคอ DE = EF (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) กรณทมเสนตรงมากกวาสามเสนขนานซงกนและกน จะพสจนไดในทานองเดยวกน

2. แนวการสราง

1. สราง BA X∧

และ A BY∧

ใหเปนมมแยงและมขนาดเทากน 2. ใชรศมทยาวเทากนตด AX และ BY ใหได AC = CD = DE = BS = ST = TU 3. ลาก EB, DS, CT และ AU ให DS และ CT ตด AB ทจด Q และจด P ตามลาดบ จะได AP = PQ = QB

พสจน เนองจาก BA X

∧ = A BY

∧ (จากการสราง)

จะได AX // BY (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมแยง มขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) เนองจาก AC // TU และ AC = TU (จากการสราง) จะได AU // CT (สวนของเสนตรงทปดหวทายของสวนของเสนตรงท ขนานกนและยาวเทากน จะขนานกน) ในทานองเดยวกนสามารถพสจนไดวา CT // DS และ DS // EB ดงนน AU, CT, DS และ EB ขนานซงกนและกน (สมบตของเสนขนาน) จะได AP = PQ = QB (ถาเสนตรงตงแตสามเสนขนไปขนานซงกนและกน และมเสนตรงเสนหนงตด ทาใหไดสวนตดยาว เทากน แลวเสนทขนานกนเหลานจะตดเสนตดอน ๆ ออกเปนสวน ๆ ไดยาวเทากนดวย)

คาตอบกจกรรม “มไดรปเดยว”

1. สราง AB ยาว a หนวย 2. สราง QA B

∧ ใหมขนาดเทากบขนาดของ X Y Z

3. สราง AR แบงครง QA B∧

4. บน AR สราง AC ยาว b หนวย 5. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมตามตองการ

2. แนวการสราง 1. สราง BA ยาว b หนวย 2. สราง A BD

∧ ใหมขนาดเทากบขนาดของ X Y Z

3. สราง BR แบงครง A BC∧

4. บน BR สราง BE ยาว a หนวย 5. ลาก AE ตด BD ทจด C จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมตามตองการ 3. แนวการสราง

1. สราง XY ใหยาวเทากบ AB + AC 2. สราง X Y P

∧ ใหมขนาดเทากบสองเทาของขนาดของ A BC

3. บน YP สราง YZ ใหยาวเทากบ BC 4. ลาก XZ จะได ∆ XYZ เปนรปสามเหลยมตามตองการ

a b A B

4. แนวการสราง 1. สราง RQ 2. บน RQ สราง QA ใหยาวเทากบ QR 3. ลาก AP จะได ∆ PAR เปนรปสามเหลยมหนาจวตามตองการ 5. ตวอยางการสราง 1. ลาก XY และกาหนดจด C บน XY 2. สราง XCS

∧ และ YCZ

∧ ใหมขนาดเทากบ q และ p ตามลาดบ

3. บน CS สราง CA ยาว a หนวย 4. สราง CA R

∧ ใหมขนาดเทากบขนาดของ ACZ

∧ โดยให AR ตด XY ทจด B

จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมตามตองการ

1. ลาก XY และกาหนดจด A บน XY 2. สราง AZ ตงฉากกบ XY ทจด A 3. บน AZ สราง AR ยาว b หนวย 4. สราง RP ตงฉากกบ AZ ทจด R 5. สราง Y A D

∧ ใหมขนาดเทากบ k และ AD ตด RP ทจด C

(จะไดจด C มระยะหางจาก AY เทากบ b หนวย) 6. ใชจด C เปนจดศนยกลางรศมเทากบ a หนวย เขยนสวนโคงตด AY ทจด E 7. ใชจด E เปนจดศนยกลางรศมเทากบ AE เขยนสวนโคงตด AY ทจด B 8. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมตามตองการ

A E B Y

คาตอบกจกรรม “มไดหลายรป”

1. สรางรปตามเงอนไขขอ 1) ถงขอ 3) ไดดงน

4) เทากบพนทของ ∆ ABC เพราะมความสงเทากน และมฐาน AB รวมกน 5) หลายรปนบไมถวน และรปสามเหลยมเหลานนมจดยอดอยบน XY ทขนานกบฐาน AB 2. ตวอยางการสราง 1) สรางเพอแบงครง QR ทจด A ลาก PA จะได ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรปมพนทเปนครงหนงของพนทของ ∆ PQR แนวคดในการใหเหตผล เนองจาก ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรปมฐานยาวเทากบครงหนงของความยาวของฐาน ของ ∆ PQR และมความสงเทากน ดงนน พนทของ ∆ PQA = พนทของ ∆ PRA = 1

2 พนทของ ∆ PQR

2) วธท 1 แบงครงฐาน แลวลากเสนมธยฐาน ดงตวอยางขอ 1) วธท 2 แบงครงสวนสง แลวลากสวนของเสนตรงจากจดแบงครงทไดนนไปยงจดปลาย ทงสองขางของฐาน

C D E F

คาตอบกจกรรม “สรางไดไมยาก” 1. ตวอยางการสราง 1)

1. สราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย (เนองจากผลบวกของความยาวของดาน สองดานของรปสามเหลยมมากกวาความยาวของดานทสาม) 2. ใชจด A และจด C เปนจดศนยกลางรศมเทากบ a หนวยเขยนสวนโคงตดกนท จด B ลาก AB และ CB 3. ใชจด A และจด C เปนจดศนยกลางรศมเทากบ b หนวย เขยนสวนโคงตดกนท จด D ซงอยอกดานหนงของ AC 4. ลาก AD และ CD จะได ABCD เปนรปสเหลยมรปวาวตามตองการ 2) หลายรปนบไมถวน เพราะสามารถสราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย ไดมากมาย นบไมถวน

2. ตวอยางการสราง 1. สราง AC ยาว c หนวย 2. ใชจด A เปนจดศนยกลางรศมเทากบ b หนวย เขยนสวนโคง 3. ใชจด C เปนจดศนยกลางรศมเทากบ a หนวย เขยนสวนโคงตดสวนโคงในขอ 2 ทจด B และจด D 4. ลาก AB , BC , AD และ DC จะได ABCD เปนรปสเหลยมรปวาวตามตองการ 3. ตวอยางการสราง 1. สราง AB ใหยาวเทากบ PQ 2. สราง A BX

∧ และ BA Y

∧ ใหมขนาดเทากบขนาดของ PQR

∧ และขนาดของ Q PS

ตามลาดบ 3. บน BX สราง BC ใหยาวเทากบ QR และบน AY สราง AD ใหยาวเทากบ PS 4. ลาก DC จะได ABCD เปนรปสเหลยมทเทากนทกประการกบ PQRS

A C b a

แนวคดในการใหเหตผล ลาก QS และ BD จากการสราง AB = PQ, BC = QR, AD = PS A BC

∧ = PQR

∧ และ BA D

∧ = Q PS

เนองจาก ∆ ABD ≅ ∆ PQS (ด.ม.ด.) จะได ∆ BDC ≅ ∆ QSR (ด.ม.ด.) ดงนน CD = RS, BCD

∧ = QRS

∧ และ A DC

∧ = P S R

นนคอ ABCD ≅ PQRS (รปหลายเหลยมสองรปเทากนทกประการ กตอเมอ ดานคทสมนยกน และมมคทสมนยกนของ รปสามเหลยมทงสองนน มขนาดเทากนเปนค ๆ ) 4. สรางตามเงอนไขขอ 1) ถงขอ 4) จะไดรปการสรางดงน 5) เทากน เพราะ มฐาน BD รวมกนและมสวนสงยาวเทากน คอ จดยอด C และจดยอด E อยบน CE ทขนานกบฐาน BD

6) เทากน เพราะ เนองจาก พนทของ ABCD = พนทของ ∆ ABD + พนทของ ∆ DBC และ พนทของ ∆ ADE = พนทของ ∆ ABD + พนทของ ∆ DBE = พนทของ ∆ ABD + พนทของ ∆ DBC (จากขอ 5)) ดงนน พนทของ ∆ ADE = พนทของ ABCD (สมบตของการเทากน) 5. แนวการสราง 1. สราง DE ยาว b หนวย 2. สราง EX ใหตงฉากกบ DE ทจด E และบน EX สราง EC ยาว a หนวย 3. ลาก DC 4. สราง DY ใหตงฉากกบ DC ทจด D และบน DY สราง DP ยาวเทากบ DC 5. สราง CZ ใหตงฉากกบ DC ทจด C และบน CZ สราง CQ ยาวเทากบ DC 6. ลาก PQ จะได DCQP เปนรปสเหลยมจตรสตามตองการ

แนวคดในการใหเหตผล เนองจาก ∆ DEC เปนรปสามเหลยมทม DEC

∧ เปนมมฉาก DE = b หนวย

และ EC = a หนวย (จากการสราง) จะได DC2 = a2 + b2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) จากการสราง จะได DCQP เปนรปสเหลยมจตรสทแตละดานยาวเทากบ DC ดงนน DCPQ มพนทเทากบ DC2 = a2 + b2 ตารางหนวย 6. แนวการสราง 1. สราง AB ยาว b หนวย 2. สราง BX ใหตงฉากกบ AB ทจด B และบน BX สราง BC ยาว a หนวย 3. ลาก AC 4. สราง AY ใหตงฉากกบ AC ทจด A และบน AY สราง AP ยาว c หนวย 5. ลาก PC 6. สราง PM และ CN ตงฉากกบ PC ทจด P และจด C ตามลาดบ 7. บน PM และ CN สราง PQ และ CR ตามลาดบ ใหแตละสวนของเสนตรงยาว เทากบ PC

8. ลาก QR จะได PCRQ เปนรปสเหลยมจตรสตามตองการ แนวคดในการใหเหตผล เนองจาก ∆ ABC เปนรปสามเหลยมทม A BC

∧ เปนมมฉาก AB = b หนวย

และ BC = a หนวย (จากการสราง) จะได AC2 = a2 + b2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) เนองจาก ∆ PAC เปนรปสามเหลยมทม PAC

∧ เปนมมฉาก และ PA = c หนวย

(จากการสราง) จะได PC2 = AC2 + PA2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) นนคอ PC2 = a2 + b2 + c2 (สมบตของการเทากน) จากการสราง จะได PCRQ เปนรปสเหลยมจตรสทแตละดานยาวเทากบ PC ดงนน PCRQ เปนรปสเหลยมจตรสทมพนทเทากบ PC2 = a2 + b2 + c2 ตารางหนวย

คาตอบกจกรรม “แบงครงมม”

แนวคดในการพสจน ∆ PYF ≅ ∆ QYE (ด.ม.ด.) Y F P

∧ = Y E Q

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน

ทกประการ จะมขนาดเทากน) QOF

∧ = POE

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขาม

มขนาดเทากน) QF = PE (สมบตของการเทากน)

จะได ∆ QOF ≅ ∆ POE (ม.ม.ด.) OQ = OP (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) เนองจาก YO = YO ( YO เปนดานรวม) จะได ∆ YQO ≅ ∆ YPO (ด.ด.ด.) ดงนน P Y O

∧ = Q Y O

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน

ทกประการ จะมขนาดเทากน) นนคอ YO แบงครงมม X Y Z

บทท 2 ระบบสมการ (11 ชวโมง)

2.1 ระบบสมการทประกอบดวยสมการเชงเสนและสมการดกรสอง (5 ชวโมง) 2.2 ระบบสมการทประกอบดวยสมการดกรสองทงสองสมการ (6 ชวโมง) เนอหาในบทนขยายความรตอจากระบบสมการเชงเสนสองตวแปรทมสองสมการและกราฟของระบบสมการดงกลาว การแกระบบสมการทมดกรไมเกนสองโดยใชสมบตของการเทากน และนาความร ทไดไปแกโจทยปญหาทกาหนดให สาระในบทนไมเนนการหาคาตอบของระบบสมการโดยใชกราฟ สาหรบกราฟทเสนอไวในตวอยาง มเจตนาใหเหนความสอดคลองกนระหวางคาตอบของระบบสมการทหาไดจากการใชสมบตของ การเทากนและคาตอบทหาไดจากกราฟ ทงยงเปนการเตมเตมความรเกยวกบการหาคาตอบของระบบ สมการจากกราฟ ซงเปนแนวโนมของการศกษาคณตศาสตรประยกตในปจจบน ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 1. แกระบบสมการสองตวแปรทสมการมดกรไมเกนสองทกาหนดใหได 2. แกโจทยปญหาเกยวกบระบบสมการสองตวแปรทสมการมดกรไมเกนสองทกาหนดใหได 3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได หมายเหต สาหรบกราฟในหนงสอเรยนหนา 50 เปนกราฟของระบบสมการ y = 0.1x3 – 0.6x2 – 1.5x + 5.6 y = 0.3x2 – 1.2x – 1.5 y = 0.6x – 1.2

กราฟของ y = 0.6x – 1.2 เปนเสนตรง กราฟของ y = 0.3x2 – 1.2x – 1.5 เปน พาราโบลา และทเหลอเปนกราฟของ y = 0.1x3 – 0.6x2 – 1.5x + 5.6

แนวทางในการจดการเรยนร

2.1 ระบบสมการทประกอบดวยสมการเชงเสนและสมการดกรสอง (5 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. แกระบบสมการทประกอบดวยสมการเชงเสนและสมการดกรสองทกาหนดใหโดยใชสมบตของการเทากนได

