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Relativité générale Moore

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  • Qu’est-ce que la gravitation ?

    La relativité générale, qui permet de décrire la gravita-tion dans un cadre qui respecte les lois de la relativitérestreinte, est une théorie complexe, dont l'étude et l'expertise sont longtemps restées réservées aux physi-ciens particulièrement courageux et amateurs de sensa-tions fortes mathématiques.

    Depuis une vingtaine d'années, la situation a beaucoupchangé et plusieurs auteurs ont su extraire de cette complexité des façons beaucoup plus simples de présen-ter et d'enseigner cette discipline. Cette matière estaujourd'hui enseignée en début de master, voire en fin delicence universitaire, permettant à un grand nombre d'étudiants d'aborder des thèmes qui les intriguent oules font rêver : trous noirs, cosmologie, ondes gravita-tionnelles, etc.

    La relativité générale à la portée de tous

    L’ouvrage de Thomas A. Moore est un des premiers quiproposent un cours de relativité générale au niveau de la licence universitaire, en adaptant la présentation et lapédagogie à ce public pour qu’il découvre cette discipline,sans sacrifier pour autant le contenu : il est parfaitementadapté aussi pour les étudiants de master.

    Un bon guide à travers les trous noirs

    De la présentation des fondements de cette théorie à sesapplications les plus avancées (cosmologie, thermody-namique des trous noirs, ondes gravitationnelles), lelecteur est sans cesse guidé dans sa progression grâce à denombreux encadrés qui développent pas à pas la plupartdes calculs importants. Les aspects calculatoires sontclairement séparés des aspects conceptuels, dans le texteprincipal.

    Traduction de l’édition américaine

    Richard Taillet, ancien élève de l’ENS de Lyon enPhysique, Docteur en Physique théorique, dans ledomaine de l’astrophysique, est agrégé de SciencesPhysiques, Professeur à l’Université de Savoie etchercheur en astrophysique au LAPTH (Laboratoired’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique). Il est l'auteur de plusieurs ouvrages de physique destinésaux étudiants de licence.

    Relativitégénérale

    M o o r e

    Relativité générale

    M o o r e

    a Un livre de relativité générale abordable pour tousa Une pédagogie modernea Un schéma introductif qui montre les liens entre

    les conceptsa Des encadrés de synthèse avec des exercicesa Des problèmes à la fin des chapitres

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    ISBN : 978-2-8041-8470-4

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  • Relativité générale

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    PÉREZ, LAGOUTE, PUJOL, DESMEULES, Physique. Une approche moderne

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    TAILLET, Optique physique. Propagation de la lumière

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  • Relativité générale

    Traduction de l’édition américaine par Richard Taillet

    Moore

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  • © De Boeck Supérieur s.a., 2014 1re édition Fond Jean Pâques, 4 - 1348 Louvain-la-Neuve Pour la traduction et l’adaptation française Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partiellement ou

    totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

    Imprimé en Italie

    Dépôt légal : Bibliothèque nationale, Paris: mars 2014 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles: 2014/0074/047 ISBN 978-2-8041-8470-4

    Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboeck.com

    Notice de copyrightA General Relativity Workbook, by Thomas A. Moore, © University Science Books, 2013.

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    Table des matières

    1 Introduction 1

    2 Rappels de relativité restreinte 13

    Encadré 2.1 : Les référentiels inertiels qui se chevauchent ont des vitesses rela-tives constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    Encadré 2.2 : Conversions entre les unités SI et les unités RG . . . . . . . . . . 20

    Encadré 2.3 : Une démonstration de la transformation de Lorentz . . . . . . . . 21

    Encadré 2.4 : Transformations de Lorentz et rotations . . . . . . . . . . . . . . 25

    Encadré 2.5 : L’intervalle d’espace-temps ne dépend pas du référentiel . . . . . 26

    Encadré 2.6 : L’ordre des événements ne dépend pas du référentiel . . . . . . . 26

    Encadré 2.7 : Temps propre le long d’un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    Encadré 2.8 : Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    Encadré 2.9 : Transformation relativiste des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3 Quadri-vecteurs 31

    Encadré 3.1 : Le produit scalaire est indépendant du référentiel . . . . . . . . . 36

    Encadré 3.2 : La norme invariante de la quadri-vitesse . . . . . . . . . . . . . . 36

    Encadré 3.3 : La limite de u à faible vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    Encadré 3.4 : Conservation de la quantité de mouvement ou de la quadri-quantité de mouvement ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    Encadré 3.5 : Exemple : la coupure GZK sur l’énergie des rayons cosmiques . . 40

    4 Notation indicielle 43

    Encadré 4.1 : Comportement du delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . 48

    Encadré 4.2 : Unité du champ électromagnétique dans le système d’unités RG . 48

    Encadré 4.3 : Les équations de l’électromagnétisme en notation indicielle . . . . 49

    Encadré 4.4 : Identifier les indices libres et les indices muets . . . . . . . . . . . 50

    Encadré 4.5 : Violations des règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    Encadré 4.6 : Exemples de démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    5 Coordonnées arbitraires 53

    Encadré 5.1 : La base naturelle en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . 58

    Encadré 5.2 : Démonstration de la loi de transformation de la métrique . . . . 59

    Encadré 5.3 : Un exemple 2D : les coordonnées paraboliques . . . . . . . . . . . 60

    Encadré 5.4 : Les transformations de Lorentz comme transformations générales 62

    Encadré 5.5 : Transformation de la métrique en espace plat . . . . . . . . . . . 62

    Encadré 5.6 : Une métrique pour la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    6 Équations tensorielles 65

    Encadré 6.1 : Exemples de covecteurs gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    Encadré 6.2 : Descendre les indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    Encadré 6.3 : L’inverse de la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    Encadré 6.4 : Le delta de Kronecker est un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    Encadré 6.5 : Opérations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    7 Équations de Maxwell 77

    Encadré 7.1 : Équation de Maxwell-Gauss et théorème de Gauss . . . . . . . . 82

    Encadré 7.2 : La dérivée de m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    Encadré 7.3 : Monter et descendre des indices en coordonnées cartésiennes . . . 83

    Encadré 7.4 : L’équation tensorielle de conservation de la charge . . . . . . . . 84

    Encadré 7.5 : L’antisymétrie de F entrâıne la conservation de la charge . . . . . 85

    Encadré 7.6 : Le potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    Encadré 7.7 : Démonstration des équations de Maxwell dans le vide (équation7.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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    vi TABLE DES MATIÈRES

    8 Géodésiques 89

    Encadré 8.1 : La ligne d’univers de temps propre maximal en espace-temps plat 93

    Encadré 8.2 : Dérivation de l’équation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . 94

    Encadré 8.3 : Dérivation de la seconde forme de l’équation des géodésiques . . . 95

    Encadré 8.4 : Géodésiques de l’espace plat en coordonnées paraboliques . . . . 96

    Encadré 8.5 : Géodésiques pour la surface d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . 98

    Encadré 8.6 : L’équation des géodésiques ne détermine pas l’échelle de τ . . . . 100

    Encadré 8.7 : Géodésiques de la lumière en espace-temps plat . . . . . . . . . . 101

    9 Métrique de Schwarzschild 105

    Encadré 9.1 : Distance radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    Encadré 9.2 : Chute libre depuis le repos dans l’espace-temps de Schwarzschild 111

    Encadré 9.3 : Valeur de GM pour la Terre et pour le Soleil . . . . . . . . . . . 112

    Encadré 9.4 : Décalage vers le rouge gravitationnel en champ faible . . . . . . . 112

    10 Orbites de particules 115

    Encadré 10.1 : Les orbites de Schwarzschild doivent être planes . . . . . . . . . 120

    Encadré 10.2 : L’équation de « conservation de l’énergie » de Schwarzschild . . 121Encadré 10.3 : Conservation de l’énergie des orbites newtoniennes . . . . . . . . 122

    Encadré 10.4 : Les rayons des orbites circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    Encadré 10.5 : La troisième loi de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    Encadré 10.6 : L’orbite stable de plus faible rayon . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    Encadré 10.7 : Énergie rayonnée par une particule spiralant vers l’intérieur . . 126

    11 Précession du périhélie 129

    Encadré 11.1 : Vérification de l’équation orbitale pour u(φ) . . . . . . . . . . . 135

    Encadré 11.2 : Vérification de l’équation orbitale newtonienne . . . . . . . . . . 135

    Encadré 11.3 : Vérification de l’équation sur la perturbation orbitale . . . . . . 136

    Encadré 11.4 : Application à Mercure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    Encadré 11.5 : Construction du diagramme de plongement de Schwarzschild . . 137

    Encadré 11.6 : Calcul du secteur angulaire δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    Encadré 11.7 : Calcul numérique des orbites de Schwarzschild . . . . . . . . . . 138

    12 Orbites de photons 143

    Encadré 12.1 : Interprétation du paramètre d’impact b . . . . . . . . . . . . . . 148

    Encadré 12.2 : Démonstration de l’équation du mouvement pour un photon . . 148

    Encadré 12.3 : Propriétés de l’énergie potentielle pour la lumière . . . . . . . . 149

    Encadré 12.4 : Mouvement d’un photon en espace-temps plat . . . . . . . . . . 149

    Encadré 12.5 : Évaluation des composantes d’un quadri-vecteur dans le réfé-rentiel d’un observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

    Encadré 12.6 : Une base orthonormée en coordonnées de Schwarzschild . . . . . 150

    Encadré 12.7 : Angles critiques pour l’émission de photons . . . . . . . . . . . . 151

