SESION N° 16 ED HOMOGENEAS - LINEALES
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8/19/2019 SESION N° 16 ED HOMOGENEAS - LINEALES
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ANÁLISIS
MATEMÁTICO II
ECUACIONES
DIFERENCIALES
HOMOGÉNEAS
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8/19/2019 SESION N° 16 ED HOMOGENEAS - LINEALES
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PROPÓSITO
Resuelve E.Dhomogéneas
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8/19/2019 SESION N° 16 ED HOMOGENEAS - LINEALES
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Una E.D. ordinaria de primer orden y de primer grado de laforma
Es homogénea si M y N son funciones homogéneas delmismo grado en x e y Ejemplo:
HOMOGÉNEAS
( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy+ =
3 3 2
/
3 2 2 2 2 2
2 2
( ) 0
2
( ) 0
( ) cos( )
y x
x y dx y xdydy
x y xedx
x y x y dx xy x y dy
y y x y yarcsen dx x dy
x x
−
• − + =• = +
• + + − + =
• − − =
-
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La E.D.H. siempre se puede representar en la forma
ntroduciendo una nue!a !aria"le inc#gnita $ la
ecuaci#n diferencial homogénea se reduce a la ecuaci#n con !aria"le separa"le
%"s. &l resol!er las E.D.H. no es indispensa"le reducirlas a laforma general mostrada al inicio. 'e puede hacerinmediatamente la sustituci#n .
SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
( )dy y
dx xψ =
yu
x=
( )du
x u udx
ψ = −
y ux=
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo () *esol!er la ecuaci#n diferencial
4 3 (2 3 ) 0 x y y y x′− + − =
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo (+ *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 22 4 3dy
xy x ydx
= +
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo (, *esol!er la ecuaci#n diferencial
( 2 )
( 2 )
dy y y x
dx x x y
−=
−
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo (- *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 2 2 24 ( 4 ) 0dy
x xy y x xy ydx
− + + − + =
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo ( en la siguiente ED hallar el !alor de /a0$ de talmanera 1ue dicha ecuaci#n sea homogénea y resol!er dichaecuaci#n con la condici#n de 1u e y2)3 4 +
3 2 3 1 4 1
2 ( ) 0a a a
xy dx a x y x y dy− −
+ − =
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo (5 *esol!er la ecuaci#n diferencial
( ) xdy xsenx y dx= −
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo (6 *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 2
2
3
xy y
x y′ =
−
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo (7 *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 2 xy y y x′ = + −
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo )( *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 2 xy y x′ = −
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo )) *esol!er la ecuaci#n diferencial
2(tan ) cos y x y x′ + =
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA
Ejemplo (, *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 2 2( 3 ) 0 x xy y dx x dy+ + − =
-
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POR TU TIEMPO…
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ANÁLISIS
MATEMÁTICO II
ECUACIONES
DIFERENCIALES
LINEALES DE PRIMER
ORDEN Y ECUACIONESDIFERENCIALES DE
BERNOULLI
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PROPÓSITOResuelve E.D lineales de
primer orden por el métododel a!tor integrante.
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ORDENLas ecuaciones diferenciales de la forma
8 2)3
donde son funciones continuas de /x0 $ se llamaecuaci#n diferencial lineal de primer orden
'i $ la ecuaci#n 2)3 se llama E.D. lineal homogénea yes de !aria"le separa"le y su soluci#n es dada por
'i $ la ecuaci#n 2)3 se llama E.D. lineal no homogénea
y su soluci#n es dada por la expresi#n:
( ) ( )
dy
P x y Q xdx+ =
( ) P x dx y ce
−∫ =
( ) ( ) P x y Q x
( ) 0Q x =
( ) 0Q x ≠
( ) ( )
( ) P x dx P x dx
y e e Q x dx c− ∫ ∫ = + ∫
SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DEPRIMER ORDEN
Ejemplo () *esol!er la ecuaci#n diferencial
64 xdy
x y x e
dx
− =
SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DEPRIMER ORDEN
Ejemplo (+ *esol!er la ecuaci#n diferencial
2
2 2 x y xy xe′ − =
SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DEPRIMER ORDEN
Ejemplo (, *esol!er la ecuaci#n diferencial
22 2 y y x x′ + = +
SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DEPRIMER ORDEN
Ejemplo (- *esol!er la ecuaci#n diferencial
3ln (3ln 1)dy
x x y x x
dx
− = −
SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DEPRIMER ORDEN
Ejemplo ( *esol!er la ecuaci#n diferencial
cos cos , (0) 1 y y x senx x y′ + = =
SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DEPRIMER ORDEN
Ejemplo (5 *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 xy y x senx′ = +
SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DEPRIMER ORDEN
Ejemplo (9 *esol!er la ecuaci#n diferencial
22 3 xy y x′ − =
SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DEPRIMER ORDEN
Ejemplo (6 *esol!er la ecuaci#n diferencial
2( 9) 0dy
x xy
dx
− + =
-
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ANÁLISIS
MATEMÁTICO II
ECUACIONES DE
BERNOULLI
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PROPÓSITOResuelve E.D lineales de
primer orden de"ernoulli
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E.D. DE BERNOULLILas ecuaciones diferenciales de ernoulli
8 2)3
Donde $ para resol!er esta ecuaci#n se transforma enuna ecuaci#n diferencial lineal$ mediante la sustituci#n
); & la ecuaci#n 2)3 se multiplica por
( ) ( ) ndy P x y Q x ydx
+ =
1 n z y −=
0;1n ≠
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BERNOULLI); & la ecuaci#n 2)3 se multiplica por $ es decir
+; & la ecuaci#n diferencial del primer paso se multiplica por$ es decir
,; 'ea
-; 'e reempla
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SOLUCIÓN DE UNA ED DEBERNOULLI
Ejemplo () *esol!er la ecuaci#n diferencial
32 2dy
x y xy
dx
+ =
SOLUCIÓN DE UNA ED DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED DEBERNOULLI
Ejemplo (+ *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 3 2 22 (1 2 ) x y x y y x′ + = +
SOLUCIÓN DE UNA ED DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED DEBERNOULLI
Ejemplo (, *esol!er la ecuaci#n diferencial
3
23 2
x xy y
y
′ − =
SOLUCIÓN DE UNA ED DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED DEBERNOULLI
Ejemplo (- *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 2dy x y x y
dx
+ =
SOLUCIÓN DE UNA ED DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED DEBERNOULLI
Ejemplo ( *esol!er la ecuaci#n diferencial
3
0
2
x y ydx x dy
+ − =
÷
SOLUCIÓN DE UNA ED DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED DEBERNOULLI
Ejemplo (5 *esol!er la ecuaci#n diferencial
22 cscdy
y y ctgx x
dx
+ =
SOLUCIÓN DE UNA ED DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED DEBERNOULLI
Ejemplo (9 *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 2 2(1 ) x y xy x y′+ = +
SOLUCIÓN DE UNA ED DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED DEBERNOULLI
Ejemplo (6 *esol!er la ecuaci#n diferencial
2 2(2 cos ) 4 xseny y y x sen y′ = +
SOLUCIÓN DE UNA ED DE
-
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SOLUCIÓN DE UNA ED DEBERNOULLI
Ejemplo (7 *esol!er la ecuaci#n diferencial
2cos ( )dy
y senx x senx ydx
= −