2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ในการเรมบทเรยนน ครอาจทบทวนความรเกยวกบการแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปร และอาจยกตวอยางโจทยปญหาเชนทเสนอไวในบทนาของบทเรยนน เพอใหนกเรยนไดเหนวาบางปญหาหรอบางสถานการณจะแทนดวยสมการดกรสอง ซงการหาคาตอบดวยการลองแทนคาในตวแปรอาจทาไดยาก จงตองศกษาวธการแกระบบสมการ ครควรทบทวนความรเกยวกบคาตอบของระบบสมการเชงเสนสองตวแปร คอนดบทสอดคลองกบสมการทงสอง และจานวนคาตอบของระบบสมการ จากนนจงแนะนารปทวไปของระบบสมการทประกอบดวยสมการเชงเสนและสมการดกรสอง Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 และ Px + Qy + R = 0 ครอาจใชคาถามใหนกเรยนพจารณาวา ถา A, B และ C เทากบศนยพรอมกน และ P, Q เทากบศนยพรอมกน แลวระบบสมการดงกลาวจะเปนอยางไร 2. ในการแกระบบสมการในตวอยางไดแสดงการเขยนตวแปรตวหนงในสมการเชงเสนใหอยในรปของตวแปรอกตวหนง แลวนาตวแปรนนไปแทนในสมการดกรสอง เชน ระบบสมการ x + y = 2 ……. 1 y – x2 = 0 ……. 2 แทน y ในสมการ 2 ดวย 2 – x ไดเปน (2 – x) – x2 = 0 หรอ x2 + x – 2 = 0 ครอาจชใหนกเรยนเหนวา ในบางระบบสมการอาจแทนตวแปรใดตวแปรหนงในรปพหนามดกรสองกได เชน ระบบสมการขางตนอาจเขยน y = x2 และแทน y ดวย x2 ในสมการ x + y = 2 ไดเปน x + x2 = 2 หรอ x2 + x = 2 หรอ x2 + x – 2 = 0 กได แตวธนอาจไมสะดวกถาระบบสมการนนมสมการดกรสองทซบซอนปรากฏอย

3. ในตวอยางทแสดงใหเหนคาตอบของระบบสมการโดยการใชสมบตของการเทากนและจากกราฟ มเจตนายกตวอยางเฉพาะระบบสมการทประกอบดวยสมการดกรสองทมกราฟเปนพาราโบลาและสมการเชงเสน ทงนเพราะนกเรยนมความรพนฐานเกยวกบกราฟเสนตรงและพาราโบลาอยแลว ตวอยางจงไมไดกลาวถงระบบสมการทแสดงกราฟวงกลม วงรหรอไฮเพอรโบลากบกราฟเสนตรง และครควรชใหเหนลกษณะของคาตอบของระบบสมการในหวขอนซงมอย 3 แบบคอ มคาตอบสองคาตอบ มคาตอบเพยงคาตอบเดยวและไมมคาตอบ การพจารณาคาตอบจากกราฟใหอานจากพกดของจดตดของกราฟทงสอง 4. สาหรบตวอยางท 1 ถงตวอยางท 4 เปนการแกระบบสมการทประกอบดวยสมการเชงเสนและสมการดกรสองในรปทวไป โดยใชสมบตของการเทากนนน ครควรยากบนกเรยนในเรองการตรวจสอบคาตอบซงตองแทนคา x และ y ทหาไดในสมการทงสองของระบบสมการ และในกรณโจทยปญหาเชนตวอยางท 5 จะตองตรวจสอบคาทหาไดกบเงอนไขในโจทยวาสอดคลองตามเงอนไขในโจทยหรอไม 5. สาหรบกจกรรม “มเพยงคาตอบเดยว” มเจตนาใหนกเรยนเหนการนาความรเกยวกบการหาคาตอบของสมการกาลงสองไปใชในการวเคราะหหาเงอนไขเกยวกบคาตอบของระบบสมการ โจทยในลกษณะของกจกรรมนครไมควรนาไปวดผลกบนกเรยน 6. สาหรบกจกรรม “ใชกราฟหาคาตอบ” มเจตนาใหนกเรยนไดเหนวา สามารถหาคาตอบของระบบสมการจากกราฟทกาหนดใหไดโดยพจารณาทจดตดของกราฟทงสองของระบบสมการ พกดของจดตดทกจดคอ คาตอบของระบบสมการ โจทยในลกษณะของกจกรรมนครไมควรนาไปวดผลกบนกเรยนเชนกน 2.2 ระบบสมการทประกอบดวยสมการดกรสองทงสองสมการ (6 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. แกระบบสมการทประกอบดวยสมการดกรสองทงสองสมการทกาหนดใหโดยใชสมบตของ การเทากนได 2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได เอกสารแนะนาการจดกจกรรม แบบฝกหดเพมเตม 2.2 ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครใหขอสงเกตกบนกเรยนเกยวกบการจากดลกษณะของพจนทอยในระบบสมการทงสองสมการใหเปนไปตามเงอนไขทกาหนด ทงนเพราะไมตองการใหเกดความยงยากเกนไปในการหาคาตอบของระบบสมการ

2. ครควรยกตวอยางการแกระบบสมการทประกอบดวยสมการดกรสองทงสองสมการโดยใชสมบตของการเทากนใหนกเรยนเหนวา ระบบสมการอาจมคาตอบเพยงคาตอบเดยว มคาตอบหลายคาตอบ หรอไมมคาตอบเลยกได ถาครมความรเกยวกบเครองคานวณเชงกราฟหรอโปรแกรมทางคอมพวเตอรกอาจเขยนกราฟของระบบสมการเพอแสดงคาตอบใหนกเรยนเหน และอาจเพมเตมระบบสมการทม 3 คาตอบนอกเหนอจากตวอยางในหนงสอเรยนเชน x2 + y2 = 4 และ y = x2 – 2 3. การแกระบบสมการในหวขอนแมจะไมไดเนนถงการแสดงการตรวจสอบคาตอบของระบบสมการ ทงนเพราะไมตองการใหนกเรยนเกดความยงยากในการเขยนแสดงการตรวจสอบคาตอบ แตครควรยากบนกเรยนวาการตรวจสอบคาตอบของระบบสมการยงจาเปนตองทาเสมอ อาจตรวจสอบในใจหรอในกระดาษอน ๆ ทงนเพราะนกเรยนอาจดาเนนการคานวณผดพลาดได สาหรบโจทยปญหาทเกยวกบระบบสมการ นกเรยนตองแสดงการตรวจสอบคาตอบใหสอดคลองกบเงอนไขในโจทยเสมอ 4. สาหรบกจกรรม “คดหนอยนะ” โจทยขอ 1 เปนปญหาทตองการใหนกเรยนไดเหนระบบสมการทคาตอบของปญหาอยในรปตวแปร และโจทยขอ 2 เปนโจทยทนกเรยนจะไดวเคราะหและตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได 5. สาหรบกจกรรม “คาตอบจากกราฟ” มเจตนาใหนกเรยนหาคาตอบของระบบสมการไดจากการหาพกดของจดตดของกราฟทกาหนดให ครอาจทาความเขาใจเกยวกบคาสงของกจกรรมกอนกได ถาครคดวานกเรยนสวนใหญจะไมทราบ และกจกรรมนครไมควรนาไปใชในการวดผลและไมจาเปนตองหาโจทยในลกษณะนเพมเตม 6. ครอาจใชแบบฝกหดเพมเตม 2.2 เสรมทกษะการคานวณเกยวกบระบบสมการเพมเตมกได

x2 + y2 = 4

y = x2 -2

(0, -2)

( 3 , 1) (- 3 , 1)

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม คาตอบแบบฝกหด 2.1

1. 1) (4, 3), (-4, -3) 2) ( − 2

9 , − 229 ), (2, 2)

3) (-5, -3), (5, 3) 4) (5, 2) 5) (1, 1) 6) (4, -2), (1, 1) 7) (-10, -4), (2, 2) 8) (-3, 1), ( 40

13 , − 2752 )

9) (-3, 4), (4, -3) 10) ไมมคาตอบ 2. 7

2 และ 52

3. 12 × 18 ตารางเซนตเมตร 4. 7 เซนตเมตร และ 5 เซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “มเพยงคาตอบเดยว” 174

คาตอบกจกรรม “ใชกราฟหาคาตอบ”

1. (-3, 4), (0, 1) 2. (1, 0) 3. (-2, 0), (0, 2) 4. (0, 1) 5. (2, -1), (5, 2) 6. (-1, -1), (0, 0), (1, 1)

คาตอบแบบฝกหด 2.2 1. 1) (0, 2), (0, -2) 2) ( 2 , 3), ( 2 , -3), (- 2 , 3), (- 2 , -3) 3) ( 1

5 , − 115 ), ( − 1

5 , − 115 )

4) (-2, 3), (2, -3) 5) (2, 5 ), (2, – 5 ) 6) ( 2

3 , 32 )

7) (2, 152 ), (2, − 15

8) (1, 3), (1, -3), (-1, 3), (-1, -3) 9) ไมมคาตอบ

10) ( a , − a2 ), ( a , a

2 ), (– a , − a2 ), (– a , a

2 ) 2. 8 และ 12 3. 6 และ 5

3 4. 9 เซนตเมตร และ 12 เซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “คดหนอยนะ” 1. 2ax + ah + b 2. ความยาวเปน 7 เซนตเมตร และความกวางเปน 2 เซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “คาตอบจากกราฟ”

1. (1, 1), (-1, 1) 2. (1, 0), (-1, 0) 3 (0, 2), (0, -2) 4 (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2) 5 (1, 1), (-1, -1) 6 (1, 1), (0, 1), (-1, 1)

คาตอบกจกรรม “คดดหนอย” 4 กบ 3 และ -3 กบ -4

แบบฝกหดเพมเตมและคาตอบ

แบบฝกหดเพมเตม 2.2

แบบฝกหดนจดไวเปนแบบฝกหดระคน เพอใชทบทวนความรเรองการแกระบบสมการและการนาไปใช แกโจทยปญหา

1. จงหาคาตอบของระบบสมการตอไปน 1) x + 2y = 1 x2 + xy = 28 [(7, -3) และ (-8, 9

2) 3x – y = -9 3x2 – y2 = -33 [(-1, 6) และ (-8, -15)] 3) x2 – 3x – y = 6 2x – y = 0 [(6, 12) และ (-1, -2)] 4) 2xy – x2 = -95 3xy + x2 = -80 [(5, -7) และ (-5, 7)] 5) 4x2 – 5y2 = 1 5x2 + 4y2 = 61

16 [( 34 , 1

2 ), ( 34 , − 1

2 ), ( − 34 , 1

2 ) และ ( − 34 , − 1

2 ) ] 2. ผลบวกของจานวนสองจานวนเทากบ 208 และกาลงสองของผลตางของจานวนทงสองเทากบ 16,384 จงหาจานวนทงสองนน [40 และ 168] 3. ∆ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากมความยาวรอบรป 70 เซนตเมตร ดานประกอบมมฉากดานหนง ยาว 20 เซนตเมตร ผลตางของกาลงสองของอกสองดานทเหลอเทากบ 400 จงหาพนทของ ∆ABC [210 ตารางเซนตเมตร] 4. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมมมฉาก จด E และ จด F เปนจดกงกลางของ AB และ BC ตามลาดบ AC = 17 หนวย และความยาวรอบรปของ BEOF เทากบ 23 หนวย จงหาความยาวของ AB และ BC [15 และ 8 หนวย] 5. จากรป ABCD และ CEFG เปนรปสเหลยมจตรส พนท ของ ABCD มากกวาพนทของ CEFG เทากบ 458 ตารางหนวย อยากทราบวาความยาวของดานของ ABCD มากกวาความยาวของดานของ CEFG เทาไร [4 เซนตเมตร] A B

บทท 3 วงกลม (21 ชวโมง)

