修士論文

Fe-C合金のγ → α変態による

微視組織形成過程のPhase-field

シミュレーション

指導教員：冨田　佳宏

山中　晃徳

2006年 7月

神戸大学大学院

自然科学研究科 機械工学専攻

Master Thesis

Phase-field Simulation of

Microstructural Evolution during

Austenite to Ferrite Transformation

in Fe-C Alloy

July 2006

Department of Mechanical Engineering,

Graduate School of Science and Technology,

Kobe University

Akinori Yamanaka

要約鉄鋼材料の機械的特性は, 製錬時の凝固過程や熱処理時における析出, 相変態および

再結晶過程で形成される内部微視組織の形態に依存して大きく変化する. したがって,

鉄鋼材料の更なる高機能化のためには, 材料内部における相変態挙動および組織形成過

程を深く理解し, 精度良く予測する技術を確立することが非常に重要である. そこで,

本研究では相変態による複雑な微視組織形成過程を記述できるPhase-field法を用いて,

代表的な鉄鋼材料である Fe-C合金における γ → α変態による微視組織形成過程の数

理モデルを構築した. さらに, 一連の数値シミュレーションを行うことにより, 未だ統

一した見解の得られていない中間温度領域における γ → α変態機構やWidmanstatten

フェライトの形成メカニズムについて明らかにした.

まず, 中間温度領域における γ → α変態機構の温度依存性と初期炭素濃度依存性に

ついて詳細に検討した. γ → α変態の温度依存性に関しては, 変態温度の低下は γ相

の界面における炭素濃度を大きく増加させるため, α相の成長を著しく抑制することを

示した. このとき, α相の成長過程においては, 界面における各相の炭素濃度は局所平

衡状態にならないという知見を得た. 初期炭素濃度依存性に関しては, γ → α変態挙

動は γ相の炭素濃度に依存して変化し, その炭素濃度が平衡状態図における α単相領

域付近にまで減少した場合, α相生成に濃度変化を伴わない界面律速変態の性質を呈す

ることを示した. さらに, γ → α変態は拡散律速変態と界面律速変態の両方の性質を

有し, その変態機構は変態温度と初期炭素濃度に依存して変化することを自由エネル

ギーの観点から明らかにした.

次に, 比較的高温領域における γ → α変態により生成される, Widmanstattenフェ

ライトの形成過程をモデル化し, 数値シミュレーションを行うことにより, その形成メ

カニズムと界面異方性が及ぼす影響を明らかにした. Allotriomorphフェライトからの

Widmanstattenフェライト形成シミュレーションを行った結果, Widmanstattenフェラ

イト形成には非常に強い界面異方性が必要であることが分かった. また, Widmanstatten

フェライトはAllotriomorphフェライトの初期界面の凸状箇所に優先的に形成され, 初

期界面に形成されたチップは互いに融合を繰り返しながら競合的に成長し, 初期成長

段階においては界面の形態不安定性によりプレート形状に変化することを示した. さ

らに, 強い界面異方性を導入できる修正勾配エネルギー係数を適用したため, 実験で観

察されるような非常に鋭いチップ先端形状を有するWidmanstattenフェライトの形態

を良好に再現することを可能にした.

SummaryMicrostructures of Fe-C alloy are formed during solidification, phase transformation

and precipitation processes. The morphology of microstructure is closely related to the

mechanical properties of Fe-C alloy. Therefore, it is very essential to understand and

predict the microstructural evolution during the phase transformation in Fe-C alloy

for improvement of properties of steels. However, the prediction of the mechanism of

microstructure evolution is quite difficult by only experimental approach, because the

phase transformation is complex competition between interfacial migration and diffu-

sion of solute atoms. In this study, numerical simulations are performed to describe

the austenite to ferrite transformation and the evolution of microstructure in Fe-C

alloys by employing Phase-field method, which can simultaneously describe the time

evolution of interface migration and the distribution of carbon concentration without

complex tracking of the interface position.

In order to study the effects of carbon diffusion on the austenite to ferrite transforma-

tion kinetics and the growth process of ferrite phase, one-dimensional simulations are

carried out with different temperatures and initial carbon concentrations. The results

suggest that the growth rate of ferrite decreases with decreasing the transformation

temperature because of the increase of carbon concentration in the austenite phase at

the interface. For the initial concentration dependency of the transformation kinetics,

it is clarified that the transition of the transformation kinetics from diffusion controlled

transformation to partitionless interface-controlled transformation is occured, as the

initial carbon concentration in austenite decrease.

Furthermore, two-dimensional phase-field simulations of Widmanstatten ferrite for-

mation during the austenite to ferrite transformation in Fe-C alloys are curried out.

The effects of the anisotropy of interfacial properties on the formation of Widmanstatten

ferrite are studied by the regularized gradient coefficient method. The results suggest

that quite strong interfacial anisotropy is required for the formation of Widmanstatten

ferrite. The lengthening rate of the ferrite plate decreases with increasing the interfacial

energy because the growth rate to the broad side increases. With the constant inter-

facial energy at the broad side of the plate, the increase of the strength of anisotropy

causes faster tip velocity and the formation of fine tip shape. Simulation results also

clarified that Widmanstatten ferrite plates develop from the convex part of Allotri-

omorph ferrite and grow due to the morphological instability in the early stage of the

formation. It should be mentioned that the realistic morphology of the plate can be

represented by employing the regularized gradient energy coefficient method.

目 次

第1章 緒論 1

第2章 Fe-C合金の γ → α変態Phase-fieldモデル 4

2.1 Fe-C合金の全自由エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 時間発展方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Phase-field方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 炭素拡散方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 界面異方性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

第3章 中間温度領域における γ → α変態と炭素拡散挙動の評価 15

3.1 差分法による時間発展方程式の離散化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 解析モデルおよび解析条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 γ → α変態における炭素拡散挙動と温度依存性 . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 γ → α変態機構の初期炭素濃度依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 結言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

第4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 24

4.1 2次元解析における時間発展方程式の離散化 . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Phase-field方程式の有限要素法, 差分法 . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.2 炭素拡散方程式の有限要素法, 差分法 . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.3 アダプティブ法による数値解析の効率化 . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 解析モデルおよび解析条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 単一のWidmanstattenフェライト形成シミュレーション . . . . . . . . 35

4.3.1 異方性モード数の影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3.2 界面エネルギーの影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.3 異方性強度の影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 複数のWidmanstattenフェライトプレート形成シミュレーション . . . 40

4.4.1 異方性強度の影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.2 Allotriomorphフェライトの初期形態の影響 . . . . . . . . . . . 41

4.5 結言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ii

目 次 iii

第5章 結論および今後の課題 46

参考文献 48

第A章 Ginzburg-Landau型自由エネルギー汎関数の導出 53

第B章 Sharp interface limitによる各種パラメータの導出 55

第C章 Fe-C合金の化学的自由エネルギーの熱力学パラメータ 58

第D章 関連学術論文・学術講演 60

第1章

緒論

鉄鋼材料は良好な強度と延性・靭性を兼備し, 低コストで大量生産が可能な経済性

に優れた金属材料のひとつとして, 様々な機械製品の構造用部材に使用されており, 社

会を支える非常に重要な基盤材料である. したがって, 鉄鋼材料により優れた機能を

付加することは新たな工業製品の創製や既存製品の性能向上のために必要不可欠であ

り, そのためには鉄鋼材料の特性をさらに深く理解することが重要である. そして, 多

岐にわたる鉄鋼材料の特性の中で, 最も重要なものに降伏応力や均一伸びなどの機械

的特性が挙げられる. 鉄鋼材料の機械的特性は, 製錬時の凝固過程や熱処理時における

析出, 相変態により形成される内部微視構造すなわち金属組織に大きく依存して変化

する (1). したがって, 材料内部で発生する相変態挙動や組織形成過程を理解し, 材料組

織制御技術を確立することは, 先に述べた鉄鋼材料の機能向上のために必要不可欠で

あると考えられる.

鉄鋼材料の内部微視組織に関しては, これまでに多くの研究者によって調査され, 材

料の化学組成や温度, 冷却速度などの熱処理条件によって多種多様であることが知ら

れている (2)(3). 本研究で取り扱う, 代表的な鉄鋼材料である Fe-C合金鋼において生成

される微視組織の多くは, オーステナイト化温度 (Ae3温度)からマルテンサイト変態

開始温度 (Ms温度)までの広範な温度領域で発生する, fcc構造のオーステナイト (γ)

相から bcc構造のフェライト (α)相への相変態 (γ → α変態)により形成される. Ae3

温度直下の比較的高温度領域で γ → α変態により形成する微視組織としては γ粒界

に沿って生成するポリゴナル状のAllotriomorphフェライトがあり, そこから過冷度が

増加するにつれて α相は一方向に伸張したラス形状やプレート形状へと組織形態を変

化させる (4). そして, Ae1温度直上の α + γ 2相領域では Allotriomorph (アロトリオ

モルフ)フェライトの α/γ界面にフェライトサイドプレートもしくはWidmanstatten

(ヴィッドマンステッテン)フェライトと呼ばれるプレート状 α相が形成される. この

1

第 1章 緒論 2

Wdimanstattenフェライトは, 溶接部の熱影響領域で多く観察される組織で, 材料の靭

性に大きく影響するため, その形成機構について長年研究がなされてきた. しかしな

がら, Allotriomorphフェライトのα/γ界面における核形成が支配的であるとの見解 (5)

や界面の形態不安定性で説明可能であるとする見解 (6)などが得られているが, 未だ統

一した形成メカニズムは明らかにされていない.

また, さらに過冷度が大きくなりAe1温度以下の中間温度領域においては, γ → α変

態により生成した α相, または母相である γ相に炭化物であるセメンタイト (Fe3C)が

析出し, パーライト組織やベイナイト組織などの工業的に, 多く使用される組織が形成

される. 特に, ベイナイト組織を有する鉄鋼材料は強度, 靭性ともに高く, 強度-延性バ

ランスが優れているため材料組織として最も望ましい組織である (7). したがって, 中

間温度領域における組織形成過程を予測し, 所望の組織を獲得するための材料組織制

御方法を発見することは重要である. しかしながら, この温度領域における γ → α変

態機構および組織形成過程は, 侵入型固溶元素である炭素原子の拡散が大きく関与す

るため, 複雑な挙動を示す. 特にベイナイト変態に関しては, 無拡散変態と拡散変態の

両方の性質を有しており, その変態機構は現在も明らかにされていない (8)(9).

以上のように, Fe-C合金における γ → α変態による微視組織形成過程を精度良く予

測することは材料組織制御を適切に行うために重要であるが, 多くの影響因子を有して

おり, 特に炭素原子のような侵入型固溶元素の拡散は非常に速いため, 実験的手法のみ

でこれを実現することは困難であると考えられる. そのため, Fe-C合金をはじめとする

鉄鋼材料の γ → α変態の数理モデルを構築し,数値シミュレーションを行うことにより

γ → α変態および, 組織形成過程を把握する方法が数多く提案されてきた (10)∼(13). と

ころが, 一般にこれらの数理モデルは, 界面での局所平衡などの特別な仮定を必要とす

るうえ, 界面の位置や移動速度, 界面近傍の化学組成変化などを個別に求める必要があ

り, 非常に煩雑であった. さらには, これらの解析手法は平衡状態における相分率や化

学組成を求め, 平衡状態図を作成することに主眼が置かれていたため, 鉄鋼材料の機械

的性質を特徴づける複雑な組織形態や形成過程を再現することは極めて困難であった.

これに対し近年, 異相界面をある有限の幅をもった領域と仮定し, 界面領域において

連続的に変化する秩序変数を導入することで, 界面位置の逐次追跡を必要とせず, 比

較的簡単な支配方程式を用いて組織形成過程を表現することのできる Phase-field法(14)(15)が提案された. Phase-field法は, 純物質の凝固組織形成を再現するための手法と

して発展してきたが, 相変態による異相界面の移動と化学組成や温度変化を同時に解

析できるだけでなく, 組織形態の変化を再現することができる. よって, これまでに合

金の凝固過程におけるデンドライト成長 (14)(16)や結晶粒成長 (17)(18)など様々な分野に

第 1章 緒論 3

適用され, ナノ・メゾスケールの組織形成をシミュレートし, 組織形成メカニズムを解

明するための強力な数値解析手法として注目されている (19)(20).

そこで本研究では,はじめにPhase-field法を用いてFe-C合金における γ → α変態に

よる微視組織形成過程を再現可能な数理モデルを構築する. ついで, 一連の数値シミュ

レーションを行うことにより, γ → α変態挙動および複雑な微視組織形成過程を特徴

づける影響因子を抽出し, 相変態挙動や組織形成メカニズムについて詳細に検討する.

なお, 本研究は本章を含め 5章より構成されている.

第 2章では, 基礎理論として, Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデルについて説

明する.

第 3章では, 第 2章で説明した時間発展方程式を 1次元の差分法を用いて離散化し, 中

間温度領域における γ → α変態機構と α相の生成過程に変態温度, 初期炭素濃

度が与える影響について詳細に評価, 検討する.

第 4章では, Widmanstattenフェライトの形成過程をシミュレートし,組織形成過程に

大きく影響を与える界面異方性の各因子について検討する. さらにAllotriomorph

フェライトからWidmanstattenフェライトが形成する過程を再現し, その形成メ

カニズムを明らかにする.

第 5章では, 本研究の総括と今後の展望を述べる.

