ÁLGEBRA LINEAL Y

ECUACIONES DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

EDO: homogéneas, exactas,

lineales y de Bernoulli.

OBJETIVOS OBJETIVOS

Reconocer e identificar las E.D.O. homogéneas

Aplicar un cambio de variable adecuado para resolver

ecuaciones diferenciales homogéneas.

Reconocer e identificar las E.D.O. exactas

Resolver ecuaciones diferenciales exactas.

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas aplicativos del contexto real

Función homogénea

Si una función 𝑓:𝐃 ⊂ ℝ𝟐 → ℝ tiene la propiedad

𝒇 𝒕𝒙; 𝒕𝒚 = 𝒕𝒏𝒇 𝒙; 𝒚 ; ∀ 𝒙: 𝒚 ∈ 𝑫; ∀𝒕 ∈ ℝ con 𝒕𝒙; 𝒕𝒚 ∈ 𝑫

para algún número real 𝑛, entonces se dice que 𝑓 es una

función homogénea de grado 𝑛

Por ejemplos las siguientes funciones son homogéneas

• 𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟒𝒚𝟑

• 𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 − 𝒍𝒏(𝒚)

• 𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝒙𝟓 + 𝒚𝟓𝟓

• 𝒇 𝒙; 𝒚 =𝒙𝟐−𝒚𝟐

𝒙𝒚

E.D.O homogénea

Una E.D.O de primer orden en su forma diferencial

𝑴 𝒙;𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

Se dice que es homogénea si las dos funciones 𝑀 y N son

homogéneas del mismo grado.

Una E.D.O de este tipo puede ser escrita en la forma

𝒚′ = 𝝍𝒚

𝒙

donde 𝝍 es una función real de variable real

OBSERVACIÓN

E.D.O homogénea

Método de solución

• Hacer una cambio de variable 𝒖 =𝒚

𝒙 o equivalentemente

𝒚 = 𝒖𝒙

• Resolver la E.D.O. de variables separables obtenida

Ejemplo 1

Resuelva la E.D.O.

𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − 𝒙𝟐𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

Esta ecuación es homogénea. Hacemos el cambio de variable

𝒚 = 𝒖𝒙 → 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖

Y obtenemos:

𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 = 𝒖 + 𝒖𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝟏

𝒖𝟐 + 𝟏𝒅𝒖 =

𝟏

𝒙𝒅𝒙

𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪

Y regresando a las variables originales

𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒚

𝒙= 𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪

OBSERVACIÓN

En ocasiones suele ser útil un cambio de variable alternativo

dependiente de la naturaleza de las funciones 𝑀 y 𝑁

• Cambio 𝒚 = 𝒖𝒙 si 𝑁 es de estructura «más simple» que 𝑀

• Cambio 𝒙 = 𝒖𝒚 si 𝑀 es de estructura «más simple» que 𝑁

Ejemplo 2

Resuelva la E.D.O.

𝟐𝒙𝒚𝒅𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

Esta ecuación es homogénea. Como 𝑴 = 𝟐𝒙𝒚 y 𝑵 = (𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝟐), hacemos el cambio de variable

𝒙 = 𝒖𝒚 → 𝒅𝒙 = 𝒖𝒅𝒚 + 𝒚𝒅𝒖

Y obtenemos:

𝟐𝒖𝒚𝒅𝒖 + 𝟏 − 𝒖𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎 𝟐𝒖

𝟏 − 𝒖𝟐𝒅𝒖 = −

𝟏

𝒚𝒅𝒚

𝒍𝒏 𝒚 − 𝒍𝒏 𝟏 − 𝒖𝟐 = 𝑪

Y regresando a las variables originales

𝒍𝒏 𝒚 − 𝒍𝒏 𝟏 −𝒙𝟐

𝒚𝟐= 𝑪

Ejercicio 1

Resuelva cada una de las siguientes E.D.O.

a.- 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 𝒅𝒙 − 𝟑𝒙𝒚𝟐𝒅𝒚 = 𝟎

b.- 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒚 𝒅𝒙 − 𝒙𝒅𝒚 = 𝟎

c.- 𝟏 + 𝒆𝒚

𝒙 𝒅𝒚 + 𝒆𝒚

𝒙 𝟏 −𝒚

𝒙𝒅𝒙 = 𝟎

Solución:

Ejercicio 2

Resuelva cada una de los siguientes P.V.I.

a.- 𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒙− 𝒚 =

𝒚

𝒍𝒏𝒚−𝒍𝒏𝒙; 𝒚 𝟏 = 𝒆

b.- 𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝒙𝟐−𝒚𝟐

𝒙𝟐; 𝒚 𝟐 = 𝟖

Solución:

E.D.O. reducibles a homogéneas

Las E.D.O de la forma

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝝍

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄

𝒎𝒙 + 𝒏𝒚 + 𝒑

donde 𝝍 es una función real de variable real, pueden reducirse

a una E.D.O. homogénea con un cambio apropiado de variable.