3.1 วงกลม (1 ชวโมง) 3.2 มมทจดศนยกลางและมมในสวนโคงของวงกลม (6 ชวโมง) 3.3 คอรด (7 ชวโมง) 3.4 เสนสมผสวงกลม (7 ชวโมง) เนอหาในบทนมจดมงหมายใหนกเรยนรจกสมบตของวงกลมในรปของทฤษฎบท ในการพสจนทฤษฎบทอาศยความรพนฐานทนกเรยนเคยเรยนมาแลวเกยวกบความเทากนทกประการของรปสามเหลยม เสนขนาน รปสามเหลยมคลาย และทฤษฎบทเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม สาระทเสนอไวสวนใหญอยในรปของกจกรรมทใหนกเรยนศกษาสมบตของวงกลม เพอนาไปสทฤษฎบทซงบางทฤษฎบท ไดมการพสจนไว บางทฤษฎบทไมไดแสดงการพสจนแตมคาถามทนาไปสการพสจนได และบาง ทฤษฎบทกใหนกเรยนยอมรบโดยไมมการพสจน นอกจากนยงมกจกรรมทใหนกเรยนเหนการนาสมบตของวงกลมไปใชในการสรางและใชแกปญหาทกาหนดได การจดการเรยนการสอนทอยในรปของกจกรรม ครควรใหนกเรยนไดลงมอปฏบตจรง เพอฝกใหนกเรยนมความสามารถในการสรางขอความคาดการณเกยวกบสมบตทางเรขาคณต สาหรบการพสจน ทฤษฎบทหรอสมบตของวงกลมใหอยในดลพนจของครวาควรใหนกเรยนพสจน หรอใหนกเรยนยอมรบ ทฤษฎบทนนไปใชอางองไดโดยไมจาเปนตองพสจนอยางเปนทางการกได การเขยนเหตผลอางองในแตละขนตอนของการพสจน ครอาจใหนกเรยนเขยนเหตผลเหลานนอยาง สมบรณหรอเขยนอยางยอทไดสาระครบถวนกได สาหรบแนวคดในการใหเหตผลทแสดงไวในสวนเฉลย คาตอบของกจกรรมหรอแบบฝกหด ไดเขยนไวในลกษณะรวบลดขนตอน ถาครเนนการเขยนพสจนอยาง เปนระบบ ควรใหนกเรยนเขยนขนตอนเพมเตมตามเหตและผลทควรจะเปน อยางไรกตามแนวคดทใหไว ในสวนเฉลยเปนเพยงแนวคดหนงในการหาคาตอบ นกเรยนอาจมแนวคดทแตกตางกได สาหรบแบบฝกหด มทงอยในแตละกจกรรมและอยในชดแบบฝกหด ครควรเลอกใหนกเรยนทาตามความเหมาะสมกบความสามารถของนกเรยนและเวลา ผลการเรยนรทคาดหวงรายป ใชสมบตเกยวกบวงกลมในการใหเหตผลและแกปญหาทกาหนดใหได

แนวทางในการจดการเรยนร 3.1 วงกลม (1 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถระบสวนตาง ๆ ทกาหนดใหเกยวกบวงกลมได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครสนทนากบนกเรยนเกยวกบวงกลมทปรากฏอยในสงแวดลอมรอบตว อาจใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางวสดหรอสงทมลกษณะเปนวงกลม เพอโยงไปสความหมายของวงกลม เมอกลาวถง วงกลมซงเปนรปเรขาคณตรปหนง จะเรยกชอวาวงกลมโดยไมมคาวารปนาหนาเหมอนชอรปเรขาคณต อน ๆ เชน รปสามเหลยม หรอรปสเหลยม 2. ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเพอแนะนาสวนตาง ๆ ของวงกลม ครควรแนะนาทละชด โดยแนะนาชดทเปนเสนตรงหรอสวนของเสนตรงทเกยวของกบวงกลม เชน คอรด เสนสมผส วงกลม แลวตรวจสอบความเขาใจโดยใหนกเรยนทากจกรรม “บอกไดไหม” ตอจากนนจงแนะนาชดของ มมตาง ๆ ทเกยวของกบวงกลม เชน มมทจดศนยกลาง มมในสวนโคงของวงกลม และใชกจกรรม “ยงบอกไดไหม” ตรวจสอบความเขาใจอกครง สาหรบความหมายของสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางหรอรองรบมมในสวนโคงของวงกลมไมไดใหความหมายไวเปนกจลกษณะ ครควรอธบายและชใหเหนวาสวนโคงดงกลาวมจดปลายอยบนแขนทงสองของมมทกลาวถง เชน BAC

∧ เปนมมในสวนโคงของวงกลม ซงม BC อยตรงขามมม

เปนสวนโคงทรองรบมม BAC∧

สงเกตไดวา จด B และจด C อยบนวงกลม จด B อยบนแขน AB และจด C อยบนแขน AC 3. การทบทวนและแนะนาเกยวกบสวนตาง ๆ ของวงกลมในหวขอน มเจตนาเพยงเพอใหนกเรยนเขาใจและเปนพนฐานในการศกษาสาระในหวขอตอ ๆ ไป ครไมควรนาสาระในหวขอนไปวดผล

3.2 มมทจดศนยกลางและมมในสวนโคงของวงกลม (6 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถนาทฤษฎบทหรอสมบตของวงกลมทเกยวกบมมทจดศนยกลางและ มมในสวนโคงของวงกลมไปใชได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. สาระสวนใหญในหวขอนเสนอไวในรปของกจกรรมเชนกจกรรม “มมในครงวงกลม” ครควรใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมจรง ๆ และเขยนขอความคาดการณทนกเรยนคนพบจากกจกรรม สาหรบการพสจนยนยนขอความคาดการณในกจกรรมนไดกลาวไวในรปของทฤษฏบท ครอาจใหนกเรยนชวยกนบอกแนวคดในการพสจนบนกระดานดา และบอกเหตผลโดยใชการอธบายดวยวาจาแทนการเขยน หลงจากนนจงใหนกเรยนศกษารายละเอยดของการพสจนในหนงสอเรยนอกครงกได 2. สาหรบตวอยางท 1 แสดงใหนกเรยนเหนวาโจทยปญหาเกยวกบการคานวณหาขนาดของมม ทกาหนดให ถาตองการแสดงเหตผลประกอบจะทาไดอยางไร สาหรบโจทยปญหาทใหหาขนาดของมมทกาหนดใหในทก ๆ เรองของบทน ในกรณทไมตองแสดงเหตผล ครอาจแนะนาใหนกเรยนเขยนขนาดของมมตาง ๆ ทเกยวของกบการคานวณหาคาตอบไว ในรป เพอครจะไดตรวจสอบรองรอยการคดคานวณและการนาสมบตของวงกลมมาใชวาถกตองหรอไม เชน กาหนดให AB เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม O และ ACO

∧ = 35o จงหาขนาดของ OBC

จากรป จะเหนแนวคดของนกเรยนทมรองรอยของขนาดของมม ตาง ๆ ทเกยวของกนตามสมบตทางเรขาคณตทนามาใช ซงจะ ทาใหได OBC

∧ = 55o

3. การดาเนนกจกรรมการเรยนการสอนในกจกรรมอน ๆ เชนกจกรรม “มมทจดศนยกลาง” หรอ “มมในสวนโคงของวงกลม” กอาจจดกจกรรมการเรยนการสอนในทานองเดยวกบกจกรรม “มมในครงวงกลม” สาหรบการพสจนวาขอความคาดการณ “มมทจดศนยกลาง จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน” ถาครเหนสมควรใหนกเรยนพสจน ครอาจแนะนาแนวคดในการพสจน ในกรณทมมในสวนโคงมลกษณะเปนดงรป ก และรป ค ดงน

O A B 55o

ลาก CO ใหตดวงกลมทจด E จะได 1

∧ = 2

∧+ 3∧

= 2( 2∧

) --------- 1 4

∧ = 5

∧+ 6∧

= 2( 5∧

) --------- 2 จาก 1 + 2 จะได 1

∧ + 4

∧ = 2( 2

∧+ 5∧

) ดงนน ในรป ก A OB

∧ = 2( A CB

∧) และในรป ค มมกลบ AOB = 2( A CB

ในกรณทมมในสวนโคงมลกษณะดงรป ข ครอาจแนะนาแนวคดในการพสจน ดงน โดยลาก CO ใหตดวงกลมทจด D จะได 1

∧ = 2

∧+ 3∧

= 2( 2∧

) ------ 1 1

∧+ 4

∧ = ( 2

∧+ 5∧

)+ 6∧

= 2( 2∧

+ 5∧

) = 2( 2

∧)+ 2( 5

∧) ------ 2

จาก 2 – 1 จะได 4∧

= 2( 5∧

) ดงนน A OB

∧ = 2( ACB

4. สาหรบแบบฝกหด 3.2 ข ขอ 2 เปนสมบตทครควรใหนกเรยนพสจน และแนะนาให นกเรยนจดจาทฤษฎบทนไปใชในการใหเหตผลอางองตอไป สาหรบแบบฝกหดขอ 3 หลงจากพสจนขอความดงกลาวแลว ครควรใหนกเรยนสรปเปนสมบตของวงกลมทสามารถนาไปใชอางองไดเชนกน อาจใหจดบนทกเปนทฤษฎบทดงน ในวงกลมวงหนง ถาตอดานใดดานหนงของรปสเหลยมทแนบในวงกลมออกไป ขนาดของมมภายนอกจะเทากบขนาดของมมภายในทอยตรงขาม

6 4 1 3 E

รป ก

รป ค

(ขนาดของมมภายนอกของ รปสามเหลยมเทากบผลบวกของมมภายในทไมใชมมประชด ของมมภายนอกนน)

(เหตผลเชนเดยว กนกบขางตน)

1 4 2 5 6

รป ข

3.3 คอรด (7 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถนาทฤษฎบทหรอสมบตของวงกลมทเกยวกบคอรดและสวนโคงของ วงกลมไปใชได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. สาระในกจกรรม “คอรดและสวนโคงของวงกลม” เสนอไวในรปคาถามซงมคาตอบนาไปส การใหเหตผลเพอการพสจนยนยนทฤษฎบททเกยวของได ครอาจใหนกเรยนสารวจ ตอบคาถามและ ชวยกนสรปเปนขอความคาดการณ แลวใหนกเรยนพสจนทฤษฎบทนนเปนการบานกได 2. สาหรบกจกรรม “รปหลายเหลยมดานเทามมเทาแนบในวงกลม” มเจตนาใหนกเรยนไดนาความรเกยวกบความสมพนธของมมทจดศนยกลาง สวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางและคอรดมาใชในการสรางรปหลายเหลยมดานเทามมเทาบางรปแนบในวงกลมและการใหเหตผลยนยน ครอาจใหนกเรยน รวมกนอภปรายหาขอสรปเพอตอบคาถามหลงกจกรรมการสราง 3. สาหรบกจกรรม “คอรดกบจดศนยกลางของวงกลม” การพสจนในกจกรรมขอ 1 และ ขอ 2 ทาไดงาย ครอาจใหนกเรยนพสจนเปนการบานและนามาอภปรายรวมกนในชนเรยนอกครงกได 4. การพสจนสมบตของวงกลมเกยวกบจดศนยกลางของวงกลมทอยบนเสนตรงทตงฉากและแบงครงคอรดของวงกลมคอนขางเขาใจยาก ครควรนามาอภปรายในชนเรยนและชใหนกเรยนเหนวาสมบตดงกลาวนมประโยชนในการนาไปใชแกปญหาเกยวกบการหาตาแหนงของจดศนยกลางของวงกลมในกจกรรม “หาจดศนยกลาง” ตอไป สาหรบกจกรรมการหาจดศนยกลางของวงกลมทกาหนดคอรดสองคอรดขนานกน ครอาจ เพมเตมความรโดยใชคาถามใหนกเรยนคดวา ในกรณเชนนในทางปฏบตจะทาอยางไรจงจะทราบตาแหนง ของจดศนยกลางของวงกลม คาตอบของนกเรยนอาจเปนดงน จากรปทม AB // CD และ EF ตงฉากและแบงครง AB และ CD อาจลาก AD แลวสรางเสนตรง ตงฉากและแบงครง AD จะไดจดตดของเสนตรง กบ EF เปนจดศนยกลางของวงกลม

5. สาหรบกจกรรม “วงกลมผานจดทกาหนด” มเจตนาใหเปนกจกรรมสารวจ ครควรใหนกเรยนไดลงมอปฏบตจรง เพอใหไดขอสรปทสาคญตามทเสนอไวทายกจกรรมน 6. กจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” เปนกจกรรมทตองการใหนกเรยนเหนการนาความรจาก กจกรรม “หาจดศนยกลาง” ไปใชในการสรางวงกลมลอมรปสามเหลยม ครอาจตงคาถามแลวใหนกเรยนชวยกนสรางและใหเหตผลรวมกนในชนเรยนกได 7. กจกรรม “รปสเหลยมแนบในวงกลม” เปนกจกรรมทตองการใหนกเรยนทราบทฤษฎบท ของวงกลมทนาสนใจอกทฤษฎบทหนงซงเปนบทกลบของทฤษฎบททกลาววา “ผลบวกของขนาดของ มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา” ครควรนามาอธบายและชใหเหนวาแนวคดในการพสจนจะแตกตางจากแนวการพสจนทนกเรยนคนเคย คอใหเหตผลเพอแสดงวาผลทตองการเปนจรง แตในการพสจนบทกลบนจะพสจนโดยสมมตใหผลทตองการพสจนเปนเทจ แลวใหเหตผลจนเกดขอขดแยงกบสงทกาหนดใหหรอสงททราบวาเปนจรง จงไดขอสรปวา ทสมมตใหผลทตองการพสจนเปนเทจนนเปนไปไมได ดงนนผลทตองการจงเปนจรง การพสจนลกษณะนเปนการพสจนทางออม 8. สาหรบกจกรรม “คอรดทยาวเทากน” หลงจากครใหนกเรยนตอบคาถามและชวยกนสรปคาตอบทจะนาไปสการพสจนแลว ครอาจใหนกเรยนเขยนการพสจนอกครงเปนการบานดวยกได 9. สาหรบแบบฝกหด 3.3 ค ขอ 6 หลงจากนกเรยนพสจนแลว ครควรแนะนาใหนกเรยนทราบวา เราสามารถนาสมบตนไปใชอางองในการใหเหตผลตอไปได