第2章

Fe-C合金のγ → α変態Phase-field

モデル

本章では, 本研究で構築した Fe-C合金における γ → α変態の Phase-filedモデルに

ついて説明する. はじめに, γ → α変態に伴う α/γ界面の移動および炭素拡散挙動を

記述する秩序変数と, Fe-C合金の全自由エネルギーを表すGibbsの自由エネルギー汎

関数を定義する. ついで, 系の時間変化すなわち γ → α変態による組織形態の時間変

化を表現する秩序変数の時間発展方程式を導出する. また, Phase-field法で相変態によ

る組織形成過程をモデル化するうえで重要な, 界面異方性を表現する勾配エネルギー

係数について説明する.

2.1 Fe-C合金の全自由エネルギー

Phase-field法においては, 系の全自由エネルギーの減少率が最大になる経路に沿っ

て組織形態が変化するとの原理 (15)のもとに, 系の時間発展を表現する秩序変数の時間

発展方程式を導出するため, 全自由エネルギーを秩序変数の関数であるGibbsの自由

エネルギー汎関数として導出する.

本研究において γ → α変態を記述する秩序変数は, α相の存在確率を表すphase field

φと炭素濃度 ucとする. Phase field φは α相において φ = 1, γ相において φ = 0 の

値をとり, 図 2.1に示すように有限の界面幅 δをもつ界面領域において滑らかに変化す

る. これにより, 相変態に伴う界面移動を各位置における phase field φの時間変化とし

て表現することができる. 一方, 炭素濃度 ucは, 通常用いられる Fe-C合金中の炭素原

子のモル分率 xcと副格子濃度 ycに関係づけられる濃度変数であり, 後に示す Fe-C合

金の化学的自由エネルギー密度とともに説明する.

4

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 5

0

1

α phase γ phase

Interface

φ

x

δ

Distance

Ord

rer

par

amet

er

Interface thickness

Fig.2.1 Illustraion of distribution of phase field φ in the interface region.

本研究の解析対象である Fe-C合金の全自由エネルギーは, バルクの化学的エネル

ギーと界面が存在することで生じる過剰なエネルギー (勾配エネルギー)の和として,

次式に示すGinzburg-Landau型のGibbsの自由エネルギー汎関数で表される (21)(付録

A参照).

G =∫

V

[g(φ, uc, T ) +

ε(θ)2

2|∇φ|2

]dV (2.1)

ここで, T は絶対温度, θは界面の法線方向と x軸とのなす角度, ε(θ)は界面異方性を表

現する勾配エネルギー係数であり次節で詳細に説明する. 式 (2.1)の被積分関数第 1項

の g(φ, uc, T )は Fe-C合金の化学的自由エネルギー密度であり, 相変態に伴う自由エネ

ルギー変化を表現するために秩序変数と温度の関数として次式のように定義する.

g(φ, uc, T ) = p(φ)gα(uc, T ) + (1 − p(φ))gγ(uc, T ) + Wq(φ) (2.2)

ここで, p(φ)はp(0)=0, p(1)=1を満たすエネルギー密度分布関数, q(φ)は q(0) = q(1) =

q′(0) = q′(1)=0を満たすダブルウェルポテンシャル関数である. p(φ)と q(φ)の関数形

は任意であるが, 本研究では一般的に多く用いられている次式を用いる.

p(φ) = φ3(10 − 15φ + 6φ2) (2.3)

q(φ) = φ2(1 − φ)2 (2.4)

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

phase field φ phase field φ

p (φ)

q (φ)

(a) (b)

Fig.2.2 Variation of (a) energy density function p(θ) and double-well potentialfunction q(θ).

これらを 0 ≤ φ ≤ 1の範囲でプロットすると図 2.2のようになる.

式 (2.2)中のW はエネルギー障壁の高さであり, 界面エネルギー σと界面幅 δを用

いて次式で関係づけられる (付録B参照).

W =6σb

δ(2.5)

ここで, 界面領域を λ ≤ φ ≤ 1 − λと仮定して, b = 2 tan−1(1 − 2λ) としている (16). λ

は例えば, 0.05や 0.1のような界面領域入口の phase field φの値である.

式 (2.2)中の g(uc, T )αおよび g(uc, T )γはそれぞれα, γ単相の化学的自由エネルギー

密度であり, 各相の化学的自由エネルギーをFe-C合金のモル体積で除した値を用いる.

Phase-field法を用いて γ → α変態を精度良くモデル化するためには, これらの化学的

自由エネルギーを正確に表現することが重要であり, 本研究では副格子モデル (22)に基

づく化学的自由エネルギー関数を用いる. 侵入型固溶体であるFe-C合金の i 相 (i = α,

γ)の化学的自由エネルギーは副格子モデルを用いて, 次式の関数形で表される.

Gi(yc, T ) = ayivaG

0,iFe:V a + ayi

cG0,iFe;C

+ cRT (yic ln yi

c + yiva ln yi

va)

+ yicy

ivaL

iFe;C;V a (2.6)

ここで, yicは侵入型位置 (副格子点)における炭素原子の占有率, すなわち炭素原子の

副格子濃度を表す. yivaは炭素原子が侵入していない副格子点 (空孔子点)のモル分率,

すなわち空孔子濃度である. 本モデルにおいては, 結晶構造の変化による副格子点数お

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 7

よび空孔点数の変化を考慮し, α相と γ相で同一の濃度変数を用いるために, 副格子濃

度 yicと空孔子濃度 yi

vaに以下のように関係付けられる炭素濃度変数 ucを定義する.

yic =

axc

c(1 − xc)=

a

cuc (2.7)

yiva = 1 − yi

c = 1 − a

cuc (2.8)

ここで, aと cは a個のFe原子の格子点に対して c個の炭素原子が侵入可能であること

を表す定数で, α相においては a = 1, c = 3, γ相においては a = c = 1となる (4).

式 (2.6)の右辺第 1項および第 2項は Fe基合金の化学的自由エネルギーを副格子濃

度で重み付けした量を表し, 例えばG0,iFe:V aは Fe-C 2元合金の i相において置換型位置

を全て Fe原子が占有し, 侵入型位置は全て空孔子である状態における化学的自由エネ

ルギーである. そして, 第 3項は原子配置の混合エントロピー発生に起因するエネル

ギー項, 第 4項は原子間相互作用により生じるエネルギー項を表している. したがって,

式 (2.7),式 (2.8)より本研究で用いる Fe-C合金の α相と γ相における化学的自由エネ

ルギーは, 濃度変数 ucの関数としてそれぞれ次式で表される.

Gα(uc, T ) =(1 − 1

3uc

)G0,α

Fe:V a +1

3ucG

0,αFe;C

+ 3RT{

1

3uc ln

1

3uc +

(1 − 1

3uc

)ln

(1 − 1

3uc

)}+

1

3uc

(1 − 1

3uc

)Lα

Fe;C;V a + Gmag (2.9)

Gγ(uc, T ) = (1 − uc)G0,γFe:V a + ucG

0,γFe;C

+ RT {uc ln uc + (1 − uc) ln(1 − uc)}

+ uc(1 − uc)LγFe;C;V a (2.10)

ここで, α相は強磁性体であることから, 式 (2.9)の第 5項に磁気エネルギー項Gmagを

加えている. 式 (2.9)と式 (2.10)のG0,iFe:V a, G0,i

Fe:CおよびLiFe;C;V a (i =α, γ)などの各種

熱力学パラメータは付録Cに示す.

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 8

2.2 時間発展方程式

本節では, 2.1節で導出した Fe-C合金の全自由エネルギーGの減少率が最大となる

経路で系は変化し, 組織が形成されるとの仮定に基づき, phase filed φと炭素濃度 ucの

時間発展方程式, すなわち Phase-field方程式, 炭素拡散方程式を導出する. また, 組織

形成過程をモデル化するうえで重要な界面異方性を表現する, 勾配エネルギー係数に

ついて説明する.

2.2.1 Phase-field方程式

Fe-C合金の γ → α変態による結晶構造の変化過程, すなわち α/γ 界面の移動を

表現する非保存量の秩序変数である, phase field φの時間発展方程式は, 次式に示す

Allen-Cahn方程式 (23)から導出される.

∂φ

∂t= −Mφ

(δG

δφ

)(2.11)

ここで, δG/δφは前節で示した Fe-C合金の全自由エネルギー Gの phase field φに関

する変分であり, 2次元空間において界面異方性を考慮すると次式で表される.

δG

δφ=

∂G

∂φ− ∂

∂x

(∂G

∂φ,x

)− ∂

∂y

(∂G

∂φ,y

)

=∂G

∂φ− ∂

∂x

(ε(θ)2∂φ

∂x+ ε(θ)

∂ε(θ)

∂φ,x

|∇φ|2)− ∂

∂y

(ε(θ)2∂φ

∂y+ ε(θ)

∂ε(θ)

∂φ,y

|∇φ|2)

=∂G

∂φ− ∂

∂x

(ε(θ)2∂φ

∂x+ ε(θ)

∂ε(θ)

∂θ

∂θ

∂φ,x

|∇φ|2)− ∂

∂y

(ε(θ)2∂φ

∂y+ ε(θ)

∂ε(θ)

∂θ

∂θ

∂φ,y

|∇φ|2)

(2.12)

ここで, θは界面の外向き法線ベクトル−∇φと x軸のなす角度である. また, −∇φの

各成分より, 次式が得られる.∂θ

∂φ,x

= −sin2 θ∂φ∂y

, (2.13)

∂θ

∂φ,y

=∂φ∂x(

∂φ∂x

)2+

(∂φ∂y

)2 (2.14)

これを用いると, 式 (2.12)中の各項は, 次式で表される.

∂θ

∂φ,x

|∇φ|2 = −∂φ

∂y, (2.15)

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 9

∂θ

∂φ,y

|∇φ|2 =∂φ

∂x(2.16)

したがって, 式 (2.1)で表される全自由エネルギー G, 式 (2.12)∼(2.16) より, 本研究

で用いる Phase-field方程式は次式で表される.

∂φ

∂t= Mφ

{∇ · (ε(θ)2∇φ) − ∂g

∂φ

− ∂

∂x

(ε(θ)

∂ε(θ)

∂θ

∂φ

∂y

)+

∂

∂y

(ε(θ)

∂ε(θ)

∂θ

∂φ

∂x

)}(2.17)

∂g

∂φ= 4Wφ(1 − φ)

(− 15

2Wφ(1 − φ)∆gγα + φ − 1

2

)(2.18)

∆gγα = gγ(uc, T ) − gα(uc, T ) (2.19)

ここで, 式 (2.17)の phase filed φの易動度Mφは α/γ界面の易動度M (24), W および ε

に関係付けられるパラメータであり, 以下で導出する.

一次元の定常状態において界面が速度 V で移動している場合, 炭素原子の拡散方程

式と質量保存則から次式が得られる.

∂uc

∂t=

∂uc

∂x

∂x

∂t

= −V∂uc

∂x

= −vm∂Jc

∂x(2.20)

ここで, vmは Fe-C合金のモル体積, Jcは炭素原子の拡散流束であり, 上式を積分する

ことで以下のように求められる.

Jc =V

vm

(uc − uαc ) (2.21)

ここで, uαc はα相における炭素濃度である. γ → α変態に伴い, 界面領域付近において

発生する炭素拡散による自由エネルギー変化量 (Solute-drug効果)は, 次式で表される(25).

∆Gdiff = −vm

V

∫δJc

dµc

dxdx (2.22)

ここで, µc(= ∂g/∂uc)は炭素原子の化学ポテンシャルである. 式 (2.22)に式 (2.21)を

代入すると, 次式を得る.

∆Gdiff = −∫

δ(uc − uα

c )d

dx

(∂g

∂uc

)dx (2.23)

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 10

一方, 界面の移動速度 V は界面移動による自由エネルギー変化量, すなわち界面移動の

駆動力∆Ginter と比例関係にあり, 次式で表される.

V = M∆Ginter (2.24)

ここで, M は α/γ界面の易動度である. また, γ → α変態に伴う全自由エネルギー変

化量∆Gtotalは, 界面移動と炭素拡散により消費される自由エネルギー量の和として表

され, 平衡状態の自由エネルギー曲線において共通接線則から求められる自由エネル

ギー変化量すなわち変態駆動力∆Gdrivに等しいことから, 次式が成立する.

∆Gtotal = ∆Ginter + ∆Gdiff

= ∆Gdriv = gγ − uγc

∂gγ

∂uc

∣∣∣∣∣uc=uγ

c

− gα + uαc

∂gα

∂uc

∣∣∣∣∣uc=uα

c

= gγ − gα − (uγc − uα

c )∂gγ

∂uc

∣∣∣∣∣uc=uγ

c

(2.25)

ここで, gγおよび gαはそれぞれ γ相, α相の化学的自由エネルギー, uαc と uγ

c はそれぞ

れ γ相と α相の平衡組成である. なお, 変態が終了した平衡状態においては α相, γ相

における化学ポテンシャルは等しくなるので,

∂gγ

∂uc

∣∣∣∣∣uc=uγ

c

=∂gα

∂uc

∣∣∣∣∣uc=uα

c

(2.26)

を考慮している. 次に, 一次元の定常状態において界面が速度 V で移動している場合,

Phase-field方程式 (2.17)より次式が成立する.

dφ

dt= −Mφ

(∂g

∂φ− ε2d2φ

dx2

)= −V

dφ

dx(2.27)

両辺に dφ/dxをかけて, 界面領域で積分すると次式のようになる.