Si las rectas 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 y 𝒎𝒙+ 𝒏𝒚 + 𝒑 = 𝟎 se intersectan

en el punto (𝒙𝟎; 𝒚𝟎), hacer el doble cambio de variable

𝒖 = 𝒙 − 𝒙𝟎 y 𝒗 = 𝒚 − 𝒚𝟎

Que reduce la ecuación anterior a una homogénea.

CASO 1

Método de solución

E.D.O. reducibles a homogéneas

Si las rectas 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 y 𝒎𝒙+ 𝒏𝒚 + 𝒑 = 𝟎 son paralelas,

hacer el cambio de variable

𝒖 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚

Que reduce la ecuación anterior a una de variables separables.

CASO 2

Ejemplo 1

Resuelva cada una de las E.D.O.

a.- 𝒚′ =−𝟐𝒙+𝟒𝒚−𝟔

𝒙+𝒚−𝟑

b.- 𝒙 − 𝒚 − 𝟐 𝒅𝒚 − 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟎

Solución:

E.D.O. exactas

Una E.D.O. en su forma diferencial

𝑴 𝒙;𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

Se dice que es exacta si la expresión del lado izquierdo es una

diferencial exacta, es decir si existe una función 𝒖 = (𝒙; 𝒚) de

dos variables tal que

𝒅𝒖 𝒙; 𝒚 = 𝑴 𝒙; 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚

TEOREMA: Criterio de exactitud

Sea la E.D.O.

𝑴 𝒙;𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

donde 𝑴,𝑵:𝑫 ⊂ ℝ𝟐 → ℝ son funciones continuas con

derivadas parciales continuas en un conjunto conexo 𝐷 ⊂ ℝ𝟐.

La E.D.O. es exacta si y solo si se cumple la igualdad 𝝏𝑴

𝝏𝒚𝒙; 𝒚 =

𝝏𝑵

𝝏𝒙𝒙; 𝒚 ; ∀ 𝒙; 𝒚 ∈ 𝑫

Por ejemplo las siguientes E.D.O. son exactas

a.- 𝒚𝒅𝒙 + 𝒙 +𝟐

𝒚𝒅𝒚 = 𝟎

b.- 𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝟐+𝒚𝒆𝒙𝒚

𝟐𝒚−𝒙𝒆𝒙𝒚

E.D.O. exacta

Método de solución

Sea la E.D.O. exacta

𝑴 𝒙;𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

• A partir de la igualdad 𝝏𝒖

𝝏𝒙= 𝑴, integre respecto a 𝒙 para

obtener

𝒖 𝒙; 𝒚 = 𝑴 𝒙; 𝒚 𝒅𝒙 + 𝝓(𝒚)

• Derive respecto a 𝒚 el miembro derecho de ésta igualdad,

iguale a 𝑁 y halle la expresión para 𝝓′(𝒚)

• Integre 𝝓′(𝒚) para obtener 𝝓(𝒚)

• Reemplazando en la ecuación * obtenemos la función 𝒖(𝒙; 𝒚)

• La solución de la E.D.O. es: 𝒖 𝒙; 𝒚 = 𝑪

()

Ejemplo 1

Resuelva la E.D.O.

𝒚𝒅𝒙 + 𝒙 +𝟐

𝒚𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

Esta ecuación es exacta donde 𝑴 𝒙;𝒚 = 𝒚 ; 𝑵 𝒙; 𝒚 = 𝒙 +𝟐

𝒚.

Tenemos

𝒖 𝒙; 𝒚 = 𝑴𝒅𝒙 = 𝒚𝒙 + 𝝓(𝒚)

Derivamos el lado derecho respecto de 𝒚 e igualamos a 𝑵(𝒙; 𝒚)

𝒙 + 𝝓′ 𝒚 = 𝒙 +𝟐

𝒚→ 𝝓′ 𝒚 =

𝟐

𝒚

Integramos y obtenemos: 𝝓 𝒚 = 𝟐𝒍𝒏 𝒚 .