    13 Déviation de la lumière 153

    Encadré 13.1 : Vérification de l’équation 13.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    Encadré 13.2 : L’équation différentielle donnant la forme de l’orbite des photons160

    Encadré 13.3 : L’équation différentielle donnant la perturbation de l’orbite desphotons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    Encadré 13.4 : La forme de la solution u(φ) dans la limite de grand r . . . . . . 161

    Encadré 13.5 : L’angle de déviation maximale de la lumière par le Soleil . . . . 161

    Encadré 13.6 : L’équation des lentilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    Encadré 13.7 : Rapport entre la luminosité des images et celle de la source . . . 163

    14 Horizon des événements 167

    Encadré 14.1 : La distance jusqu’à r = 2GM est finie. . . . . . . . . . . . . . . 172

    Encadré 14.2 : Temps propre lors d’une chute libre de r = R à r = 0. . . . . . . 174

    Encadré 14.3 : Le futur est fini à l’intérieur de l’horizon des événements. . . . . 175

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    15 Coordonnées alternatives 179

    Encadré 15.1 : Calcul de ∂t̊/∂r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    Encadré 15.2 : La métrique de pluie globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

    Encadré 15.3 : Les limites de dr/d̊t à l’intérieur de l’horizon des événements . . 185

    Encadré 15.4 : Obtention des coordonnées de Kruskal-Szekeres . . . . . . . . . 186

    16 Thermodynamique des trous noirs 189

    Encadré 16.1 : Temps de chute libre sur l’horizon depuis r = 2GM + � . . . . . 194

    Encadré 16.2 : Calcul de E∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    Encadré 16.3 : Calcul de kB , ~ et T pour un trou noir solaire . . . . . . . . . . 196Encadré 16.4 : Temps de vie d’un trou noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    17 Dérivée covariante 199

    Encadré 17.1 : Dérivée covariante d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

    Encadré 17.2 : Dérivée covariante d’un covecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

    Encadré 17.3 : Symétrie des symboles de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . 205

    Encadré 17.4 : Les symboles de Christoffel en fonction de la métrique . . . . . . 205

    Encadré 17.5 : Vérification de l’équation des géodésiques . . . . . . . . . . . . . 206

    Encadré 17.6 : Une astuce pour calculer les symboles de Christoffel . . . . . . . 206

    Encadré 17.7 : Le théorème de platitude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

    18 Déviation des géodésiques 211

    Encadré 18.1 : Déviation de marée newtonienne près d’un objet sphérique . . . 216

    Encadré 18.2 : Démonstration de l’équation 18.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

    Encadré 18.3 : La dérivée covariante de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Encadré 18.4 : Démonstration de l’équation 18.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

    Encadré 18.5 : Exemple de calcul du tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . 218

    19 Tenseur de Riemann 221

    Encadré 19.1 : Le tenseur de Riemann dans un référentiel localement inertiel . 224

    Encadré 19.2 : Symétries du tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

    Encadré 19.3 : Comptage des degrés de liberté indépendants du tenseur deRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

    Encadré 19.4 : Identité de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

    Encadré 19.5 : Le tenseur de Ricci est symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

    Encadré 19.6 : Le tenseur de Riemann et le tenseur de Ricci pour une sphère . 228

    20 Tenseur énergie-impulsion 231

    Encadré 20.1 : Pourquoi la source de la gravitation doit être l’énergie et non lamasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

    Encadré 20.2 : Interprétation de T ij dans un référentiel localement inertiel . . . 237

    Encadré 20.3 : Le tenseur énergie-impulsion d’un fluide parfait dans son réfé-rentiel au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

    Encadré 20.4 : L’équation 20.16 se ramène à l’équation 20.15 . . . . . . . . . . 240

    Encadré 20.5 : La dynamique des fluides à partir de la conservation de laquadri-quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

    21 L’équation d’Einstein 245

    Encadré 21.1 : Divergence du tenseur de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

    Encadré 21.2 : Détermination de la valeur de b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

    Encadré 21.3 : Démonstration de −R+ 4Λ = κT . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

    22 Interprétation de l’équation 255

    Encadré 22.1 : La conservation de la quadri-impulsion entrâıne que 0 = ∇ν(ρ0uµ).260Encadré 22.2 : L’inverse de la métrique en champ faible. . . . . . . . . . . . . . 260

    Encadré 22.3 : Le tenseur de Riemann dans la limite de champ faible . . . . . . 261

    Encadré 22.4 : Le tenseur de Ricci dans la limite de champ faible . . . . . . . . 262

    Encadré 22.5 : Les sources d’énergie-impulsion des perturbations de la métrique 263

    Encadré 22.6 : L’équation des géodésiques pour une particule lente dans unchamp faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

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    viii TABLE DES MATIÈRES

    23 La solution de Schwarzschild 267

    Encadré 23.1 : Diagonalisation d’une métrique à symétrie sphérique . . . . . . 272

    Encadré 23.2 : Les composantes du tenseur de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . 273

    Encadré 23.3 : Détermination de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

    Encadré 23.4 : Détermination de a(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

    Encadré 23.5 : Les symboles de Christoffel ayant pour indices tt . . . . . . . . . 277

    24 L’Univers observé 281

    Encadré 24.1 : Mesure des distances astronomiques dans le Système solaire . . 286

    Encadré 24.2 : Détermination de la distance des amas stellaires . . . . . . . . . 288

    Encadré 24.3 : Relation entre décalage Doppler et vitesse radiale . . . . . . . . 289

    Encadré 24.4 : Valeurs de la constante de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

    Encadré 24.5 : Tout point est le « centre » de l’expansion . . . . . . . . . . . . . 290Encadré 24.6 : Indications de la présence de matière noire . . . . . . . . . . . . 291

    25 Une métrique pour le Cosmos 295

    Encadré 25.1 : Le tenseur de Ricci de l’Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

    Encadré 25.2 : Montrer un indice du tenseur de Ricci de l’Univers . . . . . . . 300

    Encadré 25.3 : Le tenseur énergie-impulsion avec un indice en bas . . . . . . . . 300

    Encadré 25.4 : L’équation d’Einstein avec un indice en bas . . . . . . . . . . . . 303

    Encadré 25.5 : Vérification de la solution pour q . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

    26 Évolution de l’Univers 307

    Encadré 26.1 : Les autres composantes de l’équation d’Einstein . . . . . . . . . 312

    Encadré 26.2 : Conservation locale de l’énergie et de la quantité de mouvement 313

    Encadré 26.3 : Relation densité/échelle pour le rayonnement . . . . . . . . . . . 314

    Encadré 26.4 : Démonstration de l’équation de Friedmann . . . . . . . . . . . . 314

    Encadré 26.5 : L’équation de Friedmann pour le temps présent . . . . . . . . . 315

    Encadré 26.6 : L’équation de Friedmann en fonction des Omegas . . . . . . . . 315

    Encadré 26.7 : Comportement d’un Univers dominé par la matière . . . . . . . 316

    27 Implications cosmiques 319

    Encadré 27.1 : Relation entre le redshift z et la constante de Hubble . . . . . . 324

    Encadré 27.2 : La loi de Hubble en fonction du redshift z . . . . . . . . . . . . 324

    Encadré 27.3 : Distance de luminosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

    Encadré 27.4 : L’équation différentielle sur a(η) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

    Encadré 27.5 : Résolution numérique de l’équation 27.18 . . . . . . . . . . . . . 326

    28 L’Univers primordial 329

    Encadré 28.1 : Univers à une composante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

    Encadré 28.2 : Transition vers l’Univers dominé par la matière . . . . . . . . . 335

    Encadré 28.3 : Relation temps/température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

    Encadré 28.4 : Découplage des neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

    Encadré 28.5 : La densité numérique des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

    29 Fluctuations du CMB et inflation 341

    Encadré 29.1 : La taille angulaire des plus grandes fluctuations du CMB . . . . 347

    Encadré 29.2 : L’équation sur Ωk(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

    Encadré 29.3 : Platitude cosmique à la fin de la nucléosynthèse primordiale . . 349

    Encadré 29.4 : La formule de l’inflation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . 349

    Encadré 29.5 : Calculs d’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

    30 Liberté de jauge 353

    Encadré 30.1 : L’équation d’Einstein en champ faible en fonction de hµν . . . . 357

    Encadré 30.2 : Inversion de la trace de hµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

    Encadré 30.3 : L’équation d’Einstein en champ faible en fonction de Hµν . . . . 359

    Encadré 30.4 : Transformations de jauge des perturbations de la métrique . . . 360

    Encadré 30.5 : Une transformations de jauge qui n’affecte pas Rαβµν . . . . . . 361

    Encadré 30.6 : Jauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

    Encadré 30.7 : Liberté de jauge additionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

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    Relativité générale ix

    31 Détection des ondes gravitationnelles 365

    Encadré 31.1 : Contraintes sur notre solution d’essai . . . . . . . . . . . . . . . 370

    Encadré 31.2 : Transformation vers la jauge transverse de trace nulle . . . . . . 371

    Encadré 31.3 : Une particule au repos reste au repos dans les coordonnées TT. 373

    Encadré 31.4 : Effet d’une onde gravitationnelle sur des particules disposées encercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

    32 Énergie des ondes gravitationnelles 377

    Encadré 32.1 : Le tenseur de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

    Encadré 32.2 : Le scalaire de courbure moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

    Encadré 32.3 : Densité d’énergie des ondes gravitationnelles, dans le cas général 381

    33 Sources des ondes gravitationnelles 385

    Encadré 33.1 : Htµ pour une source compacte dont le centre de masse est aurepos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

    Encadré 33.2 : Une identité utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