∫δMφ

(∂g

∂φ

dφ

dx− ε2d2φ

dx2

dφ

dx

)dx = V

∫δ

(dφ

dx

)2

dx (2.28)

ここで, 上式左辺の被積分項第 2項は, 定常状態における界面領域での φの分布を考

慮することで零となる. さらに, 被積分項第 1項に関しては, 次式のように展開できる(26). ∫

δ

(∂g

∂φ

dφ

dx

)dx =

∫δ

(dg

dx− ∂g

∂uc

duc

dx

)dx

=∫

δ

dg

dxdx −

∫δ

∂g

∂uc

duc

dxdx

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 11

= [g]δ −∫

δ

(∂g

∂uc

d(uc − uαc )

dx

)dx

= [g]δ −[(uc − uα

c )∂g

∂uc

]δ

+∫

δ(uc − uα

c )d

dx

(∂g

∂uc

)dx

= gγ − gα − (uγc − uα

c )∂gγ

∂uc

∣∣∣∣∣uc=uγ

c

− ∆Gdiff

= ∆Gdrive − ∆Gdiff

= ∆Ginter (2.29)

また, 式 (2.28)の右辺に関しては, 界面領域における phase field φの分布が平衡状態と

同じとすると, 次式で表される (付録B参照).

dφ

dx= −

√2W

ε0

φ(1 − φ) (2.30)

式 (2.30)の両辺に dφ/dxをかけて界面領域で積分すると, 以下のようになる.

∫δ

(dφ

dx

)2

dx =∫

δ

{−√

2W

ε0

φ(1 − φ)

}2 {−√

2W

ε0

φ(1 − φ)

}−1

dφ

= −√

2W

ε0

∫ 0

1{φ(1 − φ)} dφ

=

√2W

6ε0

(2.31)

したがって, 式 (2.28), 式 (2.29)および式 (2.31)より次式が得られる.

Mφ∆Ginter = V

√2W

6ε0

(2.32)

ここで, 式 (2.32)と式 (2.24)を用いて V を消去すると, phase fieldの易動度Mφと α/γ

界面の易動度M は次式で関係付けられる.

Mφ =

√2W

6ε0

M (2.33)

2.2.2 炭素拡散方程式

本節では, γ → α変態に伴う炭素拡散挙動を表現する炭素拡散方程式を導出する. 保

存量の秩序変数である炭素濃度 ucの時間発展方程式は, 次式に示すCahn-Hilliard非線

形拡散方程式 (27)から導出される.

∂uc

∂t= ∇ ·

{L′(φ, uc, T )∇

(δG

δuc

)}(2.34)

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 12

ここで, δG/δucは自由エネルギーの炭素濃度 ucによる変分であり, ２次元の場合, 次

式で表される.δG

δuc

=∂G

∂uc

(2.35)

また, 式 (2.1)の全自由エネルギーを考慮することで, 本研究で用いる非線形炭素拡散

方程式が次式のように導出される.

∂uc

∂t= ∇ ·

{L′(φ, uc, T )

(∂2g

∂u2c

∇uc +∂2g

∂uc∂φ∇φ

)}(2.36)

ここで, L′(φ, uc, T )はFe-C合金中の炭素原子の拡散係数を表し, Fe-C合金のモル体積

vm, 副格子濃度 uc, 空格子濃度 ycおよび炭素原子の易動度Mcを用いて次式で関係付

けられる (21)(28).

L′(φ, uc, T ) = ucyvvmMc (2.37)

先に示したように空孔子濃度 yvはα相において yv = 1−uc/3, γ相において yv = 1−uc

であるため, 空格子濃度が界面領域で滑らかに変化することを表現するために p(φ)を

用いて, 次式を仮定する.

yv = p(φ)(1 − uc

3

)+ (1 − p(φ))(1 − uc) (2.38)

また, Mcは炭素原子の易動度であり, α相における炭素原子の易動度は γ相に比べて

非常に大きい. したがって, Mcが界面領域で滑らかに変化するように, α相における易

動度Mαc , および γ相における易動度Mγ

c を用いて次式で表す(29)(30).

Mc = (Mαc )p(φ)(Mγ

c )(1−p(φ)) (2.39)

2.2.3 界面異方性

γ → α変態により生成する α相の組織形態変化は, α/γ界面構造に依存して変化す

る界面エネルギーの異方性に大きく影響を受ける. そこで本研究では, 次式に示すよう

に勾配エネルギー係数 ε(θ)を界面エネルギー σ, 界面厚さ δおよび異方性関数 η(θ)を

用いて, 方向依存性をもたせることで界面の異方性を表現する (付録B参照).

ε(θ) = ε0η(θ) =

√3σδ

bη(θ) (2.40)

ここで, θは界面の方向を示しており, 界面の外向き法線方向と x軸のなす角度として

定義する. また, 異方性関数 η(θ)は次式を採用する.

η(θ) = 1 + ξ cos k(θ − θ0) (2.41)

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 13

x

(a) (b)

-1.0 0 1.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

η

θm

θ

y

0

(A)

(A)

Fig.2.3 Interface anisotropy for k = 2, ξ = 0.6, θ0 = 90◦ ; (a) polar plot ofanisotropy function η(θ) and (b) equilibrium shape.

ここで, ξ, k, θ0はそれぞれ異方性強度,異方性モード数,優先成長方向である. 図 2.3(a)

に ξ = 0.6, k = 2, θ0 = 90◦における η(θ)の極座標プロットを実線で示す. このとき,

式 (2.41)により求められる界面の平衡形は, Wulffの定理 (31)により図 2.3(b)のように

なる. 本研究では, 第 4章において鋭い先端形状を有するプレート状α相の生成過程を

シミュレートするために, このような強い界面異方性を導入するが, ξ ≥ 1/(k2 − 1)を

満たす異方性強度 ξを用いた場合, 図 2.3(b)中の (A)で示すような, 界面の平衡形状に

おいて不連続な部分が発生する. この部分に対応する θの領域は図 2.3(a)の灰色部分

で表され, 式 (2.41)を用いた場合, 数値計算を安定に行うことができなくなる. そこで

本研究では, この θの範囲 2πi/k − θm ≤ θ − θ0 ≤ 2πi/k + θm (i = 0, 1, 2, ...) に対して,

次式に示すように η(θ)を修正することで, 強い界面異方性をモデル化する (32)(33).

η(θ) =

1 + ξ cos k(θ − θ0) ≡ η(θ)

(for 2πi/k + θm ≤ θ − θ0 ≤ 2π(i + 1)/k + θm)

η(θm+θ0)cos θm

cos(θ − θ0)

(for 2πi/k − θm ≤ θ − θ0 ≤ 2πi/k + θm)

(2.42)

ここで, θm は図 2.3(a)に示すように, 式 (2.41)の極座標プロットと破線で示す半径

η(θm + θ0)/cosθmの内接円との接点における角度 θから y軸までの角度領域の大きさ

第 2章 Fe-C合金の γ → α変態 Phase-fieldモデル 14

に対応することから, 以下の式で求めることができる.

η(θm) sin θm + η(θm) cos θm = 0 (2.43)

なお, 式 (2.42)の修正計算は, k = 2においては ξ = 0.33以上, k = 4においては ξ =

0.06以上の異方性強度で必要となる.

第3章

中間温度領域におけるγ → α変態と

炭素拡散挙動の評価

本章では, パーライト組織やベイナイト組織が生成する中間温度領域での γ → α 変

態機構とα相生成過程の変態温度および初期炭素濃度依存性について詳細に評価する.

さらに, 2章で導出した時間発展方程式を 1次元空間において離散化し,数値シミュレー

ションを行うことで, γ → α変態によるα相の生成過程に, 界面近傍における炭素拡散

挙動が及ぼす影響を検討する.

3.1 差分法による時間発展方程式の離散化

数値シミュレーションを行うために, 2章で導出したPhase-field方程式および炭素拡

散方程式を, 時間に関しては前進差分法, 空間に関しては 2階中央差分法を用いて離散

化する. 一次元における時間発展方程式は式 (2.17)と式 (2.36)より, それぞれ次式で表

される.∂φ

∂t= −Mφ

{∂

∂x

(ε20

∂φ

∂x

)− ∂g

∂φ

}(3.1)

∂uc

∂t=

∂

∂x

{L′(φ, uc, T )

(∂2g

∂u2c

∂uc

∂x+

∂2g

∂uc∂φ

∂φ

∂x

)}(3.2)

なお, 以下の差分方程式の導出過程においては, 図 3.1に示す差分格子を用いる. 差分

格子点 i における式 (3.1)および式 (3.2)の時間および空間に関する各項は, それぞれ

以下のように差分表示できる.∂φ

∂t=

φt+dti − φt

i

dt(3.3)

∂uc

∂t=

ut+dtci − ut

ci

dt(3.4)

15

第 3章 中間温度領域における γ → α変態と炭素拡散挙動の評価 16

i i+1i-1

i+1/2i-1/2

dx

x

Computational grid

Fig.3.1 Finite difference grids.

∂

∂x

(ε20

∂φ

∂x

)=

1

dx

(ε20

∂φ

∂x

)i+1/2

−(ε20

∂φ

∂x

)i−1/2

=

1

dx2

{(ε20

)i+1/2

(φi+1 − φi) −(ε20

)i−1/2

(φi − φi−1)}

(3.5)

∂

∂x

{L′

(∂2g

∂u2c

∂uc

∂x+

∂2g

∂uc∂φ

∂φ

∂x

)}=

1

dx

{L′

(∂2g

∂u2c

∂uc

∂x+

∂2g

∂uc∂φ

∂φ

∂x

)}i+1/2

−{

L′(

∂2g

∂u2c

∂uc

∂x+

∂2g

∂uc∂φ

∂φ

∂x

)}i−1/2

(3.6)

ここで, 上付き添え字の t, dtはそれぞれ現在時刻および時間増分を表す. さらに, 式

(3.6)中の各項は以下のように差分表示できる.{L′

(∂2g

∂u2c

∂uc

∂x+

∂2g

∂uc∂φ

∂φ

∂x

)}i+1/2

=L′

i+1 + L′i

2

[1

2

{(∂2g

∂u2c

)i+1

+

(∂2g

∂u2c

)i

}uci+1 − uci

dx

+1

2

{(∂2g

∂uc∂φ

)i+1

+

(∂2g

∂uc∂φ

)i

}φi+1 − φi

dx

](3.7)

{L′

(∂2g

∂u2c

∂uc

∂x+

∂2g

∂uc∂φ

∂φ

∂x

)}i−1/2

=L′

i + L′i−1

2

[1

2

{(∂2g

∂u2c

)i

+

(∂2g

∂u2c

)i−1

}uci − uci−1

dx

+1

2

{(∂2g

∂uc∂φ

)i

+

(∂2g

∂uc∂φ

)i−1

}φi − φi−1

dx

](3.8)

第 3章 中間温度領域における γ → α変態と炭素拡散挙動の評価 17

α phase

γ phase

0.25

1

0

x [µm]

Initial α / γ interface

Interface thickness δ

Phas

e fi

eld φ

Distance

Car

bon c

once

ntr

atio

n u

c

uc

0.001

φ

Zero Neumann

boundary condition

Fig.3.2 Simulation model and initial conditions.

3.2 解析モデルおよび解析条件

図 3.2に本研究で用いる解析モデルおよび両秩序変数の初期分布を示す. 粒径 0.5µm

の γ相粒界から α相が生成する場合を想定し, 周期性を考慮して解析領域の大きさは

0.25µmとする. ここで, 解析領域の両端において零ノイマン条件を考慮する. この解析

領域左端に幅 2nmの初期α相を想定して phase field φ の初期分布を配置する. 初期炭

素濃度は, 初期α相において各温度での平衡組成, γ相は過飽和状態とし, 界面領域にお

いてステップ状に変化させる. 平衡組成は α, γ単相の化学的自由エネルギー gα(uc, T )

と gα(uc, T ) の共通接線則から算出している.

Phase-fieldシミュレーションにおいて, 解析結果の定量的評価を可能にするために

は, 界面幅 δを実際の界面厚さに近い値である 0.5nm～1.5nmに設定する必要がある(21) . そこで, 本シミュレーションでは解析領域内に 2000点の格子点を配置し, 格子点

間隔を dx = 1.25× 10−1nmとして, 界面幅を δ = 8dx = 1.0nmとする. またFe-C合金

のモル体積 vmと λの値をそれぞれ vm = 7.0 × 10−6 m3/mol, λ = 0.1 とする.

3.3 γ → α変態における炭素拡散挙動と温度依存性

本節では, 等温変態時の温度が γ → α変態挙動に与える影響を検討する. ここで, 界

面エネルギーは非整合界面を想定して σ = 1.0 J/m2一定とする (34). 母相である γ相

第 3章 中間温度領域における γ → α変態と炭素拡散挙動の評価 18

0.05 0.1 0.15 0.20

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Car

bo

n c

once

ntr

atio

n u

c

Distance [ m]

Phas

e fi

eld

uc

Time =2500[µs]

phase phase

Interface region

uc= 0.02

873Kγ

φ

Fig.3.3 Distributions of phase field and carbon concentration at 2500µs andT=873K. Initial carbon concentration in austenite is set to be uc = 0.02.

の初期炭素濃度は α相の平衡組成に対し過飽和状態の uc = 0.02としている.

