1. Introduzione

Lo scopo di questo elaborato è quello di effettuare il controllo multi variabile attraverso un controllo LQ su orizzonte Infinito di Un Velivolo di medie dimensioni( si vedano caratteristiche listato).

Consideriamo un velivolo del tipo Aereo mobile costituito essenzialmente da - Fusoliera;- I piani orizzontale e verticale di Coda;- Le Ali (parte predominante).

Quelli di cui ai punti 2 e 3 costituiscono essenzialmente le parti attive costituite delle superfici atte alla generazione delle forzanti e dei momenti aerodinamici che tengono in equilibrio il velivolo.Considerando, ad esempio il seguente profilo alare possiamo capire quali siano le forze fondamentali a cui è soggetto il sistema in volo:

La conformazione del profilo alare separa il flusso d’aria creando sulla parte superiore una depressione che genera una forza verso l’alto L chiamata Portanza. Essendo immersa in un fluido questa sarà soggetta anche ad una forza di attrito viscoso D, inoltre viene rappresentata la velocità V del velivolo e dei momenti di torsione M. Questo discorso può essere generalizzato a ogni parte attiva dell’aereo, vi saranno dunque dei vettori di portanza, attrito e velocità risultanti relativi al centro di gravità dell’aereo mobile. Sfruttando questi principi, attraverso delle superfici mobili situate sulle ali e sui profili orizzontali e verticali il velivolo riesce a compiere dei movimenti, che sono quelli che gli consentono di seguire le traiettorie stabilite.

In modo particolare, se fissiamo un sistema di assi di riferimento inerziale detto sistema di Assi di Corpo come segue:

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1) Attraverso la variazione dell’inclinazione degli alettoni di coda contemporaneamente, l’aereo compie la manovra detta di Beccheggio: rotazione dell’aereo rispetto all’asse y;

2) Mediante la variazione di inclinazione degli alettoni delle Ali(quello dell’Ala dx in verso opposto rispetto a quello di sx ), il velivolo compie la manovra di Rollio: rotazione dello stesso rispetto all’asse x;

3) La rotazione del timone di coda fa compiere infine all’aereo mobile la manovra di Imbardata : rotazione rispetto a z.

Infine il modello viene ricavato tenendo conto dei seguenti sistemi di riferimento:

Nel quale, la terna NED e quella inerziale con il moto del velivolo.Oltre a questi è presente la terna assi vento, importante per la definizione della direzione della velocità rispetto alla posizione in aria dell’aereo.

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2. Modello velivolo

Nella definizione del modello seguente, verrà considerato un modello semplificato considerando diverse ipotesi semplificative, definite le quantità: Φ angolo di rollio, Θ angolo di beccheggio, Ψ angolo di imbardata, che descrivono la rotazione degli assi CORPO rispetto agli assi NED nelle manovre di cui sopra;

α angolo di attacco (beccheggio rispetto alla direzione del vento), β angolo di derapata ( imbardata rispetto alla direzione del vento).

HP1: Velocità tale da garantire la condizione di flusso stazionario, ovvero assenza di moti vorticosi.

HP2: Φ , d Φdt

,d Ψdt

=¿ 0 Ovvero volo ad ali livellate;

Con queste ipotesi si può considerare la dinamica longitudinale disaccoppiata da quella latero-direzionale, inoltre

HP3: supponiamo β =0, cioè velivolo in presenza di solo vento di fronte;

In pratica si vuole ricavare il modello non lineare, di un velivolo in condizione di volo in equilibrio stabile, ali livellate e vento di fronte; del quale si considererà la sola dinamica longitudinale, per la quale, l’unica manovra possibile e il beccheggio.

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Le equazioni del modello semplificato risultano:

dVdt

= - g DW

+ gTW

cos α – g sin γ

dαdt

= - L g

W V sin α -

T gW V

sin α + q + gV

cos γ

dqdt

= MIy

dΘdt = q

dhdt = V sin γ

Con

W= mg , γ = Θ- α ;

Inoltre

D = 0.5 ρ0 V2 S CD

L = 0.5 ρ0 V2 S CL

M = 0.5 ρ0 V2 S c’ CM

Dove

CD = CD0 + CDα α

CL = CL0 + CLα α + CLδe δe + CLq c '

2V q

CM = CM0 + CMα α + CMδe δe + CMq c '

2V q

Definiamo stati del sistema

X = [ V α q Θ h]T

Le azioni di controllo avvengono mediante:

U = [T δe]T

Rispettivamente spinta e deflessione dell’alettone di coda.