3.4 เสนสมผสวงกลม (7 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถนาทฤษฎบทหรอสมบตของวงกลมทเกยวกบเสนสมผสวงกลมไปใชได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเกยวกบเสนสมผสวงกลมและรศม ครควรนาทฤษฏบททเปนประโยคเงอนไขและบทกลบของประโยคเงอนไขทงสองประโยคมาอธบายและทาความเขาใจแนวการ พสจน เนองจากแนวการพสจนบทกลบเปนการพสจนทางออมซงอาจเปนเรองทเขาใจยากสาหรบนกเรยนบางคน 2. สาหรบสาระเกยวกบการสรางเสนสมผสวงกลมแสดงใหเหนการสราง 2 แบบคอ แบบกาหนดจดสมผสบนวงกลมมาใหและกาหนดจดภายนอกวงกลมมาให ซงเปนความรทนกเรยนควรทราบ ครอาจใหนกเรยนเขยนการพสจนยนยนการสรางดวย ทงนเพราะในแบบฝกหดทกาหนดใหสรางเสนสมผส ไมไดใหมการพสจน 3. สาหรบกจกรรม “ลองคดด” มเจตนาใหนกเรยนไดฝกคดวเคราะหและใชความรทาง เรขาคณต พชคณตและการวดมาเชอมโยงในการแกปญหา ครอาจใหนกเรยนคดและนาเสนอแนวคดบนปายนเทศกได

4. สาหรบกจกรรม “นาร” มเจตนาใหเปนความรเพมเตมและใหนกเรยนเหนการเชอมโยงความรโดยนาสมบตของวงกลมมาใชในการอธบายทางภมศาสตรเกยวกบการกาหนดตาแหนงของเสนรง ครอาจใหนกเรยนศกษาดวยตนเองกได 5. สาหรบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” มเจตนาใหนกเรยนเหนการนาความร เกยวกบเสนสมผสวงกลมและรศมมาใชในการวเคราะหการสรางวงกลมแนบในรปสามเหลยม ในการจดกจกรรมการเรยนการสอน ครอาจเขยนรปทตองการสรางอยางคราว ๆ ซงเปนรป ทมวงกลมแนบในรปสามเหลยมกอน แลวใชคาถามใหนกเรยนคดวเคราะหยอนจากผลทตองการไปสจดเรมตนของการสราง ดงตวอยางคาถามตอไปน 1) ถาจด D, E และ F เปนจดสมผสของวงกลม แลว OD, OE และ OF ตอง เกยวของกบวงกลม O อยางไรบาง [แตละสวนของเสนตรงเปนรศมของวงกลม O มความยาวเทากน และตงฉากกบกบเสนสมผส] 2) ถาตองการใหมผลวา OD = OE เหตทจะทาใหเกดผลดงกลาว ควรไดจากความร เรองใด [ความเทากนทกประการของรปสามเหลยม] 3) ถาใชความรเกยวกบความเทากนทกประการของรปสามเหลยม สงทจะใชเปนเงอนไข ในการพจารณา 3 ประการนาจะมอะไรบาง [BD = BE, BO = BO และ D BO

∧ = E BO

4) จากเงอนไข 3 ประการในขอ 3) มสงใดทนกเรยนคดวายงบอกไมไดวามความเทากน หรอไม [ขนาดของ D BO

∧ และขนาดของ E BO

5) นกเรยนสามารถสรางให DBO∧

= E BO∧

ไดหรอไม [ได โดยการสรางเสนแบง ครงมม] จากคาถาม 5 ขอขางตน นกเรยนควรเหนแลววาทาไมการสรางวงกลมแนบในรป สามเหลยมจงตองอาศยการแบงครงมมของรปสามเหลยม จากนนครจงใชคาถามตอเนอง เชน

6) ถาสรางเฉพาะเสนแบงครงมม A BC∧

มมเดยวจะหาจดศนยกลางของวงกลมไดหรอไม [ไมได] 7) นกเรยนตองสรางเสนแบงครงมมของรปสามเหลยมกมม จงจะไดตาแหนงของ จดศนยกลางของวงกลม [2 มม] 8) จาเปนตองสรางเสนแบงครงมมของมมทสามอกหรอไม เพราะเหตใด [ไมจาเปน เพราะจากการสรางเสนแบงครงมม 2 มมกสามารถพสจนไดแลววา DO = EO = FO และ DO , EO , FO แตละเสนจะตงฉากกบดานทงสามของ รปสามเหลยม ทาใหสรปไดวาจด E, F และ G เปนจดสมผสของวงกลม] 6. ทฤษฎบทในกจกรรม “เสนสมผสและคอรด” เปนอกทฤษฏบทหนงทมการนาไปใชมาก หลงจากนกเรยนตอบคาถามขอ 1 แลว ครควรใหนกเรยนพสจนเปนทฤษฎบทโดยทากจกรรมขอ 2 ดวย 7. สาหรบกจกรรม “ไกลแคไหน” มเจตนาใหเหนการนาความรเรองเสนสมผสไปใชเพอเชอมโยงกบความรทางภมศาสตรอกกจกรรมหนง ครอาจใหนกเรยนศกษาและทาเปนการบานกได แตควรไดมการอภปรายกนถงสถานการณปญหาทตองการใหเหนแนวคดในการหาสตรการคานวณ เพอใชในการคานวณระยะทางในทางภมศาสตรโดยประมาณ ครไมควรนาเรองนไปวดผล 8. สาหรบกจกรรม “ระยะรอบโลก” เปนอกกจกรรมหนงทตองการใหนกเรยนเหนการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรกบภมศาสตร ตองการจดประกายใหนกเรยนเหนความสามารถของนกคณตศาสตร ในอดตทมความคดสรางสรรค เปนคนชางสงเกต ใฝร และมความพยายามในการแกปญหา นวนยายเรอง 80 วนรอบโลกเสนอไวในกจกรรมนเพอเสรมกจกรรมใหนาสนใจ ภาพยนตรเรองนสนก ตนเตน ครอาจหาภาพยนตรเรองนมาใหนกเรยนชมกได

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม

คาตอบกจกรรม “บอกไดไหม” 1. 1) หลายเสนนบไมถวน 2) ไมเปน เพราะรศมของวงกลมตดวงกลมทจดจดเดยว 3) หลายเสนนบไมถวน 4) ได 5) หลายเสนนบไมถวน 6) ไมได

2. 1) AC 2) AO, BO และ CO 3) AC, BC , CD และ DH 4) AC 5) EF 6) CF 7) ABC และ ADC

คาตอบกจกรรม “ยงบอกไดไหม” 1. A OB, BOC, A OC,

∧ ∧ ∧ มมกลบ AOB และมมกลบ BOC

2. A DC∧

3. BAC, BA D, CA D, A DB, A DC, BDC, ACD

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ และ A BD

4. AB, BC, ABC , ADC , ADB หรอ ACB , BAC หรอ BDC 5. ABC 6. BC, BD, CD, AB, AC และ AD

คาตอบกจกรรม “มมในครงวงกลม” คาตอบในกจกรรม 4. 90o 5. ใช คาตอบแบบฝกหด 1. 25o 2. 55o 3. 37o

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ก 1. 54o แนวคดในการใหเหตผล 1. A BC

∧ = 180 – 90 – 18 = 72o

2. A OD∧

= A BC∧

= 72o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกน และมเสนตด แลวมมภายนอกและมมภายในทอยบน ขางเดยวกนของเสนตด มขนาดเทากน) 3. ∆ ADO เปนรปสามเหลยมหนาจว 4. A DO

∧ = DA O

∧ = 180 72

2− = 54o

2. แนวคดในการพสจน 1. A BC

∧ = BA D

∧ = CDA

∧ = DCB

∧ = 90o

(มมในครงวงกลมมขนาด 90 องศา) 2. ABCD เปนรปสเหลยมมมฉาก 3. แนวคดในการพสจน 1. ∆ ABC ≈ ∆ ADC (ม.ม.ด.) 2. AB = AD (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

คาตอบกจกรรม “มมทจดศนยกลาง” คาตอบในกจกรรม 3. ได 4. ขนาดของมมทจดศนยกลางเปนสองเทาของขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงเดยวกน

18o O B

6. ได 7. ไดเชนเดยวกน 8. จากรป ข ได A OB

∧ = 2( ACB

จากรป ค ได มมกลบ AOB = 2( ACB∧

) 9. ใช คาตอบแบบฝกหด 1. 45o 2. 55o 3. แตละมมมขนาด 40o 4. 1) 200o 2) 160o 3) 80 o 4) 180o 5) 180 o

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ข 1. 122.5o แนวคดในการใหเหตผล 1. มมกลบ AOB = 360 – 115 = 245o 2. มมกลบ AOB = 2( ACB

∧) = 245o

(มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 3. ACB

∧ = 245

2 = 122.5o (สมบตของการเทากน)

B 115o

2. แนวคดในการพสจน ลาก DO และ BO 1. D O B

∧ = 2( DA B

∧) และมมกลบ DOB = 2( DCB

(มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 2. 2( DA B

∧) + 2( DCB

∧) = DOB

∧ + มมกลบ DOB = 360o

3. DA B∧

+ DCB∧

= 180o (สมบตของการเทากน) ในทานองเดยวกนสามารถพสจนไดวา A BC

∧ + A DC

∧ = 180o

3. แนวคดในการพสจน 1. BA D

∧ + DCB

∧ = 180o (ผลบวกของขนาดของมม

ตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา) 2. DCB

∧ + BCE

3. BCE∧

= BA D∧

(สมบตของการเทากน)

คาตอบกจกรรม “มมในสวนโคงของวงกลม” คาตอบในกจกรรม 1. A OC

∧ = 2( A BC

2. A OC∧

= 2( A DC∧

) 3. A BC

∧ = A DC

4. มมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาดเทากน 5. ใช คาตอบแบบฝกหด 1. 62o 2. 75o 3. 29o 4. 53o

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ค 1. แนวคดในการพสจน ลาก AO และ CO 1. A OC

∧ = 2( A BC

∧) และ A OC

∧ = 2( A DC

(มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 2. 2( A BC

∧) = 2( A DC

∧) (สมบตของการเทากน)

3. A BC∧

= A DC∧

(สมบตของการเทากน) 2. 76o แนวคดในการใหเหตผล 1. BCD

∧ = A BC

∧ = 50o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกน

และมเสนตด แลวมมแยงมขนาดเทากน) 2. BA D

∧ = BCD

∧ = 50o (มมในสวนโคงของวงกลมท

รองรบดวยสวนโคงเดยวกนจะมขนาดเทากน) 3. BAC

∧ = 50 + 26 = 76o

3. 36o 4. แนวคดในการพสจน พจารณา ∆ ABX และ ∆ CDX 1. A B X

∧ = C D X

∧ และ BA X

∧ = D C X

(มมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาดเทากน) 2. A X B

∧ = C X D

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลว

มมตรงขามมขนาดเทากน)

26 ° A

3. ∆ ABX ∼ ∆ CDX ----- ขอ 1 (ถารปสามเหลยมสองรปมขนาดของมมเทากนเปนค ๆ สามค แลวรปสามเหลยมสองรปนนเปนรปสามเหลยมท คลายกน) 4. BX

DX = AXCX (สมบตของรปสามเหลยมคลาย) ----- ขอ 2

5. BX CX⋅ = DX AX⋅ (สมบตการคณไขวของอตราสวน) ----- ขอ 3

คาตอบกจกรรม “มมและสวนโคงทรองรบมม” 1. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถามมทจดศนยกลางของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทงสองนนจะ ยาวเทากน 5) ใช 2. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถามมทจดศนยกลางของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทงสองนนจะ ยาวเทากน 5) ใช 3. 1) (1) เทากน (2) เทากน (3) ถามมในสวนโคงของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทงสองนนจะ ยาวเทากน (4) ใช (5) แนวคดในการพสจน

พจารณา วงกลม O และวงกลม R ทเทากนทกประการ 1. A CB

∧ = E DF

2. A OB∧

= 2( ACB∧

) และ E R F∧

= 2( E DF∧

) (มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 3. A OB

∧ = E R F

4. m(AB) = m(EF) (ในวงกลมทเทากนทกประการ ถามมทจดศนยกลางมขนาด เทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาว เทากน)

2) แนวคดในการพสจน ลาก AO , BO และ DO 1. A CB

∧ = ACD

2. A OB∧

= 2( ACB∧

) และ A OD∧

= 2( ACD∧

) (มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 3. A OB

∧ = A OD

4. m(AB) = m(AD) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมท จดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน)

คาตอบกจกรรม “มมและสวนโคงทรองรบมม (ตอ)” 1. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงนนจะมขนาด เทากน

5) ใช 2. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงนนจะมขนาด เทากน 5) ใช

3. 1) แนวคดในการพสจน พจารณาวงกลม O และวงกลม R ทเทากนทกประการ ลาก AO , BO , DR และ FR 1. m(AB) = m(DF) (กาหนดให) 2. A OB

∧ = DR F

∧ (ในวงกลมทเทากนทกประการ

ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 3. 2( ACB

∧) = 2( DE F

∧) (มมทจดศนยกลางของวงกลม

จะมขนาดเปนสองเทาของขนาดของมมในสวนโคงของ วงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน) 4. ACB

∧ = DE F

2) แนวคดในการพสจน ลาก AO , BO และ CO 1. m(AB) = m(AC) (กาหนดให) 2. A OB

∧ = A OC

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคง

ยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวยสวนโคงนน จะมขนาดเทากน) 3. 2( ACB