はじめに, Widmanstattenフェライト相が生成する温度領域 (35)∼(37)を想定し, 温度

T=873Kにおける γ → α変態挙動をシミュレートした. γ → α変態に伴う炭素拡散挙

動を説明するために, 図 3.3に時間 2500µsにおける phase fieldと炭素濃度の分布を示

す. 過飽和状態の γ相を等温保持すると時間とともに初期 α相が γ相側へと成長する.

このとき新たに生成された α相の最大固溶限を超える炭素原子は母相の γ相へと拡散

する. γ相の炭素固溶度はα相に比べて大きいが, 炭素原子の拡散係数は極めて小さい.

したがって, 図 3.3に示すように界面領域内で炭素濃度は急激に増加し, γ相の界面付

近において炭素原子が堆積する. その結果, 炭素濃度が急増する炭素拡散領域が形成さ

れる. 図 3.4(a)に図 3.3と同じ条件のもとにおける, α相の成長に伴う炭素濃度分布の

時間発展を示す. 図中の破線は γ相の平衡組成を表している. α相が γ相側へと成長す

るにつれ, γ相の界面における炭素濃度は増加し, γ相内の炭素拡散領域の幅は増大す

る. 7000µsでは, 界面前方の拡散領域は対称領域の γ相粒界から成長する α相の炭素

拡散領域と衝突し, 互いのα相の成長を抑制する impingimentを生じている. これによ

り γ相内の炭素濃度は増加し, 界面の移動は極端に抑制される. γ相内の炭素濃度が平

衡組成で一定となると, 平衡状態に達して変態が終了する.

次に, パーライト組織と上部ベイナイト組織が生成する温度領域 (38) ∼(40)を想定し,

それぞれ 773Kと 673Kにおいてシミュレーションを行った結果を図 3.4(b)と図 3.4(c)

第 3章 中間温度領域における γ → α変態と炭素拡散挙動の評価 19

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

Distance [µm]

Car

bo

n c

on

cen

trat

ion

uc

1000µs

10000µs

20000µs

40000µs

57000µs63300µs673[K]

(c)

50 0.05 0.1 0.15 0.2 0.2

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

Distance [µm]

Car

bo

n c

on

cen

trat

ion

uc

773[K]

1000µs

18500µs

3000µs 7000µs 14000µs

16000µs

(b)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

Distance [µm]

Car

bon

co

nce

ntr

atio

n u

c

873[K]

100µs

9000µs

1000µs3000µs 7000µs

8000µs

(a)

Equilibrium carbon

concentration in γ phase

Fig.3.4 Time evolution of ferrite phase and carbon concentration profiles at tem-perature (a) T=873K, (b) T=773K and (c) T=673K.

Mobil

ity o

f ca

rbon a

tom

in γ

phas

e [m

m2/s

]

Mobil

ity o

f ca

rbon a

tom

in α

phas

e [m

m2/s

]

Austenite phaseFerrite phase

(×10-17) (×10-15)

600 650 700 750 800 850 900

0

0.5

1.0

1.5

0

1.0

2.0

3.0

4.0

Temperature T [K]

Fig.3.5 Temperature dependency of mobility of carbon atom in austenite and fer-rite phase at uc = 0.02.

に示す. γ相の界面における炭素濃度と拡散長の変化は 873Kの場合と同様の挙動を

示すが, α/γ界面の易動度は温度の低下により減少するため, α相の成長は温度低下に

伴って抑制される. また, 図 3.5に示すように γ相における炭素原子の易動度は, 温度

の低下に伴って急激に減少するため, γ相の界面での炭素濃度はより大きく, 狭い範囲

で増加することがわかる. このような変態温度の低下による炭素濃度分布の変化は, α

相の成長や impingimentの発生に大きく影響を及ぼすため, 微視組織形成過程におい

て重要な因子となる.

第 3章 中間温度領域における γ → α変態と炭素拡散挙動の評価 20

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

Distance [µm]

Car

bon c

once

ntr

atio

n u

c

Temperature T =773[K]

Time t = 300 [µs]

uc=0.02 uc=0.03

uc=0.0015

γ γ

γ

0.21 0.215 0.22 0.225 0.230

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

Distance [µm]C

arbon c

once

ntr

atio

n u

C

773K

uc=0.0015γ

(Right graph)

(a) (b)

Fig.3.6 The effect of initial carbon concentration in austenite phase (a) on thetransformation behavior at temperature T =773K and time 300µs. (b)Interface-controlled growth in uc = 0.015.

さらに, 温度低下によりα/γ界面前方において急激に炭素濃度が増大するが, 界面の

移動中はその値は平衡組成よりも小さい. すなわちα相の初期成長過程では, 両相の炭

素濃度は界面において局所平衡状態を保たないことが示唆される. よって, Phase-field

法を用いた本研究のシミュレーション結果は, Krielaartらが界面移動と炭素拡散を考

慮したMixed-mode modelを用いて得た解析結果 (13)を裏付けるものであると考えら

れる.

3.4 γ → α変態機構の初期炭素濃度依存性

本節では γ相の初期炭素濃度が γ → α変態機構に与える影響について評価するとと

もに, 前節で示した 773Kにおける γ → α変態挙動をより詳細に検討する.

図 3.6(a)に温度 773K, 界面エネルギー σ=1.0 J/m2一定, 時間 300 µsにおける, γ相

の初期炭素濃度 uγc =0.0015, 0.02 および 0.03での炭素濃度分布を示す. α相の成長速

度は, γ相の初期炭素濃度の減少により増加する. このとき, 平衡組成は一定であるが,

界面位置における γ相の炭素濃度は減少し平衡組成との差が大きくなることがわかる.

特に初期濃度 uγc =0.0015の場合, γ → α変態は界面領域において炭素原子の短距離拡

散を伴い, 図 3.6(b)に示すような一定の高さを有するスパイク状の炭素濃度分布を形

第 3章 中間温度領域における γ → α変態と炭素拡散挙動の評価 21

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Dis

tan

ce [µ

m]

Temperature T =773[K]

uc=0.02

uc=0.03

uc=0.0015

Time [µs]

γ

γ

γ

Fig.3.7 The time changes of the interface position at 773K. Initial carbon concen-trations are 0.02, 0.03 and 0.0015.

∆g1

α/γ Cu

Carbon concentration

Gib

bs

free

en

erg

y

∆g2 gγ

gα

α,eqCu uC

γ,eqγuC

∆gtotal=∆g1+∆g2

Fig.3.8 Illustration of the dissipation of Gibbs free energy by the interfacial mi-gration ∆g1 and the carbon diffusion ∆g2.

成する. このとき, γ相への炭素拡散は生じず, α相の生成に組成の変化を伴わない界

面律速変態, すなわちマッシブ変態になることがわかる. さらに, 図 3.7に各濃度にお

ける界面位置の時間変化を示す. uγc =0.02と 0.03における α相の成長は, 界面前方に

炭素原子の堆積を伴うため, 時間とともに抑制されるが, uγc =0.0015では γ相への長距

離拡散を伴わないため, α相は一定の速度で非常に速く成長することがわかる.

第 3章 中間温度領域における γ → α変態と炭素拡散挙動の評価 22

Carbon concentration uc

Tem

per

ature

[K

] ucγ,eq

interface controlled limit

concentration ;

α+γ γ

ucpl

0 0.05 0.1 0.15 0.2

680

700

720

740

760

780

800

820

840

860

Carbon concentration uc

Tem

per

ature

[K

]

uc

α

α+γ

ucpl

α,eq

interface controlled limit

concentration ;

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

680

700

720

740

760

780

800

820

840

860

(a) (b)

Fig.3.9 The equilibrium phase diagram in the temperature range from 873K to 673K.

このような γ相の初期炭素濃度の変化による変態挙動の違いを, 図 3.8に示す γ → α

変態における化学的自由エネルギー変化の模式図を用いて考察する (34). γ → α変態の

化学的全自由エネルギー変化は, 界面の移動で消費される化学的自由エネルギー変化

∆g1 と炭素原子の長距離拡散で消費される化学的自由エネルギー∆g2の和であり, 図

3.8の∆gtotalで表される. γ相の初期炭素濃度 uγc の減少は, ∆gtotalの増加をもたらす

ためα相の成長を促進する. さらに, 前節で述べた変態の進行に伴う γ相の界面におけ

る炭素濃度 uα/γc が減少すると∆g2は減少するので, 界面移動の駆動力∆g1は増加し,

α相の成長はさらに促進する. したがって, γ相の初期炭素濃度の減少は α相の成長を

大きく促進させる. また, ∆g2が減少するにつれて γ → α 変態は拡散律速変態 (10)か

ら界面律速変態 (11)の性質を呈し両相の界面での炭素濃度はそれぞれの平衡組成 uα,eqc ,

uγ,eqc との差が大きくなる. すなわち, 中間温度領域における γ → α 変態は拡散律速変

態と界面律速変態の両方の性質を有し, 温度と濃度に依存して界面の移動と炭素拡散

のバランスが変化することで, 変態挙動が変化することがわかる.

さらに, 873Kから 673Kの温度領域において γ相に, 様々な初期濃度を与えて解析を

行うことで得られた, 平衡状態図と γ → α変態が界面律速変態に移行する濃度uplc を図

3.9(a)に示す. 図中の破線が uplc を示している. 解析を行った中間温度領域では, upl

c は

α/α + γ境界付近の低い炭素濃度となることがわかる. 図 3.9(a)の炭素濃度 uc ≤ 0.01

の領域を図 3.9(b)に拡大して示す. 中間温度領域では高温領域に比べて界面の易動度

が非常に小さくなるうえ, γ相の界面における炭素濃度が増加するため, さきに説明し

第 3章 中間温度領域における γ → α変態と炭素拡散挙動の評価 23

た∆g2の増加をもたらす. したがって, 界面移動のためにより大きな自由エネルギー

変化を必要とするので, uplc は温度の低下に伴い α相の平衡組成に接近する. さらに,

723K以下では uplc は α単相領域に存在し, α + γ相領域では界面律速変態が発生しな

いことが示唆される.

3.5 結言

本章では, 一連の数値シミュレーションを行うことにより, 中間温度領域における

Fe-C合金の γ → α変態機構とα相成長過程の温度, 初期炭素濃度依存性について評価

した. さらに, α相の成長過程に炭素拡散挙動が及ぼす影響を詳細に検討した. 以下に

得られた結果を示す.

1. γ → α変態に温度が及ぼす影響を検討した結果, 温度の低下による, 界面の易動

度と γ相での炭素原子の易動度の急激な減少によって, 拡散長は小さくなり γ相

の界面における炭素濃度は増加するが, 界面における炭素濃度は局所平衡状態に

ならないことを示した.

2. 中間温度領域において γ相の初期炭素濃度の影響を検討した結果, γ → α変態は

初期炭素濃度が減少するにつれて, 界面律速変態の性質を呈するようになること

を示した. さらに, この現象は γ → α変態が拡散律速変態と界面律速変態の両方

の性質を有し, 温度と濃度に依存して変化する変態機構に起因することを自由エ

ネルギーの観点から示した.

3. 873Kから 673Kの温度領域において, γ → α 変態が界面律速変態へと移行する

炭素濃度を評価した結果, その炭素濃度は α/α + γ境界付近に存在し, 温度の低

下にともない α相の平衡組成に接近する. さらに, 723K以下の温度領域におい

ては α + γ相領域では界面律速変態は発生しないことを示した.

第4章

Widmanstattenフェライト形成過

程の数値シミュレーション

本章では, Ae1温度直上の温度領域における γ → α変態により生成されるプレート

状α相, すなわちWidmanstattenフェライトの形成過程をモデル化し, 数値シミュレー

ションを行うことにより, Widmanstattenフェライトの形態や形成過程に大きく影響

を及ぼす界面異方性について評価, 検討する. はじめに, 単一のWidmanstattenフェラ

イトの形成過程をシミュレートし, 界面異方性に関する各因子の影響について検討す

る. 次に, Allotriomorphフェライトのα/γ界面から複数のWidmanstattenフェライト

プレートが生成する過程を数値シミュレーションにより再現することで, その形成メカ

ニズムを明らかにする.

4.1 2次元解析における時間発展方程式の離散化

本節では, 2章で示した Phase-field方程式および炭素拡散方程式を 2次元で数値シ

ミュレーションによって解析するために, 空間に関しては有限要素法, 時間に関しては

差分法を用いて離散化する.

4.1.1 Phase-field方程式の有限要素法, 差分法

2次元空間で γ → α変態による α/γ界面の移動を記述するPhase-field方程式を, 次

式に示す.

∂φ

∂t= Mφ

{∇ · (ε(θ)2∇φ) − ∂g

∂φ

− ∂

∂x

(ε(θ)

∂ε(θ)

∂θ

∂φ

∂y

)+

∂

∂y

(ε(θ)

∂ε(θ)

∂θ

∂φ

∂x

)}(4.1)

24

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 25

0

( 1, 1)

( 1,-1)(-1,-1)

N = 1 N = 2

N = 3N = 3

(-1, 1)

ξ

η

(ξN

, ηN) =

Fig.4.1 Isoparametric quadrilateral element.