    Encadré 33.3 : Les composantes transverses et de trace nulle de Aµν . . . . . . 392

    Encadré 33.4 : Comment trouver...IjkTT pour des ondes se déplaçant dans la

    direction ~n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

    Encadré 33.5 : Le flux en fonction de I jk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

    Encadré 33.6 : Évaluation des intégrales dans le calcul de la puissance . . . . . 396

    34 Astronomie des ondes gravitationnelles 399

    Encadré 34.1 : Le I jk de l’haltère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

    Encadré 34.2 : Puissance rayonnée par l’haltère . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

    Encadré 34.3 : Énergie totale d’un couple binaire en orbite . . . . . . . . . . . . 406

    Encadré 34.4 : Vitesse de variation de la période orbitale . . . . . . . . . . . . . 406

    Encadré 34.5 : Caractéristiques de ι Bootis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

    35 Gravitomagnétisme 409

    Encadré 35.1 : Condition de Lorenz pour les potentiels . . . . . . . . . . . . . . 414

    Encadré 35.2 : Équations de Maxwell pour le champ gravitationnel . . . . . . . 415

    Encadré 35.3 : Les équations de Lorentz gravitationnelles . . . . . . . . . . . . 416

    Encadré 35.4 : Le « moment gravito-magnétique » d’un objet en rotation . . . 416Encadré 35.5 : Vitesse angulaire de précession d’un gyroscope . . . . . . . . . . 417

    36 Métrique de Kerr 419

    Encadré 36.1 : Développement de ‖~R− ~r‖−1 au premier ordre en r/R . . . . . 423Encadré 36.2 : L’intégrale donnant htx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

    Encadré 36.3 : Pourquoi les autres termes du développement donnent zéro dansl’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

    Encadré 36.4 : Transformation en coordonnées sphériques de la solution enchamp faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

    Encadré 36.5 : La limite en champ faible de la métrique de Kerr . . . . . . . . 427

    37 Orbites des particules dans l’espace-temps de Kerr 429

    Encadré 37.1 : Calcul des expressions de dt/dτ et dφ/dτ . . . . . . . . . . . . . 433

    Encadré 37.2 : Vérification de la valeur de [gtφ]2 − gttgφφ . . . . . . . . . . . . 434

    Encadré 37.3 : Les équations de « conservation de l’énergie » au cours dumouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

    Encadré 37.4 : Troisième loi de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

    Encadré 37.5 : Rayon minimal des orbites circulaires stables quand a = GM . . 437

    38 Ergorégion et horizon 439

    Encadré 38.1 : Les rayons où gtt = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

    Encadré 38.2 : L’intervalle de vitesses angulaires lorsque dr ou dθ 6= 0 . . . . . 444Encadré 38.3 : Limites sur la vitesse angulaire dans le plan équatorial . . . . . 445

    Encadré 38.4 : La métrique de l’horizon des événements . . . . . . . . . . . . . 446

    Encadré 38.5 : L’aire de l’horizon des événements externe de Kerr . . . . . . . 447

    Encadré 38.6 : Transformations qui préservent le signe du déterminant desmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

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    x TABLE DES MATIÈRES

    39 Orbites d’énergie négative 451Encadré 39.1 : Forme quadratique pour la conservation de l’énergie . . . . . . . 456Encadré 39.2 : La racine carrée est nulle sur l’horizon des événements . . . . . 457Encadré 39.3 : e ne peut être négatif que dans l’ergorégion . . . . . . . . . . . . 458Encadré 39.4 : La limite fondamentale sur δM en fonction de δS . . . . . . . . 459Encadré 39.5 : δM ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Encadré 39.6 : La contribution de l’énergie de rotation à la masse du trou noir 461

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    Préface

    Remarques préliminaires. La relativité générale est l’un des plus grands triomphesde l’esprit humain. Avec la théorie quantique des champs, la relativité générale consti-tue l’un des fondements de la physique contemporaines et représente aujourd’hui lathéorie physique la plus ultime que l’on connaisse, ayant résisté à presque un siècle dedéveloppements et de tests toujours plus rigoureux, sans être ni contredite, ni rempla-cée. Longtemps admirée pour sa beauté élégante, la relativité générale est aussi devenue(particulièrement ces deux dernières décennies) un outil essentiel pour les astrophysiciensprofessionnels. Elle fournit les bases pour comprendre une très grande variété de phéno-mènes astrophysiques, des noyaux actifs de galaxies, quasars et pulsars à la formation,aux caractéristiques et au devenir de l’Univers lui-même. Elle a conduit au développe-ment de nouveaux outils expérimentaux pour tester la théorie et pour tenter de détecterdes ondes gravitationnelles, ce qui représente un des défis les plus excitants et les plusdifficiles de la physique contenporaine. Même les ingénieurs commencent à prêter atten-tion à la relativité générale : pour que le GPS (« Global Positioning System ») fonctionnecorrectement, il faut prêter une attention particulière aux effets de relativité générale.

    Par certains aspects, la relativité générale était tellement en avance sur son tempsqu’il a fallu un long moment avant que l’instrumentation et les applications se mettenten place et en fassent plus qu’une aventure intellectuelle réservée aux esprits curieux.Aujourd’hui, alors que la relativité générale a trouvé sa place au cœur de la physiquecontemporaine avec une grande variété d’applications, dont la liste ne cesse de crôıtre,il est devenu à la fois pertinent et important d’enseigner la relativité générale au niveaude la Licence. Le besoin de manuels et de livres de cours d’un niveau correspondant sefait donc urgent.

    Audience. Ce manuel a été écrit comme un support de cours pour un enseignementd’introduction à la relativité générale d’un semestre, au niveau de la licence ou du master.Il s’adresse à des étudiants ayant suivi des cours d’analyse à plusieurs variables, de mé-canique newtonienne au-delà de la mécanique élémentaire, d’introduction à l’électricitéet au magnétisme. Ceux qui ont suivi des cours d’algèbre linéaire, d’équations différen-tielles, d’électrodynamique et de relativité restreinte pourront avancer plus facilement etplus rapidement dans l’ouvrage. Ce livre est le fruit de mon expérience d’enseignementde cette matière, que j’ai enseignée quatorze fois au cours de ma carrière.

    Cette longue expérience m’a convaincu que non seulement des étudiants de licencepeuvent développer une bonne compréhension de la relativité générale, mais aussi quel’étude de ce sujet fournit une superbe introduction aux meilleures pratiques de la phy-sique théorique, ainsi qu’une sensibilisation stimulante et engageante à des idées qui setrouvent aux frontières de la physique, ce à quoi les étudiants sont rarement exposéspendant leurs cours de licence.

    Remarques pédagogiques. Comme les étudiants voient rarement le calcul tensorielutilisé en relativité générale, au cours de leur enseignement de mathématiques, un coursde relativité générale doit ou bien apprendre ces mathématiques depuis le début, outenter de les contourner (avec un certain prix à payer sur la cohérence et la profondeurde la compréhension). D’après mon expérience, les étudiants de licence et de masterpeuvent mâıtriser le calcul tensoriel dans un cours conçu de manière convenable. L’efforten vaut la peine, car ceci fournit des fondements solides nécessaires pour aborder lesapplications avec confiance et flexibilité.

    Du point de vue pédagogique, la clé qui vous apportera cette mâıtrise, en tant qu’étu-diant, est de vous approprier les mathématiques en reprenant vous-même chacun des ar-

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    xii PRÉFACE

    guments, chaque démonstration. J’ai donc conçu cet ouvrage comme un manuel. Chaquechapitre commence par une présentation concise des concepts fondamentaux qui vontvous permettre de vous faire une idée d’ensemble, sans distraction mathématique. Cetteprésentation est suivie d’encadrés qui vous permettent de vous guider à travers les dé-monstrations et les détails dont l’exposé aurait pu dans un premier temps rendre obscuresles idées principales. J’ai pu constater que cette combinaison de présentations généraleset d’activités guidées était particulièrement efficace pour construire une compréhensiondes concepts au cœur de la théorie et de leurs fondements mathématiques.

    La séparation entre la synthèse et les encadrés vous aide aussi à rester concentré surla physique, tandis que les mathémaiques ne servent ici qu’à exprimer les idées physiques,à les servir. D’autres aspects de la conception de ce manuel s’appuient sur une mise enavant de la physique. J’ai ordonné les thématiques de façon à ce que les mathématiquessoient présentées non pas comme un gros bloc, mais graduellement, au fur et à mesuredes besoins, l’enchâınement des idées étant dicté par des considérations physiques. Parexemple, vous vous entrâınerez à l’utilisation de la notation tensorielle en explorant desvraies applications physiques, en espace plat, avant d’aborder l’équation des géodésiquesqui décrit le mouvement des objets dans un espace-temps courbe. Vous passerez alors uncertain temps sur les conséquences physiques de l’équation des géodésiques dans l’espace-temps particulier qui entoure un simple objet sphérique, avant d’apprendre les techniquesmathématiques qui permettent de montrer pourquoi l’espace-temps est courbé de cettemanière-là autour des objets sphériques. Au passage, j’utilise de nombreux exemples trèssimplifiés, dans des espaces bidimensionnels plats ou courbes, afin de vous aider à saisirle sens physique des idées fondamentales. La présentation graduelle des mathématiquesau fil du texte vous assure aussi d’avoir le temps d’assurer chacun de vos pas avant depasser à la marche suivante.

    Pour utiliser cet ouvrage de manière efficace, travaillez tous les encadrés de ce livre.Ceci vous permettra d’atteindre une profondeur de compréhension difficile à obtenir pard’autres moyens.

