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Lezione 27

EnricoRogora

Il teorema diinversioneTorricelliBarrow

Storia della matematica

Lezione 27

Enrico [email protected]

Università di Roma

8 Maggio 2017 - Roma

Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 27 8 Maggio 2017 1 / 24

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Diagramma tempo/velocità e tempo/spazio


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Torricelli I

Oresme introduce il diagramma tempo/velocità

Galileo identifica il diagramma tempo/velocità relativo almoto di caduta dei gravi

Galileo osserva che lo spazio percorso in un dato intervalloè uguale all’area del corrispondente diagrammatempo/velocità

Galileo introduce il principio di composizione delle velocità

Torricelli considera il diagramma tempo/velocità per unmoto rettilineo qualsiasi e gli associa il diagrammatempo/spazio, come in figura

Torricelli interpreta il diagramma tempo/velocità cometraiettoria di un moto composto


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Torricelli II

Torricelli osserva che se viene a mancare la forzaacceleratrice, un corpo prosegue di moto uniforme lungo latangente alla traiettoria seguita fino a quel momentoPer caratterizzare geometricamente la velocità a partire daldiagramma tempo/spazio, Torricelli immagina di invertirela velocità del moto composto e osserva che il temponecessario a raggiungere il punto A′ di intersezione dellatangente con l’asse verticale è uguale a quello impiegato araggiungere il punto J nel moto originario.Il legame geometrico osservato da Torricelli tra area deldiagramma tempo/velocità e tangente nel diagrammatempo/spazio è equivalente al teorema di inversione.Torricelli non usa il teorema di inversione per calcolare gliintegrali perché non è in possesso del calcolo delle derivate


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Osservazioni

L’importanza del carattere reciproco della integrazione e delladerivazione appare solo quando si possegga un metodo generaleper derivare, o geometricamente, per costruire tangenti. (. . . )Non ci sorprende che il T. tra il 1645 e il 1647 non abbiariconosciuta l’importanza del teorema di reciprocità, se teniamopresente che vent’anni dopo, il Barrow,che ha ritrovato lo stessoteorema per una via sostanzialmente analoga, sembra ignorareegli pure le fondamentali applicazioni di esso. Queste inveceappaiono in piena luce poco dopo al giovane Newton. [C] p. 68.


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La costruzione cinematica delle tangenti

Oltre ai metodi di Cartesio e di Fermat esiste un terzo metodo pertracciare le tangenti ad una curva, quello della costruzione cinematica. Fuscoperto indipendentemente e contemporaneamente da EvangelistaTorricelli e da Gilles Personne de Roberval (1602-1675).È necessario conoscere, per applicare questo metedo, la generazionecinematica della curva. Per esempio:

la parabola è generata da un punto che si avvicina (o si allontana) alfuoco con la stessa velocità con cui si avvicina (o si allontana) dalladirettrice;

l’ellisse è generata da un punto che si allontana da un fuoco con lastessa velocità con cui si avvicina all’altro;

l’iperbole è generata da un punto che si avvicina (o si allontana) daifuochi con la stessa velocità;

la spirale di Archimede è generata da un punto che ruota intornoall’origine con la stessa velocità con cui se ne allontana;

la cicloide è generata da un punto che ruota uniformemente intorno aun centro che trasla con velocità uniforme in una direzione fissata.


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Tangente ad una parabola


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Tangente ad una ellisse


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Tangente ad una iperbole


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Tangente ad una cicloide

0 1 2 3 4 5 6

-2-1

01

23

4


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Osservazioni sul metodo di Torricelli/Roberval (cfr.Giusti, piccola storia ...)

Dice Roberval che la direzione del movimento di un punto chedescrive una linea curva è la tangente alla linea curva in ogniposizione di quel punto, principio abbastanza intelleggibile chesi accetterà facilmente una volta che lo si sarà considerato conun po’ di attenzione. Da qui discende la regola generale daseguire per il tracciamento delle tangenti.Per le proprietà specifiche della linea curva (che vi sarannodate) esaminate i diversi movimenti che il punto che la descriveha nel posto dove voi volete tracciare la tangente: componetetutti questi movimenti in uno solo, tracciate la linea delmovimento composto e avrete la tangente della linea curva.


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I centri della matematica si spostano in Inghilterra eOlanda


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Isaac Barrow (1630-1667)

Studiò a Cambridge Greco e Latino, scienze naturali, astronomiae geometria (con Wallis). Visitò l’Italia e fu profondamenteinfluenzato dall’opera di Galileo e della sua scuola. Ebbe nel1660 la cattedra di letteratura greca a Cambridge. Nel 1663ottenne la cattedra lucasiana di matematica a Cambridge, checedette nel 1669 al suo grande discepolo Isaac Newton. Dedicògli ultimi anni della sua vita agli studi teologici.