式 (4.1)を重みつき残差法を用いて弱形式表示するために, 両辺に δφをかけて積分す

ると,∫A

{1

Mφ

∂φ

∂t−∇ · (ε2∇φ) +

∂g

∂φ+

∂

∂x

(ε∂ε

∂θ

∂φ

∂y

)− ∂

∂y

(ε∂ε

∂θ

∂φ

∂x

)}δφdA = 0 (4.2)

となる. 式 (4.2)の左辺被積分関数第 2, 4, 5項にGreenの定理を適用し, 整理すると次

式を得る.∫A

{1

Mφ

∂φ

∂tδφ + ε2

(∂φ

∂x

∂δφ

∂x+

∂φ

∂y

∂δφ

∂y

)+

∂g

∂φδφ − ε

∂ε

∂θ

(∂φ

∂y

∂δφ

∂x− ∂φ

∂x

∂δφ

∂y

)}dA

=∫

l

{ε2

(∂φ

∂xnx +

∂φ

∂yny

)− nxε

∂ε

∂θ

∂φ

∂y+ nyε

∂ε

∂θ

∂φ

∂x

}δφdl (4.3)

ここで, nx, nyはそれぞれ界面の外向き法線ベクトルのx方向, y方向成分である. 本研

究では外部からの物質の出入りは考慮しないため, 式 (4.3)右辺の線積分項を零とする.

式 (4.3)を有限要素法を用いて離散化するために, 要素内の任意の点における phase

field φと δφの値を, 有限要素の節点 N(N = 1,2,3,4)での形状関数 ψN と phase field

φM の線形結合によって表示する.

φ = ψNφN (4.4)

δφ = ψMδφM (4.5)

また, 本研究では図 (4.1)に示す 4節点アイソパラメトリック要素を採用する. このと

き, 形状関数 ψN は自然座標系 (ξ, η)において次式で表される.

ψN =1

4(1 − ξNξ)(1 − ηNη) (4.6)

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 26

式 (4.4), (4.5)を式 (4.3)に代入すると,∫A

{1

Mφ

∂φN

∂tψNψMδφM + ε2

(∂ψN

∂xφN

∂ψM

∂xδφM +

∂ψN

∂yφN

∂ψM

∂yδφM

)+

∂g

∂φψMδφM

− ε∂ε

∂θ

(∂ψN

∂yφN

∂ψM

∂xδφM − ∂ψN

∂xφN

∂φM

∂yδφM

)}dA = 0

(4.7)

式 (4.7)は任意の δφM で成立するので, 次式に示す各要素における有限要素方程式を

得る. [K1

φ

] {∂φN

∂t

}+

[K2

φ

]{φN} = {fφ} (4.8)

ここで, 各要素に対するマトリクスは以下のようになる.[K1

φ

]=

∫A

1

Mφ

ψNψMdA (4.9)

[K2

φ

]=

∫A

{ε2

(∂ψN

∂x

∂ψM

∂x+

∂ψN

∂y

∂ψM

∂y

)− ε

∂ε

∂θ

(∂ψN

∂y

∂ψM

∂x− ∂ψN

∂x

∂ψM

∂y

)}dA

(4.10)

{fφ} = −∫

A

∂g

∂φψMdA (4.11)

これらのマトリックスに対して, 次式に示す空間座標系 (x, y)と自然座標系 (ξ, η)に

おける関数 F (x, y)の要素全域の積分の関係式∫ ∫F (x, y)dxdy =

∫ 1

−1

∫ 1

−1F (ξ, η) |J | dξdη (4.12)

を用いると, 式 (4.9)～式 (4.11)は以下のように表示することができる.[K1

φ

]=

∫ 1

−1

∫ 1

−1

1

Mφ

ψNψM |J | dξdη (4.13)

[K2

φ

]=

∫ 1

−1

∫ 1

−1

{ε2

(∂ψN

∂x

∂ψM

∂x+

∂ψN

∂y

∂ψM

∂y

)− ε

∂ε

∂θ

(∂ψN

∂y

∂ψM

∂x− ∂ψN

∂x

∂ψM

∂y

)}|J | dξdη

(4.14)

{fφ} =∫ 1

−1

∫ 1

−1−∂g

∂φψM |J | dξdη (4.15)

さらに, 次式に示す 2点ガウス積分を行う.∫ 1

−1

∫ 1

−1f(ξ, η)dξdη =

2∑i=1

2∑j=1

f(ξi, ξj)wiwj (4.16)

ここで, wi, wjは図 4.2に示す重み, 添え字 i, jは積分するガウス点を示している. これ

により, 各要素の有限要素方程式および各マトリクス式 (4.13)～式 (4.15)は次式で表さ

れる. [K1

φ

] {∂φN

∂t

}+

[K2

φ

]{φN} = {fφ} (4.17)

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 27

0 ξ2ξ1 ξ

f

w1 w2

Gauss integration points

Fig.4.2 Gauss integration

[K1

φ

]=

2∑i=1

2∑j=1

(1

Mφ

ψNψM

)ij

wiwj |J |ij (4.18)

[K2

φ

]=

2∑i=1

2∑j=1

{ε2

(∂ψN

∂x

∂ψM

∂x+

∂ψN

∂y

∂ψM

∂y

)− ε

∂ε

∂θ

(∂ψN

∂y

∂ψM

∂x− ∂ψN

∂x

∂ψM

∂y

)}ij

wiwj |J |ij

(4.19)

{fφ} =2∑

i=1

2∑j=1

(−∂g

∂φψM

)wiwj |J |ij (4.20)

一方，時間に対してはクランク・ニコルソンの中央差分を用いて離散化する．クラン

ク・ニコルソンの中央差分においては時間 t+ dt2における節点Nのphase field φ

t+ dt2

N ，を,

φt+ dt

2N =

1

2

(φt+dt

N + φtN

)(4.21)

と表し, 時間 t + dt2における節点N の Phase fieldの時間微分を

dφt+ dt

2N

dt=

φt+dtN − φt

N

dt(4.22)

と表す. 式 (4.21)と式 (4.22)を式 (4.17)∼式 (4.20)に代入し, 全要素について足し合わ

せることで全解析領域に対するPhase-field有限要素方程式を得る.[KA

φ

] {φt+dt

}=

[KB

φ

] {φt

}+ {Fφ} (4.23)

[KA

φ

]=

∑element

[KI

φ

]=

∑element

{1

dt

[K1

φ

]+

1

2

[K2

φ

]}(4.24)

[KB

φ

]=

∑element

[KII

φ

]=

∑element

(1

dt

[K1

φ

]− 1

2

[K2

φ

])(4.25)

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 28

{Fφ} =∑

element

({fφ}) (4.26)

4.1.2 炭素拡散方程式の有限要素法, 差分法

本節では,次式に示す炭素拡散方程式を有限要素法および差分法を用いて離散化する.

∂uc

∂t= ∇ ·

{L′(φ, uc, T )

(∂2g

∂u2c

∇uc +∂2g

∂uc∂φ∇φ

)}(4.27)

ここで, 以下の離散化過程を簡単に示すため,

a =∂2g

∂u2c

(4.28)

b =∂2g

∂uc∂φ(4.29)

とおく. 式 (4.27)を重みつき残差法を用いて弱形式表示するために, 両辺に δucをかけ

て積分を行うと,

∫A

[∂uc

∂t− ∂

∂x

{L′

(a∂uc

∂x+ b

∂φ

∂x

)}− ∂

∂y

{L′

(a∂uc

∂y+ b

∂φ

∂y

)}]δucdA = 0 (4.30)

式 (4.30)の左辺被積分関数第 2, 3項にGreenの定理を適用し,整理すると次式を得る.

∫A

[∂uc

∂tδuc + L′

{(a∂uc

∂x+ b

∂φ

∂x

)∂δuc

∂x+

(a∂uc

∂y+ b

∂φ

∂y

)∂δuc

∂y

}]dA

=∫

lL′

{nx

(a∂uc

∂x+ b

∂φ

∂x

)+ ny

(a∂uc

∂y+ b

∂φ

∂y

)}δucdl (4.31)

ここで, 外部からの炭素原子の拡散流束は零とするため, 式 (4.31)の右辺の線積分項を

零とする. 次に, 有限要素法により離散化するため, 有限要素内の任意の点における炭

素濃度 uc, δucを形状関数ψN とそれぞれの節点での値の線形結合によって次式のよう

に表示する.

uc = ψNucN (4.32)

δuc = ψMδucM (4.33)

これらを, 式 (4.31)に代入して, 整理すると次式を得る.

∫A

[∂ucN

∂tψNψM + L′a

(∂ψN

∂x

∂ψM

∂x+

∂ψN

∂y

∂ψM

∂y

)ucN

]dA

=∫

A

{−L′b

(∂ψN

∂x

∂ψM

∂x+

∂ψN

∂y

∂ψM

∂y

)φN

}dA (4.34)

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 29

したがって, 各要素における有限要素方程式は, 次式で表される.

[K1

c

] {∂ucN

∂t

}+

[K2

c

]{ucN} = {fc} (4.35)

[K1

c

]=

∫A

ψNψMdA (4.36)

[K2

c

]=

∫A

L′a

(∂ψN

∂x

∂ψM

∂x+

∂ψN

∂y

∂ψM

∂y

)dA (4.37)

{fc} =∫

A−L′b

(∂ψN

∂x

∂ψM

∂x+

∂ψN

∂y

∂ψM

∂y

)φNdA (4.38)

ここで, 前節の Phase-field方程式の離散化と同様, 空間座標系 (x, y)から自然座標系

(ξ, η)への座標変換および 2点ガウス積分を行うと, 以下のようになる.

[K1

c

]=

2∑i=1

2∑i=1

(ψNψM)ijwiwj |J |ij (4.39)

[K2

c

]=

2∑i=1

2∑i=1

{L′a

(∂ψN

∂x

∂ψM

∂x+

∂ψN

∂y

∂ψM

∂y

)}ij

wiwj |J |ij (4.40)

{fc} =2∑

i=1

2∑i=1

{−L′b

(∂ψN

∂x

∂ψM

∂x+

∂ψN

∂y

∂ψM

∂y

)φN

}ij

wiwj |J |ij (4.41)

さらに, 時間に関しては, クランクニコルソン中央差分法を用いて離散化する. クラン

ク・ニコルソンの中央差分法においては時間 t + dt2における節点N の炭素温度 u

t+ dt2

cN

を

ut+ dt

2cN =

1

2

(ut+dt

cN + utcN

)(4.42)

と表し，時間 t + dt2における節点N の炭素濃度の時間微分を

dut+ dt

2cN

dt=

ut+dtcN − ut

cN

dt(4.43)

と表す. 式 (4.42)から式 (4.43)までを式 (4.39)から式 (4.41)に代入し, 全有限要素で

足し合わせることにより, 数値シミュレーションで用いる炭素拡散有限要素方程式を

得る. [KA

c

] {ut+dt

c

}=

[KB

c

] {ut

c

}+ {Fc} (4.44)[

KAc

]=

∑element

[KI

c

]=

∑element

{1

dt

[K1

c

]+

1

2

[K2

c

]}(4.45)

[KB

c

]=

∑element

[KII

c

]=

∑element

{1

dt

[K1

c

]− 1

2

[K2

c

]}(4.46)

[Fc] =∑

element

{fc} (4.47)

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 30

4.1.3 アダプティブ法による数値解析の効率化

本研究において, α相の存在確率を表す秩序変数 phase field φは, α相においては φ

= 1, γ相においては φ = 0の一定値となり, 狭い界面領域においてのみ変化する. ま

た, 界面領域における炭素濃度変化は急峻であり, かつ変態挙動に大きく影響をするた

め, 界面領域では細かい要素分割を行い, 精度よく解析しなければならない. しかしな

がら, 全解析領域を細かいレギュラーメッシュで要素分割すると計算時間が膨大にな

り, 効率的な解析を行うことができない. そこで本研究では, 界面領域付近では細かい

要素を用い, それ以外の領域では粗い要素を用いるアダプティブ法 (41)を用いる.

アダプティブ法では, 秩序変数の phase field φの値と炭素濃度 uc の勾配で要素の

細分化と粗大化の条件を設定し, 要素分割を制御する. 本研究では, 要素の細分化は,

phase field φの値と炭素濃度 ucの勾配の平均値が,

0.01 ≤ φave ≤ 0.9 (4.48)

|∇uc|ave ≥ 0.3 (4.49)

のいずれかの条件を満たした場合に行い, これ以外の条件では要素の粗大化を行う.

図 4.3(a)に, 要素サイズのレベル数 4におけるアダプティブメッシュの一例を示す.

このとき, 最大要素サイズを Level 0要素, 最小要素サイズを Level 3要素としている.

要素番号 1で示す Level 0要素を親要素とし, この要素を細分化した場合, 要素番号 2

∼ 4で示す大きさの 4つの Level 1要素が子要素として生成される. さらに, 要素細分

化の条件を満たした要素において, 同様な要素細分化を繰り返すことで, 界面領域にお

いてのみ, 要素番号 8 ∼ 11のような最小要素を用いる. ただし, 要素細分化は, 隣り合

う要素のレベル数の差が 1以下になるように行う. 要素の粗大化は, 同じレベル数に属

する子要素がすべて粗大化の条件を満たした場合にのみ行う.

図 4.3(b)に, 要素の細分化と粗大化による節点の生成, 消滅の過程を示す. 要素番号

2の親要素を細分化すると, 要素番号 2 ∼ 5の子要素および新しい節点番号 7 ∼ 11 (以

後, このような節点を hanging nodeと記述する）が生成する. ここで, 節点番号 10の

存在を許容するため, 次に示す方法により節点番号 10の自由度を消去する. 節点番号

10の phase field φ10を, 節点番号 2および 5における phase fieldの値を用いて次式で

定義する.