La función 𝒖(𝒙; 𝒚) toma la forma: 𝒖 𝒙; 𝒚 = 𝒚𝒙 + 𝟐𝒍𝒏 𝒚

La solución de la E.D.O. es: 𝒙𝒚 + 𝟐𝒍𝒏 𝒚 = 𝑪

Ejemplo 2

Resuelva las siguientes E.D.O.

a.- 𝟒𝒙𝟑𝒚𝟑 − 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 + 𝟑𝒙𝟒𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎

b.- 𝒙 𝟐𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 𝒅𝒙 + 𝒚 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎

c.- 𝒚𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

Ejercicio 1

Considere la ED: 𝑎𝑦𝑒2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑒2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0

a.- Calcule el valor de 𝑎 para que la ecuación diferencial sea

exacta.

b.- Resuelva la ecuación diferencial para dicho valor de 𝑎

Solución:

Ejercicio 2

Determine la solución particular de la ecuación

ln(𝑙𝑛𝑦)

𝑥+2

3𝑥𝑦3 + 6𝑥 𝑑𝑥 +

𝑙𝑛𝑥

𝑦𝑙𝑛𝑦+ 𝑥2𝑦2 + 4𝑒−2𝑦 𝑑𝑦 = 0

que pasa por el punto (1;1

2)

Solución:

Factor integrante

Un factor integrante de la E.D.O.

𝑴 𝒙;𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

es una función de dos variables 𝒖 = 𝒖 𝒙; 𝒚 de modo que al

multiplicar ambos miembros de la ecuación anterior por 𝒖 se

obtiene un E.D.O. exacta.

No hay un método general para obtener factores integrantes.

En general no es fácil encontrar factores integrantes, sin

embargo podemos dar algunas sugerencias dependiendo de

algunas condiciones que cumplen las funciones 𝑀 y 𝑁

Ejemplo 1

Considere la E.D.O.

𝟐𝒙𝟐 + 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝟐𝒚 − 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎

Determine un factor integrante si se sabe que éste solo

depende de 𝒙.

Solución:

Esta ecuación no es exacta ya que 𝑴𝒚 = 𝟏 y 𝑵𝒙 = 𝟐𝒙𝒚 − 𝟏.

Por dato sabemos que existe un factor integrante 𝒖 = 𝝓 𝒙 entonces

la siguiente E.D. es exacta

𝝓(𝒙) 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚 𝒅𝒙 + 𝝓(𝒙) 𝒙𝟐𝒚 − 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎

y en consecuencia se cumple 𝑴𝒚 = 𝑵𝒙 es decir

𝝓 𝒙 = 𝝓′ 𝒙 𝒙𝟐𝒚 − 𝒙 + 𝝓(𝒙)(𝟐𝒙𝒚 − 𝟏)

𝝓 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 = 𝝓′(𝒙)(𝒙𝟐𝒚 − 𝒙)

𝑴 𝑵

Ejemplo 1

𝝓′(𝒙)

𝝓(𝒙)= −

𝟐

𝒙

Integrando ambos miembros obtenemos el factor integrante:

𝝓 𝒙 = 𝒙−𝟐

CASO I

Si la función 𝝏𝑴𝝏𝒚−𝝏𝑵𝝏𝒙

𝑵

es una función que depende únicamente de 𝒙, la que

denotaremos por 𝝓(𝒙), entonces un factor integrante es:

𝒖 𝒙; 𝒚 = 𝒆 𝝓 𝒙 𝒅𝒙

Ejemplo 1

Resuelva la E.D.O. 𝒚

𝒙𝟐+ 𝟐 𝒅𝒙 +

𝟏

𝒙𝟏 + 𝒍𝒏 (𝒙𝒚) 𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

CASO II

Si la función 𝝏𝑵𝝏𝒙−𝝏𝑴𝝏𝒚

𝑴

es una función que depende únicamente de 𝒚, la que

denotaremos por 𝝍(𝒚), entonces un factor integrante es:

𝒖 𝒙; 𝒚 = 𝒆 𝝍 𝒚 𝒅𝒚

Ejemplo 1

Resuelva la E.D.O.

𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟒 𝒅𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

CASO III

Si existen constantes 𝒎 y 𝒏 tales que 𝝏𝑴

𝝏𝒚−𝝏𝑵

𝝏𝒙= 𝒎

𝑵

𝒙− 𝒏

𝑴

𝒚

entonces un factor integrante es:

𝒖 𝒙; 𝒚 = 𝒙𝒎 + 𝒚𝒏

Ejemplo 1

Resuelva la E.D.O.

𝟔𝒚 − 𝟐𝟒𝒙𝒚𝟓 𝒅𝒙 + 𝟗𝒙 − 𝟓𝟔𝒙𝟐𝒚𝟒 𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

CASO IV

Si existen funciones 𝒑(𝒙) y 𝒒(𝒚) que satisfacen la condición 𝝏𝑴

𝝏𝒚−𝝏𝑵

𝝏𝒙= 𝑵 𝒙; 𝒚 𝒑 𝒙 − 𝑵 𝒙; 𝒚 𝒒(𝒚)

entonces un factor integrante es:

𝒖 𝒙; 𝒚 = 𝒆 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 𝒒 𝒚 𝒅𝒚

E.D.O. lineales de primer orden

Una E.D.O. lineal de primer orden es de la forma

𝒚′ + 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝒒(𝒙)

donde 𝒑; 𝒒 𝑰 → ℝ son continuas en un intervalo 𝐼

Método de solución

Una forma de resolver estas E.D.O. es hallando un factor

integrante como se describe en los siguientes pasos:

• Calcule el factor integrante de la forma: 𝒖 𝒙 = 𝒆 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 • Multiplique ambos miembros por 𝒖(𝒙) y obtenga:

𝒅

𝒅𝒙𝒚𝒖(𝒙) = 𝒖 𝒙 𝒒(𝒙)

• Integre ambos miembros de la ecuación para obtener la

solución general

𝒚 = 𝒆− 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 𝒒(𝒙)𝒆 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪

Ejemplo 1

Resuelva cada una de las E.D.O. dadas

a.- 𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚 + 𝒙𝟓𝒚𝟑𝒆𝒙 = 𝟎

b.- 𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟐𝒚 = 𝟎

c.- 𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒙− 𝒚 = 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙

d.- 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒚𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟏

Solución:

Ejercicio 1

Resuelva la siguiente E.D.O.

𝒅𝒙 − 𝟑𝒆𝒚 − 𝟐𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

Ecuación de Bernoulli

Una E.D.O. De la forma

𝒚′ + 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝒒 𝒙 𝒚𝒏

donde 𝒑 y 𝒒 son funciones reales de variable real y 𝒏 es un

número real es llamada ecuación de Bernoulli

OBSERVACIÓN

Cuando 𝒏 = 𝟎 o 𝒏 = 𝟏 la ecuación de Bernoulli se convierte en

una E.D.O. lineal.

Ecuación de Bernoulli

Método de solución

Cuando 𝑛 ≠ 𝟎 y 𝒏 ≠ 𝟏

• Realice el cambio de variable

𝒖 = 𝒚𝟏−𝒏

• Obtenga la E.D.O. lineal

𝒖′ + 𝟏 − 𝒏 𝒑 𝒙 𝒖 = 𝟏 − 𝒏 𝒒(𝒙)

• Resuelva esta ecuación por el caso anterior (E.D.O. lineales)

Se obtiene la solución general (implícita):

𝒚𝟏−𝒏𝒆(𝟏−𝒏) 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 = (𝟏 − 𝒏) 𝒒 𝒙 𝒆(𝟏−𝒏) 𝒑 𝒙 𝒅𝒙𝒅𝒙 + 𝑪

Ejemplo 1

Resuelva cada una de las E.D.O.

a.- 𝒚′ − 𝟓𝒚 = −𝟓

𝟐𝒙𝒚𝟑

b.- 𝒚′ = 𝒚 𝒙𝒚𝟑 − 𝟏

c.- 𝟑 𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚′ = 𝟐𝒙𝒚 𝒚𝟑 − 𝟏

Solución:

Bibliografía

2. Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones-

José V. Becerril Espinoza y David Elizarraraz Matrtínez

3. Calculus - James Stewart

4. Calculus_12th Edition – George B. Tomas, Jr.

1.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-

Dennis G. Zill

5. Calculus – Larson Edwards