    Dépendance des chapitres. Les chartes qui apparaissent au début de chaque cha-pitre (et sur la page suivante) montrent comment les sections principales de cet ouvrages’articulent entre elles. Par exemple, vous pouvez y lire que les parties Introduction,Espace-temps plat et Tenseurs (chapitres 1 à 8) abordent des notions qui serontutilisées dans toutes les autres parties. Après le chapitre 8, je recommande vivementde passer à la partie Trous noirs de Schwarzschild, qui vous permettra de mieuxcomprendre comment travailler avec des espaces courbes avant de vous confronter à en-core plus de mathématiques (et aussi parce que les trous noirs sont des applications de lathéorie fascinantes). Toutefois, ce n’est pas une obligation et dans un court enseignementconsacré à la cosmologie, par exemple, on peut passer directement aux parties Calcul dela courbure, Équation d’Einstein et Cosmologie. Remarquez que les trois dernièresparties (Cosmologie, Ondes gravitationnelles et Trous noirs en rotation) sontcomplètement indépendantes les unes des autres et peuvent être étudiées dans n’importequel ordre. Attention toutefois, ces trois parties font appel à des notions exposées dansles parties Calcul de la courbure et Équation d’Einstein.

    Il n’est pas non plus nécessaire d’aller tout au bout de la partie Trous noirs deSchwarzschild. Les trois derniers chapitres (sur les trous noirs) ne sont indispensablesque si vous voulez étudier les deux derniers chapitres de la partie Trous noirs en ro-tation (même s’il est difficile d’imaginer pourquoi on voudrait éviter la partie sur lestrous noirs !). On peut facilement omettre le chapitre « Déviation de la lumière » sansperdre la continuité de l’ouvrage. Le chapitre « Précession du périhélie » est nécessairepour aborder le chapitre « Déviation de la lumière », mais vous pouvez passer les deux.Les deux premiers chapitres sont nécessaires pour tous les suivants de cette section et lequatrième chapitre sur « Orbites de photons » présente une technique mathématique quiest utilisée dans plusieurs exercices dans le reste de l’ouvrage, mais ce chapitre n’est abso-lument requis que pour les chapitres « Déviation de la lumière » et « Thermodynamiquedes trous noirs ».

    Dans la partie Cosmologie, les quatre premiers chapitres fournissent des notionsde base et devraient tous être étudiés si cette partie est abordée. Les deux dernierschapitres, en revanche, sont complètement optionnels, vous pouvez passer les deux ouseulement le dernier.

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    Relativité générale xiii

    INTRODUCTION

    ESPACE-TEMPS PLAT

    CALCUL DELA COURBURE

    COSMOLOGIE

    ÉQUATIOND'EINSTEIN

    TROUS NOIRS DESCHWARZSCHILDTENSEURS

    ONDESGRAVITATIONNELLES

    TROUS NOIRSEN ROTATION

    Résumé de relativité restreinte

    Quadri-vecteurs

    Notation indicielle

    Coordonnées arbitraires

    Équations tensorielles

    Équations de Maxwell

    Géodésiques

    Dérivée covariante

    Déviation géodésique

    Tenseur de Riemann

    L'univers observé

    Une métrique pour le Cosmos

    Évolution de l'Univers

    Implications cosmiques

    L'Univers primordial*

    Fluctuations du CMB & Inflation*

    ceci dépend de cela

    Tenseur énergie-impulsion

    Équation d'Einstein

    Interprétation de l'équation

    Solution de Schwarzschild

    Métrique de Schwarzschild

    Orbites de particules

    Précession du périhélie*

    Orbites de photons

    Déviation de la lumière*

    Horizon des événements*

    Coordonnées alternatives*

    Thermodynamique des trous noirs*

    Gravitomagnétisme*

    Métrique de Kerr*

    Orbite des particules*

    Ergorégion et horizon*

    Orbites d'énergie négative*

    Liberté de jauge

    Détection des ondes gravitationnelles

    Énergie des ondes gravitationnelles*

    Sources des ondes gravitationnelles*

    Astronomie des ondes gravitationnelles*

    Charte montrant les chapitres de l’ouvrage, regroupés en grandes parties, ainsi que la façon dont

    ces parties dépendent les unes des autres. Les chapitres marqués d’une astérisque sont optionnels,

    mais les chapitres optionnels suivants peuvent en dépendre.

    Même si en principe il est possible de s’arrêter après les deux premiers chapitresde la partie Ondes gravitationnelles, je pense que la discussion sur l’énergie et laproduction des ondes gravitationnelles est assez importante. Je recommande donc detraiter au moins les trois premiers chapitres de cette partie si vous voulez aborder lesondes gravitationnelles.

    On peut raisonnablement choisir d’explorer seulement le chapitre « Gravitomagnétisme »dans la partie Trous noirs en rotation, ou s’arrêter après le chapitre « Métrique deKerr » ou « Ergorégion et horizon ». Toutefois, les chapitres de cette partie doivent êtreétudiés dans l’ordre et on ne peut pas facilement sauter un de ceux du milieu.

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    xiv PRÉFACE

    Le premier chapitre. Remarquez aussi que le premier chapitre a une structure dif-férente des autres. Après quelques remarques préliminaires, je termine généralement lapremière séance de cours par un exposé interactif de 40 minutes. Le premier chapitre estconstitué d’une transcription grossière de cet exposé. Il n’a pas d’encadré car je n’attendspas des étudiants qu’ils aient lu (ni même acheté) le livre avant le premier cours. Pourles aider à suivre l’exposé, je leur donne la feuille recto-verso reproduite dans les deuxdernières pages du premier chapitre.

    Le deuxième chapitre. Ce chapitre propose un exposé très concis de la relativitérestreinte, destiné principalement aux étudiants qui ont déjà étudié un peu de relativitéau cours de leurs études. Si vous n’avez jamais vu de relativité auparavant, vous trouverezce chapitre plus difficile. Même si c’est le cas, vous trouverez dans ce chapitre tout ce quevous avez besoin de savoir sur la relativité restreinte pour aborder ce livre. Tout devraitbien se passer si vous prenez le temps d’avancer dans le chapitre à votre rythme, enfaisant bien les activités proposées, encadrés et exercices. J’ai aussi inclus des référencesd’ouvrages qui pourraient vous apporter des compléments utiles.

    Site internet associé au livre. Vous trouverez plusieurs informations utiles, ainsi quedes programmes informatiques mentionnés dans le livre, à l’adresse du site compagnon(en anglais) :

    http://pages.pomona.edu/~tmoore/grw

    N’hésitez pas à m’écrire par courrier électronique, si vous avez des questions, dessuggestions ou si vous repérez des erreurs dans l’ouvrage, mon adresse est la suivante :[email protected].

    Information pour les enseignants. Jusqu’à maintenant, dans cette préface je mesuis adressé principalement aux étudiants. Dans la suite, je voudrais aussi mentionnerquelques points qui pourraient intéresser les enseignants qui voudraient articuler leurcours autour de cet ouvrage.

    Rythme du cours. J’ai conçu ce cours de sorte que chaque chapitre puisse être discutépendant une unique séance de cours (de 50 minutes), en particulier si vous adoptez leformat que j’ai décrit plus haut pour ces cours. Votre vitesse peut varier (par exemplevous pourriez passer plus de temps sur le chapitre 2 si les prérequis de vos étudiants enrelativité restreinte sont faibles) mais cette règle générale devrait vous donner une bonneidée du rythme approprié pour ce cours.

    Vous avez aussi beaucoup de souplesse dans le choix des chapitres abordés et deceux que vous pouvez passer : il y a au moins une vingtaine d’enchâınements différentsqui sont envisageables. Assurez-vous d’avoir lu attentivement le paragraphe qui précède« Dépendance des chapitres » avant de décider d’omettre un chapitre. Personnellement,je parviens généralement à couvrir le livre entier en un semestre.

    Je tiens à souligner de nouveau que les trois dernières parties (Cosmologie, Ondesgravitationnelles, Trous noirs en rotation) sont indépendantes et vous pouvez lesprésenter dans n’importe quel ordre. Un de mes collègues aime terminer le cours par lacosmologie, car il trouve que ce sujet constitue une fin stimulante. J’ai préféré mettrecette partie en premier, précisément parce que je pense aussi qu’elle est très importante.Je traite les sujets dans l’ordre du livre et si je viens à manquer de temps, je préfère allerplus vite sur les trous noirs en rotation que sur la cosmologie ! De plus, les étudiants sontgénéralement plus débordés en fin de semestre et je préfère placer vers la fin les sujetsque je considère moins cruciaux. Mais vous pouvez bien sûr choisir ce qui vous convientle mieux, à vous et à vos étudiants, ce manuel devrait vous permettre d’être souple à cesujet.

    Comment organiser le temps de classe. L’organisation de ce livre en manuel nesera efficace pour vos élèves que s’ils sont récompensés, d’une manière ou d’une autre,pour avoir travaillé les encadrés. La dernière fois que j’ai enseigné ce cours, j’ai demandéà chaque cours à plusieurs étudiants pris au hasard de me rendre leur livre pour queje commente et note leur travail et surtout leur effort à remplir les encadrés, depuis ladernière fois que j’ai relevé leur manuel, en prêtant une attention particulière au chapitrediscuté ce jour-là. Ces notes comptaient pour environ 13 % dans la moyenne finale de cecours. Je me suis arrangé pour que chaque étudiant rende son manuel environ cinq ousix fois par semestre.