φ10 =φ2 + φ5

2(4.50)

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 31

1

2

34

5

67

8 9

11 10

Level 0 Level 1 Level 2 Level 3

Element number

1 2

3

45

1

2

1 2

4 6

7

8

9

10

3

5

1 2

4 6

3

5

11

Refinement Coarsening

Node number

(a) (b)

Fig.4.3 Adaptive mesh method ; (a) Adaptive mesh and (b) element refinementand coarsening.

このとき, 要素番号 2における phase-field方程式 (4.17)を, 以下に示す.a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

φt+dt

2

φt+dt7

φt+dt11

φt+dt10

=

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24

b31 b32 b33 b34

b41 b42 b43 b44

φt

2

φt7

φt11

φt10

+

fφ2

fφ7

fφ11

fφ10

(4.51)

ここで, aij と bij はそれぞれ式 (4.24)と式 (4.25)中のマトリクス [KAφ ], [KB

φ ]の成分を

表している. また, 各ベクトル内の下付き添え字は, 要素番号 2に属する節点番号であ

る. 式 (4.50)を式 (4.51)に代入することにより, 次式を得る.a11 + a14/2 a12 a13 a14/2

a21 + a24/2 a22 a23 a24/2

a31 + a34/2 a32 a33 a34/2

a41 + a44/2 a42 a43 a44/2

φt+dt

2

φt+dt7

φt+dt11

φt+dt5

=

b11 + b14/2 b12 b13 b14/2

b21 + b24/2 b22 b23 b24/2

b31 + b34/2 b32 b33 b34/2

b41 + b44/2 b42 b43 b44/2

φt

2

φt7

φt11

φt5

+

fφ2

fφ7

fφ11

fφ10

(4.52)

このマトリクス操作を, 要素番号 5に対しても行い, 節点番号 10の自由度を消去する.

同様の操作を要素細分化により生成する全ての hanging nodeに対して行う. さらに,

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 32

炭素濃度 ucに関しても同様の作業を行う. なお, 以上の操作により各マトリクスは非

対称マトリクスになるため, 連立一次方程式は双共役勾配法を用いて解いている.

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 33

4.2 解析モデルおよび解析条件

図 4.4(a)に, γ → α変態による単一のWidmanstattenフェライト形成過程をシミュ

レートするための解析モデル, 初期条件および境界条件を示す. 解析領域は DX×DY

= 0.21×0.86µmの長方形領域とし, アダプティブメッシュの最大要素を用いて 2×8の

要素分割を行う. ここで, アダプティブメッシュの要素サイズのレベル数は 6とし, 最

小要素と最大要素のサイズ比は 1：32である. このとき, 界面領域においては最小有限

要素サイズ dx = dy = 3.3×10−3µm としている. また, 解析領域の原点位置に半径 r

= 3nmの円形の初期 α相を配置し, 優先成長方向を θ0 = 90◦とする. これに合わせて

phase field φの初期分布を界面領域で滑らかに変化するように与える. このとき, 界面

幅 δ = 6dx = 20nmとしている. また, 本シミュレーションでは変態温度 T = 1000K

一定の等温変態を想定し, 各相の初期炭素濃度は, 初期 α相においては平衡組成, γ相

においてはα相の平衡組成に対して過飽和状態 uc = 0.02とする. 解析領域端の境界条

件は phase field φ, 炭素濃度 ucともに全解析領域端で零ノイマン条件とする.

次に, オーステナイト粒界に沿って形成された粒界 Allotriomorphフェライトから,

複数のWidmanstattenフェライトが形成される過程をシミュレートするための解析モ

DX = 1.0 [µm] D

Y =

1.0

[µ

m]

Initial allotriomorph ferrite

ucα = 0.002

Austenite

ucγ = 0.02

T =1000 K

Zero Neumann boundary condition

Per

iod

ic b

ou

nd

ary c

ondit

ion

Per

iodic

bo

un

dar

y c

on

dit

ion

Zero Neumann boundary condition

Zer

o N

eum

ann

bo

un

dar

y c

ondit

ion

Zer

o N

eum

ann

bo

un

dar

y c

ondit

ion

x

y

(a) (b)

x

y

DX = 0.21 [µm]

DY

= 0

.86

[µ

m] Austenite

ucγ= 0.02

Initial

ferrite

ucα=0.002

T =1000K

Fig.4.4 Simulation model and initial conditions for the growth of (a) a singleWidmanstatten ferrite and (b) Widmanstatten ferrite plates from allotri-omorph ferrite.

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 34

デル, 初期条件および境界条件を図 4.4(b)に示す. ここでは, 解析領域は DX = DY

= 1.0µmの正方形領域とし, アダプティブメッシュの最大要素を用いて 10×10の要素

分割を行う. アダプティブメッシュの要素サイズのレベル数とメッシュサイズおよび

変態温度, 各相の初期炭素濃度は図 4.4(a)の場合と同様である. 初期 α相に関しては,

Allotriomorphフェライトを想定して解析領域の x軸上に配置し, α相の優先成長方向

を θ0 = 70◦ とする. したがって, 本解析モデルにおいては解析領域端の境界条件と

して, 左右端面では周期境界条件, 上下端面では零ノイマン条件としている. さらに,

Allotriomorphフェライトの初期形態がWidmanstattenフェライトの形態, 形成過程に

及ぼす影響を検討するため, 初期 α相の形態を次式に示すような関数を用いて定義し,

初期 α/γ界面に初期不整を与える.

h(x) = h0 +M∑i=1

ai sin(

2πNi

DXx + ψi

), (4.53)

ここで, h(x)は x軸から初期界面までのｙ軸方向距離, i (i = 1, 2, ... , M)は初期不

整を与えるための正弦関数の数を表し, h0, ai, Ni および ψiはそれぞれ, y軸から初期

界面までの平均距離, 正弦関数の振幅, x軸上にある各正弦関数の波数および初期位相

である. なお, 本研究では次の値を用いて初期界面形状を与えている; M = 3, h0 = 33

nm, a1 = a3 = 6.6 nm, a2 = 9.9 nm, ψ1 = π/2, ψ2 = 0 and ψ3 = 3π/5.

また, 図 4.4(a)(b)の両解析モデルにおいて, Fe-C合金のモル体積は α相と γ相で等

しいと仮定し, vm = 7.0 × 10−6 m3/molとする.

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 35

4.3 単一のWidmanstattenフェライト形成シミュレーション

本節では, γ → α変態による単一のWidmanstattenフェライト形成過程を数値シ

ミュレーションにより再現し, プレート状 α相形態およびその形成過程に界面異方性

の各因子が与える影響について詳細に検討する.

4.3.1 異方性モード数の影響

異方性モード数 kがα相形態と形成過程に及ぼす影響について検討する. 図 4.5に界

面エネルギー σ = 0.6J/m2, 異方性モード k = 2, 異方性強度 ξ = 0.6における α相形

態と炭素濃度分布の時間変化を示す. 図 4.5中の炭素濃度が低い白色領域が α相であ

り, α/γ 界面の界面エネルギーは θ = 90◦方向で最大値 0.83J/m2, θ = 0◦方向で最小

値 0.24J/m2となる. これは, それぞれ非整合界面および部分整合界面に対応する界面

エネルギー値である (42).

円形の初期形状を有するα相は, 全体のエネルギーを減少させるように形態を変化さ

せ, 時間の経過とともに界面エネルギーの大きい θ = 90◦ 方向への成長が速くなり, プ

500µs50µs 150µs 300µs1µs

0.0017 0.0193 0.0370 0.0546 0.0723

Carbon concentration uc

Fig.4.5 The growth of Widmanstatten ferrite with σ = 0.6 J/m2, ξ = 0.6 and δ = 20nm

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 36

2000µs

700µs300µs

1000µs 1600µs

1µs

0.0000 0.0175 0.0350 0.0525 0.0700

Carbon concentration uc

Fig.4.6 The growth of ferrite with k = 4, σ=1.0 J/m2 and ξ = 0.3.

レート形状のα相すなわちWidmanstattenフェライトを形成する. また, Widmansatten

フェライトは成長初期段階から, 強い界面異方性により文献 (32)や文献 (33)で観察さ

れるような鋭いチップ形状を有していることがわかる.

γ → α変態による α相の生成過程においては, 新たに生成した α相の最大固溶限を

超える炭素原子は炭素固溶度の大きい母相の γ相へと拡散するが, γ相における炭素原

子の易動度は α相に比べて極めて小さいため, 界面前方の γ相で炭素濃度が増大する.

界面エネルギーが最小となる θ = 0◦方向では, 変態駆動力が小さいため界面移動が抑

制され, 界面前方の γ相で炭素原子が堆積しやすい. このような, 界面付近の γ相にお

ける炭素濃度の増加は, 変態駆動力を減少させるため界面移動をさらに抑制する. 一

方, 界面エネルギーが最大となる θ = 90◦方向では, 変態駆動力が大きいため, 界面の

移動速度が大きくなり界面前方の炭素原子の堆積量が減少する. すなわち, 界面エネル

ギーの異方性により, 各方向への界面移動速度が変化することに応じて, 炭素原子の堆

積量が大きく変化することがわかる.

次に, 異方性モード k = 4, 異方性強度 ξ = 0.3, 界面エネルギー σ = 1.0 J/m2, にお

けるα相形態と炭素濃度分布の時間変化を図 4.6に示す. ここでは解析領域をDX×DY

= 1.0×1.0µmとしている. 異方性モード k = 4の場合においても, 時間が経過するにつ

れて, α相は γ相への炭素拡散を伴いながら成長する. しかしながら, 界面エネルギー

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 37

の最大値が現われる θ = 0◦および θ = 90◦方向に速く成長し, 界面前方において炭素

原子が多く堆積している. さらに, k = 2の場合に比べて鋭い先端形状が形成されず,

プレート状 α相へと成長しないことがわかる.

以上の結果から, Fe系合金は立方晶であるため異方性モード数 k = 4を用いるのが

一般的であるが, Widmanstattenフェライトの形成過程を再現するためには, プレート

状 α相の成長過程において, 鋭い先端形状を形成するようなより強い界面異方性を表

現できる異方性モード数 k = 2を用いる必要があることがわかる.

4.3.2 界面エネルギーの影響

図4.7に界面エネルギーσ = 0.4, 0.8および1.0 J/m2における, 500µsでのWidmanstatten

フェライトの形態と炭素濃度分布を示す. また, 図 4.8(a)に各異方性強度におけるチッ

プ先端位置の時間変化を示す. 一定の異方性強度における, 界面エネルギーの増加は,

系全体のエネルギーの増大をもたらすが, 図 4.7と図 4.8(a)より, 界面エネルギーが大

きくなるほど, 優先成長方向への成長は抑制されることがわかる. これは, 合金の過冷

却凝固などの解析結果とは相反する結果である. このような現象を説明するために, 各

界面エネルギーにおいて, 図 4.7に示すようなチップ先端位置から距離 l = 0.13µm離

れたA-A’断面の炭素濃度分布を, それぞれ図 4.8(b)～(d)に示す.

α/γ界面付近の炭素濃度分布は同様であるが, 界面エネルギーが増加するほど, α相

は θ = 0◦方向への成長を促進していることがわかる. すなわち, 界面エネルギーの増

加により, 系の自由エネルギーは増大するが, 界面エネルギーの大きな優先成長方向へ

の成長は抑制されるのは, チップ付近で θ = 0◦方向への成長が促進することで系のエ

ネルギーを減少させるためであることがわかる.

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 38

0.0017 0.0193 0.0370 0.0546 0.0723

Carbon concentration uc

(a) σ =

0.6 [J/m2]

(b) σ =

0.8 [J/m2]

(c) σ =

1.0 [J/m2]

l =

0.1

3 [

µm

]

A A'

A A'

A A'

Fig.4.7 The effects of interfacial energy on the growth of Widmanstatten ferritefor (a) σ = 0.6, (b) σ = 0.8 and (c) σ = 1.0 J/m2 at 500µs.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Distance [µm]

Car

bon c

once

ntr

atio

n u

c (b) σ = 0.6

[J/m2]

Distance [µm]

Car

bon c

once

ntr

atio

n u

c (c) σ = 0.8

[J/m2]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Distance [µm]

Car

bon c

once

ntr

atio

n u

c (d) σ = 1.0

[J/m2]

Tip

posi

tion [

µm

]

Time [µs]

σ=0.6 [J/m2]

σ=0.8 [J/m2]

σ=1.0 [J/m2]

0 100 200 300 400 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

(a)

Interface region

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Fig.4.8 The effects of interfacial energy (a) on the tip velocity and distribution ofcarbon concentration for (b) σ = 0.6, (c) σ = 0.8 and (d) σ = 1.0 J/m2

at 500µs.

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 39

4.3.3 異方性強度の影響

図 4.9に異方性強度 ξ = 0.3～0.6の場合において, y軸方向の長さが 0.5 µmまで成

長したWidmanstattenフェライト相の形態と炭素濃度分布, および y軸上の炭素濃度

プロファイルを示す. ここでは, θ = 0◦方向の界面エネルギーが 0.25 J/m2で一定と

なるように σを設定している. 異方性強度が大きくなるにつれて, チップ先端形状は

鋭くなることがわかる. また, 異方性強度の増加に伴って界面の移動速度が大きくなる

ため, 図 4.9に示すように, チップ先端の γ相における炭素濃度の増加量が抑制される.