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Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae I

Pubblicate nel 1670 sono forse la prima esposizione organica deinuovi metodi per il calcolo delle aree e delle tangenti ma, sottol’aspetto espositivo, risultano antiquate sia rispetto agli scrittidella scuola francese chee anche rispetto a quelli di Torricelli eCavalieri. Nell’esposizione evita di utilizzare la geometriaanalitica cartesiana, che pure conosce.Una curva viene definita immaginando due rette che simuovono, l’una parallelamente all’asse y , di moto uniforme,l’altra parallelamente all’asse x di moto qualsiasi. Il punto diincontro descrive la curva, che noi descriveremmo con leequazioni parametriche x = at, y = f (t). Questa descrizionesupera la necessità di introdurre il concetto di funzione.Viene studiato come si trasformano le tangenti quando a unacurva si applicano trasformazioni elementari quali omotetie o


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Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae II

rotazioni. Per questa via si stabiliscono, in maniera moltolaboriosa, gli equivalenti geometrici delle regole derivazione disomme, prodotti ecc. Si dimostra per esempio, che se unafunzione è media di altre due, le tangenti in punti di ugualascissa si intersecano in un punto (cfr. figura).


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Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae III


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Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae IV

Infatti, la tangente nel punto di ascissa x0 di una curva f èy − f ′(x0) + f ′(x0)x0 − f (x0) = 0 La condizione che le tangentia tre punti con la stessa ascissa di tre curve concorrano in unpunto è allora∣∣∣∣∣∣

1 −f ′(x0) x0f′(x0)− f (x0)

1 −g ′(x0) x0g′(x0)− g(x0)

1 −h′(x0) x0h′(x0)− h(x0)

∣∣∣∣∣∣ = 0


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Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae V

Se h = 12(f (x) + g(x)), la condizione perché il determinante si

annulli è che h′(x0) =12(f

′(x0) + g ′(x0)).

Il teorema di B. esprime adunque . sia pure informa molto incomoda - la proprietà additiva delladerivata, per chi sappia che una tangente si determinamediante una derivazione. Ma il B. non ha maiparlato, almeno fino allora, di questa determinazioneanalitica. Procedimenti analoghi, ma più complicati,per la derivata di un prodotto, di un quoziente, di unapotenza . . . ; complicati a tal punto che ci si domandase il B. non sia arrivato ai suoi risultati per una via piùconforme a quella oggi seguita, e non l’abbia poimascherata per far uso soltanto di metodi geometrici.[C], p. 71


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Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae VI

Nella lezione X Barrow inserisce una appendice in cui presenta,su consiglio di Newton, i metodi analitici per trattare ladeterminazione delle tangenti, arrivando ad un’esposizionemolto vicina a quella di Fermat, che probabilmente non conosce.Termina la lezione X considerando alcune notevolitrasformazioni di curve esposte allo scopo di facilitare ladeterminazione delle tangenti. In particolare ne indica una chesi vedrà molto generale e non conviene omettere.Data una curva y = f (x) (l’asse y rivolto verso il basso), necostruisce una seconda Y = F (x) (l’asse Y rivolto verso l’alto)con la condizione che l’ordinata generica Y = NP sia ugualeall’area compresa fra la prima curva, l’asse x e le ordinatef (0) = OL, f (x) = NM; cioè

Y =

∫ x

0ydx .


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Isaac Barrow: Lectiones opticae et geometricae VII


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Condizione geometrica che caratterizza una rettatangente

Sia P un punto di una curva. Consideriamo una retta per P .Sia P1 un punto vicino a P . Consideriamo una retta per P1non passante per P e intersechiamo questa seconda retta con lacurva e con la retta, ottenendo i punti P1 e F . Al variare delpunto P1, mantenendo la retta s parallela, abbiamo che ingenerale l’ordine con cui P1 ed F si succedono si scambia. Seesiste una e una sola retta per cui l’ordine non si scambia,diremo che il punto P è regolare e l’unica retta per P per cuil’ordine non si scambia è la retta tangente.


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Barrow: il teorema di inversione I

Per costruire la tangente in un punto P(x ,Y ) il Barrowcostruisce il segmento NT = NP/NM = Y /y , ovvero ilcoefficiente NP/NT della tangente è uguale a NM.Per di ostrare che questa è la retta tangente, Barrow osservache, per definizione,

QP = areaN1M1MN.

e quindiareaN1M1MN = QR · NM

ovveroQR =

1y· areaN1M1MN.

Se la curva LM1M è crescente, la detta area è minore diy(x − x1) se x > x1; quindi QR < QP1. Se invece x < x1, con


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Barrow: il teorema di inversione II

lo stesso ragionamento si trova QR > QP1. Ciò dimostra che laretta PT , la quale ha in comune il punto P con la curvaOP1PP2, lascia questa da una stessa banda ed è quinditangente ad essa.Analogamente se la curva LM1M fosse decrescente.


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