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    Relativité générale xv

    Un de mes collègues, dans une autre institution, s’appuie sur une autre approchequi pourrait être encore meilleure. Après avoir déterminé quels exercices étaient suffi-samment simples pour pouvoir se passer de discussion, il affecte chaque exercice restantà un étudiant en suivant une rotation stricte, en s’incluant lui-même dans la rotation.L’étudiant doit présenter la solution devant la classe. Ceci motive les étudiants à venirpréparés sans avoir à les motiver avec une note formelle qui évaluerait leur prépara-tion, et ceci rend aussi le cours un peu plus dynamique qu’avec ma méthode. Je prévoisd’utiliser cette méthode la prochaine fois que j’enseignerai ce cours.

    Vous pourrez trouver d’autres approches plus adaptées à vos étudiants, mais il mesemble très important en concevant un cours basé sur ce manuel de trouver une façonou une autre de récompenser les étudiants qui préparent les activités proposées dans lesencadrés avant de venir en cours.

    Pour chacune des approches décrites ci-dessus, nous passons beaucoup de tempsen classe à discuter des difficultés que les étudiants ont rencontrées en travaillant lesencadrés. Comme ils ont au moins essayé de répondre aux questions posées avant le cours,ils arrivent généralement avec des questions intéressantes, des questions directementreliées aux difficultés qu’ils ont rencontrées eux-mêmes. Nous pouvons ainsi passer dutemps en classe à répondre de manière efficace aux véritables besoins des étudiants. S’ilreste du temps (et c’est généralement le cas), je développe souvent plusieurs problèmesen classe, ciblés sur des questions de physique intéressantes ou sur des points qui lesaideront à mieux préparer leur travail à la maison. Par expérience, cette gestion dutemps de classe est beaucoup plus efficace que le cours magistral usuel.

    Je vous recommande aussi (à vous, enseignant) de retravailler vous-même tous lesencadrés du chapitre que vous avez donné à préparer, avant le cours. Je le fais à chaquefois moi-même, même si j’ai déjà fait tous les exercices plusieurs fois maintenant ! Ceciaide à se rafrâıchir la mémoire, à repérer certains problèmes que vous pourriez rencontrerpendant le cours, et surtout à anticiper et apprécier les difficultés auxquelles les étudiantsauront été confrontés avec les encadrés.

    J’ai intentionnellement conçu la plupart des encadrés de façon à ce qu’ils demandentaux étudiants de démontrer quelque chose, car le but essentiel de ces encadrés est d’aiderles étudiants à s’approprier les concepts et les démonstrations discutés dans le texte.Les exercices proposés à la fin des chapitres sont souvent plus ouverts, fournissant auxétudiants l’opportunité de développer les idées présentées dans le texte, d’explorer desapplications physiques et même d’aborder des sujets nouveaux. Certains des exercicessont aussi conçus pour permettre en classe des discussions sur des sujets qui ne sont pastraités dans le cœur du texte.

    Devoirs à la maison. Je demande typiquement aux étudiants de préparer deux exer-cices par chapitre, ce qui suffit à les maintenir occupés. Les exercices peuvent être assezdifficiles et même les meilleurs étudiants peuvent ne pas les résoudre correctement lapremière fois. La notation du travail à la maison basée seulement sur la justesse desrésultats peut rendre les étudiants anxieux. Toutefois, il est possible de mettre en placeun système de notation qui (1) permet aux étudiants de s’investir dans des exercicesdifficiles sans anxiété, (2) leur donne une opportunité d’apprendre des choses nouvelleset (3) vous rend plus aisée la tâche de notation. La partie « Course Design » du site webcompagnon fournit un lien vers une page où je présente un système de notation que jevous recommande fortement de considérer : non seulement il encourage les étudiants às’attaquer à des problèmes sans craindre l’échec, mais je vous garantit qu’il vous feragagner du temps de correction et de notation !

    Site web pour les enseignants. J’ai mis en place un site web d’accès restreint, pour lesenseignants. Si vous êtes un enseignant et que vous voulez utiliser ce manuel, envoyez-moi(1) votre nom, (2) votre institution et (3) le nombre d’étudiants qui suivent votre cours,et je vous indiquerai comment accéder au site. Ce site contient les solutions complètes desexercices et des encadrés, des exemples de questionnaires, ainsi que d’autres informationsque les enseignants peuvent trouver utiles. Ces informations ne doivent pas être mises àla disposition des étudiants de façon non contrôlée.

    Je vous invite à m’écrire par email si vous avez des questions, des commentaires, ousi vous notez des erreurs.

    Remerciements. Je suis reconnaissant envers toutes les personnes qui ont participéà l’aboutissement de cet ouvrage. Je tiens tout d’abord à remercier mes étudiants dePHYS 160 (en particulier Nathan Reed et Ian Frank) pour avoir relevé les erreurs dans

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    “fichier total” — 2014/2/3 — 8:57 — page xvi — #12 ii

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    xvi PRÉFACE

    les premières versions et pour m’avoir offert leurs retours. L’idée de la structure syn-thèse/encadrés est née de conversations avec Dayton Jones (il y a plus de trente ans).Une correspondance fructueuse avec James Hartle m’a aidé à formuler les objectifs de celivre et son excellent ouvrage m’a à la fois inspiré et grandement appris. Je suis aussi re-connaissant envers Edwin Taylor, qui m’a remis en question et m’a permis d’élargir mesperspectives depuis que mes études au lycée, pour son soutien personnel et ses conseils.Merci aussi à Tom Baumgarte et à Ben Sugerman pour avoir testé les permières versionsde ce livre dans leurs cours et pour m’avoir fourni des retours pertinents. Je remercie TomHelliwell, Nandor Bokor, Nelson Christensen et ses étudiants (Tom Callister, Ross Caw-thon, Andrew Chael, Micah Koller, Dustin Anderson et Davide Miller, qui m’ont tousenvoyé des rapports individuels), Tom Baumgarte, Tom Carroll, Bryan van der Ende,ainsi qu’un rapporteur anonyme pour avoir lu une version quasi-finale de l’ouvrage etm’avoir proposé de nombreuses suggestions valables et corrections d’erreurs. Il va de soique les erreurs qui restent sont de mon seul fait. Je veux aussi remercier les développeursde MathMagic (le logiciel d’édition d’équations que j’utilise 1) pour leur extraordinairedisponibilité lorsque j’ai rencontré des problèmes. Hilda Dinolfo et Christine Maynardont fourni une aide précieuse en imprimant les copies pour les différents relecteurs. Merciaussi à Sergio Picozzi et John Mallinckrodt pour avoir relu attentivement la copie finaleet pour avoir écrit les louanges qui figurent sur la quatrième de couverture. Merci aussià l’équipe de production (Lee Young, Richard Camp, Yvonne Tsang, Genette Itako Mc-Grew et tout particulièrement Laurel Muller et Paul Anagnostopoulos) pour la qualitéde leur travail, de leur écoute et de leur patience devant un livre (et parfois un auteur)difficile. Je veux aussi remercier Jane Ellis, mon éditeur à University Science Books, pourson soutien, son enthousiasme et son travail acharné pour amener ce projet à son terme,en acceptant de prendre un risque pour ce livre qui sort un peu de l’ordinaire.

    Enfin, je remercie ma femme, Joyce, qui a toujours accepté et soutenu mon activitéd’écriture avec grâce et amour. Je vous remercie tous du fond du cœur !

    Thomas A. MooreClaremont, CALe 11 juillet 2012.

    1. Note du traducteur : les équations de la traduction française n’ont pas été composées avec celogiciel mais avec LATEX.

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    1. Introduction

    INTRODUCTION

    ESPACE-TEMPS PLAT

    CALCUL DELA COURBURE

    COSMOLOGIE

    ÉQUATIOND'EINSTEIN

    TROUS NOIRS DESCHWARZSCHILDTENSEURS

    ONDESGRAVITATIONNELLES

    TROUS NOIRSEN ROTATION

    Résumé de relativité restreinte

    Quadri-vecteurs

    Notation indicielle

    Coordonnées arbitraires

    Équations tensorielles

    Équations de Maxwell

    Géodésiques

    Dérivée covariante

    Déviation géodésique

    Tenseur de Riemann

    L'univers observé

    Une métrique pour le Cosmos

    Évolution de l'Univers

    Implications cosmiques

    L'Univers primordial

    Fluctuations du CMB & Inflation

    ceci dépend de cela

    Tenseur énergie-impulsion

    Équation d'Einstein

    Interprétation de l'équation

    Solution de Schwarzschild

    Métrique de Schwarzschild

    Orbites de particules

    Précession du périhélie

    Orbites de photons

    Déviation de la lumière

    Horizon des événements

    Coordonnées alternatives

    Thermodynamique des trous noirs

    Gravitomagnétisme

    Métrique de Kerr

    Orbite des particules

    Ergorégion et horizon

    Orbites d'énergie négative

    Liberté de jauge

    Détection des ondes gravitationnelles

    Énergie des ondes gravitationnelles

    Sources des ondes gravitationnelles

    Astronomie des ondes gravitationnelles

    1

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    2 1. INTRODUCTION

    Comment lire ce chapitre. Ce chapitre a une structure différente de celle des autresqui composent cet ouvrage (voir la préface). Quand j’enseigne à partir de ce livre, je nedemande pas aux étudiants de lire ce chapitre, mais je leur présente son contenu lorsde la première séance de cours, pendant 40 minutes. Je leur distribue un document quicontient un résumé des idées et les figures qui apparaissent dans ce chapitre (ce résuméest disponible à la fin de ce chapitre, on peut aussi le trouver sur le site internet del’ouvrage). C’est selon moi une manière efficace d’utiliser le temps de la première séance,puisque les étudiants n’auront encore rien lu à l’avance, ainsi qu’une bonne manière deles intéresser au cours.