図 4.10に各異方性強度におけるプレート先端位置の時間変化を示す. 異方性強度が増

大するにつれて, チップ近傍の界面エネルギーが大きくなるため, 優先成長方向の成長

速度は増加し, 特に, ξ = 0.5や 0.6の場合にはチップ先端の γ相において炭素濃度が増

大せず, 非常に大きな成長速度を示すことがわかる.

以上の結果より,異方性強度の増大によりチップ近傍の界面エネルギーが θ = 0◦方向

に比べてより大きくなるため, 優先成長方向への界面移動速度は増大し, より鋭いチッ

プ形状を形成することが示唆される.

(1000µs)

(a) ξ = 0.3 (257µs) (184µs)

0.0025 0.0179 0.0334 0.0488 0.0642

Carbon concentration uc

(c) ξ = 0.5 (d) ξ = 0.6

Distance [µm]

Car

bo

n c

on

cen

trat

ion u

c

0.030

0.020

0.010

0.2 0.80.4 0.60

(b) ξ = 0.4

(425µs)

0.2 0.80.4 0.60

Distance [µm]

0.2 0.80.4 0.60

Distance [µm]

0.2 0.80.4 0.60

Distance [µm]

(c) ξ = 0.5 (d) ξ = 0.6

(a) ξ = 0.3 (b) ξ = 0.40.035

0.025

0.015

0.005

Car

bon

conce

ntr

atio

n u

c

0.030

0.020

0.010

0.035

0.025

0.015

0.005

Car

bo

n c

on

cen

trat

ion

uc

0.030

0.020

0.010

0.035

0.025

0.015

0.005

Car

bo

n c

on

cen

trat

ion u

c

0.030

0.020

0.010

0.035

0.025

0.015

0.005

Fig.4.9 The effects of strength of anisotropy on the growth of Widmanstattenferrite and carbon concentration profile along y axis for (a) ξ = 0.3, (b) ξ= 0.4, (c) ξ = 0.5 and (d) ξ = 0.6.

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 40

Tip

po

siti

on

[µ

m]

Time [µs]

ξ=0.4

ξ=0.5ξ=0.6

0 100 200 300 400 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ξ=0.3

Fig.4.10 The effects of strength of anisotropy on the tip velocity.

4.4 複数のWidmanstattenフェライトプレート形成シミュレーション

本節では, γ → α変態によりオーステナイト粒界に生成された, Allotriomorphフェ

ライトから複数のWidmanstattenフェライトプレートが形成する過程をシミュレート

し, 界面異方性がWidmansatattenフェライトの形成過程に及ぼす影響について検討す

る. また, Allotriomorphフェライトの初期形態がWidmanstattenフェライトの形態や

形成過程におけるプレート間の相互作用に与える影響について評価し, Widmanstatten

フェライトプレートの形成メカニズムを明らかにする.

4.4.1 異方性強度の影響

図4.11(a)(b)(c)に,それぞれ異方性強度ξ = 0.6, 0.4および 0.3におけるWidmanstatten

フェライトプレートの形成過程を炭素濃度分布の時間変化で示す. ここで, 界面エネル

ギーは σ =1.0 J/m2一定であり, Allotriomorphフェライトの初期形態はN1 = 5, N2

= 8, N3 = 11 を用いて, 比較的短い波長の界面形状になるように設定している.

異方性強度 ξ = 0.6 の場合, プレート各部における界面エネルギーはプレート先端

部で 0.94 J/m2, プレート側面部で 0.42 J/m2 であり, それぞれ非整合界面, 部分整合

界面の界面エネルギーに対応する値である (42). このような界面エネルギー強い異方

性により, 初期Allotriomorphフェライトの形態は組織全体の界面エネルギーが減少す

るように変化し, 初期 α/γ界面に鋭い先端形状を有する多数の小さなプレートのチッ

プ部分が形成される (2 ∼ 20µs). さらに変態が進行するに伴って, 隣り合うチップ同

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 41

士は融合を繰り返しながら競合的に成長するため, チップ数は減少する (20 ∼ 100µs).

その後, 初期Allotriomorphフェライトの凸状箇所に形成されたチップが, 界面の形態

不安定性によって周囲のチップよりも優先的に成長し, Allotriomorphフェライトから

Widmanstattenフェライトプレートへとその形態を変化させていることがわかる (100

∼ 400µs). そして, 変態後期においては各プレートは定常成長し, Widmanstattenフェ

ライトは優先成長方向に更に成長を続ける. このとき, γ → α変態が進行するにつれて

α相から γ相へと炭素が拡散するため, Widmanstattenプレートに挟まれた γ相におい

ては炭素濃度が増加し,未変態のままγ相が残留していることがわかる (400 ∼ 1000µs).

一方, 異方性強度 ξ = 0.4の場合, α相は ξ = 0.6における解析結果で観察されたよう

に, 初期Allotriomorphフェライトの凸状箇所に優先的に成長しているが, 異方性強度

の減少によりプレート側面方向への成長が促進されるため, Widmanstattenフェライ

トプレートの優先成長方向への成長は大きく抑制されていることが分かる. さらに, 異

方性強度 ξ = 0.3においては, Widmanstattenフェライトは形成されず, Allotriomorph

フェライトがα/γ界面形状を滑らかにするように継続して成長していることがわかる.

以上の結果より, AllotriomorphフェライトからWidmanstattenフェライトプレート

が形成するためには, 鋭いプレート先端形状を形成するような強い界面異方性が必要で

あることがわかる. また, WidmanstattenフェライトプレートはAllotriomorphフェラ

イトの凸状箇所に優先的に形成され, その形成過程はα/γ界面の形態不安定性 (43)∼(46)

で説明できることを示唆している. さらに, 本研究では界面異方性を表現する勾配エネ

ルギー係数に対して, 修正勾配エネルギー係数を適用したため, 実験で観察されるよう

な, 鋭い先端形状を有するWidmanstattenフェライトの組織形態を再現可能にするこ

とができた (47).

4.4.2 Allotriomorphフェライトの初期形態の影響

図 4.12に, 異方性強度 ξ = 0.6におけるWidmanstattenフェライトプレートの形成

過程および形態変化を炭素濃度分布の時間変化で示す. ここで, 界面エネルギーは 4.4.1

節と同様に σ =1.0 J/m2一定であるが, Allotriomorphフェライトの初期形態の影響に

ついて検討するため, 式 (4.53)においてN1 = 2, N2 = 4, N1 = 3 を用いており, 4.4.1

節の解析で用いた初期 α/γ界面よりも長い波長を有する界面形状になるように設定し

ている.

各プレートの形成過程を詳細に検討するため, 図 4.12中の矢印A, B, Cで示す各プ

レートのチップ先端位置の時間変化を図 4.13に示す. Allotriomorphフェライトの初期

界面がより滑らかな形状を有する場合においても, 先に示した結果と同様に界面異方

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 42

性が強い場合には, 初期界面上にプレートのチップ部分が形成される (2 ∼ 50µs). ま

た, Allotriomorphフェライトの凸状箇所に形成されたプレートA, Cのチップ部分は,

他のチップとの融合を経て, 優先的にWidmanstattenフェライトプレートへと成長す

ることがわかる (50 ∼ 1000µs). 一方, 初期界面の凹部においてもプレートBのチップ

が形成されるが, プレートAとCの成長過程で形成される炭素拡散領域によるソフト

インピンジメントが生じ, プレートBの成長は大きく抑制されている.

以上の解析結果から, Allotriomorphフェライトの初期界面形状が滑らかで凸状箇所

が少ない場合においても, 強い界面異方性によりWidmanstattenフェライトはAllotri-

omorphフェライトの凸状箇所に優先的に形成される. このとき, Widmanstattenフェラ

イトプレートの形態,すなわちプレートの本数,幅およびプレート間隔は, Allotriomorph

フェライトの初期形態に大きく依存することが示唆される.

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 43

2µs 200µs

400µs 600µs 1000µs

100µs20µs

300µs

0.0014 0.0306 0.0688 0.1025

Carbon concentration uc

4µs 400µs

1200µs 1600µs 2000µs

200µs100µs

800µs

0.0014 0.0351 0.0688 0.1025Carbon concentration uc

2µs 200µs

400µs 600µs 716µs

100µs50µs

300µs

0.0014 0.0351 0.0688 0.1025Carbon concentration uc

(a)

(b)

(c)

Fig.4.11 Growth of Widmanstatten ferrite plates for the strength of anisotropy (a)ξ = 0.6, (b) ξ = 0.4 and (c) ξ = 0.3.

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 44

2µs 300µs

800µs 1000µs

0.0014 0.0306 0.0688 0.1025

Carbon concentration uc

500µs 700µs

50µs 200µs

A

B

C

Fig.4.12 Growth of Widmanstatten ferrite plates from Allotriomorph ferrite withlong wavelength initial interface for strength anisotropy ξ = 0.6.

Time [µs]

Pla

te l

ength

[µ

m]

Plate A

Plate C

Plate B

0 200 400 600 800 1000

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Fig.4.13 Variation of lengths of the Widmanstatten ferrite plates indicated by whitearrows in Fig.4.12.

第 4章 Widmanstattenフェライト形成過程の数値シミュレーション 45

4.5 結言

本章では, Fe-C合金における γ → α変態によるWidmanstattenフェライトの形成過

程をシミュレート可能なPhase-fieldモデルを構築し,数値シミュレーションを行うことに

よりα相の形態と形成過程に,界面異方性の各因子が与える影響およびWidmanstatten

フェライト形成メカニズムについて検討した. 以下に得られた知見を示す.

1. Widmanstattenフェライトの形成過程をシミュレートするためには, プレート状

α相の生成過程において鋭い先端形状を形成するような, 強い界面異方性を表現

できる異方性モード k = 2を用いる必要がある.

2. 一定の異方性強度において, 界面エネルギーが増加するほどチップ付近の界面エ

ネルギーは増加するにもかかわらず, 優先成長方向へのα相の成長が抑制される

のは, θ = 0◦方向の界面エネルギーが増加することで, プレートの横方向への成

長と炭素拡散を促進することによる.

3. 異方性強度がα相形態および成長過程に及ぼす影響を検討した結果, 異方性強度

の増加は, チップ付近の界面エネルギーが θ = 0◦方向の界面エネルギーに比し

て, より大きくなるため優先成長方向の成長が促進され, より鋭い先端形状を形

成することがわかる.

4. Allotriomorphフェライトから複数のWidmanstattenフェライトプレートが形成

する過程を検討した結果, 強い界面異方性により生成されたチップ先端は融合を

繰り返した後, 成長初期段階において形態不安定性により, 選択的にプレート状

に成長することが示唆される. また, その組織形態は Allotriomorphフェライト

の初期組織形態に依存して変化することがわかる.

5. 強い界面異方性を表現できる, 修正勾配エネルギー係数を異方性関数として適用

したため, 実験で観察されるようなWidmanstattenフェライトの鋭いチップ先端

形状を再現可能にした.

第5章

結論および今後の課題

本研究では, Phase-field法を用いて Fe-C合金の γ → α変態による微視組織形成過

程の数理モデルを構築した. そして, 一連の数値シミュレーションを行うことにより

γ → α変態機構および組織形成過程に各因子が及ぼす影響について評価し, γ → α変

態による組織形成メカニズムを明らかにした.

はじめに, 中間温度領域における γ → α変態機構, すなわち α相の成長過程とそれ

に伴う炭素拡散挙動の変態温度, 初期炭素濃度依存性について詳細に検討するために 1

次元解析を行った. その結果, α相の成長は γ相への炭素拡散を伴うため, γ相の界面

付近において炭素濃度が急激に増大し, α相の成長が抑制されることがわかった. この

とき, 界面の移動中においては各相の界面での炭素濃度は局所平衡状態にならないこ

とが示唆された. γ → α変態の温度依存性を検討した結果, 変態温度の減少によりα/γ

界面の易動度および炭素原子の易動度は大きく減少するため, α相の成長は著しく抑制

されることがわかった. さらに, 初期炭素濃度依存性について検討した結果, γ → α変

態は拡散律速変態と界面律速変態の両方の性質を有し, γ相の初期炭素濃度に依存して

変態機構が変化することが明らかになった. そして, γ相の初期炭素濃度が α相の平衡

組成にまで減少した場合には, α相の生成に組成変化の生じないマッシブ変態になるこ

とがわかった.

次に, Ae1 温度直上の比較的高温度領域で形成されるプレート状 α 相, すなわち

Widmanstattenフェライトの形成過程をモデル化し,数値シミュレーションを行うこと

により, Widmanstattenフェライト形態およびその形成過程に界面異方性が及ぼす影

響を検討した. まず, 単一のWidmanstattenフェライトの形成過程の数値シミュレー

ションを実施した結果, Widmanstattenフェライトの形成過程をモデル化するために

は, 鋭い先端形状を形成するような強い界面異方性を表現できる異方性モード k =2 を

用いる必要があることがわかった. このとき, 界面異方性の影響としては, 異方性強度

46

第 5章 結論および今後の課題 47

が一定の場合は界面エネルギーが増加するほど, チップ先端の界面エネルギーが増大

するが, プレート横方向への成長が促進されるため優先成長方向への成長は抑制され

ることが示唆された. 一方, プレート側面において界面エネルギーを固定し, 異方性強

度を増加させると, チップ側面に比べてチップ付近の界面エネルギーが大きくなるため

プレートの成長速度は増加し, より鋭いチップ先端形状が形成されることがわかった.