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3. Controllo LQR

Si vuole tarare un controllo LQR in modo da controllare il sistema alla traiettoria di riferimento,a partire da una diversa condizione di volo iniziale.1) Utilizzando l’ambiente MATLAB per prima cosa si crea il modello lo schema simulink del modello

non lineare definito dalla ISU di cui sopra, e rappresentato in seguito:

Nel quale è presente il subsystem3 così formato:

E i subsystem 0, 1, 2 tutti della struttura riportata di seguito con le opportune costanti cambiate(si vedano le equazioni sopra).

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2) La fase successiva riguarda la definizione del modello linearizzato nell’intorno della traiettoria di riferimento

X0’=[80 0 0 0 500] U0’=[2500 0]

Prima di fare ciò, attraverso la funzione TRIM( ) , ricaviamo la traiettoria di equilibrio coerente con quella voluta, il risultato ottenuto è :

X0’=[80 0 0 0 500]U0=[3000 0]

Successivamente si ricava il modello linearizzato attraverso LINMOD( ), ottenendo la quadrupla (A, B, C, D).

Vengono effettuati i seguenti test sul linearizzato: Eig (A)=

0 -2.0124 + 3.0097i

-2.0124 - 3.0097i -0.0090 + 0.1463i -0.0090 - 0.1463i

Rank (HR)= 5;

Attraverso la prima verifica si vede l’attendibilità del modello in base agli autovalori ottenuti;La seconda, garantisce la completa raggiungibilità del sistema linearizzato.E’ possibile quindi procedere al progetto del controllo LQR rispetto al Linearizzato e all’applicazione di tale controllo al modello non lineare.

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3) Assegnati Q, R,

q=5;r=80;

con Pesi_X=[1e-2 1e+02 10 1 1e-2];Pesi_U=[1e-3 100];

quindiQ=q*diag(Pesi_X);R=r*diag(Pesi_U);

la retroazione si ottiene attraverso la funzione

[K,S_are,E]=LQR(A,B,Q,R,[])

Applicando il controllo al modello non lineare come si vede in figura:

La fase finale consiste nell’assegnare una qualsiasi condizione di volo diversa dalla condizione di trim voluta e tarare il controllo attraverso la variazione dei parametri Q, R. Se il sistema parte da una condizione di volo ad una diversa velocità iniziale e quota definita dalla C I :

Xi = [100 0 0 0 1000]T

Si ottiene il seguente comportamento dello stato del sistema a ciclo chiuso, e dell’azione di controllo:

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Mentre l’azione di controllo:

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Si supponga di voler tarare il controllo in modo che la manovra venga effettuata “dolcemente”:

Impostando i parametri:

q=50;r=130;

e i pesi

Pesi_X=[5e-2 1e+02 10 1 0.5e-3];Pesi_U=[1e-3 1e3];

quindi

Q=q*diag(Pesi_X);R=r*diag(Pesi_U);

I risultato sarà:

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4. Appendice

Di seguito si riporta il listato MATLAB:

clear allclose allglobal ro S W g c Iy CL0 CLa CLq CLde CD0 CDa CDq CDde CM0 CMa CMq CMde X0 %======================= Dati fisici ===================== ro=1.225; %densità dell'aria [kg/m3]S=25.20; %superficie alare [m2]W=34000; %peso [N]g=9.81; %accel di gravità [m/s2]c=1.95; %corda media [m]Iy=19904; %momento d'inerzia [kgm2] %==================== Dati aerodinamici ================== %------ coefficiente di Lift ---------CL0=0.201;CLa=5.48;CLq=8.1;CLde=0.60;%------ coefficiente di Drag ---------CD0=0.027;CDa=0.131;CDq=0;CDde=0;%------ coefficiente di Momentum -----CM0=0.05;CMa=-1.89;CMq=-34.0;CMde=-2.0;%===================== stato iniziale ===================X0=[80 0 0 0 500];CI=[2500 0];%===================== definizione Linearizzato ========== [X,U,Y,DX]=TRIM('modello_velivolo',X0(1:5)',CI',X0',[2 4],[2],[1]);

X0=X;[A,B,C,D]=linmod('modello_velivolo',X',U);

%verificadisp('Autovalori:')eig(A)disp('dimensione spazio di raggiungibilità: ')HR=[B A*B A*A*B A*A*A*B A*A*A*A*B];rank(HR)

%=================Controllo LQ======================q=50;r=130;

%devo normalizzare perchè le grandezza sono di ordine diversoPesi_X=[5e-2 1e+02 10 1 0.5e-3];Q=q*diag(Pesi_X);

%devo normalizzare perchè le grandezza sono di ordine diversoPesi_U=[1e-3 1e3];R=r*diag(Pesi_U);[K,S_are,E]=LQR(A,B,Q,R,[]);KX0UYopen('prova_non_lin_vel');sim('prova_non_lin_vel');

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