    Ce chapitre est dont principalement destiné aux enseignants, afin de les aider àpréparer un cours similaire ou de fournir de la lecture à leurs étudiants s’ils préfèrentfaire autre chose pendant le premier, et à ceux qui utilisent ce cours pour apprendrepar eux-mêmes. Pour que tous en profitent de la même manière, ce chapitre est plus oumoins constitué d’une retranscription du premier cours que je donne à mes étudiants,plutôt que d’une présentation structurée sur le modèle que les chapitres suivants.

    Introduction. La relativité générale, fondamentalement, est très simple. Si on ne peutnier que les mathématiques auxquelles elle fait appel sont parfois complexes, ni queson interprétation subtile, les concepts au cœur de la théorie sont simples, plausibles etfaciles à comprendre. Cette simplicité fait toute l’élégance et la beauté de cette théorie,qui fournit un idéal que les autres théories physiques modernes tentent d’atteindre.

    Dans la suite, je propose en quelques pages une vue d’ensemble de la structure concep-tuelle de la théorie. Le reste de l’ouvrage ne contient pas beaucoup plus que des détailset des applications de ces idées de base !

    La curieuse égalité entre masse gravitationnelle et masse inertielle. Considé-rons tout d’abord deux charges électriques Q et q qui n’interagissent entre elles quede manière électrostatique. Selon la loi de Coulomb et la relation fondamentale de ladynamique, on a alors

    kQq

    r2=

    (kQ

    r2

    )q = Fe = mIa (1.1)

    où k désigne la constante de Coulomb, r la distance entre les particules, Fe la norme dela force électrostatique que Q exerce sur q, a l’accélération de q et mI sa masse inertielle,indiquant comment elle réagit en accélérant, lorsqu’on lui applique une force donnée. Laquantité entre parenthèses est appelée la norme du champ électrique ~E que la particulede charge Q crée à la position de l’autre particule, et la quantité q détermine commentcette autre particule répond à (on dit aussi « se couple à ») ce champ.

    Considérons maintenant deux particules de masses M et mG qui n’interagissent entreelles que gravitationnellement. Selon la loi de la gravitation universelle de Newton et larelation fondamentale de la dynamique, on a

    GMmGr2

    =

    (GM

    r2

    )mG = Fg = mIa (1.2)

    où G désigne la constante de la gravitation universelle, Fg la norme de la force gravita-tionnelle que M exerce sur mG, et où les autres quantités sont les mêmes que précédem-ment.

    En s’appuyant sur l’équation 1.1, on interprète la quantité entre parenthèses commela norme du champ gravitationnel ~g que la masse M crée à la position de l’autre particule,et mG détermine comment l’autre particule se couple à ce champ.

    J’ai mis des indices différents à mG et mI pour insister sur le fait que, même sielles décrivent des propriétés de la même particule, ces quantités sont conceptuellementtrès différentes. La quantité mI correspond à la masse inertielle et indique la façondont la particule résiste à la variation de mouvement, sous l’effet d’une force donnée,tandis que mG représente la masse gravitationnelle, c’est-à-dire la façon dont elle secouple au champ gravitationnel. Ce sont des quantités physiques complètement distinctes,exprimant des notions complètement différentes. Nous n’avons pas plus de raison a prioride s’attendre à ce que mG soit relié à mI que nous n’en avions de relier q à mI dansl’équation 1.1.

    Le fait de simplifier mG et mI des deux côtés de l’équation 1.2 (comme nous avonstous appris à le faire) constitue donc une hypothèse forte, selon laquelle la masse iner-tielle d’un objet est égale à sa masse gravitationnelle. La plupart des physiciens, avant

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    Relativité générale 3

    Einstein, supposaient simplement que c’était le cas. Mais l’est-ce réellement ? Nous sa-vons maintenant qu’un noyau d’or, par exemple, possède une masse inertielle (celle quemesure un spectromètre de masse) plus faible qu’un même nombre de protons et deneutrons séparés, à cause de l’importante énergie de liaison de l’atome d’or. La massegravitationnelle ne pourrait-elle pas être déterminée par le nombre de nucléons et nonpar l’énergie de liaison ? Qu’en disent les expériences ?

    Pour comprendre comment répondre à cette question, divisons les deux côtés del’équation 1.2 par mI , sans supposer que mG et mI se simplifient. On obtient pourl’accélération (

    GM

    r2

    )(mGmI

    )= a (1.3)

    Si mG et mI sont différents, alors le rapport mG/mI pourrait être différent d’un objetà l’autre, ce qui implique que ces objets seraient soumis à des accélérations différentes,dans le même champ gravitationnel. C’est quelque chose que l’on peut tester expérimen-talement.

    Galilée et Newton ont fourni des premières indications de l’égalité entre mG et Mi(avec une précision d’un pour mille environ) au xviie siècle, ce qui a satisfait la commu-nauté scientifique pendant longtemps. Toutefois, la situation a de nouveau intéressé lesphysiciens à la fin du xixe siècle. Suite à une expérience célèbre réalisée par Eötvös en1890, les physiciens du xxe siècle ont conçu des expériences de plus en plus sophistiquéeset précises, utilisant diverses techniques. Les expériences actuelles ont établi que mG etmI sont égales avec une précision d’un millionième et les expériences les plus précisesà ce jour (qui utilisent une balance de torsion très sensible pour rechercher des diffé-rences d’accélération de différents objets dans le champ gravitationnel du Soleil, voir lesite www.npl.washington.edu/eotwash/ pour les détails) donnent des incertitudes del’ordre de 10−13.

    Maintenant, le fait que deux quantités a priori distinctes soient égales avec presque13 chiffres significatifs soulève des interrogations. La relativité générale fournit une ex-plication à la fois simple et élégante.

    L’hypothèse géodésique. La première étape de cette explication consiste à réaliserque si mG est vraiment égal à mI , alors l’équation 1.3 implique que tous les objetssoumis à un même champ gravitationnel subissent la même accélération. Tous les objetsdoivent donc suivre la même trajectoire, dans un champ gravitationnel donné, s’ils sontlancés depuis la même position avec la même vitesse initiale, même s’ils diffèrent par leurmasse ou par d’autres caractéristiques. Attention, cette affirmation serait fausse pourl’électrostatique : des objets de charges différentes suivraient des trajectoires différentesdans un champ électrique donné, même s’ils ont initialement les mêmes positions et lesmêmes vitesses. Dans le cas gravitationnel, tout se passe comme si les trajectoires étaientdéterminées par l’espace dans lequel les objets se déplacent, plutôt que par les propriétésdes objets eux-mêmes.

    Comment un espace vide peut-il déterminer une trajectoire ? Dans l’espace bidimen-sionnel que constitue une feuille de papier, il existe un chemin unique entre deux pointsquelconques, pour lequel la longueur est minimale : ce chemin est une ligne droite. Demême, dans l’espace bidimensionnel associé à la surface d’un globe, les chemins analoguessont les « grands cercles ». Plus généralement, dans l’espace bidimensionnel associé à lasurface de tout objet tridimensionnel lisse et convexe, on peut trouver le plus court che-min entre deux points en tendant une corde entre ces deux points. Dans des espacesplus généraux, les chemins qui représentent la distance la plus courte (ou de manièreplus technique, la distance extrémale 1) entre deux points est appelée une géodésique.Les caractéristiques géométriques d’un espace déterminent des chemins géodésiques demanière unique, dans cet espace 2.

    En relativité générale, l’hypothèse géodésique affirme simplement que

    Une particule libre suit une géodésique de l’espace-temps.

    1. NdT : en fait, stationnaire2. Techniquement, si deux points de l’espace sont séparés par des distances grandes devant l’échelle

    sur laquelle la courbure de l’espace devient notable, on peut trouver plus d’une géodésique connectantces deux points. Par exemple, les pôles d’une sphère peuvent être reliés par une infinité de grandscercles. Mais si les points sont séparés par distances faibles devant cette échelle, la géodésique reliantun couple de points donné est unique. Supposons-le pour le moment.

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    4 1. INTRODUCTION

    où le terme « particule libre » signifie qu’elle ne subit aucune interaction de nature nongravitationnelle. Selon cette hypothèse, un champ gravitationnel déforme l’espace-temps,qui à son tour spécifie les géodésiques que les particules doivent suivre.

    L’hypothèse géodésique doit être appliquée à l’espace-temps, pas à l’espace tridimen-sionnel. Pour le voir, considérons un ballon que l’on lance et qui suit une parabole d’unpoint A à un point B, au voisinage de la surface de la Terre. On pourrait aussi tirerune balle de fusil depuis le point A, de manière à ce qu’elle atteigne aussi le point B.À cause de sa vitesse plus grande la balle suivrait une trajectoire beaucoup moins cour-bée que le ballon (voir la figure 1.1). Toutefois, la définition des géodésiques impliquequ’il ne devrait y avoir qu’une géodésique entre les points A et B. La balle et le ballon,même s’ils sont libres, ne peuvent pas suivre une géodésique de l’espace, contrairementà l’hypothèse initiale !

    Ce paradoxe est résolu si l’on considère que la balle et le ballon suivent des géodésiquesdans l’espace-temps. La figure 1.2 montre les trajectoires de la balle et du ballon dansl’espace et dans le temps. On peut tirer deux conclusions importantes de cette figure.D’une part, on voit que même si la balle et le ballon partent de A au même instant (parhypothèse), ils n’arrivent pas au point B au même instant, et leur trajectoire ne reliedonc pas les mêmes points dans l’espace-temps. Deux objets qui se déplacent de A à Bpendant le même temps devraient avoir la même vitesse initiale et suivraient exactementla même trajectoire dans l’espace et le temps.