∧) = 2( A BC

∧) (มมทจดศนยกลางของวงกลม

จะมขนาดเปนสองเทาของขนาดของมมในสวนโคงของ วงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน) 4. ACB

∧ = A BC

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ง 1. A BC

∧ = 95o และ BCD

∧ = 82o

แนวคดในการใหเหตผล 1. A DC

∧ + A BC

∧ = 180o (ผลบวกของขนาดของ

มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา) 2. A BC

∧ = 180 – 85 = 95o

3. BA D∧

+ BCD∧

= 180o (ผลบวกของขนาดของ มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา) 4. BCD

∧ = 180 – 98 = 82o

2. A DB

∧ = 25o และ A E B

∧ = 25o

แนวคดในการใหเหตผล 1. A DB

∧ = ACB

∧ = 25o (ในวงกลมวงเดยวกน มมใน

สวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะม ขนาดเทากน) 2. A E B

∧ = ACB

∧ = 25o (ในวงกลมวงเดยวกน มมใน

สวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะม ขนาดเทากน) 3. m(DE) แนวคดในการใหเหตผล 1. BAC

∧ = E A D

2. m(BC) = m(DE) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมใน สวนโคงของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบ มมทงสองนนจะยาวเทากน)

A D 98o

4. BDC∧

= 60o และ CA D∧

= 50o 5. A DC

∧ = 43o และ BCD

∧ = 43o

6. A OC∧

= 70o และ BOD∧

= 70o 7. แนวคดในการพสจน 1. m(AD) = m(BC) (กาหนดให) 2. A BD

∧ = CDB

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคงยาว

เทากน แลวมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 3. AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาให มมแยงมขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) 8. แนวคดในการพสจน 1. m(BD) = m(BC) (กาหนดให) 2. m(ADB) = m(ACB) (สวนโคงครงวงกลมของวงกลม วงเดยวกน ยาวเทากน) 3. m(ADB) – m(BD) = m(ACB) – m(BC) หรอ m(AD) = m(AC) (สมบตของการเทากน) 4. ACD

∧ = A DC

ยาวเทากน แลวมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 5. AD = AC (ถามมสองมมของรปสามเหลยมรปหนง มขนาดเทากน แลวดานทอยตรงขามมมทงสองนนจะยาว เทากน) 6. ∆ ADC เปนรปสามเหลยมหนาจว 9. แนวคดในการพสจน 1. m(AX) = m(DX) (กาหนดให) 2. A O X

∧ = DO X

ยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวยสวนโคงนน จะมขนาดเทากน)

3. A OC∧

= BOD∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลว มมตรงขามมขนาดเทากน) 4. A OC

∧ + A O X

∧ = BOD

∧ + DO X

(สมบตของการเทากน) 5. ∆ COX ≅ ∆ BOX (ด.ม.ด.) 10. แนวคดในการพสจน ลาก AO, BO, CO, DO และ EO 1. A OB

∧ + BOC

∧ + COD

∧ + DOE

∧ + E OA

∧ = 360o

(มมรอบจดจดหนงมขนาดเทากบ 360 องศา) 2. 2( A DB

∧) + 2( BEC

∧) + 2( CA D

∧) + 2( DBE

∧) + 2(

∧ECA )

= 360o (สมบตของการเทากน) 3. A DB

∧ + BEC

∧ + CA D

∧ + DBE

∧ + ACE

∧ = 180o

(สมบตของการเทากน) 4. A

∧ + B

∧ + C∧

+ D∧

+ E∧

= 180o

คาตอบกจกรรม “คอรดและสวนโคงของวงกลม” 1. 1) เทากนทกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ AB = CD ดงนน ∆ AOB ≅ ∆ COD (ด.ด.ด.) 2) เทากน เพราะ มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน 3) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงท รองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน 4) เทากน เพราะ ความยาวของแตละสวนโคงเกดจากความยาวของเสนรอบวงของวงกลม ลบดวยความยาวทเทากนของสวนโคงของวงกลม 5) ใช 6) ใช

7) แนวคดในการพสจน กาหนดให วงกลม O และวงกลม R เทากนทกประการ คอรด AB และคอรด DE ยาวเทากน ลาก AO, BO, DR และ ER 1. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ด.ด.) 2. A OB

∧ = DR E

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยม

ทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) 3. m(AB) = m(DE) (ในวงกลมทเทากนทกประการ ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบ มมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน) 4. m(AB) + m(ACB) = m(DE) + m(DFE) (ตางกมความยาวเทากบความยาวของเสนรอบวงของวงกลม ทเทากนทกประการ) 5. m(ACB) = m(DFE) (สมบตของการเทากน) 2. 1) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางท รองรบดวยสวนโคงนนจะมขนาดเทากน 2) เทากนทกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ A OB

∧ = COD

∧ (ด.ม.ด.)

3) AB = CD เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน 4) ใช 5) ใช 6) แนวคดในการพสจน กาหนดใหวงกลม O และวงกลม R เทากนทกประการ และ m(AB) = m(DE) ลาก AO, BO, DR และ ER 1. m(AB) = m(DE) (กาหนดให) 2. A OB

∧ = DR E

∧ (ในวงกลมทเทากนทกประการ

ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 3. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ม.ด.)

4. AB = DE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

คาตอบกจกรรม “รปหลายเหลยมดานเทามมเทาแนบในวงกลม” คาตอบแบบฝกหด 1. 1) ยาวเทากน 2) ตงฉากกนและแบงครงซงกนและกน 3) แนวการสราง 1. สรางวงกลม O ใหมรศมยาวเทากบ 10

2 = 5 เซนตเมตร 2. ลาก AB เปนเสนผานศนยกลาง 3. สราง XY ตงฉากกบ AB ทจด O ตดวงกลมทจด C และจด D 4. ลาก AC, BC, BD และ AD จะได ADBC เปนรปสเหลยมจตรสทมเสนทแยงมม AB ยาว 10 เซนตเมตร

O 5 ซม.

2. 2) เปน 3) (1) เปน เพราะ ความยาวของแตละดานเทากบรศมของวงกลม (2) 60o เพราะ เปนขนาดของมมภายในแตละมมของรปสามเหลยมดานเทา (3) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน (4) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหได สวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนนจะยาวเทากน (5) 60o เพราะ F O A

∧ มขนาดเทากบขนาดของมมรอบจด O ลบดวยผลบวก

ของขนาดของมมในขอ (2) FOA∧

= 360 – (5 × 60) (6) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน (7) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหได สวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนนจะยาวเทากน (8) เปน เพราะ ทกดานมความยาวเทากน (9) 120o เพราะ แตละมมมขนาดเทากบผลบวกของขนาดของมมภายในสองมม ของรปสามเหลยมดานเทาทเรยงตอกน (10) เปน 4) (1) 120 o (2) 720 o คาตอบแบบฝกหด 1) 3 มม แตละมมมขนาด 120 o 2) 8 มม แตละมมมขนาด 45 o 3) 12 มม แตละมมมขนาด 30 o 4) 16 มม แตละมมมขนาด 22.5 o

คาตอบแบบฝกหด 3.3 ก 1. แนวคดในการพสจน 1. m(AB) = m(AC) (กาหนดให) 2. AB = AC (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตด วงกลม ทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสอง นนจะยาวเทากน) 3. ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว (มดานประกอบมมยอดยาวเทากน) 2. แนวคดในการพสจน 1. m(AB) = m(BC) (กาหนดให) 2. AB = BC (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตด วงกลม ทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนน จะยาวเทากน) 3. A DB

∧CE B (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคงยาว

เทากน แลวมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 4. ∆ ABD ≅ ∆ CBE (ม.ม.ด.) 5. BD = BE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 3. แนวการสราง 1. สรางวงกลม O โดยใชรศมยาวพอสมควร 2. สราง A OB

∧ และ BOC

∧ ใหแตละมมมขนาด 120o

3. ลาก AB, BC และ AC จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา

แนวคดในการพสจน 1. A OB

∧ = BOC

∧ = 120o (จากการสราง)

2. จะได A OC∧

= 120o (ขนาดของมมรอบจดจดหนงเทากบ 360 องศา) 3. m(AB) = m(BC) = m(CA) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาด เทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะ ยาวเทากน) 4. AB = BC = CA (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหได สวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนนจะยาวเทากน) 5. ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา 4. แนวการสราง 1. สรางวงกลม O โดยใชรศมยาวพอสมควร 2. ลากเสนผานศนยกลาง AE 3. สราง PQ แบงครง A OE

∧ ตดวงกลมทจด C และจด G

จะได A OC∧

= 90o 4. สราง XY แบงครง A OC

∧ ตดวงกลมทจด B และจด F

จะได A OB∧

= 45o 5. สราง MN แบงครง COE

∧ ตดวงกลมทจด D และจด H

จะได COD∧

= 45o 6. ลาก AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH และ HA จะไดรป ABCDEFGH เปนรปแปดเหลยมดานเทามมเทา

แนวคดในการพสจน 1. A OB

∧ = BOC

∧ = COD

∧ = DOE

∧ = E OF

∧ = FOG

∧ = G OH

∧ = H OA

∧ = 45o

(จากการสราง และถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามจะมขนาดเทากน) 2. m(AB) = m(BC) = m(CD) = m(DE) = m(EF) = m(FG) = m(GH) = m(HA) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน)

3. AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรด ทงสองนนจะยาวเทากน) 4. รป ABCDEFGH เปนรปแปดเหลยมดานเทา (มดานยาวเทากนทกดาน) 5. ∆ AOB, ∆ BOC, ∆ COD, ∆ DOE, ∆ EOF, ∆ FOG, ∆ GOH และ ∆ HOA แตละรปเปนรปสามเหลยมหนาจวทมมมยอดขนาด 45 องศา 6. มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวแตละรปมขนาดเทากบ 180 45

2− = 67.5 องศา

(ขนาดของมมภายในทงสามมมของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา) 7. A BC

∧ = BCD

∧ = CDE

∧ = DE F

∧ = E F G

∧ = FG H

∧ = G H A

∧ = H A B

∧ = 67.5 × 2 = 135o

8. จะไดรป ABCDEFGH เปนรปแปดเหลยมดานเทามมเทา (จากขอ 4 และขอ 7) 5. แนวการสรางและพสจนทาไดในทานองเดยวกบขอ 3 จากรปการสรางขางลางน จะได รป ABCDEFGHIJKL เปนรปสบสองเหลยมดานเทามมเทา

คาตอบกจกรรม “คอรดกบจดศนยกลางของวงกลม” 1. แนวคดในการพสจน 1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.) 2. AX = BX (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

30o O A

B C D E

2. แนวคดในการพสจน 1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ด.ด.ด.) 2. A X O

∧ = B X O

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมท

เทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) 3. A X B

∧ = A X O

∧ + B X O

4. A X O∧

= B X O∧

= 90o (จากขอ 2 และขอ 3) คาตอบแบบฝกหด 1. 16 เซนตเมตร 2. 13 เซนตเมตร 3. 3.9 เซนตเมตร 4. 1) 21 เซนตเมตร 2) มลกษณะเปนวงกลม

คาตอบกจกรรม “หาจดศนยกลาง”

1. แนวคด 1. สรางเสนตรง 1 ตงฉากและแบงครง AB 2. สรางเสนตรง 2 ตงฉากและแบงครง BC 3. ใหเสนตรง 1 ตดกบเสนตรง 2 ทจด O จะไดจด O เปนจดศนยกลางของวงกลม

2. ถาคอรด AB และคอรด CD ขนานกน เสนตรง 1 และ 2 ทเปนเสนตงฉากและแบงครงคอรดทงสอง จะทบกนเปนเสนตรงเดยวกน จงไมสามารถหาจดตด ทเปนจดศนยกลางของวงกลม

คาตอบกจกรรม “วงกลมผานจดทกาหนด” 1. สรางวงกลมผานจด A ไดจานวนวงกลมนบไมถวน และจดศนยกลางของวงกลมเหลานนเปนจดตาง ๆ บนระนาบ 2. สรางวงกลมผานจด A และจด B ไดจานวนวงกลม นบไมถวน และจดศนยกลางของวงกลมเหลานนจะเรยง อยบนเสนตรงทตงฉากและแบงครง AB 3. ตวอยางการสราง สรางวงกลมผานจด A, B และ C ไดวงเดยวและ จดศนยกลางของวงกลมอยทจดตดของเสนตรงสองเสน ซงเปนเสนตรงทตงฉากและแบงครงสวนของเสนตรง สองเสนทเชอมสองจดใด ๆ ของจด A, B และ C

4. สรางไมได 5. สรางไมได

คาตอบกจกรรม “รปสเหลยมแนบในวงกลม” 1. 180o เพราะ กาหนดให 2. 180o เพราะ ผลบวกของขนาดของมมภายในทงสมมของรปสเหลยมใด ๆ เทากบ 360 องศา 3. 180o เพราะ ผลบวกของขนาดของมมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา 4. เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 5. ได เพราะ สมบตของการเทากน