さらに, γ粒界に形成されたAllotriomorphフェライトのα/γ界面からWidmanstatten

フェライトが形成される過程をシミュレートし, 組織形成過程に界面異方性が及ぼす影

響を検討した結果, Widmanstattenフェライトが形成されるためには, 強い界面異方性

が必要であることがわかった. また, 初期成長段階においては, 強い界面異方性により

α/γ界面に形成されたチップ先端部分が, 隣り合うチップと融合を繰り返しながら競合

的に成長することが示された. その結果, 周囲よりも大きく成長したチップは界面の形

態不安定性により優先的に, プレート形状のWidmanstattenフェライトへと成長する

ことを明らかにした. さらに, 本研究では修正勾配エネルギー係数を用いて界面異方性

をモデル化したため, 実験で観察されるような鋭い先端形状を有するWidmanstatten

フェライト形態を再現することができた.

以上, Fe-C合金における γ → α変態と微視組織形成過程を Phase-field法を用いて

モデル化し, 数値シミュレーションを行うことにより, 各因子が変態機構および組織形

成過程に及ぼす影響と組織形成メカニズムについて明らかにすることができた. しか

しながら, 本研究では膨大な計算コストのために, 取り扱った組織の大きさは実際に観

察されるものよりも小さく, 組織形成の初期段階の検討に限定された. したがって, 文

献 (48) ∼ (50)で提案されている手法を用いて, 実験で観察されるスケールまで解析領

域を拡大可能にし, 数値シミュレーションを実施する必要がある. また, 本モデルを発

展させ, 様々な熱処理条件における微視組織形成過程を再現可能とし, さらには微視組

織形態が鉄鋼材料の力学特性に及ぼす影響を検討することを今後の課題とする.

参 考 文 献

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48

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参 考 文 献 51

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付録A

Ginzburg-Landau型自由エネル

ギー汎関数の導出

本研究で Fe-C合金の全自由エネルギーを定義するために用いた, Ginzburg-Landau

型の自由エネルギー汎関数について説明し, 界面が存在することで発生する勾配エネ

ルギー項を導出する.

界面領域において, 秩序変数である phase field φが非常に急峻な分布をとり, 相変態

により生成する相の界面が曲率を有する場合, 自由エネルギー密度 gを φ以外に φの

分布形状の情報である φの勾配∇φや曲率∇2φなどを独立変数とする関数形として定

義する必要がある. したがって, ∇φや∇2φを独立変数として含んだ自由エネルギー密

度 g (φ,∇φ,∇2φ)を定義し, ∇φと∇2φについてテイラー展開すると, 次式を得る.

g(φ,∇φ,∇2φ

)= g (φ, 0, 0) + L(φ)(∇φ) + K1(φ)(∇2φ) + K2(φ)(∇φ)2

+ K3(φ)(∇2φ)2 + K4(φ)(∇φ)(∇φ)2 + · · ·∼= g (φ, 0, 0) + L(φ)(∇φ) + K1(φ)(∇2φ) + K2(φ)(∇φ)2 (A.1)

ここで, 2次以上の高次項を省略した. 一次元的で左右対称の φの分布を想定する. こ

のとき中心位置の原点に対し左右反転の座標変換を施しても, 自由エネルギー密度は

不変であるので, 次式が成立する.

g(φ(x),∇φ(x),∇2φ(x)

)= g

(φ(−x),∇φ(−x),∇2φ(−x)

)= g

(φ(x),−∇φ(x),∇2φ(x)

)(A.2)

これを式 (A.1)に代入すると,

53

付録A Ginzburg-Landau型自由エネルギー汎関数の導出 54

g (φ, 0, 0) + L(φ)(∇φ) + K1(φ)(∇2φ) + K2(φ)(∇φ)2

= g (φ, 0, 0) − L(φ)(∇φ) + K1(φ)(∇2φ) + K2(φ)(∇φ)2 (A.3)

となり, L(φ)は恒等的に零となる. したがって, 自由エネルギー密度は次式にて与えら

れる.

g(φ,∇φ,∇2φ

)= g (φ, 0, 0) + K1(φ)(∇2φ) + K2(φ)(∇φ)2 (A.4)

ここで, g (φ, 0, 0)は界面が存在しない場合の自由エネルギー密度であり, すなわちバル

クの化学的自由エネルギー密度に等しい. したがって, 界面が存在することで発生する

付加的な自由エネルギーである勾配エネルギーGinterは,

Ginter =∫

V

{K1(φ)(∇2φ) + K2(φ)(∇φ)2

}dV (A.5)

で与えられる. さらに, 右辺の被積分項第 1項にガウスの発散定理を用いると, 以下の

ようになる.∫V

K1(φ)(∇2φ)dV =∫

SK1(φ)

{(∇2φ) · n

}dS −

∫V(∇K1)(∇φ)dV

=∫

SK1(φ)

{(∇2φ) · n

}dS −

∫V

∂K1

∂φ(∇φ)2dV

= −∫

V

∂K1

∂φ(∇φ)2dV (A.6)

ここで, nは界面の外向き法線ベクトルを表し, 外部からの寄与を無視して面積積分項

は零としている. これを式 (A.5)に代入すると次式を得る.

Ginter =∫

V

(K2(φ) − ∂K1

∂φ

)(∇φ)2dV

=∫

Vκ(φ)(∇φ)2dV (A.7)

ここで, κ(φ)は勾配エネルギー係数であり, 次式のように置かれることが多い.

κ(φ) = K2(φ) − ∂K1

∂φ≡ ε2

2(A.8)

したがって, Ginzburg-Landau型の自由エネルギー汎関数は次式で表すことができる.

G =∫

V

{g(φ) +

ε2

2|∇φ|2

}dV (A.9)

付録B

Sharp interface limitによる各種

パラメータの導出

Phase-field法において，定量的な評価を行うためには, 数値シミュレーションで用

いる各種パラメータを材料の物性値に関係づける必要がある. 本研究では, 1次元平衡

状態や定常成長状態における時間発展方程式を考慮し, 界面幅が零と仮定して得られ

る理論式や経験式に比較する極限操作 (Sharp interface limit）を行う.

付録Aで導出した, Ginzburg-Landau型の自由エネルギーを以下に示す．

G(φ) =∫

V

[g(φ) +

ε2

2|∇φ|2

]dV (B.1)

ここで, 被積分関数第 2項は付録Aで説明した勾配エネルギー密度．第 1項はバルク

の自由エネルギー密度を表し，本研究では次式のような秩序変数の関数形で表現する．

g(φ) = p(φ)gα + (1 − p(φ))gγ + Wq(φ) (B.2)

ここで, gαと gγはそれぞれ α相と γ単相の化学的自由エネルギー密度であり, 秩序変

数と温度の関数である. また, p(φ)と q(φ)は, それぞれエネルギー密度分布関数とエネ

ルギー障壁の高さW を有するダブルウェルポテンシャル関数であり, 次式を用いる．

p(φ) = φ3(10 − 15φ + 6φ2) (B.3)

q(φ) = φ2(1 − φ)2 (B.4)

Phase-field法では，系の時間発展を記述するために式 (B.1) に対し変分をとり次式

を導く．∂φ

∂t= M

(ε2∇2φ − ∂g

∂φ

)(B.5)

55

付録B Sharp interface limitによる各種パラメータの導出 56

Interface region

x1−λ xλδ

λ

λ

φ = 1

φ = 1−λ

φ = 0

φ = λ

(α phase)

(γ phase)

Fig.B.1 α/γ interface

ここで, 式 (B.2)より,

∂g

∂φ= (gα − gγ)

∂p(φ)

∂φ+ W

∂q(φ)

∂φ(B.6)

となる.

ここで物性値として，界面厚さ δ，界面エネルギー σを定義し，1次元問題における

平衡状態すなわち界面が動かない状態を仮定すると次式が成立する．

ε2d2φ

dx2− dg

dφ= 0 (B.7)

また, 平衡状態においては, gα = gγが成立するため,

ε2d2φ

dx2= W

∂q(φ)

∂φ(B.8)

が得られる. さらに, 両辺に dφ/dxをかけて積分することにより, 次式に示す式 (B.7)

を満たす解 φ(x)が求められる.

φ =1

2

(1 − tanh

√2W

2εx

)(B.9)

ここで, 図 B.1に示すように界面領域を λ < φ < (1 − λ)とすると,界面厚さ λは次式

のように記述できる．

δ = xλ − x1−λ =

√2ε√W

2 tanh−1(1 − λ) (B.10)

一方，平衡状態においては，系の全自由エネルギーは界面エネルギー σに対応するの

で次式のように記述できる．

σ = G(φ, TM) =∫ ∞

−∞

ε2

2

(dφ

dx

)2

+ g(φ, TM)

dx =ε√

W

3√

2(B.11)

付録B Sharp interface limitによる各種パラメータの導出 57

以上より，材料の各物性値から数値シミュレーションで使用する各種パラメーター

ε，W は次式で表される．

ε =

√3δσ

b(B.12)

W =6σb

δ(B.13)

付録C

Fe-C合金の化学的自由エネルギーの

熱力学パラメータ

2章で示したように, 本研究では Fe-C合金の各相における化学的自由エネルギーを

副格子モデルに基づく自由エネルギー関数を用いている. ここでは, 自由エネルギー関

数で使用する各熱力学パラメータをについて説明する. まず. α相, γ相における, Fe

化合物の化学的自由エネルギーを, それぞれ以下に示す (51)(52).

G0αFe:V a = 1224.83 + 124.134T − 23.5143T log T

− 0.00439752T 2 − 5.89269 × 10−8T 3 + 77358.5T−1 (C.1)

G0αFe:C = G0α

Fe:V a + 3GgraC + 322050 + 75.667T (C.2)

G0γFe:V a = −237.57 + 132.416T − 24.6643T log T

− 0.00375752T 2 − 5.89269 × 10−8T 3 + 77358.5T−1 (C.3)

G0γFe:C = G0γ

Fe:V a + 3GgraC + 77207 − 15.877T (C.4)

で表される. ここで, 炭素の自由エネルギーの基準をグラファイトとしているため, 本

研究ではGgraC = 0としている. また, 各相の原子間相互作用パラメータは:

LαFe;C;V a = −190T (C.5)

LγFe;C;V a = −34671 (C.6)

α固溶体の磁気過剰エネルギーは,

τ ≥ T/1043のとき,

Gmag = −6507.7

(τ−4

10+

τ−14

315+

τ−24

1500

)(C.7)

58

付録C Fe-C合金の化学的自由エネルギーの熱力学パラメータ 59

τ ≤ T/1043のとき,

Gmag = −9180.5 + 9.283T − 9309.8

(τ 4

6+

τ 10

135+

τ 16

600

)(C.8)

また, 以下に各相における炭素原子の易動度を示す (29)(30).

Mαc =

2.0 × 10−6

RTexp

(−10115

T

)exp

[0.5898

{1 +

1

πarctan

(14.895 − 15309

T

)}](C.9)

Mγc =

4.529 × 10−7

RT

{1 + uc(1 − uc)

8339.9

T

}exp

{−

(1

T− 2.21 × 10−4

)(17767 − 26436uc)

}(C.10)

なお, 易動度の単位はm2/sである.

付録D

関連学術論文・学術講演

(1) 学術論文

¤ 山中晃徳, 高木知弘, 冨田佳宏, Fe-C合金におけるWidmanstattenフェライト形

成過程のPhase-fieldシミュレーション,日本機械学会論文集A編, (2006),投稿中.

¤ 山中晃徳, 高木知弘, 冨田佳宏, Phase-field法による Fe-C合金のγ→α変態と炭

素拡散挙動の評価, 日本機械学会論文集A編, (2006), 投稿中.

¤ Akinori Yamanaka, Tomohiro Takaki and Yoshihiro Tomita, Phase-field Simula-

tion of Austenite to Ferrite Trasformation and Widmanstatten Ferrite Formation

in Fe-C Alloy., Materials Transactions, (2006), submitted.

(2) 国際会議学術講演

¤ Akinori Yamanaka, Tomohiro Takaki and Yoshihiro Tomita, Phase-field Simula-

tion of Isothermal Transformation in Fe-C Alloy., International Symposium on

Plasticity 2006.

¤ Akinori Yamanaka, Tomohiro Takaki and Yoshihiro Tomita, Phase-field Analysis

of Austenite to Ferrite Transformation and Partitioning of Carbon in Fe-C Alloy.

International Conference on Computational and Experimental Engineering and

Sciences 2005.

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付録D 関連学術論文・学術講演 61

(3) 国内学術講演

¤ 山中晃徳, 高木知弘, 冨田佳宏, Phase-field法によるWidmanstattenフェライト

形成過程における界面異方性の影響評価, 日本材料学会第 55期学術講演会講演

論文集, pp.383-384, (2006).

¤ 山中晃徳, 高木知弘, 冨田佳宏, Fe-C合金におけるWidmanstattenフェライト形

成のPhase-fieldシミュレーション, 日本鉄鋼協会 第 151回春季講演大会 学生ポ

スターセッションアブストラクト集 pp.18, (2006).

¤ 山中晃徳, 高木知弘, 冨田佳宏, Phase-field法による Fe-C合金の等温変態シミュ

レーション,日本機械学会第 18回計算力学講演会講演論文集 pp.861-862, (2005).

¤ 山中晃徳, 高木知弘, 冨田佳宏Fe-C合金のγ→α変態フェーズフィールドシミュ

レーション, 第 49回 日本学術会議材料研究連合講演会講演論文集 pp.149-150,

(2005).