    D’autre part, bien que les chemins suivis par la balle et le ballon sont clairementdes géodésiques différentes lorsqu’on les trace dans l’espace-temps, la figure 1.2 montreque celles-ci ont des rayons de courbure à peu près identiques (environ 1 année-lumière),lorsqu’on exprime les durées comme les distances parcourues par la lumière pendant cetemps. Ces géodésiques distinctes ont la même courbure, qu’il est plausible d’attribuerà la portion d’espace-temps contenant la Terre.

    A B10 m

    500 m/s

    5 m/s

    0.5 mm5 m

    Fig. 1.1 – Les chemins suivis par unballon et une balle de fusil en chutelibre entre deux points A et B sontdifférents dans l’espace : il n’y a pasun chemin unique suivi par un ob-jet en chute libre entre deux points Aet B, dans l’espace. Adapté de Mis-ner, Thorne et Wheeler, Gravitation,Freeman, 1973, p. 33.

    tB = c(0.02 s)= 6 × 106 m

    ctBl = c(2 s) = 6 × 108 m

    vers le centre de courbure vers le centre de courbure

    ballon

    RR R

    balle de fusil

    z

    x

    ct

    A

    B

    Bl

    h = 5 m

    h = 0.5 mm

    (pas à l’échelle)10 m

    R ≈ 1 ly

    Fig. 1.2 – Tracés dans l’espace-temps, les chemins suivis par la balle et le ballon se terminentà des instants tA et tB différents, si bien que leurs points finaux dans l’espace-temps ne sontpas les mêmes. Toutefois, si on exprime l’évolution le long de l’axe temporel de ce diagrammed’espace-temps en termes de ct (où c désigne la vitesse de la lumière dans le vide, une constantefondamentale), si bien que tous les axes sont gradués dans la même unité, alors on s’aperçoit queles deux chemins ont bien approximativement le même rayon de courbure R ∼ 1 al, où al signifieune année-lumière (voir le problème P1.1). On remarque que deux projectiles qui évolueraiententre deux positions identiques dans l’espace et dans le temps devraient aussi avoir la mêmevitesse initiale, et suivraient donc la même trajectoire (unique) dans l’espace-temps. Adapté deMisner, Thorne et Wheeler, Gravitation, Freeman, 1973, p. 33.

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    Relativité générale 5

    Pourquoi la masse gravitationnelle est aussi la masse inertielle. Si l’on acceptel’hypothèse géodésique, alors la masse gravitationnelle et la masse inertielle doivent êtrela même chose, comme nous allons le voir maintenant. À proximité de la surface de laTerre, la géodésique d’un objet lâché au repos correspond à une trajectoire au cours delaquelle le corps est accéléré vers le bas, avec une accélération g = 9,81 m · s−2. Selonl’hypothèse géodésique, c’est le chemin « naturel » que doit suivre un objet isolé, analogueà la géodésique en ligne droite que devrait « naturellement » suivre un objet dans l’espaceprofond (loin de tout objet gravitant). Dans l’espace profond, pour accélérer un objetet l’écarter de la géodésique en ligne droite, il faut lui appliquer une force. De manièreanalogue, si je tiens un objet au repos près de la surface de la Terre, je dois exercersur lui une force dirigée vers le haut, pour l’accélérer vers le haut avec l’accélérationg = 9,81 m·s−2 par rapport à la géodésique dirigée vers le bas qu’il tendrait naturellementà suivre. L’intensité de cette force, selon la deuxième loi de Newton, vaut simplementmg où m désigne la masse inertielle.

    C’est précisément l’intensité de la force que nous exerçons vers le haut pour retenirl’objet que nous mesurons lorsque nous « pesons » un objet. En mécanique newtonienne,nous imaginons que cette force dirigée vers le haut est exactement compensée par une« force gravitationnelle » mGg agissant sur l’objet, et on dit que la balance enregistre lepoids de l’objet qui, après division par g, fournit la masse gravitationnelle mG. Du pointde vue de la relativité générale, la seule force qui agit sur l’objet est celle dirigée versle haut (puisqu’il faut exercer une force pour accélérer un objet et ainsi l’écarter de sagéodésique) et cette force a une intensité mIg. Ainsi, lorsqu’on croit mesurer la massegravitationnelle d’un corps à l’aide d’une balance, ce qu’on mesure réellement, c’est sarésistance à l’accélération. Bien sûr que mG = mI , il s’agit de la même chose !

    Référentiels inertiels et non inertiels. Le paragraphe précédent implique qu’enrelativité générale, on considère que le « poids » d’un objet (c’est-à-dire la force gravi-tationnelle qui agit sur lui) est fictif, et non une force réelle. Pour le comprendre, nousdevons revenir sur la définition des référentiels inertiels et non inertiels.

    En mécanique newtonienne, on définit typiquement un référentiel inertiel, d’ailleursplutôt qualifié de galiléen dans ce cadre, comme « un référentiel dans lequel un objetisolé initialement au repos reste au repos ». Toutefois, il semble que nous dérogeonsrapidement à cette définition lorsque nous traitons les référentiels inertiels au repos parrapport au référentiel terrestre comme des référentiels galiléens ou inertiels, puisqu’unobjet initialement au repos ne le reste pas, il est accéléré vers le bas avec l’accélération g !L’explication newtonienne, bien sûr, est qu’un tel objet situé près de la surface de la Terren’est pas isolé, il est soumis à la force gravitationnelle exercée par la Terre, ce qui causeson accélération. Toutefois, la seule preuve de l’existence de cette force est le fait quel’objet qu’on lâche est accéléré, ce qui n’est le cas que si on commence par supposer quele référentiel lié à la surface de la Terre est inertiel.

    En relativité générale, la définition donnée plus haut pour les référentiels inertiels estprise au sérieux de manière littérale. Un référentiel au repos par rapport à la surface dela Terre n’est pas inertiel, car un objet isolé n’y reste pas au repos. Les seuls référentielsqui sont inertiels au voisinage de la Terre, en tout cas de manière approchée, sont lesréférentiels en chute libre. Nous savons, par exemple, que dans un référentiel en chutelibre comme celui de la navette spatiale en orbite autour de la Terre, un objet placé aurepos au milieu de la cabine continue de flotter au même endroit, ce qui est compatibleavec la définition d’un référentiel inertiel !

    Bien sûr, un physicien newtonien répondrait qu’il s’agit d’une illusion, due au faitque l’objet et la navette spatiale sont tous deux en train de tomber vers la Terre avec lamême accélération, et apparaissent donc au repos relativement l’un à l’autre. Le choixd’un référentiel inertiel, entre celui qui est lié à la surface de la Terre et celui en chutelibre, n’est-il donc qu’une affaire de point de vue ? Non ! L’une des plus grandes avancéesd’Einstein a été de montrer que ce choix a des conséquences physiques que nous allonsexaminer expérimentalement.

    Le principe d’équivalence. Einstein a fait remarquer que si un référentiel en chutelibre est vraiment inertiel, alors il devrait être physiquement équivalent à un référentielsitué dans l’espace profond, en l’absence de gravitation (loin de tout corps massif), dansle sens où toute expérience réalisée en chute libre devrait donner le même résultat quedans le référentiel sans gravitation.

    Inversement, un référentiel au repos par rapport à la surface de la Terre, comme il

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    6 1. INTRODUCTION

    est accéléré vers le haut avec l’accélération g = 9,1 m · s−2 par rapport aux référentielsinertiels que l’on peut considérer à cet endroit, devrait être physiquement équivalentà un référentiel non inertiel uniformément accéléré avec l’accélération g par rapportaux référentiels de l’espace profond. Ce sont ces affirmations qui constituent ce que lesphysiciens appellent le principe d’équivalence.

    Ce principe peut être mis à l’épreuve, par exemple par l’expérience suivante. Ima-ginons qu’un rayonnement lumineux de fréquence donnée soit émise par une sourceaccrochée au plafond d’une pièce immobile par rapport à la surface de la Terre. Cerayonnement est détecté et sa fréquence est mesurée, par un appareil situé au niveaudu sol de la pièce. Si ce référentiel était vraiment inertiel (en contradiction avec la re-lativité générale), la lumière détectée devrait être observée avec la même fréquence quela lumière émise. En revanche si un tel référentiel est non inertiel (comme le requiert leprincipe d’équivalence), alors le rayonnement devrait être observé avec un léger décalagede fréquence, comme nous allons maintenant le montrer.

    D’après le principe d’équivalence, ce qu’on observe dans un référentiel au repos parrapport à la surface de la Terre doit être identique à ce qu’on observe dans une cabineaccélérée, dans l’espace profond. Supposons que cette cabine se trouve être immobilepar rapport à un référentiel inertiel à l’instant t = 0, auquel un photon est émis par leplafond de la cabine du référentiel accéléré (voir la figure ??). Dans le référentiel inertiel,la fréquence de ce photon reste constante. Mais pendant le temps t′ que met le photonpour atteindre le détecteur situé au sol de la cabine accélérée, ce dernier a acquis unevitesse v = gt′ par rapport au référentiel inertiel. Ainsi, dans le référentiel inertiel, ledétecteur situé au sol de la cabine se déplace à cette vitesse vers la source (qui étaitimmobile au moment de l’émission). Le détecteur verra donc le rayonnement légèrementdécalé vers le bleu, à cause de l’effet Doppler. Ce décalage sera très faible (car t′ estpetit, voir le problème P1.2 pour un calcul d’ordre de grandeur), mais non nul.