คาตอบแบบฝกหด 3.3 ข 1. แนวการสรางและแนวการพสจน ทาไดในทานอง เดยวกนกบกจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” ในหนงสอเรยนหนา 121 – 122 2. ใหจด A, B และ C เปนตาแหนงของโรงเรยน โรงพยาบาล และทารถประจาทาง ตามลาดบ เมอใชแนวการสราง และแนวการพสจนในทานอง เดยวกนกบกจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” ใน หนงสอเรยน หนา 121 – 122 จะไดตาแหนงทสรางตลาดสดอยทจดศนยกลางของ วงกลม ทผานจด A, B และ C

3. กาหนดจด A, B และ C บนขอบจานทจดเหลานไมอยใน แนวเสนตรงเดยวกน เมอใชแนวการสราง และแนวการพสจนในทานองเดยวกนกบ กจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” ในหนงสอเรยนหนา 121 – 122 จะไดจดศนยกลางของจานซงทาใหหาความยาวของรศมของ จานได ตอจากนนจงใชความยาวของรศมหาความยาวของ เสนรอบจาน 4. แนวคดในการพสจน 1. ODC

∧ = OEC

∧ = 90o (กาหนดให)

2. ODC∧

+ OEC∧

= 180o (จากขอ 1) 3. ODCE แนบในวงกลมได (ถารปสเหลยมใด ๆ ม ผลบวกของขนาดของมมตรงขามเทากบสองมมฉาก แลว รปสเหลยมนนแนบในวงกลมวงหนงได) 5. แนวคดในการพสจน 1. ให A BD

∧ มขนาดเปน xo

2. จะได DBC∧

= 2xo (กาหนดให) 3. A BD

∧ = A DB

∧ = xo (มมทฐานของรปสามเหลยม

หนาจวมขนาดเทากน) 4. DBC

∧ = DCB

∧ = 2xo (มมทฐานของรปสามเหลยม

หนาจวมขนาดเทากน) 5. จะได DA B

∧+ BCD

∧ = (180 – 2x) + 2x = 180o

6. ABCD แนบในวงกลมได (ถารปสเหลยมใด ๆ ม ผลบวกของขนาดของมมตรงขามเทากบสองมมฉาก แลว รปสเหลยมนนแนบในวงกลมวงหนงได)

D O E A

A (180 – 2x)o

xo 2xo C

B xo 2xo

คาตอบกจกรรม “คอรดทยาวเทากน” 1. 1) เทากน เพราะ สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรด ทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด 2) เทากน 3) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 4) เทากนทกประการ เพราะ OE B

∧ = O FC

∧ = 90o, OB = OC และ BE = CF (ฉ.ด.ด.)

5) เทากน เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน 6) เทากน 7) ใช 2. 1) เทากนทกประการ เพราะ OE B

∧ = O FC

∧ = 90o, OB = OC และ OE = OF

(ฉ.ด.ด.) 2) เทากน เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน 3) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 4) เทากน เพราะ สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใช เสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด 5) เทากน เพราะ สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใช เสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด 6) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 7) ใช

คาตอบแบบฝกหด 3.3 ค 1. 5 เซนตเมตร 2. แนวคดในการพสจน 1. AD = BD (สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของ วงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด) 2. ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ม.ด.)

3. AC = BC (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 4. AC และ BC อยหางจากจด O เทากน (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองเสนยาวเทากน แลวคอรด ทงสองนนจะอยหางจากจดศนยกลางของวงกลมเปนระยะ เทากน) 3. แนวคดในการพสจน ลาก OP 1. OE = OF (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองเสนยาว เทากน แลวคอรดทงสองนนจะอยหางจากจดศนยกลางของ วงกลมเปนระยะเทากน) 2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.) 3. EP = FP (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 4. BE = DF (ตางกยาวเปนครงหนงของคอรดทยาวเทากน) 5. BE + EP = DF + FP (สมบตของการเทากน) 6. BP = DP (สมบตของการเทากน) 4. แนวคดในการพสจน ให O เปนจดศนยกลางของวงกลม ลาก OE และ OF ตงฉาก กบ AB และ CD ทจด E และจด F ตามลาดบ ลาก OP 1. OE = OF (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองเสนยาว เทากน แลวคอรดทงสองนนจะอยหางจากจดศนยกลางของ วงกลมเปนระยะเทากน) 2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.) 3. EP = FP (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 4. BE = DF (ตางกยาวเปนครงหนงของคอรดทยาวเทากน) 5. EP – BE = FP – DF (สมบตของการเทากน) 6. BP = DP (สมบตของการเทากน)

5. แนวคดในการพสจน ลาก OE และ OF ตงฉากกบ AB และ CD ทจด E และจด F ตามลาดบ ลาก OB และ OD 1. จาก ∆ OEB จะได OB2 = OE2+EB2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2 = OF2+FD2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 3. OB = OD (รศมของวงกลมเดยวกนยาวเทากน) 4. OB2 = OD2 (สมบตของการเทากน) 5. OE2 + EB2 = OF2 + FD2 (สมบตของการไมเทากน) 6. AB > CD (กาหนดให) 7. AB

2 > CD2 (สมบตของการไมเทากน)

8. EB = AB2 และ FD = CD

2 (สวนของเสนตรงซงผาน จดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใช เสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด) 9. EB > FD (จากขอ 7 และขอ 8) 10. EB2 > FD2 (EB และ FD เปนจานวนบวก) 11. OE2 < OF2 (จากขอ 5 และขอ 10) 12. OE < OF (OE และ OF เปนจานวนบวก) 13. AB อยใกลจดศนยกลางของวงกลมมากกวา CD 6. แนวคดในการพสจน สาหรบกรณวงกลมวงหนง ให O เปนจดศนยกลางของวงกลม AB เปนคอรดทอยใกล จด O มากกวาคอรด CD ลาก OE และ OF ตงฉากกบ AB และ CD ทจด E และจด F ตามลาดบ ลาก OB และ OD 1. จาก ∆ OEB จะได OB2 = OE2+EB2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2 = OF2+FD2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 3. OB = OD (รศมของวงกลมเดยวกนยาวเทากน) 4. OB2 = OD2 (สมบตของการเทากน) 5. OE2 + EB2 = OF2 + FD2 (สมบตของการเทากน) 6. OE < OF (กาหนดให) 7. OE2 < OF2 (OE และ OF เปนจานวนบวก)

8. EB2 > FD2 (จากขอ 5 และขอ 7) 9. EB > FD (EB และ FD เปนจานวนบวก) 10. 2(EB) > 2(FD) (สมบตของการไมเทากน) 11. AB > CD (สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของ วงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด)

สาหรบกรณวงกลมทเทากนทกประการ จะใชแนวคดในการพสจนทานองเดยวกน

คาตอบกจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม” 1. เปน 3. ตงฉาก 4. ตงฉาก 5. ใช

คาตอบในกจกรรม 1) PC 2) เปน

คาตอบกจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม (ตอ)”

คาตอบในกจกรรม 1. (1) ตงฉาก เพราะ ไดสรางให XY ตงฉากกบ OB ทจด A (2) เปน เพราะ เสนตรงทตงฉากกบรศมของวงกลมทจดจดหนงบนวงกลม จะเปนเสนสมผสวงกลมทจดนน

2. (1) เปน (2) 90o เพราะ แตละมมเปนมมในครงวงกลม R ซงมมในครงวงกลม มขนาด 90 องศา (3) ตงฉาก เพราะ OA X

∧ = 90o และ OBX

∧ = 90o

(4) สมผสวงกลม O เพราะ เสนตรงทตงฉากกบรศมของวงกลมทจดจดหนงบน วงกลม จะเปนเสนสมผสวงกลมทจดนน (5) สองจด (6) เทากน เพราะ OA X

∧OBX = 90o (จากขอ (2))

OX = OX ( OX เปนดานรวม) AO = BO (รศมของวงกลมเดยวกนยาวเทากน) จะได ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.) ดงนน AX = BX (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยม ทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) คาตอบแบบฝกหด (หนา 135)

1. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบในขอ 1 ของ กจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม (ตอ)” ในหนงสอเรยน หนา 132 – 133 2. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบในขอ 2 ของ กจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม (ตอ)” ในหนงสอเรยน หนา 132 – 133

3. 1) 63o 2) 117 o

คาตอบแบบฝกหด 3.4 ก

1. 17 เซนตเมตร 2. 104o 3. 130o 4. 55o 5. 40o 6. 40o 7. แนวคดในการพสจน 1. Y A O

∧ = PBO

∧ = 90o (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบ

รศมของวงกลมทจดสมผส) 2. XY // PQ (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาให มมแยงมขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) 8. แนวคดในการพสจน ลาก CO และ DO 1. EX AB⊥ (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบรศมของ วงกลมทจดสมผส) 2. E X B

∧ = 90o (จากขอ 1)

3. C Y X∧

= E X B∧

= 90o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกน และมเสนตด แลวมมแยงมขนาดเทากน) 4. ∆ CYO ≅ ∆ DYO (ฉ.ด.ด.) 5. CO Y

∧ = DO Y

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยม

ทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน)

C D Y E

6. m(CE) = m(DE) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมท จดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน) 9. แนวคดในการพสจน 1. BAC

∧ + CA Y

รศมของวงกลมทจดสมผส) 2. ACB

∧ = 90o (มมในครงวงกลมมขนาด 90 องศา)

3. CA Y∧

+ A Y B∧

= 90o (ขนาดของมมภายในทงสามมม ของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา) 4. BAC

∧ + CA Y

∧ = CA Y

∧ + A Y B

∧ = 90o

(สมบตของการเทากน) 5. BAC

∧ = A Y B

10. แนวคดในการพสจน 1. A BO

∧ = ACO

รศมของวงกลมทจดสมผส) 2. OA = OA ( OA เปนดานรวม) 3. AB = AC (สวนของเสนตรงทลากมาจากจดจดหนง ภายนอกวงกลมมาสมผสวงกลมวงเดยวกน จะยาวเทากน) 4. ∆ ABO ≅ ∆ ACO (ฉ.ด.ด.) 5. A OB

∧ = A OC

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมท

เทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) 11. แนวคดในการพสจน ลาก BO และ CO 1. A OB

∧ = A OC

∧ (จากการพสจนในขอ 10)

2. BOD∧

+ A OB∧

= COD∧

+ A OC∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) 3. BOD

∧ = COD

4. m(BD) = m(CD) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมท จดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน) 5. BD = CD (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองคอรดตด วงกลมทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนน จะยาวเทากน) 12. แนวคดในการพสจน ลาก BO และ CO 1. ∆ BOC เปนรปสามเหลยมหนาจว (มดานประกอบมมยอดยาวเทากน) 2. A OB

∧ = A OC

∧ (จากการพสจนในขอ 10)

3. OD ทแบงครงมมยอดของ ∆ OBC จะตงฉากและแบงครง BC (สมบตของรปสามเหลยมหนาจว)

คาตอบกจกรรม “ลองคดด”

เครองหมายกาชาดมพนท r2 17 2−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ตารางหนวย

แนวคด ลาก DX ตด OA ทจด E จะได ODE เปนรปสามเหลยมมมฉาก ให DE = a จะได OE = a, DX = QX = 2a

จาก ∆ ODE จะได a2 + a2 = 2r

2a2 = 2r

Y X Q P r a E

a = r2 2

หนวย

ฉะนน DX = QX = 2a = r2

หนวย

พนทของรปกาชาด = (PY)(DX) + (PQ + XY)(DX) ตารางหนวย = (DX)(PY + PQ + XY) ตารางหนวย และจะไดวา PY = 2 22 r a− (สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลม และตงฉากกบคอรดทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรดนน) PQ + XY = 2 22 r a 2a− −

ดงนนพนทของรปกาชาด = 2a( )2 2 2 2+2 r a 2 r a 2a− − −

= 2a( )2 24 r a 2a− −

22 r r4 r 8 2

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 27r4r r 8 22

−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= 24 r r 7 r

22 2 2−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 2 24 7 r r

4 2−

= r2 1

7 2−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ตารางหนวย

คาตอบกจกรรม “นาร”

14 องศา

คาตอบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” คาตอบแบบฝกหด 1. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” ในหนงสอเรยน หนา 141 2. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” ในหนงสอเรยน หนา 141

จากรป ให CE = x หนวย และ BF = y หนวย y = 6 – x -------- 1 8 – y = 10 – x -------- 2 จะได 8 – (6 – x) = 10 – x 2 + x = 10 – x 2x = 8 x = 4 แทน x ใน 1 จะได y = 6 – 4 y = 2

เนองจากรศมของวงกลม O เทากบ y หนวย ( BEOF เปนรปสเหลยมจตรส) ดงนน รศมของวงกลม O เทากบ 2 หนวย

คาตอบกจกรรม “เสนสมผสและคอรด”

1. 1) 90o 2) 90o 3) 90o 4) เทากน 5) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 6) เทากน เพราะ A DB

∧ = ACB

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน มมในสวนโคงของวงกลมท

รองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาดเทากน) 2. แนวคดในการพสจน ลากเสนผานศนยกลาง AD และลาก CD 1. A CD

∧ = 90o (มมในครงวงกลมมขนาด 90 องศา)

2. A DC∧

+ CA D∧

= 90o (ขนาดของมมภายในทงสามมม ของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา)

10 – x

x 6 – x

8 – y

3. CA D∧

+ CA Y∧

= 90o (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบ รศมของวงกลมทจดสมผส) 4. A DC

∧ + CA D

∧ = CA D

∧ + CA Y

5. A DC∧

= CA Y∧

(สมบตของการเทากน) 6. A DC

∧ = A BC

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน มมในสวนโคง

ของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาด เทากน) 7. CA Y

∧ = A BC

8. ในทานองเดยวกน เมอลาก BD จะพสจนไดวา BA X

∧ = ACB

คาตอบแบบฝกหด 3.4 ข

1. BAC

∧ = 65o และ ACB

∧ = 80o

2. 44o 3. A DC

∧ = 55o, A BC

∧ = 125o และ DCB

∧ = 38o

4. 6 หนวย (แนวคดของการหาคาตอบทานองเดยวกนกบแนวคดของการหาคาตอบขอ 2 ของกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม”) 5. 17 เซนตเมตร แนวคด x = 5 – y จะได y = 5 – x เนองจาก BC = 14 – x + 8 – y จะได BC = 14 – x + 8 – (5 – x) BC = 17 เซนตเมตร

y (14 – x)

(14 – x) 8 – y

8 – y

(5 – y)

คาตอบกจกรรม “คดหนอย”

รศมของวงกลมยาว 2 2 หนวย แนวคด ลาก AE BC⊥ เนองจาก ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว จะได AE แบงครง BC (สมบตของรปสามเหลยมหนาจว) และ AE ผานจดศนยกลาง O (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบรศมของวงกลมทจดสมผส) AE2 = 122 – 42 = 144 – 16 = 128 ใหรศมของวงกลมยาว x หนวย จะได AO2 = x2 + 82 AO = 2x 64+ AO + x = 128 2x 64 x+ + = 128 2x 64+ = 128 – x x2 + 64 = ( 128 – x)2 x2 + 64 = 128 – 2 128 x + x2 64 = 128 – 2 128 x 2 128 x = 128 – 64 128 x = 32 x = 32

= 3232 2 32 32

= 322 = 4 2

2 = 2 2 หนวย

คาตอบกจกรรม “ไกลแคไหน”

1. ประมาณ 6,271.5 กโลเมตร

คานวณจาก r = 2112 12−

2. มากกวา เพราะ ระยะ 112 กโลเมตร เปนระยะทวดในแนวสวนของเสนตรง แต สวนโคงของโลก ( CB ) ยาวกวา 112 กโลเมตร 3. 1) ประมาณ 35.78 กโลเมตร คานวณจาก d2 ≈ (2 × 6,400 × 0.1) + (0.1)2 2) ประมาณ 339.5 กโลเมตร คานวณจาก d2 ≈ (2 × 6,400 × 9) + 92 3) มองไดไกลมากขน เพราะ d2 = 2rh + h2 เมอ h มากขน จะทาให d2 มากขนดวย ดงนน จานวนทแทน d จะเปนจานวนทมากขน

คาตอบกจกรรม “ระยะรอบโลก”

ประมาณ 21 กโลเมตรตอชวโมง คานวณจาก 40,076

80 24× ≈ 21 กโลเมตรตอชวโมง

บทท 4 เศษสวนของพหนาม (13 ชวโมง)

4.1 การดาเนนการของเศษสวนของพหนาม (4 ชวโมง) 4.2 การแกสมการเศษสวนของพหนาม (3 ชวโมง) 4.3 โจทยปญหาเกยวกบเศษสวนของพหนาม (6 ชวโมง) สาระของบทนเปนความรตอเนองเกยวกบเศษสวนของพหนามทนกเรยนเคยเรยนมาแลวใน หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 ในบทนจะกลาวถง การบวก การลบ การคณและการหารเศษสวนของพหนามทซบซอนขนโดยอาศยการแยกตวประกอบ ของพหนาม การนาความรดงกลาวไปใชในการแกสมการเศษสวนของพหนามและแกโจทยปญหาเกยวกบ เศษสวนของพหนาม การบวก การลบ การคณและการหารเศษสวนของพหนามเปนพนฐานของการแกสมการเศษสวนของพหนามซงจะมประโยชนในการเรยนคณตศาสตรขนสงขนตอไป กจกรรมการเรยนการสอนสวนใหญจงเนนการทาแบบฝกหดเพอใหนกเรยนเกดทกษะในการดาเนนการของเศษสวนของพหนาม และ การแกสมการเศษสวนของพหนาม สาหรบการเขยนคาตอบของการดาเนนการของเศษสวนของพหนาม อนโลมใหนกเรยนเลอกตอบแบบใดแบบหนงดงในตวอยางท 2 หนา 153 ของหนงสอเรยน เนองจากเศษสวนของพหนามมเงอนไขวาพหนามทเปนตวสวนจะตองไมเปนศนย ดงนนในการแกสมการเศษสวนของพหนาม ครควรยาใหนกเรยนพจารณาวาคาตอบทไดนนจะตองไมทาใหพหนามทเปนตวสวนเปนศนย สาหรบเนอหาเกยวกบกระแสนาและรถไฟ เสนอไวเพอเสรมความรและฝกทกษะในการแกโจทย ปญหาของนกเรยน การจะนาเนอหาเหลานไปสอนหรอไม ใหขนอยกบดลยพนจของผสอน ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 1. บวก ลบ คณและหารเศษสวนของพหนามทกาหนดใหได 2. แกสมการเศษสวนของพหนามได 3. แกโจทยปญหาเกยวกบเศษสวนของพหนามได 4. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได

แนวทางในการจดการเรยนร 4.1 การดาเนนการของเศษสวนของพหนาม (4 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. คณและหารเศษสวนของพหนามและเขยนผลลพธเปนเศษสวนของพหนามในรปผลสาเรจได 2. บวกและลบเศษสวนของพหนามและเขยนผลลพธเปนเศษสวนของพหนามในรปผลสาเรจได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครทบทวนเศษสวนของพหนามอยางงาย การคณและการหารเศษสวนเพอนาไปสความเขาใจหลกการคณและการหารเศษสวนของพหนามอยางงาย นอกจากนครควรทบทวนการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองและดกรสามทนกเรยนเคยเรยนมาแลว 2. ในตวอยางท 1 ถง 6 ซงเปนตวอยางเกยวกบการคณและการหารเศษสวนของพหนามนาเสนอโดยเรยงลาดบจากงายไปยาก ครควรชใหนกเรยนสงเกตเหนวามการแยกตวประกอบของพหนามทงตวเศษ และตวสวนกอนเพอทาใหสามารถตดทอนเปนเศษสวนของพหนามทอยในรปทงายขนสะดวกในการคานวณขนตอไป ครอาจเลอกเฉพาะบางตวอยางมาแสดงใหนกเรยนดขนตอนการคานวณ ตวอยางทเหลอใหนกเรยนศกษาเอง 3. ในการสอนการบวกและการลบเศษสวนของพหนาม ครควรจะทบทวนการบวกและการลบเศษสวนทมตวเศษและตวสวนเปนจานวนเตมกอนเพอใหนกเรยนเหนขนตอนซงจะนามาสการบวกและ การลบเศษสวนของพหนาม ในกรณพหนามทเปนตวสวนไมเทากน ครควรใหนกเรยนทาพหนามทเปนตวสวนใหเทากนโดยหาพหนามมาคณทงพหนามทเปนตวเศษและพหนามทเปนตวสวน ครไมควรพดเรอง ค.ร.น. ของพหนามเพราะยงไมมความจาเปนตองกลาวถงในระดบน และในบทเรยนทผานมาไมเคยกลาวถงการหา ค.ร.น. ของพหนาม 4. สาหรบตวอยางท 7 ถง 11 เปนตวอยางเกยวกบการบวกและการลบเศษสวนของพหนามโดยเรยงลาดบจากงายไปยาก ครควรชใหนกเรยนสงเกตวาพหนามดกรสองและพหนามดกรสาม ควร แยกตวประกอบกอน (ถาทาได) เพราะอาจจะสามารถตดทอนใหอยในรปเศษสวนของพหนามอยางงายหรอเหนตวสวนทเหมอนกนไดงายขน

4.2 การแกสมการเศษสวนของพหนาม (3 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. แกสมการทเกยวของกบเศษสวนของพหนามได 2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ตวอยางท 1 และตวอยางท 2 เปนการทบทวนความรเดมของนกเรยนเกยวกบการแกสมการ ของนกเรยน ครอาจเพมตวอยางสมการเศษสวนของพหนามซงทาในทานองเดยวกน โดยเรมตงแตตวสวน ของพหนามทเปนพจนเดยว เชน 6 + 19

x = 2-19x

2. ครควรยากบนกเรยนวาตวสวนของเศษสวนของพหนามแตละเศษสวนของพหนามจะตองไมเปนศนย ดงนนในการตรวจสอบคาตอบของสมการจงควรนาเงอนไขนมาพจารณาดวย 3. สาหรบแบบฝกหด 4.2 ขอ 6 ครอาจแนะนาแนวคดไดดงน วธท 1 4

n 5− = 4-(n 5)−

4n 5− = -4

n 5−

จะได 4 = -4 ซงเปนประโยคทไมเปนจรง นนคอ สมการนไมมคาตอบ

วธท 2 4 × (5 – n) = (n – 5) × 4 20 – 4n = 4n – 20 8n = 40 n = 5 แต n เทากบ 5 ไมได เพราะถา n เทากบ 5 จะทาใหเศษสวนของพหนามใน สมการมตวสวนเปนศนย นนคอ สมการนไมมคาตอบ สาหรบแบบฝกหด 4.2 ขอ 8 ครอาจนามาอภปรายในชนเรยนโดยใหนกเรยนออกมาทา หนาชนจนกระทงไดวา 3 = 4 ซงเปนประโยคทไมเปนจรง นกเรยนกจะไดขอสรปวาสมการนไมมคาตอบ

4.3 โจทยปญหาเกยวกบเศษสวนของพหนาม (6 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. แกโจทยปญหาเกยวกบสมการเศษสวนของพหนามได 2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครทบทวนขนตอนการแกโจทยปญหาโดยการสรางสมการในรปเศษสวนของพหนาม อาจใชโจทยในตวอยางท 1 มาแสดงวธทาและชใหเหนขนตอนการแกสมการเศษสวนของพหนามตามทนกเรยนเคยเรยนมาแลว ครควรเนนใหนกเรยนตรวจสอบคาตอบซงจะตองนาคาของตวแปรไปตรวจสอบกบเงอนไขในโจทย สาหรบตวอยางท 2 เปนโจทยปญหาเกยวกบอตราเรวซงครอาจจะทบทวนวาอตราเรวในทนเปนอตราเรวเฉลยและสามารถหาไดจากสตร

อตราเรว =

หรอ เวลา = 2. สาหรบแบบฝกหด 4.3 เปนการแกโจทยปญหาเกยวกบสมการเศษสวนของพหนาม โดยเฉพาะโจทยปญหาเรองอตราเรว ครควรเนนใหนกเรยนระมดระวงการเปลยนหนวยใหเปนหนวย เดยวกนกอนทจะเขยนในรปของสมการ เชน หนวยของเวลา และหนวยของระยะทาง โจทยในขอ 9 ถง 12 เปนโจทยทใชแนวคดเกยวกบแรงงานซงโดยทวไปจะมการเทยบหาปรมาณงานททาไดใน 1 หนวยเวลา กอนจะนามาเขยนสมการตามเงอนไขทโจทยกาหนด 3. การจดกจกรรมการเรยนการสอนเรองกระแสนาและรถไฟ ครควรชใหนกเรยนเหนวาสตรท

ใชเปนพนฐานในการคานวณยงคงเปนสตร อตราเรว =

สงทอาจเปลยนไปตามสถานการณ คออตราเรวและระยะทาง ครควรเขยนภาพหรอสรางแบบจาลองแสดงการเคลอนทในแตละกรณเพอใหนกเรยนเกดความเขาใจ มความคดรวบยอดเกยวกบ การเคลอนทเหลาน ซงจะทาใหจาและนาสตรในแตละกรณไปใชไดอยางถกตอง หลกการและสตรเกยวกบกระแสนาและรถไฟสามารถนาไปใชแกปญหาทวไปได แตในทนเนนเฉพาะสวนทเกยวของกบเศษสวนของพหนาม 4. กจกรรม “ลองคดด” ตองการใหนกเรยนสงเกตแบบรปเพอนามาสรปเปนรปทวไปทอยใน รปเศษสวนของพหนาม

ระยะทาง เวลา

ระยะทาง อตราเรว

ระยะทาง เวลา

5. กจกรรม “คดไดไหม” เปนการเชอมโยงเรองสมการเศษสวนของพหนามกบความคลาย ในการหาพนทของรปสามเหลยม

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม คาตอบแบบฝกหด 4.1 ก

1. 1) 2 (x 7)5 +

2) 1(2x 3)(3x 2)+ + หรอ 2

16x 13x 6+ +

3) x 1x 2−+

4) 3y(2y 3)(y 1)(1 2y)− −

+ หรอ 2

26y 9y

-2y 3y 1−++

5) y 1y 5−+

6) 23 (x + 1)(x + 5) หรอ

22x 12x 103

7) 2(2z 7)-z(3z 8)