    L’effet est si faible qu’il a fallu attendre plus de 50 ans après la prédiction d’Einsteinpour qu’on puisse le mesurer expérimentalement de manière indiscutable. En 1959, R.V. Pound et G. A. Rebka ont pu vérifier cet effet dans une tour de 22,5 m de haut,au laboratoire Jefferson Physical Laboratory de l’université de Harvard (voir Pound &Rebka, « Gravitational Redshift in Nuclear Resonance », Phys. Rev. Lett. 3, 439–441).Cette expérience utilisait des rayons gamma émis par une source radioactive contenantdu 57Fe, et tirait parti de l’effet Mössbauer pour déterminer très précisément le décalageen fréquence des rayons gamma, lorsqu’ils étaient absorbés par un autre échantillonde 57Fe situé à l’autre extrémité de la tour. Cette expérience a permis de vérifier ledécalage vers le bleu avec une incertitude de l’ordre de 10 %. Des expériences ultérieuresont permis de vérifier cet effet dans des référentiels liés à la Terre avec une précision del’ordre de 10−4.

    On voit que les expériences confortent sérieusement la conclusion selon laquelle lesréférentiels au repos par rapport à la surface de la Terre ne sont pas inertiels, tandisque les référentiels en chute libre le sont. Ceci signifie que la « force de gravitation » quisemble nous plaquer au sol dans les référentiels immobiles par rapport à la surface dela Terre n’est qu’une force fictive, aussi fictive que la force qui nous presse au sol dansun référentiel accéléré vers le haut. En effet, cette force disparâıt dans un référentielvéritablement inertiel (c’est-à-dire en chute libre) : dans ce référentiel les objets sont enapesanteur. Toute force qui apparâıt ou disparâıt selon le choix du référentiel ne peutpas être réelle.

    La réalité de la gravité. La gravité est-elle donc entièrement fictive ? N’y a-t-il doncrien à propos de la gravité qui soit réel (c’est-à-dire observable dans un référentiel iner-tiel) ? La réponse à ces deux questions est négative. La gravité est bien réelle, et certainesde ses manifestations sont observables dans les référentiels inertiels, ce n’est juste pas laforce dirigée vers le bas que l’on nomme usuellement « la gravité ».

    Pour le voir, imaginons une grande cabine en train de tomber en chute libre versla Terre. Disposons quatre billes de manière à ce qu’initialement, elles flottent au repospar rapport à la pièce. Une est située près du plafond, une autre près du sol, une autreprès d’un mur et la dernière près du mur opposé (voir la figure 1.4). Qu’advient-il de cesbilles lorsque la cabine chute ?

    vv

    (a)

    (b)

    photon

    détecteur

    source

    référentiel accéléré

    référentiel accéléré

    référentiel inertielflottant

    Fig. 1.3 – (a) À l’instant auquel lacabine accélérée dans l’espace pro-fond est au repos par rapport à unréférentiel inertiel de ce même espaceprofond, un photon est émis par unesource située au plafond de la cabine.(b) Pendant le temps que le photonmet pour atteindre le détecteur si-tué au sol de la cabine, celle-ci a ac-quis une vitesse non nulle par rapportau référentiel inertiel. Le détecteur vadonc mesurer pour le photon une fré-quence décalée vers le bleu. Comme leréférentiel accéléré dans l’espace pro-fond est physiquement équivalent àun référentiel au repos à la surfacede la Terre, on s’attend à observeraussi un décalage vers le bleu de lafréquence du photon lorsque l’expé-rience est réalisée sur Terre.

    Pour prédire ce qui se passe, replaçons-nous pendant un moment dans le cadre new-tonien (qui permet d’expliquer le comportement observé, même si l’interprétation n’estpas correcte). Dans ce cadre, le centre de masse de la cabine tombe vers la Terre avecune certaine accélération. La bille située près du plafond est un peu plus éloignée du

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    Relativité générale 7

    Terre

    référentiel flottant dans l’espace vide

    référentielen trainde tombervers la Terre

    (a) (b)

    vers le centre de la Terre

    Fig. 1.4 – (a) Comme le champ gravitationnel de la Terre (ou de tout objet gravitant)n’est pas uniforme, les billes situées à des positions décentrées sont soumises à des petitesaccélérations par rapport au référentiel du centre de masse. (b) De telles accélérationsne sont pas observées dans un référentiel flottant librement dans l’espace profond : lesbilles initialement immobiles le restent.

    centre de la Terre, et est donc soumise à une accélération légèrement plus faible. Demême, la bille située près du sol est soumise à une accélération légèrement plus forte.Les billes situées près des murs sont accélérées vers le centre de la Terre, c’est-à-diredans une direction légèrement inclinée vers l’intérieur par rapport à celle du centre demasse de la cabine. Au fil du temps, on observe donc que les billes situées en haut et enbas sont accélérées en s’éloignant du centre de masse, tandis que les billes du côté sontaccélérées vers le centre de masse. Ce n’est pas le comportement que l’on observeraitdans un référentiel flottant librement dans l’espace profond : dans un tel référentiel, lesbilles resteraient strictement au repos.

    Les accélérations relatives de corps isolés décentrés sont des phénomènes que l’onpeut observer dans un référentiel inertiel (en chute libre) près d’un objet gravitant, maispas dans un référentiel inertiel flottant dans l’espace profond. Elles représentent doncune indication indépendante du référentiel (et donc réelle) que l’on doit se trouver àproximité d’un objet gravitant.

    Ces effets sont appelés effets de marée car, comme Newton lui-même l’avait comprisle premier, ils permettent aussi d’expliquer les marées à la surface de la Terre. En effet,on peut considérer que la Terre est en chute libre dans le champ gravitationnel créé parla Lune. Comme les billes dans la cabine des paragraphes précédents, les eaux des océanssituées sur les régions de la Terre situées les plus près et les plus loin de la Lune sontaccélérées vers l’extérieur du centre de la Terre, et forment une bosse, tandis que leseaux situées sur les côtés sont attirées vers l’intérieur de la Terre. Ceci explique le cyclede 12 heures de la variation du niveau des océans.

    L’espace-temps est courbe. Comment interpréter ces effets de marée dans le cadrede la relativité générale ? La figure 1.5 montre, dans un diagramme d’espace-temps, lestrajectoires des deux billes du côté, dans notre expérience de chute libre décrite plus haut.Comme ces deux billes sont initialement au repos les unes par rapport aux autres, leurstrajectoires dans l’espace-temps sont initialement parallèles (elles gardent une séparationconstante au cours du temps). Au fil du temps, elles se mettent à se déplacer l’une versl’autre avec une vitesse de plus en plus grande, et les trajectoires s’incurvent l’une versl’autre, comme on le voit sur la figure.

    x

    t

    Fig. 1.5 – Tracées dans l’espace-temps, les géodésiques suivies par lesbilles de la figure 1.4 sont initialementparallèles (les billes ont des sépara-tions initiales constantes), mais s’in-curvent peu à peu l’une vers l’autre(car leur séparation diminue au coursdu temps). Ce fléchissement de lignesinitialement parallèles indique quel’espace-temps sous-jacent est courbe.

    Toutefois, souvenez-vous que ces trajectoires sont des géodésiques de l’espace-temps,c’est-à-dire les trajectoires les plus « droites » possibles dans l’espace-temps. Un axiomefondamental de la géométrie euclidienne (plane) est que deux droites initialement pa-

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    8 1. INTRODUCTION

    rallèles restent parallèles lorsqu’on les suit. Ici, nous voyons que des géodésiques dansl’espace-temps initialement parallèles ne restent pas parallèles. Ceci viole l’axiome dela géométrie plane, mais cette propriété est typique des espaces courbes. Par exemple,dans l’espace bidimensionnel correspondant à la surface d’une sphère, les lignes de lon-gitude constante (des grands cercles) sont des géodésiques. Ces lignes sont parallèlesentre elles au niveau de l’équateur mais cessent de l’être quand on s’approche des pôles.En conclusion, l’accélération relative des géodésiques près d’un objet gravitant indiqueque la géométrie de l’espace-temps y est courbe (non euclidienne). Cette courbure del’espace-temps est la signature, indépendante du référentiel, qu’un champ gravitationnelest présent. Une fois que nous aurons compris exactement comment l’espace-temps estcourbé près des objets gravitants, nous pourrons calculer les géodésiques de cet espace-temps et ainsi prédire comment les corps en chute libre s’y déplacent.

    L’équation d’Einstein. Une fois formulée l’hypothèse géodésique, l’objectif centrald’une théorie de la gravité est de prédire comment un corps gravitant affecte la courburede l’espace-temps. Le 25 novembre 1915, Einstein termina la théorie de la relativité gé-nérale en proposant une équation qui lie la présence de matière et d’énergie à la courburede l’espace-temps, une équation qui porte aujourd’hui le nom d’équation d’Einstein. Elles’écrit

    Gµν = 8πGTµν (1.4)

    où Gµν est une matrice 4 × 4 (un tenseur, plus précisément) qui décrit la courburede l’espace-temps en tout point de l’espace-temps, G est la constante de la gravitationuniverselle, et Tµν est une matrice 4 × 4 décrivant la densité et le flux de matière etd’énergie au même point de l’espace-temps. Cette équation forme, avec l’équation desgéodésiques utilisée pour calculer les géodésiques dans un espace-temps arbitraire, lecœur de la relativité générale.

    La relativité générale en deux mots. Dans les chapitres qui suivent, nous allons ex-plorer très en détail la signification mathématique de l’équation d’Einstein et de l’équa-tion des géodésiques. Pour le moment, tou