−+ หรอ 2

4z 14-3z 8z

8) 2(x 2)(x 1)(x 2)− −+ หรอ

22x 6x 4x 2− ++

9) -(3z 4)(z 5)3

− + หรอ 2-3z 11z 20

3− +

10) y 1y 3−

2. 1) x 3

x 7−+

2) 2z2(z – 1) หรอ 2z3 – 2z2

3) (5a – 4)(a – 1) หรอ 5a2 – 9a + 4

4) 12(5y 4)−

หรอ 110y 8−

5) 3y 1 y 2

6) x 5x 4−−

7) 24z

z 4z 16− +

8) 24(x 3)(2x 9)− −

หรอ 224

2x 15x 27− +

3. 1) 2x 1

3x 1−+

คาตอบแบบฝกหด 4.1 ข 1. x 11

2x 2−+

2. 23x 8x 6

(x 2)(x 3)(x 3)−+ +

+ + หรอ 2

3 23x 8x 6

x 2x 9x 18− −

3. 22y 6y 362y 9

4. -12(x 6)(x 6)−+ หรอ 2

-12x 36−

5. 7y(y 2)(y 5)(2y 3)− −+ หรอ 3 2

7y2y 9y 11y 30− − +

6. 2-8y 41y 14

y 5−+ +

3 26x 4x

4x 4x x 1−

− − +

8. 2-6x 37x 10

(x 2)(x 2)−+ ++ หรอ

2-6x 37x 10

x 4−

9. 53(x 5)4(x 1)(5x 9)−

++ หรอ 2

53x 26520x 16x 36− −

10. 3x 6 x 3++

คาตอบแบบฝกหด 4.2 1. -1 2. 2 3. -5 และ 5 4. 1 และ 4 5. -4 6. ไมมคาตอบ 7. 3 8. ไมมคาตอบ 9. -6 10. 2 และ 5 11. 4 12. 1

5 13. 3 14. -3 และ 4 15. ไมมคาตอบ 16. -4 และ 3 17. 2 18. 2 และ 5

คาตอบแบบฝกหด 4.3 1. 20 บาท ตวอยางแนวคด ใหเดมหนงสอราคาเลมละ x บาท

จะไดสมการเปน 200

2x −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(x + 5) = 200

2. 60 กโลกรม ตวอยางแนวคด ใหพอคาซอสมมา x กโลกรม

จะไดสมการเปน (x + 20)540x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3. กระดาษทเยบเปนเลมชดแรกม 20 แผน กระดาษทเยบเปนเลมชดหลงม 25 แผน ตวอยางแนวคด ใหกระดาษทเยบเปนเลมชดแรกม x แผน จะไดสมการเปน 200 200

x x 5+ + = 18 4. 3 กโลเมตร ตวอยางแนวคด ใหเดมศจเดนไดชวโมงละ x กโลเมตร ถาศจเดนเรวขนอก 1 ชวโมง เดนทาง 9 กโลเมตร ใชเวลานอยลง 45 นาท = 3

4 ชวโมง

จะไดสมการเปน 9 9x x 1− + = 3

4 5. พงษพมพไดนาทละ 65 คา พนธพมพไดนาทละ 30 คา ตวอยางแนวคด ใหพงษพมพดดไดนาทละ x คา จะไดสมการเปน 325

x = 150x 35−

6. ศกดเดนดวยอตราเรว 4 กโลเมตรตอชวโมง สรรคเดนดวยอตราเรว 12 2 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหศกดเดนดวยอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 10

1x 1 2− – 10

x = 11 2

7. 40 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหรถไฟแลนดวยอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง

จะไดสมการเปน 60 60 120x x 8 x−

−+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 122 2 60×

8. 60 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของรถในระยะแรกเปน x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 120 200

x x 40+ + = 4

9. 60 นาท ตวอยางแนวคด ใหโองทสามไดนาจากกอกทสองเพยงกอกเดยวและไดนาเตมโองในเวลา x นาท ในเวลา 1 นาทโองทสามไดนาจากกอกทสอง 1

x ของโอง

ในเวลา 1 นาทโองแรกไดนาจากกอกทหนง 130 ของโอง

ในเวลา 1 นาทโองทสองไดนาจากทงสองกอก 120 ของโอง

จะไดสมการเปน 1 1x 30+ = 1

20 10. 24 นาท ตวอยางแนวคด ใหเปดทอใหญทอเดยวใชเวลา x นาท นาจงจะเตมสระ จะไดสมการเปน 1 1

x x 16+ + = 115

11. 20 วน ตวอยางแนวคด ให ข ทางานคนเดยวเสรจในเวลา x วน ในเวลา 1 วน ข ทางานได 1

x ของงาน

ในเวลา 1 วน ก ทางานได 2 13 x× ของงาน

ในเวลา 1 วน ก และ ข ชวยกนทางานได 112 ของงาน

จะไดสมการเปน 2 13x x+ = 1

12 12. 22 ชวโมง ตวอยางแนวคด ใหผใหญ 1 คนทางานเสรจในเวลา x ชวโมง ผใหญ 1 คนทางาน 1 ชวโมงไดงาน 1

x ของงาน

ผใหญ 9 คนทางาน 2 ชวโมงไดงาน 18x ของงาน

ผใหญ 9 คน เดก 6 คน ทางานเสรจใน 2 ชวโมง ดงนน เดก 6 คน ทางาน 2 ชวโมงไดงาน 1 – 18

x = x 18x− ของงาน

เดก 1 คน ทางาน 1 ชวโมงไดงาน x 1812x− ของงาน

เดก 7 คน ทางาน 3 ชวโมงไดงาน 21(x 18)12x− ของงาน

ผใหญ 5 คน ทางาน 3 ชวโมงไดงาน 1x × 15 = 15

x ของงาน ตามเงอนไขโจทย ผใหญ 5 คน เดก 7 คน ทางาน 3 ชวโมง ไดงาน 1 งาน จะไดสมการเปน 21(x 18)

12x− + 15

คาตอบกจกรรม “กระแสนา” 1. 5 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของเรอทพายทวนนาเปน x กโลเมตรตอชวโมง เนองจาก อตราเรวของกระแสนาเปน 5 กโลเมตรตอชวโมง จะได อตราเรวของเรอทพายในนานงเปน x + 5 กโลเมตรตอชวโมง อตราเรวของเรอทพายตามนาเปน (x+ 5) + 5 = x + 10 กโลเมตรตอชวโมง พายเรอทวนนาใชเวลามากกวาพายรอตามนา 40 นาท = 2

3 ชวโมง

จะไดสมการเปน 5x – 5

x 10+ = 23

2. 5 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหกระแสนามอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง เนองจาก ระยะทาง 5 กโลเมตร ใชเวลากรรเชยงเรอตามนา 12 นาท = 1

5 ชวโมง

จะได อตราเรวของเรอกรรเชยงตามนาเปน 515

= 25 กโลเมตรตอชวโมง

ดงนน อตราเรวของเรอในนานงเปน 25 – x กโลเมตรตอชวโมง นนคอ อตราเรวของเรอกรรเชยงทวนนาเปน 25 – 2x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 5

25 2x− = 20

60 3. 19 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของเรอในนานงเปน x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 48

x 5+ + 28x 5− = 4

4. 10 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหกระแสนามอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 10

30 x− + 10

30 x+ = 4560

5. อตราเรวของกระแสนา 6 กโลเมตรตอชวโมง อตราเรวของเรอในนานง 20 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของกระแสนาเปน x กโลเมตรตอชวโมง จะไดอตราเรวของเรอในนานงเปน 3x + 2 กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 28

(3x 2) x−+ – 26(3x 2) x+ + = 1

คาตอบกจกรรม “รถไฟ”

1. 89 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของรถยนตเปน x กโลเมตรตอชวโมง รถยนตยาว 3 เมตร เทากบ 0.003 กโลเมตร รถไฟยาว 200 เมตร เทากบ 0.2 กโลเมตร จะไดสมการเปน 0.203

x 60− = 25.2

3,600 2. 75 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของรถไฟแตละขบวนเปน x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 0.35 0.4

2x+ = 18

3,600 3. 60 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหรถไฟแลนดวยอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง เวลาทรถไฟวงผานสถานเทากบ 0.08 0.02

x+ ชวโมง

เวลาทรถไฟวงผานสมศกดเทากบ 0.08x ชวโมง

จะไดสมการเปน 0.08 0.02

x+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

– 0.08x = 1.2

4. 100 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของรถไฟขบวน ก เปน x กโลเมตรตอชวโมง จะได อตราเรวของรถไฟขบวน ข เปน x – 20 กโลเมตรตอชวโมง เวลาทรถไฟขบวน ก และขบวน ข สวนทางกน เทากบ 0.08 0.065

x (x 20)−+

+ ชวโมง

เวลาทรถไฟขบวน ก แลนผานสมศร เทากบ 0.08x ชวโมง

จะไดสมการเปน 0.08 0.065x (x 20)−

++ – 0.08

x = 0.023,600

คาตอบกจกรรม “ลองคดด”

เพราะ n n 1n 1 n

−−+ = (n 1)(n 1)n n (n 1)n (n 1)n

−−

++ +×

n n 1 (n 1)n (n 1)n−−+ +

= 2 2n n 1(n 1)n− ++

= 1(n 1)n+

เมอ n แทนจานวนจรงทไมเทากบ -1 และ 0

คาตอบกจกรรม “คดไดไหม”

h – 1 h + 43

แนวคด ให AD เทากบ h หนวย จะได BD = h – 1 หนวย และ CD = h + 4

3 หนวย

เนองจาก BA D∧

= ACD∧

และ A DB∧

= CDA∧

= 90o ดงนน ∆ ABD ∼ ∆ CAD จะได BD

AD = ADCD

นนคอ h 1h− = h

(h – 1)4

h 3+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

h2 + 13 h – 4

3 = h2 h = 4 ดงนน AD = 4 หนวย BD = 4 – 1 = 3 หนวย CD = 4 + 4

= 163 หนวย

BC = BD + CD = 3 + 16

= 253 หนวย

นนคอ พนทของ ∆ ABC = 12 ×

253 × 4

= 503 หรอ 216 3 ตารางหนวย

คณะกรรมการจดทาสอการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน นางสาวลดดาวลย เพญสภา มหาวทยาลยธรรมศาสตร นายปรชา เนาวเยนผล มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช นางสาวอมพร มาคนอง จฬาลงกรณมหาวทยาลย นางสาวรงฟา จนทจารภรณ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ ประสานมตร นางจารน สตะบตร สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นายสมพล เลกสกล สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นางปยรตน จาตรนตบตร สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นางอารยา สวรรณคา สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นางเจรญศร จนไพบลย สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นางสาวจารวรรณ แสงทอง สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นางชลพร สภธระ สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นางสาวรจนา รตนานคม สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นายสรชน อนทสงข สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นางสาววนด ตระสหกล สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย นายรณชย ปานะโปย สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย คณะบรรณาธการ นายสมพล เลกสกล นางสาวจารวรรณ แสงทอง นางปยรตน จาตรนตบตร นางชลพร สภธระ

ผจดพมพตนฉบบ นางสาวเสาวนย ประมลทรพย

คู่มือครู คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.3...

Documents

Transcript of คู่มือครู คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.3...

กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ · ค [ x z x y คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2.0 4 ่ค

ดอกไม้ผ้าใยบัว เล่ม 1 · ดอกไม้ผ้าใยบัว เล่ม 1 Author: กรรณิการ์ พันธเสน Subject:

สาระการเรียนรู้รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค ... · - หนังสือคณิตศาสตร์

คู่มือครู คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.2เล่ม 2

คู่มือครู English Primer Book 1

เล่มที่ 22 รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค23201แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง

แผน 2คณิตศาสตร์เพิ่มเติม3

คู่มือครู คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6เล่ม 1

คู่มือครู การจัดการเรียนรู้ แบบการแก้ปัญหาอย่างสร้างสรรค์ · ค าชี้แจง

คู่มือครู - science.wu.ac.th · 2 คู่มือครู ปฏิบัติการวิทยาศาสตร์ เรื่อง แสง คู่มือนี้จัดท

เกษตรอินทรีย์ เล่ม 6 ผึ้งอินทรีย์ · เกษตรอินทรีย์ เล่ม 6: ผึ้งอินทรีย์

แบบฝึกทักษะการคิดค านวณkm.streesp.ac.th/files/140514099443145_14061316163917.pdf · รายวิชา ค22201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

ตารางสอบกลางภาคปีการศึกษา 2560 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1€¦ · ค21201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

1. คู่มือครู ชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ชุดที่ 1 เรื่อง ... · 1.1 คู่มือครูชุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

บทเรียนส าเร็จรูป · วิชาคณิตศาสตร์ ... 3. คู่มือครู 4. ... อัตรำส่วนของอำยุของเอ๋ต่ออำยุของอำมเท่ำกับ

เล่ม 1 อัตราส่วน - kroobannok.com · รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน3 เล่ม 1 ... ตัวชี้วัด

คู่มือครู OTPC แผนการสอน200วัน ชั้นประถมศึกษาปีที่1 เล่ม1

(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.1

คู่มือครู(กิจกรรม) การจัดองค์ประกอบศิลป์ด้านคอมพิวเตอร์กราฟิก บทที่_1-3

Agenda - static.trueplookpanya.com•ม.1 - ม.6 ได้ ... คู่มือครูMultimedia ... เน้นทักษะการเรียนการสอนวิชาภาษาไทยและคณิตศาสตร์